sol ve sag fonksiyonlar¬ile uxx+ uyy = f (x

B ¨ol ¨um 9

Laplace ve Poisson Denklemi

Bu bölümde esas itibariyle [0; a] [0; b] üzerinde tan¬ml¬ parçal¬ düzgün alt; ust; sol ve sag fonksiyonlar¬ile

u_xx+ u_yy = f (x; y); (x; y)2 (0; a) (0; b) Poisson denklemini analitik çözüme izin veren

a₁₁u(0; y) + a₁₂u_x(0; y) = sol(y);ya a116= 0 veya a¹²6= 0 a₂₁u(b; y) + a₂₂u_x(b; y) = sag(y);ya a21 6= 0 veya a²²6= 0;

b₁₁u(x; 0) + b₁₂u_y(x; 0) = alt(x);ya b116= 0 veya b¹²6= 0 b₂₁u(x; b) + b₂₂u_y(x; b) = ust(x);ya b21 6= 0 veya b²² 6= 0

ayr¬k s¬n¬r ¸sartlar¬ ile gözönüne alarak inceliyoruz. f 0olmas¬durumunda denklem Laplace denklemi olarak adland¬r¬l¬r. Her hangi bir s¬n¬r ¸sart¬n- daki katsay¬lar¬n her ikisinin birden s¬f¬rdan farkl¬ olmas¬ durumu say¬sal çözüm gerektirir ki bu durumlar için [6] kayna¼g¬n¬öneririz.

Bu bölümde, yukar¬daki formatta verilen Laplace veya Poisson problemin çözümünün

gerekti¼ginde alt problemlere ayr¬lmak suretiyle daha önceden inceledi¼gimiz de¼gi¸skenlerine ay¬rma yöntemi ile nas¬l elde edilece¼gini inceliyoruz. Ayr¬ca Maxima ortam¬nda geli¸stiridi¼gimiz uygulamalar ile kullan¬c¬taraf¬ndan tan¬mlanan özel Dirichlet problemlerinin analitik çözümünün gra…¼gi ile birlikte nas¬l elde edilebilece¼gini inceliyoruz.

Bu bölüm için 4. Bölümde inceledi¼gimiz de¼gi¸skenlerine ay¬rma yöntemi, 5. Bölümde inceledi¼gimiz Regüler veya Periyodik Sturm-Liouville problem- lerinin özfonksiyonlar¬ ve 6. Bölümde inceledi¼gimiz Fourier serileri temel matematiksel araçlar¬m¬z¬olu¸sturmaktad¬r. Okuyucular¬n bu bölüme devam etmeden önce bahsetti¼gimiz bölümleri tekrar gözden geçirmelerini önemle tavsiye ederiz.

9.1 Dirichlet s¬n¬r ¸sartl¬homojen problemler

Öncelikle

u_xx+ u_yy = 0; (x; y)2 (0; a) (0; b) (9.1) u(0; y) = sol(y); u(a; y) = sag(y) (9.2)

u(x; 0) = alt(x); (9.3)

u(x; b) = ust(x); (9.4)

Dirichlet problemini gözönüne alal¬m.(9.1) denklemi homojendir çünkü u 0 denklemin çözümüdür.

Problemi a¸sa¼g¬da verilen iki alt probleme ay¬ral¬m:

u(x; y) = v(x; y) + w(x; y) burada

v_xx+ v_yy = 0; (x; y)2 (0; a) (0; b) (9.5)

v(0; y) = 0; v(a; y) = 0 (9.6)

v(x; 0) = alt(x); (9.7)

v(x; b) = ust(x); (9.8)

ve

w_xx+ w_yy = 0; (x; y)2 (0; a) (0; b) (9.9)

w(0; y) = sol(y); (9.10)

w(a; y) = sag(y) (9.11)

w(x; 0) = 0; w(x; b) = 0 (9.12)

dir.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

Burada sadece v ye ait problemin çözümünü belirleyece¼giz, w probleminin çözümü de benzer biçimde elde edilebilir.

5. Bölümde inceledi¼gimiz de¼gi¸skenlerine ay¬rma yöntemiyle v(x; y) = X(x)Y (y)

biçiminde çözüm arayarak, denklemde yazmak suretiyle X⁰⁰(x)Y (y) + X(x)Y⁰⁰(y) = 0

elde ederiz. Her iki taraf¬n s¬f¬rdan farkl¬kabul etti¼gimiz X(x)Y (y) ile bölerek, X⁰⁰(x)

X(x) = Y⁰⁰(y) Y (y) = veya homojen Dirichlet ¸sartlar¬ile

X⁰⁰+ X = 0; X(0) = X(a) = 0 Y⁰⁰ Y = 0

denklem sistemini elde ederiz. [0; a] üzerinde Dirichlet probleminin özde¼ger ve özfonksiyonlar¬n¬biliyoruz:

n = n^{2 2}

a² ; X_n(x) = sin(n

a x); n = 1; 2;

Ayr¬ca n de¼gerlerini yerine yazarak her bir n için Y_n⁰⁰ n^{2 2}

a² Y_n= 0; n = 1; 2;

elde ederiz. Bu denklemlerin çözümü ile Y_n(y) = c_ncosh(n

a y) + d_nsinh(n

a y); n = 1; 2;

elde ederiz. O halde her bir n için v_n(x; y) = X_n(x)Y_n(y) = c_ncosh(n

a y) + d_nsinh(n

a y) sin(n

a x); n = 1; 2; :::

