Spline fonksiyonları ve uygulamaları

SPLINE FONKSĐYONLARI VE UYGULAMALARI

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ

Fatih BAŞ

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATĐK

Tez Danışmanı : Prof. Dr. Abdullah YILDIZ

Eylül 2007

SPLINE FONKSĐYONLARI VE UYGULAMALARI

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ

Fatih BAŞ

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATĐK

Bu tez 07 / 09 /2007 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Oybirliği ile kabul edilmiştir.

Prof. Dr. Yrd. Doç. Dr. Yrd. Doç. Dr.

Abdullah YILDIZ Ö. Faruk GÖZÜKIZIL Yılmaz GÜNEY Jüri Başkanı Üye Üye

ii

TEŞEKKÜR

Bu tez konusunu bana öneren, çalışmam sırasında yardımcı olan, danışmanım Sayın Prof. Dr. Abdullah YILDIZ’a sonsuz teşekkürlerimi ve şükranlarımı sunarım.

Tez çalışmam süresince çeşitli yardım ve desteğini gördüğüm; eşim Aynur BAŞ’a teşekkür ederim.

Bu çalışmanın, ihtiyacı olan kişilere yardımcı olmasını dilerim.

iii

ĐÇĐNDEKĐLER

TEŞEKKÜR... ii

ĐÇĐNDEKĐLER …... iii

SĐMGELER VE KISALTMALAR LĐSTESĐ... v

ŞEKĐLLER LĐSTESĐ... vi

TABLOLAR LĐSTESĐ... viii

ÖZET... ix

SUMMARY... x

BÖLÜM 1. GĐRĐŞ... 1

BÖLÜM 2. BÖLÜNMÜŞ FARKLAR…………... 3

2.1.Yüksek Mertebeli Bölünmüş Farklar………..………. 6

2.2. Bölünmüş Farkların Özellikleri... 9

BÖLÜM 3. SPLINE FONKSĐYONLARI……….……… 11

3.1. Kübik Spline………..………... 13

3.1.1. Tension (gerilme) spline……….………. 20

3.1.2. Yüksek dereceli doğal spline’lar teorisi……….. 23

BÖLÜM 4. PARABOLĐK SPLINE ĐNTERPOLASYON……… 28

iv

4.1. Parçalı Polinom Fonksiyonları………. 35

4.2.

∏

<k, ,ε ν Uzayı ve Kısaltılmış Kuvvet Fonksiyonları Tabanı…….. 36

4.3.

∏

<k,ε

∏

_{<k, ,ε υ} Đçin Kısaltılmış Kuvvet Tabanı……..…………... 40

4.4. B-Splinelar Vasıtasıyla PP Fonksiyonlarının Oluşturulması...…... 44

4.4.1. Đki özel düğüm (knot) dizisi………..…….………... 47

4.4.2. B-Spline’lar için ardışık olma bağıntısı ………….……... 48

4.4.3.Spline uzayı $_{k t,} ……… 52

4.4.4. B-Spline ve spline’ların kararlı-stabil hesaplanması…...….. 63

4.4.5. B-Spline fonksiyonunun diferansiyeli ve integrali………… 65

4.4.6. B-Spline’lar yardımıyla çeşitli fonksiyonlara yaklaşım……. 69

BÖLÜM 5. SONUÇLAR VE ÖNERĐLER………... 72

KAYNAKLAR……….. 73

EKLER………... 74

ÖZGEÇMĐŞ ………... 76

v

SĐMGELER VE KISALTMALAR LĐSTESĐ

I k : k. mertebeden (k-1). dereceden spline’lar ile interpolasyon

, ( )

Bi k t : k. mertebeden i. B-spline baz fonksiyonu

pp : Parçalı polinom

<k

∏ : k. mertebeden küçük polinomlar uzayı

, kξ

∏< : ξ kırılma noktaları dizisi ile k. mertebeden küçük parçalı polinomlar

, , kξv

∏< : ξ kırılma noktalarında,v süreklilik mertebelerini ifade etmesi koşuluyla ∏_<k,ξ uzayının alt uzayı

D f j : f fonksiyonunun j. dereceden türevi

$_{k t}, : span B( _{i k t, ,}), t düğüm dizisi ile k. mertebeden spline’ların lineer uzayı

τi

∆ : τ_i+1− ileri farkı τ_i τi

∇ :τ τ_i− _i−1 geri farkı

sıçrama fa : f fonksiyonunun a noktasındaki sıçraması ( )x ₊ : max( , 0)x uyarlanmış fonksiyon

(⋅ −x)^k₊⁺1 : x bir değer olmak üzere⋅ yerindeki değişkene göre fonksiyon işlem görür. Sonuç bu x noktasındaki değerdir

, _x

D D : Türev operatörleri

[ ,...,τ_i τ_j]f : f 'in ,...,τ_i τ_j noktalarındaki j i− ’ninci mertebeden bölünmüş farkları. [ ,...,f τ_i τ_j] şeklindede gösterilir

1 2

τi₊ : (τ τ_i+ _i+1) 2 ( )

f a⁺ :

0

lim ( )

h

f a h

→ + +

vi

ŞEKĐLLER LĐSTESĐ

Şekil 3.1. 0’ıncı dereceden bir spline 12

Şekil 3.2. 1’incı dereceden bir spline 12

Şekil 3.3. S x interpolasyon fonksiyonunun görünümü ( ) 20

Şekil 3.2a. Yüksek gerilimli spline (τ ⁼10) 21

Şekil 3.2b. Düşük gerilimli spline (τ =0.1) 21

Şekil 4.1. l =7 için parçalı polinom fonksiyonları 35 Şekil 4.2. Bir histograma parabolik “alan uyumlu” spline tahmini 37

Şekil 4.3. Lineer sistemin görüntüsü 39

Şekil 4.4. 6(x−ξ)₊⁰,6(x−ξ)¹₊,3(x−ξ)²₊,(x−ξ)³₊ fonksiyonlarında x= ξ değerinde artan düzgünlüğe sahiptirler, her birinin sağdaki fonksiyonun türevi olması bu durumu açıklar

41

Şekil 4.5. Uyarlanmış kuvvet fonksiyonları bazı için zorluklara sebep olan lineer bir yaklaşım

43 Şekil 4.6.

