e ssssKsT  136)2()1()(

(1)

Makine Mühendisliği Bölümü

SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL ARASINAV SORULARI 14.11.2014 Süre: 80 dakika

1) Transfer fonksiyonu

 ⁶ ¹³ 

) 2 (

) 1 ) (

(

₂



 

s s

s

s s K

T

olan sistem için,

a) Kutup ve sıfırları karmaşık “s” düzleminde gösteriniz. (7 puan)

b) Giriş sinyalinin frekansı sıfıra doğru azaltıldıkça sistemin kazancı mutlak değerce 2’ye yakınsıyor.

0

K olduğuna göre K kaçtır? (5 puan) c) Sistem kararlı mıdır? (5 puan)

d) Sistemin giriş(u)-çıkış(y) ilişkisini gösteren diferansiyel denklemi yazınız. (8 puan)

2) Aşağıdaki iki sistemden istediğiniz birinin, önce giriş(u)-çıkış(y) ilişkisini gösteren diferansiyel denklemi bulunuz, sonra = () ()⁄ transfer fonksiyonunu çıkartınız. (25 puan)

3) Birinci mertebeden doğrusal zamanla değişmez bir sistemin birim basamak tepkisi

_y _t e

^t

b

4

3

5 )

(  

^

olduğuna göre sistemin transfer fonksiyonunu yazınız (15 puan). Birim basamak tepkisi y_b(t) ’yi çiziniz.

Çizimde ௕(0^ା) ve ௕(∞) değerleri belli olsun (5 puan). Giriş frekansı sonsuza doğru yükseltilirken sistem kazancı kaça yakınsar (5 puan)?

4) Aşağıda verilen sistem K ’nın hangi değer aralığında kararlıdır? (25 puan)

BAŞARILAR … Yard. Doç. Ata SEVİNÇ

(2)

SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL ARASINAV CEVAP ANAHTARI 14.11.2014

1) a) Payın tek kökü, yani bir tane sıfır vardır: z1 . Paydanın ise 3 kökü, yani 3 kutbu vardır: p₁ 2,

2

3 3

,

2 j

p  m . Yanda “s” düzleminde gösterilmiştir.

b) Giriş sinyalinin frekansı  için mutlak değerce kazanç j

s  transfer fonksiyonda yazılıp T( j ) şeklinde bulunur.

0



 _içins0 olacağından sistemin kazancı

 ⁶ ¹³  ²⁶ ²

) 2 (

) 1 lim (

) 0

(

₂

0

 

 



 



K s

s s

s T K

s

ve K _⁰ olduğuna göre K = 52

c) Sistem kararlıdır, çünkü bütün kutuplar negatif reel kısımlıdır, yani sol yarı bölgededir. Sağ yarı bölgede sıfır olmasının kararlılığa zararı yoktur.

d) ( ) 8 25 26

) ) (

( ₃ ₂



 

 s s s

K Ks s

U s s Y

T ^



^s³^⁸^s² ^²⁵^s^²⁶



^Y⁽^s⁾^⁽^Ks^^K⁾^U⁽^s⁾

s çarpanı zaman uzayında türeve karşılık gelir: &y&&(t)8y&&(t)25y&(t)26y(t)Ku&(t)Ku(t)

2) Her türevsel eleman için bir denklem

yazılır. L üzerindeki akıma i dersek:

dt Ldi y

u  i ’den direnç akımını çıkartırsak

C ’nin akımını buluruz:

dt Cdy R

i y  Her iki denklemin de Laplace dönüşümü alınıp düzenlenerek

) ( )

( )

(s Y s sLI s

U   ve 1 ( )

)

( sC Y s

R s

I 



 



 

 bulunur. I(s) ’i diğerinde yerine yazalım:

) ( )

( )

( s²LC Y s

R s sL Y s

U 



 



 



 1 s²LC Y(s) U(s)

R

sL  



 



  



LC s RC s

LC R

LC sL s s G s U

s Y

1 1

1

1 ) 1

) ( (

) (

2

2  







 bulunur^.

Yandaki sistemde r₁₁ r₂₂^ve

2 2 1

1

r r





(



₁ ’in yansıtılmışına



₂ dedik). Buna göre 1. eksendeki u torku, 2. eksende u

r r

1

2 olarak görülür. Diğer yandan,

(3)

SMOK–V–2014–CA–2

2 1 2 1 1

1&& &&

r r J

J  ve ₂

1 2 1 1

1& &

r b r

b 

yazılabilir. Bunlar 1. taraftaki tork değerine maruz kalan bileşenlerdir.