çözümlerini elde ederiz. S¬n¬r ¸sartlar¬n¬ sa¼glayan genel çözümümüzü, elde etti¼gimiz bu çözümlerden hareketle

v(x; y) = X1 n=1

c_ncosh(n

a y) + d_nsinh(n

a y) sin(n

a x) (9.13)

olarak tan¬ml¬yoruz, burada cn; dn katsay¬lar¬n¬ ¸simdilik bilmiyoruz, ancak bu çözümün (9.7) ile verilen s¬n¬r ¸sart¬n¬da yani,

v(x; 0) = alt(x) = X1 n=1

c_nsin(n

a x) (9.14)

sa¼glamas¬gerekmektedir. (9.14) ile tan¬mlanan serinin alt(x) fonksiyonunun [0; a]aral¬¼g¬üzerindeki Fourier sinüs aç¬l¬m¬oldu¼gunu görüyoruz, o halde

cn= 2 a Za

0

alt(x) sin(n

a x)dx; n = 1; 2;

olarak elde edilir. Öteyandan (9.8) ile

v(x; b) = X1 n=1

c_ncosh(n

a b) + d_nsinh(n

a b) sin(n

a x) = ust(x) veya

c_ncosh(n

a b) + d_nsinh(n

a b) = 2 a Za

0

ust(x) sin(n a x)dx ve buradan

d_n= 0

@2 a Za

0

ust(x) sin(n

a x)dx c_ncosh(n a b)

1

A = sinh(n a b) elde ederiz.

Benzer biçimde w problemini de çözmek suretiyle u problemine ait çözümümüzü elde ederiz.

ÖRNEK 9.1.

u_xx+ u_yy = 0; (x; y)2 (0; 1) (0; 1) u(0; y) = 0; u(1; y) = 0

u(x; 0) = 0; u(x; 1) = x s¬n¬r de¼ger probleminin çözümünü belirleyiniz.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

u(x; y) = X(x)Y (y)

biçiminde çözüm arayarak, denklemde yazmak suretiyle veya homojen Dirich- let ¸sartlar¬ile

X⁰⁰+ X = 0; X(0) = X(1) = 0 Y⁰⁰ Y = 0

denklem sistemini elde ederiz. [0; 1] üzerinde Dirichlet probleminin özde¼ger ve özfonksiyonlar¬n¬biliyoruz:

n= n^{2 2}; X_n(x) = sin(n x); n = 1; 2;

Ayr¬ca n de¼gerlerini yerine yazarak her bir n için Y_n⁰⁰ n^{2 2}Y_n= 0; n = 1; 2;

elde ederiz. Bu denklemlerin çözümü ile

Y_n(y) = c_ncosh(n y) + d_nsinh(n y); n = 1; 2;

elde ederiz. O halde her bir n için u_n(x; y) = X_n(x)Y_n(y)

= (c_ncosh(n y) + d_nsinh(n y)) sin(n x); n = 1; 2; :::

çözümlerini elde ederiz. S¬n¬r ¸sartlar¬n¬ sa¼glayan genel çözümümüzü, elde etti¼gimiz bu çözümlerden hareketle

u(x; y) = X1 n=1

(c_ncosh(n y) + d_nsinh(n y)) sin(n x)

olarak tan¬ml¬yoruz, burada cn; d_n katsay¬lar¬n¬ ¸simdilik bilmiyoruz, ancak bu çözümün

u(x; 0) = alt(x) = 0 = X1 n=1

c_nsin(n x) sa¼glamas¬gerekmektedir.

c_n= 0; n = 1; 2; ; n = 1; 2;

olarak elde edilir. Öteyandan buldu¼gumuz cn de¼gerlerini kullanarak

u(x; 1) = X1 n=1

d_nsinh(n ) sin(n x) = x

ile

d_nsinh(n ) = 2 Z1

0

x sin(n x)dx

= 2( 1)ⁿ n veya

d_n= 2( 1)ⁿ n sinh(n ) elde ederiz. O halde

u(x; y) = 2X¹

n=1

( 1)ⁿ

n sinh(n )sinh(n y) sin(n x) çözümünü elde ederiz. Çözüm gra…¼gi ¸Sekil 9.1 ile verilmektedir.

ÖRNEK 9.2.

u_xx+ u_yy = 0; (x; y)2 (0; 1) (0; 1) u(0; y) = 0; u(1; y) = y

u(x; 0) = 0; u(x; 1) = 0 s¬n¬r de¼ger probleminin çözümünü belirleyiniz.

u(x; y) = X(x)Y (y)

biçiminde çözüm arayarak, denklemde yazmak suretiyle veya homojen Dirich- let ¸sartlar¬ile

Y⁰⁰+ Y = 0; Y (0) = Y (1) = 0 X⁰⁰ X = 0

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

¸

Sekil 9.1: Örnek 9.1 için N = 50 ile çözüm gra…¼gi

denklem sistemini elde ederiz. [0; 1] üzerinde Dirichlet probleminin özde¼ger ve özfonksiyonlar¬n¬biliyoruz:

n= n^{2 2}; Y_n(y) = sin(n y); n = 1; 2;

Ayr¬ca n de¼gerlerini yerine yazarak her bir n için X_n⁰⁰ n^{2 2}X_n= 0; n = 1; 2;

elde ederiz. Bu denklemlerin çözümü ile

X_n(x) = c_ncosh(n x) + d_nsinh(n x); n = 1; 2;

elde ederiz. O halde her bir n için u_n(x; y) = X_n(x)Y_n(y)

= (c_ncosh(n x) + d_nsinh(n x)) sin(n y); n = 1; 2; :::