(

t1,...,t5 3₊

)

=(0,1,1, 3, 4, 6, 6, 6) düğüm dizisi için parabolik

spline’lar düğüm katlılığı ve düzgünlük arasındaki ilişki

51 Şekil 4.7. ( ,...,t_j t_j+1) aralığında k .mertebeden B-Spline nın en sol ve en

sağdaki parçalarının sıfırdan farklı oluşunun dayanağı

53

Şekil 4.8. Kırılma noktalarına ve süreklilik koşullarına uygun düğüm katlılıklarını belirleme tablosu

59 Şekil 4.9. B-Spline katsayıları modeli ile fonksiyonun temsili 0..10]

üzerindeki kübik bir polinomsal f ve onun B-Spline katsayıları (α_j), ^{αj f t}

( )

^*jk ’ yı göstermektedir. × işareti ile işaretlenen noktalar düzgün düğüm dizisi 0,1,…,10’dan gelmektedir, Θ işareti ile işaretlenenler daha sık düğüm dizisi

0,1 2 ,...,10 dan gelmektedir

62

vii

Şekil 4.10. Dört kübik polinom birleşerek B-Spline fonksiyonunu oluşturur 65 Şekil 4.11. f x( )=Sinx fonksiyonuna 5. mertebeden B-Spline’lar ile 20

nokta kullanılarak [ 6, 6]− + aralığında yapılan yaklaşım

69 Şekil 4.12. f x( )=x³ fonksiyonuna 3. mertebeden B-Spline’lar ile 15 nokta

kullanılarak [ 8, 8]− + aralığında yapılan yaklaşım

70 Şekil 4.13. f x( )= x fonksiyonuna 4. mertebeden B-Spline’lar ile 5 nokta

kullanılarak [0, 4] aralığında yapılan yaklaşım

71

viii

TABLOLAR LĐSTESĐ

Tablo 2.1. Örnek2.1’in bölünmüş fark tablosu 8

Tablo 4.1. P için ayrılmış fark tablosu _i 32

Tablo 4.2. Sıfır olmayan

[

t t_i.._i+1

]

üzerindeki k≤ mertebe B-Spline larının üçgensel dizimi

64

ix

ÖZET

Anahtar kelimeler: Đnterpolasyon, Spline, B_spline

1960’lardan sonra parçalı sürekli fonksiyonların konusu öncelikli bir çalışma alanı haline gelmiştir. Özellikle Spline fonksiyonları bu tarihlerde çalışılmaya başlanmıştır.

Bu fonksiyonlar Yaklaşım teorisinde veri uydurmada, Sayısal integrasyonda, Adi, Kısmi diferansiyelde integral denklemlerin sayısal çözümlerinde bir çok değişik formlarda kullanılmaya başlanmıştır. Đnterpolasyonlar teorisi açısından bakıldığında çok daha avantajlı olmaktadır.

Biz bu çalışmaya interpolasyon ile başlayıp splıne fonksiyonlarını ve bunların hesaplanmasını verip Diferansiyel denklem çözümünde kullanacağız.

B-Spline teoriylede bir başka gelişme anlatılacaktır.

x

SPLINE FUNCTIONS AND APPLICATIONS

SUMMARY

Key Words: Interpolation, Spline, B_spline

The subject of piecewise continuous function becomes prior study area after 1960s.

Spline functions are studied especially these times.

This functions are used in different forms the approximation theory, data interpolasyon, Numerical integration, simple partical differential and for numerical solitions of integral equations. When it is considered as interpolation theory, it will be more advantageous.

We will start this study with interpolationby giving spline functions and their computing and then we will use them for solution of differential equation.

It will be described another development with B_Spline theory.

BÖLÜM 1. GĐRĐŞ

Yaklaşım yöntemleri Matematikte olduğu kadar Temel Bilimlerin diğer alanlarında ve Mühendislikte yaygın olarak kullanılan önemli çözüm tekniklerindendir. Tek yada çok değişkenli fonksiyonların yaklaşık hesabında kullanılan bu yöntem ile ilgili olarak günümüzde; Đnterpolasyon ve yaklaşım, Nümerik integral ve türev, Adi ve kısmi türevli diferansiyel denklemlerin sayısal çözümleri, integral denklemler, diferansiyel denklem sistemlerinin yaklaşık çözümleri, özdeğer hesapları ve operatörlerin öz fonksiyonlarının hesaplanması, kontrol teorisi gibi alanlarda çok sayıda çalışma yapılmıştır.

Yaklaşım yöntemleri içerisinde polinom yaklaşımları önemli bir yer tutmaktadır.

Ancak, nokta sayısının artmasıyla elde edilecek interpolasyon polinomunun dercesinde artar. Bunun yanında bir de noktalar dışında interpolasyon polinomunun gerçek fonksiyondan göstereceği büyük sapmalarda dikkate alındığında, polinom interpolasyonu yerine başka tekniklere gerek olduğu anlaşılmaktadır.

Birçok durumda bir diferansiyel denklemin belirli şartları sağlayan özel çözüm eğrisini bilmiyor ya da analitik yollarla çözülemiyor olunabilir. Bu durumda bilinmeyen fonksiyon değerlerini, çözümün var olduğu aralığı parçalara bölerek, her bir parçada ikinci, üçüncü ya da daha yüksek dereceden polinom yaklaşımı yapmak suretiyle yaklaşık olarak hesap edilir. Her bir aralıkta değişik fonksiyonlarla yaklaşımın yapıldığı bu tür interpolasyona Spline interpolasyonu denir.

Belirli verilere uyan, bilinmeyen fonksiyonların yaklaşık çözümünde kullanılan Spline’lar konusunda ilk çalışma 1940’lı yıllarda Schoenberg tarafından ortaya konulmuştur. Spline fonksiyonları, parçalı polinomların bir sınıfından olup, bu fonksiyonlar, polinomların süreklilik özelliği taşıyan dizilişleri ile oluşmaktadırlar.

Yaklaşım fonksiyonları, interpolasyon ve eğri uydurma fonksiyonları olarak üstün

özelliklere sahiptirler. Đkinci bölümde Spline fonksiyonlarını kavramamızda gerekli olacak bölünmüş farklar ve bölünmüş farkların özelliklerinden bahsedilmiştir.

Üçüncü bölümde kübik spline fonksiyonlarından, dördüncü bölümde ise parabolik spline’ler ve B-Spline fonksiyonlarından bahsedilmiştir.

