Eğrilerin Küresel İzdüşümleri

(1)

E R LER N KÜRESEL ZDÜ ÜMLER Niyazi ÇEL K

Yüksek Lisans Tezi

Danı man: Yrd. Doç. Dr. Yılmaz TUNCER U ak

(2)

T.C.

U AK ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ

MATEMAT K ANAB L M DALI

E R LER N KÜRESEL ZDÜ ÜMLER

YÜKSEK L SANS TEZ

N YAZ ÇEL K

HAZ RAN 2012 U AK

(3)

T.C.

MATEMAT K ANAB L M DALI

E R LER N KÜRESEL ZDÜ ÜMLER

YÜKSEK L SANS TEZ

N YAZ ÇEL K

(4)

Niyazi ÇEL K tarafından hazırlanan “E rilerin Küresel zdü ümleri” adlı bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun oldu unu onaylarım.

Yrd. Doç. Dr. Yılmaz TUNÇER ………

Tez Danı manı, Matematik Anabilim Dalı

Bu çalı ma, jürimiz tarafından oy birli i ile Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans tezi olarak kabul edilmi tir.

Yrd. Doç. Dr. Murat Kemal KARACAN ……… U ak Üniversitesi, Matematik Anabilim Dalı

Yrd. Doç. Dr. Yılmaz TUNÇER ………

U ak Üniversitesi, Matematik Anabilim Dalı

Yrd.Doç. Dr. Mehmet AKTA .……… U ak Üniversitesi, Makine Mühendisli i Anabilim Dalı

18 / 06 / 2012

Bu tez ile U ak Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini onamı tır.

Yrd.Doç. Dr. Mehmet AKTA ……… Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

(5)

TEZ B LD R M

Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranı ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunuldu unu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalı mada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kayna ına eksiksiz atıf yapıldı ını bildiririm.

(6)

E R LER N KÜRESEL ZDÜ ÜMLER (Yüksek Lisans Tezi)

Niyazi ÇEL K

Haziran 2012

ÖZET

Bu tez çalı ması iki bölümden olu maktadır.

Tezin birinci bölümünde konuyla ilgili temel tanım ve teoremler verildi.

kinci bölümde uzay e risinin yer vektörü kullanılarak küre üzerindeki izdü üm e risinin e rilikleri bulunmu tur. Uzay e risinin e riliklerine göre izdü üm e risi için elde edilen sonuçlar verilmi tir.

Bilim Kodu : 53A04

Anahtar Kelimeler : Rektifiyan e ri, normal e ri, helis e risi Sayfa Adedi : 45

(7)

SPHER CAL PROJECT ONS OF THE CURVES (M. Sc. Thesis)

Niyazi ÇEL K

U AK UNIVERSITY

INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY June 2012

ABSTRACT

This thesis consists of two chapters.

In the first chapter, the basic definitions and theorems are given related to this subject.

In the second chapter, curvatures of the projection curve on the sphere found in by using a vector space curve. For a projection space it is obtained some results according to curvatures of the projection space.

Science Code : 53A04

Key Words : Rectifying curve, normal curve, helix curve Page Number : 45

(8)

TE EKKÜR

Öncelikle, bu tezin hazırlanması esnasında büyük yardımlarını gördü üm ve her an her konuda manevi deste ini benden esirgemeyen de erli danı man hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Yılmaz TUNÇER’e te ekkürlerimi ve ükranlarımı sunarım.

Ayrıca, çalı malarım sırasında bana anlayı gösteren, destek olan, duydukları ve hissettirdikleri sonsuz güven için sevgili e ime, anneme ve babama te ekkürlerimi sunarım.

(9)

Ç NDEK LER

ÖZET ...i

ABSTRACT ... ii

TE EKKÜR ... iii

Ç NDEK LER ...iv

S MGELER N L STES ...vi

1. BÖLÜM...1

G R ...1

1.1 Temel Tanım ve Teoremler ...2

2. BÖLÜM...12

2. E R LER N KÜRESEL ZDÜ ÜMLER ...12

2.1. Sabit Olmayan E rilik ve Burulmaya Sahip E rilerin KüreselResimleri...16

2.1.i.

α

E risinin Bir Rektifiyan E ri Olması Durumu...17

2.1.ii. f, g ve h Sıfırdan Farklı Sabit Olma Durumu...27

2.2. Sabit Olmayan E rili e ve Sabit Torsiyona Sahip E rilerin Küresel Resimleri.28 2.2.i.

α

2.3. Sabit E rili e ve Sabit Olmayan Torsiyona Sahip E rilerin Küresel Resimleri 36 2.3.i.

α

KAYNAKLAR ...45

(10)

S MGELER N L STES

Bu çalı mada kullanılmı bazı simgeler açıklamaları ile birlikte a a ıda sunulmu tur.

Simgeler Açıklama , Norm ∧ ∧∧ ∧ Vektörel çarpım , ç çarpım T_α

α

e risinin te et vektörü N_α

α

e risinin asli normal vektörü B_α

α

e risinin binormal vektörü T_β β e risinin te et vektörü

N_β β e risinin asli normal vektörü B_β β e risinin binormal vektörü

α

κ

α

e risinin e rili i α

τ

α

e risinin burulması β κ β e risinin e rili i β τ β e risinin burulması

(11)

1. BÖLÜM

G R

E rilerin küresel izdü ümleri ile ilgili bugüne kadar 2005 yılında Bang-Yen Chen ve Franki Dillen yaptıkları çalı mada konudan bahsedilmi tir.

Bu çalı mada ise, uzay e risinin yer vektörü kullanılarak, küre üzerindeki orjin merkezli izdü üm e risinin Frenet vektörleri ve e rilikleri hesaplanmı tır. Hesaplamalar bilgisayar yardımıyla düzenlenmi ve en kısa ekliyle ifade edilmi tir. Uzay e risinin e riliklerine göre izdü üm e risinin küre üzerinde düzlemsel e ri veya küre üzerinde bir helis olması ile ilgili çe itli sonuçlar elde edilmi tir.

(12)

1.1 Temel Tanım ve Teoremler

Tanım 1.1.1 V bir reel vektör uzayı olsun. V üzerinde bir iç çarpım diye a a ıdaki aksiyomları ile tanımlanan bir

, :V V× →

dönü ümüne (reel de erli fonksiyon) denir ve de eri u v V, ∈ olmak üzere u v,

eklinde gösterilir. (i) Simetri aksiyomu:

, , , , . u v = v u ∀u v V∈ (ii)Bilineerlik aksiyomu: 1 2 1 2 1 1 2 1 2 , , , , , , , , , , , , , , , , . cu v c u v u cv c u v V u u v u v u v v V u v v u v u v u V = = ∀ ∈ ∀ ∈ + = + ∀ ∈ + = + ∀ ∈ Bu aksiyom kısaca 1 2, 1, 2, au +bu v =a u v +b u v 1 2 1 2 , , , u av +bv =a u v +b u v eklinde de yazılabilir.

(iii) Pozitif tanımlılık aksiyomu:

, 0, ,

u u ≥ ∀ ∈u V

[ ]

, 0 0 1 .

u u = ⇔u=

Tanım 1.1.2 V bir kompleks vektör uzayı olsun. V vektör uzayı üzerinde bir iç çarpım diye a a ıdaki aksiyomları ile tanımlanan bir

, :V V× →

dönü üm ( kompleks de erli fonksiyon)üne denir ve de eri , ,u v V∈ olmak üzere u v,

eklinde gösterilir. (i)’ Hermit aksiyomu:

, , , , ,

(13)

burada

( )

kompleks e leni i göstermektedir. (ii)’ Bilineerlik aksiyomu:

, , , ; cu v =c u v c∈ , , , u cv =c u v 1 2, 1, 2, , u +u v = u v + u v 1 2 1 2 , , , . u v +v = u v + u v (iii)’ Pozitif tanımlılık aksiyomu:

,

u u reeldir ve ≥0

[ ]

, 0 0 1 .

u u = ⇔u=

Tanım 1.1.3 n de bir u vektörünün uzunlu u veya boyu u ile gösterilir ve u ya kar ılık gelen AB yönlü do ru parçasının uzunlu u olarak alınır. E er AB=CD ise

AB ve CD yönlü do ru parçalarının aynı uzunlukta oldukları açıktır. u = u u,

olarak tanımlanır ve bu de ere u vektörünün normu da denir

[ ]

1 .

