2.2. Christo¤el-Darboux Formülü

2.2. Christo¤el-Darboux Formülü

(a; b) aral¬¼ g¬nda w(x) a¼ g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortonormal olan n: dereceden polinom

(x) olsun. Bu k¬s¬mda birçok uygulamada önemli rol oynayan

K

(x; y) = X

k=0

k

(x)

(y)

toplam¬için kapal¬bir form elde edece¼ giz.

Teorem 2.2.

(x) polinomu için

K

(x; y) = X

k=0

k

(x)

(y) = k

k

n

(y)

(x)

(x)

(y)

x y

e¸ sitli¼ gi sa¼ glan¬r. Bu formül Christo¤el-Darboux formülü olarak bilinir.

Ispat. ·

0

(x) = k

1

(x) = k

x k

k

Z

a

xw (x) dx

oldu¼ gundan

K

(x; y) =

(x) = k

= k

k

0

(y)

(x)

(x)

(y)

x y

olup n = 0 için Christo¤el-Darboux formülü sa¼ glan¬r.

Genel durumda ispat¬vermek için bir önceki k¬s¬mda elde edilen

n+1

(x) = (xA

+ B

)

(x) C

(x) = 0 ; A

= k

k

; C

= A

A

1

rekürans formülünü kullan¬rsak

k

k

n

(y)

(x)

(x)

(y) x y

= k

k

A

(x)

(y) + k

k

C

(y)

(x)

(x)

(y)

x y

=

(x)

(y) + K

(x; y)

elde edilir ki buradan

K

(x; y) =

(x)

(y) + K

(x; y)

sa¼ glan¬r. Son e¸ sitlikten yararlanarak iterasyonla

K

(x; y) = X

k

(x)

(y) + K

(x; y) = X

k=0

k

(x)

(y)

bulunur ki bu da istenilendir.

Christo¤el-Darboux formülünün her iki yan¬nda y ! x için limit al¬n¬rsa,

K

(x; x) = lim

y!x

k

k

n

(y)

(x)

(x)

(y)

x y

= k

k

(x)

(x)

(x)

(x)

= X

k=0 2

k

(x) 0

elde edilir.

Teorem 2.3. n-yinci dereceden normu bir olan bütün (x) polinomlar¬ aras¬nda, j (y)j yi maksimum yapan (x) polinomlar¬

(x) =

+K

(x; y) K

(y; y)

2

ile verilir. Burada y, (a; b) aral¬¼ g¬nda belirlenmi¸ s bir noktad¬r.

p (x) ; n-yinci dereceden yada dü¸ sük dereceden bir polinom ise

p(x) = X

(p;

)

(x)

olarak yaz¬labilir. Ayr¬ca aç¬kt¬r ki

(p(x); K

(x; y)) = X

k=0

(p;

)

(y) = p (y)

dir. p(x) = 1 özel durumunda

(1; K

(x; y)) = Z

a

w (x) K

(x; y) dx = 1; n 0

elde edilir.

3