BÖLÜM 2. BÖLÜNMÜŞ FARKLAR

0, ,...,1 _n

x x x noktalar dizisinde değerleri bilinen veya hesaplanan bir f fonksiyonunu alınır. Bunların sıralanmaya ihtiyaçları yoktur. n+ noktada f ’i interpole eden 1 n. dereceden tek bir P polinomu vardır.

( )p x_i = f x( )_i (0≤ ≤i n) (2.1)

P polinomu, 1, ,x x²,...,x baz polinomlarının lineer bir kombinasyonu olarak ⁿ yapılandırılabilir. Bu baz tavsiye edilmez, interpolasyon polinomu için Newton formuna uygun bir baz kullanılması tercih edilir;

0

1 0

2 0 1

3 0 1 2

0 1 2 1

( ) 1

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )...( )

n n

q x

q x x x

q x x x x x

q x x x x x x x

q x x x x x x x x x ₋

=

= −

= − −

= − − −

= − − − −

M

Baz fonksiyonları ile Newton formu,

0

( ) ( )

n j j j

p x c q x

=

=

∑

şeklinde oluşur.

Đnterpolasyon koşulları, c bilinmeyen kat sayılarının saptanması için lineer bir _j denklem sistemi oluşturur;

0

( ) ( ) (0 )

n

j j i i

j

c q x f x i n

=

= ≤ ≤

∑

(2.2)

Bu eşitlik sisteminde katsayı matrisi elemanları

a_ij =q x_j( )_i (0≤i j, ≤n) (2.3)

olan (n+1)x(n+ boyutlu bir A matrisidir. A matrisi bir üçgen matrisdir çünkü 1)

1

0 1

0

( ) ( )

( ) ( ) 0 ( 1)

j

j k

k j

j i i k

k

q x x x

q x x x i j

−

=

−

=

= −

= − = ≤ −

∏

∏

(2.4)

dır. Özel olarak üç nokta durumu düşünülürse;

2 0 0 1 1 2 2

0 1 0 2 0 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

p x c q x c q x c q x

c c x x c x x x x

= + +

= + − + − −

0, 1

x=x x= ve x x=x₂ alındığında, bir üçgen sistem elde eldir.

0 0

1 0 1 1

2 0 2 0 2 1 2 2

1 0 0 ( )

1 ( ) 0 ( )

1 ( ) ( )( ) ( )

c f x

x x c f x

x x x x x x c f x

   

 

   

 −   = 

 

 − − −    

     (2.5)

0, ,...,1 _n

c c c katsayıları için (2.2) eşitliğinin çözümünde c katsayılarını (2.5) _j ifadesinde en üstten çözmeye başlayarak hesaplanır. Bu yöntemde c ’ın sadece ₀

( )0

f x ’a, c katsayısınında ₁ f x ve ( )₀ f x ’e bağlı olduğu ve böylece devam( )₁

ettiği görülür. Bu nedenle c , _n x x₀, ,...,₁ x noktalarında f fonksiyonuna bağlıdır. _n Aşağıdaki notasyon

c_n = f x x[ , ,...,_{0 1} x_n] (2.6)

yıllar önce bu bağımlılığı vurgulamak için kabul edildi.

0 1 2 1

( ) ( )( )( )...( ) ⁿ

n n

q x = x−x x−x x−x x−x₋ =x + daha düşük dereceli terimler olduğundan x x₀, ,...,₁ x noktalarında_n f fonksiyonunu interpole eden n dereceli polinomun içerisinde f x x[ , ,...,_{0 1} x ’ye _n] x ’in katsayısı denilebilir. ⁿ f x x[ , ,...,_{0 1} x _n] ifadesi f fonksiyonunun bölünmüş farkları olarak adlandırılır. Öncelikle f x , [ ]₀ x ₀ noktasında f fonksiyonunu interpole eden 0 dereceli polinom içinde x ’ın ⁰ katsayısıdır. Buradan şu ifade elde edilir;

f x[ ]₀ = f x( )₀ (2.7)

f x x değeri, [ , ]_{0 1} x ve ₀ x noktalarında f ’i interpole eden birinci dereceden ₁ polinom içerisinde x’in katsayısıdır. Böylece polinom

₀ ^{1 0} ₀

1 0

( ) ( )

( ) ( ) f x f x ( )

p x f x x x

x x

= + − −

− (2.8)

şeklinde olduğundan q x ’in katsayılarının ₁( )

_{0 1} ^{1 0}

1 0

( ) ( )

[ , ] f x f x

f x x

x x

= −

− (2.9)

olduğu görülür. Bu durum terim olarak neden bölünmüş farkların kabul edildiğinin işaretini verir. Aşağıdaki dataların bölünmüş fark tablosu şu şekilde gösterilebilir;

0 0 0 1

1 1

( ) [ , ] ( )

x f x f x x

x f x

ve interpolasyon polinomu aşağıdaki ifadeden kololaylıkla oluşturulur.

0 0 1 0

( ) ( ) [ , ]( )

p x = f x + f x x x−x

Formül (2.7) ve (2.9) sistem (2.5) içerisinde c ve ₀ c için çözülerekte elde edilebilir, ₁ çünkü c₀ = f x[ ]₀ ve c₁ = f x x[ , ]_{0 1} eşitlik (2.6) ile uyumludur. Eşitlik (2.1) Newton interpolasyon polinomunu aşağıdaki formda yazmamızı sağlar.

1

0 1

0 0 0

( ) ( ) [ , ,..., ] ( )

k

n n

k k k j

k k j

p x c q x f x x x x x

−

= = =

=

∑

=

∑ ∏

− (2.10)

2.1. Yüksek Mertebeli Bölünmüş Farklar

Daha yüksek mertebeli bölünmüş farkları hesaplamak için aşağıdaki teorem kullanılır.

