Ünite12 İntegral Uygulamaları

Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;

• düzlemsel alan ve dönel cisimlerin hacimlerinin belirli integral

yardımı ile hesaplanabileceğini,

• küre, koni ve kesik koninin hacim formüllerinin belirli integral

yardımıyla nasıl kolayca bulunabileceğini göreceksiniz.

İçindekiler

• Giriş

309

• Alan Hesabı

309

• Hacim Hesabı

315

• Değerlendirme Soruları

319

Çalışma Önerileri

• Ünite içinde çözülmüş örneklerin çözümlerini iyice inceleyiniz

• Yanlış sonuçlar çıkmaması için alan hesaplarken fonksiyonun

hangi aralıkta pozitif, hangi aralıkta negatif olduğunu

belirleme-ye çalışınız

ÜNİTE

12

İntegral Uygulamaları

Yazar

ile x-ekseni arasındaki; iki fonksiyonun grafikleri arasındaki

alanları hesaplamaya çalışınız

• Dönel cisimlerin hacimleri ile ilgili de çok sayıda örnek

çözme-ye çalışınız.

1. Giriş

Geçen ünitede, bir fonksiyonun grafiği ile x-ekseni arasındaki düzlemsel bir bölge-nin alanının bulunması problemibölge-nin bizi matematiğin ikinci ana kavramı olan in-tegral kavramına nasıl getirdiğini gördük.

İntegralin çeşitli bilim dallarında (mühendislik, fizik, ekonomi...) çok sayıda uygu-lamaları vardır. Bir ünitede bu uyguuygu-lamaların hepsinden bahsetmek imkansızdır. Bu ünitede belirli integralin basit uygulamalarından olan düzlemsel alan ve dönel cisimlerin hacmi konularını ele alacağız.

2. Alan Hesabı

Geçen ünitede bir [a, b] aralığında sürekli ve negatif olmayan y = f(x) fonksiyonu için y = f(x) eğrisi, x-ekseni, x = a, x = b doğruları arasındaki alanın

belirli integrali olduğu ispatlanmıştı. Eğer y = f(x) fonksiyonu [a, b] aralığında nega-tif ise o zaman sözü edilen alan integraline eşittir.

Eğer c ∈ (a, b) olmak üzere, f(x) fonksiyonu (a, c) aralığında negatif, (c, b) ara-lığında pozitif ise, o zaman y = f(x) eğrisi, x-ekseni, x = a, x = b doğruları arasındaki toplam alan

eğer fonksiyon (a, c) aralığında pozitif, (c, b) de negatif ise o zaman sözü edilen alan

olur.

Aşağıdaki şekilleri inceleyerek yukarıdaki formülleri anlamaya çalışınız.

a b f(x) dx - a b f(x) dx - a c f(x) dx + c b f(x) dx , a c f(x) dx - c b f(x) dx

Örnek: 1) y = x2 _{- 3x - 4 parabolü ile x-ekseni arasındaki}

2) y = (x - 1)3 _{eğrisi, x-ekseni, x = -1, x = 2 doğruları arasındaki}

3) y = 1 - x3 _{eğrisi, x-ekseni, x = 0, x = 3 doğruları arasındaki}

alanları hesaplayalım.

Çözüm: Aşağıda verilen grafikleri gözönünde tutalım.

1)

x2 _{- 3x - 4 = 0 ⇒ x = -1, x = 4 .}

Parabol, apsis eksenini x = -1 ve x = 4 noktalarında keser ve (-1, 4) aralığında x2

- 3x - 4 fonksiyonu negatiftir. Buna göre sözü edilen S alanı aşağıdaki gibi hesapla-nır:

Bu durumlar A=

a b

f(x) dx formülü ile birleştirilebilir.

S = - -1 4 (x2 - 3x - 4)dx = - x3 3 - 3x 2 2 - 4x 4 -1 = - 64 3 - 24 - 16 - - 13 - 32 + 4 = 125 6 ≅ 20.83 . a b y = f(x) f(x) < 0 ● ● a b y = f(x) c ● ● ● a b y = f(x) c ● ● ● Şekil 12.1 Şekil 12.2

2)

x değişkeni [-1, 2] aralığında değişirken x ∈ (-1, 1) ise (x -1)3 _fonksiyonu

negatif, x ∈ (1, 2) ise pozitiftir. Buna göre sözü edilen S alanı

olur. 3)

1 - x3 _{= 0 ⇒ x}3 _{= 1 ⇒ x = 1 .}

Buna göre, y = 1 - x3 _{fonksiyonu x = 1 noktasında işaret değiştirmektedir.}

x in 0 ile 3 arasında olması gerektiğini hatırlarsak x ∈ (0, 1) iken 1 - x3

fonk-siyonu pozitif, x ∈ (1, 3) iken ise negatiftir. Buna göre bulmak istediğimiz alan,

Şekil 12.3 S = - -1 1 (x - 1)3dx + 1 2 (x - 1)3dx = - -1 1 (x3 _{- 3x}2 _{+ 3x - 1)dx +} 1 2 (x3 _{- 3x}2 _{+ 3x - 1)dx} = - x4 4 - x 3 _{+ 3x}2 2 - x 1 -1 + x4 4 - x 3 _{+ 3x}2 2 - x 2 1 = 4,25 Şekil 12.4

dır.

