DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERĐNDE ÖZEL HALLER
1. INFEASIBLITY (ÇÖZÜM OLMAMASI HALĐ) Max. Z= 50X1 + 40X2
s.t.
3X1 + 5X2 ≤ 150 X2 ≤ 20 8X1 + 5X2 ≤ 300 X1 + X2 ≥ 50 X1 , X2 ≥ 0
Olarak verilen bir doğrusal karar modelinin Simpleks metodu ile çözümünde aşağıdaki tabloya ulaşılmıştır.
X1 X2 S1 S2 S3 S4 A4
Basis Cj 50 40 0 0 0 0 -M RHS Ratio
S1 0 0 25/8 1 0 -3/8 0 0 75/2 12
S2 0 0 1 0 1 0 0 0 20 20
X1 50 1 5/8 0 0 1/8 0 0 75/2 60
A4 -M 0 3/8 0 0 -1/8 -1 1 25/2 100/3
Zj 50
8 3
250− M 0 0
8
50+M M -M
2 1875−25M
Cj -Zj 0
8 3
70+ M 0 0
8 50−M
− -M 0
X1 X2 S1 S2 S3 S4 A4
Basis Cj 50 40 0 0 0 0 -M RHS Ratio
X2 40 0 1 8/25 0 -3/25 0 0 12
S2 0 0 0 -8/25 1 3/25 0 0 8
X1 50 1 0 -5/25 0 5/25 0 0 30
A4 -M 0 0 -3/25 0 -2/25 -1 1 8
Zj 50 40
25 3
70+ M 0
25 2
130+ M M -M 1980 −8M
Cj -Zj 0 0
25 3 70− M
− 0
25 2 130− M
− -M 0
Son Simpleks tablosuna ulaşıldığı halde yapay değişken (A4) temel değişkenler grubundan çıkmamıştır. Bu da problemin çözümünün olmadığı (Infeasibility) anlamına gelir.
2. UNBOUNDEDNESS (OBJEKTĐF FONKSĐYONUN DEĞERĐNĐN SONSUZA GĐDECEĞĐ HAL)
Max. Z= 20X1 + 10X2 s.t.
X1 ≥ 2 X2 ≤ 5 X1 , X2 ≥ 0
X1 X2 S1 A1 S2
Basis Cj 20 10 0 -M 0 RHS Ratio
A1 -M 1 0 -1 1 0 2 2
S2 0 0 1 0 0 1 5 -
Zj -M 0 M -M 0 −2M
Cj -Zj 20+M 10 -M 0 0
X1 X2 S1 A1 S2
Basis Cj 20 10 0 -M 0 RHS Ratio
X1 20 1 0 -1 1 0 2 -
S2 0 0 1 0 0 1 5 -
Zj 20 0 -20 20 0 40
Cj -Zj 0 10 20 -M-20 0
Yukarıdaki simpleks tablosuna göre S1 temel değişken olmaya aday değişkendir. Ancak temel değişkenler grubundan çıkacak değişkenin belirlenmesi mümkün değildir, çünkü S2
sütunundaki (temel değişken olmaya aday olan değişkenle ilgili sütun vektör) vektörün bileşenleri (elemanları ) sıfır veya negatif değerlidir. Bu da problemin çözümünün unbounded olduğunun işaretidir.
3. ALTERNATĐF OPTĐMUM
Max. Z= 30X1 + 50X2 s.t.
3X1 + 5X2 ≤ 150 X2 ≤ 20 8X1 + 5X2 ≤ 300 X1 , X2 ≥ 0
Bu problemin çözümünde aşağıdaki son simpleks tablosuna ulaşılmıştır. (Son tablo, çünkü
Cj -Zj satırındaki elemanların hepsi sıfır veya negatif değerlidir.)
X1 X2 S1 S2 S3
Basis Cj 30 50 0 0 0 RHS Ratio
X2 50 0 1 0 1 0 20 20
S3 0 0 0 -8/3 25/3 1 200/3 8
X1 30 1 0 1/3 -5/3 0 50/3 -
Zj 30 50 10 0 0 1500
Cj -Zj 0 0 -10 0 0
Bu tablodan okuyacağımız optimum çözüm:
X1= 50/3 X2 =20 S1 =0 S2 =0
S3 =200/3 ve Z= 1500 dür.
Yukarıdaki son simpleks tablosunda S2 temel değişken olmadığı halde bu değişkenle ilgili Cj -Zj değeri sıfırdır. Bu da alternatif optimum çözüm olduğunun işaretidir. Yani bu problemde S2 temel değişkenler grubuna dahil edilse objektif fonksiyonun değeri değişmez fakat bir başka optimum çözüme ulaşılabilir.
