Giriş. Mukavemet veya maddelerin mekaniği (strength of materials, mechanics of materials) kuvvetlere maruz kalmış deforme olan cisimleri inceler.

Giriş

• Mukavemet veya maddelerin mekaniği (strength of materials, mechanics of materials) kuvvetlere maruz kalmış deforme olan cisimleri inceler.

• Şekil değiştirme ve gerilmelerin hesabı ile ilgilenir.

• Cisimlerin tasarımı ve cisimde oluşan şekil değiştirmeleri hesaplamak için gerekli teorik alt yapıyı oluşturur.

• Malzemenin kuvvetler altındaki davranışını bilmek, o malzemeyi verimli bir şekilde kullanabilmek için gereklidir.

– Malzemenin mekanik özellikleri, üretim aşamasında değiştirilebilir.

Giriş

• Örneğin beton, seramik, çelik gibi cisimlerin mekanik özellikleri malzemeyi oluşturan bileşenlerin oranlarına bağlı olarak değiştirilebilir.

• Bu ders kapsamında kuvvetler altında bu malzemeler nasıl davranır sorusuna cevap arayacağız.

Giriş

• Statikçe belirli problemlerde, yapısal elemanda gelişen iç kuvvetler aşağıdaki gibi hesaplanır:

– Eleman iç kuvvetleri bulmak istediğimiz bir noktadan kesilir, – Kesitin solundaki veya sağındaki kısmın serbest cisim

diyagramı çizilir,

– Denge denklemleri uygulanarak iç kuvvetler bulunur.

• Kesitteki kuvvetler iç reaksiyon kuvvetleridir ve aslında kesit boyunca dağılmış/yayılmış kuvvetlerin bileşkesini temsil etmektedir.

Giriş

• Statikçe belirsiz problemlerin iç kuvvetlerinin bulunması için cismin şekil değiştirmesi de dikkate alınmak zorundadır.

– Denge denklemleri problemin çözümü için yeterli değildir.

Giriş

• Genel bir cisimde oluşan iç kuvvetler (üç boyutlu):

Dikkat edilirse kesilen noktada, iç kuvvetler dağılmış/yayılı bir şekilde oluşur. Bu kuvvetler, üst parçanın alt parçaya etkittiği kuvvetlerdir ve bu yayılı kuvvetler GERİLME olarak da adlandırılır.

Denge Denklemleri

• İç kuvvetlerin bulunması (üç boyutlu cisimler):

Vektörel ifade

• İç kuvvetlerin bulunması (iki boyutlu cisimler):

Skaler ifade

İç Kuvvetler (düzlemsel kiriş örneği)

Örneğin A‐A kesitindeki gerilmeleri veya bu gerilmelerin bileşkesi olan iç kuvvetleri bulmak isteyelim, bu durumda elamanın eksenine dik bir kesit alınır ve o kesit incelenir.

Dış kuvvetler ve reaksiyon kuvvetlerinin etkisi altındaki düzlem elemanı ele alalım

A_x, A_y, ve B reaksiyon kuvvetleri denge

denklemleri ile bulunur.

İç Kuvvetler

• Elemanın (kirişin) sol parçası üzerinde normal kuvvet F (veya N diye de gösterilir), kesme kuvveti V (T diye de gösterilir) ve eğilme momenti M aşağıda gösterilmiştir.

SOL PARÇA

İç Kuvvetler

• Kirişin sağ parçasında ise eşit ama zıt yönlü iç kuvvetler oluşacaktır.

SAĞ PARÇA

İç Kuvvetler

– Analizlerde kolaylık sağladığından, iç kuvvetlerin kesitin merkezinden geçtiği kabul edilir.

G

KESİT ve MERKEZİ

İç Kuvvetler

• Elemanlarda oluşan diğer bir tip iç kuvvet burulma momentidir (tork diye de adlandırılır).

