Ünite13 Çok Değişkenli Fonksiyonlar

Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;

• çok

değişkenli fonksiyonları tanıyacak,

• çok

değişkenli fonksiyonların kısmi türevlerini bulabilecek,

• iki değişkenli fonksiyonların dikdörtgen bölge üzerindeki iki

katlı integralini hesaplayabileceksiniz.

İçindekiler

• Giriş

325

• İki Değişkenli Fonksiyonlar

325

• Çok Değişkenli Fonksiyonlar

328

• Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Kısmi Türev

331

• İki Değişkenli Fonksiyonların İki Katlı İntegrali

336

• Değerlendirme Soruları

339

ÜNİTE

13

Çok Değişkenli Fonksiyonlar

Yazar

• Çok

değişkenli fonksiyon örnekleri alıp bu fonksiyonların

ta-nım kümelerini bulunuz ve bu kümeleri geometrik olarak

çizme-ye çalışınız

• Çok değişkenli fonksiyonların kısmi türevlerinin tek

değişken-li fonksiyonların türevi gibi bulunduğuna dikkat ediniz

• Çok değişkenli basit fonksiyon örnekleri alıp iki katlı

integral-lerini hesaplamaya çalışınız.

1. Giriş

Şimdiye kadar incelediğimiz fonksiyonlar tek değişkenli fonksiyonlar idi. Bu fonksiyonlara tek değişkenli denilmesinin sebebi bağımsız değişkenin bir tane ol-masıdır. Birçok problemde ortaya çıkan fonksiyonlar ise çok değişkenli (iki, üç, ... değişkenli) olabilir.

Boyutları x ve y olan dikdörtgenin alanı S = xy, çevresinin uzunluğu P = 2 (x+y) dir. Burada alan ve çevre uzunluğu boyutların iki değişkenli fonksiyonlarıdır.

Aralarındaki uzaklık R olan m ve M kütleleri arasındaki çekme kuvveti formülü ile hesaplanır (burada γ - gravitasyon sabitidir). F kuvveti, m, M kütlelerinin ve R uzaklığının üç değişkenli fonksiyonudur.

Taban yarıçapı x, yüksekliği y olan silindirin hacmi V = π x2 _{y formülü ile}

he-saplanır. Burada V hacmi x ve y nin iki değişkenli fonksiyonudur.

Bu ünitede iki ve daha çok değişkenli fonksiyonlar, bu fonksiyonlar için kısmi tü-rev ve integral kavramları ele alınacaktır.

2. İki Değişkenli Fonksiyonlar

Boş küme olmayan herhangi A, B ve C kümeleri verilsin ve A x B sembolü A ve B kümelerinin kartezyen çarpımını göstersin:

A x B = { (x , y) | x ∈ A , y ∈ B }.

Eğer AxB kümesinden alınmış her (x , y) çiftini C kümesinden tek bir z elemanı ile eşleyen bir f kuralı verilmişse bu f kuralına A x B kümesinden C kümesine iki

de-ğişkenli fonksiyon denir ve sembolik olarak

f : AxB →→→→ C , z = f (x , y) veya f = f (x , y)

şeklinde gösterilir.

AxB ye fonksiyonun tanım kümesi veya tanım bölgesi, C ye ise değer kümesi de-nir.

Giriş kısmındaki 1. ve 3. örneklerdeki S = xy, P = 2 (x+y) ve V = π x2 _y

fonk-siyonları birer iki değişkenli fonksiyonlardır. Bu fonkfonk-siyonların tanım kümesi IR+

x R+ _{değer kümesi ise IR dir.}

F = γ m . M R2

Örnek: A = {-1, 2, 3} , B = {-2, 0}, C = {2, 3, 5} kümeleri verilsin. O zaman

AxB = { (-1, -2) , (-1, 0), (2, -2), (2, 0) (3, -2) , (3, 0) } olur. f kuralını aşağıdaki gibi tanım-layalım:

f (-1 , -2) = 3 , f (-1 , 0) = 5 , f (2, -2) = 2 , f (2, 0) = 5 , f (3, -2) = 2 , f (3, 0) = 2. Bu yolla tanımlanmış f, AxB den C ye bir iki değişkenli fonksiyondur.

Örneklere geçmeden önce IR x IR kümesinin IR2 _{olarak gösterildiğini bir}

daha hatırlayalım (ünite 1).

Örnek: f : IR2 _{→ IR , f (x , y) = x}2 _{- y}2 _{iki değişkenli fonksiyonu için f (0 , 1) , f}

(-2 , 3) ve a ∈ IR olmak üzere, f (a , a) yı hesaplayalım.

