ORAN VE ORANTI
A. ORAN
En az biri sıfırdan farklı olmak üzere, birimleri aynı olan iki çokluğun bölümüne (karşılaştırılmasına) oran denir.
Örnek:
7 metrenin, 8 metreye oranı,
8 7 m 8
m
7 dir.
Örnek:
4 kilogramın 7 metreye oranı söz konusu olamaz.
Yani m 7
kg
4 ifadesi bir oran belirtmez.
Uyarı
Oranlanan çokluklardan ikisi aynı anda sıfır olamaz.
Oranlanan çoklukların birimleri aynı tür olmalıdır.
Oranın sonucu birimsizdir.
Örnek:
40 kg suya 10 kg şeker karıştırılarak bir şeker-su karışımı elde ediliyor.
Bu karışımdaki şekerin tüm karışıma oranını bulalım.
Çözüm:
Bu 50 kg lık şeker-su karışımının 10 kg ı şeker olduğu için şekerin tüm karışıma oranı,
5 1 kg 50
kg
10 tir.
Oranın Özellikleri
1. Kesirde olduğu gibi, oranın da payı ve paydası sıfırdan farklı bir sayı ile genişletilebilir.
c . b
c . a b
a , c0
2. Kesirde olduğu gibi, oranın da payı ve paydası sıfırdan farklı bir sayı ile sadeleştirilebilir.
c : b
c : a b
a , c0
B. ORANTI
İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir.
d k c b
a eşitliğine ikili orantı,
f k e d c b
a eşitliğine üçlü orantı,
k ’ ye orantı sabiti (kat sayısı) denir.
Örnek:
8 12 4
6 eşitliği bir orantı gösterir.
Sonuç
1. f
e d c b
a orantısı a:c:eb:d:f biçiminde de gösterilebilir.
2. d
c b
a orantısı a:bc:d biçiminde de
gösterilebilir.
Bu orantıda; a ve d ye dışlar, b ve c ye içler denir.
Orantının Özellikleri
1. Bir orantıda içler çarpımı dışlar çarpımına eşittir.
d c b
a ise a.db.c dir.
2. Bir orantıda içler yer değiştirebilir.
d c b
a ise d b c
a dir.
3. Bir orantıda dışlar yer değiştirebilir.
d c b
a ise a c b
d dır.
4. m0 ve n0 olmak üzere,
d k c b
a ise k
c . n b . m
c . n a .
m
dir.
Örnek:
f 2 e d c b
a olduğuna göre, f.
d . b
e . c .
a oranının değerini
bulalım.
Çözüm:
8 2 . 2 . f 2 .e d .c b a f.
d . b
e . c .
a
Örnek:
3 1 b 4 a
b 3 a
2
olduğuna göre,
b
a oranının değerini bulalım.
Çözüm:
3 1 b 4 a
b 3 a
2
ise 3.(2a3b)1.(a4b)
6a9ba4b 6aa4b9b 5a13
13 5 b a
tür.
Örnek:
5 z 4 y 3
x ve 2x3yz8 olduğuna göre,
z y
x toplamının bulalım.
Çözüm:
5 k z 4 y 3
x olsun. Buna göre,
3 k
x ise x3k
4 k
y ise y4k
5 k
z ise z5k olur.
z , y ,
x nin bu değerleri 2x3yz8 eşitliğinde yerine yazılırsa,
8 k 8 k 5 k 12 k 6 8 k 5 k 4 . 3 k 3 .
2 dir.
Buradan,
96 ) 8 .(
12 k 12 k 5 k 4 k 3 z y
x bulunur.
2.Yol
Orantının 4. özelliğini kullanalım.
5 k z 4 y 3
x olsun.
Bu durumda,
5 k z 4 . 3
y . 3 3 . 2
x .
2
ise k
5 4 . 3 3 . 2
z y 3 x
2
k 5 12 6
8
k k 8 1
8
dir.
Buna göre,
96 ) 8 .(
12 k 12 k 5 k 4 k 3 z y
x bulunur.
Örnek:
x 04 , 0 5 , 0 25 ,
0 orantısını sağlayan x değerini bulalım.
Çözüm:
x 04 , 0 5 , 0 25 ,
0 ise
25 4 5 , 0
x 25 , 0
04 , 0 5 , 0
x
25x4.0,5 25x2
0,08 25 x 2
olur.
Örnek:
3 2 b a
a
olduğuna göre,
b b a
orantısının değerini bulalım.