S2 temel değişken olarak girerse Ratio testine göre de S3 ün çıkması gerekir. Bir sonraki simpleks tablosu aşağıda verilmiştir.
X1 X2 S1 S2 S3
Basis Cj 30 50 0 0 0 RHS Ratio
X2 50 0 1 8/25 0 -3/25 12
S2 0 0 0 -8/25 1 3/25 8
X1 30 1 0 -5/25 0 5/25 30
Zj 30 50 10 0 0 1500
Cj -Zj 0 0 -10 0 0
Bu tablodan okuyacağımız optimum çözüm:
X1= 30 X2 =12 S1 =0 S2 =8
S3 =0 ve Z= 1500 dür.
Bu son simpleks tablosunda S3 temel değişken olmadığı halde bu değişkenle ilgili
Cj -Zj değeri sıfırdır. Bu da alternatif optimum çözüm olduğunun işaretidir. Yani bu problemde S3 temel değişkenler grubuna dahil edilse objektif fonksiyonun değeri değişmez fakat bir başka optimum çözüme ulaşılabilir. (Yani bir önceki optimum çözüme tekrara dönülür)
Not: Alternatif Optimum çözümlerden ikisi elde edilirse bu iki çözümü kullanarak sonsuz sayıda alternatif optimum çözümler üretilebilir. Eldeki optimum çözümlerin her konveks kombinasyonu bir başka optimum çözümdür.
Diğer alternatif optimum çözümler aşağıdaki gibi üretilebilir.
X1= 50/3 X1= 30 X2 =20 X2 =12
λ S1 =0 +((1−λ) S1 =0 0<λ<1
S2 =0 S2 =8
S3 =200/3 S3 =0
4. DEGENERACY (TEMEL DEĞĐŞKENLERDEN BĐRĐNĐN DEĞERĐNĐN SIFIR OLMASI HALĐ)
Max. Z= 50X1 + 40X2 s.t.
3X1 + 5X2 ≤ 175 X2 ≤ 20 8X1 + 5X2 ≤ 300 X1 , X2 ≥ 0
X1 X2 S1 S2 S3
Basis Cj 50 40 0 0 0 RHS Ratio
S1 0 0 25/8 1 0 -3/8 125/2 20
S2 0 0 1 0 1 0 20 20
X1 50 1 5/8 0 0 1/8 75/2 60
Zj 50 250/8 0 0 50/8 1875
Cj -Zj 0 70/8 0 0 -50/8
X2 temel değişkenler grubuna girer, S1 (veyaS2) çıkar. S1 in çıkmasına karar verirsek bir sonraki simpleks tablosu aşağıdaki gibi oluşur.
Not: Ratio testinde en küçük değer birden fazla değişkene karşılık gelirse bir sonraki aşamada temel değişkenlerden biri 0 (sıfır değerini alır) [Degeneracy hali]. Örneğin yukarıdaki tabloda ratio değerlerinin minimumu hem S1 hem de S2 için aynı (20) çıkmıştır.
X1 X2 S1 S2 S3
Basis Cj 50 40 0 0 0 RHS Ratio
X2 40 0 1 8/25 0 -3/25 20
S2 0 0 0 -8/25 1 3/25 0
X1 50 1 0 -5/25 0 5/25 25
Zj 50 40 70/25 0 130/25 2050
Cj -Zj 0 0 -70/25 0 -130/25
Görüldüğü gibi bu simpleks tablosu bize bir temel değişken değeri 0 (sıfır) olan bir optimum çözüm vermiştir. Bu tablodan okuyacağımız optimum çözüm:
X1=25 X2=20 S1=0(NB) S2=0 S3= 0(NB)
Ve Z= 2050 dir.
X2 temel değişkenler grubuna girer, S2 nin çıkmasına karar verse idik bir sonraki simpleks tablosu aşağıdaki gibi oluşurdu.
X1 X2 S1 S2 S3
Basis Cj 50 40 0 0 0 RHS Ratio
S1 0 0 0 1 -25/8 -3/8 0
X2 40 0 1 0 1 0 20
X1 50 1 0 0 -5/8 1/8 25
Zj 50 40 0 35/4 25/4 2050
Cj -Zj 0 0 0 -35/4 -25/4
Görüldüğü gibi bu simpleks tablosu da bize bir temel değişken değeri 0 (sıfır) olan bir diğer(!) optimum çözüm vermiştir. Bu tablodan okuyacağımız optimum çözüm:
X1=25 X2=20 S1=0 S2=0(NB) S3= 0(NB)
Ve Z= 2050 dir.