[a, b] aralığında verilmiş y = f(x) eğrisi ile x-ekseni arasındaki alanı bulma işle-minde ilk adım f(x) in bu aralıkta işaretinin incelenmesidir.

1) y = x2 _{- 4x eğrisi ile x-ekseni arasındaki,}

2) y = 9 - x2 _{eğrisi ile x-ekseni arasındaki,}

3) y = x3 _{eğrisi, x-ekseni, x = -1, x = 2 doğruları arasındaki,}

4) y = sinx eğrisi, x-ekseni, x = π/4, x = 3π/2 doğruları arasındaki alanları hesaplayınız.

[a, b] aralığı üzerinde tanımlı, sürekli y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonları verilsin ve her bir x ∈ [a, b] için

f(x) ≥ g(x)

eşitsizliği sağlansın ( f(x) ve g(x) sabit işaretli olmayabilir, şekil 12.5 e bakınız). O za-man y = f(x), y = g(x) eğrileri, x = a, x = b doğruları arasında kalan alan

formülü ile hesaplanır.

Örnek: Cevaplarınız 10 2 3 , 36 , 4 14 , ve 4 + 22 olmalıdır. S = a b [f(x) - g(x)] dx

?

1) y = 2x - x2 _{eğrisi ve y = x doğrusu arasında}

2) y = x2 _{ve y = x eğrileri arasında}

kalan alanları bulalım. S = 0 1 (1 - x3_{)dx -} 1 3 (1 - x3_{)dx = x - x}4 4 1 0 - x - x4 4 3 1 = = 1 - 1 4 - 0 - 3 - 814 - 1 - 14 = 34 + 694 + 34 = 754 = 18.75

Çözüm: 1)

y = 2x - x2 _{parabolü ile y = x doğrusunun kesişim noktalarını bulalım.}

2x - x2 _{= x ⇒ x}2 _{- x = 0 ⇒ x(x - 1) = 0 ⇒ x = 0 ve x = 1 .}

Grafikler x = 0 ve x = 1 apsisli noktalarda kesişiyorlar. x değişkeni 0 ile 1 arasında iken parabol doğrudan yukarıda kalır. Buna göre istediğimiz alan aşağıdaki gibidir:

2) S = 0 1 (2x - x2 _{- x)dx =} 0 1 (x - x2_{)dx = x}2 2 - x 3 3 1 0 = 1 6 .

y = x2 _{ile y = x eğrilerinin kesişim noktalarını bulalım.}

x2 _{= x ⇒ x}4 _{= x ⇒ x(x}3 _{- 1) = 0 ⇒ x = 0 , x = 1 .}

Şekil 12.7

x ∈ [0, 1] iken x ≥ x2 _{olduğundan arada kalan alan}

S = 0 1 ( x - x2)dx = 0 1 (x 1 2 _{- x}2_{)dx = 2} 3 x 3 2 _{- x}3 3 1 0 = 2 3 - 13 - 0 = 13 olur. Şekil 12.6

Eğer [a, b] aralığının tüm noktalarında f(x) ≥ g(x) eşitsizliği sağlanmıyorsa, örneğin, c

∈ ∈ ∈

∈ (a, b) olmak üzere, her x ∈∈∈∈ (a, c) için f(x) ≥ g(x) ve her x ∈∈∈∈ (c, b) için f(x) ≤ g(x) ise y = f(x), y = g(x) eğrileri ve x = a, x = b doğruları arasındaki alan

olur.

Örnek:

Çözüm:

dir.

Genel olarak [a, b] üzerinde sürekli y = f(x) ve y = g(x) grafik eğrileri arasındaki bölgenin x = a dan x = b ye kadar olan kısmının alanı

formülü ile hesaplanır.

y ₌ x3_{, y = x eğrileri arasında kalan bölgenin x = 0 dan x = 2 ye kadar}

olan kısmının alanını bulunuz.