Bunları 2. taraftaki torka maruz kalır gibi

ve ₂ ’ye göre kullanacaksak katsayılarını bir kez daha r₂ r₁ ^ileçarparak kullanmalıyız. Böylece yukarıdaki eşdeğer şekli elde ederiz. Buna göre dinamik denklemi yazarsak

2 2 2 1 1

2 2 1

2 2 2 1

1 2 2 3

2  b  k

r b r u r J r

r J r

J  













 







 















 





 && & Düzenlenip y₂ yazılarak Laplace dönüşümünü alınırsa,

) ( )

(

1 2 2 1

1 2 2 2

2 1 1

2 2 3

2 U s

r s r Y k s b r b r s J r J r

J 











  













 





 















 





 Buradan da transfer fonksiyon şöyle bulunur:

k s b r b r s J r J r J

r s r

G s U

s Y

 















 





 















 









2 1 1

2 2 2

2 1 1

2 2 3 2

1

) 2

) ( (

) (

İstenseydi herşey 1. tarafa yansıtılarak da işlem yapılabilirdi. O zaman payın ve paydanın r₁² r₂² ile çarpılmışı olan, yani yukardakine eşit şu ifade bulunurdu:

 

^k

r s r b r b r s J J r J r

r s r

G



 



















 





 











  



 







2 2

2 1 2

2 2 1 1 2 3 2 2

2 2 1 1

2

) 1

(

3)

T s U s T s s

s s s

Y t

y

b b

e

t

₍ ₎ ₍ ₎ ₍ ₎ ¹

3 4 ) 5

( 4

5 )

(

³

  













^



















3 4 15 5 3 5 4

)

( s

s s

s s s

T

3 ) 15 (



  s s s T

j

s  yazılarak 1

3 lim 15

) (

lim 



 







 s

s s T

j s j

s

Sonsuz yüksek frekans kazancı 1 bulunur.

4) Kutu içini G(s), ve H(s) = 1 alarak

K s s s s

K s

H s G

s s G

T



 

4 5

) ( ) ( 1

) ) (

( ₄ ₃ ₂ bulunur. Kararlılık için

paydanın köklerinin hiçbiri sağ yarı bölgede olmamalı, bunun için de Routh-Hurwitz testinde ilk sütun hep aynı işaretli olmalıdır:

s4 1 1 K 0

s3 5 4 0 0

s2

5 1 5

14  K 0

s1 K 4 25K

5 1

45   0 0

s0 K 0

İlk sütun artıyla başladığı için hep artı olmalıdır. Yani K > 0 ve 4 – 25K > 0 olmalıdır. Yani

25 0 K  4

(4)

5 4 ) 2

( ₂



 

s s

T olan sistem nasıl bir filtreleme yapar (alçak geçiren, yüksek geçiren, band geçiren), neden? Sistem kararlı mıdır? Sistemin giriş(u)-çıkış(y) ilişkisini gösteren diferansiyel denklemi yazınız. (15 puan)

2) Aşağıda doğrusal zamanla değişmez (DZD) bir sistemin blok diyagramı verilmiştir. Her alt sistemin transfer fonksiyonu harflerle gösterilmiştir. Bütün sistemin transfer fonksiyonunu A, B, C, D cinsinden bulunuz. (Kesirli terim olursa pay veya paydasında başka kesir kalmasın). (15 puan)

3) Yandaki ya da aşağıdaki sistemin önce giriş(u)- çıkış(y) ilişkisini gösteren diferansiyel denklemi bulunuz, sonra = () ()⁄ transfer fonksiyonunu çıkartınız. (25 puan)

5 6 ) 2

(



  s s s

T olan sistemin birim basamak tepkisini (y_b(t)) bulunuz ve çiziniz (12 puan). Sistemin alçak frekans (lim → 0) ve yüksek frekans (lim → ∞) kazançlarını bulunuz. Bu kazançların

) 0 (

^

y

b _ve

y

^b

( )

değerleriyle ilişkisini de yazınız. (8 puan) 5) Yandaki sistemin birim basamak tepkisinde maksimum aşma M = %10 ve %2’lik durulma zamanı _ௗ = 5 saniye isteniyor.

