Hiperbolik spinor ve minkowski uzayında darboux çatısı

+ø3(5%2/ø. SPINOR VE MINKOWSKI UZAYINDA DARBOUX ÇATISI

<h.6(./ø6$167(=ø

Yakup BALCI

(QVWLW$QDELOLP'DOÕ : 0$7(0$7ø.

(QVWLW%LOLP'DOÕ : *(20(75ø

7H]'DQÕúPDQÕ : Doç. Dr. Mehmet Ali GÜNGÖR

Temmuz 2016

7H]LoLQGHNLWPYHULOHULQDNDGHPLNNXUDOODUoHUoHYHVLQGHWDUDIÕPGDQHOGHHGLOGL÷LQL

J|UVHO YH \D]ÕOÕ WP ELOJL YH VRQXoODUÕQ DNDGHPLN YH HWLN NXUDOODUD X\JXQ úHNLOGH

VXQXOGX÷XQX NXOODQÕODQ YHULOHUGH KHUKDQJL ELU WDKULIDW \DSÕOPDGÕ÷ÕQÕ EDúNDODUÕQÕQ

HVHUOHULQGHQ \DUDUODQÕOPDVÕ GXUXPXQGD ELOLPVHO QRUPODUD X\JXQ RODUDN DWÕIWD

EXOXQXOGX÷XQX WH]GH \HU DODQ YHULOHULQ EX QLYHUVLWH YH\D EDúND ELU QLYHUVLWHGH

KHUKDQJLELUWH]oDOÕúPDVÕQGDNXOODQÕOPDGÕ÷ÕQÕEH\DQHGHULP

Yakup BALCI 01.07.2016

i

7H] oDOÕúPDPÕQ SODQODQPDVÕQGD DUDúWÕUÕOPDVÕQGD \UWOPHVLQGH YH ROXúXPXQGD

LOJL YH GHVWH÷LQL HVLUJHPH\HQ HQJLQ ELOJL YH WHFUEHOHULQGHQ \DUDUODQGÕ÷ÕP

\|QOHQGLUPH YH ELOJLOHQGLUPHOHUL\OH oDOÕúPDPÕ ELOLPVHO WHPHOOHU ÕúÕ÷ÕQGD

úHNLOOHQGLUHQçRNGH÷HUOL hocam Doç. Dr. Mehmet Ali GÜNGÖR’e en içten VD\JÕYH

WHúHNNUOHULPL VXQDUÕP

Tez oDOÕúPDP VÕUDVÕQGD EDQD \DUGÕPODUÕQÕ HVLUJHPH\HQ EDúWD GH÷HUOL KRFDP $Uú

Gör. Tülay ERøùø5 ROPDN ]HUH WDYVL\HOHULQGHQ \DUDUODQGÕ÷ÕP $Uú *|U +LGD\HW

Hüda KÖSAL ve ZeyQHS.(7(1&ø’yHWHúHNNUERUoELOLULP

$\UÕFD maddi ve manevi destekleriyle her zaman \DQÕPGD RODQ YDUOÕNODUÕ\OD

|YQG÷P sevgili aileme PLQQHWWDUOÕ÷ÕPÕEHOLUWPHNLVWHULP.

ii

7(ù(..h5... i

ødø1'(.ø/(5 ... ii

6ø0*(9(.,6$/70$/$5/ø67(6ø ... iv

ù(.ø//(5/ø67(6ø ... vi

ÖZET ... vii

SUMMARY ... viii

BÖLÜM 1. *ø5øù ... 1

BÖLÜM 2. TEMEL KAVRAMLAR ... 3

BÖLÜM 3. +ø3(5%2/ø.63,NOR... 20

3.1.+LSHUEROLN6D\Õ6LVWHPL ... 20

3.2. Hiperbolik Spinor... 27

BÖLÜM 4. MINKOWSKI UZAYINDA 63$&(/,.((ö5ø/(59( +ø3(5%2/ø. SPINORLAR ... 31

4.1. Frenet Türev Formüllerinin Hiperbolik Spinor Gösterimi... 31

4.2. Darboux Türev Formüllerinin Hiperbolik Spinor Gösterimi ... 35

4.3. Frenet-'DUERX[dDWÕODUÕ $UDVÕQGDNLøOLúNLQLQ+LSHUEROLN6pinor Gösterimi... 39

iii

KAYNAKLAR... 45 g=*(d0øù ... 47

iv

\3 : 3-ER\XWOXUHHOYHNW|UX]D\Õ

3 : 3-ER\XWOXgNOLGX]D\Õ

3

\1 : 3-boyutlu Minkowski uzayÕ

V 9HNW|UX]D\Õ

I $UDOÕN

\^,M^,[^,J ^,* : Spinorlar

\ ^:\ VSLQRUXQXQHúOHQL÷L

\t ^:\ spinorunun transpozu

\ˆ ^:\ VSLQRUXQXQHúL

¢ ², : Lorentz iooDUSÕP : Lorentz anlamda norm

š : Lorentz vHNW|UHOoDUSÕP

D ^(÷UL

, ,

T N B )UHQHWoDWÕVÕ

N ^(÷ULOLN

W ^{: Torsiyon}

, ,

T n g :'DUERX[oDWÕVÕ Nn 1RUPDOH÷ULOLN Ng ^{: GeodezikH÷ULOLN}

Wg : Geodezik burulma

( )

O n : Ortogonal grup

( )

SO n : Özel ortogonal grup ( )

U n : Üniter grup

v (1, 3)

SO : \ de özel ortogonal grup³₁

vi

ùHN൴O0൴QNRZVN൴X]D\ÕQGDYHNW|UOHU ... 11 ùHN൴O0൴QNRZVN൴X]D\ÕQGDE൴U൴PNUHOHU... 12 ùHN൴O%൴UK൴SHUERO൴NVD\ÕQÕQK൴SHUERO൴NG]OHPGHJ|VWHU൴OPHV൴... 26

vii

Anahtar kelimeler: Hiperbolik Spinor 0LQNRZVNL 8]D\Õ Darboux dDWÕVÕ, Frenet dDWÕVÕ

Bu tez EHú E|OPGHQ ROXúPDNWDGÕU %LULQFL E|OP JLULú NÕVPÕQD D\UÕOPÕúWÕU øNLQFL

bölümde0LQNRZVNLX]D\ÕQGD WHPHOWDQÕPODUYHJHUHNOLWHRUHPOHUYHULOPLúWLU. AyrÕFD VSDFHOLNHELUH÷ULQLQFrenet oDWÕVÕ ve 'DUERX[oDWÕVÕ DUDVÕQGDNLLOLúNLOHUYHULOPLúWLU.

Üçüncü bölümde hiperbolik spinorlar, Minkowski X]D\ÕQGDNL RUWRQRUPDO WDEDQ

\DUGÕPÕ\ODWDQÕWÕOPÕúWÕU

Dördüncü bölüm WH]LQ RULMLQDO NÕVPÕQÕ ROXúWXUPDNWDGÕU. Tezin RULMLQDO NÕVPÕ üç alt E|OP KDOLQGH G]HQOHQPLúWLU Birinci alt bölümde

^

^{T N B, ,}

`

^Frenet oDWÕVÕ LOH

hiperbolik VSLQRU oDWÕVÕ DUDVÕQGDNL LOLúNLOHU DUDúWÕUÕOPÕúWÕU øNLQFL DOW E|OPGH

^

^{T n g, ,}

`

^Darboux oDWÕVÕ LOH KLSHUEROLN VSLQRU oDWÕVÕ DUDVÕQGDNL LOLúNLOHU YHULOPLúWLU.

$\UÕFD'DUERX[WUHYGHQNOHPOHULKLSHUEROLNVSLQRUODUFLQVLQGHQYHULOPLúWLUhoQF

DOW E|OPGH LVH )UHQHW YH 'DUERX[ oDWÕODUÕ DUDVÕQGDNL LOLúNL KLSHUEROLN VSLQRUODU

\DUGÕPÕ\ODelde edildi$\UÕFDEXOXQDQWHRUHPOHU örnekler LOHGHVWHNOHQPLúWLU.

%HúLQFL bölümde bu tezin ELUGH÷HUOHQGLULOPHVL \DSÕOPÕúYHEXQGDQVRQUD\DSÕODFDN

DUDúWÕUPDODUD\|QHOLN|QHULOHUGHEXOXQXOPXúWXU

viii

SUMMARY

Keywords: Hyperbolic Spinor, Minkowski Space, Darboux Frame, Frenet Frame.