çözümlerini elde ederiz. S¬n¬r ¸sartlar¬n¬ sa¼glayan genel çözümümüzü, elde etti¼gimiz bu çözümlerden hareketle

u(x; y) = X1 n=1

(c_ncosh(n x) + d_nsinh(n x)) sin(n y)

olarak tan¬ml¬yoruz, burada cn; dn katsay¬lar¬n¬ ¸simdilik bilmiyoruz, ancak bu çözümün

u(0; y) = sol(y) = 0 = X1 n=1

c_nsin(n y) sa¼glamas¬gerekmektedir. Buradan

c_n = 0; n = 1; 2; ; n = 1; 2;

olarak elde edilir. Öteyandan

u(1; y) = X1 n=1

dnsinh(n ) sin(n y) = y

ile (??) ten

d_nsinh(n ) = 2 Z1

0

y sin(n y)dx = 2( 1)ⁿ n veya

d_n= 2( 1)ⁿ n sinh(n ) elde ederiz. O halde

u(x; y) = 2X¹

n=1

( 1)ⁿ

n sinh(n )sinh(n x) sin(n y) çözümünü elde ederiz. Çözüm gra…¼gi ¸Sekil 9.2 ile verilmektedir.

ÖRNEK 9.3.

u_xx+ u_yy = 0; (x; y)2 (0; 1) (0; 1) u(0; y) = 0; u(1; y) = y

u(x; 0) = 0; u(x; 1) = x s¬n¬r de¼ger probleminin çözümünü belirleyiniz.

Çözüm.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

¸

Sekil 9.2: Örnek 9.2 için N = 50 ile çözüm gra…¼gi

Verilen problemi kar¸s¬l¬kl¬iki kenar boyunca s¬n¬r de¼gerleri s¬f¬ra e¸sit olan iki problemin toplam¬olarak ifade edebiliriz:

u = v + w burada

v_xx+ v_yy = 0; (x; y)2 (0; 1) (0; 1) v(0; y) = 0; v(1; y) = 0

v(x; 0) = 0; v(x; 1) = x ve

wxx+ wyy = 0; (x; y)2 (0; 1) (0; 1) w(0; y) = 0; w(1; y) = y

w(x; 0) = 0; w(x; 1) = 0 problemlerinin çözümlerdirler.

Ancak v nin Örnek 9.1 den v(x; y) = 2X¹

n=1

( 1)ⁿ

n sinh(n )sinh(n y) sin(n x)

¸

Sekil 9.3: Örnek 9.3 için N = 50 ile çözüm gra…¼gi.

ve w nun Örnek 9.2 den

w(x; y) = 2 X¹

n=1

( 1)ⁿ

n sinh(n )sinh(n x) sin(n y) olarak elde edildi¼gini biliyoruz. O halde

u(x; y) = 2X¹

n=1

( 1)ⁿ

n sinh(n )(sinh(n y) sin(n x) + sinh(n x) sin(n y)) olarak elde ederiz.Çözüm gra…¼gi ¸Sekil 9.3 ile verilmektedir.

ÖRNEK 9.4.

u_xx+ u_yy = 0; (x; y)2 (0; 2) (0; 1)

u(x; 0) = 0; u(x; 1) = x + 1; u(0; y) = y; u(2; y) = 3y probleminin çözümünü belirleyiniz.

Örnek 9.3 te oldu¼gu üzere verilen problemi kar¸s¬l¬kl¬ iki kenar boyunca s¬n¬r de¼gerleri s¬f¬ra e¸sit olan iki problemin toplam¬olarak ifade edebiliriz:

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

u = v + w burada

v_xx+ v_yy = 0; (x; y)2 (0; 2) (0; 1) v(0; y) = 0; v(2; y) = 0

v(x; 0) = 0; v(x; 1) = x + 1 ve

w_xx+ w_yy = 0; (x; y)2 (0; 2) (0; 1) w(0; y) = y; w(2; y) = 3y

w(x; 0) = 0; w(x; 1) = 0 problemlerinin çözümleridirler.

Öncelikle v problemini çözelim:

v(x; y) = X(x)Y (y)

biçiminde çözüm arayarak, denklemde yazmak suretiyle veya homojen Dirich- let ¸sartlar¬ile

X⁰⁰+ X = 0; X(0) = X(2) = 0 Y⁰⁰ Y = 0

denklem sistemini elde ederiz. [0; 2] üzerinde Dirichlet probleminin özde¼ger ve özfonksiyonlar¬n¬biliyoruz:

n= (n =2)² = n^{2 2}

4 ; X_n(x) = sin(n x=2); n = 1; 2;

Ayr¬ca n de¼gerlerini yerine yazarak her bir n için Y_n⁰⁰ n^{2 2}

4 Y_n= 0; n = 1; 2;

elde ederiz. Bu denklemlerin çözümü ile

Y_n(y) = c_ncosh(n y=2) + d_nsinh(n y=2); n = 1; 2;

elde ederiz. O halde her bir n için

v_n(x; y) = Y_n(y)X_n(x) = (c_ncosh(n y=2) + d_nsinh(n y=2)) sin(n x=2); n = 1; 2; :::

çözümlerini elde ederiz. S¬n¬r ¸sartlar¬n¬ sa¼glayan genel çözümümüzü, elde etti¼gimiz bu çözümlerden hareketle

v(x; y) = X1 n=1

(c_ncosh(n y=2) + d_nsinh(n y=2)) sin(n x=2)

olarak tan¬ml¬yoruz, burada cn; d_n katsay¬lar¬n¬ ¸simdilik bilmiyoruz, ancak bu çözümün

v(x; 0) = 0 = X1 n=1

cnsin(n x=2) sa¼glamas¬gerekmektedir.

