• Sonuç bulunamadı

POISSON ÇEK· IRDE ¼ G· I

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "POISSON ÇEK· IRDE ¼ G· I"

Copied!
3
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

1

POISSON ÇEK· IRDE ¼ G· I

f 2 C[ ; ] (L 1 2 ) fonksiyonunun Fourier serisi, a n = 1 Z

f ( ) cos n d (n 2 N [ f0g) ve

b n = 1 Z

f ( ) sin n d (n 2 N) olmak üzere;

1 2 a 0 +

X 1 n=1

(a n cos n + b n sin n )

idi. Riemann-Lebesgue teoreminden lim n!1 a n = lim n!1 b n = 0 oldu¼ gundan, Fourier katsay¬lar¬ düzgün s¬n¬rl¬d¬r. Yak¬nsakl¬¼ g¬n garantilenmesi için, seri, r n (0 r < 1) ile çarp¬l¬rsa

P (r; ) = 1 2 a 0 +

X 1 n=1

r n (a n cos n + b n sin n ) (1) bulunur. Weierstrass-M testinden, buradaki seri, her bir r 1 < 1 için [ ; ] üzerinde P (r 1 ; ) ya düzgün yak¬nsakt¬r. O halde, her için

P (r 1 ; )

"

a 0 2 +

X m n=1

r n (a n cos n + b n sin n )

#

< "

olacak ¸ sekilde bir m do¼ gal say¬s¬ vard¬r. a n ; b n Fourier katsay¬lar¬ (1) for- mülünde kullan¬larak, P (r; ) a¸ sa¼ g¬daki ¸ sekilde yaz¬l¬r:

P r (f ) ( ) : = P (r; ) = 1 2

Z f (t)

"

1 + 2 X 1 n=1

r n cos n ( t)

# dt

= 1

2 Z

f (t) P r ( t) dt:

Buradaki P r (t) = 1 + 2 P 1

n=1

r n cos nt çekirde¼ ginin uygun gösterimi bulmak için; q r (t) = 2 P 1

n=1

r n sin nt al¬n¬p, gerekli i¸ slemler yap¬larak

P r (t) + iq r (t) = 1 + 2 X 1 n=1

re it n

= 1 r 2 + 2ir sin t

1 2r cos t + r 2

(2)

2

bulunur. Bu ifadenin reel k¬sm¬al¬narak 1 + 2

X 1 n=1

r n cos nt = 1 r 2 1 2r cos t + r 2 bulunur. Böylece,

P r (t) = 1 r 2

1 2r cos t + r 2 (t 2 R; 0 r < 1) fonksiyonlar¬n¬n ailesine Poisson (Abel-Poisson) çekirde¼ gi ve

P r (f ) ( ) := P (r; ) = 1 2

Z

f (t) (1 r 2 )

1 2r cos ( t) + r 2 dt ( 2 R) : operatörlerinin ailesine de Poisson (Abel-Poisson) konvolusyon operatörleri denir.

13:1: SONUÇ. P r Poisson çekirde¼gi bir deltasal çekirdektir:

1. P r (t) 0; P r ( t) = P r (t) ;

2. 2 1 Z

P r (t) dt = 1;

3. > 0 olmak üzere, lim

r!1 max

jtj jP r (t) j = 0 ve lim

r!1 jP r (0) j = 1 sa¼ glan¬r.

Ispat: 1: _ özellik aç¬kt¬r. 2: için, (1) formülünden, a n ve b n ler f nin Fourier katsay¬lar¬ oldu¼ gundan, f 1 al¬n¬rsa n = 1; 2; için a n = b n = 0 ve a 0 = 2 olur. Böylece, periyodiklikten

P r (1) ( ) = 1 2

Z (1 r 2 )

1 2r cos (x ) + r 2 dx

= 1

2

Z (1 r 2 )

1 2r cos x + r 2 dx

= 1

(3)

3 elde edilir. 3: için, P r (0) = 1+r 1 r ve oldu¼ gundan; lim r!1 jP r (0) j = 1 aç¬kt¬r.

P r çekirde¼ gnin 1: deki özellikleri göz önünde tutulursa, P r (t) = (1 r 2 )

1 2r cos t + r 2

= (1 r 2 )

1 2r 1 2 sin 2 t 2 + r 2

= (1 r 2 )

(1 r) 2 + 4r sin 2 t 2

< (1 r 2 ) 4r sin 2 t 2 olaca¼ g¬ndan

0 max

jtj jP r (t) j = max

t P r (t) max

t

(1 r 2 )

4r sin 2 t 2 = (1 r 2 ) 2 4r 2

e¸ sitsizli¼ gine ula¸ s¬l¬r, buradan da lim r!1 max jtj jP r (t) j = 0 elde edilir.

Referanslar

Benzer Belgeler

İnsan Hakları Hukuku Bakımından Özel Hayatın ve Kişisel Verilerin Korunması Kişisel veriler, Avrupa Birliği’ne bağlı ülkeler ile Kıta Avrupa’sı hukukunu

bir kapah mihrap içinde yeşil renkli stilize hayat ağacı vardır.. Aralarda stilize kuş moti f leri

Koltuğun sportif tasarımı yeni rekorların peşinde koşmakla kalmayıp aynı zamanda bir yarış koltuğu için harika bir ikame görevi görür ve her oyun odasına şık ve modern

İnce paket lastikleri daha hızlı titreşir ve daha ince (tiz) ses çıkarır!. Kalın lastikler ise daha yavaş titreşir ve daha kalın (pes)

ölçülerinde, doğu-batı doğrultusunda enine dikdörtgen planlı, aynı yönde beşik tonoz örtülüdür.. Batı ve doğu duvarında birer mazgal pencereye

Senem el ýuwulýany (nämäni?) alyp, eýwanyň öňüni syryp gidýän kiçijik salmajykdan akyp ýatan suwuň üstüne egildi („O. 3.Işlikler semantik taýdan zadyň hereketini höküm

[r]

Sonuç olarak yaptığımız çalışma diğer bölgesel çalışmalarda belirtildiği gibi, akut iskemik serebrovasküler hastalıklardaki yüksek serum