Lineer olmayan kısmi türevli diferensiyel denklemler: Tam ve yaklaşık çözümler

1

T.C.

NİĞDE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ MATEMATİK ANA BİLİM DALI

LİNEER OLMAYAN KISMİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER: TAM VE YAKLAŞIK ÇÖZÜMLER

GÜNEŞ DOĞAN

YÜKSEK LİSANS TEZİ

OCAK 2014 NİĞDE

T.C.

NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

LİNEER OLMAYAN KISMİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER: TAM VE YAKLAŞIK ÇÖZÜMLER

GÜNEŞ DOĞAN

Yüksek Lisans Tezi

Danışman

Yrd. Doç. Dr. Durmuş DAĞHAN

OCAK 2014

iii ÖZET

LİNEER OLMAYAN KISMİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER: TAM VE YAKLAŞIK ÇÖZÜMLER

DOĞAN, Güneş Niğde Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman : Yrd. Doç. Dr. Durmuş DAĞHAN

Ocak 2014, 55 sayfa

Bu tez çalışmasında, lineer olmayan Drinfeld-Sokolov denklem sisteminin tam çözümleri ^G'

G

 

 

 -açılım metotları ve direkt integrasyon ile elde edilmiştir. Modifiye- Benjamin-Bona-Mahony lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denkleminin tam çözümleri yine ^G'

G

 

 

 -açılım metotları, direkt integrasyon ve He’nin varyonel yaklaşımı kullanılarak, nümerik çözümler ise Runge-Kutta metodu kullanılarak elde edilmiştir.

Farklı metotlar kullanılarak elde edilen analitik çözümler karşılaştırılmış, analitik çözümün mümkün olmadığı durumda ise ilk defa nümerik çözümlere ulaşılmıştır.

Anahtar Sözcükler: G' G

 

 

 -açılım metotları, He’nin varyosyonel yaklaşımı, Nümerik çözüm, Drinfeld- Sokolov denklem sistemi, Modifiye-Benjamin-Bona-Mahony denklemi

iv SUMMARY

NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS:

EXACT AND APPROXIMATE SOLUTIONS

DOGAN, Gunes Nigde University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor : Assistant Professor. Dr. Durmus DAGHAN January 2014, 55 pages

In this thesis, the exact solutions of the nonlinear Drinfeld-Sokolov systems of equations are obtained by using the ^G'

G

 

 

 -expantion and direct integration methods.

The exact solutions of the nonlinear Modified-Benjamin-Bona-Mahony equation are obtained by using the ^G'

G

 

 

 -expantion, direct integration and He’s variational methods.

Runge Kutta method is used to find the numreical solutions of the Modified-Benjamin- Bona-Mahony equation. The analytic results obtained from different methods are compared. First time, we arrive the new numerical solutions of the Modified-Benjamin- Bona-Mahony equation which dos not have anyanalytical solution.

Keywords: G' G

 

 

 -expantions methods, He’s variational method, Numerical solutions, Drinfeld- Sokolov system of equations, Modified-Benjamin-Bona-Mahony equation

v

ÖN SÖZ

Lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemlerin gerek analitik gerekse nümerik çözümlerini bulmak oldukça zordur. Bu tür denklemlerin tam ve yaklaşık çözümlerinde kullanılan tekniklerin azlığı ve bu tekniklerin yetersizliği bilim adamlarını farklı analitik ve yaklaşım teknikleri geliştirmeye yöneltmiştir.

Tez kapsamında kullanılan bu yeni analitik teknikler ^G G

 

 

 -açılım metodu, ^G G

 

 

 - açılım metodunun yeni formu ve He’nin Semi-Inverse metodudur. Bu tez kapsamında Drinfeld-Sokolov (DS) kısmi türevli denklem sistemi ve Modifiye Benjamin-Bona- Mahony (MBBM) denkleminin tam çözümleri bu teknikler yardımıyla çözülmüştür.

Ayrıca, Modifiye Benjamin-Bona-Mahony (MBBM) lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denkleminin nümerik çözümleri Runge-Kutta metodu kullanılarak elde edilmiştir.

Tez çalışmalarım, seminerim ve okul hayatım boyunca bana her zaman yardımcı olan ve beni tecrübeleri ve bilgileriyle yönlendiren danışman hocam sayın Yrd. Doç. Dr.

Durmuş DAĞHAN’a teşekkür ederim. Ayrıca, benim bugünlere gelmemde desteklerini benden esirgemeyen canım annem Gülşen DOĞAN, canım babam Zarif DOĞAN, canım kardeşim Elvin Tansu DOĞAN ve canım arkadaşım Ece GÜREL’e teşekkürü bir borç bilirim.