This thesis consists of five chapters. The first chapter is devoted to the introduction.

In the second chapter, some basis definitions and necessary theorems in Minkowski space are given. Moreover, the relationships between Frenet frame and Darboux frame of a spacelike curve are given. In the third chapter, the hyperbolic spinors are introduced by means of the orthonormal basis in Minkowski space.

The fourth chapter is the original part of this thesis. The original part of thesis consists of three subsections. In the first subsection, the relationship between the Frenet frame

^

^{T N B, ,}

`

and frame of hyperbolic spinor are investigated. In the second subsection, the relationship between the Darboux frame

^

^{T n g, ,}

`

^{and frame}

of hyperbolic spinor are given. Moreover, the Darboux derivative equations are given in terms of the hyperbolic spinors. In the third subsection, the relationship between the Frenet frame and the Darboux frame is obtained by means of hyperbolic spinors.

In addition, theorems are supported by examples.

In the fifth chapter, an evaluation of this thesis has been made and it has been made suggestions to researchs which will be done in future.

B g/h0*ø5øù

Spinorlar \ÕOÕQGD)UDQVÕ]PDWHPDWLNoL(OLH&DUWDQWDUDIÕQGDQNHúIHGLOPLúWLUBu PDWHPDWLNVHO LIDGHQLQ VDGHFH JHRPHWULN WDQÕPÕQÕ YHUHUHN VLVWHPDWLN RODUDN spinor WHRULVLQL JHOLúWLUPH\L KHGHIOH\HQ &DUWDQ, diferensiyel geometri, grup teorisi ve PDWHPDWLNVHO IL]L÷H |QHPOL NDWNÕODUGD EXOXQPXúWXU [1]. Di÷HU \DQGDQ üç boyutlu gNOLG X]D\ÕQGD NDWÕ ELU FLVPLQ \HU GH÷LúWLUPHVL\OH LOJLOL (XOHU WHRUHPLQLQ YHNW|U

formülasyonundan türetilen bir-indeksli spinorlara ve kuaterniyonlara yeni bir

\DNODúÕPGDEXOXQDQ9LYDUHOOLkuaterniyonlar ve bir-LQGHNVOLVSLQRUODUDUDVÕQGDOLQHHU

ve bLUHELU ELU ED÷ÕQWÕ WDQÕWPÕúWÕU [2]. Spinorlar fizikte 4XDQWXP PHNDQL÷LQGH GH NXOODQÕOPDNWDGÕU 6SLQRUODU 4XDQWXP PHNDQL÷LQGH ELU VSLQRUXQ ELOHúHQOHULQGHQ

EDúND ELU úH\ ROPD\DQ G|UW GDOJD IRQNVL\RQODUÕ YH HOHNWURQ LoLQ QO 'LUDF

deQNOHPOHULQL ROXúWXUXU %X DODQGD ELU oRN oDOÕúPD \D\ÕQODQPÕúWÕU %XQODUGDQ ELUL

Brauer ve Weyl WDUDIÕQGDQtemeORODUDNDGODQGÕUÕODELOHFHNELUoDOÕúPDGÕU [3]. Fakat EXoDOÕúPDODUÕQoR÷XQGDspinorlar, VH]JLVHOELUJHRPHWULNJ|UúROPDGDQWDQÕWÕOGÕ÷Õ

için VSLQRUODUOD LOJLOL PHYFXW OLWHUDWUQ DQODúÕOPDVÕ ELU KD\OL JoWU Fakat son

\ÕOODUGD JHRPHWULN DQODPGD NRQX ]HULQH GDKD DQODúÕOÕU ELUNDo oDOÕúPD \DSÕOPÕúWÕU

Bunlardan biri, Castillo ve Barrales’in NDUúÕOÕNOÕRUWRJRQDOELULPYHNW|UOHUGHQROXúDQ

bir oO\ VSLQRU RODUDN DGODQGÕUÕODQ LNL NRPSOHNV ELOHúHQOL WHN ELU YHNtör EDNÕPÕQGDQLIDGHHWWL÷LoDOÕúPDGÕU [4]$\UÕFDGL÷HUELUoDOÕúPDGDise \|QOHQGLULOPLú

ELU \]H\ ]HULQGH YHULOHQ 'DUERX[ oDWÕVÕQÕQ VSinor formülasyonunu ve Frenet ile 'DUERX[ oDWÕODUÕQÕQ VSLQRU J|VWHULPOHUL DUDVÕQGDNL LOLúNL .LúL YH 7RVXQ WDUDIÕQGDQ

YHULOPLúWLU [5]. Benzer olarak ^3, gNOLG X]D\ÕQGD H÷ULOHULQ VSLQRU %LVKRS

denklemleri ve %LVKRS LOH )UHQHW oDWÕVÕ DUDVÕQGDNL LOLúNLOHU [6]’daNL oDOÕúPDGD

YHULOPLúWLU. Ek olarak Ketenci ve ark., Minkowski X]D\ÕQGDQXOOROPD\DQUHJOHUEir H÷ULQLQ KLSHUEROLN VSLQRU IRUPOQ YHUPLúWLU [7]. (ULúLU ve ark., )UHQHW oDWÕVÕQD

alternatif ELUoDWÕ\D NDUúÕOÕNJHOHQKiperbolik spLQRUODUÕQJHRPHWULVLQLLQFHOHGL[8].

%X oDOÕúPDQÕQ DPDFÕ LVH [5-8] oDOÕúPDODUÕQD HN RODUDN \ 0LQNRZVNL X]D\ÕQGD³1

VSDFHOLNH \D GD WLPHOLNH ELU \]H\LQ 'DUERX[ oDWÕVÕQÕ -KLSHUEROLN ELOHúHQOL

VSLQRUODU \DUGÕPÕ\OD WHPVLO HWPHNWLU $\UÕFD \ X]D\ÕQGD \|QOHQGLULOPLú \]H\³₁

]HULQGH DOÕQDQ VSDFHOLNH H÷ULQLQ )UHQHW oDWÕVÕ YH -ER\XWOX 0LQNRZVNL X]D\ÕQGD

D\QÕQRNWDGD\]H\LQ'DUERX[oDWÕVÕDUDVÕQGDNLLOLúNLQLQKLSHUEROLNVSLQRUNDUúÕOÕ÷Õ

elde HGLOPLúWLU. Son olarak bulunan bu teoremler bir örnek ile destekOHQPLúWLU

BÖLÜM 2. TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde bize gerekli RODQED]ÕWDQÕPODUYHWHRUHPOHUYHULOHFHNWLU.

7DQÕP  Bir Lie grubu, diferensiyellenebilir grup operatörlerine sahip diferensiyellenebilir bir manifolddur; yani G deki grup operatörü olan

:G G G, ( , )a b ab

P u o P

ve G deki inversiyon operatörü olan

:G G, ( )a a 1

[ o [ ^

G|QúPOHULQLQ LNLVL GH GLIHUHQVL\HOOHQHELOLUGLUG Lie grubunun bir otomorfizimi hem diffeomorfizim hem de grup izomorfizimi olan

:

( )

G G

a a

I o^oI

G|QúPGU2WRPRUIL]LPOHU/LHJUXEXQXn üzerindeki özellikleri korur [9].

7DQÕP. G /LHJUXEXQXQELUHOHPDQÕa olsun. Her gG ^için l g_a( ) agolarak WDQÕPODQDQ l G_a: oG G|QúPQH G’nin sol oDUSÕPÕ denir. l_a bir diffeomorfizimdir. Her gG ^için r g_a( ) ga RODUDN WDQÕPODQDQ r G_a: oG G|QúPQHG’QLQVD÷oDUSÕPÕGHQLUr_a bir diffeomorfizimdir [10].

7DQÕPV ELUYHNW|UX]D\ÕROVXQ

[ , ] :

(u v) [ , ] (u v) [u v]

V V V

, , ,

u o o

bLoLPLQGHNLELUG|QúPKHUu v w, ,  LoLQDúD÷ÕGDNLo|QHUPH\LGR÷UXOX\RUVDEXV G|QúPH%UDFNHWRSHUDW|U( ,[ , ])V ikilisine de bir Lie cebiri denir.

i. [ , ] ikilineer,

ii. [u v, ] [v u, ] (antisimetrik),

iii. [[u v w, ], ] [[ , ], ] [[ , ], ] v w u  w u v 0 dir [10].