Buna göre K ve a ne olmalıdır? Bu durumda yükselme zamanı _௬ , sönüm katsayısı  , tepe zamanı ( _௣) ne olur? (25 puan)

 ) 4 2 (% 

td

d

t

y



  



d

t

p





 



   

n

cos

BAŞARILAR … Yard. Doç. Dr. Ata SEVİNÇ

(5)

1) ( ) 4( ) 5

) 2

( ₂



 



j j

T olup lim ( ) 0

0 





 T j ve lim ( ) 0







 T j ve 0 < < ∞ için T(j)0 olduğu için band geçiren filtre olarak davranır.

) (

) ( 5 4 ) 2

( ₂

s U

s Y s

s s s

T 



  ^



s²^4s^5



Y(s)^2sU(s) ^ _&_y_&₍_t₎_₄_y_&₍_t₎_₅_y₍_t₎_₂_u_&₍_t₎

2) En alttaki birim geribesleme kolu ile B üzerinden geribesleme paraleldir. (1+B) diye negatif geribesleme yönünde birleştirilebilir.

Dolayısıyla transfer fonksiyon: CD

AB A

AD s

U s Y

 

  1 ) (

) (

3) Elektrik devresi:

L1 üzerindeki akıma ⁱ₁ diyelim. _L₁ ve _L₂ üzerindeki gerilimlerin toplamı u olduğu için

dt L dy dt L di

u ₁ ¹  ₂ Ayrıca R üzerindeki akım R

dt L dy



 





2 olduğu için ₁ ² ₁( ) ( ) ²Y(s)

R s sL Y s dt I

dy R y L

i     

Bunu, ilk denklemin Laplace dönüşümünde yerine yazalım:

) ( ) ( ) (

) ( )

( 1

) ( )

( )

( ₁ ₁ ₂ ₁ ² ₂ ¹ ² s² L₁ L₂ s Y s U s

R L s L

Y sL s Y R sL sL

s U s

Y sL s I sL s

U  



 



  



 



 



 









En sağdaki eşitlikten

s L L R s L L

R s

U s Y

) (

2 1 2

2

1  



Mekanik sistem:

1. yol: Herşeyi 1. eksende düşünürsek, J₂_,J _ve

b2 ’yi r₁² r₂² ile, giriş torkunu ise r₁ r₂ ile çarparak yansıtırız:

 

^u

r k r b

r b r J

J r J r

2 1 1 1 2 2 2

2 1 1 1 2 2

2 2 1

1   



 



 

 



 



   && & 

 

^b ^s ^k

r b r s J J r J r

r r s

U s Y s U

s

 



 



 

 



 



  



 



2 2 2

2 1 1 2 2 2

2 2 1 1

2 1 1

) (

) ( ) (

) (

2. yol: Herşeyi 2. eksende düşünürsek, J₁_,k _ve

b1 ’i r₂² r₁² ile çarparak yansıtırız:

u k r b r

b r J r

J J r

r   



 



 

 



 



  

2 2 1

2 2 2 2 2 1 1

2 2 2 2

2 1 1

2

2 && & 

Ayrıca y 



^r₂ ^r₁



^₂olduğundan,



(6)

k r s r b b r s r J J J r r

r r s

U s Y s

U s r

r

2 1

2 2 2 2 1 1

2 2 2 2

2 1 1

2 2

1 2 2

1 2

) (

) ( )

( ) (

 



 



 

 



 



  









(İki çözümün de aynı sonucu verdiğini görünüz.)

4) Birim basamağın Laplace dönüşümü s1 olduğu için

5 )

5 (

6 ) 2

1 ( ) (

 

 

 

 s

b s a s

s s s T s s Yb

5 6 5 0

6 0 2

 



 

a ve 4 5

5 6 ) 5 (

2 







 

b

 , 0

5 4 5 ) 6

(t   ^⁵ t

y

e

^t

b

Alçak frekans kazancı lim ( ) (0) 6 5 ( )

0    

 T j T y^b



Yüksek frekans kazancı

lim

__

T ( j  )  T (  )  2  y

^b

( 0

^

)



5) Kapalı döngü sistemin transfer fonksiyonu

K as s

K as

s K

as s s K

T











 ₂ ₂

2

) (

1 1

) ) (

(

Bunu ₂ ₂

2

2 _n

n

s

s  





diye düşünürüz. Yani K  _n²^ve a2 _.