c_n = 0; n = 1; 2;

olarak elde edilir. Öteyandan v(x; 1) =

X1 n=1

(d_nsinh(n =2)) sin(n x=2) = x + 1

ile elde ederiz.

d_nsinh(n =2) = 2 2 Z2

0

(x + 1) sin(n x=2)dx

= 2

n (1 3( 1)ⁿ) veya

d_n= 2

n sinh(n =2)(1 3( 1)ⁿ) elde ederiz. O halde

v(x; y) = X1 n=1

2

n sinh(n =2)(1 3( 1)ⁿ) sin(n y=2) sin(n x=2)

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

elde ederiz.

Benzer biçimde w problemi için

w(x; y) = X(x)Y (y)

biçiminde çözüm arayarak, denklemde yazmak suretiyle veya homojen Dirich- let ¸sartlar¬ile

Y⁰⁰+ Y = 0; Y (0) = Y (1) = 0 X⁰⁰ X = 0

denklem sistemini elde ederiz. [0; 1] üzerinde Dirichlet probleminin özde¼ger ve özfonksiyonlar¬n¬biliyoruz:

n= (n )²; Y_n(y) = sin(n y); n = 1; 2;

Ayr¬ca n de¼gerlerini yerine yazarak her bir n için X_n⁰⁰ n^{2 2}X_n= 0; n = 1; 2;

elde ederiz. Bu denklemlerin çözümü ile

X_n(x) = c_ncosh(n x) + d_nsinh(n x); n = 1; 2;

elde ederiz. O halde her bir n için

w_n(x; y) = X_n(x)Y_n(y) = (c_ncosh(n x) + d_nsinh(n x)) sin(n y); n = 1; 2; :::

çözümlerini elde ederiz. S¬n¬r ¸sartlar¬n¬ sa¼glayan genel çözümümüzü, elde etti¼gimiz bu çözümlerden hareketle

w(x; y) = X1 n=1

(c_ncosh(n x) + d_nsinh(n x)) sin(n y)

olarak tan¬ml¬yoruz, burada cn; d_n katsay¬lar¬n¬ ¸simdilik bilmiyoruz, ancak bu çözümün

w(0; y) = y = X1 n=1

c_nsin(n y) sa¼glamas¬gerekmektedir.

c_n= 2 Z1

0

y sin(n y)dy = 2( 1)ⁿ

n ; n = 1; 2;

olarak elde edilir. Öteyandan w(2; y) =

X1 n=1

(c_ncosh(2n ) + d_nsinh(2n )) sin(n y) = 3y

ifadesinden

(c_ncosh(2n ) + d_nsinh(2n )) = 2 Z1

0

3y sin(n y)dy = 6( 1)ⁿ

n ; n = 1; 2;

veya

2( 1)ⁿ

n cosh(2n ) + d_nsinh(2n ) = 6( 1)ⁿ n ba¼g¬nt¬s¬ndan

d_n =

2( 1)ⁿ

n (cosh(2n ) 3) sinh(2n ) elde ederiz. O halde

w(x; y) = X1 n=1

"_{2( 1)}n

n (cosh(2n ) 3)

sinh(2n ) sinh(n x) 2( 1)ⁿ

n cosh(n x)

#

sin(n y)

ve dolay¬s¬yla u = v + w

= X1 n=1

2

n (1 3( 1)ⁿ) sin(n y=2) sin(n x=2) +

X1 n=1

"_{2( 1)}n

n (cosh(2n ) 3)

sinh(2n ) sinh(n x) 2( 1)ⁿ

n cosh(n x)

#

sin(n y)

elde ederiz.Çözüm gra…¼gi ¸Sekil 9.4 ile verilmektedir.

Al¬¸st¬rmalar 9.1.

u_xx+ u_yy = 0; (x; y)2 (0; 1) (0; 1)

denkleminin 1-5 nolu sorular ile verilen s¬n¬r ¸sartlar¬n¬sa¼glayan çözümlerini belirleyiniz.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

¸

Sekil 9.4: Örnek 9.4 için N = 50 ile çözüm gra…¼gi.

1.

u(0; y) = 1; u(1; y) = 1;

u(x; 0) = 0; u(x; 1) = 0 2.

u(0; y) = 0; u(1; y) = 1;

u(x; 0) = 0; u(x; 1) = 0 3.

u(0; y) = 1; u(1; y) = 0;

u(x; 0) = 1; u(x; 1) = 0 4.

u(0; y) = y; u(1; y) = 2y + 1;

u(x; 0) = x; u(x; 1) = 2x + 1

5. A¸sa¼g¬da verilen çözümleri soru 1-4 ile verilen problemlerle e¸sle¸stiriniz.

(a)

2 X1 n=1

1 sinh(n )

1

n (1 ( 1)ⁿ) sinh(n x) sinh(n y)

(b)

a_n = 2( 1)ⁿcosh(n )

n + 2( 1

n

3( 1)ⁿ n );

v(x; y) = X1 n=1

an

sinh(n )sinh(n y) 2( 1)ⁿcosh(n y)

n sin(n x);

w(x; y) = X1 n=1

a_n

sinh(n )sinh(n x) 2( 1)ⁿcosh(n x)

n sin(n y);

u = v + w

(c)

X1 n=1

2(1 ( 1)ⁿ)

n (1 cosh(n )

sinh(n ) ) sinh(n x) + cosh(n x) sin(n y)