Tanım 1.1.4 Normu 1 olan vektöre bir birim vektör denir.E er x≠ ve 0 y≠ iken 0

, 0

x y = ise bu iki vektöre birbirlerine ortogonaldirler denir. Sıfırdan farklı vektörlerin bir S cümlesinde herhangi iki vektör birbirine dikse bu S cümlesine ortogonaldir denir. S ortogonal iken S deki her bir vektör birer birim vektör ise S ye ortonolmal denir

[ ]

1 .

Tanım 1.1.5 E er

:

A V →W

lineer dönü ümü birebir ve üzerine (örten) ise lineer izomorfizm olarak adlandırılır

[ ]

1 . Tanım 1.1.6 K cismi üzerindeki vektör uzaylarından biri V olsun. V vektör uzayının elemanlarının bir

{

α α

₁, ₂,...,

α

_k

}

cümlesi için

(

)

1 0, 1 0 k i i i i cα i k c = = ≤ ≤ ∀ =

ise bu cümleye lineer ba ımsız aksi halde lineer ba ımlıdır denir

[ ]

1 . Di er bir ifade ile e er

α α

₁, ₂,...,

α

_k lineer ba ımlı ise

(14)

1 0 k i i i cα = =

olacak ekilde hepsi birden sıfır olmayan c c1, 2,...,ck∈K vardır.V vektör uzayında sıfır olmayan p tane x x₁, ₂,...,x vektörlerini alalım. _p

1 1 2 2 ... p p 0 c x +c x + +c x =

olacak ekilde hepsi birden sıfır olmayan p tane c c₁, ₂,...,c sayısını bulmak imkansız _p ise,bu vektörlerin p -inci dereceden lineer olarak ba ımsız bir sistem meydana getirdikleri söylenir. Aksi halde,verilen p vektörden ibaret olan sisteme lineer olarak ba lı denir. Lineer olarak ba lı sistem ile lineer olarak ba ımsız sistem ifadelerinin yerine kısaca bazen ba lı sistem ve serbest sistem ifadeleri kullanılır [1].

Tanım 1.1.7 Bir vektör uzayının bir S alt cümlesi a a ıdaki iki özelli e sahipse V vektör uzayının bir bazı adını alır [1].

B1. S lineer ba ımsızdır.

B2. V =Sp S

{ }

, yani α∈ elemanı S deki sonlu sayıda elemanın bir lineer V birle imidir.

Bu ikinci aksiyoma baz için germe aksiyomu denir [1].

Tanım 1.1.8 Bo olmayan bir cümle A ve bir K cismi üzerinde bir vektör uzayı V olsun. A a ıdaki önermeleri do rulayan bir

:

f A A× →V

fonksiyonu varsa A ya V ile birle tirilmi bir afin uzay denir: (A1). ∀P Q R, , ∈ için A f P Q

(

,

)

+ f Q R

(

,

)

= f P R

(

,

)

(A2). ∀ ∈ ve P A ∀ ∈ için α V f P Q

(

,

)

=

α

olacak biçimde bir tek Q∈ noktası A vardır [2].

Tanımdaki (A1) önermesinin anlamı açıktır. (A2) önermesinin biraz daha açıklanması gerekirse denilebilir ki “ A da bir P noktası ve V de bir

α

vektörü verildi inde,

(

,

)

f P Q =

α

olacak biçimde A cümlesinin en az bir Q noktası vardır.”Bir ba ka deyi le, A da bir nokta tespit edildi inde V vektör uzayının vektörleriyle A cümlesinin geri kalan noktaları arasında birebir bir e leme gerçekle mi olur. ,P Q∈A

(15)

için f P Q

(

,

)

vektörü genellikle f P Q

(

,

)

=PQ biçiminde gösterilir ve P ye ba langıç, Q ya da uç noktası denir [2].

Tanım 1.1.9 Bir reel afin uzay A ve A ile birle en vektör uzayı da V olsun. V de bir iç çarpım i lemi olarak

, :V V× →

(

)

1 , , n i i i x y x y x y = → =

Öklid iç çarpım tanımlanırsa bu i lem yardımı ile A da bir uzaklık va açı gibi metrik kavramlar tanımlanabilir. Burada x=

(

x₁,...,x_n

)

, y=

(

y₁,...,y_n

)

.Böylece A afin uzayı da yeni bir ad olarak Öklid uzayı adını alır. Örnek 1.1.1’de verildi i gibi A= n ve

n

V = olması hali esas alınır ve ayrıca A= n Öklid uzayı, standart Öklid uzayı anlamında di erlerinden fark etmesi için, E ile gösterilir [2]. n

Örnek 1.1.1 1-Boyutlu Standart Öklid Uzayı.

Reel sayılar ekseni olarak imdiye kadar duyulan sayı do rusu ele alınırsa bu do ru , reel sayılar cismi (kendi üzerinde bir boyutlu reel vektör uzayıdır) ile birle tirilmi 1 afin uzayıdır. Ayrıca bu vektör uzayında

, : × →

(

x y,

)

→ x y, =xy

eklinde tanımlandı ı için 1 afin uzayı 1-boyutlu Öklid uzayı olur ve E ile gösterilen bu uzaya Öklid do rusu da denir.Burada x=

( )

x ,y=

( )

y [2] .

Örnek 1.1.2 2-Boyutlu Standart Öklid Uzayı.

Reel düzlem olarak imdiye kadar duyulan düzlemi ele alalım. Bu düzlem, 2-Boyutlu reel standart vektör uzayı ile birle tirilmi 2 afin uzayıdır.Ayrıca bu vektör uzayında Öklid iç çarpımı da

2 2 , : × →

(

)

2 1 , , _i _i i x y x y x y = → =

eklinde tanımlandı ından 2 afin uzayı 2-Boyutlu Öklid uzayı olur ve E ile 2 gösterilen bu uzaya Öklid düzlemi de denir.Burada x=

(

x x₁, ₂

)

, y=

(

y y₁, ₂

)

[2].

(16)

Örnek 1.1.3 3-Boyutlu Standart Öklid Uzayı. 3-boyutlu standart 3

ile birle tirilmi 3

afin uzayı ele alınsın.Bu 3

vektör uzayında Öklid iç çarpımı

3 3 , : × →

(

)

3 1 , , _i _i i x y x y x y = → =

biçiminde tanımlanır. Burada x=

(

x x x₁, ₂, ₃

)

, y=

(

y y y₁, ₂, ₃

)

.Böylece 3

afin uzayı 3-boyutlu Öklid uzayı olur ve E ile gösterilir. Bu uzay, imdiye kadar duydu unuz 3-3 boyutlu Öklid uzayının kendisidir [2].

Tanım 1.1.10 : n n d E ×E →

(

)

(

)

(

)

2 1 , , n i i i x y d x y xy y x = → = = −

olarak tanımlanan d fonksiyonuna En Öklid uzayında uzaklık fonksiyonu ve d x y

(

,

)

reel sayısına da , n

x y∈E noktaları arasındaki uzaklık denir[2]. Tanım 1.1.11

: n n

d E ×E →

(

x y,

)

→d x y

(

,

)

= xy biçiminde tanımlanan d fonksiyonuna n

E de Öklid metri i denir[2]. Tanım 1.1.12

3 3 3

:

x × →

(

α β

,

)

→ ×

α β ψ α

=

(

∧

β

)

eklinde tanımlı x iç i lemine vektörel çarpım i lemi ve α β× vektörüne de

α

ile β

e rilerinin vektörel çarpımı denir [2]. Tanım 1.1.13 , n

I uzayının bir açık aralı ı olmak üzere,

:I n

α →

biçiminde diferensiyellenebilir bir

α

dönü ümüne, n uzayı içinde bir e ri denir [3]. Tanım1.1.14 En de bir M e risinin

(

I,

α

)

ve

(

J,

β

)

iki koordinat kom ulu u verilsin.