(Dikkat: Yukarıdaki “s” Laplace dönüşümü değişkenidir. Aşağıdaki ifadelerdeki “s” ise saniyedir.) Durulma zamanından 4 t 4 (5s)0,8s^¹

 d  a2  a1,6s^¹ s

rad s

rad

M d d 1,09

10 , 0 ln

8 ,

ln 0 































 ² ² ² 0,8² 1,09² rad² s²

K n  d K 1,83rad² s²





 rad s rad s

K 1,83 n 1,35  0,81,35

n



  _⁰^,⁵⁹

 



        

 rad 0,938rad

8 180 , 53 8 , 53 cos

59 ,

0 ^o

 

 s

ty

09 , 1

938 , 0



s

ty 2,02 t  s

p 1,09



s tp 2,88

2 CA 2015 V

SMOK    

(7)

) 25 6 )(

1 (

) 3 )(

2 ( ) 5

( 2



 

s s s

T olan sistemin

a) Kutup ve sıfırlarını karmaşık s düzleminde gösteriniz. (6 puan) b) Alçak frekanslar (߱ → 0) için sistem kazancını bulunuz. (3 puan) c) Yüksek frekanslar (߱ → ∞) için sistem kazancını bulunuz. (3 puan) d) Sistem kararlı mıdır? Neden? (3 puan)

1 2 ) 3

(



  s s s

H olan sistemin birim basamak tepkisini (y_b(t)) bulunuz ve çiziniz. (10+5 puan)

3) Yanda doğrusal zamanla değişmez (DZD) bir sistemin blok diyagramı verilmiştir. Her alt sistemin transfer fonksiyonu harflerle gösterilmiştir. Bütün sistemin transfer fonksiyonunu A, B, C, D cinsinden bulunuz. (Kesirli terim olursa pay veya paydasında başka kesir kalmasın). (15 puan)

4) Yandaki iki sistemden yalnız birisinin )

( ) (

s U

s

Y transfer fonksiyonunu bulunuz.

5) Aşağıdaki sistemin birim basamak tepkisinde maksimum aşma M = %8 ve %5’lik durulma zamanı ݐௗ = 6 saniye isteniyor. Buna göre K ve b ne olmalıdır? (15 puan)

) ) (

1 2

(

e

_d

e

M

_ ^ ^ ^^ _ ^ ^ ^

 ) 3 5 (%  t

d

6) Aşağıda verilen sistem K ’nın hangi aralığında kararlıdır? (25 puan)

BAŞARILAR … Yard. Doç. Ata SEVİNÇ

(8)

1) a) Transfer fonksiyonun payının kökleri 2 ve -3 sıfırlardır.

Paydasının kökleri 3 4

2

25 4 6

6 ²

m j

m   

 ve -1 kutuplardır.

b) s j0 için 1,2

5 6 25 1

3 ) 2 ( ) 5 0

(  





  T

c) s j j için T(j) 0

d) Kararlıdır; çünkü bütün kutuplar sol yarı bölgededir.

2) Birim basamağın Laplace dönüşümü 1/s olduğu için

1 )

1 (

2 3 ) 1 ( ) (

 

 

 



 s

b s a s

s s s s H s Yb

2 1

2 3

0



 

 

s

s s

a _,  









2 5 3

1

s s

b s _y _t

e

^t

b 





 2 5 )

(

Diğer yol: ^y_b(^t)^H(0)



^H()^H(0)





^e

^^t^ 25

^e

^^t (Burada -1/τ kutup yani -1 olduğundan τ =1 alındı.)

3) A ve B ikilisi geri beslemeli blok olup bu blok D ile seridir. Bu seri kol da C’ye paraleldir. Dolayısıyla

AB ABC C

C AD D AB A s

U s Y





 

 

1 1

) (

4) Elektrik devresinde y, direnç ve kondansatörün aşağı doğru akımlarının toplamıdır. s domeninde C yerine 1/sC yazarsak:

R sC s U

s Y s

U R sC R

s U sC

s U s

Y 1

) (

) ) (

1 ( )

( ) ( 1

) ) (

(    



 



 







Mekanik sistemde: ^J₁^^&^&₁^^T ^^k^₁ ^ ^J₁^&^y^&^^ky^^u ^



^J₁^s²^^k



^Y⁽^s⁾^^U⁽^s⁾ ^

k s J s U

s Y

 ₂

1

1 )