Şekil 12.8

x ∈ (0, 1) ise x > x3 ; x ∈ (1, 2) ise x3 > x olduğundan sözü edilen alan S = 0 1 x - x3 _{dx +} 1 2 x3 _{- x dx = 2} 3 x 3 2 _{- x}4 4 1 0 + x4 4 - 23 x 3 2 2 1 = = 2 3 - 14 + 164 - 23 2 3 2 _{- 1} 4 - 23 = 296 - 23 2 3 2 _{≅ 2,95} S = a c [f(x) - g(x)] dx + c b [g(x) - f(x)] dx S = a b f(x) - g(x) dx

1) doğrusu arasındaki alanı bulunuz.

2) y = sinx , y = cos x eğrileri arasındaki bölgenin ki kısmının alanını bulunuz.

3. Hacim Hesabı

Bu bölümde dönel cisimlerin hacimlerinin integral yardımı ile hesaplanmasını ele alacağız. [a, b] aralığında sürekli y = f(x) fonksiyonunun grafiğini ele alalım.

ABCD düzlem parçasını x - ekseni etrafında döndürdüğümüzde tabanları paralel daireler olan üç boyutlu bir cisim elde edilir. Bu cisme dönel cisim denir. Bu cismin hacmi

formülü ile hesaplanır.

Örnek:

2) y = ex _{eğrisi, x - ekseni, x = -1 ve x = 1 doğruları ile sınırlı}

bölgelerin x - ekseni etrafında dönmesiyle oluşan dönel cisimlerin hacimlerini bula-lım. Şekil 12.9

?

Çözüm:

Örnek: y = x2 2x parabolü, x = 1 ve x = 3 doğruları ile sınırlı bölgenin x -ekseni etrafında dönmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulalım.

Çözüm:

eğrisi, x - ekseni x = 2, x = 3 doğruları ile sınırlı bölgenin x - ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen hacmi bulunuz.

Şekil 12.10 1) V = π 1 4 x2 _{dx = π} 1 4 x dx = π x2 2 4 1 = π 8 - 1 2 = 152 π ≅ 23,55 . 2) V = π -1 1 ex 2 _{dx = π} -1 1 e2x _{dx = π 1} 2 e 2x 1 -1 = π 2 e 2 _{- e}-2 _{≅ 11,4 .} V = π 1 3 x2 _{- 2x}2 _{dx = π} 1 3 x4 _{- 4x}3 _{+ 4x}2 _{dx = π x}5 5 - x 4 _{+ 4} 3 x 3 3 1 = π 18 5 - 2315 + 1 = π 54 - 23 + 1515 = 4615 π ≅ 9,63 . Şekil 12.11 y = 1 x

?

Geometriden bilindiği gibi yarıçapı R, yüksekliği h olan dairesel dik koninin hacmi; taban yarıçapları R ve r, yüksekliği h olan kesik koninin hacmi; yarıçapı R olan kü-renin hacmi sırasıyla aşağıdaki formüllerle verilir:

Şimdi bu formüllerin dönel cisimlerin hacimleri formulünden nasıl elde edilebile-ceğini görelim.

Dairesel Dik Koninin Hacmi

Dairesel dik koniyi ve koordinat sistemini şekildeki gibi alalım.

|AB| = R, |OB| = h

olur. Bu durumda koni , [OA] doğru parçasının x - ekseni etrafında dönmesiyle el-de edilen dönel cisimel-den başka bir şey el-değildir. Dönel cismin hacim formülünü uy-gulayabilmemiz için OA doğru parçasının denklemini y = f(x) şeklinde ifade etme-miz gerekiyor.

OA nın denklemi y = mx şeklindedir. m eğimi tanα ya eşit olduğundan

Buradan, dönel cismin hacim formülüne göre koninin hacmi

olur. V = 1 3 π R 2 _{h, V = 1} 3 π h R 2 _{+ Rr + r}2 _{, V = 4} 3 π R 3 _. B ● ● 0 α h R A Şekil 12.12 m = tanα = AB

OB = Rh ; OA nın denklemi y = Rh x olarak bulunur.

V = π 0 h f2(x) dx = π 0 h R h x 2 dx = π 0 h R2 h2 x2 _dx = π . R2 h2 . x 3 3 h 0 = π

.

