M Px EI Px EI Px c EIy Px c x c

Shigley’s Mechanical Engineering Design kitabı temel alınarak hazırlanmış eğitim amaçlı ders notlarıdır. Yayın niteliği yoktur. 1 ESNEME VE ESNEMEZLİK (SEHİM VE DİRENGENLİK)

ÖRNEK: 1

Şekilde verilen ankastre kiriş için;

(a) Elastik eğri denklemini,

(b) A noktasındaki eğimi ve yer değiştirmeyi bulunuz.

ÇÖZÜM:

(a)

2

2 3

1 1 2

2

1 1

2 6

d y dy

M Px EI Px EI Px c EIy Px c x c

dx dx

             

Sınır koşulları uygulanır ise;

B noktasında (x0); dy 0 ₁ 0 dx c

     y 0 c₂0

Sonuç olarak yer değiştirme ve eğim denklemleri; ³, ²

6 2

P dy P

y x x

EI  dx EI

    

(b) A noktasında x=l olduğuna göre;

3

6 y Pl

  EI

2

2

dy Pl

dx    EI

Shigley’s Mechanical Engineering Design kitabı temel alınarak hazırlanmış eğitim amaçlı ders notlarıdır. Yayın niteliği yoktur. 2 Şekildeki kirişe etkiyen reaksiyon kuvvetlerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

Denge şartları;

0

2 0

2 0

0 0

0 0

0 1 0

2

0 1 0

2

x x

y y

A A

c A y

F A

F A B w l

M M Bl w t

M M w x M A x

  

    

    

     









Eğim ve yer değiştirme;

2

2 2 0

3 2

0 1

4 3 2

0 1 2

1 2

1 1

6 2

1 1 1

24 6 2

y A

y A

y A

EI d y w x A x M dx

EI dy w x A x M x c dx

EIy w x A x M x c x c

   

    

     

Sınır koşulları, Fakat, Denklemi düzenlersek;

1 2

0

0 0

0 x

y c c



    

 

0 ¹ ₀ ^{4 1 3 1 2}

0 24 6 ^y 2 ^A

x l

w l A l M l y

     

  1 ₀ ²

3 0

A y 4

M A l w l 

Bu denklemi artık 3 denge denklemine ek olarak kullanabilir ve reaksiyon kuvvet ve momentlerini bulabiliriz. Bu reaksiyon kuvvet ve momentleri;

0 0 0

5 1 3

0, , ,

8 8 8

x y A y

A  A  w l M  w l B  w l

Shigley’s Mechanical Engineering Design kitabı temel alınarak hazırlanmış eğitim amaçlı ders notlarıdır. Yayın niteliği yoktur. 3 ÖRNEK: 3

Tekillik fonksiyonlarını kullanarak kiriş üzerinde meydana gelen eğilme momentini bulunuz.

ÇÖZÜM

4

1 1 0 0 2 1

4 ( ) _{y o o o y}

EId y q x A x P x a w x a w x b M x c B x l

dx

   

                       

3

0 0 1 1 1 0

3 ( ) _{y o o o y}

EI d y V x A x P x a w x a w x b M x c B x l

dx

                       

2

1 1 2 2 0 1

2

1 1

( ) ^y 2 ^o 2 ^{o o y}

EI d y M x A x P x a w x a w x b M x c B x l

dx                         Bu denklemde < x > li terimleri x olarak < x – l > terimlerini 0 olarak ele alırsak;

1 2 2 0

( ) 1 1

0.6 0.6 1.8 2.6

2 2

y o o o

M x A x P x w x w x M x

EI                  Denge denklemlerini kullanarak Ay tepki kuvveti bulunabilir.

0 (3.6 ) 1.2 (3 ) (1.8 )(2.4 ) 1.44 0 2.6

B y y

M   A m  kN m  kN m  kNm  A  kN



Gerekli değerler denklem içerisinde gösterilirse,

1 2 2 0

( ) 2.6 1.2 0.6 0.75 0.6 0.75 1.8 1.44 2.6

M x  X  X    x    x    x  elde edilir.