(d)

v(x; y) = X1 n=1

2

n (1 ( 1)ⁿ)(cosh(n y) cosh(n ) sinh(n y)

sinh(n ) ) sin(n x);

w(x; y) = X1 n=1

2

n (1 ( 1)ⁿ)(cosh(n x) cosh(n ) sinh(n x)

sinh(n ) ) sin(n y) u = v + w

6. A¸sa¼g¬daki ¸sekilleri soru 5 ve dolay¬s¬yla da soru 1-4 ile e¸sle¸stiriniz.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

(a) (b)

(c) (d)

7. A¸sa¼g¬da verilen ve Laplace denklemi için Dirichlet probleminin çözü- münü interaktif olarak girilen s¬n¬r ¸sartlar¬ile hesaplayarak gra…¼gini çizdiren Maxima kodunu yukar¬da verilen problemlerin çözümlerini elde etmek için test yap¬n¬z.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

9.2 Dirichlet s¬n¬r ¸sartl¬ homojen olmayan problemler

Bu bölümde

uxx+ uyy = f (x; y); (x; y)2 (0; a) (0; b)

u(0; y) = sol(y); u(a; y) = sag(y) (9.15) u(x; 0) = alt(x);

u(x; b) = ust(x);

ile verilen Dirichlet s¬n¬r ¸sartl¬homojen olmayan problemleri gözönüne al¬y- oruz.

Problemin çözümünü

u = v + w biçiminde ar¬yoruz, burada v

v_xx+ v_yy = 0; (x; y)2 (0; a) (0; b)

v(0; y) = sol(y); v(a; y) = sag(y) (9.16) v(x; 0) = alt(x);

v(x; b) = ust(x);

denkleminin çözümü ve w ise

w_xx+ w_yy = f; (x; y)2 (0; a) (0; b)

v(0; y) = 0; v(a; y) = 0 (9.17)

v(x; 0) = 0;

v(x; b) = 0

denkleminin çözümüdür. (B) türünde verilen problemlerin çözümünü önceki bölümde detayl¬ olarak inceledik. Bu bölümde (C) türündeki problemlere odaklanal¬m.

ÖRNEK 9.5.

u_xx+ u_yy = 2x; (x; y)2 (0; 1) (0; 1)

u(0; y) = 0; u(1; y) = 0 (9.18)

u(x; 0) = 0; u(x; 1) = 0 probleminin çözümünü belirleyiniz.

Homojen problemin özfonksiyonlar¬yar¬m¬yla çözüm arayal¬m. Bu ba¼glamda s¬n¬r ¸sartlar¬homojen oldu¼gu için sadece x-in fonksiyonu olan özfonksiyonlar veya sadece y-nin fonksiyonu olan özfonksiyonlar cinsinden çözüm arayabil- iriz. Sadece x in fonksiyonu olan özfonksiyonlar

sin(n x); n = 1; 2;

olup, bu özfonksiyonlar cinsinden u =

X1 n=1

y_n(y) sin(n x)

çözümünü arayabiliriz. Denklemde yerine yazarak yn(y) bilinmeyen fonksiy- onlar¬n¬belirlemeliyiz.

u_xx =

X1 n=1

n^{2 2}y_n(y) sin(n x);

u_yy = X1 n=1

y⁰⁰_n(y) sin(n x)

formal ifadelerini denklemde yazarak, X1

n=1

(y_n⁰⁰(y) n^{2 2}y_n(y)) sin(n x) = 2x

elde ederiz. Buradan

y⁰⁰_n(y) n^{2 2}y_n(y) = 2 Z1

0

2x sin(n x)dx

= 4( 1)ⁿ

n ; n = 1; 2;

elde ederiz. Aad¬¼g¬m¬z çözümün y yönündeki s¬n¬r ¸sartlar¬n¬ da sa¼glamas¬

gerekti¼ginden

y_n⁰⁰(y) n^{2 2}yn(y) = 4( 1)ⁿ n

y_n(0) = y_n(1) = 0; n = 1; 2;

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

s¬n¬r de¼ger problemlerini elde ederiz. Her bir n için sa¼g yan sabit oldu¼gundan, özel çözümü

y_n•o = 4( 1)ⁿ n^{3 3}

olarak elde ederiz. Homojen k¬sm¬n genel çözümünü ise y_nh(y) = c_ncosh(n y) + d_nsinh(n y) olarak elde ederiz. O halde genel çözümümüzü

y_n = y_nh+ y_n•o

= c_ncosh(n y) + d_nsinh(n y) + 4( 1)ⁿ n^{3 3} olarak elde ederiz.

y_n(0) = c_n+4( 1)ⁿ

n^{3 3} = 0 =) cⁿ = 4( 1)ⁿ

n^{3 3} ; n = 1; 2;

elde ederiz.

y_n(1) = 0 =) dⁿ= 4( 1)ⁿ n^{3 3}

(cosh(n ) 1)

sinh(n ) ; n = 1; 2;

elde ederiz. O halde arad¬m¬z çözümü u =

X1 n=1

y_n(y) sin(n x)

= X1 n=1

4( 1)ⁿ

n^{3 3} cosh(n y) +(cosh(n ) 1)

sinh(n ) sinh(n y) +4( 1)ⁿ

n^{3 3} sin(n x) olarak ifade edebiliriz. Çözüm gra…¼gi ¸Sekil 9.5 ile verilmektedir.