Ttorku elemanın boyuna ekseni doğrultusundaki momentir.

Sağ el kuralına göre moment ekseni

İç Kuvvetler

• Tork oluşturan yükleme Şekil (a)’da gösterilmiştir.

– Eleman A–A kesitinde ortaya çıkan burulma momenti veya torklar (iç kuvvet), Fig. (b) ve (c)’de gösterilmiştir.

İç Kuvvetlerin Bileşenlerine Ayrılması

ve

Kesite dik ve teğet bileşenlere ayrılır.

İki boyutlu durum

Gerilme

• Bir kesitteki iç kuvvetler kesit üzerindeki küçük küçük alanlara etkiyen yayılı kuvvetlerin bileşkesidir. Bu yayılı kuvvetlere gerilme denir!

– Genelde, ΔA alanlarına etkiyen gerilmelerin şiddet ve yönleri kesit üzerinde değişmektedir.

Gerilme

• Gerilmelerin farklı noktalardaki şiddeti, malzemenin yük taşıma kapasitesini ve şekil değiştirme direncini etkilemektedir.

– Fig. (b) ve (c)’de gösterildiği gibi, kesite etkiyen kuvvetler kesite dik (normal) ve kesite paralel (teğet) bileşenlere ayrılabilir.

Normal Gerilme

• Kesite dik olan ve birim alana etki eden yayılı kuvvetler normal gerilme olarak adlandırılır.

– Yunan alfabesindeki

σ

• Normal gerilmenin kesit alanı ΔA üzerindeki ortalama değeri:

Burada ΔF (veya ΔN), ΔA alanı üzerindeki kuvvetin normal bileşenidir.

• Bir noktadaki normal gerilme ΔA alanını limitte sıfıra yaklaştırılarak bulunabilir.

• Bir noktadaki gerilme ortalama gerilmeden farklıdır.

Normal Gerilme

– Malzemeyi çeken gerilmeye çekme gerilmesi (tensile stress) denir. Çekme gerilmesi bir normal gerilmedir!

– Malzemeye basınç uygulayan gerilmeye ise basınç gerilmesi (compressive stress) denir. Basınç gerilmesi de bir normal gerilmedir.

Şekilde çekme gerilmesi durumu gösterilmiştir.

(Bunun tam tersi ise basınç gerilmesi durumudur).

Kesme Gerilmesi

• Kesite paralel olan ve birim alana etki eden yayılı kuvvetler kesme gerilmesi (shear stress) olarak adlandırılır.

– Yunan alfabesindeki  (tau) simgesiyle gösterilir.

• Kesme gerilmesinin ΔA alanı üzerindeki ortalama değeri:

Burada ΔV, ΔA alanı üzerindeki kuvvetin kesite paralel bileşenidir.

• Bir noktadaki kesme gerilmesi ise ΔA alanını limitte sıfıra yaklaştırılarak bulunabilir.

Ortalama (Üniform) Normal Gerilme

• Kesit bütününe dağılmış ortalama gerilme için gerilme genel formülü aşağıda verilmiştir. Burada dikkat edilirse, gerilme kesit üzerinde noktadan noktaya değişmemektedir:

– Burada F (veya P) kesitteki bileşke normal kuvvettir.

– A ise F kuvvetinin etkidiği toplam kesit alanıdır.

Çekme Basınç

(veya F)

(veya F)

Ortalama (Üniform) Normal 

Gerilmenin Eleman Boyunca Değişimi

A Eleman ortasına doğru

gerilme yaklaşık olarak uniformlaşıyor

• Kesit bütününe dağılmış ortalama (üniform) kesme gerilmesi aşağıdaki gibi hesaplanır:

– V kesitteki kesme/kayma kuvvetidir.

– A ise V kuvvetinin etkidiği toplam kesit alanıdır.

Ortalama (Üniform) Kesme Gerilmesi

F

Gerilme ile İlgili Bazı Genel Notlar

– Cisim içinde oluşan gerilme cismin yapıldığı malzemeden bağımsızdır.

