TÜREV UYGULAMALARI (L. Gökçe)
Teğet ve Normal Denklemi:
0 1
( )
f x′ =m değeri, f fonksiyonunun x noktasın-0 daki teğetinin eğimidir. A x y noktasından ( ,0 0) geçen teğetin denklemi
0 1( 0)
y−y =m x−x eşitliği ile bulunur.
Teğet doğrusuna A x y noktasında dik olan ( ,0 0) doğruya normal doğrusu denir. Normalin eğimi
m ise, 2
1 2 1
m m⋅ = − olur. Normal doğrusunun denklemi
0 2( 0)
y−y =m x−x eşitliği ile bulunur.
1.
1 2
( ) 1
f x =4x + parabolünün üzerindeki (2, 2) noktasından çizilen teğet ve normal doğrularının denklemlerini bulunuz.
2. f x( )= 3x2+2x−1 fonksiyonunun x=1 apsisli noktasındaki teğet ve normal doğrularının denklemini bulunuz.
Eğim İle İlgili Bazı Bilgiler:
• Koordinat sisteminde, bir doğrunun x ekseni- nin pozitif yönüyle yaptığı açıya eğim açısı denir. Bu açının tanjantı doğrunun eğimidir.
• y=mx+n doğrusunun eğimi m’dir.
• A x y ve ( ,1 1) B x y olmak üzere AB doğ-( 2, 2) rusunun eğimi 2 1
2 1
y y
m x x
= −
− dir.
3. y= f x( ) fonksiyonunun x=3 apsisli nokta- sındaki teğet doğrusunun denklemi 2x+ =y 13 olduğuna göre (3)f − f′(3) farkı kaçtır?
4. y= f x( ) fonksiyonunun x= −2 apsisli nokta- sındaki normal doğrusunun denklemi 3x+2y=6 olduğuna göre f′ − ⋅ −( 2) f( 2) çarpımı kaçtır?
5.
4
8 1
y= x − +x eğrisinin üzerinde bulunan ( , )
A a b noktasındaki teğet doğrusunun denklemi y=3x c+ dir. Buna göre a b c+ + toplamının değeri kaçtır?
6.
2 2
1
x x
y x
= −
+ eğrisinin üzerinde bulunan ( , )
A a b noktasındaki normal doğrusu x eksenine diktir. Buna göre a’nın alabileceği değerler top- lamı kaçtır?
7. y= + +x3 x2 ax b+ fonksiyonunun üzerindeki ( 1, )
A − c noktasındaki teğet doğrusunun denklemi
4 1
y= x+ olduğuna göre a b c+ + toplamının değeri kaçtır?
8. x2−y2 =2 eğrisinin y=2x doğrusuna paralel olan bir teğeti, bu eğriye birinci bölgedeki
0 0
( , )
A x y noktasında değiyor. x0⋅y0 çarpımının değeri kaçtır?
9. y=x2− +x 3 parabolünün A(0, 1)− noktasın- dan geçen teğet doğrularının eğimlerinin çarpımı kaçtır?
10.
Yukarıday= f x( ) fonksiyonu ve (2, 3)A nokta- sındaki teğet doğrusu verilmiştir. g x( )=x f x2 ( ) ise '(2)g kaçtır?
11.
Yukarıda y= f x( ) fonksiyonunun grafiği ve (2, 2)
A noktasındaki teğet doğrusu verilmiştir.
(2 1) ( )
1 g x f x
− = x
− olduğuna göre '(3)g kaçtır?
12. y=x2+ +x 3 parabolü ile y= −x 2 doğrusu arasındaki en kısa mesafeyi bulunuz. Ayrıca, bu en kısa mesafeyi veren parabol ve doğru üzerin- deki noktaların koordinatlarını belirleyiniz.
13. y=x2+ +x 1 ve y= − −x2 3x c+ parabolleri birbirine teğet olduğuna göre c değeri kaçtır?
14.
Yukarıda f x( )= +x3 ax2+ +bx c fonksiyonu ile (1, 4)
P noktasındaki teğet doğrusunun grafikleri verilmiştir. Buna göre, a b c⋅ ⋅ çarpımının değeri kaçtır?
Artan/Azalan Fonksiyonlar:
A⊆R olmak üzere f A: →R fonksiyonu veril- sin. x1<x2 olan her x x1, 2∈A için
1 2
( ) ( )
f x < f x
ise f ’ye A kümesinde artan fonksiyon denir.
Benzer biçimde, x1<x2 olan her x x1, 2∈A için
1 2
( ) ( )
f x > f x
ise f ’ye A kümesinde azalan fonksiyon denir.
Teorem: ( , )a b aralığındaki her x için f x′( )>0 oluyorsa f fonksiyonu bu aralıkta artandır.
Benzer şekilde, ( , )a b aralığındaki her x için ( ) 0
f x′ < oluyorsa f fonksiyonu bu aralıkta aza- landır.