Çözüm: f (0 , 1) = 02 _{- 1}2 _{= -1 , f (-2, 3) = (-2)}2 _{- 3}2 _{= -5 , f (a , a) = a}2 _{- a}2 _{= 0.}

Örnek: Yarıçapı 20,5 cm, yüksekliği 30 cm olan silindirin hacmini hesaplayalım.

Çözüm: V (x, y) = π x2 _{y fonksiyonunda x = 20,5 , y = 30 yazarsak V}

(20,5 , 30) = π . 20,52 _{. 30 ≅ 39587,55 cm}3 _bulunur.

Not: Tek değişkenli fonksiyonlarda olduğu gibi iki değişkenli fonksiyonlarda da

değişkenlerin ve kuralın hangi harflerle gösterildiğinin önemi yoktur. Örneğin, f : IR2 _{→ IR , f (x , y) = x}2 _{- y}2

g : IR2 _{→ IR , g (t , s) = t}2 _{- s}2

bağıntıları aynı fonksiyonları ifade eder.

İki değişkenli fonksiyonun tanım kümesi açık şekilde verilmemişse o zaman ta-nım kümesi olarak fonksiyon işlemlerinin anlamlı olduğu en geniş küme alınır.

Örneğin, fonksiyonunun tanım kümesi, x + y ≠ 0 koşulunu

sağlayan tüm (x , y) gerçel sayı ikilileridir.

Örnek:

fonksiyonlarının tanım kümelerini bulalım.

Çözüm:

1) x2 _{- 5x + 6 = 0 ⇒ x1 = 2 , x2 = 3. Buna göre tanım kümesi (IR - {2 , 3}) x IR}

dir. f (x , y) = x x + y 1) f (x , y) = y x2 _{- 5x + 6} 2) f (x , y)= 1 - x 2 _{- y}2 _{3) f (x , y) = ln (x}2 _{+ y -1)}

2) 1 - x2 _{- y}2 _{≥ 0 ⇒ x}2 _{+ y}2 _{≤ 1. Tanım kümesi x}2 _{+ y}2_{≤ 1 koşulunu sağlayan}

tüm x ve y gerçel sayılar kümesidir. Geometrik olarak bu küme, düzlemde merkezi koordinat başlangıcında, yarıçapı 1 olan çember üzerindeki ve içeri-sindeki noktalar kümesidir.

3) x2 _{+ y - 1 > 0 ⇒ y > 1 - x}2_{. Tanım kümesi y > 1 - x}2 _{koşulunu sağlayan}

tüm(x, y) gerçel sayı ikililerinin kümesidir. Geometrik olarak bu (x , y) ikililer kümesi, düzlemde y = 1 - x2 _{parabolü üstünde kalan düzlem parçasındaki}

noktalara karşı gelen (x , y) ikilileri kümesidir.

fonksiyonlarının tanım kümelerini bulunuz.

Cevaplarınız, 1) { (x , y) ∈ IR2 _{| x}2 _{+ y}2 _{≠ 4 }, 2) { (x , y) ∈ IR}2 _{| x ≠ 0 ve}

y ≠ 0 },

3) { (x , y) ∈ IR2 _{| xy ≥ 0 } olmalıdır.}

İki değişkenli fonksiyonların toplamı, farkı, çarpımı ve bölümü tek değişkenli fonksiyonlardakine benzer olarak tanımlanabilir.

Örnek: f (x , y) = x2 _{+ y}2 _{ve g (x , y) = 2xy fonksiyonlarının toplamını, farkını,}

çarpı-mını ve bölümünü bulalım. Şekil 13.1 Şekil 13.2

?

1) f (x , y) = 1 x2 + y2 - 4 5 2) f (x , y) = x2 _{+ y}2 xy 3) f (x , y) = xy

Çözüm: f (x , y) + g (x , y) = x2 _{+ y}2 _{+ 2xy = (x + y)}2

f (x , y) - g (x , y) = x2 _{+ y}2 _{- 2xy = (x - y)}2

f ( x , y) . g (x , y) = (x2 _{+ y}2 _{) . 2xy = 2x}3_{y + 2xy}3

f (x , y) = sin2 _{(xy) ve g (x , y) = cos}2 _{(xy) fonksiyonlarının toplamını,}

farkı-nı, çarpımını ve bölümünü bulunuz.