Shigley’s Mechanical Engineering Design kitabı temel alınarak hazırlanmış eğitim amaçlı ders notlarıdır. Yayın niteliği yoktur. 4 Castigliano teoremini kullanarak şekilde gösterilen

sistemde C, B noktalarındaki yer değiştirmeyi ve

mesnetlenmiş AB kolundaki dönme açısını hesaplayınız.

ÇÖZÜM:

BC kolonunun zorlanma enerjisi

2

0 2 2 r

BC BC

U M dz





F kuvvetinin B noktasına etkisi burulma ve eğilme şeklinde olacaktır.

T=Fr, MAB=Fx, bu durumda AB kolonunun toplam enerjisi;







l AB

AB dx

EI M GJ

l U T

0 1

2 2

2

2 , bütün sistemin (krank) enerjisi;

2 2 2

2 1

0 2 2 0 2

r l

BC AB

M T l M

U dz dx

EI GJ EI







F’e göre türev alırsak; ^{y }_^U_F ^ _EI





1 0 2 0

1 1

MBC=Fz, T=Fr ve MAB=Fx olduğunu biliyoruz. O halde;

F z M_BC

 

 , r

F T 



 , x

F M_AB

 

 olduğundan;

2 3 2 3

2 2

2 0 1 0 2 1

1 1

3 3

r l

Fr l Fr Fr l Fl

y Fz dz Fx dx

EI GJ EI EI GJ EI







B noktasında yer değiştirmeyi bulmak için sanal bir Q kuvveti olduğu Kabul edilir. Bu durumda moment; M_AB 





2 0 1 0

1 ^r _BC 1 ^l _AB

B BC AB

M M

U T l T

y M dz M dx

Q EI Q GJ Q EI Q

 

 

   







 

 

 

BC AB

M T M

Fz Fr F Q x

Q Q Q Q Q Q

          

O halde,

Shigley’s Mechanical Engineering Design kitabı temel alınarak hazırlanmış eğitim amaçlı ders notlarıdır. Yayın niteliği yoktur. 5

 





l

B F Q x dx

y E

0

2 1

1 , Q=0 olduğundan,

1 3

3EI

y_B  Fl bulunur.

AB kolundaki açısal dönmeyi hesaplamak için B noktasına sanal QT burulma momenti uygulanır.

Bu durumda toplam enerji (AB kolundaki) ;

 

0 1

2 2

l AB AB

T QT l M

U dx

GJ EI

  



Frl Q

U

T

B 



 



Shigley’s Mechanical Engineering Design kitabı temel alınarak hazırlanmış eğitim amaçlı ders notlarıdır. Yayın niteliği yoktur. 6 Şekilde gösterilen ABCD kirişi B ve D

noktalarından aynı çapta çelik kablolar ile desteklenmiştir. 40 kN luk kuvvet ise C noktasından etkimektedir. D noktasında izin verilen toplam düşey yer değiştirme 1 mm olduğuna göre, Castigliano Teoremini, kullanarak kabloların çapını bulunuz.

Not: Kablolar için E=207 GPa ve ABCD kirişi rijit kabul edilecektir.

ÇÖZÜM

2 2

0 40

0 3 80

2 2

40 3

0 2

0 40

2

y A B D

A B D

B BE D DF

A

D B

A

B D

F F F F kN

M F F kN

F L F L

U AE AE

kN F

M F

F kN

M F

    

   

 

   

   









3 3 3 3

2 3

(20 1.5 )( 1.5)(2) (0.5 20)(0.5)(2)

0 0

8 , 8 , 24

24 10 ( ) 2 10 ( ) 4 24 10 ( ) 2 10 ( 1

209 10 ( ) 4

B D

B BE D DF

A A A A

A A

A B D

DF D DF

D

D

F F

F L F L

F F F F

U U

F F AE AE AE AE

F kN F kN F kN

U F L N mm N

mm d

F AE d MPa

 

   

      

            

 

   

       

     

   ³

) 12.1 209 10 ( )

mm mm

   MPa ^

Shigley’s Mechanical Engineering Design kitabı temel alınarak hazırlanmış eğitim amaçlı ders notlarıdır. Yayın niteliği yoktur. 7 ÖRNEK: 6

Dikdörtgen kesitli l uzunluğundaki Aliminyum kolon B yüzeyinden mesnetlenmiş ve A

noktasından P kuvveti uygulanmaktadır. A yüzeyinde sabitlenmiş ve yuvarlatılmış iki parça kolonun y yönündeki hareketini kısıtlamaktadır.