vi

İÇİNDEKİLER

ÖZET ... iii

SUMMARY ... iv

ÖN SÖZ ... iv

İÇİNDEKİLER ... vi

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ ... viii

ŞEKİLLER DİZİNİ ... ix

BÖLÜM I GİRİŞ ... 1

BÖLÜM II GENEL KAVRAMLAR ... 3

BÖLÜM III KULLANILAN METOTLAR ... 6

3.1 G G      -Açılım Metodu ... 6

3.2 ^G G      -Açılım Metodunun Yeni Formu ... 10

3.3 He’nin Varyasyonel Yaklaşımı: Inverse Metod ... 12

3.4 Runge Kutta Metodu ... 13

BÖLÜM IV DRINFIELD SOKOLOV DENKLEM SİSTEMİNİN TAM ÇÖZÜMLERİ. ... 14

4.1 G G      - Açılım Metodu ... 14

4.2 ^G G      - Açılım Metodu’nun Yeni Formu ve Tam Çözüm ... 19

4.3 Direkt İntegrasyon ve Tam Çözüm ... 25

BÖLÜM V MODİFİYE - BENJAMİ - BONA - MAHONY DENKLEMİNİN TAM VE YAKLAŞIK ÇÖZÜMLERİ ... 29

5.1 ^G G      - Açılım Metodu ... 29

5.2 ^G G      - Açılım Metodu’nun Yeni Formu ve Tam Çözüm ... 32

5.3 He’nin Varyosyonel Yöntemi ve Tam Çözüm ... 38

vii

5.4 Direkt İntegrasyon ve Tam Çözüm ... 40

5.5 Nümerik Çözümler ... 44

BÖLÜM VI SONUÇLAR VE ÖNERİLER ... 51

KAYNAKLAR ... 52

ÖZ GEÇMİŞ ... 54

TEZ ÇALIŞMASINDA ÜRETİLEN ESERLER ... 55

viii

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ

Simgeler Açıklama

R Kapalı ve dikdörtgensel bölge L Lipschitz sabiti

 , İntegrasyon sabitleri c_i İntegrasyon sabitleri

 Keyfi sabit

 Keyfi sabit  Geçiş değişkeni

U' U







w Açısal hız

Kısaltmalar Açıklama

BBM Benjamin-Bona-Mahony Denklemi

MBBM Modifiye- Benjamin-Bona-Mahoni Denklemi KdV Korteweg-de Vries Denklemi

DS Drinfeld-Sokolov Denklem Sistemi RK-4 Runga Kutta Metodu

ix

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 5.1. wk0ve c  d e 0durumunda   k 1 ve   1parametreleri için analitik ve nümerik çözümler……….8 Şekil 5.2. wk 0 ve c  d e 0 durumundaw     k 1 ve   1değerleri için hiperbolik tip analitik ve nümerik çözümler………...9 Şekil 5.3. wk0vec  d e 0 durumundaw   k 1 ve   1 değerleri için trigonometrik tip analitik ve nümerik çözümler………...13 Şekil 5.4. wk0 durumundaw     k 1 ve   1 değerleri için hiperbolik tip için nümerik çözümler………15 Şekil 5.5. wk 0 durumundaw   k 1 ve    1 değerleri için trigonometrik tip için nümerik çözümler……….15 Şekil 5.6. (5.44) denkleminin hiperbolik tip çözümünün t [0, 4] aralığındaki yüzey grafiği ………..17 Şekil 5.7. (5.44) denkleminin trigonometrik tip çözümünün t[0, 4] aralığındaki yüzey grafiği………21

1 BÖLÜM I

GİRİŞ

Lineer olmayan kısmi türevli denklemlerin gerek analitik gerekse de nümerik çözümlerinin elde edilmesi çoğu zaman son derece zor hatta imkansız olmaktadır. Bu tür denklemlerin tam ve yaklaşık çözümlerinde kullanılan genel tekniklerin azlığı, özellikle de kuvvetli non-lineriteye sahip denklemlerde mevcut tekniklerin yetersizliği bilim adamlarını farklı analitik ve yaklaşım teknikleri geliştirmeye zorlamıştır. Tez kapsamında kullanılacak bu yeni analitik tekniklerden biri Wang, Li ve Zhang (Wang vd., 2008) tarafından verilen ^G'

G

 

 

 -açılım metodu, bir diğeri Li ve Wang (Li ve Wang , 2009) tarafından verilen ^G'

G

 

 

 -açılım metodunun yeni formu ve He’nin Semi-Inverse metodudur (He, 1997). Literatürde, bu metotlara benzer hatta eşdeğer metotlar da mevcuttur (Daghan vd.,). Bu yüzden, bu türden metotları kullanan bilim adamlarının metotlar arası benzerliklere, eşdeğerliklere de son derece dikkat etmesi gerekmektedir.

Ayrıca, farklı tekniklerle çözümler elde edilirken yapılan genel hatalardan (Kudryashov, 2009) da kaçınmak gerekmektedir.

Bu tez kapsamında, Drinfeld-Sokolov (DS) kısmi türevli denklem sistemi ve Modifiye Benjamin-Bona-Mahony (MBBM) denkleminin tam çözümleri yukarıda bahsi geçen teknikler yardımıyla sunulacaktır. Drinfeld ve Sokolov tarafından verilen DS sistemi Lax çiftine sahip kısmi türevli lineer olmayan bir sistemdir (Göktaş ve Hereman, 1997).

İlk defa Benjamin vd. (Benjamin vd., 1972) tarafından verilen Benjamin-Bona-Mahony (BBM) denklemi Korteweg de Vries (KdV) denklemine alternatif bir modeldir. Uzun dalga denklemleri olarak da bilinirler ve lineer olmayan dağıtıcı ortamlarda uzun dalga yüzeyleri için verilmiş bir yaklaşımdır. BBM denkleminin mevcut bir çok modifiye versiyonu olup, bu versiyonlardan biri bu tez çalışmasında sunulacaktır.

Bu çalışma altı bölümde düzenlenerek sunulmuştur. Birinci bölümde konuya genel bir giriş yapılmış, ikinci bölümde temel kavramlar ve çözülecek denklemler tanıtılmıştır.

2

Üçüncü bölüm, kullanılacak metotların tanıtımına ayrılmıştır. Dördüncü bölüm de lineer olmayan DS kısmi türevli denklem sisteminin tam çözümleri sunulmuştur.

Beşinci bölümde, MBBM lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemin tam ve yaklaşık çözümleri elde edilmiş olup, tez kapsamında yapılan yeni çalışmaları içermektedir. Son bölümde ise yapılan çalışmalar kısaca özetlenmiştir.

3 BÖLÜM II

GENEL KAVRAMLAR

Tanım 2.1 x bağımsız, yy(x) bağımlı değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre türevleri y ', y '', y ''',..., y⁽ⁿ⁾ olmak üzere, adi türevli diferansiyel denklemler kapalı formda aşağıdaki gibi verilir (Aydın vd., 1995).