7DQÕP (÷HUKHU ,a g G için dl_a(X_g) X_ag ise, G Lie grubu üzerindeki X YHNW|UDODQÕVROLQYDU\DQWWÕU DoOD\ÕVÕ\OD

:

( )

a

a

l G G

g l g ag o

o

VROoDUSÕPÕQÕQ

: ( ) ( )

( )

a G G

a

dl T g T ag dl o o

g g ag

X X X

WUHY G|QúP X LQ ROXúWXUGX÷X WDQMDQW YHNW|UOHUL \HU GH÷LúWLULU 6RO LQYDU\DQW

YHNW|UDODQÕdiferensiyellenebilirdir.

G’GHNL VRO LQYDU\DQW YHNW|U DODQODUÕQÕQ FPOHVL X G olsun. Vektör alanlaUÕQÕQ_l DOÕúÕOPÕú WRSODPD YH VNDODU LOH oDUSPD LúOHPOHUL X G cümlesini_l ELU YHNW|U X]D\Õ

yapar. X G ’de [ , ] Bracket_l RSHUDW|U GH WDQÕPODQDUDN X G bir Lie cebiri olur. l

X G ,l n boyG (sonlu) boyutuna sahiptir [11].

Lemma 2.5. XX G_l HOHPDQÕQÕ ^XeTG

 

^e HOHPDQÕQD G|QúWUHQ

 

: _{l G}

f X GoT e fonksiyonu bir lineer izomorfizimdir. Burada e, G’nin grup LúOHPLQHJ|UHELULPHOHPDQÕGÕU

: G G

I o bir otomorfizim olsun. XX G_l ise ^dI

 

^{X X Gl dir ve}

: _{l l}

dI X GoX G Lie cebiri izomorfizimine I’nin diferensiyeli denir. dI diferensiyeli ^dIe:TG

 

^{e oTG}

 

^{e dönü}úPLOHLIDGHHGLOLU [11].

7DQÕP aG olmak üzere g _HOHPDQÕQÕaga^1 HOHPDQÕQDG|QúWUHQ

 

¹

a:

a

C G G

g C g aga^ o

o

IRQNVL\RQXQX J|] |QQH DODOÕP %X GXUXPGD C_a bir diffeomorfizim olup onun diferensiyeli Ad_a ile gösterilir. O halde dC_a Ad_a dir. a b, G ROGX÷XQGD

   

¹



¹



¹

Cab g abg ab ^ a bgb^ a^ dir. Böylece C_ab C_aDC_b olur. Diferensiyel DOÕQGÕ÷ÕQGDLVH

ab a b

Ad Ad DAd

elde edilir. aoAd_a grup homomorfizmine G’nin adjoint gösterimi denir [11].

7DQÕP V ELUUHHOYHNW|UX]D\ՁVWQGH , :V Vu o \ fonksiyonuna ikilineer form, H÷HUEXikilineer form simetrik ise , formuna simetrik ikilineer form denir [10].

7DQÕP , , V üstünde ikilineer form olsun.

i.  v V, vz Ÿ0 v v, !0 |QHUPHVLGR÷UXLVH , formuna SR]LWLIWDQÕPOÕ

ii.  v V, vz Ÿ0 v v, 0 |QHUPHVLGR÷UXLVH , formuna QHJDWLIWDQÕPOÕ

iii.  v V^, v v, t0 ^{ise , formuna}\DUÕSR]LWLIWDQÕPOÕ

iv.  v V^, v v, d0^{ise , formuna}\DUÕQHJDWLIWDQÕPOÕ

v.  w V, v w, Ÿ oluyor ise , formuna non-dejenere bir form0 v 0

denir. , , V YHNW|U X]D\ÕQÕQ DOW X]D\ÕQD LQGLUJHQHbilir. Bu indirgenen simetrik ikilineer form dejenere veya non-dejeneredir [11].

7DQÕPV YHNW|UX]D\Õ olmak üzere,

 

:

, q V

q o o

v v v v

\

fonksiyonuna , formundan elde edilen kuadratik form denir. q kuadratik formu YHULOGL÷LQGH , VLPHWULNLNLOLQHHUIRUPXYHULOPLúGHPHNWLUGerçekten,

     

, 1

v w 2ª¬q v w q v q w º¼

dir. V QLQELUED]Õ

^

^{e e1, 2,!,en}

`

olmak üzere, g_ij e e_i, _j ^diyelim. ª º¬ ¼gij ^matrisine,

g nin

^

^{e e1, 2,!,en}

`

ED]ÕQDJ|UHELOHúHQOHULQLQPDWULVLGHQLUg VLPHWULNROGX÷XQGDQ

gij

ª º¬ ¼ matrisi de simetriktir [11].

Teorem 2.10. , simetrik ikilineer formu non-dejeneredir JHUHNYH\HWHUúDUWV YHNW|U X]D\ÕQÕQ ELU ED]ÕQD J|UH , formuna NDUúÕOÕN JHOHQ PDWULVLQ GHWHUPLQDQWÕ

VÕIÕUGaQIDUNOÕGÕU [11].

7DQÕP  V YHNW|U X]D\Õ üstünde simetrik, non-dejenere bir , ikilineer formuna V üstünde bir skalaU oDUSÕP GHQLU , , V VWQGH ELU SR]LWLI WDQÕPOÕ

VNDODUoDUSÕPLVH , formuna V üstünGHELULooDUSÕPGHQLU [10].

7DQÕP V VRQOXER\XWOXUHHOYHNW|UX]D\ÕROPDN]HUHV üstünde bir skalar oDUSÕPYDUVDV YHNW|UX]D\ÕQD VNDODUoDUSÕPOÕYHNW|UX]D\ÕGHQLU [10].

7DQÕPV VNDODUoDUSÕPOÕELU vektör uzay ve vVolsun.

,

v v v

HúLWOL÷L\OHEHOLUOL v _VD\ÕVÕQDv vektörünün normu denir. Normu 1 olan vektöre de birim vekW|UDGÕYHULOLU [11].

Teorem 2.14. ^{V z 0}

^ `

olmak üzere, V VNDODUoDUSÕPOÕELUYHNW|UX]D\ÕLVHV vektör X]D\ÕQÕQ ortoQRUPDOED]ÕYDUGÕU [11].

V VNDODUoDUSÕPOÕYHNW|UX]D\ÕQÕQRUWRQRUPDOELU

^

^{e e1, 2,!,en}

`

ED]ÕQDJ|UHª º¬ ¼g_ij PDWULVLN|úHJHQVHOELUPDWULVWLUÇünkü e e_i, _j G H_{ij j} dir. Burada H_j e e_j, _j ^, ¹ veya 1 dir. V YHNW|U X]D\ÕQÕQ RUWRQRUPDO ELU ED]Õ VÕUDOÕ RODUDN J|] |QQH

DOÕQGÕ÷ÕQGDHj VD\ÕODUÕQHJDWLIRODQYHNW|UOHULQLONVÕUDGD\D]ÕOGÕ÷ÕQÕYDUVD\DFD÷Õ]

Teorem 2.15.

^

^{e e1, 2,!,en}

`

^{, V} QLQRUWRQRUPDOELUED]ÕROVXQV nin her v _HOHPDQÕ

1

,

v v e e

n

i i i

i

¦

H

bLoLPLQGHELUYH\DOQÕ]ELUWUO \D]ÕODELOLU [11].

Teorem 2.16. V nin ortonormal

^

^{e e1, 2,!,en}

`

^ED]ÕLoLQ

^

^{H H1, 2,!,Hn}

`

cümlesindeki QHJDWLIVD\ÕODUÕQVD\ÕVÕ , formunun LQGHNVLQHHúLWWLU , formunun indeksine v indeksi denir [11].

Teorem 2.17. M diferensiyellenebilir bir manifold olsun. M üstündeki non- dejenere, sabit indeksli ve (0, 2) tipindeki , tensör alaQÕQDELUPHWULNWHQV|UGHQLU.

, , M üstünde bir metrik tensör ise M nin her bir p QRNWDVÕQD^TM

 

^{p üstünde}

bir ,

p VNDODUoDUSÕPÕNDUúÕOÕNJHOLU ,

p nin indeksi her p QRNWDVÕQGDD\QÕGÕU [11].

Teorem 2.18. Mdiferensiyellenebilir manifoldu üstünde bir , metrik tensörü varsa M manifolduna ELU\DUÕ-Riemann manifoldu denir. , metrik tensörünün v indeksine (M, , ) \DUÕ-Riemann manifoldunun indeksi denir. M manifoldunun boyutu n olmak üzere, M \DUÕ-Riemann manifoldu Mvⁿ ile gösterilir [11].