Çözüm:
Verilen orantıda içler dışlar çarpımı yaparsak,
3 2 b a
a
ise 3a2a2ba2bolur.
Buna göre,
b 1 b b
b b 2 b
b
a
olur.
Örnek:
c 4 3 b 2
a olduğuna göre, (ab).c işleminin sonucu
kaçtır?
Çözüm:
c 4 3 b 2
a ise
c 4 5
b a c 4 3 2
b
a
(ab).c5.420 dir.
Örnek:
y 3 x
2 ve x2 y2 117 olduğuna göre, yx çarpımı .
kaçtır?
Çözüm:
y k 3 x
2 olsun.
Buna göre, k x 2 ve
k y 3 olur.
Bu değerler verilen denklemde yerine yazılarak k bulunup sonuca gidilir.
2 117 2 y
x ise )2 117
k (3 )2 k
(2
117 k2 117 13 k2
9 k2
4
9 k2
1
dur.
54 9 . 2 6 k . 1 k 6 .3 k y 2 .
x bulunur.
Örnek:
d , c , b ,
a ve k sıfırdan farklı birer reel sayıdır.
d k a c
b ve nb 2d k c 2
5
olduğuna göre, n nin değerini bulalım.
Çözüm:
d k 2 nb
c 2
5
… ( I )
d k a c
b ise nb 2d k
c 2 k na d 2
c 2 nb
na
… ( II )
( I ) ve ( II ) orantılarının sağ tarafları eşit olduğu için, sol tarafları da eşittir.
d 2 nb
c 2 5 d 2 nb
c 2 na
ise
a
n 5 5
na olur.
Örnek:
2 2 5 c 4
3 b 3
2
a
olduğuna göre abc toplamının sonucunu bulalım.
Çözüm:
2 2 5 c 4
3 b 3
2
a
2 2 4 3
5 c 3 b 2
a
9 2 4 c b
a
18 2 . 9 4 c b
a
14 4 18 c b
a olur.
Örnek:
b 3 a
2 ve 3a4c
olduğuna göre c b
b a
oranın bulalım.
Çözüm:
b 3 a
2 ise
2 3 b
a dir.
c 4 a
3 ise
3 4 c
a tür.
8 12 4 . 2
4 . 3 2 3 b
a … ( I )
9 12 3 . 3
3 . 4 3 4 c
a … ( II )
( I ) ve ( II ) eşitliklerinden, k
12
a , b8k , c9k olur.
Buna göre,
17 20 k 17
k 20 k 9 k 8
k 8 k 12 c b
b
a
bulunur.
C. ORANTILI ÇOKLUKLAR
1. Doğru Orantılı Çokluklar
Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır denir.
x ile y doğru orantılı ve k pozitif bir doğru orantı sabiti olmak üzere,
x k
y veya yk.x ifadesine doğru orantının denklemi denir.
Bu denklemin grafiği aşağıdaki gibidir.
Örnek:
Manavın 1 demet maydanozu 35 YKr ye sattığını düşünelim 2 demet maydanoz alırsak 2.35 = 70 YKr,
3 demet maydanoz alırsak 3.35 =105 YKr ödememiz gerekir.
Yani, alacağımız maydanoz demeti arttıkça, ödeyeceğimiz para da orantılı olarak artmaktadır.
Bu durumda, maydanoz demeti çokluğu ile manava ödenecek para çokluğu doğru orantılıdır denir.
Burada, orantılı olarak artmaktan (ya da azalmaktan) kastımız; her durumda ödenen para miktarının maydanoz demeti sayısına oranının sabit olmasıdır.
35 3 ...
105 2 70 1
35
Bu örnekteki maydanoz demetinin çokluğu ile para çokluğunun orantı sabiti 35 tir.
Kural z , y ,
x sayıları sırasıyla a,b,c sayıları ile orantılı (doğru orantılı) iseler,
c k z b y a
x dir.
Örnek:
a ile b çoklukları doğru orantılı olarak değişmektedir.
6
a iken b4 olduğuna göre, a18 iken b nin kaç olacağını bulalım.
Çözüm:
a ile b doğru orantılı olduğuna göre, k b
a dir.
6
a ve b4 iken k (orantı sabiti) değerini bulalım
2 3 4 6 b
k a dir.
18
a iken b nin değeri,
b k
a ise 3.b 18.2
2 3 b
18
b6.212 dir Örnek:
c , b ,
a sayıları sırasıyla 3,8,5 sayıları ile orantılıdır.