Teorem 2.1. : Bölünmüş farklar şu eşitliği sağlar;

_{0 1} ^{1 2 0 1 1}

0

[ , ,..., ] [ , ,..., ]

[ , ,..., _n] ^{n n}

n

f x x x f x x x

f x x x

x x

− −

= − (2.11)

Đspat: Öncelikle x x₀, ,...,₁ x noktalarında f fonksiyonunu interpole eden k dereceli _k polinom P ile gösterilsin. _k P ve _n P_n−1’e ihtiyaç vardır. x x₁, ₂,...,x noktalarında f _n fonksiyonunu interpole eden n − dereceli polinom q ile gösterilsin. Aşağıdaki ifade 1 elde edilir,

₁

0

( ) ( ) ⁿ [ ( ) ( )]

n n

n

x x

p x q x q x p x

x x ⁻

= + − −

− (2.12)

Bu eşitlik öncelikli olarak şuna dikkat ederek ispatlanır; eşitliğin her iki tarafındada n dereceli bir polinom vardır. Böylece sağ ve soldaki bu polinomların değerlerininx x₀, ,...,₁ x noktalarında aynı olduğu görülür. Bu sebeple polinomlar _n benzer olmalıdır. Eşitlik (2.12) nin sol ve sağ yanındaki x katsayıları eşit olmalıdır, ⁿ böylece eşitlik (2.11)’e ulaşırız.

Önceki teorem bize şu özel formülleri verir;

1 0

0 1

1 0

1 2 0 1

0 1 2

2 0

[ ] [ ]

[ , ]

[ , ] [ , ]

[ , , ]

f x f x

f x x

x x

f x x f x x

f x x x

x x

= −

−

= −

−

Bu formüllerde x x x₀, ,_{1 2},... bağımsız değişkenler olarak düşünülebilir. Bu nedenle (2.13) eşitliği gibi eşitlikler elde edilir.

₁ [ ¹, ²,..., ] [ , ¹,..., ¹]

[ ,_{i i} ,..., _{i j}] ^{i i i j i i i j}

i j i

f x x x f x x x

f x x x

x x

+ + + + + −

+ +

+

= −

− (2.13)

Burada f x[ ], [ ,_i f x x_{i i+1}], [ ,f x x_{i i+1},x_i+2], [ ,f x x_{i i+1},x_i+2,x_i+3],v.b. 0,1,2,3 mertebelerinin farklarıdır.

Eğer ( , ( ))x f x_{i i} fonksiyon değerlerinin bir tablosu verilirse bu tablodan bölünmüş farkların bir tablosu oluşturulabilir. Bu alışılmış şekilde her biri tamamlanmış olan sütun içinde gösterilen 0,1,2,3 mertebelerinin farkları aşağıdaki biçimde ifade edilir.

0 0

1 1

2 2

3 3

[ ] [ ]

[ ] [ ]

x f x

x f x

x f x

x f x

0 1 0 1 2 0 1 2 3

1 2 1 2 3

2 3

[ , ] [ , , ] [ , , , ]

[ , ] [ , , ]

[ , ]

f x x f x x x f x x x x

f x x f x x x f x x

Dikey çizginin solundaki bilgiler verilir ve sağda formüller hesaplanır. Formül (2.11) bunu yapmak için kullanılır. Formül (2.11)’in tekrarlanan yapısı bölünmüş fark tablosunun üçgen biçimini meydana getirir. Örneğin verilen veri

3 4 2 3 4

[ , ], [ , , ],

f x x f x x x v.b. ni hesaplamamıza izin vermez.

Eşitlik (2.10) ve (2.11) karşılaştırılarak bölünmüş fark tablosu içindeki en üst sırada bulunan ve Newton interpolasyon polinomu için gereken katsayılar görülür.

Örnek 2.1.: Aşağıdaki fonksiyon değerleri için bölünmüş fark tablosunu oluşturalım;

Çözüm: Verilen tabloyu dikey olarak oluşturulur, formül (2.11)’i kullanılarak bölünmüş farklar hesaplanır ve aşağıdaki tablo elde edilir.

Tablo 2.1. Örnek2.1’in bölünmüş fark tablosu

Örnek 2.2.: Tablo 2.1. deki fonksiyon değerleri için Newton interpolasyon polinomunu oluşturalım;

3 7

( ) 1 2( 3) ( 3)( 1) ( 3)( 1)( 5)

8 40

P x = + x− − x− x− + x− x− x−

3 1 5 6

1 -3 2 4

2 -3/8 7/40 5/4 3/20

2 x

( ) f x

3 1 5 6

1 -3 2 4

2.2. Bölünmüş Farkların Özellikleri

Teorem 2.2.: Bölünmüş fark, argümanlarının simetrik bir fonksiyonudur. Eğer

0 1

( , ,...,z z z_n) ( , ,...,x x_{0 1} x_n)’nin bir permütasyonu ise bu durumda;

f z z[ , ,...,_{0 1} z_n]= f x x[ , ,...,_{0 1} x_n] (2.14)

eşitliği yazılabilir.

Đspat: Eşitlik (2.14)’ün sol tarafındaki bölünmüş fark, z z₀, ,...,₁ z noktalarında f ’i _n interpole eden n dereceli polinom içindeki x ’in katsayısıdır. Sağdaki bölünmüş ⁿ fark, x x₀, ,...,₁ x noktalarında f ’i interpole eden _n n dereceli polinom içindeki x ⁿ

‘in katsayısıdır. Bu iki polinom elbette aynıdır.

Teorem 2.3.: P n + elemanlı 1 x x₀, ,...,₁ x noktalar dizisinde, bir f fonksiyonunu _n interpole eden n dereceli bir polinom olsun. Eğer t , bu noktalardan farklı bir nokta ise bu durumda;

_{0 1}

0

( ) ( ) [ , ,..., , ] ( )

n

n j

j

f t p t f x x x t t x

=

− =

∏

− (2.15)

0 1

0

( ) ( ) [ , ,..., , ] ( )

n

n j

j

f t p t f x x x t t x

=

= +

∏

−

ifadesi elde edilmiş olur.

Teorem 2.4.: Eğer f fonksiyonu [ , ]a b üzerinde n kez sürekli olarak diferansiyellenebiliyor ise ve eğer x x₀, ,...,₁ x [ , ]_n a b içinde belirli noktalar ise bu durumda ( , )a b içinde bir ξ noktası aşağıdaki gibi ortaya çıkar;

_{0 1} 1 ^{( )}

[ , ,..., ] ( )

!

n

f x x xn f

n ξ

= (2.16)

Đspat: Đlk olarak P , x x₀, ,...,₁ x_n−1 noktalarında f fonksiyonunu interpole eden n − 1 dereceli polinom olsun. ( , )a b içinde bir ξ noktası aşağıdaki gibi ortaya çıkar,

1 ( )

0

( ) ( ) 1 ( ) ( )

!

n n

n n n j

j

f x p x f x x

n ξ ⁻

=

− =

∏

− (2.17)

Teorem 2.3. den yola çıkarak;

1

0 1

0

( ) ( ) [ , ,..., ] ( )

n

n n n n j

j

f x p x f x x x x x

−

=

− =

∏

− (2.18)

eşitlik (2.17) ve (2.18)’i karşılaştırarak eşitlik (2.16)’yı elde ederiz.