1 : h

α οβ

− J I

(17)

diferensiyellenebilir fonksiyonuna M e risinin bir parametre de i imi denir [2]. Tanım 1.1.15 E de bir M e risi n

(

I,

α

)

koordinat kom ulu uyla verilsin.α:I →En fonksiyonunun Öklidiyen koordinat fonksiyonları

α α

₁, ₂,...,

α

_n olmak üzere

(

α α

1, 2,...,

α

n

) ( )

,

α

t ∈M

( )

1 _,..., n _. t t d d t dt dt

α

′ =

( )

(

α

t ,

α

′ t

)

∈T_En

( )

t tanjant vektörüne, M e risinin t∈ parametre de erine kar ılık I

gelen

α

( )

t noktasında

(

I,

α

)

koordinat kom ulu una göre hız vektörü denir [2]. Tanım 1.1.16 M ⊂En e risi verilsin. M e risinin m∈M noktasındaki tanjant uzayı diye, m∈M noktasında M e risinin hız vektörlerini içine alan T_M( )m =V m

( )

vektör uzayına denir. m∈M seçilmi bir nokta olmak üzere, En uzayının TM

( )

m ile birle en alt afin uzayına da, M e risinin m∈M noktasındaki te et do rusu denir [2].

Tanım 1.1.17 M ⊂En e risi

(

I,

α

)

koordinat kom ulu u ile verilsin.

( )

: I t t t

α

′ → ′ ′ → =

eklinde tanımlı

α

′ fonksiyonuna, M e risinin

(

I,

α

)

koordinat kom ulu una göre skalar hız fonksiyonu ve α′

( )

t reel sayısına da M e risinin

(

I,

α

)

koordinat kom ulu una göre

α

( )

t noktasındaki skalar hızı denir [5].

Tanım 1.1.18 M e risi

(

I,

α

)

koordinat kom ulu uyla verilsin.E er ∀ ∈s I için, α′

( )

s = ise M e risi 1

(

I,

α

)

ya göre birim hızlı e ridir denir. Bu durumda, e rinin s∈ parametresine yay-parametresi adı verilir [2]. I

Tanım 1.1.19 M e risi

(

I,

α

)

koordinat kom ulu uyla verilmi olsun. ,a b∈ olmak I üzere , a dan b ye M e risinin yay uzunlu u diye, e rinin

α

( )

a ve

α

( )

b noktaları arasındaki uzunlu una kar ılık gelen

( )

, b

a

t dt t I

(18)

reel sayısına denir. Kolayca görülebilir ki bu de er koordinat kom ulu undan ba ımsızdır.

Tanım 1.1.20 Her noktasında hız vektörü sıfırdan farklı olan e riye regüler e ri denir [2].

(

I,

α

)

koordinat kom ulu u ile verilsin.Bu durumda,

( )

(

, ,..., r

)

ψ

=

α α

′ ′′

α

sistemi lineer ba ımsız ve ∀α( )k ,k>> için >>r α( )k ∈Sp

{ }

ψ olmak üzere , ψ den elde edilen

{

V1,...,Vr

}

ortonormal sistemine, M e risinin Serret-Frenet r-ayaklı alanı ve m∈M için

{

V m₁

( )

,...,V m_r

( )

}

ye ise m∈M noktasındaki Serret-Frenet r-ayaklısı denir.Her bir V_i,1≤ ≤ ye Serret-Frenet vektörü adı verilir. i r

3

n= özel halinde, 3

E boyutlu Öklid uzayında Frenet iki ayaklısı ve Frenet 3-ayaklısı elde edilir. Bu özel halde Frenet 3-3-ayaklısının te kili,vektörel çarpım(dı çarpım) ile basitle tirilebilir. Bu özel halde; M e risi

(

I,

α

)

koordinat kom ulu u ile verilmi ise s∈ yay parametresi olmak üzere, I

T =α′ ve 1 N

α

′′ = ′′

olsun.Bu durumda, T s

( )

=V s₁

( )

ve N s

( )

=V s₂

( )

.Gerçekten, s∈ yay parametresi I oldu u için,

( )

s 1 α′ =

( )

s ,

( )

s 1 α′ α′ =

( )

s ,

( )

s 0 α′ α′′ =

( )

{

( )

}

{

( )

}

2 p p . V s ∈S

α

′′ s =S N s

Bu ise yukarıda V s₁

( )

ve V s₂

( )

için verilen e itlikleri do rular.Buna göre B= ×T N

tanımlanırsa, B s

( )

=V s3

( )

oldu u görülür.Böylece,

( )

( ) ( )

(19)

sistemine,

α

( )

s noktasında, M e risinin Frenet 3-ayaklısı denir [2].Burada

( )

1

( )

T s =V s e rinin te et vektörü, N s

( )

=V s₂

( )

e rinin asli normal vektörü,

( )

3

( )

B s =V s e rinin binormal vektörü adını alır [6].

Tanım 1.1.22 s∈ için, I

{

T s

( )

,N s

( )

}

kümesinin gerdi i düzleme,

α

( )

s noktasındaki dokunum düzlemi veya oskülatör düzlem denir.

{

T s B s

( ) ( )

,

}

α

( )

s noktasındaki do rultma düzlemi veya rektifyen düzlem denir.

( ) ( )

{

N s B s,

}

α

( )

s noktasındaki dik düzlem veya normal düzlem denir.Frenet formüllerindeki katsayılar matrisi olan

0 0 0 0 0

κ

τ

− −

matrisi ters simetrik bir matristir [7].

(

I,

α

)

koordinat kom ulu uyla verilsin. s∈ ya kar ılık I gelen

α

( )

s noktasındaki Frenet r-ayaklısı

( )

{

V s1 ,...,V sr

}

olsun.Buna göre,

( )

1

( )

: ,1 , , i i i i k I i r s k s V s V₊ s → ≤ ′ → = < << <

biçiminde tanımlı k fonksiyonuna M e risinin i-inci e rilik fonksiyonu ve s_i ∈ için I

( )

i

k s reel sayısına da

α

( )

s noktasında M e risinin i-inci e rili i denir [2]. Tanım 1.1.24 n= için 3 3

E de bir e rinin iki tane e rili inden bahsedilebilir.Bunlar 1

k ve k olmak üzere ₂ k e rinin e rili i, ₁ k de e rinin burulmasıdır. ₂ k e rili i e rinin ₁ te etten ne kadar saptı ının ölçüsüdür. k e rili i de e rinin oskülatör düzlemden ₂ sapmasının ölçüsüdür [3].

Ayrıca

{

V s V s₁

( )

, ₂

( )

,...,V s_r

( )

}

Frenet r-ayaklısının V s_i

( )

Frenet vektörlerinin e ri boyunca kovaryant türevleri ile ilgili e itlikler

(20)

1 1 1 2 1 2 2 3 2 3 2 2 1 2 1 1 0 0 0 . . . 0 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . . 0 . . . . . . . . 0 . . . . . . . . 0 . . . . 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 0 . . . 0 0 r r r r r r r V k V V k k V V k V V k V k k V k − − − − − − ′ ′ − ′ − = ′ ′ − ′ − 2 1 . r r r V V V − − eklinde yazılabilir. Buna göre 1) V s₁′

( )

=k s V s₁

( ) ( )

₂ 2) V si′

( )

= −ki−1

( )

s Vi−1

( )

s +k s Vi

( )

i+1

( )

s ,1< << << << <i r, 3)V s_r′

( )

= −k_r₋₁

( )

s V_r₋₁

( )

s

e itlikleri elde edilir. Bu e itliklere Frenet formülleri denir.r= halinde yukarıdaki 3 matris e itli i 1 1 1 2 1 2 2 3 2 3 0 0 0 0 0 V k V V k k V V k V ′ ′ = − ′ − veya 1 1 2 2 0 0 0 0 0 T k T N k k N B k B ′ ′ = − ′ − eklinde olur [2].

Teorem 1.1.1 E rilik fonksiyonları;

( )

1 3 s s k s s

α

′ ∧ ′′ = ′

( )

(

( )

)

( )

2 2 det s , s , s k s s s

α

′ ′′ ′′′ = ′ ∧ ′′ [4].

Bu çalı mamız boyunca k1= ,

κ

k2 = alınacaktır.