ÖRNEK 9.6.

uxx+ uyy = 2x; (x; y)2 (0; 1) (0; 1)

u(0; y) = 0; u(1; y) = y² (9.19)

u(x; 0) = 0; u(x; 1) = x

probleminin çözümünü belirleyiniz. Problemin çözümü için bir di¼ger ifadenin ise u = xy² oldu¼gunu gösteriniz.

¸

Sekil 9.5: Örnek 9.5’e ait çözüm gra…¼gi

Verilen problemi üç adet alt problemin toplam¬ olarak ifade edebiliriz, dolay¬s¬yla çözümümüzü de söz konusu alt problemlerin çözümlerinin toplam¬

olarak ifade edebiliriz.

1. Problem:

u_xx+ u_yy = 0; (x; y)2 (0; 1) (0; 1)

u(0; y) = 0; u(1; y) = 0 (9.20)

u(x; 0) = 0; u(x; 1) = x 2. Problem

u_xx+ u_yy = 0; (x; y)2 (0; 1) (0; 1)

u(0; y) = 0; u(1; y) = y² (9.21)

u(x; 0) = 0; u(x; 1) = 0 3. Problem

u_xx+ u_yy = 2x; (x; y)2 (0; 1) (0; 1)

u(0; y) = 0; u(1; y) = 0 (9.22)

u(x; 0) = 0; u(x; 1) = 0

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

¸

Sekil 9.6: Örnek 9.6’ya ait 2. Problem çözüm gra…¼gi Her üç problemi de de¼gi¸skenlerine ay¬rma yöntemi ile çözebiliriz.

1. Problem yukar¬da Örnek 9.1 ile inceledi¼gimiz problemdir ve çözümünü u = 2 X¹

n=1

( 1)ⁿsin(n x) sinh(n y) n sinh(n )

olarak elde etmi¸s ve çözüm gra…¼gini ¸Sekil 9.1 ile vermi¸stik.

2. Problem’in çözümünü u = 2

X1 n=1

(( 1)ⁿ(n^{2 2} 2) + 2)

n^{3 3}sinh(n ) sinh(n x) sin(n y)

olarak elde ederiz.(Al¬¸st¬rma ..) Çözüm gra…¼gi ¸Sekil 9.6 ile verilmektedir.

3. Problem ise Örnek 9.5 ile inceledi¼gimiz problemdir. O halde çözümümüzü bu üç problemin çözümlerinin toplam¬olarak

u = X1 n=1

2 ( 1)ⁿsin(n x) sinh(n y) n sinh(n )

2(( 1)ⁿ(n^{2 2} 2) + 2)

n^{3 3}sinh(n ) sinh(n x) sin(n y) + 4( 1)ⁿ

n^{3 3} cosh(n y) + (cosh(n ) 1)

sinh(n ) sinh(n y) +4( 1)ⁿ

n^{3 3} sin(n x)

¸

Sekil 9.7: Örnek 9.6’ya ait çözüm gra…¼gi

ifade edebiliriz. Çözüm gra…¼gi ¸Sekil 9.7 ile verilmektedir.

Öte yandan

u = xy²

fonksiyonunun da verilen denklemi s¬n¬r ¸sartlar¬ile birlikte sa¼glad¬¼g¬aç¬kt¬r.

Öte yandan Dirichlet probleminin çözümü tek oldu¼gu için, yuklar¬da elde ettimiz toplam formülü,

u = xy²

çözümünün seri aç¬l¬m format¬ndaki ifadesi olmal¬d¬r. Nitekim ¸Sekil 9.7 ile verilen gra…k, yakla¸s¬k olarak u = xy² fonksiyonunun gra…¼gidir.

Al¬¸st¬rmalar 9.2. A¸sa¼g¬da verilen ilk üç problemi çözerek, dördüncü prob- lemin çözümünü buldu¼gunuz çözümler yard¬m¬yla belirleyiniz.

1.

uxx+ uyy = 0

u(0; y) = u(1; y) = 0;

u(x; 0) = 0; u(x; 1) = x²

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

2.

u_xx+ u_yy = 0

u(0; y) = 0; u(1; y) = y;

u(x; 0) = 0; u(x; 1) = 0

3.

uxx+ uyy = 2y

u(0; y) = u(1; y) = 0;

u(x; 0) = 0; u(x; 1) = 0

4.

u_xx+ u_yy = 2y

u(0; y) = 0; u(1; y) = y;

u(x; 0) = 0; u(x; 1) = x²

5. Soru 4 ün çözümünün uygun m ve n pozitif tamsay¬lar¬için u = xⁿy^m; n 1; m 1

biçiminde ifade edilebilece¼gini gösteriniz.

6. A¸sa¼g¬daki çözümleri soru 1-4 ten uygun olan¬ile kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z (a)

u = 2 X1 n=1

1

n^{3 3}sinh(n )(2+( 1)ⁿ(n^{2 2} 2)) sin(n x) sinh(n y) (b)

u = 2X¹

n=1

( 1)ⁿsinh(n x) sin(n y) n sinh(n )

9.3 Neumann problemleri

Bu bölümde

u_xx+ u_yy = f (x; y); (x; y) 2 (0; a) (0; b)

u_x(0; y) = sol(y); u_x(a; y) = sag(y) (9.23) u_y(x; 0) = alt(x);

u_y(x; b) = ust(x);

biçiminde ifade edilebilen s¬n¬rlarda sadece bilinmeyen fonksiyonun türev- lerini içeren ve Neumann problemi olarak adland¬r¬lan problemleri inceliyo- ruz.