1. Gerçel sayılar kümesinde tanımlı olan
( ) 2 4 1
f x =x − x+ parabolünün artan/azalan ol- duğu kümeleri bulunuz.
2. f x( )= −x3 3x2−9x+2 fonksiyonunun azalan olduğu aralığı bulunuz.
3.
Yukarıda üçüncü dereceden bir f fonksiyonunun türevinin grafiği verilmiştir. Buna göre f fonk- siyonu ile ilgili olarak:
I. ( 1, 3)− aralığında artandır II. ( 2)f − < f(0)
III. ( 5)f − > −f( 4)
ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
4. Pozitif tanımlı, pozitif değerli, türevlenebilir, azalan bir f fonksiyonu veriliyor. Buna göre, I. f x( 2)
II. 1 f x
III. f
(
f x( ))
fonksiyonlarından hangileri pozitif gerçel sayılar kümesinde artandır?
5.
Gerçel sayılarda türevlenebilir bir f fonksiyonu- nun grafiği verilmiştir. Buna göre,
I. 1
( ) (1)
lim 0
1
x
f x f
→ x
− >
−
II. 3
( ) (3)
lim 0
3
x
f x f
→ x
− >
− III.
0
( 1 ) ( 1)
lim 0
h
f h f
→ − + − − >h ifadelerinden hangileri doğrudur?
6. f x( )= +x3 ax2+12x+2 fonksiyonunun gerçel sayılar kümesinde artan olması için a’nın alabile- ceği en büyük tamsayı değeri kaçtır?
Mutlak Ekstremum Noktalar:
:
f A→R bir fonksiyon ve x0∈A bir nokta olsun. Her x∈A için f x( )≥ f x( 0) ise ( ,x y0 0) noktasına f nin mutlak minimum noktası denir.
0 ( 0)
y = f x değerine de fonksiyonun mutlak mi- nimum değeri denir.
Benzer şekilde, her x∈A için f x( )≤ f x( 0) ise
0 0
( ,x y ) noktasına f nin mutlak maksimum noktası denir. y0 = f x( 0) değerine de fonksiyonun mutlak maksimum değeri denir.
Yerel Ekstremumlar: f A: →R bir fonksiyon ve x0∈A bir nokta olsun. x0’ın yeterince küçük bir komşuluğundaki her x∈A için f x( )≥ f x( 0) ise ( ,x y0 0) noktasına f nin yerel minimum noktası denir. y0 = f x( 0) değerine de fonksiyonun yerel minimum değeri denir.
Benzer şekilde, x0’ın yeterince küçük bir komşu- luğundaki her x∈A için f x( )≤ f x( 0) ise
0 0
( ,x y ) noktasına f nin yerel maksimum noktası denir. y0 = f x( 0) değerine de fonksiyonun yerel maksimum değeri denir.
Teorem: Tanım aralığının bir x0 iç noktasında, f
’nin bir yerel ekstremumu varsa ve f x′( 0) tanım- lıysa
( 0) 0 f x′ = olur.
1.
[ , ]a b aralığında tanımlı ve ( , )a b açık aralığında türevlenebilir h fonksiyonunun grafiği yukarıda verilmiştir. h fonksiyonunun ekstremum noktala- rını belirleyiniz.
2. P bir polinom fonksiyon olmak üzere P’nin türevi
( ) ( 1) (2 1)( 3) P x′ = +x x− x+
olarak veriliyor. P fonksiyonunun kaç yerel ekstremum noktası vardır?
3. f x( )= −x3 6x2−15x+7 fonksiyonu veriliyor.
x’in hangi değerinde, f fonksiyonu yerel maksi- mum noktaya sahiptir?
4. Türevi f x′( )= − +(x 3)(x+1)(x−2)(x−4) olan bir f fonksiyonunun yerel minimum noktalarının apsislerinin toplamı kaçtır?
5. g x( )= − +x3 3x2+2 fonksiyonunun yerel maksimum değeri kaçtır?
6. h x( )=3x4−4x3 fonksiyonunun mutlak mini- mum değeri kaçtır?
7. Türevi f x′( )= −3x x2( +3) (2 x−2)2 olan f fonksiyonunun kaç yerel ekstremum noktası var- dır?
8. x3−3x2−9x+1 ifadesinin − ≤ ≤2 x 5 aralı- ğındaki en büyük ve en küçük değerlerini bulu- nuz.
9. f x( )= +x3 3x2+2 fonksiyonunun 3− ≤ ≤x 3 aralığındaki mutlak maksimum ve mutlak mini- mum değerlerini bulunuz.
10. f x( )= x− +1 5−x denklemi ile tanımlı f fonksiyonunun kaç yerel ekstremum noktası var- dır?
11.
Yukarıda, f fonksiyonunun türevinin grafiği verilmiştir. f fonksiyonunun yerel maksimum noktasının apsisi kaçtır?
12.