Cevaplarınız 1, - cos (2xy),

Tek değişkenli fonksiyonlarda olduğu gibi, iki değişkenli fonksiyonların da gra-fikleri çizilebilir. Bunun için uzayda 3 boyutlu kartezyen koordinat sistemini ta-nımlamak gerekiyor. Bu koordinat sisteminde iki değişkenli fonksiyonun grafiği genellikle bir yüzey tanımlar. İki değişkenli fonksiyonların grafikleri konumuz dı-şında olduğundan bu konuya girmiyoruz.

3. Çok Değişkenli Fonksiyonlar

n ∈ IN olmak üzere, boş küme olmayan A1, A2, ..., An ve C kümeleri verilsin.

x1 ∈ A1 , x2 ∈ A2 , ..., xn ∈ An olmak üzere, tüm (x1, x2, ..., xn) sıralı

n-li-lerin kümesine A1, A2, ...., An kümelerinin kartezyen çarpımı denir ve

sembo-lik olarak

A1 x A2 x ... x An gibi gösterilir. Böylece,

A1 x A2 x ... x An = { (x1, x2, ... , xn) | x1 ∈ A1 , x2 ∈ A2, ..., xn ∈ An }.

Örnek: A1 = {1 , 2}, A2 = {-1 , 0}, A3 = {a , b} ise

A1 x A2 x A3 = { (1, -1, a), (1, -1, b), (1, 0, a), (1, 0, b), (2, -1, a), (2, -1, b), (2, 0, a), (2, 0, b) }.

kümesi çoğu kez An _{gibi gösterilir. Buna göre, A x A x A = A}3_,

A x A x A x A = A4_{, ... yazılabilir.}

Her bir (x1, x2, ..., xn) ∈ A1 x A2 x ... x An n-lisine C kümesinden bir tek z

elemanı karşı getiren f kuralına A1 x A2 x .... x An den C ye n-değişkenli

fonksiyon denir ve f : A1 x A2 x ... x An →→→→ C , z = f (x1, x2 ... xn) veya f = f (x1, x2, ... xn) şeklinde gösterilir. f (x , y) g (x , y) = x2 _{+ y}2 2xy , xy ≠ 0

?

1 4 sin

2 _{(2xy) ve tan}2 _{(xy) olmalıdır.}

A x A x ... x A n tane

A1 x A2 x .... x An kümesine fonksiyonun tanım kümesi veya tanım bölgesi, C

ye ise değer kümesi denir.

Üç değişkenli fonksiyonlar çoğu zaman f = f (x , y, z) gibi gösterilir.

fonksiyonları üç değişkenli,

fonksiyonları ise dört değişkenli fonksiyon örnekleridir.

Örnek: fonksiyonu için f (1, 2, -1) ve f (-1, 1, 8) fonksiyon değerlerini bulalım.

Çözüm:

Örnek: f : IR+ _{x IR}+ _{x IR → IR}+ _{, f (x , y, z) = (xy)}z _{fonksiyonu için}

ve f (4, 1, -1) fonksiyon değerlerini bulalım.

Çözüm:

Eğer çok değişkenli fonksiyonun tanım kümesi (bölgesi) açık şekilde verilme-mişse o zaman tanım kümesi olarak kuralın anlamlı olduğu en geniş küme alı-nır.

Örnek:

fonksiyonlarının tanım kümelerini bulalım.

Çözüm:

1) 4 - x2 _{- y}2 _{- z}2 _{≥ 0 buradan tanım kümesi { (x , y, z) ∈ IR}3 _{| x}2 _{+ y}2 _{+ z}2 _{≤ 4 }}

olur.

f (x , y, z) = xyz , g (x , y, z) = (xy)z , h (x , y, z) = ln (yz) sin x f (x1, x2, x3, x4) = x1 2 + x2 2 + x3 2 + x4 2 , g (x1, x2, x3, x4) = x1x3 - x2x4 f : IR3 → IR , f (x , y, z) = x y2 z3 f (1, 2, -1) = 1 . 22 . -13 = 1 . 4 . (-1) = - 4, f (-1, 1, 8) = (-1) . 12 . 83 = (-1) . 1 . 2 = -2. f ( 2, 3, 2) = ( 2 . 3)2 = ( 6)2 = 6 , f (4, 1, -1) = (4 . 1)-1 = (4)-1 = 1 4 . 1) f (x, y, z) = 4 - x2 - y2 - z2 2) f (x, y, z) = xyz 3) f (x1, x2, x3, x4) = x1 2 _{+ x} 2 2 x3 2 + x4 2 f ( 2 , 3 , 2)

2) xyz ≥ 0 olması gerekiyor. Buna göre tanım kümesi öyle (x, y, z) gerçel sayı

üçlüleridir ki onların çarpımı negatif olmasın. Örneğin, üçlüsü

tanım kümesine dahil değildir.