τ

Tanım1.1.25 α: I → 3e risinin e rilik fonksiyonu κolmak üzere,1

κ fonksiyonuna

(21)

(

I,

α

)

koordinat kom ulu u ile verilsin. ∀ ∈s I parametresine kar ılık gelen

α

( )

s ∈Mnoktasında M e risinin 1. ve 2. e rilikleri

( )

1 k s ve k₂

( )

s ise

( )

1 2 : H I k s s H s k s → → =

eklinde tanımlı H fonksiyonuna, M e risinin s noktasındaki 1-inci harmonik e rili i denir. E er 1

2 k

sabit

k = ise

α

( )

s e risi helistir [4]. Tanım 1.1.27

( ) (

)

3 : cos , sin , I E t t r t r t ht

α

⊂ → → =

ile verilen bir

α

e risi için r>>>>0. α e risinde h> ise sa dairesel helis ve >>>0 h<<<< ise 0 sol dairesel helis denir. Dairesel sözü e rinin

(

x y,

)

düzlemi üzerindeki dik izdü ümünün bir çember olmasından ileri gelmektedir [4].

(22)

2.E R LER N KÜRESEL ZDÜ ÜMLER

Bu bölümde yay parametreli bir

α

( )

s e risinin yer vektörünü kullanarak, birim küre üzerine izdü üm e risinin Frenet elemanlarını genel halde elde ettik. Daha sonra mümkün olan tüm durumları alt bölümler halinde inceledik.

f g h, , ∈C∞∞∞∞

(

E3,

)

ve s∈ ⊂I yay parametresi olmak üzere

α

( )

s e risinin yer vektörü

( )

s f s T

( ) ( )

_α s g s N

( )

_α

( )

s h s B

( )

_α

( )

s

α

= + + (2.1)

eklinde yazılabilir. Bu durumda , ,f g h fonksiyonları

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

1 0 0 f s g s s g s f s s h s s h s g s s α α α α

κ

τ

′ − = ′ + − = ′ + = (2.2)

denklemlerini sa lar. Burada

κ

_α( )s ve

τ

_α( )s

α

( )

s e risinin e rili i ve burulmasıdır. (2.1) e itli ini kullanarak

α

( )

s e risinin küresel izdü ümü olan e riyi

( )

s

( ) ( )

s s

β ∗ σ α

= (2.3)

eklinde tanımlayalım. s∗ β e risinin yay parametresi olmak üzere

( )

ds s ds ρ ∗ = (2.4) olsun. Burada

( )

1

(

2 3 3

)

1 2 2 s f ρ σ σ σ σ σ ′ ′ = + + eklindedir.

β e risinin e rili ini κ_β

( )

s∗

, burulmasını τ_β

( )

s∗

ve Frenet vektörlerini T N_β, _β,B_β ile gösterelim. 1 f u σ σ ρ ′ + = u₂ σ g ρ ′ = 3 h u σ ρ ′ = 1 2 1 u u v

κ

α

ρ

′ − = 2 1 3 2 u u u v

κ

α

τ

α

ρ

′ + − = 3 2 3 u u v

τ

α

ρ

′ + = 3 1 2 1 ₂ ₂ ₂ 2 ₂ ₂ ₂ 3 ₂ ₂ ₂ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 v v v n n n v v v v v v v v v = = = + + + + + +

olmak üzere β e risinin Frenet vektörleri

1 2 3

T_β =u T_α +u N_α+u B_α

1 2 3

(23)

(

2 3 3 2

)

(

3 1 1 3

)

(

1 2 2 1

)

=

B_β u n −u n T_α+ u n −u n N_α+ u n −u n B_α

eklinde elde edilir. β e risinin kendi te eti üzerinde bile eni olmayaca ından

σ

( )

s ile f s

( )

arasında

( )

3

( ) ( )

0

s s f s

σ

′ +

σ

=

elde edilir. Dolayısıyla

( )

0 1 2 s fds c

σ

= + ve buradan da 0 2 fds c α = +

bulunur.Bu ise bizi u sonuca götürür.

Sonuç 2.1: Bir

α

( )

s normal e risinin küre üzerine izdü üm e risi varsa

α

( )

s e risinin kendisi küre üzerindedir.

Bu çalı mada, f ≠ olan e rileri inceleyece iz. 0 Di er taraftan 2 1 c σ = ve

(

)

2 2 1 B=σ −σ f

olmak üzere β e risinin e rili i, f s

( )

in bir polinomu olarak 1 2 10 9 4 9 2 0 1 i i i r f B c β

κ

= = (2.5) olup, burada

(

)

(

)

(

)

6 5 2 2 2 2 4 2 2 3 2 2 2 0 2 2 2 2 r =c B c +h g +g − cg κ_α + g + h g− cg κ_α+h +g 1 3 5 7 9 0 r =r =r =r =r =

(24)

2 2 3 2 2 5 2 2 3 2 4 3 2 2 2 7 2 2 2 3 2 2 2 5 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 5 2 2 5 2 2 7 2 2 4 2 _{5 2} _{3 2} ₃ _{3 2} ₂ _{5 2} _{3 2} ₂ ₃ 2 3 2 2 5 2 2 5 2 4 2 2 4 2 4 6 6 6 12 4 14 4 6 6 4 6 4 6 6 h g B cg B cg B g B c g B g B c g B cg B c g B h gB cg B ch gB c gB cgB r c cgB cgB g B c gB gB c gB g B cg B ch B α α

κ

− − + + + + + − − − + + = + − − + + + − + − − 2 2 3 2 5 2 2 7 2 3 2 4h B 12cB 9c B 4B + − + +

(

4 2 2 5 2 2 3 2 2 2 2 2 2

)

2 3 2 2 2 2 3 2 3 3 2 ₂ _{5 2} ₃ _{7 2} ₂ _{3 2} ₃ _{3 2} _{3 2} 4 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 5 2 2 2 5 2 2 2 5 2 3 7 2 2 4 2 2 4 4 8 10 6 28 12 4 10 12 4 16 16 16 36 9 9 18 4 g B c g B cg B h g B c g B g B h g B c gB ch gB c gB r c _{c gB} _{c gB} _{c gB} _{cg B} _cgB g B cB cg B ch B c B c h B c g B c B h B α α

κ

+ − + − + − − + + = ₊ ₋ ₊ ₋ ₋ + − − − + + + − +

(

)

(

)

2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 5 2 3 6 3 2 2 3 2 2 5 2 3 7 2 2 2 3 2 2 12 4 4 14 4 24 12 36 9 8 12 8 r g B c c cgB c gB h g B c gB g B c cB cg B c B c B g B ch B h B α α κ κ = + + − − − + + − + − + −

(

2 2 2 2

)

8 4 3 4 r = B c B − cB−Bgκ_αc+g +h 3 2 10 4 r = B

eklinde elde edilir.β e risinin burulması da ;

1 2 1 n n t

κ

α

ρ

′ − = 2 1 3 2 n n n t

κ

α

τ

α

ρ

′ + − = 3 2 3 n n t

τ

α

ρ

′ + = 1 2 3 3 2 m =u n −u n m₂ =u n_{3 1}−u n_{1 3} m₃ =u n_{1 2} −u n_{2 1} olmak üzere , N B β β β τ ₌ ′

(

) (

)

(

)

{

1 2 2 1 3 3 2

}

1 N_β n n

κ

_α T_α n n

κ

_α n

τ

_α N_α n n

τ

_α B_α

ρ

′ ₌ ′₋ ₊ ′₊ ₋ ₊ ′₊ _{eklindedir. Buradan,} β

(25)

11 0 10 3 2 0 i i i j j j p f Bc r f β

τ

= = = (2.6)

eklinde elde edilir. Burada p de erleri a a ıdaki ekildedir. _i 8 10 0 p = p = olmak üzere

(

)

8 5 2 2 3 2 2 2 0 p ₌c B κ τ_α c₋gτκ_α ₊κ_α h gτ ₋g κ τ_α ₊hκ_α′

(

)

3 2 3 5 2 2 6 1 ₃ _{3 2} ₂ _{5 2} 2 4 4 2 1 6 4 4 9 B g gcB gcB B g p hc g cB B B cB α α α α α α

κ

+ − − = − + + + − −

(

)

(

)

(

)

(

)

2 3 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 5 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 4 4 2 2 2 2 ch g cg ch cg ch B ch g cg cg c ch ch B p c h g h g B h g h g B α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α