F(x, y, y ', y '', y ''',..., y )(n) 0 (2.1)

Tanım 2.2 x, t bağımsız,uu(x, t) bağımlı değişken olmak üzere, bağımlı değişkenin bağımız değişkenlere göre çeşitli mertebelerden kısmi türevlerini içeren kısmi türevli diferansiyel denklem kapalı formda aşağıdaki gibi verilir (Aydın vd., 1995).

x t xx tx tt

P(u, u , u , u , u , u ,....)0 (2.2)

Tanım 2.3 f (x, y) fonksiyonu (x₀,y₀) noktasını içeren bir R bölgesinde tanımlı ve sürekli, temsil ettiği bölge ise kapalı ve dörtgensel olsun. Eğer R bölgesindeki bütün

1 2

, ,

x y y değerleri için f (x, y ) f (x, y )₁  ₂ L y₁y₂ eşitsizliğini sağlayacak bir L0 sayısı varsa, f (x, y)fonksiyonu Lipschitz şartını sağlıyor denir (Aydın vd., 1995).

Teorem 2.4 f (x, y)fonksiyonu, xy düzleminde bir (x , y ) noktasını içeren bir _{0 0} R bölgesinde tanımlansın. y 'f (x, y), y(x )₀ y₀ ve f (x, y) fonksiyonu R bölgesinde sürekli ve Lipschitz şartını sağlıyor olsun. Bu durumda (x , y ) noktası _{0 0} Rbölgesinin iç noktası ise başlangıç değer probleminin xx₀ haralığı üzerinde bir ve yalnız bir çözümü olacak biçimde bir h 0 sayısı vardır (Aydın vd., 1995).

4

Tanım 2.5 Drinfeld-Sokolov Denklem Sistemi (DS)

Drinfeld-Sokolov denklem sistemi,

U

ve

V

bağımlı

x

ve t bağımsız değişkenler olmak üzere aşağıdaki formda verilebilir (Wang, 1996; Olver, 1993; Göktaş ve Hereman, 1997).

 

²

t x

U  V 0

t xxx x x

V aV 3bU V3kUV 0 (2.3)

Sistem ilk defa Drinfeld ve Sokolov tarafından verilmiş, Lax çiftine sahip kısmi türevli lineer olmayan bir sistemdir (Göktaş ve Hereman, 1997). Fiziksel motivasyonu Gürses ve Karasu tarafından detaylı olarak ele alınmıştır (Gürses ve Karasu, 1999). Literatürde Drinfeld-Sokolov sistemi için bir çok farklı metot kullanılarak çözümler edilmeye çalışılmıştır (Sweet ve Gorder, 2010a-c; Ugurlu ve Kaya, 2008; He, 2004; Sweet ve Gorder, 2012).

Tanım 2.6 Korteveg-de Vries Denklemi (KdV)

Korteveg-de Vries denklemi, su dalgası yüzeyi, plazmadaki ses dalgası iyonları gibi birçok fiziksel olayı ifade eden kısmi türevli bir denklem olup aşağıdaki formda verilebilir (Wang vd., 2008).

t x xxx

U UU  U 0 (2.4)

Tanım 2.7 Benjamin-Bona-Mahoni Denklemi (BBM)

Benjamin-Bona-Mahony denklemi Korteweg de Vries denklemine alternatif bir model olarak Benjamin vd. (Benjamin vd., 1972) tarafından oluşturulmuş kısmi türevli denklem olup aşağıda verilmiştir.

t x x xxt 0

U U UU U  (2.5)

5

Bu tür denklemler uzun dalga denklemleri olarak da bilinirler. Lineer olmayan dağıtıcı ortamlarda uzun dalga yüzeyleri için verilmiş bir yaklaşımdır.

Tanım 2.8 Modifiye Benjamin-Bona-Mahoni Denklemi (MBBM)

(2.7) ile verilen BBM denkleminin bir çok farklı modifiye versiyonu literatürde (Modifiye Benjamin-Bona-Mahony (MBBM) ) çalışılmıştır (Wazwaz ve Helal, 2005;

Nickel, 2007; Yusufoğlu ve Bekir, 2008; Aslan, 2009; Layeni ve Akinola, 2010).

MBBM denklemi farklı fiziksel sistemlerin çözümlerinde kullanılmaktadır. Örneğin, dondurulmuş plazmadaki hidromanyetik dalgalanmaları, enhormanic kristaldeki akustik dalgalar v.s. alanlarda geniş uygulama bulmaktadır (Saut ve Tzetkov, 2004; Varlamov ve Liu, 2004). Mevcut modifiye versiyonlardan biri ise (Aslan, 2009)’da aşağıdaki şekilde verilmiştir.

2 0

t x x xxt

U U U U U  (2.6)

Burada  , ve  keyfi reel sabitleri göstermektedir. Ayrıca, MBBM denkleminin başlangıç değer problemi olarak varlık ve tekliği Tso (Tso, 1996) tarafından yapılan çalışmada tartışılmıştır.

6 BÖLÜM III

KULLANILAN METOTLAR

3.1 G G

 '

 

 -Açılım Metodu

Lineer olmayan denklemlerin hareketli dalga çözümlerinin elde edilmesinde kullanılan ve tam çözüm veren ^G'

G

 

 

 -açılım metodu, Wang, Li ve Zhang (Wang vd., 2008) tarafından önerilmiştir. Kapalı formda (2.2) ile verilen kısmi türevli diferansiyel denkleme

x wt, U( ) U(x, t)

     (3.1)

dönüşümü uygulanırsa aşağıda verilen adi türevli denklem elde edilir.