( ) (

(9)

5) Geribeslemeli sistemin kapalı döngü transfer fonksiyonu

2 2

1 2 ) (

) (

n n

s s

K bs s

K bs

s K

bs s

K s

U s Y









 



 

 

 

Yani _n  K ,  b 2_. 3 6s 0,5s ¹ 2 0,5s ¹ )

5

(%     ^  b  ^

td 



s 1

1 ^ b











1 2

526 , 2 ) 08 . 0 ln(

ln



M  ₂

2 2

646 1 , 526 0 , 2



    



 





2 1

2 0,627 0,5s 0,627 0,797rad s

646 , 1 646 ,

0       n  n    ^   K n

2 2 s rad 636 ,

0

K (Burada eğik yazılan “s” Laplace değişkeni, düz yazılan “s” saniye anlamında kullanıldı.)

6) , ( ) 1

7 4 ) 5

( ₄ ₃ ₂ 



  H s

s s s s

K s

G _. 1G(s)H(s)0  s⁴5s³4s²7sK 0

s4 1 4 K 0

s3 5 7 0 0

s2

5 13 5 7

4  K 0

s1

13 25 91 5 13

7 5K  K



 0 0

s0 K 0

İlk sütunda işaret değişikliği olmamalı ki bütün kökler sol yarı bölgede olsun ve sistem kararlı olsun. Yani hem 0

25

91 K  ^{hem de}K 0 olmalı. Düzenlenirse:

64 , 3

0 K  olmalıdır.

SMOK-V-2017-CA-2

(10)

Yazı, insanın okuması içindir. Okunaklı, yormayan ve anlaşılır ifadelerle yazmanız insana değer verdiğinizi gösterir.

⁽ ⁴ ⁾  ⁴ ¹³ 

) 2 ) (

(

₂



 

s s s

s s K

T

olan sistem için,

a) Kutup ve sıfırları karmaşık “s” düzleminde gösteriniz. (7 puan)

b) Giriş sinyalinin frekansı sıfıra doğru azaltıldıkça sistemin kazancı mutlak değerce 3’e yakınsıyor.

0

K olduğuna göre K kaçtır? (5 puan) c) Sistem kararlı mıdır? (5 puan)

d) Sistemin giriş(u)-çıkış(y) ilişkisini gösteren diferansiyel denklemi yazınız. (8 puan)

2) Aşağıdaki iki sistemden istediğiniz birinin, = () ()⁄ transfer fonksiyonunu ve giriş(u)-çıkış(y) ilişkisini gösteren diferansiyel denklemi bulunuz. (25 puan)

3 4 ) 2

(



  s

s s

H

olan sistemin birim basamak tepkisi y_b(t) ’yi yazınız ve çiziniz. Çizimde

௕(0^ା) ve ௕(∞) değerleri belli olsun. Giriş frekansı sonsuza doğru yükseltilirken sistem kazancı kaça yakınsar?

(25 puan)

4) Yandaki sistemin birim basamak tepkisinde maksimum aşma M = %8 ve %2’lik durulma zamanı ௗ = 2 saniye isteniyor.

Buna göre K ve a ne olmalıdır? Bu durumda yükselme zamanı ௬ , sönüm katsayısı  , tepe zamanı ( ௣) ne olur? (25 puan)

 ) 4 2 (% 

td

d

t

y



  



d

t

p





 



   

n

cos

BAŞARILAR …

(11)

1) a) Payın tek kökü, yani bir tane sıfır vardır: z2 . Paydanın ise 3 kökü, yani 3 kutbu vardır: p1 4,

3

3 2

,

2 j

p  m . Yanda “s” düzleminde gösterilmiştir.

b) Giriş sinyalinin frekansı  için mutlak değerce kazanç j

s  transfer fonksiyonda yazılıp T( j ) şeklinde bulunur.