12 c b
a
olduğuna göre a sayısını bulalım.
Çözüm:
k orantı sabiti olmak üzere, a,b,c sayıları sırasıyla 3,8,5 sayıları ile orantılı olduğuna göre,
5 k c 8 b 3
a dır.
5 k c 8 b 3
a ise k
5 8 3
c b
a
k k 2 6
12 dir.
Buna göre,
3 k
a ise 2 a 3.2 6
3
a dır.
Örnek:
7 tane limon 245 YKr olduğuna göre, 385 YKr ye kaç tane limon alınabileceğini bulalım.
Çözüm:
Alınacak limon sayısı ile para miktarı arasında doğru orantı vardır. Buna göre, alınabilecek limon sayısı x olsun.
11 x 2695 x 245 385 . 7 x .
245 dir.
Örnek:
m tanesi n YTL den satılan simitlerden 5 tanesi satın alınarak p YTL ödeniyor.
Buna göre, m, n ve p sayıları arasındaki bağıntıyı bulalım.
Çözüm:
Simit sayısı ile ödenen para miktarı doğru orantılıdır.
m.p5.n olur.
Örnek:
Bir miktar para 6, 8 ve 10 yaşlarındaki üç kardeşe yaşları ile orantılı olarak dağıtılıyor.
6 yaşındaki kardeşe verilen para 24 YTL olduğuna göre, dağıtılan paranın kaç YTL olduğunu bulalım.
Çözüm:
8 ve 10 yaşlarındaki kardeşlere verilen para sırasıyla a YTL ve b YTL olsun. Para kardeşlere yaşları ile orantılı olarak dağıtıldığı için sorunun çözümünde doğru orantı kullanılacaktır.
Verilenlere göre,
10 b 8 a 6
24 ise
10 b 8
4 a olur.
Bu durumda,
8 yaşındaki kardeşe verilen para,
32 4 . 8 a 8 4
a YTL dir.
10 yaşındaki kardeşe verilen para,
40 10 . 4 b 10 4
b YTL dir.
Buna göre, dağıtılan para, 96 40 32
24 YTL dir.
Örnek:
Bir işçi 12 saat çalışarak bir işin 5
2 ini bitirebiliyor.
Buna göre, aynı çalışma hızıyla bu işin 6
5 sını kaç saatte bitirebileceğini bulalım.
Çözüm:
İşçinin çalışma süresi arttıkça biten iş miktarı da artacaktır.
Buna göre, çalışma süresi ile biten iş miktarı doğru orantılıdır. Bu durumda,
a 25 5
.2 6 12 .5
a olur.
Örnek:
b ,
a ve c maddeleri sırasıyla 2,3 ve 4 ile orantılı olarak karıştırılıp 180 gramlık karışım elde ediliyor.
Bu karışıma sadece c maddesinden 12 daha ilave edildiğinde oluşan yeni karışımdaki a, b, c maddelerini orantılı olarak yazalım.
Çözüm:
b ,
a ve c maddeleri sırasıyla 2,3 ve 4 ile orantılı olarak karıştırılıp 180 gramlık karışım elde edildiğine göre,
4 k c 3 b 2
a olup, a2k , b3k , c4k dir.
180 c b
a ise 2k3k4k1809k180 k20 dir.
Buna göre, 40 20 . 2 k 2
a gram,
60 20 . 3 k 3
b gram,
80 20 . 4 k 4
c gram dır.
Bu karışıma sadece c maddesinden 12 daha ilave edildiğinde, karışımdaki c maddesi 80 + 12 = 92 gram olur.
Yeni karışımda;
a maddesi 40 gram, b maddesi 60 gram,
c maddesi 92 gram olduğundan,
92 c 60
b 40
a olur.
Bu eşitlikte 40, 60, 92 yi en sade hale getirebilmek için;
eşitliğin her tarafını bu üç sayının e.b.o.b. u olan 4 ile çarpalım:
23 c 15
b 10
a 92 .c 60 4 .b 40 4 .a
4 olur.
a maddesi 10 ile, b maddesi 15 ile,
c maddesi 23 ile orantılı olabilir.
Bu maddeleri başka sayılarla da orantılı olarak yazabiliriz.