7DQÕP (M, , ) ELU \DUÕ-5LHPDQQ PDQLIROGX ROVXQ (÷HUnt2^ve v 1 ise

n

Mv \DUÕ-Riemann manifolduna Lorentz manifoldu denir [11].

7DQÕP. M \DUÕ-Riemann manifoldu ve , formu da M üstünde bir metrik tensör olsun. Bu durumda M de bir v tanjant vektörü için,

i. v v, !0 ^veya v 0 ise vektörüne spacelike vektör, ii. v v, 0 ^ise v vektörüne timelike vektör,

iii. v v, 0 ve vz0 ise v vektörüne null vektör denir [11].

7DQÕP1. øQGHNVL1 ve boyV t olan 2 V VNDODUoDUSÕPX]D\ÕQD/RUHQW]YHNW|U

X]D\Õ GHQLU W , V /RUHQW] YHNW|U X]D\ÕQÕQ ELU DOW YHNW|U X]D\Õ YH , , V üstündeki VNDODUoDUSÕPROVXQ%XGXUXPGD

i. ,

W SR]LWLI WDQÕPOÕ \DQL W Lo oDUSÕP X]D\Õ LVH W DOW YHNW|U X]D\ÕQD spacelikeDOWX]D\Õ,

ii. ,

W 1 indeksine sahip non-dejenere ise W DOW YHNW|U X]D\ÕQD timelike alt X]D\Õ,

iii. ,

W dejenere ise W DOWYHNW|UX]D\ÕQD null DOWX]D\Õ denir [11].

Lemma 2.22. v, V /RUHQW] YHNW|U X]D\ÕQGD VSDFHOLNH bir vektör ise ^Sp

^ `

^{v A alt}

X]D\Õtimelike ve ^{V Sp}

^ `

^{v †Sp}

^ `

^{v A dir.}

W DOWX]D\ÕQÕQWLPHOLNH ROPDVÕLoLQJHUHNYH\HWHUNRúXOW^Ain spacelikeROPDVÕGÕU

Wnin lightlikeROPDVÕLoLQJHUHNYH\HWHUNRúXOW^Alightlike ROPDVÕGÕU

Wspacelike DOW X]D\ÕQÕQ KHU DOW X]D\Õ GD spacelike ve Schwarz HúLWVL]OL÷L

, d

v w v w RODUDNHOGHHGLOLU(úLWOLNROPDVÕLoLQJHUHNYH\HWHUNRúXOv ve w vektörlerininOLQHHUED÷ÕPOÕROPDVÕGÕU [11].

7DQÕP3. W , V /RUHQW]YHNW|UX]D\ÕQÕQELUDOWYHNW|UX]D\ÕROVXQ%XGXUXPGa DúD÷ÕGDNL|QHUPHOHUGHQNWLU

i. W spacelike’tÕU%|\OHFHW QÕQNHQGLVLGH/RUHQW]YHNW|UX]D\ÕGÕU

ii. W lineerED÷ÕPVÕ]LNLQXOO vektör içerir, iii. W timelike vektör içerir

[11].

Lemma 2.24. W , V /RUHQW]YHNW|UX]D\ÕQÕQELUDOWYHNW|UX]D\ÕROVXQ%XGXUXPGa DúD÷ÕGDNL|QHUPHOHUGHQNWLU

i. W lightlike’WÕU<DQLGHMHQHUH olur,

ii. W null vektör içerir fakat timelike vektör içermez,

iii. ^{Wˆ /  0L}

^ `

dir. Burada L ELU ER\XWOX DOW X]D\GÕU YH / , V Lorentz X]D\ÕQÕQ null konisidir

[11].

7DQÕP5. ,F V LRUHQW]YHNW|UX]D\ÕQGDNLVSDFHOLNH vektörlerin cümlesi olsun.

F u için

 

^u

^

^{u u v, 0}

`

C F 

cümlesi u vektörünü içeren V /RUHQW]X]D\ÕQÕQ timekonisidir. .DUúÕWWLPHkonisi

 

^u

 

^u

^

^{u u v, 0}

`

C  C F !

dir.

^ `

^{u A spacelike}ROGX÷XQGDQF bu iki timekonisinin ELOHúLPLGLU [11].

Lemma 2.26. /RUHQW] YHNW|U X]D\ÕQGD v ve w WLPHOLNH YHNW|UOHULQLQ D\QÕ WLPH koniGHROPDODUÕLoLQJHUHNYH\HWHUNRúXO v w, 0 ROPDVÕGÕU [11].

7DQÕP. ^u



^{u u u1, 2, 3}



^{, v}



^{v v v1, 2, 3}



^\3 YHNW|UOHULQLQ/RUHQW]LooDUSÕPÕ

1 1 2 2 3 3

,

u v u v u v u v

ELoLPLQGHWDQÕPODQÕULVHEXLooDUSÕP ile birlikte \ $ILQX]D\Õ0LQNRZVNL-X]D\Õ³ DGÕQÕ DOÕU YH \ LOH J|VWHULOLU /RUHQW] PHWUL÷L RODUDN LVLPOHQGLULOHQ EX Lo oDUSÕP³1

ikilineer, simetrik ve non-dejeneredir [11].

7DQÕP. \ X]D\ÕQGD³1

^

^{31: , 0, 0}

`

/ u \ u u uz

ile verilen cümleye null koniDGÕYHULOLU [11]. ùHNLO

$úD÷ÕGDNL úHNLOGH J|UOG÷ JLEL \ X]D\ÕQGDNL WLPHOLNH YHNW|UOHU³1 / konisinin içinde, lightlike (null) vektörler / konisinin üzerinde ve spacelike vektörlerde / konisininGÕúÕQGDEXOXQXUODU ùHNLO

ùHNLO0LQNRZVNLX]D\ÕQGDYHNW|UOHU [11]

7DQÕP. \ de Lorentz ve Hiperbolik birim küreler, VÕUDVÕ\OD,³1

^ `

2 3

1 u 1 u u, 1

S \

ve

^ `

2 3

0 u 1 u u, 1

H \ 

ile verilir [11].ùHNLO

ùHNLO0LQNRZVNLX]D\ÕQGDELULPNUHOHU [11]

7DQÕP0. \ X]D\ÕQGD iki vektör 1³ u ve v olsun. ^{u = u u u}



^{1, 2, 3}



^{, v = v v v}



^{1, 2, 3}



olmak üzere

 

1 2 3 3 2 2 3 1 3 3 1 1 2 2 1

1 2 3

-

det , ,

1 2 3

e e e

u v = u u u u v u v u v u v u v u v

v v v

ª º

« »

š « »      

« »

¬ ¼

vektörüne u ve v QLQYHNW|UHOoDUSÕPÕGHQLU%XUDGD



^{1, 2, 3}



¹_{0 ise}

e_{i i i i ij} i j ise

i j G G G ^§_¨G _®^­ _z ^·_¸

© ¯ ¹

dir [11].

Teorem 2.31. u,v, w\ olsun. Bu takdirde³₁

i. ^{ušv, w det}



^{u,v, w}



^,

ii.



^{uš š v}



^{w u, w w v, w u,}

iii. ^uš

 

^{v, w  u, w v u, w w,}

iv. ušv u, 0 ^ve ušv v, 0^, v. ušv u, š v u u v v, ,  u v, ² dir [11].

7DQÕP. u\ de bir timelike vektör ve ³1 ^e3



^{0, 0,1}



ROVXQ(÷HU

i. u e, ₃ 0 ^ise u vektörüne future-pointing timelike vektör, ii. u e, ₃ !0 ^ise u vektörüne past-pointing timelike vektör

denir [12].