3) x32 + x42 ≠ 0 olması gerekiyor, buradan tanım kümesi

{ (x1, x2, x3, x4 ) ∈ IR4 | x3 ≠ 0 veya x4 ≠ 0 } olur. Örneğin, (2, 3, -1, 0) tanım

kümesindendir, (2, 3, 0, 0) ise tanım kümesinde değildir.

fonksiyonlarının tanım kümelerini bulunuz.

Cevaplarınız { (x, y, z) ∈ IR3 _{| y ≥ 0 } ve { (x}

1, x2, x3, x4) ∈ IR4 | x2 > x3 + x4 }

ol-malıdır.

Üç ve daha çok değişkenli fonksiyonların grafik kavramı yoktur.

Çok değişkenli fonksiyonların limit ve süreklilik kavramları tek değişkenlilere benzer yolla tanımlanır.

A ⊂ IR2 _{kümesi ve (x}

0, y0) ∈ IR2 noktası verilsin. Eğer her δ > 0 için |xδ

-x0| < δ , |yδ - y0| < δ , (xδ , yδ) ≠ (x0, y0) olacak şekilde en az bir (xδ, yδ) ∈ A

varsa, o zaman (x0, y0) noktasına A kümesinin yığılma noktası denir. Başka

de-yişle yığılma noktası öyle bir noktadır ki, onun istenildiği kadar "yakın civarında" A kümesinin bu noktadan farklı en az bir elemanı vardır.

Örneğin, x2 _{+ y}2 _{≤ 1 koşulunu sağlayan her bir (x, y) ∈ IR}2 _noktası

A = { (x, y) ∈ IR2 _{| x}2 _{+ y}2 _{< 1 }}

"açık birim çemberi" kümesinin yığılma noktasıdır.

A ⊂ IR2 _{olmak üzere, f : A → IR, z = f (x, y) iki değişkenli fonksiyonu ve L sayısı}

verilsin, (x0, y0) ise A kümesinin bir yığılma noktası olsun.

Eğer her ε > 0 için öyle δ > 0 var ve 0 < |x - x0| < δ, 0 < |y - y0| < δ

eşitsizlikle-rini sağlayan tüm (x,y) ∈ A için

|f (x , y) - L| < ε

eşitsizliği sağlanıyorsa, (x , y) ikilisi (x0, y0) a yaklaşırken f (x, y) nin limiti L

dir denir ve sembolik olarak

?

1) f (x, y, z) = y . (1 + x2 + z2) 4 2) f (x1, x2, x3, x4) = log 1 + x1 2 x2 - x3 - x4 (1, 2, -3)

şeklinde gösterilir.

Eğer (x0 , y0) ∈ A ve limiti var ve f (x0 , y0) eşitse, yani

ise, o zaman z = f (x, y) fonksiyonuna (x0 , y0) noktasında sürekli fonksiyon

de-nir.

Eğer z = f (x, y) fonksiyonu A kümesinin her bir noktasında sürekli ise bu fonksiyo-na A üzerinde sürekli fonksiyon denir.

Üç ve daha çok değişkenli fonksiyonların limit ve sürekliliği de benzer yolla ta-nımlanabilir.

4. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Kısmi Türev

Tek değişkenli fonksiyonlarda fonksiyonun türevi, x bağımsız değişkenine ∆x art-ması verildiğinde fonksiyonun ∆y = f (x + ∆x) - f (x) artart-masının ∆x e oranı olan

z = f (x, y) iki değişkenli fonksiyonu verildiğinde bağımsız değişkenlere ∆x ve ∆y artmaları verildiğinde fonksiyon artması ∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) - f (x, y) olur. Bu art-manın bağımsız değişkenler artması olan (∆x, ∆y) ikilisine oranı anlamlı değildir. Bunun yerine bağımsız değişkenlerden birisi sabit tutulursa fonksiyon tek değiş-kenli fonksiyona dönüşür ve yeni fonksiyonun türevinden söz edilebilir. Bu tür tü-revlere kısmi türevler denir.

z = f (x, y) fonksiyonu verilsin.