Ancak z yönünde kısıtlayıcı bir mesnet bulunmamaktadır.

(a) Çökmeye karşı en iyi tasarım için a/b oranı ne olmalıdır?

(b) l =500 mm, E = 20 kN ve emniyet faktörü, n= 2.5 için en iyi kesit ölçülerini belirleyiniz.

ÇÖZÜM :

(a) x-y düzleminde çökme;

2

1 1

0.7 2

e

e

l l l

   l  o halde,

3 2

2

12 12 12

z

z z

I ba a a

r r

A ab

     Sonuç olarak, 0.7

12

e

z

l l

r a

x-z düzleminde çökme ;

2 12

e y

l  l r b Sonuç olarak, 2 12

e

y

l l

r b

Bu problemde en etkili tasarım, olası iki çökme düzlemi için kritik gerilmelerin eşit olmasıdır.

 

2

kirit 2 e

E l r

    her iki düzlem için eşittir.

Sonuç olarak,

0, 7 2

12 12

l l

a b olmalıdır. ^0.7 0.35

2 a

 b 

(b) Emniyet faktörü (n) 2.5 olarak verildiğine göre,

2.5 20 50

Pcr nP  kN kN

Daha önce a/b = 0.35 olarak bulmuştuk. O haldeAab0.35b²

3 2

50 10 0.35

kirit kirit

P

A b

   ^

l=0.5 m 3.464

e

y

l

r  b olduğu biliniyor,

 

2

kirit 2 e

E l r

  

 

 

2 9

3

2 2

70 10 50 10

0.35 3.464

N Pa

b b

 

  

b için çözülürse, b39.7mmve bu durumda a0.35b13.9mm

Shigley’s Mechanical Engineering Design kitabı temel alınarak hazırlanmış eğitim amaçlı ders notlarıdır. Yayın niteliği yoktur. 8 yüksek P kuvvetinin değerini bulunuz. Kirişler

AISI 1010 HR (Sıcak Çekilmiş) çeliğinden yapılmıştır. Bu çeliğin Elastik Modülü E=210 GPa ve akma mukavemeti Sy=180 MPa dır.

Sistemin A noktasında izin verilen maksimum düşey yer değiştirme (_allow) 5 mm dir.

ÇÖZÜM

sin 30 0 2

AB AB

P F  F  P (çekme)

cos 30 0 3

AC AB AC

F F  F  P (basma)

Burkulma için kritik yük;

x-y düzlemi

3 3

6 4

0.1 0.05

1.042 10

12 12

zz

I bh     ^ m Döner-Döner mafsal için önerilen C=1

2 2

2 9 6

2

1 210 10 1.042 10 8 33.7

3 19.5

3

kirit

kirit

kirit AC kirit

C EI

P l

P x kN

F P P P P kN



 ^



   

 

    

x-z düzlemi

3 3

6 4

0.05 0.1

4.167 10

12 12

yy

I bh    x ^ m Ankastre-Ankastre mesnet için önerilen C=1.2

2 2

2 9 6

2

1.2 210 10 4.167 10 8 162

kirit

kirit

C EI

P l

P kN



 ^



    

 

İlk önce burkulma x-y düzleminde gerçekleşir.