Kesik Koninin Hacmi

Kesik koniyi ve koordinat sistemini şekildeki gibi alalım. |OA| = r, |BC| = R, |OC| = h

olur. Kesik koni, [AB] doğru parçasının x - ekseni etrafında dönmesinden meyda-na gelir. AB nin denklemini bulalım. Doğrunun denklemi y = mx + n gibidir ve m, n sabitleri bulunmalıdır.

olduğundan AB nin denklemi

olur. Buna göre kesik koninin hacmi olarak,

bulunur. m = tanα , n = r, tan α = BD AD = R - rh y = R - r h x + r Şekil 12.13 V = π 0 h R - r h x + r 2 dx = π 0 h R - r h 2 x2 ₊ 2r (R - r) h x + r 2 _dx = π R - r h 2 x3 3 + 2r (R - r) h x 2 2 + r 2 _x h 0 = π R - r h 2 h3 3 + 2r (R - r) h h 2 2 + r 2 _h = π R - r 2 _h 3 + rh (R - r) + r 2 _h = π h 3 R 2 _{- 2Rr + r}2 _{+ 3Rr - 3r}2 _{+ 3r}2 _{= π h} 3 R 2 _{+ Rr + r}2

Kürenin Hacmi

Koordinat sistemini şekildeki gibi kürenin merkezinde seçelim. O zaman küre, ABC yarım çemberinin x - ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen bir dönel cisim-dir. Buna göre ABC eğrisinin y = f(x) şeklindeki denklemini bulmamız gerekiyor. Merkezi koordinat başlangıcında, yarıçapı R olan çemberin denklemi x2 _{+ y}2 _{= R}2

dir. Buna göre ABC yarım çemberinin denklemi

dir. Buna göre kürenin hacmi,

olarak bulunur.

Değerlendirme Soruları

1. f: [-1, 2] → IR, f(x) = |x| fonksiyonunun grafiği ile x-ekseni arasındaki alan kaç birimkaredir?

A. 3 B. 5/2 C. 2 D. 3/2 E. 1 y = R2 - x2 _{-R ≤ x ≤ R} V = π -R R f2(x) dx = π -R R R2 - x2 2 _{dx = π} -R R R2 - x2 _dx = π R2x - x3 3 R -R = π R3 - R3 3 - -R 3 _{+ R}3 3 = π 2R3 - 2 3 R 3 _{= π 4R}3 3 = 4 π R 3 3 Şekil 12.14

2. f: [0, π] → IR, f(x) = cosx eğrisi, x = 0, x = π doğruları ve x-ekseni tarafın-dan sınırlanan alan kaç birimkaredir?

A. 0 B. 1 C. 3/2 D. 2 E. π

3. y = ex _{eğrisi, x = 0, x = 1 doğruları ve x-ekseni tarafından sınırlanan alan}

kaç birimkaredir? A. e B. e /2 C. e - 1 D. e + 1 E. 2e

4. f: [1, ∞] → IR, f(x) = lnx eğrisi, x-ekseni ve x = e doğrusu tarafından sınır-lanan alan kaç birimkaredir?

A. e B. e /2 C. 1 D. 2/e E. 1/e

5. y = x2 _{+ 2x - 3 parabolu ile x-ekseni arasında kalan alan kaç birimkaredir?}

A. 32/3 B. 9 C. 9/2 D. 4 E. 5/3 6. y = lnx eğrisi, x = 1

e doğrusu ve x-ekseni tarafından sınırlanan alan kaç birimkaredir? A. 1 - 2 e B. 2 e C. 1 e D. 1 E.

7. y = x2 _{- 1 eğrisi ile y = x - 1 doğrusu tarafından sınırlanan alan kaç} birimka-redir? A. 1/6 B. 1/3 C. 1/2 D. 5/6 E. 1

8. f: [0, 2π] → IR, f(x) = sinx eğrisi ile x-ekseni tarafından sınırlanan alan kaç birimkaredir? A. 1/2 B. 1 C. 3/2 D. 2 E. 4

9. y = 3x, y = 0, x = 2 tarafından sınırlanan bölgenin x-ekseni etrafında dön-mesiyle oluşan dönel cismin hacmi kaç birimküptür?

A. 6π B. 12π C. 24π D. 36π E. 72π

10. y = 1 - |x| eğrisi ile x-ekseni arasında kalan bölgenin x-ekseni etrafında dönmesiyle oluşan dönel cismin hacmi kaç birimküptür?

11. y = 4 - x2 _{eğrisi ile x-ekseni arasında kalan alanın x-eksenin etrafında}

dönmesiyle oluşan dönel cismin hacmi kaç birimküptür? A.

12. y = x3 _{eğrisi, x = -1 , x = 1 doğruları ve x-ekseni tarafından sınırlanan}

alanın x-ekseni etrafında dönmesiyle oluşan dönel cismin hacmi kaç birimküp-tür?

Değerlendirme Sorularının Yanıtları

1. B 2. D 3. C 4. C 5. A 6. A 7. A 8. E 9. C 10. A 11. B 12. B A. π 7 B. 2π 7 C. 3π 7 D.