Örnek:
z , y ,
x negatif reel sayılardır.
z 4 y 7 x 5
olduğuna göre, yx ve z sayılarını sıralayalım. , Çözüm:
Verilen orantıyı doğrulayacak şekilde orantı sabiti seçebiliriz.
z 1 4 y 7 x
5 olsun. Bu durumda,
x 1
5 ise x5,
y 1
7 ise, y7,
z 1
4 ise z4 tür.
Buna göre, yxz dir.
Başka orantı sabitleri için de bu sıralamanın doğru olduğunu görebilirsiniz.
2. Ters Orantılı Çokluklar
Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri de orantılı olarak azalıyorsa ya da biri azalırken diğeri de orantılı olarak artıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır denir.
Ters orantılı iki çokluğun çarpımı sabittir.
x ile y ters orantılı ve k pozitif bir ters orantı sabiti olmak üzere,
k y .
x veya x
y k ifadesine doğru orantının denklemi denir.
Bu denklemin grafiği aşağıdaki gibidir.
) k , 1
( , ) 2 ,k 2
( , )
3 ,k 3
( , )
4 ,k 4
( , …
İkililerinde yx çarpımları k ye eşittir. .
Örnek:
Bir musluk bir havuzu tek başına 36 saatte dolduruyor. Aynı akıtma kapasitesine sahip muslukların sayısını arttırırsak, havuzun dolma süresi azalacaktır.
Bu azalmayı gösteren aşağıdaki tabloyu inceleyiniz.
Görüldüğü gibi, musluk sayısı arttıkça havuzun dolma süresi aynı oranda azalmaktadır.
Diğer bir ifadeyle, musluk sayısı azaldıkça havuzun dolma süresi aynı oranda artmaktadır.
Bu durumda musluk sayısı ile havuzun dolma süresi ters orantılıdır.
Kural z , y ,
x sayıları sırasıyla a,b,c sayıları ile ters orantılı iseler, k
z . c y . b x .
a dir.
Örnek:
y ile x çoklukları ters orantılı olarak değişmektedir.
12
x iken y6 olduğuna göre, x9 iken y nin kaç olacağını bulalım.
Çözüm:
y ile x ters orantılı olduğuna göre, k
y . x
olacak biçimde bir k sabiti vardır.
12
x iken y6 olduğuna göre, 72
k k 6 .
12 olur.
Buna göre, verilen orantının denklemi, 72
y .
x olur.
Bu denklemde x9 yazılırsa, istenen cevap bulunur.
8 y 72 y .
9 olur.
Örnek:
c , b ,
a sayıları sırasıyla 3,4,5 sayıları ile ters orantılıdır.
33 c 2 b
a
olduğuna göre, a sayısını bulalım.
Çözüm:
k orantı sabiti olmak üzere, a,b,c sayıları sırasıyla 3,4,5 sayıları ile ters orantılı olduğuna göre,
k c 5 b 4 a
3
eşitlikleri yazılır. Buna göre,
3 a k ,
4 bk ,
5 ck olur.
Bu değerler ab2c33 eşitliğinde yerine yazılırsa,
60 33 k 24 k 15 k 33 20 ) 12 (5
k 2 ) 15 (4
k ) 20 (3
k
33 60
k 11
3 60
k
k3.60180 dir.
Buna göre, 60
3 180 3
a k olur.
Örnek:
Kapasiteleri aynı olan 6 işçi bir işi 10 günde yapabildiğine göre, aynı işi 5 işçinin kaç günde yapabileceğini bulalım.
Çözüm:
6 işçinin 10 günde yapabildiği bir işi 5 işçi daha fazla günde yapabilir. Yani, işçi sayısı ile işin yapılma süresi arasında ters orantı vardır. 5 işçi bu işi bu işi x günde yapabilsin.
5.x6.105x60x12 dir.
Örnek:
10 ve 12 yaşındaki iki çocuk 66 fındığı yaşlarıyla ters orantılı olarak bölüşeceklerdir.
Bu bölüşmede küçük çocuk kaç fındık alır?
Çözüm:
Küçük çocuk a tane fındık,
Büyük çocuk b tane fındık almış olsun.
Çocuklar fındıkları yaşları ile ters orantılı olarak paylaştıkları için,
k b 12 a
10 ise
10 a k ve
12 b k dir.
66 b
a ise 66
60 k 5 60
k 66 6 ) 5 (12
k ) 6 (10
k
66 60
k 11
6 60
k
k6.60360 tır.
10 36 360 10
a k olur.
Buna göre, 10 yaşındaki çocuğun alacağı fındık sayısı 36 dır.