Eğer y yi sabit tuttuğumuzda elde edilen fonksiyonun x e göre türevi varsa bu türe-ve x e göre kısmi türev;

Eğer x i sabit tuttuğumuzda elde edilen fonksiyonun y ye göre türevi varsa bu türe-ve ise y ye göre kısmi türev denir.

x e göre kısmi türev

lim (x,y) → (x0, y0) lim (x,y) → (x0, y0) lim (x,y) → (x0, y0) ∆y

∆x in ∆x → 0 iken (varsa) limitine denilmişti.

fx (x , y) , ∂f ∂x , zx (x , y) , fx

'

_{(x , y) ;} f (x , y) = L f (x , f (x , y) = f (x0 , y0)

y ye göre kısmi türev ise

gibi sembollerle gösterilir.

Tanıma göre, z = f (x , y) fonksiyonunun (x0 , y0) noktasında x e göre kısmi

türevini hesaplamak için x → f (x , y0) fonksiyonunun x = x0 noktasındaki

türevini hesaplamak gerekiyor. Bu türev

gibi sembollerle gösterilir.

işaretleri de benzer anlam taşımaktadır. Buna göre fx (x0 , y0) , fy (x0 , y0)

türev-leri, eğer varsa,

limitleri olarak tanımlanır.

Örnek: f (x , y) = 2xy - y2 _{+ x}2 _{fonksiyonunun f}

x (x , y) ve fy (x , y) kısmi

türevlerini hesaplayalım.

Çözüm: fx (x , y) türevini bulmak için y yi sabit olarak düşünmemiz gerekiyor.

O zaman

olur. fy (x , y) türevini bulmak için ise x i sabit olarak düşünerek, y ye göre

türev almamız gerekiyor.

olur. fy (x , y) , ∂f ∂y , zy (x , y) , fy

'

_{(x , y)} fx (x0 , y0) , ∂f (x0 , y0) ∂x , zx (x0 , y0) , fx

'

_{(x0 , y0)} fy (x0 , y0) , ∂f (x0 , y0) ∂y , zy (x0 , y0) , fy

'

_{(x0 , y0)} fx (x0 , y0) = f (x0 + ∆x , y0) - f (x0 , y0) ∆x , lim ∆x → 0 fy (x0 , y0) = f (x0, y0 + ∆y) - f (x0 , y0) ∆y lim ∆y → 0 fx (x , y) = (2xy - y2 + x2)x

'

= (2xy)

'

x - (y2)x

'

+ (x2)x

'

= 2y - 0 + 2x = 2x + 2y = 2 (x + y) fy (x , y) = (2xy - y2 + x2)y

'

= (2xy)

'

y - (y2)y

'

+ (x2)y

'

= 2x - 2y + 0 = 2 (x - y)

Örnek: f (x , y) = x3 _{+ xy fonksiyonu için f}

x (1 , 2) türevini bulalım.

Çözüm: (1 , 2) noktasında y = 2 olduğundan f (x , y) nin ifadesinde y = 2 yazarsak

f (x , 2) = x3 _{+ 2x}

elde edilir. Bu fonksiyonun x e göre türevini alıp x yerine 1 yazmamız gerekiyor:

Örnek: fonksiyonu için fy (3 , 4) türevini bulalım.

Çözüm: x = 3 yazarsak Bu fonksiyonun y ye göre türevi-ni alırsak

olur. Son ifadede y = 4 yazarsak

bulunur.

Örnek: fonksiyonunun tanım kümesine ait (x , y) değerleri için fx (x , y) ve fy (x , y) türevlerini bulalım.

Çözüm:

Örnek: 1) f (x , y) = x2 _{ln (x + y) 2) f (x , y) = (x}2 _{+ y}2_{) e}-x

fonksiyonları için fx (x , y) , fy (x , y) kısmi türevlerini bulalım.

Çözüm: fx (1 , 2) = (x3 + 2x)x = 1

'

= (3x2 + 2) x = 1 = 5 . f (x , y) = x2 _{+ y}2 f (3 , y) = 9 + y2 _olur. 9 + y2

'

_{= (9 + y}2₎1₂

'

_{= 1} 2 . (9 + y 2₎- 1_{2 . (y}2₎

'

₌ 2y 2 9 + y2 = y 9 + y2 fy (3 , 4) = 4 9 + 16 = 45 f (x , y) = xy x + y fx (x , y) = y (x + y) - 1 . xy (x + y)2 = y2 (x + y)2 , fy (x , y) = x (x + y) - 1 . xy (x + y)2 = x 2 (x + y)2 . 1) fx (x , y) = 2x . ln (x + y) + x2 . 1 x + y = 2x ln (x + y) + x 2 x + y , fy (x , y) = x2 . 1 x + y = x 2 x + y . 2) fx (x , y) = 2x . e-x + (x2 + y2) . e-x . (-1) = 2x - x2 - y2 . e-x , fy (x , y) = 2y e-x .