7DQÕP 2.33. u,v\³1 YHNW|UOHULQLQ /RUHQW] Lo oDUSÕPÕ DúD÷ÕGDNL JLEL

yorumlanabilir.

i. u ve v future-pointing (past-pointing) timelike vektörler olsun. Bu durumda,

, cosh

u v  u v M

RODFDN úHNLOGH ELU WHNMt UHHO VD\ÕVÕ YDUGÕU %X VD\Õya0 u ve v vektörleri DUDVÕQGDNLKLSHUEROLNDoÕGHQLU [12].

ii. u ve v spacelike vektörler olsun. %X YHNW|UOHULQ JHUGL÷L DOW YHNW|U X]D\ÕQÕQ

WLPHOLNHROGX÷XQXYDUVD\DOÕP Bu durumda,

, cosh

u v u v M

RODFDN úHNLOGH ELU WHNMt UHHO VD\ÕVÕ YDUGÕU %X VD\Õ\D0 u ve v vektörleri DUDVÕQGDNLPHUNH]DoÕGHQLU [12].

iii. u ve v spacelike vektörler olsun. %X YHNW|UOHULQ JHUGL÷L DOW YHNW|U X]D\ÕQÕQ

VSDFHOLNHROGX÷XQXNDEXOHGHOLP Bu durumda,

, cos

u v u v M

RODFDN úHNLOGH ELU WHNM ^{( 0}d d ) UHHO VD\ÕVÕ YDUGÕU %X VD\ÕyaM S u ve v vektörleriDUDVÕQGDNLVSDFHOLNHDoÕGHQLU [12].

iv. u bir spacelike vektör ve v bir timelike vektör olsun. Bu durumda,

, sinh

u v u v M

RODFDNúHNLOGHELUWHNMt UHHOVD\ÕVÕYDUGÕU%X0 M ^{VD\ÕVÕQD u} ve v vektörleri DUDVÕQGDNL/RUHQW]L\HQWLPHOLNHDoÕGHQLU [12].

7DQÕP. I Ž \ olmak üzere

3

: 1

( ) I

s s

D

D o o

\

diferensiyellenebilir fonksiyonuna \ , 0LQNRZVNL X]D\ÕQGD H÷UL DGÕ YHULOLU (÷HU³₁ ( )s

Dc KÕ]YHNW|UDODQÕLoLQ

i. D Dc c , 1 ^ise D \DELULPKÕ]OÕVSDFHOLNHH÷UL

ii. D Dc c , 1 ^ise D \DELULPKÕ]OÕWLPHOLNHH÷UL

iii. D Dc c , 0 ^ise D \DQXOOOLJKWOLNHH÷UL DGÕYHULOLU [11].

7DQÕP . \ , Minkowski X]D\Õ YH³1 D  \ ise ( , )³1 I D NRRUGLQDW NRPúXOX÷X LOH

YHULOHQELUH÷ULROVXQD H÷ULVLQLQELULPWH÷HWYHNW|UDODQÕT ve U da sabit birim vektör olmak üzere  s I ^için T ve U DUDVÕQGDNLDoÕVDELWLVHD  \ H÷ULVLQHELU³1

H÷LOLPoL]JLVLKHOLVGHQLU [13].

7DQÕP. \ , 2-ER\XWOXgNOLGX]D\ÕQGDNL²

cos sin

( ) sin cos

AT ^¨§_© TT ^ TT^·¸_¹

dönmePDWULVLQHNDUúÕOÕN\ X]D\ÕQGDNLG|QPHPDWULVL₁²

cosh sinh ( ) sinh cosh AT ^¨§_© TT TT^·¸_¹

ELoLPLQGHROXSLNLWLPHOLNHYHNW|UDUDVÕQGDNLDoÕKLSHUEROLNDoÕLNLVSDFHOLNHYHNW|U

DUDVÕQGDNLDoÕPHUNH]DoÕGÕU [12].

Lemma 2.40. A( )T PDWULVLDOWÕQGDWLPHOLNHYHNW|UOHUWLPHOLNHYHNW|UOHUHVSDFHOLNH

vektörler spacelike vektörlere ve lightlike vektörlerOLJKWOLNHYHNW|UOHUHG|QúU [14].

7DQÕP1. D: I o \³1 ELULP KÕ]OÕ UHJOHU VSDFHOLNH H÷ULVL EX H÷ULQLQ H÷ULOLN YH

WRUVL\RQXVÕUDVÕ\ODN ^ve W )UHQHWoDWÕVÕ

^

^{T N B, ,}

`

^{ve HB B B, B1} olmak üzere T spacelike vektör iken Frenet türev formülleri

0 0

0

0 0

B

H N N W W

§ · § ·§ ·

¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸

¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸

¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸

© ¹ © ¹© ¹

T' T

N' N

B' B

(2.1)

úHNOLQGHGLU$\UÕFDH_B^,

D

VSDFHOLNHH÷ULVLQLQoHúLGLQLEHOLUOHU(÷HUH_B 1 ^ise

D

VSDFHOLNH H÷ULVL N timelike asli normalli ve B VSDFHOLNH ELQRUPDOOL ELU H÷ULGLU

(÷HUH_B 1 ^ise

D

VSDFHOLNH H÷ULVL N spacelike asli normalli ve B timelike binormallidir. Burada sI ROPDN]HUHELULPKÕ]OÕ

D

VSDFHOLNHH÷ULVLLoLQ

 

( ) ( ), ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )

( ) ^B

s s s s s s s

s

D^c DD^cccc H ^š

T N B T N

dir [15].

TaQÕP. M, \³₁ X]D\ÕQGD ELU\]H\ROVXQ(÷HU M \]H\L]HULQHLQGLUJHQPLú

metrik bLU /RUHQW] PHWUL÷L LVH EX \]H\ WLPHOLNH \]H\ H÷HU LQGLUJHQPLú PHWULN

SR]LWLI WDQÕPOÕ 5LHPDQQ PHWUL÷L LVH EX \]H\ VSDFHOLNH \]H\ RODUDN DGODQGÕUÕOÕU

<DQL\]H\LQQRUPDOYHNW|UDODQÕVSDFHOLNHWLPHOLNHLVH\]H\WLPHOLNHVSDFHOLNH bir yüzeydir [16].

7DQÕP . M, \³₁, 3 boyutlu Minkowski X]D\ÕQGD \|QOHQGLULOHELOLU ELU \]H\

(spacelike veya timelike) olmak üzere M de yatan ELULPKÕ]OÕUHJOHUVSDFHOLNHELU

H÷UL

D

^olsun.

D

H÷ULVL D\QÕ ]DPDQGD X]D\GD ELU H÷UL ROGX÷XQGDQ H÷ULQLQ KHU ELU

QRNWDVÕQGD

^

^{T N B, ,}

`

)UHQHW oDWÕVÕ YDUGÕU $\UÕFD

D

H÷ULVL M yüzeyi üzerinde

\DWWÕ÷ÕQGDQGROD\ÕH÷ULQLQ'DUERX[oDWÕVÕRODUDNDGODQGÕUÕODQELUGL÷HUoDWÕYDUGÕUYH

EXoDWÕ

^

^{T n g, ,}

`

ile gösterilir.

^

^{T n g, ,}

`

'DUERX[oDWÕVÕQGDT, H÷ULQLQELULPWDQMDQW

vektörü, n, M yüzeyinin birim normal vektörü ve g ise ^{g =Hg}



^{n Tš}



^úHNOLQGH

birim vektördür. Burada H_g g g, GLU$\UÕFDT birim tanjant vektörü Darboux ve )UHQHW oDWÕODUÕQÕQ RUWDN YHNW|U ROGX÷XQGDQ GROD\Õ N, B g, ve n YHNW|UOHUL D\QÕ

düzlemdedirler.

M yüzeyi üzerinde yatan spacelike

D

H÷ULVLQLQ 'DUERX[ YH )UHQHW oDWÕODUÕ

DUDVÕQGDNLLOLúNL

1 0 0 0 cosh sinh 0 sinh cosh

E E

E E

§ · § ·§ ·

¨ ¸ ¨  ¸¨ ¸

¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸

¨ ¸ ¨  ¸¨ ¸

© ¹ © ¹© ¹

T T

g N

n B

(2.2)

ile verilir. Burada T spacelike vektör olup N vektörü timelike (spacelike) ise g YHNW|U GH WLPHOLNH VSDFHOLNH YHNW|UGU $\UÕFD E KLSHUEROLN DoÕVÕ g ile N YHNW|UOHULDUDVÕQGDNLDoÕGÕU M yönlendirilebilir bir (timelike veya spacelike) yüzey olmak üzere M ]HULQGH\DWDQVSDFHOLNHH÷ULQLQ'DUERX[oDWÕVÕQÕQWUHYIRUPOOHUL HúLWOL÷LQHNDUúÕOÕNRODUDN

0 0

0

g n

B g g

B n g

H N N NW H N W

c § ·

§ · § ·

¨ ¸

¨ ¸c ¨ ¸¨ ¸

¨ ¸ ¨ ¸

¨ ¸c ¨ ¸¨ ¸

© ¹ © ¹© ¹

T T

n n

g g

(2.3)

ile verilir.