BÖLÜM 3. SPLĐNE ĐNTERPOLASYON

Bir Spline fonksiyon, alt aralıklar üzerinde belirli süreklilik koşullarıyla birlikte birleşen polinom parçaları içerir. t t₀, ,...,₁ t _n n + tane nokta 1 t₀ < < < sırasıyla t₁ ... t_n verilmiş olsun. Bu noktalar düğüm olarak adlandırılır. Ayrıca k ≥ tam sayısı 0 alınsın. t t₀, ,...,₁ t düğümlerini içeren k derecesindeki bir spline fonksiyon şu şekilde _n bir S fonksiyonudur;

(i) Herbir [t_i−1, )t_i aralığı üzerinde , S fonksiyonu k≤ derecesinden bir polinomdur.

(ii) S fonksiyonu [ , ]t t üzerinde (_{0 n} k −1)’inci dereceden sürekli türeve sahiptir.

S fonksiyonu en fazla k − derecesine kadar bütün mertebelerdeki sürekli türevlere 1 sahip k derecesinin sürekli parçalı bir polinomsalıdır.

0 (sıfır)’ıncı derecenin spline’ları parçalı sabitlerdir. 0 (sıfır) derecesinin bir spline’ ı aşağıdaki biçimde verilir;

0 0 0 1

1 1 1 2

1 1 1

( ) [ , )

( ) [ , )

( )

( ) [ , )

n n n n

S x c x t t

S x c x t t

S x

S ₋ x c ₋ x t ₋ t

= ∈

 = ∈

= 

 = ∈



M M

[t_i−1, )t_i aralıkları birbiriyle kesişmez, bu nedenle böyle bir fonksiyonun düğüm noktalarında hiçbir karışıklık ortaya çıkmaz. 0 (sıfır) derecesinin altı düğümlü tipik bir spline’ı aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Şekil 3.1. 0 (sıfır)’ıncı dereceden bir Spline

Şekil 3.2. 1’inci dereceden bir Spline

1’inci dereceden tipik bir spline fonksiyon aşağıdaki gibi parçalı polinom olarak tanımlanır.

0 0 0 0 1

1 1 1 1 2

1 1 1 1

( ) [ , )

( ) [ , )

( )

( ) [ , )

n n n n n

S x a x b x t t

S x a x b x t t

S x

S ₋ x a ₋x b₋ x t ₋ t

= + ∈

 = + ∈

= 

 = + ∈



M M

Eğer t düğüm noktaları ve _i a b katsayılarının tümü belliyse, S nin _i, _i x noktasındaki değeri, öncelikle x’i içeren [ ,t t_{i i+1}) alt aralığının tanımlanmasıyla elde edilir. Spline fonksiyonu tüm Reel Sayılar üzerinde tanımlanabilir. Bunun için (−∞, )t₁ aralığı üzerinde a x b₀ + ₀ ve (t_n−1, )∞ aralığı üzerinde a_n−1x b+ _n−1 ifadesini kullanılabilir. S fonksiyonu süreklidir, bu sebeple parçalı polinomlar düğümlerde eşittirler; yani

1 1 1

( ) ( )

i i i i

S t₊ =S₊ t₊

dir.

x

t0 t₁

t2 t₃

t4 t ₅

x

t0 t₁

t2 t₃

t4 t ₅

t 8

t7

t6

3.1. Kübik Spline

(k =3) kübik spline’ların yapısı ve teorisi tam olarak geliştirilecek, çünkü kübik spline’lar uygulamalarda fazlaca kullanılır. Kübik spline S , aşağıdaki değerler tablosunu interpole etmek için yapılandırılsın.

Herbir [ , ],[ , ],...,[t t_{0 1} t t_{1 2} t_n−1, ]t_n aralığında S , farklı bir kübik polinom tarafından ifade edilir.S ’yi _i [ ,t t_{i i+1}] üzerinde S ’yi temsil eden kübik polinom yapalım. Böylece

0 0 1

1 1 2

1 1

( ) [ , ) ( ) [ , ) ( )

( ) [ , )

n n n

S x x t t

S x x t t

S x

S ₋ x x t ₋ t

 ∈

 ∈

= 

 ∈



M M ^(3.1)

1

Si₋ veS_i polinomları t noktasında aynı değeri alırlar ve bu durumda; _i

1( ) ( ) (1 -1)

i i i i i

S₋ t = y =S t ≤ ≤i n

olur.

S kendiliğinden sürekli olur. Ayrıca S^' ve S fonksiyonları içinde aynı koşullar ^'' geçerlidir, bu koşullar kübik spline fonksiyonunun türetilmesinde kullanılacaktır.

S S, ^' ve S sürekliliği kübik bir spline’ı tanımlamak için yeterli koşulları ^'' sağlarmı? Parçalı kübik polinomların içinde 4n tane kat sayı vardır, çünkü n adet kübik polinomun her birinde 4 adet kat sayı vadır. Her bir [ ,t t_{i i+1}) alt aralığı üzerinde 2n tane koşulu veren 2 interpolasyon koşulu ( )S t_i = y_i ve S t(_i+1)= y_i+1

x t0 t ₁ K t_n

y 0

y y 1 y _n

vardır. S sürekliliği ile her bir iç düğümde ^' S_i^'₋₁( )t_i =S t_i^'( )_i ifadesiyle n − adet ek 1 koşul elde edilir. Buna benzer olarak S sürekliliğide ^'' n − adet ek koşul üretir. 1 Böylece 4n kat sayılarını saptamak için tam olarak 4n − koşul vardır. Đki koşula 2 daha ihtiyaç vardır.