1) f (x , y) = sin (xy) + cos (xy) 2) f (x , y) = x tan y

fonksiyonları için fx (x , y) , fy (x , y) türevlerini hesaplayınız.

Üç ve daha çok değişkenli fonksiyonların kısmi türevleri iki değişkenli fonksiyon-ların kısmi türevlerine benzer olarak tanımlanır: Bağımsız değişkenin biri dışında kalan tüm bağımsız değişkenler sabit tutularak o tek bağımsız değişkene göre tü-rev alınır ve bu tütü-reve verilmiş fonksiyonun o değişkene göre kısmi tütü-revi denir.

z = f (x1 , x2 ... xn) n- değişkenli fonksiyonun xi değişkenine göre kısmi türevi

limitine eşit olup

gibi sembollerle gösterilir.

Örnek: f (x1, x2, x3, x4) = x1 x2 + x3 x4 + x2 x3 dört değişkenli fonksiyonun fx1 ,

fx2 , fx3 ve fx4 kısmi türevlerini bulalım.

Çözüm: fx1 (x1, x2, x3, x4) = x2 , fx2 (x1, x2, x3, x4) = x1 + x3 , fx3 (x1, x2, x3, x4) =

x4 + x2 , fx4 (x1, x2, x3, x4) = x3 olarak bulunur.

Örnek: üç değişkenli fonksiyonun tanım kümesine ait noktalarda fx , fy ve fz kısmi türevlerini bulalım.

Çözüm: Fonksiyonun tanım kümesi

A = { (x , y , z) ∈ IR3 _{| x ≠ z ve x ≠ -z }}

dir (eğer bir (x , y , z) için x = z veya x = -z ise o zaman bu (x , y , z) tanım kümesine da-hil değildir). Her bir (x , y , z) ∈A için

?

Cevaplarınız 1) y cos (xy) - y sin (xy) , x cos (xy) - x sin (xy) 2) tan y , x cos2 _y olmalıdır. f (x1, x2 ..., xi + ∆xi, ... xn) - f ( x1, x2 ..., xi, ..., xn) ∆xi lim ∆xi→0 fxi (x1 , x2 , ... xn) , ∂f ∂xi , zxi , fx

'

i f (x , y, z) = y x2 _{- z}2 fx (x , y, z) = y . (-1) . 2x (x2 _{- z}2₎2 = - 2xy (x2 _{- z}2₎2 ,

bulunur.

Örnek: fonksiyonunun (1, -2, 2) noktasında kısmi türevlerini bulalım.

Çözüm: Bu türevleri bulmak için türevlerin mevcut olduğu bir (x , y , z) noktasında

fx , fy ve fz türevlerini bulup, sonra bu türevlerde x yerine 1, y yerine -2 ve z

ye-rine 2 yazmak gerekmektedir. Buna göre

dür. Buradan

bulunur.

f (x , y , z) = x ln (1 + y2 _{+ z}2_{) fonksiyonunun kısmi türevlerini hesaplayınız.}

fy (x , y, z) = 1 x2 _{- z}2 , fz (x , y, z) = y . (-1) . (-2z) (x2 _{- z}2₎2 = 2yz (x2 _{- z}2₎2 f (x , y , z) = 1 x2 _{+ y}2 _{+ z}2 fx (x , y , z) = (-1) . 2x 2 . (x2 _{+ y}2 _{+ z}2₎3 = - x (x2 _{+ y}2 _{+ z}2₎3 , fy (x , y , z) = (-1) . 2y 2 . (x2 _{+ y}2 _{+ z}2₎3 = - y (x2 _{+ y}2 _{+ z}2₎3 , fz (x , y , z) = (-1) . 2z 2 . (x2 _{+ y}2 _{+ z}2₎3 = - z (x2 _{+ y}2 _{+ z}2₎3 fx (1 , -2 , 2) = - 1 93 = - 1 27 , fy (1 , -2 , 2) = - -2 93 = 2 27 , fz (1 , -2 , 2) = - 2 93 = - 2 27

?