(NRODUDNHúLtOL÷Lnin bir benzeri

1 0 0

0 cosh sinh 0 sinh cosh

E E

E E

§ · § ·§ ·

¨ ¸ ¨  ¸¨ ¸

¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸

¨ ¸ ¨  ¸¨ ¸

© ¹ © ¹© ¹

T T

n N

g B

(2.4)

úHNOLQGH verilebilir. Burada T spacelike vektör olup N vektörü timelike (spacelike) ise n YHNW|UGHWLPHOLNHVSDFHOLNHYHNW|UGU$\UÕFDE KLSHUEROLNDoÕVÕ n ile N YHNW|UOHULDUDVÕQGDNLDoÕGÕU Bu durumda HúLWOL÷L\HULQH

0 0

0

n g

B n g

B g g

H N N NW H N W

c § ·

§ · § ·

¨ ¸

¨ ¸c ¨ ¸¨ ¸

¨ ¸ ¨ ¸

¨ ¸c ¨ ¸¨ ¸

© ¹ © ¹© ¹

T T

n n

g g

(2.5)

HúLWOL÷L geçerlidir. %XUDGD VÕUDVÕ\OD QRUPDO H÷ULOLN JHRGH]LN H÷ULOLN YH JHRGH]LN

burulma N N_n coshE^, N Ng ^sinhE ^ve g

d ds

W W  E úHNOLQGHGLU [17].

Lemma 2.44. M yönlendirilebilir yüzeyi (timelike veya spacelike) üzerinde yatan D H÷ULVLYHULOVLQ,

i. D( )s ELUJHRGH]LNH÷ULGLUœ N_g ,0 ii. D( )s bir asimptotik çizgidir œ N_n ,0 iii. D( )s ELUH÷ULOLNoL]JLVLGLUœ W_g 0 dir [11].

n

\ X]D\ÕQÕQ EWQ OLQHHU L]RPHWULOHULQHv \ QLQ GR÷DO ED]ÕQD J|UH NDUúÕOÕN JHOHQⁿv

matrislerin cümlesi O n ile gösterilsin._v( ) O n cümlesi _v( ) GL n( , )\ cümlesinin NDSDOÕ

ELU DOW JUXEXGXU YH EXQGDQ GROD\ÕO n_v( ) bir Lie grubudur. O n_v( ) cümlesine \DUÕ

ortogonal grup denir.

Teorem 2.45. n nu tipindeki bir A PDWULVLLoLQDúD÷ÕGDNL|QHUPHOHUGHQNWLU

i. AO n_v( ),

ii. A^T H HA^1 HúLWOL÷LQLVD÷OD\DQPDWULVe Lorentz anlamda ortogonal matris denir, iii. A QÕQVWXQODUÕQÕQcümleVLVDWÕUODUÕQÕQcümlesi) \ u]D\ÕLoLQRUWRQRUPDOELUⁿv

ED]GÕU

iv. A, \ QLQRUWRQRUPDOELUED]ÕQÕ\LQHRUWRQRUPDOELUED]DG|QúWUUⁿ_v

[11,18].

Teorem 2.46. O n_v( ) in Lie cebiri, C^T H HC HúLWOL÷LQLVD÷OD\DQ C matrislerinin cümlesidir. Böyle C matrisleri

T

A B

C B D

ª º

«¬ »¼

biçimindedir. Burada A^T  ,A D^T  ,D Av v_u , D_{(n v u u) (n v)} ve B_{vu (n v)} biçiminde matrislerdir. O n ’nin Lie cebiri _v( ) O n ile gösterilir. _v( ) ( 1)

( ) 2

v

boy O n n n dir [11].

Bu bölümde, öncHOLNOH KLSHUEROLN VD\Õ VLVWHPL GDKD VRQUD EX VD\Õ VLVWHPL

NXOODQÕODUDNKLSHUEROLNVSLQRUODUWDQÕWÕOPÕúWÕU.

+LSHUEROLN6D\Õ6LVWHPL

øQJLOL] geometrici Clifford, j² kullanarak VSOLW NDUPDúÕN VD\ÕODU YH\D GRXEOH1 NDUPDúÕN VD\ÕODU RODUDN GD DGODQGÕUÕODQ KLSHUEROLN VD\ÕODUÕ WDQÕWWÕ >19]. Clifford’un

\DSWÕ÷Õ KLSHUEROLN VD\ÕODUÕQ PHNDQL÷H X\JXODPDODUÕ, non-Öklid geometriye X\JXODPDODUWDUDIÕQGDQGHVWHNOHQPHNWHGLU

7DQÕP \ UHHOVD\ÕODUFPOHVL,

 

^ toplama ve

 

^. oDUSPDLúOHPOHULQHJ|UH

bir cisimdir. O halde ,x y\ olmak üzere ^Z

 

^{x y,} LNLOLVLQHVÕUDOÕLNLOLGHQLU. Bu úHNLOGHWDQÕPODQDQ\ \u ^cümlesi  ile gösterilsin.

^  

^{x y, :x jy x y, , \, j2 1, jzB1}

`



ü]HULQGHLNLLoLúOHPYHELUHúLWOLNúXúHNLOGHWDQÕPODQÕU [20].

7DQÕP  ^Z

 

^{x y, } hiperboliN VD\Õ olmak üzere x UHHO VD\ÕVÕQD Z VD\ÕVÕQÕQUHHONÕVPÕy UHHOVD\ÕVÕQDGDZ VD\ÕVÕQÕQhiperbolik NÕVPÕGHQLU [20].

7DQÕP ^Z1



^{x y1, 1}



^{, Z2}



^{x y2, 2}



^ olmak üzere Z ile ₁ Z₂ HúLWWLUGHQLUYH

1 2

Z Z úHNOLQGHJ|VWHULOLU[20].

7DQÕP ^Z1



^{x y1, 1}



^{, Z2}



^{x y2, 2}



^ olmak üzere

† u o:   LoLúOHPL

         

1 2 1, 1 2, 2 1 2, 1 2 1 2 1 2

Z † Z x y † x y x x y y x x  j y y

úHNOLQGHWDQÕPODQÕUYH GHNLWRSODPDRODUDNDGODQGÕUÕOÕU [20].

7DQÕP5. ^Z

 

^{x y, } olmak üzere

Z† X Z

GHQNOHPLQLQo|]PRODUDNWDQÕPODQDQ X KLSHUEROLNVD\ÕVÕQD ^de † ^LúOHPLQLQ

ELULPHOHPDQÕHWNLVL]HOHPDQÕGHQLUYH⁰

 

^{0, 0} ile gösterilir [20].

7DQÕP6. ^Z

 

^{x y, } olmak üzere

0 Z† W

denkleminde W LOH J|VWHULOHQ KLSHUEROLN VD\Õ\D  ^de † LúOHPLQLQ WHUV HOHPDQÕ

denir ve ^{W  }



^{x, y}



ile gösterilir [20].

Önerme 3.1.7.  KLSHUEROLNVD\ÕVLVWHPLQGHWRSODPDLúOHPLLoLQDúD÷ÕGDNL|]HOOLNOHU

geçerlidir.

i. Z₁†Z₂ Z₂†Z₁ 'H÷LúPH|]HOOL÷L

ii. ^Z1†



^Z2†Z3

 

^Z1†Z2



^†Z3 %LUOHúPHg]HOOL÷L [20].

2KDOGHDúD÷ÕGDNLWHRUHPYHULOHELOLU

Teorem 3.1.8.



^,†



ikilisi bir abel grubudur [20].

7DQÕP ^Z1



^{x y1, 1}



^{, Z2}



^{x y2, 2}



^ olmak üzere

: u o

:   

LoLúOHPL

       

1 2 1, 1 2, 2 1 2 1 2 1 2 2 1

Z :Z x y : x y x x y y  j x y x y

úHNOLQGHWDQÕPODQÕUYH ’de çarpma RODUDNDGODQGÕUÕOÕU [20].

7DQÕP ^Z

 

^{x y, } olmak üzere

Z:Y Z

GHQNOHPLQLQ o|]P RODUDN WDQÕPODQDQY KLSHUEROLN VD\ÕVÕQD ^’de : ^LúOHPLQLQ

ELULPHOHPDQÕHWNLVL]HOHPDQÕGHQLUYH¹

 

^{1, 0} ile gösterilir [20].

7DQÕP ^Z

 

^{x y, } olmak üzere

1 1

Z:Z^

denkleminde Z^1 LOH J|VWHULOHQ KLSHUEROLN VD\Õ\D ^’de : LúOHPLQLQ WHUV HOHPDQÕ

denir [20].

7DQÕP

 

^0,1 KLSHUEROLNVD\ÕVÕ j ile gösterilecektir yani

 

^{0,1 j} DOÕQDFDk ve hiperbolik birim olarak adODQGÕUÕODFDNWÕU [20].