P(U, wU ', U ', w U '' wU ''...) 2  0 (3.2)

 ve  keyfi sabitler, GG( ) olmak üzere, ikinci mertebeden, sabit katsayılı, lineer, homojen bir diferansiyel denklem aşağıdaki şekilde tanımlansın.

G ''    G ' G 0 (3.3)

(3.2) ile verilen diferansiyel denklemin çözümü metot gereği aşağıda verilen formda aranır (Wang vd., 2008).

m m 1

m m 1 0

G ' G '

U( ) ... 0

G G





   

             (3.4)

(3.2) denkleminin en yüksek dereceli lineer ve lineer olmayan terimleri arasında ayar yapılarak m sabiti belirlenir. Belirlenen m sabiti ile (3.4) denklemi (3.2) denkleminde

7 yerine yazılırsa G'

G

 

 

 ’nin kuvvetlerine göre yazılan cebirsel bir denkleme dönüşür. Bu cebirsel denklemin kuvvetlerinin katsayılarının sıfıra eşitlenmesi durumunda, , , w ,

m, m 1_, ...., 0

   katsayılarına bağlı cebirsel bir denklem takımına ulaşılır. İlk olarak elde edilen cebirsel denklem takımı çözülür ve (3.4) denklemi ile verilen denklemde yerine yazılırsa (3.2) ile verilen adi türevli denklem çözülmüş olur. İkinci olarak, (3.1) denkleminde verilen dönüşüm tekrar kullanılırsa, (2.2) ile verilen kısmi türevli denklemin çözümü elde edilmiş olur. Elde edilen çözümler, (3.3) denkleminden de görüleceği üzere   ² 4 ifadesinin durumuna göre farklı tiplerde ifade edilebilir. Bu üç farklı tip: hiperbolik, trigonometrik ve rasyonel fonksiyonlar cinsinden ifadeler olup, aşağıda detaylı bir şekilde incelenmiştir.

Birinci tip:    ² 4 0

 ve keyfi integrasyon sabitleri olmak üzere (3.3) denkleminin çözümü ²40 olması durumunda

2 2

2 2

4 4

4 4

2 2

2 2 2

G( ) e e e

e e

   

   

     

                  

 

  

 

 

    

(3.5)

şeklinde elde edilir. Burada,

2

2 2

2

2 2

4

4 4

e 2 cosh sinh

2 2

4μ

4μ 4μ

e 2 = cosh sinh

2 2

  

          

   

   

   

   

  

        

    

   

   

(3.6)

şeklinde hiperbolik fonksiyonlar kullanılırsa çözüm aşağıdaki şekilde yazılabilir.

8

2 2 2 2

4 4 4 4

2 2

G( ) e cosh sinh e cosh sinh

2 2 2 2

 

             

              

         

       

         

    (3.7)

Basit bir düzenleme ile bu çözüm aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir.

2 2

2 4 4

G( ) e ( ) cosh ( ) sinh

2 2

          

         

   

    

 

(3.8)

(3.8) denkleminde   c ,₁   c₂ olarak seçilirse çözüm,

2 2

2

1 2

4 4

( ) cosh sinh

2 2

G e c c

          

    

   

    

 

(3.9)

şeklinde ifade edilir. Burada G'( ) ifadesi,

2 4 2 4

'( ) 2 cosh sinh

1 2

2 2 2

2 4 2 4 2 4

2 sinh cosh

1 2

2 2 2

G e c c

e c c

     

             

         

     

              

   

 

     

     

(3.10)

şeklinde olup,

2 2

1 2

2

2 2

1 2

4 4

sinh cosh

2 2

4 ' ( )

2 2 4 4

cosh sinh

2 2

c c

G G

c c

          

     

     

           

        

             

(3.11)

olarak elde edilir.

İkinci tip:    ² 4 0

9

Yukarıda verilen hiperbolik tipe benzer olarak: ve  keyfi integrasyon sabitleri olmak üzere (3.3) denkleminin çözümü ²4 0 durumunda

2 i 4 2

i 4 2 2

G( ) e e

    

      

     (3.12)

şeklinde yazılabilir. (3.12) denklemi ile verilen çözümün trigonometrik fonksiyonlarla ifadesi için,

e

^icos i sindönüşümü yapılırsa,

4 2

2

  

  olmak üzere,



^{i i}



G( ) e 2 e e

   

    (3.13)

şeklinde yazılabilir. Bu ifadede gerekli düzenlemeler yapılırsa

 

G( ) e 2 (cos i sin ) (cos i sin )



           (3.14)

sonucuna varılır. Basit bir düzenleme ile,

G( ) e 2 (( ) cos ( ) i sin )



         (3.15)

ifadesi elde edilir. (3.15) denkleminde   c , i(₁   ) c₂seçilirse

2

1 2

( ) ( cos sin )

G e c c

  ^    (3.16)

ifadesi elde edilir. G'( ) değeri hesaplanır ve ' G ( )

G 

 

 

  ifadesinde  değeri de açık olarak yazılırsa,

10

2 2

1 2

2

2 2

1 2

4 4

sin cos

2 2

4 ' ( )

2 2 4 4

cos sin

2 2

c c

G G

c c

          

     

      

           

        

               

(3.17)

şeklinde elde edilir.

Üçüncü tip:    ² 4 0

c1 ve c₂ keyfi integrasyon sabitleri olmak üzere (3.3) denkleminin çözümü

2 4 0

    durumunda,

1 2 2 2

c c

G( ) e e

 

 

    (3.18)

şeklinde yazılır. Buradan G'( ) ifadesi hesaplanır ve ' G ( )

G 

 

 

  ifadesinde kullanılırsa istenilen oran aşağıdaki gibi elde edilir.