Cevabınız fx (x , y, z) = ln (1 + y2 + z2) , fy (x , y, z) = 2xy 1 + y2 _{+ z}2 ve fz (x , y, z) = 2xz 1 + y2 _{+ z}2 olmalıdır.

f (x , y , z) = z esin (xy) _{fonksiyonunun kısmi türevlerini bulunuz.}

Cevabınız fx (x , y , z) = yz esin (xy) cos (xy) , fy (x , y , z) = xz esin (xy) cos (xy) ve

fz (x , y , z) = esin (xy) olmalıdır.

5. İki Değişkenli Fonksiyonların İki Katlı İntegrali

[a, b] ve [c, d] birer kapalı aralık olmak üzere,

D = [a, b] x [c, d] = { (x, y) ∈ IR2 _{| x ∈ [a, b] ve y ∈ [c, d] }}

kümesine x0y düzleminde kapalı dikdörtgen denir (Şekil 13.3).

D kapalı dikdörtgeni üzerinde tanımlı ve sürekli f : D → IR , z = f (x , y)

iki değişkenli fonksiyonu verilsin. [a, b] aralığının a = a0 < a1 < a2 < .... < ai-1

< ai < .... < an = b bölüntüsünü, [c, d] aralığının ise c = c0 < c1 < .... < cj-1 < cj < ...

< cm = d bölüntüsünü seçelim (ünite 11 e bakınız). Bu bölüntülerin çapları δ1 ve

δ2 olsun. Bu bölüntüler D dikdörtgeninin de

D1 , D2 , .... , Dmn

?

f (x , y , z) = x2 _{tan (yz) fonksiyonu için f}

x -1 , ππππ 4 , 1 , fy -1 , ππππ 4 , 1 ve fz -1 , πππ π 4 , 1 Cevabınız -2 , 2 ve π 2 olmalıdır.

?

y x d c 0 a b D Şekil 13.3 türevlerini hesaplayınız.

gibi küçük dikdörtgenlerden oluşan bir bölüntüsünü doğurmuş olur (bu dikdört-genler sayısı mn dir, Şekil 13.4 e bakınız). Her 1 ≤ k ≤ mn için Dk

dikdörtgenin-den keyfi Pk (xk , yk) noktasını seçip

toplamını oluşturalım. Burada ∆kA sembolü DK dikdörtgenin alanını

göstermek-tedir.

δ1 → 0 ve δ2 → 0 iken S toplamının limitine z = f (x , y) fonksiyonunun D

dik-dörtgeni üzerinde iki katlı integrali denir ve sembolik olarak

gibi gösterilir:

Bu integralin değeri [a, b] ve [c, d] aralıklarının bölüntülerinden ve Pk

noktala-rının seçiminden bağımsızdır.

Eğer f (x , y) ≥ 0 ise bu integral, aşağıdan D dikdörtgeni, yukarıdan z = f (x , y) yüze-yi, yanlardan ise D dikdörtgenine dik düzlemlerle sınırlanmış üç boyutlu cismin hacmini ifade eder.

integralini hesaplamak için aşağıdaki işlemler yapılır:

yk c2 c1 a1 a2 D1 Dmn c d b a Pk xk ● Şekil 13.4 S = f (x1 , y1) ∆1A + f (x2 , y2) ∆2A + ... + f (xmn , ymn) ∆mnA = f ∑ (xk , yk) ∆kA k = 1 mn f (x , y) d A veya f (x , y) dx dy veya f (x , y) dy dx D D f (x , y) d A = lim S (δδδδ1 , δδδδ2) → (0 , 0) D I = f (x , y) d A D

• Önce x i sabit tutup y ye göre belirli integrali hesaplanır. Bu integralin sonucu x e bağlı olduğundan bu sonuç x in fonksiyonudur. Bu fonk-siyona g (x) diyelim:

• Sonra g (x) fonksiyonunun [a , b] aralığında belirli integrali hesaplanarak sonuç bulunur.

Buna göre iki katlı integralin hesaplanması işlemini şöyle ifade edebiliriz:

Örnek: D = [0 , 1] x [-1 , 3] olmak üzere integralini hesaplayalım.

Çözüm: Önce x i sabit tutarak

bulunur. Sonra

bulunur.