κ τ

τ κ

κ τ

κ

κ τ

τ κ

κ τ

κ

κ τ

κ

κ τ

κ

κ τ

′ − − − + + ′ − + + − − + = ′ + − + + + ′ + − − − 2 3 2 2 3 5 2 5 2 2 2 5 2 2 2 7 2 2 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 3 2 2 3 2 5 2 3 2 2 3 2 5 2 2 4 2 3 ₂ _{7 2} _{3 2} 3 2 5 2 2 6 2 4 4 4 2 2 8 8 14 30 38 8 26 37 12 4 8 8 28 12 34 Bg cB g c B cB g c B g c B g B g B g c B c B cB g c B c B g cB g cB g c B g Bg c B g cB g p c h c B g B g B g B cB cB c α α

κ

+ − + − − − − − + − + + + + + − − = + − − − + + − + 2 3 2 2 5 2 2 3 2 7 2 4 27 33 9 8 B B c B c B c B B

κ

α − − + − −

(

)

(

)

(

)

3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 3 5 2 3 2 2 4 5 2 2 3 3 2 3 3 4 4 3 4 3 4 B g h B g B h B p c cB g cB g B g B g cB h B h cB h B h α α α α α α α α α α α α α α

τ

κ

τ

κ

− − + = + − + − ′ ′ ′ ′ + + − −

(26)

3 2 2 2 2 5 2 2 3 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 7 2 3 2 2 5 2 2 3 3 2 5 _{3 2} _{5 2} ₂ 3 2 3 2 5 2 2 7 2 2 3 2 2 4 8 4 2 4 3 12 12 12 24 20 24 38 28 59 16 28 56 36 18 45 32 80 27 cB g cB g cB g B g Bg Bg c B c B c B g B g c B g Bg B g c B g p hc cB g cB g cB g B B cB cB c B c B B cB c B α α

κ

− + − + − + − + + + − + − = + − − + + − − + − − + + + 5 2

κ

α

(

)

₍

₎

4 6 2 p = c B B−B hκ_α′−κ τ_{α α}g

(

)

(

)

2 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 5 2 2 2 7 5 2 3 2 2 2 5 2 3 2 2 7 2 2 3 2 24 12 14 14 28 16 36 24 74 48 9 44 9 18 36 Bg Bg B g p c h Bg B g cB g cB g cB g B g cB B cB B c B cB c B c B B α α α

κ

− − = + − + + − − − − + − + + − + −

(

3 2 3 2 2 3 2 5 2

)

9 4 2 3 8 5 6 4 3 p = chκ κ_α _α Bg+κ_αB g− κ_αBg− B c− B+ B+ cB + B − cB

(

3 2

)

11 4 2 p = κ_αh B− B−B

eklinde elde edilir.

α

e risinin κ_αve τ_α de erlerine göreβ e risinin e rili ini ve burulmasını üç durumda inceleyebiliriz.

2.1 Sabit Olmayan E rilik ve Burulmaya Sahip E rilerin Küresel Resimleri Bu durum (2.1) e itli indeki f g h, , de erlerine göre iki farklı durumda incelenebilir.

i.

α

( )

s e risinin bir rektifiyan e ri olması durumu

α

( )

s e risi sabit olmayan e rili e ve burulmaya sahip bir rektifiyan e ri ise kendi yer vektörünün, e rinin asli normali üzerinde bile eni yoktur. Buna göre (2.1) e itli i

( )

s f s T

( )

_α h s B

( )

_α

( )

s

α

= +

(27)

1 3 T_β =u T_α +u B_α 1 2 3 N_β =n T_α +n N_α +n B_α

(

2 3 3 2

)

(

3 1 1 3

)

(

1 2 2 1

)

= B_β u n −u n T_α+ u n −u n N_α+ u n −u n B_α olup burada u u u n n n v v v a a ıdaki gibidir. ₁, ₂, ₃, ,₁ ₂, ₃, ,₁ ₂, ₃

1 f u

σ

ρ

′ + = u₂ = 0 3 h u

σ

ρ

′ = 3 1 2 1 ₂ ₂ ₂ 2 ₂ ₂ ₂ 3 ₂ ₂ ₂ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 v v v n n n v v v v v v v v v = = = + + + + + + 1 1 u v

ρ

′ = 1 3 2 u u v

κ

α

τ

α

ρ

− = 3 3 u v

ρ

′ = β e risinin e rili i, f s

( )

in bir polinomu olarak

1 2 10 2 9 2 0 1 i i i r f B c β

κ

= = (2.7)

eklinde olup, burada r₅ =r₇ =r₉ = ve di erleri 0

(

)

2 6 2 2 2 0 r =B c c κ_α +h 2 7 1 2 r = κ τ_αh B c_α

(

)

4 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 9 12 4 4 2 6 r =Bc c B − cB+c Bhτ_α + + h − c Bκ − cBh 2 6 3 2 r = − κ τh B c_α

(

)

2 2 2 4 2 2 2 2 2 3 3 2 2 4 9 16 16 4 18 36 r =c κ B c + h B c − h Bc− Bc+ h − B c + B c

(

2 2 2 2 3 3

)

6 12 36 24 8 9 r =c h Bc− B c + Bc− h + B c

(

2 2 2

)

8 4 3 4 r = h + B c − Bc

(28)

10 4 r = B

eklindedir. β e risinin burulması da,

(

)

7 5 2 2 2 2 0 2 p =c B κ τ_α _αc +chκ_α′+ hτ_α

(

)

6 2 5 2 3 5 2 5 2 3 2 3 2 2 5 2 2 1 6 6 4 4 2 p _{= −}hc c B κ_α ₋hcB τ_α′₋ cB κ_α₊ cBκ_α₋ B κ_α ₊ B κ_α₋ c B κ τ_{α α} 2 5 2 2 3 2 3 2 3 2 3 5 2 2 2 2 5 2 3 2 2 3 2 2 5 2 2 5 2 2 2 5 2 2 3 2 2 3 2 3 2 5 2 5 c B h c B h cB h cB h c B h B p c cB h h B c B h c B h cB h α α α α α α α α α α α α α

τ

κ

κ τ

τ

κ

κ τ

τ

′ ′ ′ + − + − − = ′ + + − − − 2 2 5 2 2 3 2 2 2 3 4 3 5 2 2 2 5 2 3 5 2 3 2 5 2 5 2 3 2 7 2 3 2 2 3 3 2 2 8 4 8 30 27 4 4 2 18 12 9 24 3 2 2 B h c B B B cB c B p c h c B hc B c B c B cB c B cB hc B hcB hcB α α α α α α α α α α α α α α α α α

κ

τ κ

κ

κ τ

τ

κ

τ

− − − − + ′ = − − + − + ′ ′ ′ − + + + −

(

4 5 2 3 5 2 2

)

2 3 3 5 2 2 3 3 3 2 2 2 2 3 2 4 3 2 2 3 5 2 2 2 5 2 2 2 3 2 2 3 2 6 6 4 6 4 7 6 6 10 c B c B h p c c B h c B h c B h h B c hB cB h c hB c h B c h B ch B α α α α α α α α α α α α α

τ

τ κ

τ

κ

τ

κ

τ

κ

τ

+ ′ ′ ′ = − − + − − ′ − + + − + 5 2 3 3 3 2 2 5 2 2 2 3 3 ₂ ₃ ₂ _{5 2} _{3 2} ₂ _{7 2} 5 2 5 2 3 5 2 2 3 2 4 3 4 3 36 66 36 16 18 32 18 32 2 48 B c hcB hc B hcB hc B p hc _{c B} _cB _cB _B _{c B} B c B B c B cB α α α α α α α

κ

τ

κ

τ

′ ′ ′ ′ − − + + − = ₋ ₊ ₋ ₋ − + − − − + 3 3 4 5 2 2 2 2 3 5 2 2 2 6 2 3 2 2 2 5 2 2 2 3 2 2 5 2 2 3 6 3 12 3 14 2 6 3 c B h c B c B h c B h h B p c c B h cB h cB h c B h c B h α α α α α α α α α α α

κ

κ τ

κ

τ

κ

τ

′₋ ₋ ′₋ ′₊ = ′ + − + + − 2 3 2 5 2 2 7 2 3 2 2 2 7 2 3 2 5 2 3 2 15 6 9 2 2 58 40 36 48 24 48 c B c B c B hcB hcB p c h cB cB cB B B B α α α α α α α α α α α

κ

τ

κ

′ ′ − − + − = − + + + − −

(29)

(

2 2 2 2 3 2

)

8 2 3 6 p = ch c Bκ_α′+ chBτ_α − h Bτ_α−c B κ_α′

(

2 3 2 3 2 5 2

)

9 2 9 6 16 16 8 6 p = ch

κ

_α cB − B c− B+ B+ B − cB 2 10 4 p = h

τ

_α B

(

3 2

)

11 4 2 2 p =

κ

_αh B− B−B

olmak üzere, f s

( )

ye göre düzenlenirse

11 0 10 3 2 3 2 0 i i i j j j p f B c r f β

τ

= = = (2.8)

olarak elde edilir. p göz önüne alındı ında u sonucu verebiliriz. ₁₀

Sonuç 2.2: Sabit olmayan e rilik ve burulmaya sahip bir rektifiyan e rinin küresel izdü üm e risi, küre üzerinde bir düzlemsel e ri olamaz.