– Gerilme, sadece iç kuvvetlere ve cismin kesit alanına bağlıdır.

– Dayanım (strength), malzemenin taşıyabileceği maksimum izin verilebilir gerilmedir (allowable stress).

• Bu karakteristik veya özellik deneysel ölçümlerle belirlenir.

– Gerilme dikkat edilirse, kesit üzerindeki birim iç kuvvettir.

Birim alana etkiyen kuvvet diye düşünülebilir.

• İki malzemeyi kıyaslarken boyut etkisini elimine etmektedir.

Gerilme ‐ Birimler

• Gerilme kuvvet / alan birimindedir.

• SI veya metrik birimlerinde gerilmenin birimi newton/metre‐karedir, kısaca N/m

veya Pascal (Pa) şeklinde gösterilir.

– Pascal çok küçük bir gerilme birimi olduğundan, kilo‐Pascal (kPa) veya mega‐Pascal (MPa) kullanılır.

• Ülkemizde gerilmenin birimi olarak kg/cm

de kullanılır. 1 N = 9.81 kg veya yaklaşık olarak 10 kg olarak alınıp dönüşüm yapılabilir.

Emniyet Gerilmesi, Emniyet Katsayısı (Factor of Safety)

• Emniyet gerilmesi, bir malzeme türünün belli bir yükleme altında emniyetle taşıyabileceği maksimum/en büyük gerilme değerine denir.

– Bu değer yapısal elemanların tasarımında kullanılabilir.

– Emniyet gerilmesi değerleri deneyler ve geçmiş deneyimler ışığında belirlenir.

– Ayrıca, bazen tasarım gerilme değeri olarak da

adlandırılır.

• Emniyet gerilmesi σ_em (ya da σ_a) biliniyorsa, ilgili çekme veya basınç kuvvetlerini emniyetle taşıyabilecek alanın değeri hesaplanabilir:

• Emniyet gerilmesi τ_em (ya da τ_a) biliniyorsa, ilgili kesme (kayma) kuvvetini emniyetle taşıyabilecek alanın değeri hesaplanabilir:

Not: Dikkat edilirse, yukarıdaki denklemlerin kullanılabilmesi için emniyet gerilmesi değerlerinin ve kesite etkiyen iç kuvvetlerin bilinmesi gerekmektedir.

Emniyet Gerilmesi, Emniyet Katsayısı (Factor of Safety)

Emniyet Gerilmesi, Emniyet Katsayısı (Factor of Safety)

• Bir malzeme için emniyet gerilmesi değeri malzeme testleri ile bulunabilir. Genellikle bunun için çekme ve basınç deneyleri yapılır. Daha sonra incelenecek!!!

• Emniyet katsayısı aşağıdaki formül ile tanımlanabilir:

• Emniyet katsayısının belirlenmesini etkileyen bazı faktörler aşağıda sıralanmıştır:

• Malzeme özelliklerindeki belirsizlik,

• Yükleme durumundaki belirsizlik,

• Analiz yöntemlerinin yaklaşık olması,

• Yük tekrarındaki belirsizlik,

• Göçme türü/modundaki belirsizlik,

• Yapısal sistemin önemlilik derecesi,

• …

Emniyet Gerilmesi, Emniyet Katsayısı (Factor of Safety)

Eksenel Yüklü Elamanlarda Ortalama Normal Gerilme Analizi

Düz iki ucundan yüklü sabit kesitli bir elemanı ele alalım

Kuvvetlerin etki çizgisi elemanın boyuna ekseni doğrultusunda ve şekilde gösterildiği gibi kesitin

merkezinden geçmektedir.

• Elemanın ortasına doğru bir yerde dik B‐B kesiti alınırsa, ortaya çıkan iç kuvvet P olacaktır (denge şartı)

Eksenel Yüklü Elamanlarda Ortalama Normal Gerilme Analizi

• Şekilde ortalama gerilme dağılımı gösterilmektedir.