Örnek:
c , b ,
a sayıları sırasıyla 3,4,6 sayıları ile ters orantılıdır.
Buna göre, a,b,c nin orantılı olacağı sayıları bulalım.
Çözüm:
c , b ,
a sayıları sırasıyla 3,4,6 sayıları ile ters orantılı olduğuna göre,
c 6 b 4 a
3 olur.
E.k.o.k.(3,4,6) = 12 dir. Eşitliğin her tarafı 12 ile bölünürse,
c 6 b 4 a
3
2 c 3 b 4 a 12
c 6 12
b 4 12
a
3 olur.
Yani, a,b,c sayıları sırasıyla 4,3,2 ile doğru orantılıdır.
c , b ,
a sayılarının doğru orantılı olduğu başka sayılarda bulunabilir.
Örnek:
a cm uzunluğundaki bir çubuk, 3ile ve 5 ile ters orantılı iki parçaya ayrılıyor.
Parçaların uzunlukları farkı 22 cm olduğuna göre, a nın kaç olacağını bulalım.
Çözüm:
3 ile ters orantılı parça x cm, 5 ile ters orantılı parça y cm olsun.
k y 5 x
3 ise
3 x k ve
5 y k tir.
22 y
x ise 22
15 k 3 15
k 22 5 ) 3 (5 k ) 5 (3
k
22 15
k 2
2k22.15
2 15 . k 22
k11.15165 tir.
Bu durumda çubuğun uzunluğu,
5 165 3 165 5 k 3 y k x
a
553388 olur.
3. Bileşik Orantı
İçinde ikiden fazla oran bulunan orantılara bileşik orantı denir.
Kural
;
y x ile doğru ve z ile ters orantılı ise z
x . yk dir.
Örnek:
a sayısı, b2 ile doğru, c1 ile ters orantılı olarak değişmektedir.
12
a ve b4 iken c3 olduğuna göre, a16 ve 4
c iken b nin kaç olacağını bulalım.
Çözüm:
k bileşik orantı sabiti olmak üzere, a sayısı, b2 ile doğru, c1 ile ters orantılı ise,
1 c
) 2 b .(
a k
olur.
12
a ve b4 iken c3 olduğuna göre,
4 2 k
k 12 6 1 3
) 2 4 .(
12 k
olur.
Bileşik orantı denklemindede a16 ve c4 yazılırsa,
3 ) 2 b .(
16 4 1 4
) 2 b .(
16 4 1 c
) 2 b .(
a k
12
4 2 48 b 16 . 3 ) 2 b .(
4
b12210 bulunur.
Örnek:
Toplamı 98 olan iki doğal sayıdan biri 3 ile doğru orantılı, diğeri 2 ile ters orantılıdır.
Buna göre, küçük sayının kaç olduğunu bulalım.
Çözüm:
k bileşik orantı sabiti olsun. x sayısı 3 ile doğru orantılı, y sayısı 2 ile ters orantılı olmak üzere,
k y 3 2
x ise x3k ve 2 y k olur.
98 y
x ise 98 k 28
2 k 98 7 2 k k
3 dir.
Buna göre, küçük olan sayı,
2 14 28 2
y k olur.
Örnek:
a cm lik bir kumaş 2 ve 3 ile doğru orantılı, 6 ile ters orantılı olarak üç parçaya ayrılmıştır.
En uzun kumaş parçası en kısa kumaş parçasından 34 cm uzun olduğuna göre, a nın kaç olduğunu bulalım.
Çözüm:
Kumaş; x cm lik, y cm lik ve z cm lik üç parçaya ayrılmış olsun.
x , 2 ile doğru orantılı ise k x 2k 2
x ,
y , 3 ile doğru orantılı ise k y 3k 3
y
z , 6 ile ters orantılı ise
6 z k k z .
6 olur.
En uzun kumaş parçası en kısa kumaş parçasından 34 cm uzun olduğuna göre,
12 k 6 34
k 34 17 6 k k 3 34 z
y dir.
Kumaşın toplam uzunluğu a cm olduğuna göre,
6 k k 18 k 12 6 k k 3 k 2
a
62
6 12 . 31 6
k
31
olur.
Örnek:
4 makine, 6 günde 120 parça ürün üretmektedir.
Buna göre, aynı nitelikteki 6 makine, 8 günde kaç parça ürün ürettiğini bulalım.
Çözüm:
Makine sayısı arttıkça elde edilen ürün miktarı artacaktır.
Buna göre, makine sayısı ile ürün sayısı doğru orantılıdır.