Yukarıda, f fonksiyonunun türevinin grafiği verilmiştir. f fonksiyonu ile ilgili olarak
I. ( 2)f − > f( 1)−
II. x=2’de yerel minimumu vardır III. 1− ≤ ≤x 2 aralığında artandır ifadelerinden hangileri doğrudur?
13. f x( )= − +x3 ax2+ +bx 2 fonksiyonunun (1, 3)
A noktasında yerel maksimumu olduğuna göre a b− farkı kaçtır?
Maksimum/Minimum Problemleri:
1.
Bir kenarı duvar ile sınır oluşturan dikdörtgen biçimli bir bahçenin, duvara komşu olmayan üç kenarına bir sıra tel çekilmiştir. Telin uzunluğu 80 metre olduğuna göre bahçenin alanı en fazla kaç m2 olabilir?
2.
3. 0≤ ≤x 14 bir tamsayı olmak üzere, x+3 tane ürünün her birinin satış fiyatı 30 2x− lira olarak belirlenmiştir. Bu ürünlerin tamamının satışından elde edilecek gelir en fazla kaç lira olabilir?
4.
A noktasında bulunan bir araç denizde saatte 4 km hızla, karada ise saatte 5 km hızla ilerleyebil- mektedir. AB =12 km ve BC =41 km’dir. A noktasındaki araç önce düz [BC] sahil şeridi üze- rindeki bir P noktasına çıkıyor, daha sonra C’ye ulaşıyor. Aracın yolculuk süresi en az kaç saattir?
5. Gezi turları düzenleyen bir şirket en fazla 300 müşteriye hizmet verebilmekte ve tur ücretini 200 TL olarak belirlediği zaman bu sayıya ulaşabili- yor. Tur ücretine yapılan her 5 TL’lik artış sonra- sında 6 müşteri kaybedildiği görülüyor. Bu şirket, gezi turundan elde edeceği gelirin en fazla olması için bir müşterinin ödemesi gereken ücreti kaç TL olarak belirlemelidir?
6. Bir ayrıtı x birim uzunluğunda olan küp şeklin- deki metal ürünün üretim maliyeti hacim üzerin- den birimküp başına 10 TL, satış fiyatı ise yüzey alanı üzerinden birimkare başına 25 TL olarak hesaplanmaktadır. Bir metal ürünün satışından elde edilebilecek kazanç en fazla kaç TL olabilir?
7.
Şekilde y= x eğrisi ve ABCD dikdörtgeni ve- rilmiştir. BC doğrusunun denklemi x=6 dır. D, eğri üzerinde değişken bir nokta olduğuna göre ABCD dikdörtgeninin alanı en fazla kaç birimkare olabilir?
8.
Şekildeki gibi, 1 2
( ) 2
f x =2x − ve g x( )= −4 x2
parabolleri ile sınırlı bölgenin içine yerleştirilen ABCD dikdörtgeninin alanı en fazla kaç birimkaredir?
9. Kenarları 12 cm ve 6 cm uzunluğunda olan dikdörtgen biçimli bir kartonun köşelerinden eşit büyüklükte birer kare kesilip çıkarılıyor. Kalan kısım katlanarak üstü açık bir dikdörtgenler priz- ması elde ediliyor. Bu prizmanın hacmi en fazla kaç cm3 olabilir?
10. Dairesel bir dik koninin taban yarıçapı 6 birim ve yüksekliği 9 birimdir. Bu koninin içine yerleş- tirilebilecek bir silindirin hacmi en fazla kaç birimküp olabilir?
11. Dairesel bir dik koninin taban yarıçapı 6 birim ve yüksekliği 9 birimdir. Bu koninin içine yerleş- tirilebilecek bir silindirin yanal alanı en fazla kaç birimkare olabilir?
12. Yarıçapı 3 birim olan bir küre içine yerleştiri- lebilecek silindirin hacmi en fazla kaç birimküp olabilir?
13. Yarıçapı 4 birim olan bir küre içine yerleştiri- lebilecek silindirin yanal alanı en fazla kaç birimkare olabilir?
14. Yarıçapı 3 birim olan bir küre içine yerleştiri- lebilecek dairesel dik koninin hacminin en fazla olması için yüksekliği kaç birim olmalıdır?
15. Yarıçapı 3 birim olan bir küre içine yerleştiri- lebilecek dairesel dik koninin yanal alanının en fazla olması için yüksekliği kaç birim olmalıdır?
16. Analitik düzlemde (2, 3)P noktasından geçen negatif eğimli bir doğru ile koordinat eksenleri arasında kalan alanın en az olması için bu doğru- nun x eksenini kestiği noktanın apsisi kaç olmalı- dır?
17. Analitik düzlemde A(0, 6) noktasındaki bir karınca önce x-ekseni üzerindeki bir ( , 0)P x nok- tasına uğrayıp daha sonra (12, 3)B noktasına ula- şacaktır.
a. AP + PB yolu en az kaç birimdir?
b. AP − PB farkı en fazla kaç birimdir?