• Dikkat edilirse, (gerilme × en kesit alanı), bileşke eksenel kuvvete eşittir (σA = P).

– Kesitte herhangi bir kesme kuvveti yoktur!

Eksenel Yüklü Elamanlarda Ortalama

Normal Gerilme Analizi

• P ve A’nın ikisi de biliniyorsa, bu denklem cisimde oluşan gerilmelerin hesabında direkt kullanılabilir veya bulunan gerilme değeri herhangi bir malzemenin izin verilebilir gerilme değeri ile karşılaştırılarak o malzemenin bu kuvveti emniyetle taşıyıp taşıyamadığına karar verilebilir.

Aşağıdaki denklemin çeşitli formları, gerçek malzemelerden yapılmış cisimlerin tasarımında kullanılabilir: 1. Durum

Aşağıdaki denklemin çeşitli formları, gerçek malzemelerden yapılmış cisimlerin tasarımında kullanılabilir: 2. Durum

P = σ x A

• P kuvveti ve gerilme σ biliniyorsa, bu durumda kesite etkiyen iç kuvveti taşıyacak gerekli kesit alanı A = p/σ denklemi ile hesaplanır.

– Bu denklem elemanın boyutlarının ne olacağına ilişkin bilgiyi sağlar.

Aşağıdaki denklemin çeşitli formları, gerçek malzemelerden yapılmış cisimlerin tasarımında kullanılabilir: 3. Durum

Örnek

Şekilde gösterilen çubuk 35 mm sabit yüksekliğe sahiptir. Çubuğun kalınlığı ise 10mm’dir. Bu yüklemenin çubukta oluşturacağı maksimum normal gerilme değerini hesaplayınız (σ_maks= ?).

Örnek (devam):

Kesitte oluşan maksimum eksenel kuvvet BC aralığında oluşmaktadır. Bu durumda maksimum eksenel (normal) gerilme de burada oluşacaktır.

Kesit üzerindeki uniform normal gerilme dağılımı:

Ortalama Kesme Gerilmesi Analizi

• BC çubuğu eksenel kuvvet dolayısıyla normal gerilme etkisi altındadır!

• Ancak, BC çubuğunu C noktasına bağlayan pim nasıl bir etki altındadır?

A B

C

Ortalama Kesme Gerilmesi Analizi

• A, B ve C noktalarındaki bağlantı detaylarına bakarsak, çubukları bu noktalara bağlayan pimlerde eleman

kuvvetlerinin farklı etkiler oluşturduğunu görürüz.

• Pimlerde oluşan bu etkiler kesme/kayma kuvveti , yani kesme/kayma gerilmesi etkileridir.

A B

C

Ortalama Kesme Gerilmesi Analizi

İki çubuk birbirlerine pim/cıvata/perçin ile bağlanmıştır.

ÜST GÖRÜNÜM

Eleman kuvveti

• Dengeden, iki düzlemdeki iç kuvvetlerin F/2 olduğunu görülür. Bu kuvvetler düzleme paraleldir yani düzlemi kesmeye çalışır.

Ortalama Kesme Gerilmesi Analizi

• Kesmeye karşı koyan pimi iki farklı düzlemden keserek, çubukları şekildeki gibi birbirinden ayırabiliriz.

Pim alanının A = π×d²/4 olduğu görülür:

• Bu durumda her bir düzlemdeki kesme gerilmesinin ortalama değeri aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

Bu durumdaki (iki farklı noktadan kesilen) pimlere (perçinlere) çift etkili/çift tesirlipim denir.

Ortalama Kesme Gerilmesi Analizi

• Aşağıdaki örnekte ise iki levha bir perçinle/pimle birleştirilmiş durumdadır,

Ortalama Kesme Gerilmesi Analizi

Karşılaştırma amacıyla, bir önceki birleşim detayı burada

tekrar gösterilmiştir.