Dirichlet problemlerinde oldu¼gu üzere key… s¬n¬r fonksiyonlar¬ ile prob- lemin çözümünün var oldu¼gunu söyleyemeyiz. Bu noktay¬ aç¬klamak için verilen denklemin [0; a]x[0; b] bölgesi üzerinden integralini alal¬m.

Za

0

Zb

0

(uxx+ uyy)dydx = Za

0

Zb

0

f (x; y)dydx

elde ederiz. Sol taraftaki integrali açal¬m:

Za

0

Zb

0

(u_xx+ u_yy)dydx = Zb

0

Za

0

u_xxdxdy + Za

0

Zb

0

u_yydydx

= Zb

0

(u_x(a; y) u_x(0; y))dy + Za

0

(u_y(x; b) u_y(x; 0)) dx

olarak ifade edilebilir. O halde, Neuman probleminin çözümünün mevcut olabilmesi için

Zb

0

(u_x(a; y) u_x(0; y))dy + Za

0

(u_y(x; b) u_y(x; 0)) dx = Za

0

Zb

0

f (x; y)dydx (9.24) kriterinin sa¼glanmas¬gerekir, bu kriter uyumluluk(compatibility) kriteri ola- rak adland¬r¬l¬r. Gerekli regülerite özelliklerini sa¼glayan s¬n¬r ¸sartlar¬ve sa¼g

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

yan fonksiyonu ile verilen Neuman probleminin çözümün mevcut olmas¬için gerekli ve yeterli bir ¸sartt¬r.

Bu kirtere göre

u_xx+ u_yy = 0; (x; y)2 (0; 1) (0; 1

Laplace denkleminin a¸sa¼g¬da verilen ¸sartlarla çözüme sahip oldu¼gunu kolayca görebiliriz(kontrol ediniz):

1.

u_x(0; y) = y 1=2; u_x(1; y) = 0 (9.25) u_y(x; 0) = 0;

u_y(x; 1) = 0;

2.

u_x(0; y) = 0; u_x(1; y) = cos( y) (9.26) u_y(x; 0) = 0;

u_y(x; 1) = 0;

3.

u_x(0; y) = 1; u_x(1; y) = 1 (9.27) u_y(x; 0) = 0;

u_y(x; 1) = 0;

4.

u_x(0; y) = 0; u_x(1; y) = 0 (9.28) u_y(x; 0) = 1;

u_y(x; 1) = 1;

Benzer biçimde

u_xx+ u_yy = 1; (x; y)2 (0; 1) (0; 1 Poisson denklemi a¸sa¼g¬da verilen ¸sartlarla çözüme sahiptir:

1.

u_x(0; y) = 1; u_x(1; y) = 0 (9.29) u_y(x; 0) = 0;

u_y(x; 1) = 0;

2.

u_x(0; y) = 0; u_x(1; y) = 1 (9.30) u_y(x; 0) = 0;

uy(x; 1) = 0;

3.

u_x(0; y) = 0; u_x(1; y) = 0 (9.31) u_y(x; 0) = 0;

u_y(x; 1) = 1;

4.

u_x(0; y) = 0; u_x(1; y) = 0 (9.32) u_y(x; 0) = 1;

u_y(x; 1) = 0;

Ancak

u_xx+ u_yy = 0; (x; y)2 (0; 1) (0; 1

Laplace denklemi a¸sa¼g¬da verilen s¬n¬r ¸sartlar¬ile çözüme sahip de¼gildir.

1.

ux(0; y) = 1; ux(1; y) = 0 (9.33) u_y(x; 0) = 0;

u_y(x; 1) = 0;

2.

u_x(0; y) = 0; u_x(1; y) = x (9.34) u_y(x; 0) = 0;

u_y(x; 1) = 0;

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

Yine

u_xx+ u_yy = 1; (x; y)2 (0; 1) (0; 1

Poisson denklemi a¸sa¼g¬daki s¬n¬r ¸sartlar¬ile çözüme sahip de¼gildir:

1.

ux(0; y) = 1; ux(1; y) = 1 (9.35) u_y(x; 0) = 0;

u_y(x; 1) = 0;

2.

u_x(0; y) = 0; u_x(1; y) = 1 (9.36) u_y(x; 0) = 0;

u_y(x; 1) = 1;

ÖRNEK 9.7.

u_xx+ u_yy = 0

u_x(0; y) = 0; u_x(1; y) = 0 u_y(x; 0) = x 1=2; u_y(x; 1) = 0 Laplace probleminin çözümünü belirleyiniz.

De¼gi¸skenlerine ay¬rma yöntemi ile x yönünde s¬n¬r ¸sartlar¬homoje oldu¼gu için x e ba¼gl¬özfonksiyonlar cinsinden

u(x; y) = 1

2Y₀(y) + X1 n=1

Y_n(y) cos(n x)

biçiminde çözüm arayal¬m.

u_xx(x; y) =

X1 n=1

n^{2 2}Y_n(y) cos(n x)

u_yy(x; y) = 1

2Y₀⁰⁰(y) + X1 n=1

Y_n⁰⁰(y) cos(n x)

ifadelerini denklemde yazarak 1

2Y₀⁰⁰(y) + X1 n=1

Y_n⁰⁰(y) n^{2 2}Y_n(y) cos(n x) = 0 veya

Y₀⁰⁰(y) = 0

Y_n⁰⁰(y) n^{2 2}Y_n(y) = 0; n = 1; 2;

denklemlerini elde ederiz. Problem ile verilen s¬n¬r ¸sartlar¬n¬ göz önüne alal¬m:

u_y(x; 0) = 1

2Y₀⁰(y) + X1 n=1

Y_n⁰(0) cos(n x) = x 1=2 ba¼g¬nt¬s¬ndan

Y₀⁰(0) = 2 Z1

0

(x 1=2)dx = 0

Y_n⁰(0) = 2 Z1

0

(x 1=2) cos(n x)dx

= 2

n^{2 2} (( 1)ⁿ 1) ; n = 1; 2;

elde ederiz. Öte yandan u_y(x; 1) = 1

2Y₀⁰(1) + X1 n=1

Y_n⁰(1) cos(n x) = 0 s¬n¬r ¸sart¬ndan

Y_n⁰(1) = 0; n = 1; 2;

elde ederiz.