(2.7) ve (2.8) e itliklerinden β β

τ

κ

oranının türevi hesaplanırsa,

D E β β

τ

κ

′ = (2.9)

eklinde elde edilir. Burada D ve E h s

( )

e göre düzenlenirse, 21 0 i i D d h = = (2.10)

(

)

2 3 23 0 d ₌ A

τ

_α f

τ κ

_α′ _α₋

κ τ

_α′ _α

(

)

(

)

2 2 22 2 3 21 2 2 1 3 d = A

τ κ

_α _αf

τ κ

_α′ _α−

κ τ

_α′ _α −A

τ

_α f

κ

_α +

τ

_α

(30)

(

)

(

)

2 21 2 2 3 3 2 2 20 2 2 2 10 3 10 3 3 d = Aτ_αf τ τ κ_α′ _α _α − κ τ κ_α′ _α _α − κ τ_α′ _α + κ τ_α _α′ − Aτ κ_α _αf κ_α +τ_α

(

)

(

)

(

)

2 20 2 3 3 2 3 2 19 4 2 2 2 4 2 2 18 17 2 2 2 16 3 15 30 30 9 12 3 3 10 15 3 12 20 d A f A f A f A f A A f A f α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α

κ

τ τ κ

κ τ

κ κ τ

τ

τ τ

τ

κ τ

τ

κ

τ τ

τ

τ τ

τ

τ τ

τ

′ ′ ′ ′ = − + − ′′ ′ + − − − − ′ ′′ ′ − + − − ′ − −

(

)

(

)

(

)

(

)

2 19 3 3 4 2 2 4 2 18 2 2 3 5 2 4 2 17 2 14 2 2 16 2 2 45 30 45 30 28 2 3 6 27 13 16 46 4 42 6 2 d A f A f A f Af A Af A α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α

τ τ κ

τ κ

κ τ κ

κ τ

τ κ

κ

τ τ κ

τ κ

κ τ τ

τ κ

κ τ

τ τ κ

κ τ

τ κ

κ τ τ

τ

′ ′ ′ ′ = + − − ′′ ′′ ′ ′ ′ + − − + − − − ′ ′ − + − + ′′ ′ ′ ′ +

(

− − +

)

(

)

2 15 2 2 3 Af A 2A 18 14 α α α α α α α α α α α α α α

τ κ

τ κ τ

κ τ

τ κ τ

κ τ

′ ₋ ′ ′ ′ ′ ′ + − − −

(

)

(

)

2 18 4 2 2 3 3 5 5 2 3 2 2 17 4 2 2 2 2 16 2 2 15 10 135 135 10 36 2 8 63 6 27 3 24 22 6 73 2 6 d A f A f A f Af α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α τ κ τ τ κ τ κ κ κ τ κ τ κ τ κ τ τ τ κ κ τ κ τ κ κ τ τ τ τ κ κ τ κ τ κ τ τ κ κ τ κ ′ ′ ′ ′ = + − − ′′ ′′ − + + − + ′ ′ ′ ′ ′′ − − − − + ′ ′ ′ − + + ′′ ₋ +

(

)

(

)

2 2 3 2 2 14 2 2 2 2 13 3 2 2 3 40 99 18 6 3 22 3 3 62 6 11 35 9 83 A A Af A A A Af A A α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α τ κ τ κ τ κ τ τ τ τ τ κ τ κ τ κ τ τ κ κ τ τ κ τ τ τ κ τ κ τ κ τ τ ′ ′ ₋ ₊ ′′ ₋ ′ ′′ ′ − + − ′ ′ ′ ′ ′ ′ + − + − + − − + − − −

(31)

(

)

(

)

2 17 4 3 2 2 3 6 2 2 5 2 2 16 2 4 2 3 2 15 2 2 14 120 135 135 120 24 9 3 16 8 108 48 117 111 9 98 3 d A f A f A f Af α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α τ κ τ τ κ κ τ κ τ τ κ κ κ τ κ κ κ κ τ τ κ κ τ τ κ κ τ τ τ κ τ τ κ κ κ κ τ κ κ ′ ′ ′ ′ = − + − + ′′ ₋ ′ ₋ ₋ ′ ₊ ′′ + ′′ ′ ′ + − − − ′ ′ ′ − + + ′ − +

(

)

(

)

3 2 2 2 2 13 2 2 2 2 12 2 3 3 2 12 36 13 18 264 6 8 82 8 76 9 4 9 5 159 A A Af A A A Af A A α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α τ κ τ κ τ τ κ τ κ κ κ τ κ κ τ κ κ τ τ κ κ κ κ τ κ τ τ κ τ τ κ κ κ κ τ ′′ ′ ′ ′ + − − − ′′ ′′ + − + ′ ′ ′ ′ ′ ′ + − − − − − + + − − −

(

)

(

)

2 16 4 3 2 2 3 7 5 2 3 2 2 15 4 2 2 2 2 14 2 2 13 45 360 360 45 84 28 192 48 108 8 16 24 84 161 38 231 283 d A f A f A f Af α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α τ κ τ κ κ τ τ κ κ τ κ τ τ τ τ κ κ τ κ τ κ τ κ κ τ κ κ τ τ τ κ τ κ τ κ τ τ ′ ′ ′ ′ = − + − ′′ ′ ′ − + − − + ′′ ′′ ′ ′ − + + − − ′ ′ ′ − + + − + 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 11 2 3 242 15 18 6 45 12 36 15 6 130 8 20 110 13 28 43 A A A A A A Af A Af A A A α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α τ τ κ τ τ κ τ τ τ κ τ τ κ κ τ κ τ κ τ τ τ κ τ τ τ τ κ κ τ κ κ κ τ κ τ τ τ τ ′′ ′ ′′ − + − + ′′ ′ ′′ ′ ′ + − + − ′ ₊ ′ ₋ ′ ₊ ′₋ ′ + ′ ′ − − ′′ +

(

− + + +

)

(

)

(

)

2 3 10 9 8 7 93 12 133 9 11 21 16 12 28 A Af A Af A A f A f α α α α α α α α α α α α κ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ ′′ − + − ′ ′ ′′ ′ + + + + + + +

(32)

(

)

(

)

2 15 2 2 3 3 4 8 2 5 2 3 2 2 14 2 2 4 2 13 2 2 360 210 360 210 84 36 168 56 288 24 8 28 252 329 63 322 d A f A f A f A α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α κ τ κ τ τ κ τ τ κ τ κ τ κ κ κ τ τ τ τ κ τ κ κ κ κ κ κ τ τ κ τ τ κ κ κ κ τ κ ′ ′ ′ ′ = − + + − ′ ′ ′ ′′ ′ − − − + − − + ′′ ′′ + + − ′ ′ ′ ′ − + + + 9

(

)

2 2 2 2 12 3 2 2 11 2 2 10 3 8 7 45 6 15 706 30 77 18 90 34 170 6 140 + 10 5 30 21 f A A A Af A A A Af A A A Af A α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α τ κ κ κ κ τ τ κ κ τ κ τ κ κ κ κ τ τ κ κ κ τ κ τ τ κ κ τ κ κ τ κ τ κ κ + ′ ′′ ′′ ′′ − + + − + + ′′ ′ ′ ′ + − − − ′ ′ ′ ′ − − + − ′ ′ ′ − − + +