Örnek: integralini

hesap-layalım. Çözüm: c d f (x , y) dy g (x) = c d f (x , y) dy. I = f (x , y) dA = a b g (x) dx = a b c d f (x , y) dy dx. D I = (x2 _{+ y}2_{) dA} D g (x) = -1 3 (x2 + y2) dy = -1 3 x2 dy + -1 3 y2 dy = x2 -1 3 dy + y3 3 3 -1 = x 2 _y 3 -1 + 27₃ + 1₃ = x 2 _{3 - (-1) + 28} 3 = 4x 2 _{+ 28} 3 I = 0 1 g (x) dx = 0 1 4x2 + 28 3 dx = 4 . x 3 3 + 283 x 1 0 = 4 3 + 283 = 323 D = 0 , π

2 x 0 , π olmak üzere, I = sinx cos y 2 dA D g (x) = 0 π sinx cos y 2 dy = sinx . 0 π cos y 2 dy = sinx . 2 sin y 2 π

0 = 2 sinx . sin π₂ - sin0 = 2 sinx ,

I = 0 π/2 g (x) dx = 0 π/2 2 sinx dx = -2 cosx π/2 0 = -2 cos π₂ - cos0 = 2 .

İki katlı integralin hesaplanmasında integralleme sırası değişebilir. Yani, önce y yi

sabit tutup, x e göre integralini hesaplayıp, sonra elde edilen

fonksiyonu [c, d] aralığında integrallersek aynı sonuca geliriz.

Yukarıdaki fonksiyonları önce x e, sonra y ye göre integre edip sonucun değiş-mediğini görünüz.

İki katlı integral D dikdörtgeni yerine daha karmaşık kümeler üzerinde de tanım-lanabilir, fakat dikdörtgenle yetineceğiz.

Değerlendirme Soruları

1. Hacmi 1000 (cm3_{) olan kesik koninin yüksekliğini, alt taban yarıçapı x ve}

üst taban yarıçapı y nin iki değişkenli fonksiyonu olarak yazınız.

2. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 a b f (x , y) dx A. 1000 π (x2 + xy + y2₎ B. 1000 π (x2 + 2xy + y2₎ C. 3000 π (x2 + xy + y2₎ D. 3000 π x2 _{+ xy + y}2 E. 1000 π x2 _{+ xy + y}2 f (x , y , z) = x

y . ln z üç değişkenli fonksiyonu için f (2 , 1 , e2_{) . f 2 , -1 , 1}

3. iki değişkenli fonksiyonunun tanım kü-mesi aşağıdakilerden hangisidir?

A. { (x, y) ∈ IR2 _{| x}2 _{+ y}2 _{≥ 1 }}

B. { (x, y) ∈ IR2 _{| x}2 _{+ y}2 _{≤ 1 }}

C. { (x, y) ∈ IR2 _{| x}2 _{+ y}2 _{> 1 }}

D. { (x, y) ∈ IR2 _{| x}2 _{+ y}2 _{< 1 }}

E. { (x, y) ∈ IR2 _{| x}2 _{+ y}2 _{= 1 }}

4. f (x, y, z) = ln [ z (1 +x2 _{+ y}2 _{) ] üç değişkenli fonksiyonunun tanım kümesi}

aşağıdakilerden hangisidir? A. { (x, y, z) ∈ IR3 _{| z < 0 }} B. { (x, y, z) ∈ IR3 _{| z > 0 }} C. { (x, y, z) ∈ IR3 _{| z ≤ 0 }} D. { (x, y, z) ∈ IR3 _{| z ≥ 0 }} E. IR3 5. 6. f(x, y) = x2_{y + xy}3 _{ise f} x(1, -1) + fy(-1, 1) = ? A. -5 B. -4 C. -3 D. -2 E. -1 7. f (x, y) = x2 _{+ y}2 _{- 1 + 1 - x}2 _{- y}2 f (x, y) = ex2 - y2 ise fx (x, y) fy (x, y) = ? A. 2x y B. y 2x C. - x y D. x y E. 1

f (x, y, z) = sinx . cosy . tan z üç değişkenli fonksiyonu içi fy (π 4 , π4 , π4) - fz (π2 , 0 , π4) = ? A. 1 2 B. 0 C. -1 D. - 5 2 E. - 7 2

8. A. e2 B. -e2 C. -2e2 D. 2e2 E. 1 9. 10.

Değerlendirme Sorularının Yanıtları

1. C 2. D 3. E 4. B 5. C 6. A 7. D 8. C 9. A 10. D f (x, y) = e x y ise fy (2, 1) = ? D = [-1, 2] x [1, 3] olmak üzere x y2 dA = ? A. 1 B. - 5 3 C. 2 D. 7 3 E. 8 3 f(x, y) = ln( x2 _{+ y}2_{) ise f} x(x, y) + fy(x, y) = ? A. 1 x2 _{+ y}2 B. 2 x + y C. 2 x - y D. 2(x + y) x2 + y2 E. 1 y2 + 1x2