Şimdi [ ,t t_{i i+1}] aralığı üzerinde S x parçası aşağıdaki şekilde türetilir. Đlk olarak _i( )

''( )

i i

z =S t sayıları tanımlanır. Açıkça z , 0_i ≤ ≤ için aşağıdaki ifadeyi sağlar. i n

'' ''

lim ( ) lim ( ) (1 1)

i i

x t S x zi x t S x i n

↓ = = ↑ ≤ ≤ −

Çünkü her bir iç düğümde S süreklidir. ^'' [ ,t t_{i i+1}] üzerinde S kübik bir polinom _i olduğu için, S t_i^''( )_i = ve z_i S t_i^''(_i+1)=z_i+1 ifadelerini sağlayan S lineer bir _i^'' fonksiyondur ve bu sebeple h_i ≡t_i+1− olmak üzere t_i z_i ve z_i+1 arasında düz bir doğru parçası elde edilir. Yani

'' 1

( ) ⁱ ( 1 ) ⁱ ( )

i i i

i i

z z

S x t x x t

h h

+

= + − + −

dir. Eğer bu ifade iki kez integre edilirse, sonuç C ve D integrasyonun sabitleri olmak üzereS ifadesi _i

( ) ( ₁ )^{3 1}( )³ ( ) ( ₁ )

6 6

i i

i i i i i

i i

z z

S x t x x t C x t D t x

h h

+

+ +

= − + − + − + − (3.2)

şeklini alır.

i( )i i

S t = ve y S t_i(_i+1)=y_i+1 interpolasyon koşulları C ve D yi saptamak için (3.2)’e uygulanırsa;

( ) ( ₁ )^{3 1}( )³ ( ^{1 1} )( ) ( )( ₁ )

6 6 6 6

i i i i i i i i

i i i i i

i i i i

z z y z h y z h

S x t x x t x t t x

h h h h

+ + +

+ +

= − + − + − − + − − (3.3)

eşitliği kolaylıkla elde edilir. Đnterpolasyon koşullarının sağlandığını görmek için x= ve ti x=t_i+1 noktalarını kullanalım. Eğer z z₀, ,...,₁ z ’in değerleri belirlenirse _n [ , ]t t aralığında her hangi bir 0 _n x için (3.1) ve (3.3) eşitlikleri ile ( )S x değeri hesaplanabilir.

1, 2,..., _n 1

z z z ₋ ’ yi saptamak için S ’nün süreklilik koşullarını yani ^' t iç düğümlerinde _i

' '

1( ) ( )

i i i i

S₋ t =S t ifadesini kullanırız. Eşitlik (3.3) türevlenerek bize S x i verir. Daha _i^'( ) sonra x= nin yerine koyulması ve sadeleştirilmesi t_i

^'( ) ₁ ¹

3 6

i i i i

i i i i

i i

h h y y

S t z z

h h

+

= − − + − + (3.4)

ifadesini verir. Buna paralel olarak S_i−1 için eşitlik (3.3)’ü kullandığımızda

^'₁ ¹ ₁ ^{1 1}

1 1

( ) 6 3

i i i i

i i i i

i i

h h y y

S t z z

h h

− − −

− −

− −

= + − + (3.5)

ifadesi elde edilir. Eşitlik (3.4) ve (3.5)’in sağ tarafları birbirine eşit olarak yazıldığında

_{1 1 1 1 1 1}

1

6 6

2( ) ( ) ( )

i i i i i i i i i i i

i i

h z h h z h z y y y y

h h

− − − + + −

−

+ + + = − − − (3.6)

eşitliği elde edilir. Bu eşitlik sadece i=1, 2,...,n− için kullanılır.1 n + 1 bilinmeyenleri z z₀, ,...,₁ z için _n n − lineer eşitliğinin bir sistemini verir. 1 z₀ ve z _n keyfi olarak seçebilir ve z z₁, ₂,...,z_n−1 bilinmeyenlerini elde etmek için (3.6) eşitliği ile kurulan denklem sistemi çözülür. Bir alternatif seçim z₀ =z_n = dır. Bulunan 0 spline fonksiyonu doğal kübik spline olarak isimlendirilir.

0 0

z = ve z = ile 1_n 0 ≤ ≤ − için eşitlik (3.6)’nın lineer sistemi i n 1 simetrik,tridiagonal,köşegen olarak baskın ve

1 1

1

1

2( )

6( )

i i i

i i i

i i i

i

i i i

h t t

u h h

b y y

h

v b b

+

−

+

−

= −

= +

= −

= −

kısaltmalarıyla

1 1 1 1

1 2 2 2 2

2 3 3 3 3

3 2 2 2

2 1 1

n n n n

n n n

u h z v

h u h z v

h u h z v

h u h z v

h u z

− − − −

− − −

   

   

   

   

   =

   

   

   

   

   

O O O M M

2

1 n

vn

−

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

biçimindedir.

Bu algoritmada u ile bölmeler olduğu için _i u ≠_i 0 olduğunun ispatlanması gerekir.

i i 0

u >h > olduğu tüme varım ile gösterilir. i = için 1 u₁ =2(h₀+h₁) olduğu açıktır.

Eğer u_i−1>h_i−1 ise bu durumda

2 1

1 1 1 1

1

2( ) ⁱ 2( ) 0

i i i i i i i i i

i

u h h h h h h h t t

u

− − − − +

−

= + − > + − > = − >

olduğu için u_i > dir. h_i

0, ,...,1 _n

z z z kat sayıları saptandıktan sonra harhangi bir kübik spline fonksiyon (3.1)‘in değeri eşitlik (3.3) den hesaplanabilir. Herhangi birx verildiğinde, öncelikle

x içeren aralıkların (−∞, ),[ , ),...,[t₁ t t_{1 2} t_n−2,t_n−1),[t_n−1, )∞ saptanması zorunludur.