(

− +

)

(

)

(

)

(

)

3 2 2 8 7 6 17 52 171 6 + 11 9 10 18 4 A A A Af A A f A A f A α α α α α α α α α α α α α κ κ τ κ κ τ κ κ κ κ κ κ ′′₊ ′′₋ ₊ ₋ ₊ ′′ ′ + + + − + −

(

)

(

)

2 14 4 3 2 2 3 9 5 2 2 2 13 4 3 2 2 2 2 12 2 2 120 630 630 120 126 84 168 56 252 56 378 28 168 511 98 413 d A f A f A f Af α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α τ κ τ κ κ τ τ κ κ τ κ τ κ τ κ τ κ τ τ τ κ κ τ κ τ κ τ κ τ τ κ τ κ τ κ τ τ ′ ′ ′ ′ = − + − ′ ′ ′ ′′ − − − + + ′′ ′′ ′ − + − + − ′ ′ ′ − + + + 2 2 2 2 11 3 2 2 2 10 2 2 9 3 45 15 6 20 60 459 30 612 90 10 43 20 15 140 30 220 4 62 A A A A A A Af A Af A A α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α κ τ τ κ τ τ τ τ τ τ κ κ τ τ κ κ τ κ τ κ τ κ κ τ τ κ τ τ τ τ κ τ κ τ τ ′ ′′ ′′ ′′ ′ − + + + − ′′ ′ ′ − + − − ′ ′ ′ ′ − + − + + ′ ′ ′ − + − ′′ +

(

+ +

)

(

)

(

)

2 2 3 8 7 6 5 4 58 25 18 102 31 33 49 50 2 13 9 A A Af A Af A A f A f α α α α α α α α α α α α α α τ τ κ τ κ τ τ τ τ τ τ τ τ τ ′′ + − − − ′ ′ + + ′′ ′ + + + + +

(33)

(

)

(

)

2 13 3 2 2 3 4 10 5 2 2 2 2 12 2 3 4 2 2 11 2 2 630 630 252 252 112 84 56 84 168 462 378 336 28 539 189 602 d A f A f A f A α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α τ τ κ κ τ κ τ τ κ τ κ τ τ κ κ κ τ κ κ τ κ τ κ τ κ κ τ τ κ κ τ τ κ κ κ κ τ ′ ′ ′ ′ = − + − ′′ ₋ ₊ ′′ ₋ ′ ₋ ′ + ′ ′ ′′ − − − + ′ ′ ′ − + + +

(

)

2 2 10 2 2 2 3 9 2 2 2 8 2 2 120 45 40 1044 60 15 20 6 189 50 200 30 100 50 10 88 14 4 26 A f A A Af A A A Af A A A α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α κ τ τ κ κ τ κ τ τ κ τ κ κ κ κ τ κ κ κ κ κ τ κ τ τ κ τ κ τ κ κ τ κ κ τ κ κ ′ ′ ′ ′′ − − + − ′ ′′ ′′ ′′ − + + + − ′ ′ ′ ′ ′ ′ + − − + − + − ′′ +

(

− + + +

)

(

)

(

)

(

)

3 3 7 6 5 4 20 34 4 21 1 15 25 2 7 8 A A f A Af A A f A A f α α α α α α α α κ κ κ κ κ κ κ κ κ ′′ − + ′ ′′ ′ + + + + + + − −

(

)

2 12 4 3 2 2 3 11 4 2 5 2 13 3 2 2 2 2 2 2 9 210 756 756 210 378 210 126 112 504 336 168 70 56 60 20 15 15 d A f A f A Af α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α τ κ τ κ κ τ τ κ κ τ κ τ κ τ τ τ κ τ κ τ κ κ τ κ κ τ τ τ τ κ κ τ τ κ τ τ ′ ′ ′ ′ = − + − ′ ′′ − − − + + ′ ′ ′ ′′ ′′ − − − + + ′ ′′ ′′ − + + + +

(

)

(

)

2 2 3 2 2 2 8 6 2 2 2 10 2 2 45 465 40 830 120 40 95 10 20 39 33 80 30 220 917 126 455 A A A A A Af Af A A A f A α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α τ τ τ τ κ κ τ τ κ κ τ κ τ κ τ κ κ τ τ κ τ τ τ τ τ τ κ τ κ κ τ κ τ κ τ τ τ ′′ ₋ ′ ′′ ′ ′ − + − − ′ ₊ ′₋ ′ ₊ ′ ′ ′ + + + ′ ′ ′ − + − ′ ′ ′ − + + +

(

)

(

)

4 3 7 3 2 3 5 6 38 6 112 158 38 29 54 f A f Af A A A Af A α α α α α α α α α α α α τ τ τ τ τ κ τ τ τ τ τ ′ ₋ ′′ ′′ ′′ + + + + + − + + +

(34)

(

)

2 11 3 2 2 3 4 12 5 2 2 2 2 3 2 10 4 2 2 8 756 756 210 210 140 126 70 168 210 504 378 420 56 90 60 30 d A f A f Af α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α τ τ κ κ τ κ τ τ κ τ κ τ τ κ κ κ τ κ κ τ κ τ κ τ κ κ τ τ κ κ κ τ τ κ κ τ κ τ ′ ′ ′ ′ = − + − ′′ ₋ ₊ ′′ ₋ ′ ₋ ′ ₋ + ′ ′ ′′ − − + ′ ′ ′ ′′ − − + − +

(

)

2 2 2 2 3 2 2 7 2 9 2 2 2 2 6 2 930 45 20 15 15 245 20 130 60 10 525 315 700 45 10 10 52 84 A A A A Af A f A A A Af A α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α τ κ τ κ κ κ κ τ κ κ κ κ κ τ κ τ τ κ τ τ κ κ κ κ τ τ κ τ κ κ κ τ τ κ κ τ ′ ′′ ′′ ′′ − + + + − ′ ′ ′ ′ − − + − ′ ′ ′ + − + + ′ ′ ′ + − + +

(

+

)

(

)

(

)

2 3 3 5 4 3 2 6 44 70 26 6 21 15 21 3 21 3 4 A A A A f A Af A A f A f α α α α α α α α α α α κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ ′′ ′′ + + + − + ′ ′′ ′ + + + − + + − +

(

)

(

)

2 10 4 3 2 2 3 13 4 2 5 2 9 3 2 2 2 2 2 8 2 2 252 630 630 252 378 168 84 140 462 420 210 56 70 1015 70 315 d A f A f A f A α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α τ κ τ κ κ τ τ κ κ τ κ τ κ τ τ τ κ τ κ τ κ κ τ κ κ τ τ τ τ κ κ τ κ τ κ τ τ ′ ′ ′ ′ = − + − ′ ′′ − − − + + ′ ′ ′ ′′ ′′ − − − + + ′ ′ ′ − + + + 2 2 2 2 7 3 2 2 2 6 2 2 5 3 45 15 20 6 18 305 30 640 90 70 110 5 15 22 15 110 4 7 4 A f A A A A A Af A Af A A α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α κ τ τ κ τ τ τ τ τ τ κ κ τ τ κ κ τ κ τ κ τ κ κ τ τ κ τ τ τ τ κ τ κ τ τ τ ′ ′′ ′′ ′′ ′ − + + + − ′′ ′ ′ − + − − ′ ₊ ′₊ ′ ₊ ′ + ′ ′ ′ − + − ′′ ′ +

(

+ +

)

(

)

(

)

2 2 3 4 3 108 5 177 7 21 11 5 22 A A Af A Af A α α α α α α α α α α τ κ τ κ τ τ τ τ τ τ ′ + + + − ′ ′ + + + − +

(35)

(

)

(

)

2 9 3 2 2 3 4 14 5 2 2 2 2 8 2 3 4 2 2 7 2 2 630 630 120 120 112 126 56 210 168 378 252 336 70 301 315 518 d A f A f A f A α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α τ τ κ κ τ κ τ τ κ τ κ τ τ κ κ κ τ κ κ τ κ τ κ τ κ κ τ τ κ κ τ τ κ κ κ κ τ κ ′ ′ ′ ′ = − + − ′′ ₋ ₊ ′′ ₋ ′ ₋ ′ + ′ ′ ′′ − − − + ′ ′ ′ − + + +

(

)