Shigley’s Mechanical Engineering Design kitabı temel alınarak hazırlanmış eğitim amaçlı ders notlarıdır. Yayın niteliği yoktur. 16 Normal Yükler için:

6

6

2 180 10 0.05 0.01

0.05 0.1 2 450

3 180 10 0.05 0.01

0.05 0.1 3 520

AB

AB y

AB

AC

AB y

AB

F P

S P kN

A

F P

S P kN

A





  

     



  

     



Yer değiştirme kısıtı:

2 2

2 2

AC AC

AB AB F L

U F L

AE AE

  ise A noktasındaki sehim; _A ^U F_AB ^{FAB LAB} F_AC ^{FAC LAC}

P P AE P AE

 ^  ^^ ^  ^^ ^

6 2

2

AB

AB

AB

L m

F P

F P





  

  

 

8 3

3

AC

AC

AB

L m

F P

F P





  

  

 

3

3 8

8

5 10 4.571 10 5 10 109

4.57 10

A x x P P kN

 ^{   } _

     



Sonuç olarak, yüklerden en küçük olanı alınmalıdır. O halde izin verilen yük P=19.5 kN

Shigley’s Mechanical Engineering Design kitabı temel alınarak hazırlanmış eğitim amaçlı ders notlarıdır. Yayın niteliği yoktur. 17 a) Emniyet Faktörü n=2 için Pkirit=?, σkirit=?

b) Aynı yük e=18 mm uygulandığında kolon tepesindeki yer değiştirmeyi ve maksimum normal gerilmeyi bulunuz.

ÇÖZÜM

(a) l_e  2 2.44.8 m ve

2 6 4

2 2

200 3.42 10 4.8 293

kirit e

EI GPa m

P kN

l m

     ^

  

Ancak emniyet faktörü n=2 olduğundan, Puygulanabilir)

6 2

146.5

146.5 63.1

2 2320 10

uygulanabilir kirit

uygulanabilir

P P kN

P kN MPa

A m

 _

     



(b) ^{sec 1 (18 ) sec 1 (18 ) 2.252 1}

 

2 2 2

maks

kirit

y e P mm mm mm

P

 

       

           Maksimum gerilme,

 

maks 2 6 2 2

maks

146.5 (18 )(50.8 )

1 sec 1 sec

2 2320 10 (38.4 ) 2 2

63.15 1 0.62(2.252) 151.3

kirit

P ec P kN mm mm

A r P x m mm

MPa MPa

 







    

       

  

Shigley’s Mechanical Engineering Design kitabı temel alınarak hazırlanmış eğitim amaçlı ders notlarıdır. Yayın niteliği yoktur. 18 ÖRNEK: 9

Şekilde hidrolik bir vinç gösterilmektedir. Bu vinç için hidrolik kol tasarımı istenmektedir.

Pistona uygulanan maksimum basınç 25 MPa ve piston çapı 75 mm dir. Piston kolu

malzemesinin akma mukavemeti Sy=490 MPa dır. Emniyet faktörü n=4 için kolun çapını hesaplayınız. (E=207 GPa)

ÇÖZÜM:

2 2

75 25 110.446

4 4

F _{  }A p D p_ _{ } kN 4 110.446 441.8

kirit

P    n F kN kN

Piston kolu Ankestre mesnet-Döner mafsal olarak düşünülebilir. (C=2)

1

2 2 2 4

4

2 2 2

2 441.8 1270 64

174389 43.4

2 2 207

cr kirit

P l

EI I

P I mm d mm

l E



  

   

         

Ancak bu kolonun Euler kolonu olup olmadığı kontrol edilmelidir.

2 2 3

1

4 1

2

2 4 207 10

490 1.29

4 4 1270 43.4 1.17 64

4

y

l EC

r S

l l

l l l l

r r

r I d d

A

d

 





   

     

   

  

      

          

       

    

  



Johnson Kolonu

2 2

3

1 490 1

0.0147

2 2 2 207 10

Sy

b  CE 

       

            

3

2 2

2 4 4 441.8 10

16 16 0.0147 1270

43.84 490

cr kirit

y

y

P bl

P l

S b d mm

A r S

 

 

   

         

Sonuç olarak hidrolik kol çapı en az 43.84 mm olmalıdır.