0



 _içins0 olacağından sistemin kazancı

  ⁵² ³

2 13

4 )

4 (

) 2 lim (

) 0

(

₂

0

 

 



 



K s

s s

s T K

s

ve K _⁰ olduğuna göre K = 78

c) Sistem kararlıdır, çünkü bütün kutuplar negatif reel kısımlıdır, yani sol yarı bölgededir. Sağ yarı bölgede sıfır olmasının kararlılığa zararı yoktur.

d) 8 29 52

2 )

( ) ) (

( ₃ ₂



 

 s s s

K Ks s

U s Y s

T ^



^s³^⁸^s²^²⁹^s^⁵²



^Y⁽^s⁾^⁽^Ks^²^K⁾^U⁽^s⁾

s çarpanı zaman uzayında türeve karşılık gelir: &y&&(t)8&y&(t)29y&(t)52y(t)Ku&(t)2Ku(t)

2) Mekanik sistemde: ^J&&^^T^^k ^^b& ^ ^J&^y&^^b^y&^^ky^^u ^



^Js²^^bs^^k



^Y⁽^s⁾^^U⁽^s⁾ ^

k bs Js s U

s Y



 ₂ 1 )

( ) (

Elektrik devresinde ise paralel kolun gerilimi Y(s) olup gerilim bölücüden Y(s)=U(s)⸱(ortadaki paralel kolun empedansı) / (toplam empedans)

Ortadaki paralel kolun empedansı

s C R

R R

sC sC

R

2 2

2

2 2

1 1



 olduğundan,



^R^C ^s



s C R s C R s C R

s C R s

U s s Y

U R s C R R sC

s C R R s

Y

2 2 1

1 1 2 2 2

1 2

1 2 2 2 1

2 2 2

1 1

) (

) ) (

( 1

1 ) 1 (















 

RRCC y



RC RC RC



y y RCu

s C R C R C R s C C R R

s C R s

U s

Y ₁ ₂ ₁ ₂&& ₁ ₁ ₂ ₁ ₂ ₂ & ₂ ₁&

2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1

1 2

1 )

( )

(      





3) ௕0^ା = ∞ = 2 , ௕+∞ = 0 = 4 3⁄ , kutup = -3

→ ௕ = ^௕+∞ + ^௕0^ା − ^௕+∞ ^ିଷ௧ = ^ସ

ଷ+2 −^ସ_ଷ ^ିଷ௧

௕ =^ସାଶ௘_ଷ^షయ೟

(12)

Veya

3 3 2 3 4 1 3

4 ) 2

(

 



 

 

s s

s s s

Yb ’ün ters Laplace

dönüşümüyle de ௕ bulunabilirdi. Giriş frekansı sonsuza doğru yükseltilirken sistem kazancı =

∞ = 2 olur.

4) Geribeslemeli sistemin kapalı döngü transfer fonksiyonu

2 2

1 2 ) (

) (

n n

s s

K as s

K as

s K

as s

K s

U s Y









 



 

 

 

Yani _n  K ,  a 2_. 4 2s 2s ¹ 2 2s ¹

) 2

(%     ^  a  ^

td 



s 1

4 ^ a











1 2

526 , 2 ) 08 . 0 ln(

ln



M  ₂

2 2

646 1 , 526 0 , 2



    



 





2 1

2 0,627 2s 0,627 3,19rad s

646 , 1 646 ,

0       n  n    ^   K n

2 2 s rad 2 ,

10 K

rad/s 2,49 rad/s 627 , 0 1 19 , 3

1 ²   ² 

 

_d _n

rad 894 , 0 2 , 51 627

, 0

cos    

   ^o



௬ =^{గି଴,଼ଽସ}

ଶ,ସଽ s = 0,90 s ௣ = ^గ

ଶ,ସଽs = 1,26 s

(Burada eğik yazılan “s” Laplace değişkeni, düz yazılan “s” saniye anlamında kullanıldı.)

e ssssKsT  136)2()1()(

 6 13 

) 2 (

) 1 ) (

(







 

s s

s

s s K

T

y t e

4

5 )

(  

 6 13  26 2

) 2 (

) 1 lim (

) 0

(

 

 





 

K s

s s

s T K













 

T s U s T s s

s s s

Y t

y

e

( ) ( ) ( ) 1

3 4 ) 5

( 4

5 )

(

  













) 0 (

y

y

( )

t



  



t





 



   

cos





 

 







e

lim

T ( j  )  T (  )  2  y

( 0

 ⁶ ¹³ 

_y _t e

 ⁶ ¹³  ²⁶ ²

₍ ₎ ₍ ₎ ₍ ₎ ¹

^e

^e

⁽ ⁴ ⁾  ⁴ ¹³ 

  ⁵² ³