2

1 2

c G ' ( )

G 2 c c

     

   

  (3.19)

3.2 G G

 '

 

 -Açılım Metodunun Yeni Formu

' G

G

 

 

 -açılım metodunun yeni formu Li ve Wang (Li ve Wang, 2009) tarafından geliştirilmiştir. Bir önceki metotta yapılanlara benzer olarak kısmi türevli denklem uygun bir dönüşümle adi türevli bir denkleme (3.2) denklemindeki gibi dönüştürülebilir. GG( ) şeklinde bir fonksiyon,  keyfi bir sabit olmak üzere ikinci dereceden, sabit katsayılı, lineer homojen

G ''  G 0 (3.20)

11

diferansiyel denkleminden hareketle denklemin çözümü yeni form gereği

m m

m m

G ' G '

U( ) ... ...

G G





   

          

    (3.21)

şeklinde aranır. (3.2) denkleminde en yüksek mertebeli lineer ve lineer olmayan terimler arasında ayar yapılarak m sabiti belirlenip yerine yazılırsa U( ) çözümünün kapalı haline ulaşılır. Belirlenen m sabiti ile (3.21) denklemi (3.2) denkleminde yerine yazılırsa ^G'

G

 

 

 ’nin pozitif ve negatif kuvvetlerine göre bir denklem elde edilir. Bu kuvvetlerin katsayıları sıfıra eşitlenirse, ,, w,_m, _{m 1} , ..., ₀ katsayılarına bağlı cebirsel bir denklem takımı elde edilir. Elde edilen cebirsel denklem takımı çözülüp, (3.21) denkleminde yerine yazılırsa (3.2) denklemi çözülmüş olur. (3.1) denklemi ile verilen dönüşüm tekrar uygulanırsa (3.2) denkleminde verilen kısmi türevli denklemin çözümü elde edilmiş olur. Ayrıca, elde edilen çözümler, (3.20) denkleminden de görüleceği üzere  ifadesinin durumuna göre farklı tiplerde ifade edilebilir. Bu üç farklı tip, yine hiperbolik, trigonometrik ve rasyonel fonksiyonlar cinsinden ifadeler olup aşağıda verilmiştir.

Ayrıca burada şunu da not edelim ki (3.11), (3.17) ve (3.19) denklemlerinde  0 alınarak bu sonuçlar kolaylıkla görülebilir. İki metot arasındaki ilişkiler (Daghan vd.,) tarafından detaylı bir şekilde incelenmiştir. c ve ₁ c keyfi integrasyon sabitleri olmak ₂ üzere durumlar her tip için şu şekildedir:

Birinci tip:  0

'

1 2

1 2

c sinh c cosh G ( )

G c cosh c sinh

 

  

 

 

   

   

   

(3.22)

İkinci tip:  0

12

'

1 2

1 2

c sin c cos G ( )

G c cos c sin

  

  

 

 

   

   

   

(3.23)

Üçüncü tip:  0

'

2

1 2

G c

G ( ) c c

  

    

 

(3.24)

3.3 He’nin Varyasyonel Yaklaşımı: Inverse Metod

Varyasyonel yaklaşım esasına dayanan bu teknik oldukça güçlü ve etkili bir metottur (He, 1997; He, 2004a; He, 2004b). (2.2) denklemine benzer formda verilen bir kısmi türevli denklem (

u  u x t ( , )

olmak üzere)

  cx  kt

dönüşümü altında

u ( ) 

bağımlı değişkene bağlı olarak (2.1) de verilen bir adi türevli denkleme benzer bir denkleme dönüştürülür ve adi türevli denklem için varyasyonel formül aşağıdaki genel halde verilebilir.

 

0

( , , , ', '',...)

J u ^



f c k u u u d (3.25) p ve q daha sonra belirlenecek sabitler olmak üzere hareketli dalga çözümü

 

^sec

 

u   p h q (3.26)

formunda aranır. (3.26) denklemi (3.25) denkleminde yerine yazılır ve ifadenin integrasyonu alınırsa,

( , , , )

J g c k p q (3.27)

elde edilir. J ’nin p ve q değişkenlerine göre türevleri ise metot gereği sıfırdır. Yani

0, 0

J J

p q

   

  (3.28)

13

(3.28) denkleminden p ve q ifadeleri çözülür ve (3.26) denkleminde yerlerine yazılırsa adi türevli denklemin tam çözümü elde edilir.

  cx  kt

ifadesi elde edilen ifadede yerine yazılırsa da kısmi türevli denklemin tam çözümü elde edilmiş olur.

3.4 Runge Kutta Metodu (RK-4)

Adi türevli diferansiyel denklemlerin nümerik çözümlerinde kullanılan metotlardan biri olan dört adım Runge-Kutta yöntemi mevcut nümerik yöntemler arasında belki de en çok bilinen ve kullanılan metot olup, kısaca şu şekilde özetlenebilir. f, [x x ] ₀, _N aralığında tek bir çözüme sahip olan bir fonksiyon, h adım aralığı, N de adım sayısı olmak üzere, x₁h x, ₂ 2 ,...,h x_N  x₀ Nh için

( , ),

y  f x y y x

 

0  y0 (3.25)

şeklinde verilen başlangıç değer problemi sayısal olarak çözülebilir. ^{O h}

 

² yerel kesim hatasına sahip olan dört adım Runge-Kutta yöntemi, n0,1,...,N1

 

0 0, y x  y

 

1 _n, _n ,

k hf x y

2 1

, 1 ,

2 2

n n

k hf x h y  k 

3 2

, 1 ,

2 2

n n

k hf x h y  k 

 

4 _n 1, _n 3 ,

k hf x_ y k

 

1 1 2 3 4

1 2 2

n n 6

y _  y  k  k  k k (3.26)

şeklinde verilir (Bayram, 2002). Tez kapsamında yapılan nümerik çözümlerde, bu metotla birlikte Matlab yazılımının Ode-45 nümerik paket programı kullanılmıştır.