O halde

Y₀⁰⁰(y) = 0; Y₀⁰(0) = 0; Y₀⁰(1) = 0 s¬n¬r-de¼ger problemini çözerek,

Y₀(y) = c; c key… sabit

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

ve

Y_n⁰⁰(y) n^{2 2}Y_n(y) = 0; n = 1; 2;

Y_n⁰(0) = 2

n^{2 2}( 1)ⁿ 1);

Y_n⁰(1) = 0; n = 1; 2;

s¬n¬r-de¼ger problemini çözerek,

Yn(y) = cncosh(n y) + dnsinh(n y); cn; dn2 R genel çözümünü elde ederiz.

Y_n⁰(y) = n cnsinh(n y) + n dncosh(n y) ifadesinde s¬n¬r ¸sartlar¬n¬yazarak

Y_n⁰(0) = n dn = 2

n^{2 2}(( 1)ⁿ 1) veya

d_n = 2

n^{2 3}(( 1)ⁿ 1); n = 1; 2;

elde ederiz. Benzer biçimde

Y_n⁰(1) = n c_nsinh(n ) + n d_ncosh(n ) = 0; n = 1; 2;

s¬n¬r ¸sart¬ile

c_n= 2

n^{2 3}(1 ( 1)ⁿ) coth(n ); n = 1; 2;

elde ederiz. O halde u(x; y) = 1

2Y₀(y) + X1 n=1

Y_n(y) cos(n x)

= c + X1 n=1

2

n^{2 3}(1 ( 1)ⁿ) [coth(n ) cosh(n y) sinh(n y)] cos(n x); c2 R sabit çözümünü elde ederiz. Çözüm gra…¼gi c = 0 de¼geri ile ¸Sekil 9.8 ile verilmek-

tedir.

Çözüm gra…¼ginde problemin s¬n¬r ¸sartlar¬n¬n sa¼gland¬¼g¬görülmektedir.

¸

Sekil 9.8: Örnek 9.7’ye ait çözüm gra…¼gi

Al¬¸st¬rmalar 9.3.

1.

u_xx+ u_yy = 0

u_x(x; 0) = x=2; u_x(x; 1) = x=2;

u_y(x; 0) = 0; u_y(x; 1) = 0

problemini çözünüz.Çözüm gra…¼gini çizdirerek gra…¼gin s¬n¬r ¸sartlar¬ile uyumlu oldu¼gunu gözlemleyiniz.

2.

u_xx+ u_yy = 0

u_x(x; 0) = 0; u_x(x; 1) = 0;

u_y(x; 0) = 0; u_y(x; 1) = 1=2

problemini çözünüz.Çözüm gra…¼gini çizdirerek gra…¼gin s¬n¬r ¸sartlar¬ile uyumlu oldu¼gunu gözlemleyiniz.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

3.

u_xx+ u_yy = 1

u_x(x; 0) = 0; u_x(x; 1) = 0;

u_y(x; 0) = 0; u_y(x; 1) = 0

problemini çözünüz.Çözüm gra…¼gini çizdirerek gra…¼gin s¬n¬r ¸sartlar¬ile uyumlu oldu¼gunu gözlemleyiniz.

4. Soru 1-3 için elde etti¼giniz çözümler yard¬m¬yla u_xx+ u_yy = 1

u_x(x; 0) = x=2; u_x(x; 1) = x=2;

u_y(x; 0) = 0; u_y(x; 1) = 1=2

problemini çözünüz.Çözüm gra…¼gini çizdirerek gra…¼gin s¬n¬r ¸sartlar¬ile uyumlu oldu¼gunu gözlemleyiniz.

5.

u = 1

4(x²+ y²)

fonksiyonunun Problem 4 ün analitik çözümü oldu¼gunu gözlemleyiniz.

Soru 4 te elde etti¼giniz çözümün N = 10 için elde edece¼giniz gra…¼gi ile analitik çözüm gra…klerini kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z.

9.4 Kar¬¸s¬k s¬n¬r ¸sartl¬problemler

Verilen denklemin baz¬s¬n¬rlar¬üzerinde Dirichlet, baz¬lar¬üzerinde de Neu- mann s¬n¬r ¸sartlar¬verilmi¸s olabilir. Bu durumda problem kar¸s¬l¬kl¬kenarlar üzerinde homojen s¬n¬r ¸sartlar¬n¬içeren alt probleme ayr¬ld¬ktan sonra çözüm belirlenebilir. Bu amaçla a¸sa¼g¬daki örne¼gi inceleyiniz

ÖRNEK 9.8. Kar¬¸s¬k s¬n¬r ¸sartl¬

u_xx+ u_yy = 2

u(0; y) = y; u(1; y) = y + 1;

uy(x; 0) = 1; uy(x; 1) = 1 Poisson probleminin çözümünü belirleyiniz.u=x^2+y