Shigley’s Mechanical Engineering Design kitabı temel alınarak hazırlanmış eğitim amaçlı ders notlarıdır. Yayın niteliği yoktur. 19 tasarım emniyeti ile taşıyacak bir araç kaldıracının

şematik gösterimi verilmektedir. Her iki uçta ters açılmış vida dişleri, uzuvların vida ile arasında yaptığı θ açısını 15 ile 70° arasında değişmesini sağlayacak şekilde açılmıştır. Uzuvlar 380 MPa minimum akma mukavemetine ve 207 GPa’lık elastiklik modülüne sahip AISI 1020 sıcak çekilmiş çelikten yapılmıştır.

Dört uzuvdan her biri, merkez yataklarının her bir yüzeyinde olmak üzere, iki çubuktan oluşmaktadır.

Çubuklar 300 mm uzunluğunda ve 25 mm genişliğindedir. Mafsallanmış uçlar düzlem dışı burkulmaya karşı mesnet sabiti C=1.4 olacak şekilde tasarlanmıştır. Çubuklar için uygun kalınlığı ve bu kalınlığa karşılık emniyet faktörünü hesaplayınız.

4 sin 3920 3920 F  F 4sin

   

Operasyon aralığında F kuvveti 0 olduğunda Maksimum değere ulaşacaktır.

Her bir uzuv için, _max ³⁹²⁰ 3786 sin15

F   N

maks

2 2 3 3 3

3

2 2 2 3

2.5 3786 9465

300 , 25

1.4 207 10 25 9465 300 12

9465 5.23

300 12 1.4 207 10 25

kirit d

kirit

P n F N

l mm w mm

C EI t

P N t mm

l

 



   

 

     

     

   

5.233 25 12 5.23 25 1.51

r I mm

A

   

 

300 199 1.51 l

  r 

   ve

2 2 3

2 2 1.4 207 10

380 123

y

CE x

S

    

 

2 2 y

l C E

r S

   

   Euler kolon kabülü geçerlidir.

5.5

t mmkabul edilirse,

2 2 3 3

2 2

1.4 207 10 25 5.5

11010 300 12

kirit

C EI

P N

l

     

  



Bu durumda emniyet faktörü, ¹¹⁰¹⁰ 2.91 n 3786 

Shigley’s Mechanical Engineering Design kitabı temel alınarak hazırlanmış eğitim amaçlı ders notlarıdır. Yayın niteliği yoktur. 20 ÖRNEK: 11

Aşağıda gösterilen kafes sisteme, bütün uzuvlar birbirlerine döner mafsallar ile bağlanmıştır. Her uzuv 40 mm çapında dairesel kesite sahiptir. Uzuvların elastiklik modülü E=207 GPa ve akma mukavemeti 360 MPa dır. Uygulanabilecek maksimum P yükünü emniyet faktörü n=2 için hesaplayınız

ÇÖZÜM

0 cos(30) cos(45) 0

cos(45) cos(30)

0 sin(30) sin(45) 0

0.732 , 0.897

0 cos(45) 0

cos(45)

0 0.897 cos(45) 0.634

x AB BC

AB AC

y AB BC

AB BC

x BC AC

AC BC

y AC

F F F

F F

F F F P

F P F P

F F F

F F

F F P P

     



      

 

    

 

    









x-y düzlemi

4 4

4

4

2

4 12.57

64 64

64 40 10

4 4

64

I d mm

d

I d

r mm

d A

 





   

    

Shigley’s Mechanical Engineering Design kitabı temel alınarak hazırlanmış eğitim amaçlı ders notlarıdır. Yayın niteliği yoktur. 21 10

 r S_y 360

Sonuç olarak

2

y

l C E

r S

   

   olduğundan kısa kolondur.

2 2

3 3

2 2 2

3

1 360 1

15.86 10

2 2 1 207 10

40 500

360 15.86 10 402 201

4 10

y

kirit kirit

y kirit

b S

CE

P l P

S b P kN P kN

A r n

 







       

             

 

    

               

x-z düzlemi 250 sin 30 50

10 l

  r 

   ve

2 2 3

1.2 207 10

82.52

y 360 C E

S

     

2 2

3 3

2 2 2

3

1 360 1

13.22 10

2 2 1.2 207 10

40 500

360 13.22 10 411 205

4 10

y

kirit kirit

y kirit

b S

CE

P l P

S b P kN P kN

A r n

 







       

             

 

    

                BC çubuğu için aynı işlemler tekralanır.