14 BÖLÜM IV

DRINFELD-SOKOLOV DENKLEM SİSTEMİNİN TAM ÇÖZÜMLERİ

4.1 G G

 '

 

 -Açılım Metodu ve Tam Çözüm

(2.3) denklemi ile verilen DS kısmi türevli denklem sistemine    x t dönüşümü uygulanırsa

 

²

U ' V ' 0

   (4.1a)

V ' aV ''' 3bU ' V 3kUV ' 0

     (4.1b)

denklem sistemi elde edilir. (4.1a) ile verilen denklem tam diferansiyel olup, integre edilirse,

c

keyfi bir integrasyon sabiti olmak üzere



²



U 1 V c

 (4.2)

ifadesi elde edilir. (4.2) denklemi (4.1b) denkleminde yerine yazılırsa,

2 2

a V '''  V ' (6b 3k)V V ' 3kcV '   0 (4.3)

diferansiyel denklemine ulaşılır (Daghan vd.,; Yıldız, 2011). (4.3) denklemi tam diferansiyel bir denklemdir. Eğer integre edilirse,

e

bir integrasyon sabiti olmak üzere,

2 3

a V ''  V (2b k)V 3kcV e 0 (4.4)

15

şeklinde bulunur (Daghan vd.,; Yıldız, 2011). (4.4) denkleminin V '' lineer ve V³ lineer olmayan terimleri arasında ayar yapılırsa m1 olarak belirlenir. Bu durumda (4.4) denklemin çözümü ise

1 0 1

V( ) G ' , 0

G

 

        (4.5)

formunda elde edilmiş olur. (4.5) denklemi, (4.4) denkleminde yerine yazılırsa,

3 2

1 2 3 4

G ' G ' G '

C C C C 0

G G G

        

     

      (4.6)

denklemine ulaşılır. Burada C , C , C , C katsayıları aşağıdaki şekilde verilebilir _{1 2 3 4} (Daghan vd.; Yıldız, 2011).

2 2

1 1 1

C : 2      b k 2a 0 (4.7a)

2 1 0 1 0

C : 2        b k a 0 (4.7b)

2 2 2 2

3 0 0

C : 6          b 3 k a 2a 3ck0 (4.7c)

3 3 2

4 1 0 0 0

C :  a 2a b      k 3 ck e 0 (4.7d)

(4.7a-d) ile verilen denklem sistemi çözülürse



²



2

1 0

2 3ck

2a 2a

, , 2b k 0, 4 , e 0

2b k 2 2b k a

    

            

   (4.8)

sonuçlarına ulaşılır (Daghan vd.,; Yıldız, 2011). Elde edilen bu sonuçların (4.5) denkleminde kullanılması ile çözüm,

2a G '

V( ) 2b k G 2

    

       (4.9)

şeklinde genel olarak elde edilir (Daghan vd.,; Yıldız, 2011). (4.9) denklemi ile verilen çözüm,   ² 4 ifadesine bağlı olarak üç durum için aşağıda verilmiştir.

16 Birinci tip:    ² 4 0

2 2

1 2

2

1 2 2

1 2

4 4

c sinh c cosh

2 2

2a 4 V ( )

2b k 2 4 4

c cosh c sinh

2 2

          

     

   

 

  

    

    

           

    

    

    

 

(4.10)

burada c , c keyfi sabitler ve _{1 2 2} ²



^{2 3ck}



4 a

     

 şeklindedir.   x t dönüşümü ile çözüm:

   

   

2 2

1 2

2 2

1 2

2

1

4 4

c sinh x t c cosh x t

2 2

4 4

c cosh x t c sinh x t

2 2

2a 4

V (x, t)

2b k 2

     

    

     

    

   

  

    

   

 

   

 

     

     

 

     

(4.11)

olarak elde edilir. Özel halde (4.10) ile verilen çözümde  0,  0 ve

2 3ck

2a

  

 alınması durumunda çözüm

   

   

2 1 2

2

1 2

c sinh c cosh

V ( ) 3ck

2b k c cosh c sinh

      

   

  

 

       

(4.12)

şeklinde elde edilir. (4.12) ile verilen çözümde c₁ 0, c₂ 0 seçilirse

 

2 3

V ( ) 3ckcoth

2b k

      

 (4.13)

sonucuna, c₂ 0, c₁0 olması durumunda ise

17

 

2 4

V ( ) 3ck tanh

2b k

      

 (4.14)

sonucuna ulaşılır.

İkinci tip:    ² 4 0

2 2

1 2

2

5 2 2

1 2

4 4

c sin c cos

2 2

4 V ( ) 2a

2b k 2 4 4

c cos c sin

2 2

          

     

 

  

    

                

(4.15)

burada c , c integrasyon sabitleri, _{1 2} 2 2



² 3ck



4 a

     

 ile verilmiştir. Yine x t

   dönüşümü için çözüm,

   

   

2

2 2

1 2

5 2 2

1 2

4 4

c sin x t c cos x t

2 2

V (x, t) 3ck

2b k 4 4

c cos x t c sin x t

2 2

     

     

   

      

    

    

   

     

     

                        

(4.16)

şeklinde elde edilir. (4.15) ile verilen çözümde 0,  0 ve

3ck 2

2a

  

 seçimleri yapılırsa

   

   

2 1 2

6

1 2

c sin c cos

V ( ) 3ck

2b k c cos c sin

      

  

  

 

       

(4.17)

elde edilir. Burada da c₁ 0, c₂ 0 için

18

 

2 7

V ( ) 3ck cot

2b k

     

 (4.18)

çözümüne, c₂ 0, c₁0 durumunda ise,

 

2 8

V ( ) 3ck tan

2b k

    

 (4.19)

çözümüne ulaşılır.