(

)

(

)

3 2 2 2 6 2 2 2 3 5 2 2 2 2 4 7 21 7 3 36 45 12 512 18 15 6 20 175 20 44 60 22 21 20 8 4 f A Af A A Af A A Af A A A A Af A α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α κ κ κ τ τ κ κ τ κ τ τ κ τ κ κ κ κ τ κ κ κ κ κ τ κ τ τ κ τ κ τ κ κ κ τ τ ′ ₋ ₊ ₋ ₊ ′ ′ ′ ′′ − − + − + ′ ′′ ′′ ′′ − + + + − ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ + − + + + − + +

(

2 2 3 3

)

45 4A 36A 55 9A 4 α κα + κ τα α + κα′′+ κα + κα − κ + κα′′

(

)

(

)

2 8 4 3 2 2 3 15 4 2 5 3 2 2 7 2 2 2 2 6 2 2 2 210 360 360 210 252 84 36 112 288 336 168 28 56 707 14 133 4 d A f A f A f Af α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α τ κ τ κ κ τ τ κ κ τ κ τ κ τ τ τ κ τ κ τ κ κ τ κ κ τ τ τ τ κ κ τ κ τ κ τ τ ′ ′ ′ ′ = − + − ′ ′′ − − − + − + ′ ′ ′ ′′ ′′ − − + + ′ ′ ′ − − + +

(

)

2 2 2 2 5 3 2 4 2 2 2 2 3 3 (2 6 ) 18 6 15 3 129 12 270 36 44 70 7 6 2 3 22 Af A A Af A A Af A A A A Af A A α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α τ τ τ κ τ τ κ τ τ τ τ τ τ κ κ τ τ κ κ τ κ τ κ τ κ κ τ τ κ τ τ τ τ κ τ κ τ τ τ ′ + − ′ ′′ ′′ ′′ ′ − + + + − + ′′ ′ ′ − + − − ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ + + + + − + − ′′ ′′ +

(

− + 2 2 3

)

52Aτ_α 4Aκ τ_α _α 63κ τ_α _α τ_α + − + −

(

)

(

)

2 7 3 2 2 3 4 16 5 2 2 2 2 3 2 6 4 2 2 5 2 2 2 360 360 45 45 56 84 28 168 84 192 108 168 56 91 189 238 3 d A f A f A f A f α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α τ τ κ κ τ κ τ τ κ τ κ τ τ κ κ κ τ κ κ τ κ τ κ τ κ κ τ τ κ κ τ τ κ κ κ κ τ κ ′ ′ ′ ′ = − + − ′′ ₋ ₊ ′′ ₋ ′ ₋ ′ ₋ + ′ ′ ′′ − − + ′ ′ ′ ′ − + + − − 2 2 4 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 6 18 2 174 3 6 15 63 22 6 30 8 + 4 2 4 5 14 A A Af A A A Af A A A Af A A α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α κ κ τ τ κ κ τ κ τ τ κ τ κ κ κ κ τ κ κ κ κ κ τ κ τ τ κ τ κ τ κ κ κ τ τ κ κ τ κ ′ ′ ′ ′′ − − + − + ′ ′′ ′′ ′′ − + + + − ′ ₋ ′ ₊ ′₊ ′ ′ ′ ′ + − + ′′ +

(

− + + + 3 3

)

11 Aκ_α + κ_α −Aκ +κ_α′′

(36)

(

)

(

)

2 6 4 3 2 2 3 17 4 2 5 3 2 2 5 2 2 2 2 4 2 2 120 135 135 120 108 24 9 56 117 168 84 8 28 301 42 31 10 3 d A f A f A f Af A α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α τ κ τ κ κ τ τ κ κ τ κ τ κ τ τ τ κ τ κ τ κ κ τ κ κ τ τ τ τ κ κ τ κ τ κ τ τ τ ′ ′ ′ ′ = − + − ′ ′′ − − − + − + ′ ′ ′ ′′ ′′ − − + + ′ ′ ′ − − + +

(

−

)

(

)

2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 4 3 6 3 33 2 52 6 10 23 2 A A Af A A Af A A A α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α κ τ κ τ κ τ τ κ τ τ τ τ τ τ κ κ τ τ κ κ τ κ τ κ τ κ κ τ τ κ + ′ ′′ ′′ ′′ ′ − + + + − + ′′ ′ ′ − + − − ′ ′ ′ ′ + + + +

(

)

(

)

2 5 3 2 2 3 4 18 5 2 2 2 2 3 2 4 4 2 2 3 2 2 2 2 135 135 10 10 16 36 8 84 24 63 27 48 28 9 63 62 3 3 d A f A f A f Af α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α τ τ κ κ τ κ τ τ κ τ κ τ τ κ κ κ τ κ κ τ κ τ κ τ κ κ τ τ κ κ τ τ κ κ κ κ τ κ κ ′ ′ ′ ′ = − + − ′′ ₋ ₊ ′′ ₋ ′ ₋ ′ ₋ + ′ ′ ′′ − − + ′ ′ ′ − + + ′ +

(

− −

)

(

)

(

)

2 2 2 3 2 3 6 3 6 7 6 6 2 2 A A A Af A A A α α α α α α α α α α α α α τ κ τ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ ′ ′′ ′′ − + + − ′ ′ + + + −

(

)

(

)

2 4 4 3 2 2 3 19 4 2 5 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 45 30 30 45 27 3 16 28 48 24 8 71 22 3 2 4 d A f A f A f Af A A A α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α τ κ τ κ κ τ τ κ κ τ κ τ κ τ τ τ κ τ κ τ κ κ τ κ κ τ τ τ τ κ κ τ κ τ κ τ τ τ κ τ τ ′ ′ ′ ′ = − + − ′ ′′ − − − + − + ′ ′ ′ ′′ ′′ − − + + ′ ′ ′ − − + ′′ +

(

− + − 3

)

2 3A α + τα′

(

)

(

)

(

)

2 3 3 2 2 3 4 20 5 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 2 2 2 3 2 30 30 2 9 24 3 12 3 6 8 9 7 4 d A f A f A f A α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α τ τ κ κ τ κ τ τ κ τ κ τ τ κ κ κ τ κ κ τ κ τ κ τ κ κ τ τ κ κ κ κ τ τ κ κ τ κ τ κ κ ′ ′ ′ ′ = − + − ′′ ₋ ₊ ′′ ₋ ′ ₋ ′ ₋ + ′ ′ ′′ − − + ′ ′ ′ ′′ − − + + − +

(37)

(

)

(

)

(

)

2 2 4 3 2 2 3 21 2 4 3 2 2 2 2 2 10 3 3 10 3 2 3 6 3 + 4 7 d A f A f A α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α τ κ τ κ κ τ τ κ κ τ κ τ κ κ τ κ τ κ κ τ κ κ τ τ κ τ κ κ τ κ ′ ′ ′ ′ = − + − ′′ ′ ′ ′ ′′ + − + − − − + ′ ₋ ′

eklinde olup burada

2 2 2 h A f h = + . E ise, 4 4 2 6 2 8 2 2 6 4 2 4 6 2 2 8 10 2 8 2 2 6 4 2 4 6 2 2 8 2 9 7 3 5 5 3 7 9 8 10 2 2 4 6 4 4 6 4 2 8 12 8 2 I f h f h f h f h f h f h f f h f h f h f h f h f h f h f h fh h h α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α

κ

τ

τ κ

κ

= + + + + + + + + + + + + + + + + + olmak üzere

(

)

5 2 3 2 2 2 I h E f h = + .

(2.9) e itli inde D=0 yapan sıfırdan farklı sabit

κ

_α ve

τ

_α de erleri yoktur. Böylece u sonucu verebiliriz:

Sonuç 2.3: Sabit olmayan e rilik ve burulmaya sahip bir rektifiyan e rinin küresel izdü üm e risi, küre üzerinde bir helis de ildir.

ii. f, g ve h sıfırdan farklı sabit olma durumu

Bu durumda

α

( )

s e risinin normu sabit ve dolayısıyla

σ

ve ρ de erleri sabit ve

σ =ρ olur. β e risinin Frenet vektörleri

T_β =T_α, N_β =N_α, B_β=B_α ve e rilik ve burulması da α β κ κ ρ = , τ_β τα ρ =