Shigley’s Mechanical Engineering Design kitabı temel alınarak hazırlanmış eğitim amaçlı ders notlarıdır. Yayın niteliği yoktur. 22 ÖRNEK: 12

Şekilde her 30 mm yarıçaplı dairesel kesite sahip çubuklardan yapılmış bir kafes sistem

gösterilmektedir. Çubuk malzemesinin elastisite modülü, E=200 GPa , çubuklarda izin verilen maksimum gerilme 200 MPa ve malzemenin akma mukavemeti Sy=500 MPa dır. A noktasında izin verilen maksimum dikey yer değiştirme 1.5 mm

olduğuna göre, bu sisteme uygulanabilecek maksimum P kuvvetini bulunuz.

ÇÖZÜM:

0;

2 0

2 2

2

y

AC

AC

F

F P

F P

  

 





0;

2 0

2

2 2 2

2 2 2

x

AC AB

AC AB

F

F F

F F P P

  

 

  



0;

2 2

2 2 0

2 2 2

2 2 2 0

2 2

y

BC AC

BC

BC

F

F F

F P

F P

  

 

 





0;

2 2

2 2 0

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

x

CD AC BC

CD AC BC

CD

F

F F F

F F F

F P P P

  

  

 

  



Normal Gerilme;

6

250 10 6 706.7

2827.4 10

FAB P

P kN

  A    _  



Burkulma;

AB çubuğu basmaya maruzdur. O halde burkulmaya karşı kritik yük belirlenmelidir. İncelemeye başlamadan once AB kolonunun Euler ya da Johnson kolonu olup olmadığı kontrol edilmelidir.

2 2 9

6 1

2 2 200 10 1

88.86 500 10

y

l EC x

r S

    

    

  

 

AB kolu için

Shigley’s Mechanical Engineering Design kitabı temel alınarak hazırlanmış eğitim amaçlı ders notlarıdır. Yayın niteliği yoktur. 23

2 636173

2827.4 15

I Ar r I mm

   A  

1

1250 83.34 15

l l l

r r r

       

       

        olduğundan Johnson (Kısa) kolondur.

Bu durumda kritik yük,

2 2 6 2

6 6 2

9

1 500 10 1

2827.4 10 500 10 83.34 2516

2 2 200 10

2516

y

kirit y

kirit AB

S l

P A S kN

CE r

P F kN

 ^ 

        

        

                 

 

xz düzleminde kolon incelendiğinde ankastre-ankastre sınır koşulları kullanılır (C=4). Bu durumda kritik yük daha fazla olacaktır. Bu sebeple x-z düzleminde çözüm yapmak gerekli değildir.

Sehim;

A düğümündeki toplam yerdeğiştirme 1.5 mm olduğundan,

2 2 2

2

2 2 2 2

AC AC BC BC CD CD

AB AB F L F L F L

U F L

AE AE AE AE

    ise A noktasındaki sehim;

AC AC BC BC CD CD

AB AB

A AB AC BC CD

F L F L F L

F L

U F F F F

P P AE P AE P AE P AE

 ^  ^^ ^  ^^ ^  ^^ ^  ^^ ^

1250

1

AB

AB

AB

L mm

F P

F P





 



884 2

2 2

2

AC

AC

AC

L mm

F P

F P





 



884 2

2 2

2

BC

BC

BC

L mm

F P

F P





 



625 2

2

CD

CD

CD

L mm

F P

F P





 



   

3

3 8

8

2 2 7.286

1 1.25 1 2 0.884 2 2 0.625 1.29 10

2.827 10 200 10

2 2

1.5 10

1.5 10 1.29 10 116.2

1.29 10

A

A

U P P

P AE P

P P kN









  



 

  

                  

        



Sonuç olarak sisteme uygulanabilecek maksimum yük 116.2 kN bulunur.