Üçüncü tip:    ² 4 0

c ve 1 c integrasyon sabitleri olmak üzere çözüm, ₂

2 9

1 2

2a c V ( )

2b k c c

 

       (4.20)

şeklinde verilir. (4.20) ile verilen çözümde   x tdönüşümü kullanılırsa çözüm,

2 9

1 2

c V (x, t) 2a

2b k c c (x t)

 

       (4.21)

şeklinde elde edilir. Özel halde c₁0, c₂ 0 olmak üzere çözüm basit bir şekilde aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

10

2a 1

V ( )

2b k

   

  (4.22)

Böylece, V_{1 10} ile verilen çözümler (4.2) ifadesinde yerlerine yazılırsa U_{1 10} çözümlerine ulaşılır.

19 4.2 G

G

 '

 

 -Açılım Metodunun Yeni Formu Ve Tam Çözüm

(4.4) denkleminde, V '' lineer ve V³ lineer olmayan terimleri arasında ayar yapılırsa

1

m olarak bulunur. Bu durumda çözüm,

1

1 1 1

G ' G '

U( ) , 0

G G



    

          (4.23)

şeklinde aranır. (4.23) denklemi, (4.4) denkleminde kullanılırsa ^{G '} G

 

 

  terimlerinin katsayıları aşağıdaki şekilde elde edilir (Daghan vd.,; Yıldız, 2011).

3

2 2

1 1 1

G ' : ( 2 b 6 k 2a ) 0 G

         

 

  (4.24a)

1

2

1 1 1 1 1

G ' : ( 6 b 3 k 2a 3ck) 0

G ^{ }

             

 

  (4.24b)

G ' 0

: e 0 G

  

 

  (4.24c)

1

2

1 1 1 1 1

G ' : ( 6 b 3 k 2a 3ck) 0

G



  

              

 

  (4.24d)

3

2 2 2

1 1 1

G ' : ( 2 b k 2a ) 0

G



  

         

 

  (4.24e)

Bu cebirsel denklem takımının çözülmesiyle aşağıda verilen çözümlere ulaşılır (Daghan vd.,; Yıldız, 2011).

I.Durum:

2

1 1

2a 3ck

, 0, , e 0

2b k ^ 2a

  

        

  (4.25a)

20 II.Durum:

2

1 1

2a 2a 3ck

, , , e 0

2b k ^ 2b k 4a

   

         

   (4.25b)

III.Durum:

2

1 1

2a 2a 3ck

, , , e 0

2b k ^ 2b k 8a

   

         

   (4.25c)

Bu üç duruma ait üç farklı tip çözüm ise aşağıda verilmiştir.

Birinci tip:  0

2 1

2a G ' 3ck

V ( ) ,

2b k G 2a

    

          (4.26a)

1 2

2

2a G ' 2a G ' 3ck

V ( ) ,

2b k G 2b k G 4a

       

            (4.26b)

1 2

3

2a G ' 2a G ' 3ck

V ( ) ,

2b k G 2b k G 8a

       

             (4.26c)

Burada,

'

1 2

1 2

c sinh c cosh

G ( )

G c cosh c sinh

 

  

 

 

 

 

   

   

ile tanımlanmıştır. Yukarıda verilen üç tip çözüm farklı gibi görünse de dikkatli bir incelemeden sonra bu çözümlerden ikisinin aynı tip çözüm olduğunu belirlemek hiç de zor değildir. Bu durum aşağıdaki sonuçla ispatlanmıştır (Daghan vd.,).

Sonuç 4.1. (4.26c) ile verilen V3

 

 çözümünü 4, c₁2c c_{1 2} ve c₂  c₁² c₂² kabulleri altında (4.26a) ile verilen V1

 

 çözümüne eşdeğerdir.

İspat.

21

1 2

1 2

c sinh c cosh

g

c cosh c sinh

 

  

 

 

 

 

şeklinde bir tanımlama yapılırsa, V3

 

 çözümü

  

¹



3

2 2

V a g g

b k

      ^

 (4.27)

şeklinde yazılır. ²

1

c

  c olmak üzere

   

   

e e

g

e

1 1

e 1 1

  

  

    

 

    

 

   

   

1 e e

g

e

1 1

e 1 1

  



  

 

    

 

   

 

(4.28)

olup, bu terimlerin toplamından aşağıdaki ifadeye ulaşılır.

   

   

2 2

2 2

1

2 2

2 2

e e

g g 2

e

1 1

e 1 1

  

   

      

 

    

 

(4.29)

(4.29) denklemi, hiperbolik fonksiyonlar cinsinden aşağıdaki gibi yazılır.

   

2 1

2

2 sinh 2 cosh 2

g g 2

2 cosh 2 sinh 2

1 1

   

 

  

   

 

   

 

(4.30)

(4.27) denkleminde  ve gg^1 ifadeleri kullanılırsa;

  ^{ }  

   

2 2

1 2 1 2

3 2 2

1 2 1 2

2 V

2

c c sinh 2 c c cosh 2

2a 2

2b k c c cosh 2 c c sinh 2

 

   

  

  

 

   

(4.31)

elde edilir. (4.31) denkleminde basit bir düzenleme yapılırsa

22

  ^{ }  

   

2 2

1 2 1 2

3 2 2

1 2 1 2

2 4 4

V

2 4 4

c c sinh c c cosh

2a 4

2b k c c cosh c c sinh

   

     

  

  

  

   

 

(4.32)

şeklinde yeniden yazılır.

2 3

2 ck a

 



   ve   x t olmak üzere, (4.32)

denkleminde 4  , 2c c_{1 2} c₁ve c₁²c₂² c₂ seçimleri yapılırsa, (4.27) denklemi aşağıdaki gibi elde edilir ki bu da ispatı tamamlar.

