MT 321 Diferensiyel Geometri D¨onem Sonu Sınavı 4 Soru Yanıtlayınız
S¨ure:90 Dakika 15 Ocak 2003
1. σ : I3 → R3 (t¨urevlenebilen) bir 3-simpleks olsun.µ : I3 → R3 µ(s, t, u) = σ(u, s, t) olarak tanımlansın.
a) {σ11, σ10, σ12, σ20, σ31, σ30} ve {µ11, µ01, µ12, µ02, µ13, µ03} 2-simpleksleri arasında e¸sitlikler bularak (bunlardan biri σ11 = µ13 olacaktır) ∂µ = ∂σ oldu˘gunu g¨osterin.
b) Genelle¸stirilmi¸s Stokes Teoremini ve a) yı kullanarak Her w ∈ Ω2(R3) i¸cin
Z
µ
dw = Z
σ
dw
oldu˘gunu g¨osterin. (a ¸sıkkını yapmamı¸s olsanız da bu ¸sıkkı yapabilirsiniz) 2. β birim hızda en az 3 kez s¨urekli t¨urevlenebilen ve e˘grili˘gi 6=0 bir parametrik g¨osterim ve c ∈ R bir sabit olsun.
γ(s) = β(s) + (c − s)Tβ olarak tanımlansın.(γ, β nın bir invol¨ut¨u olur.) β bir silindrik helis ise γ nın bir d¨uzlem e˘grisi oldu˘gunu g¨osteriniz.(Tβ = β0)
3. α : I →R3birim hızda en az 3 kez s¨urekli t¨urevlenebilen bir parametrik g¨osterim ve her s ∈ I i¸cin α(s) bir birim vekt¨or olsun.
a)∀s ∈ I i¸cin κ(s) ≥ 1 oldu˘gunu g¨osterin.
b) a) da yapılan i¸slemleri biraz daha s¨urd¨urerek, κ ≡ 1 ise τ ≡ 0 oldu˘gunu g¨osterin.
4.(s yay uzunlu˘gu) κ(s) = 1+4s1 2 , olacak ¸sekilde bir d¨uzlem e˘grisi bulunuz (˙I¸slemleri sonuna kadar yapınız).
5. a ∈ R (sabit) olsun. S = {(x, y, z) : x2+ y4+ z6 = a} ⊂ R3 olsun.
i) a > 0 ise S nin t¨urevlenebilen bir y¨uzey oldu˘gunu g¨osterin.
ii) a < 0 ise S nin t¨urevlenebilen bir y¨uzey olmadı˘gını g¨osterin.
iii) a = 0 ise S nin t¨urevlenebilen bir y¨uzey olmadı˘gını g¨osterin.
(iii i¸cin biraz farklı bir arg¨uman gerekiyor. iii) ¨un puanı az olacaktır)
1