Perçin/pim/civata kesitinde oluşan kesme kuvveti dengeden F kuvvetine eşit olduğu görülür. Bu durumda ortalama kayma

gerilmesi şu şekilde hesaplanır: Bu durumdaki pimlere tek tesirli pim/civata/perçin

Ortalama Kesme Gerilmesi Analizi

• Levhaları ayırmak için perçini tek bir kesitten ayırmak yeterlidir. Fig. (b) and (c):

Çap

Ortalama Kesme Gerilmesi Tahkiki Tek Tesirli – Çift Tesirli Pim/Civata/Perçin

Tek Tesirli Çift Tesirli

: kayma emniyet gerilmesi , A: pimin kesit alanı = / 4 , d : pimin çapı Tek tesirli perçin

2

Çift tesirli perçin

1

Zayıf Kesitten Levhanın Yırtılması Tahkiki (Çekme gerilmesi kontrolü)

∗ ∗ _{,ç ,}

Levhanın emniyetle taşıyabileceği çekme yükü

ç ,

∗

2

Pimde Gelişen Ezilme Gerilmesi

, , ∗ d ∗ t

∗ _{, ,}

3

Örnek

Şekilde gösterilen askı, ucuna birleştirilmiş disk ile çapı 40 mm olan dairesel bir boşluktan geçirilerek mesnetlenmiştir. 20 kN’luk ağırlığı taşıyabilmesi için, askının gerekli min. çapının ve diskin min. kalınlığının ne olması gerektiğini bulunuz? σ_all = σ_em= 60 MPa ve τ_all= τ_em= 35 MPa olarak alınız.

Örnek (devam)

bu durumda, Kesilen diskin

kalınlığı:

Kesme gerilmelerinin üniform dağıldığı kabulü altında:

Çekme çubuğunun çapı:

Örnek

Şekilde gösterilen ahşap birleşimin kalınlığı (sayfa düzlemine dik olan boyutu) 150 mm ise, a-a ve b-b kesitlerinde oluşan ortalama kesme gerilmelerinin bulunuz.

Örnek (devam):

İç Kuvvetler:

a-a ve b-b kesitlerinin dengesinden (c ve d şekillerine referansla):

Ortalama kesme gerilmesi:

Gerilmelerin durumunu gösterir sonsuz küçük elemanlar şekilde gösterilmiştir.

Şekil Değiştirme (Strain)

F

F

 Bir cisme kuvvet etkidiğinde, cismin şeklini ve hacmini değiştiren bir etki yaratır.

 Bu değişimlere şekil değişimi veya deformasyon denir.

 Deformasyonlar görünür olabilir veya görünmesi mümkün olmayabilir. Görünmesi mümkün olmayan deformasyonlar hassas aletlerle ölçülebilir.

 Görünmesi mümkün olan deformasyona kauçuk bir malzemenin deformasyonu örnek verilebilir.

 Görünmesi mümkün olmayan deformasyonlara ise yapısal elemanların deformasyonu örnek verilebilir.

 Kuvvet dışında sıcaklık değişimi de deformasyon oluşturan bir etkidir.

Şekil Değiştirme

Şekil Değiştirme

Genelde cisim üzerinde oluşan deformasyonlar cismin hacmi içinde üniform olarak oluşmaz. Bu sebeple, cisim üzerindeki bir hatta (doğrultu boyunca) şekil değiştirmeler aynı olmaz. Cisim üzerinde incelenen parçalar çok küçük seçilerek, bir noktanın deformasyonu incelenir. Dikkat edilirse, deformasyon seçilen çizgisel hattın

Çekme Kuvveti Uygulanıyor

 Şekil değişimini (deformasyon), cisim üzerindeki çizgilerin boy değişimi veya aralarındaki açının açı değişimi olarak tanımlamak için birim şekil değiştirme (strain) kavramını kullanacağız.