  ^{ }  

    ^{ }

2 2

1 2 1 2

3 2 2 1

1 2 1 2

2 2

c c sinh c c cosh

V 2a V

2b k c c cosh c c sinh

   

     

    

  

   

 

     

(4.33)

İkinci tip:  0

2 4

2a G ' 3ck

V ( ) ,

2b k G 2a

    

         (4.34a)

1 2

5

2a G ' 2a G ' 3ck

V ( ) ,

2b k G 2b k G 4a

       

            (4.34b)

1 2

6

2a G ' 2a G ' 3ck

V ( ) ,

2b k G 2b k G 8a

       

             (4.34c)

Burada da

 

^{1 2}

1 2

c sin c cos

c cos c sin

G G

  

  

 

     

   

   

ile tanımlanmıştır. Sonuç

4.1 ile verilen bir önceki durum, burada V ve ₄ V çözümleri için de söz konusudur ₆ (Daghan vd.,). Bu durum da aşağıda Sonuç 4.2 ile ispatlanmıştır.

Sonuç 4.2. (4.34c) ile verilen V6

 

 çözümünü 4, c₁2c c_{1 2} ve c₂  c₁² c₂² kabulleri altında (4.34a) ile verilen V4

 

 çözümüne eşdeğerdir.

23 İspat.

2

2

1 1

c sin c cos

g

c cos c sin

  

  

 

 

 

 

olmak üzere V6

 

 çözümü

  

¹



6

2 2

V a g g

b k

      ^

 (4.35)

şeklinde yazılabilir. ²

1

c

  c kabulü altında

   

2 1

2

2 sin 2 cos 2

g g 2

2 cos 2 sin 2

1 1

    

 

  

   

 

   

 

(4.36)

olup, (4.35) denkleminde  ve gg^1 ifadeleri yerlerine yazılırsa aşağıdaki çözüme ulaşılır.

  ^{ }  

   

2 2

1 2 2 1

6 2 2

1 2 2 1

4 cos 4

V

cos 4 sin 4

2c c sin c c

2a 4

2b k 2c c c c

 

   

   

  

 

   

 

(4.37)

2 3ck

2a

   

 ve   x t olmak üzere, (4.37) denkleminde 4  , 2c c_{1 2} c₁ve

2 2

1 2 2

c  c c seçilirse

 

^{1 2}

 

6 4

1 2

V cos

cos sin

c sin c

2a V

2b k c c

 

 

 

   

    

    

(4.38)

elde edilir ki bu da ispattır.

Üçüncü tip:  0

24

(4.26a-c) denklemleri ile verilen tüm durumlar için çözüm,

c

₁ ve

c

₂ keyfi integrasyon sabitleri olmak üzere

2 7

1 2

2a c V ( )

2b k c c

 

       (4.39)

şeklinde verilir. Ayrıca, burada   x t ve    3ck dir.

Böylece, V1 7_

 

 ile verilen çözümler ilgili denklemlerde yerine yazılırsa U1 7_

 

 çözümlerine ulaşılır. Son olarak, V1 7_

 

 ve U1 7_

 

 çözümlerinde   x t dönüşümü kullanılırsa, (2.3) denklemi ile verilen DS sisteminin tam çözümleri elde edilmiş olur.

G G

 

 

 -açılım metodunun yeni formu ile 1. ve 3. durumda da sunulan çözümlerin aynı tip çözümler olduğu yukarıda verilen sonuçlarla ispatlanmıştır. 0durumunda ise

G G

 

 

 -açılım metoduyla elde edilmiş çözümlere ulaşılır (Daghan vd.,). Yani Durum 1 = Durum3 olmaktadır. Ayrıca, Durum 2’de elde edilen çözümler, Durum 1 ve Durum 3 den farklıdır. Durum 2 ile verilen çözümleri hiperbolik ve trigonometrik fonksiyonlar türünden ise aşağıdaki gibi vermek mümkündür (Daghan vd.,).

     

   

2 2 2

2 1

2 2 2

2 2

1 2 1 2

V

2 cosh sinh

2 3ck c c

2b k 3ck 3ck

c c c c

a a

 

   

 

 

    

 

 

       

(4.40)

     

   

2 2 2

1 2

5 2 2

2 2

1 2 2 1

V

2 cos sin

2 3ck c c

2b k 3ck 3ck

c c c c

a a

 

 

 

 

    

        

(4.41)

25

Açıkça görüleceği üzere, bu iki çözüm diğerlerinden farklıdır ve G G

 

 

 -açılım metoduyla elde edilememiştir (Daghan vd.,).

4.3 Direkt İntegrasyon Ve Tam Çözüm

Direkt integral alarak tam bir çözüm elde etmek bu sistem için mümkün olup, yukarıda verilen metotlarla elde edilen çözümlerle de karşılaştırılabilmektedir. (4.3) denklemi V ile çarpılırsa

 

2 3

2 3 0

a V V   VV bk V V ckVeV (4.42)

elde edilir. (4.42) denklemi integrallenebilir bir denklem olup,

   

2 2 2

2 4

3 0

2 2 4

a V V b k

V ckV eV

  ^  ^{ }

           

      

    (4.43)

şekline tam diferansiyel olarak yeniden yazılırsa, f keyfi bir integrasyon sabiti olmak üzere, bir integrasyon ile aşağıdaki denkleme ulaşılır.

2 2 2

2 4

3 0

2 2 4

a V V b k

V ckV eV f

          (4.44)

Gerekli düzenlemeler yapılırsa aşağıda verilen birinci mertebeden denklem elde edilir.

2

4 2

2 3 2 2

2

b k ck e f

V V V V

a a a a



   

 

       

          

        (4.45)

(4.45) denkleminin integrallenmesi durumunda ise

 

4 2 2

2 3 2 2

2

a dV d

b k

V ck V eV f

 



 

      

 

 

 

(4.46)