Kabul sebebiyle sadece [ , ]t t üzerinde değil, _{0 1} (−∞, )t₀ üzerinde de S kurulur. ₀ Ayrıca [t_n−1, ]t_n üzerinde ve ( , )t ∞ üzerinde _n S_n−1 kullanılır.x’i içeren aralığı tespit etmek için x t− _n−1,x t− _n−2,...,x t− ifadesindeki terimlerden hangisinin negatif ₁

olmadığını bulmak gerekir. Bu da test etme vasıtasıyla saptanır. Eğer bunlardan biri negatif değilse böyle durumlarda birinci alınır x t− denir. Böylece _i x t− ≥ fakat _i 0

1 0

x t− i₊ < di.r, bu nedenle t_i ≤ <x t_i+1 dir. Eğer tüm test edilmiş terimler negatif ise bu durumda x∈ −∞( , ]t₁ olur. Böylece belirlenen i ile S polinomunun eşitlik (3.3)’ü _i kullanarak verilen x değerinde değeri hesaplanabilir. Bununla birlikte (3.3) eşitliği

1

1 1

1 ( )

6

2

1 ( )

6 3

i i i

i

i i

i i

i i i i i

i

A z z

h B z

h h

C z z y y

h

+

+ +

= −

=

= − − + −

ifadelerini kullanılarak aşağıdaki gibi daha etkili bir biçimde tekrar yazılabilir.

S x_i( )= y_i+(x t− _i)[C_i +(x t− _i)[B_i+(x t A− _i) ]]_i (3.7)

Şimdi doğal kübik spline’ın olası en düzgün interpolasyon fonksiyonunu ürettiğine dair bir teoremi inceleyelim.

Teorem 3.1.: f in [ , ]^'' a b (a= < < < = ) içinde sürekli olsun. Eğer S t₀ t₁ ... t_n b 0≤ ≤ için i n t düğümlerinde f i interpole eden doğal kübik bir spline ise bu _i durumda;

2 2

'' ''

[ ( )] [ ( )]

b b

a S x dx≤ a f x dx

∫ ∫

ifadesi sağlanır.

Đspat: g≡ − olsun. Böylece 0 i nf S ≤ ≤ ve

'' 2 '' 2 '' 2 '' ''

( ) ( ) ( ) 2

b b b b

a f dx= a S dx+ a g dx+ a S g dx

∫ ∫ ∫ ∫

için g t = dır. Eğer ( )_i 0 ^{b '' ''} 0

a S g dx ≥

∫

olduğunu gösterebilirsek ispat tamamlanmış olacaktır. S^''', [t_i−1, ]t_i üzerinde sabittir gerçeği, S t^''( )₀ =S t^''( )_n = koşulu ve kısmi 0 integrasyon kullanılarak

{ }

1

1

1 1

'' '' '' ''

1

'' ' '' ' ''' '

1 1

''' ' '

1 1

1 1

0

( )( ) ( )( )

[ ( ) ( )] 0

i i

i i

i i

i i

b n t

a t

i

n t

i i t

i

n t n t

t i t

i i

n

i i i

i

S g dx S g dx

S g t S g t S g dx

S g dx c g dx

c g t g t

−

−

− −

=

−

=

= =

−

=

=

= − −

= − = −

= − − =

∫ ∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫ ∑ ∫

∑

elde edilir. y= f x( ) eşitliği tarafından tanımlanan bir eğrinin eğriliğinin

{ }

^{2 32}

'' '

( ) 1 ( )

f x f x

 + −

 

  miktarında olduğu bilinir. Eğer lineer olmayan terim çıkarılırsa, eğrilik derecesine bir tahmin olarak f^''( )x ifadesi alınabilir. Doğal kübik spline interpolasyonu

'' 2

[ ( )]

b

a f x dx

∫

miktarı için bir aralık üzerindeki en iyi yaklaşık eğriliği oluşturan fonksiyon olur.

Örnek3.1.: A(0,0),B(1,4),C(2,3),D(3,1) noktalarından geçen kübik spline fonksiyonlarını bulalım?

Đfadesinde t₀ =0,t₁=1,t₂ =2,t₃=3 ve y₀ =0, y₁ =4, y₂ =3, y₃ = dir. 1 i =0,1, 2, 3 için h değerleri ise 1 dir.i S x kübik spline fonksiyonlarını aşağıdaki ifade yardımıyla _i( ) hesaplarız.

0 0 1

1 1 2

2 2 3

( ) [ , )

( ) ( ) [ , )

( ) [ , )

S x x t t

S x S x x t t

S x x t t

 ∈

= ∈

 ∈



3 1 3 1 1

1 1

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

6 6 6 6

i i i i i i i i

i i i i i

i i i i

z z y z h y z h

S x t x x t x t t x

h h h h

+ + +

+ +

= − + − + − − + − −

Bu ifadedeki z z z z bilinmeyenlerini hesaplamak için ₀, ,_{1 2}, ₃

1 1 1 1 1 1

1

6 6

2( ) ( ) ( )

i i i i i i i i i i i

i i

h z h h z h z y y y y

h h

− − − + + −

−

+ + + = − − −

eşitliğinden yararlanacağız. Burada i =1, 2 için iki denklem elde edilir. z₀ =z₃ = 0 kabul edilirse z z bilinmeyenleri denklem sisteminden bulunabilir.₁, ₂ i = ,2 için 1

0 0 1 0 1 1 2 2 1 1 0

1 0

6 6

2( ) ( ) ( )

h z h h z h z y y y y

h h

+ + + = − − − ifadesi düzenlenirse

4z₁+z₂ = − 30 z₁+4z₂ = − 6

denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sistemi çözülürse z₁= −7.6,z₂ =0.4 olarak bulunur.i =0,1, 2, 3 için z z z z değerleri ₀, ,_{1 2}, ₃

3 1 3 1 1

1 1

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

6 6 6 6

i i i i i i i i

i i i i i

i i i i

z z y z h y z h

S x t x x t x t t x

h h h h

+ + +

+ +

= − + − + − − + − −

ifadesinde yerlerine yazılırsa,

3 0

3 3

1

3 2

7.6 7.6

( ) (4 ) [0,1)

6 6

7.6 0.4 17.6 31.6

( ) ( ) (2 ) ( 1) ( )( 1) ( )(2 ) [1, 2)

6 6 6 6

0.4 0.4

( ) (3 ) ( 2) (3 )(3 )

6 6

S x x x x

S x S x x x x x x

S x x x x

= − + + ∈

= = − − + − + − + − ∈

= − + − + − − x [2,3)







 ∈



bulunur.