 Birim şekil değiştirmenin ölçülmesi deneyler yoluyla yapılmaktadır. Daha ileriki bölümlerde, şekil değiştirme - gerilme (birim alandaki kuvvet) arasındaki ilişkiler çıkarılacaktır.

Şekil Değiştirme

Şekil Değiştirme

N : Normal (veya eksenel) kuvvet N

L (ilk boy) ΔL (uzama miktarı) ε (birim şekil değişimi)

σ (birim şekil değişimi)

α

tanα = E = elastisite modülü

E_çelik= 2.1x10⁶kg/cm² E_beton= 2x10⁵kg/cm² E_alüminyum= 0.7x10⁶kg/cm² E_bakır= 1 x10⁶kg/cm²

tanα = E ^/_/ => ∆ Normal kuvvet etkisinde uzama miktarını veren bağıntı

Çubuk alanı: A

Burada uzama rijitliği olarak adlandırılır

: Enine birim şekil değişimi : Boyuna birim şekil değişimi

: Poisson oranı (0~0.5 arası değişir) Çelik: 0.30

Beton: 0.20

Kayma/Kesme Birim Şekil Değiştirmesi (Shear  Strain)

 Başta birbirine dik olan iki çizgi parçasının arasındaki açının değişimi kayma/kesme birim şekil değiştirmesi olarak adlandırılır. Bu açı değişimi

γ (gama) ile gösterilir ve birimi radyandır. Nasıl tariflendiğini anlamak için aşağıdaki şekli inceleyelim:

Kuvvet Uygulanıyor

Şekil Değiştirmemiş Cisim Şekil Değiştirmiş Cisim

Kartezyen Şekil Değişimi Bileşenleri

 Yukarıda yapılan tanımları kullanarak bir cisim üzerindeki farklı tür deformasyonları tarifleyebiliriz. Aşağıdaki şekli ele alalım:

Cismi sonsuz küçük küp parçalara ayrılmış gibi düşünebiliriz.

Şekil değiştirmemiş, çok küçük Δx, Δy, Δz kenar boyutlarına sahip kübik bir elemanı inceleyelim. Bu eleman, şekil değiştirmesini incelediğimiz cismin içinden çıkarılmıl bir noktayı temsil ediyor şeklinde düşünülebilir.

Şekil değiştirmiş eleman Kuvvet

Uygulanıyor

Küçük Şekil Değişimleri Analizi

 Mühendislik tasarımlarında, küçük şekil değiştirmelere izin verilir,

 Dikkat edilirse, etrafımızdaki hemen hemen her yapıda şekil değiştirmeler gözle fark edilemeyecek kadar küçüktür,

 Bu ders kapsamında, tüm cisimlerin küçük şekil değiştirmeler yaptığı kabul edilecektir; yani normal birim şekil değiştirmeler ε << 1 ve açı değişimleri ise (kesme şekil değişimi) sin(θ) =~ θ, cos(θ) = 1 ve tan(θ) = θ yaklaşımlarını sağlayacak kadar küçük olacaktır,

Bu duruma birinci mertebe yaklaşımı da denir,

Dikkat edilirse bir noktadaki şekil değişimi 6 bileşenle tanımlanabilir:

Örnek 3

Şekilde gösterilen rijit kiriş, A noktasından bir mesnetle ve BD ve CE halatları ile taşınmaktadır.

Yayılı yük C ucunu 10 mm aşağıya doğru çekiyorsa, CE ve BD kablolarındaki normal birim şekil değişimini bulunuz.

Not: Eğer kiriş rijit olarak kabul edilmeseydi, bu durumda cevap değişir miydi?

Kiriş rijit kaldığı için benzer üçgenlerden B ve C noktlarının ne kadar aşağıya doğru hareket ettikleri geometri ile bulunabilir!