Sonuç 3.1.13. j² dir [20].1

Önerme 3.1.14.  KLSHUEROLN VD\Õ VLVWHPLQGH oDUSPD LúOHPL LoLQ DúD÷ÕGDNL

özellikler geçerlidir.

i. Z₁:Z₂ Z₂:Z₁ 'H÷LúPHg]HOOL÷L

ii. ^Z1:



^Z2:Z3

 

^Z1:Z2



^:Z3 %LUOHúPHg]HOOL÷L iii. ^Z1:



^Z2†Z3

 

^Z1:Z2

 

^{† Z1:Z3}



'D÷ÕOPDg]HOOL÷L [20].

O halde aúD÷ÕGDNLWHRUHPOHUYHULOHELOLU

Teorem 3.1.15.



^{, ,† :}



oOVELULPOLYHGH÷LúPHOLELUKDONDGÕU [20].

Teorem 3.1.16.



^{, ,† :}



oOVELUFLVLPGH÷LOGLU [20].

7DQÕP. \ UHHOVD\ÕODUFPOHVLROPDN]HUH

u\ \



cümlesi]HULQGHWRSODPDoDUSPDYHHúLWOLNLúOHPOHUL\XNDUÕGDNLJLELWDQÕPODQPÕúLVH

 FPOHVLQH KLSHUEROLN VD\Õ VLVWHPL YH^

 

^{x y, } HOHPDQÕQD GD ELU KLSHUEROLN

VD\ÕGHQLU [20].

7DQÕP 8. ^x ve y UHHO VD\Õ ROPDN ]HUH Z x jy   olsun. Bu takdirde x  KLSHUEROLN VD\ÕVÕQDjy Z KLSHUEROLN VD\ÕVÕQÕQ HúOHQL÷L GHQLU YH Z ile gösterilir [20].

Teorem 3.1.19. Z₁ ve Z₂ LNL KLSHUEROLN VD\Õ ROPDN ]HUH DúD÷ÕGDNL |]HOOLNOHU

VD÷ODQÕU

i. Z₁† †Z₂ Z₁ Z₂^, ii. Z₁ ,Z₁

iii. Z₁:Z₂ Z₁:Z₂^,

iv. Z₂ z olmak üzere 0 ^{1 1}

2 2

Z Z

Z Z

§ · ¨ ¸§ ·

¨ ¸© ¹ © ¹,

v. ^{Z1† Z1 2 Re}

 

^{Z1 , Z1 Z1 2 Imj}

 

^Z1

[20].

Teorem 3.1.20. ^Z

 

^{x y,} KLSHUEROLNVD\ÕODUÕQEWQQHKLSHUEROLNG]OHPGHQLUYH

 ile gösterilir. Her bir

 

^{x y,} LNLOLVLQH GH KLSHUEROLN G]OHPLQ ELU QRNWDVÕ GHQLU [20].

7DQÕP. Z x jy   KLSHUEROLNVD\ÕROPDN]HUH

2 2

Z Z:Z x y

UHHOVD\ÕVÕQDZ KLSHUEROLNVD\ÕVÕQÕQPRGOGHQLU [20].

7DQÕP . Z1 x1 jy1 ve Z2 x2 jy2 LNL KLSHUEROLN VD\Õ ROPDN

]HUHDúD÷ÕGDNL|]HOOLNOHUVD÷ODQÕU

i. Z₁² : ,Z₁ Z₁ Z1 Z1:Z1 ^,

ii. Z₁:Z₂ Z Z_{1 2} ,

iii. Z₂ z olmak üzere 0 ^{1 1}

2 2

Z Z

Z Z

[20].

7DQÕP . Z1 x1 jy1 ve Z2 x2 jy2 LNL KLSHUEROLN VD\Õ ROPDN

üzere hiperbolik düzlemde bu LNL KLSHUEROLN VD\Õ DUDVÕQGDNL X]DNOÕN Z₁Z₂ ^ile gösterilir ve

  

²



²

1 2 1 2 1 2

Z Z x x  y y RODUDNKHVDSODQÕU [20].

7DQÕP.  hiperbolik G]OHPGHDoÕ

arctanh y T x

úHNOLQGHWDQÕPODQÕU [20]. ùHNLO

ùHNLO%LUKLSHUEROLNVD\ÕQÕQKLSHUEROLNG]OHPGHJ|VWHULOPHVL [20]

7DQÕP5.  KLSHUEROLNG]OHPGH0DFODXULQVHULVL\DUGÕPÕ\OD(XOHUIRUPO

cosh sinh

ej^T T  j T úeklindedir [20].

7DQÕP.26. Z  KLSHUEROLNVD\ÕVÕQÕQNXWXSVDOYHVWHOIRUPX



^{cosh sinh}



^j

Z r T j T re^T

úHNOLQGHHOGHHGLOLU%XUDGDr Z ve T LIDGHOHULVÕUDVÕ\OD Z KLSHUEROLNVD\ÕVÕQÕQ

E\NO÷YHDUJPHQWL denir [20].

7DQÕP27.  hiperbolik düzlemde e^jT WDUDIÕQGDQWDQÕPODQDQG|QPHPDWULVL

cosh sinh sinh cosh

T T

T T

§ ·

¨ ¸

© ¹

úeklindedir [20].

3.2. Hiperbolik Spinor

Bu alt E|OPGHRUWRQRUPDOWDEDQ\DUGÕPÕ\ODhiperbolik VSLQRUODUWDQÕWÕOPÕúWÕU. Bu alt E|OPGHNLUHIHUDQVÕPÕ]Ketenci ve ark. [7] RODFDNWÕU

3

\ , Minkowski X]D\ÕQGD RULMLQHWUDIÕQGDNLG|QPHOHULQJUXEXRODQ1 SO(1, 3) cümlesi ile 2 2u tipinde üniter matrisler grubu olan SU(2, FPOHVL DUDVÕQGD bir ) homomorfi]P YDUGÕU\ X]D\ÕQGD³1 SO(1, 3) cümlesinin HOHPDQODUÕ  UHHO ELOHúHQOL

vektörleri harekete geçirirken, SU(2, cümlesinin HOHPDQODUÕ ise hiperbolik) VSLQRUODUÕKDUHNHWHJHoLULU

%X KRPRPRUIL]P VSLQRUODU DUDFÕOÕ÷Õ\OD DúD÷ÕGDNL úHNLOGH J|VWHULOHELOLU \ \1, 2

olmak üzere bir hiperbolik spinor

1

2

\ ^{¨ ¸§ ·}_{© ¹}\\ ^(3.1)

úHNOLQGHgösterilebilir. Bu

\

^spinoru, a ^jb izotropik vektör olmak üzere

t ˆt

j \ V\ \ V\

 

a b c (3.2)

HúLWOLNOHUL \DUGÕPÕ\OD a b c, , \³1 spacelike (veya timelike) YHNW|UOHULQL WDQÕPODU

Burada j² ,1 V (V V V1, 2, 3) ELOHúHQOHUL hiperbolik, simetrik, 2 2u ^tipinde matrisler olan bir vektör ve t de transpozdur. Öyle ki, ₁ 0 1

P 1 0

§ ·

¨© ¸¹^{, 2} P 0

0 j j

§  ·

¨ ¸

© ¹^,

3

1 0

P 0 1

§ ·

¨©  ¸¹ Pauli matrisleri VÕUDVÕ\OD soldan 0 1 1 0

§ ·

¨ ¸

© ¹ ^matrisiyle oDUSÕOÕUVD

1 2 3

(V V V, , )

V ^{vektörünün}ELOHúHQOHULnin

1 2 3

1 0 0 0 1

0 1 0 1 0

j

V _¨^{§ ·}_¸ V _¨^§ j_¸^· V ^§_¨ ^{ ·}_¸

 

© ¹ © ¹ © ¹ ^(3.3)

úHNOLQGHNL2 2u tipinde, hiperbolik, simetrik matrisler ROGX÷XJ|UOU. Ek olarak,

1 2

2 1

0 1 0 1

ˆ 1 0 1 0

\ \

\ \

\ \

§ · § ·

§ · § ·

¨© ¸¹ ¨© ¹© ¹ ©¸¨ ¸ ¨¨ ¸ ¨ ¹¸¸ (3.4)

elde edilir. Burada \ˆ^,

\

QLQ HúLQL YH \^,

\

QLQ KLSHUEROLN HúOHQL÷LQL gösteren KLSHUEROLNVSLQRUODUGÕU [7].