Şekil 3.3. S x( ) interpolasyon fonksiyonunun görünümü

3.1.1. Tension (gerilme) spline’ları

Bazı veri uyum problemleri içerisinde gerilme olarak adlandırılan, mevcut bir τ parametresine sahip olmak yararlıdır.τ büyük bir değerde verildiğinde, veri noktalarından geçen eğim yüksek gerilmeye sahip olacaktır. τ , veri noktaları arasındaki eğimi geren bir kuvvet olarak yorumlanabilir (şekil 3.2.). τ düşük bir değerde verildiğinde eğim yaklaşık olarak interpole kübik spline’ın şekli gibi olacaktır.τ → +∞ olduğunda eğim parçalı lineer fonksiyona yani 1. dereceden spline’a yaklaşır.

Az önce tanımlandığı gibi böyle bir eğimin matematiksel bir modeli aşağıdadır. Daha önce olduğu gibi her bir t de verilen _i y verisi ve _i t₀ < < < düğümleri t₁ ... t_n mevcuttur. Araştırılan gerilme spline’ları şu özelliklere sahip bir f fonksiyonudur;

(i) f ∈C t t²[ , ]_{0 n} ,

(ii) ( )f t_i =y_i (0≤ ≤i n),

1 2 3 4

3

2

1 4

0( ) S x

1( ) S x

2( ) S x

(iii) Her bir açık aralık (t_i−1, )t_i üzerinde f fonksiyonu f⁽⁴⁾−τ²f^'' = diferansiyel 0 denklemini sağlar.

Bu nedenle f iki sürekli türeve sahiptir, eldeki veriyi interpole eder ve her bir alt aralık içinde ayrıştırılmış belli bir eşitliği sağlar. f⁽⁴⁾= kübik polinomlar 0 eşitliğinin çözümü için τ = olduğunda bu tanımın kübik bir spline’ı ürettiği açıktır. 0

f ’i saptamak için kübik spline’larda olduğu gibi ilerlenir. Bu nedenle z_i ≡ f t^''( )_i oluşturulur ve [ ,t t_{i i+1}] aralığında bulunması gereken f koşulları yazılır.

(4) 2 ''

1 1

'' ''

1 1

0

( ) ( )

( ) ( )

i i i i

i i i i

f f

f t y f t y

f t z f t z

τ

+ +

+ +

− =

= =

= =

Şekil 3.2a. Yüksek gerilimli spline (τ =10)

Şekil 3.2b. Düşük gerilimli spline (τ =0.1)

0 5 10 15 20 25

0 5 10 15 20 25

Bu iki noktalı sınır değer probleminin çözümünün

{

1 1

}

²

2 2

1 1 1

( ) sinh[ ( )] sinh[ ( )] sinh( )

( )( ) ( )( )

i i i i i

i i i i i i i i

f x z t x z x t h

y z t x h y z x t h

τ τ τ τ

τ τ

+ +

+ + +

 

= − + −  

+ − − + − − (3.8)

olduğu görülür.

z katsayıları saptandıktan sonra bu eşitlik i

[

t t_i, _i+1

]

aralığı üzerinde f ’in değerini hesaplamak için kullanılacaktır. Hepsi kübik spline’ların durumuna tam olarak benzerdir.

f fonksiyonu C sınıfından olduğundan, ²

' '

lim ( ) lim ( ) (1 1)

i i

x x f x x x f x i n

↓ = ↑ ≤ ≤ −

koşulları iç düğümlerde kullanılmalıdır. Kübik spline’ların durumunda olduğu gibi

0, ,...,1 _n

z z z bilinmeyenleri için sonuç üçköşegenli sistemdir, şu şekilde yazılabilir;

α_i−1z_i−1+(β_i−1+β_i)z_i+α_{i i}z₊₁=γ_i−γ_i−1 (1≤ ≤ − (3.9) i n 1)

Burada,

2 1

1 sinh( )

cosh( ) sinh( ) 1

( )

i i i

i i i i

i i i i

h h

h h h

y y h

α τ τ

β τ τ τ

γ τ ₊

= −

= −

= −

kısaltmaları yapılmıştır.

z vektörünü saptamak için iki ek koşulun gerekli olduğu gözlenir. Kübik spline larda olduğu gibi z₀ =z_n = alınabilir. 0

( ,t y_{i i}) verisine uygun olan tension spline f ’i elde etmek için izlenecek adımlar şöyledir.

(i) t₀ < < < olduğunun test edilmesi. t₁ ... t_n

(ii) 0≤ ≤ − için , , ,i n 1 h_i α β γ_{i i i} nin hesaplanması.

(iii) z₁=z_n = ın oluşturulması. 0

(iv) 2≤ ≤ − ve i n 1 z_i için üçköşegenli sistem (3.9)’un çözülmesi.

(v) [ ,t t_{i i+1}] aralığı üzerinde f değerinin hesaplanması için (3.8) formülünün kullanılması.

Burada oluşturulan basit yaklaşım ilginç deneyler için kullanılır. Örneğin şekil 3.2a ve şekil 3.2b. içinde gösterilen iki eğimi meydana getirir. Đlk olarak τ =20 ve ikinci olarak τ =0.25 tir. Veri aynıydı ve 1≤ ≤i 10 için t_i = tam sayı noktalarında i tanımlanmış fonksiyon değerlerini içermekteydi.

Tension spline’lar Schweikert (1966) tarafından tanıtıldı. Daha sonraki ilgili çalışmalar Cline (1974 b) ve Pruess’e (1976,1978) aittir. Tension spline’ların yardımıyla eğimlerin hesaplanmasında kullanılan yazılım ve yüzeyler Cline tarafından geliştirilmiştir. Tension spline’lara alternatif olarak de Boor (1984) tarafından taut spline’lar gösterilmiştir. Bu fonksiyonlar ek düğümlü, sıradan kübik spline’lardır ve bu spline’lar eğimin ani yön değişimi istendiğinde kullanılır. Taut spline’ların avantajı yeni bilgisayar programlarına gerek duymamalarıdır, büyük fonksiyonların kullanımında gerekli olan hesaplama yükünden kurtulunabilir.

3.1.2. Yüsek dereceli doğal spline’lar teorisi

Bu bölümde son olarak yüsek dereceli doğal spline’lar teorisinin bir kısmı verilecek.

Doğal spline’lar yalnızca tek derecelerde ortaya çıkar ve derece burada 2m+ 1 olacaktır. m= olduğunda daha önce geliştirildiği gibi doğal kübik spline’lar elde 1 edilir. Genel bir teori için biraz farklı tarzda ilerlemek uygundur. Daha önceki gibi

0 1 ... _n

t < < < düğüm dizisi verilir. t t