Gün sayısı arttıkça dikilen ürün sayısı artacaktır. Buna göre, gün sayısı ile ürün sayısı doğru orantılıdır.
4.a.66.120.8
6 . 4
8 . 120 . a 6
a120.2240
Uyarı:
Bileşik orantıyla ilgili sorular yukarıdaki yaklaşımla çözülebileceği gibi, başka yollardan da sonuçlandırılabilir.
Aşağıdaki kural bunlardan en kısa olanıdır
Örnek:
4 işçi 8 m2 halıyı 20 günde dokursa aynı kapasitedeki 6 işçinin 15 m2 halıyı kaç günde dokuyabileceğini bulalım.
Çözüm:
25 x 15 . 20 . 4 x . 6 . x 8 . 6
20 . 4 15
8 günde dokur.
Örnek:
Bir işyerinde; işçi sayısı 3 katına, çalışma süresi 2 katına çıkarılırsa, üretimin kaç katına çıkacağını bulalım.
Çözüm:
İlk durumda İşçi sayısı: a Çalışma Süresi: t
Üretilen Ürün Miktarı: x olsun İkinci durumda
İşçi sayısı: 3.a Çalışma Süresi: 2.t
Üretilen Ürün Miktarı: k.x olsun Buna göre,
6 6 k
1 k 1 t.
2 . a . 3
t.
a x . k
x olur.
D. ORTALAMALAR
1. Aritmetik Ortalama
Kural
n tane sayının toplamının n ye bölümüne, bu sayıların aritmetik ortalaması denir.
an ,..., a3 2, a 1,
a sayılarının aritmetik ortalaması:
n
an 3 ...
2 a 1 a
a
dir.
Uyarı
a ve b sayılarının aritmetik ortalaması:
2 b a
dir.
Örnek:
3, 5, 10 sayılarının aritmetik ortalamasını bulalım.
Çözüm:
Bu sayıların toplamının 3 ile bölümü bu sayıların aritmetik ortalamasını verir. Buna göre,
3 6 18 3
10 5
3
olur.
Uyarı
n tane sayının aritmetik ortalaması ile n nin çarpımı, bu sayıların toplamının verir.
Örnek:
6 sayının aritmetik ortalaması 13 olduğuna göre, bu sayıların toplamını bulalım.
Çözüm:
n tane sayının aritmetik ortalaması; bu n tane sayının toplamının n ye bölümü olduğu için; 6 sayının toplamı x ve aritmetik ortalaması 13 ise, 13
6
x tür.
Buna göre, bu 6 sayının toplamı, x6.1378 olur.
Örnek:
4 kardeşin yaş ortalaması 13 tür. Büyük kardeş çıkarılırsa geriye kalanların yaş ortalaması 11 oluyor.
Buna göre, büyük kardeşin kaç yaşında olduğunu bulalım.
Çözüm:
4 kardeşin yaşları toplamından diğer 3 kardeşin yaşları toplamı çıkarılırsa büyük kardeşin yaşı bulunur.
4 kardeşin yaşları toplamı = 4.13 = 52 dir.
3 kardeşin yaşları toplamı = 3.11 = 33 tür.
Buna göre, büyük kardeşin yaşı = 52 – 33 = 19 dur.
Örnek:
12 tane sayının ortalaması 20 dir. Bu sayılara toplamları 160 olan 13 sayı daha ekleniyor.
Buna göre, yeni ortalama kaçtır?
Çözüm:
12 tane sayının ortalaması 20 ise, toplamları 240
20 .
12 tır.
Buna göre,
Sayisi arin ButunSayil
Toplami Sayilarin Butun
ma YeniOrtala
16
25 400 13 12
160
240
olur.
Örnek:
a ile b nin aritmetik ortalaması 11, b ile c nin aritmetik ortalaması 17, a ile c nin aritmetik ortalaması 41,
olduğuna göre; a, b ve c nin aritmetik ortalamasını bulalım.
Çözüm:
a ile b nin aritmetik ortalaması 11 olduğuna göre,
22 b a 2 11
b
a
dir. …( I )
b ile c nin aritmetik ortalaması 17 olduğuna göre,
34 c b 2 17
c
b
tür. …( II )
a ile c nin aritmetik ortalaması 41 olduğuna göre,
82 c a 2 41
c
a
dir. …( III )
( I ), ( II ) ve ( III ) de verilen denklemler taraf tarafa toplanırsa,