Böylece (3.1), (3.2), (3.3) ve (3.4) GHQNOHPOHUL \DUGÕPÕ\OD a b c, , \³₁ spacelike (veya timelike) vektörleri

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

+ j ( , ( ), 2 )

( , ( ), )

j j

\ \ \ \ \ \

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \

  

  

a b

c

=

=

(3.5)

úHNOLQGHYHULOLU. Burada a b c, , \³1 spacelike (veya timelike) YHNW|UOHULLNLúHULNLúHU Lorentz anlamda RUWRJRQDO YH ER\ODUÕ GD ELUELULQH HúLWWLU Yani

= 0

¢ ² ¢ ² ¢ ² a b a c, b c, ve a b c \ \^t dir. O halde a b c, , \³₁ spacelike (veya timelike) vektöUOHULLNLúHULNLúHU Lorentz anlamda ortogonal ve bununla birlikte

det 0

¢ ša b,c =² (a,b,c) > ROGX÷XQGDQ {a b c, , } VÕUDOÕ oOV ise ELU VD÷ VLVWHP

ROXúWXUXU Tersine; ER\ODUÕ HúLW LNLúHU LNLúHU Lorentz anlamda ortogonal ve

¢ ša b,c >² 0 olan a b c, , \³₁ spacelike (veya timelike) vektörlerine, + j \ V\^t , \ V\^t

a b = c denklemleriyle verilen bir

\

hiperbolik spinoru NDUúÕOÕNJHOLU [7].

$\UÕFD

\

hiperbolik spinoru SU(2, G|QúPDOWÕQGD\HQLELUhiperbolik spinora ) G|QúU Böylece herhangi bir USU(2, matrisi için,) \' U\ olmak üzere,

t t

\ \ \ \c c HúLWOL÷L EXOXQXU. O halde '\ hiperbolik spinoruQD NDUúÕOÕN JHOHQ c c c, ,

a b c VSDFHOLNHYH\DWLPHOLNHYHNW|UOHULQLQE\NO÷,

\

hiperbolik spinoruna NDUúÕOÕNJHOHQ , ,a b c spacelike (veya timelike) vektörlerinin E\NO÷QHHúLWWLU Bu yüzden SU(2, cümlesinin KHU ELU HOHPDQÕ) \ , 0LQNRZVNL X]D\ÕQÕQ³1

^

^{a b c, ,}

`

RUWRJRQDOWDEDQÕQÕ,

^

^{a b cc c c, ,}

`

RUWRJRQDOWDEDQÕQDG|QúWUHQELUG|QúPROXúWXUXU

%XG|QúPLNL\H-birdir. Yani SU(2, cümlesinin) U ve U úHNOLQGHLNLHOHPDQÕ

3

\ , 0LQNRZVNLX]D\ÕQGD D\QÕVÕUDOՁoO\ ROXúWXUXU1

^

^{a b c, ,}

`

^üçlüsü

^\

hiperbolik VSLQRUXQDNDUúÕOÕN gelirken

^

^{b c a, ,}

`

^ve

^

^{c a b, ,}

`

oOOHULIDUNOÕKLSHUEROLNVSLQRUODUD

NDUúÕOÕNJHOLUEk olarak

\

^ve 

\

KLSHUEROLNVSLQRUODUÕD\QՁoO\HNDUúÕOÕNJHOGL÷L

için (3.5) denkleminde

\

hiperbolik spinoru yerine 

\

hiperbolik spinorunu DOGÕ÷ÕPÕ] WDNGLUGH VRQXo GH÷LúPHPHNWHGLU Böylece homomorfizm ikiye-bir tipindedir [7].

(3.2), (3.3) ve (3.5)GHQNOHPOHUL\DUGÕPÕ\ODDúD÷ÕGDNL|QHUPHverilebilir.

Önerme 3.2.1.Herhangi

M

^ve

\

iki hiperbolik spinor için,

i. M V\^t M V\ˆ^t ˆ ii.



^{OM P\}n^



^{OM P\ˆ ˆ}

iii. \ˆˆ \

HúLWOLNOHULJHoHUOLGLUBurada O ^ve

P

KHUKDQJLLNLKLSHUEROLNVD\ÕGÕU[7].

Önerme 3.2.2.Herhangi

M

^ve

\

hiperbolik spinor çiftleri için

t t

M V\ \ VM dir [7].

Örnek 3.2.3. Özel olarak 1

\ _{¨ ¸}^{§ ·}0

© ¹ ^seçilirse \^ˆ= 0 1

§ ·¨ ¸

© ¹ olur. Bu seçim (3.5) denkleminde yeULQH\D]ÕOÕUVD,

(1, 0, 0) (0,1, 0) ve (0, 0,1)

a+ jb  j c

oOGX÷XQGDQ

^

^{a b c, ,}

`

^{üçlüsü \ X]D\ÕQÕQ31}

^

(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)

`

NDQRQLN ED]ÕQÕ

ROXúWXUXU [7].

Önerme 3.2.4 (÷HU

\

VÕIÕUGDQ IDUNOÕ ELU hiperbolik spinor ise

^ `

^{\ \, ˆ lineer}

ED÷ÕPVÕ]GÕU [7].

3

\ , Minkowski X]D\ÕQGDDOÕQDQELUVSDFHOLNHH÷ULQLQ)UHQHWoDWÕVÕ { , , }1 N B T olsun.

Bu FUHQHW oDWÕVÕQD

M

VSLQRUX NDUúÕOÕN getirilirse (3.2) denkleminin benzeri olarak DúD÷ÕGDNLGHQNOHPOHU\D]ÕODELOLU

ve ˆ

t t

j M VM M VM

 

N B T (3.6)

Teorem 3.2.5. øNL ELOHúHQOL M hiperbolik spinoru, yay parametresi ile parametrelendirilen bir D H÷ULVLQLQ { , , }N B T VÕUDOÕ oOVQ WHPVLO HWVLQ %X

takdirde, Frenet türev formülleri

 

1 ˆ

2 ^B

d j

ds

M WM H NM

RODFDN úHNLOGH WHN ELU KLSHUEROLN VSLQRU GHQNOHPLQH HúGH÷HUGLU %XUDGD W ve N^, VÕUDVÕ\ODH÷ULQLQWRUVL\RQYHH÷ULOL÷LGLU[7].

BÖLÜM 4. MINKOWSKI 8=$<,1'$63$&(/,.((ö5ø/(5VE +ø3(5%2/ø.63,125/$5

Bu bölüm WH]LPL]LQRULMLQDONÕVPÕQÕROXúWXUPDNWDGÕUgncelikle, Ketenci ve ark. [7]

WDUDIÕQGDQ ROXúWXUXODQ _\³₁, Minkowski X]D\ÕQGD H÷ULOHUH NDUúÕOÕN JHOHQ KLSHUEROLN

VSLQRUODUNXOODQÕODUDN_\³₁ X]D\ÕQGDNL(spacelike veya timelike) yüzeylerin Darboux oDWÕVÕQD NDUúÕOÕN JHOHQ KLSHUEROLN VSLQRUODU LQFHOHQPLúWLU 'DKD VRQUD_\³₁ X]D\ÕQGD

DOÕQDQ ELU VSDFHOLNH H÷ULQLQ Frenet oDWÕVÕ LOH Darboux oDWÕVÕ DUDVÕQGDNL LOLúNL

KLSHUEROLN VSLQRUODU YDVÕWDVÕ\OD HOGH HGLOPLúWLU Tezimizi destekleyen örnekler YHULOPLúWLU

4.1. Frenet Türev Formüllerinin Hiperbolik Spinor Gösterimi

3

\ , 0LQNRZVNL X]D\ÕQGD1 D: I o \³1 H÷ULVL VSDFHOLNH bir H÷UL ROVXQ %X H÷ULQLQ

Frenet oDWÕVÕ { , , }N B T ve EXoO\HNDUúÕOÕNJHOHQKLSHUEROLNVSLQRUM olmak üzere (3.2) denkleminin benzeri olarak

ve ˆ

t t

j M VM M VM

 

N B T (4.1)

denklemleri\D]ÕODELOLU. Bu takdirde, Frenet türev formülleri

 

1 ˆ

2 ^B

d j

ds

M WM H NM

RODFDN úHNLOGH WHN ELU hiperbolik VSLQRU GHQNOHPLQH HúGH÷HUGLU Burada W ^ve

N

^,

VÕUDVÕ\OD, spacelike H÷ULQLQWRUVL\RQYHH÷ULOL÷LGLU[7].