Kurşun-208 çekirdeğinin nötron ve proton yoğunluğuk dağılımının incelenmesi

KURŞUN-208 ÇEKİRDEĞİNİN NÖTRON VE PROTON YOĞUNLUK DAĞILIMLARININ İNCELENMESİ

Melek GÖKBULUT Y.Lisans Tezi Fizik Anabilim Dalı Yrd. Doç. Dr. Erhan ESER

2012

YÜKSEK LİSANS TEZİ

KURŞUN-208 ÇEKİRDEĞİNİN NÖTRON VE PROTON

YOĞUNLUK DAĞILIMLARININ İNCELENMESİ

Melek GÖKBULUT

TOKAT 2012

Başkan: Doç. Dr. Mustafa Hicabi BÖLÜKDEMİR

Üye: Yrd. Doç. Dr. Erhan ESER

kurallarına uyulduğunu, başkalarının eserlerinden yararlanılması durumlarında bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunulduğunu, tezin içerdiği yenilik ve sonuçların başka bir yerden alınmadığını, kullanılan verilerde her hangi bir tahrifat yapılmadığını, tezin her hangi bir kısmının bu üniversite veya başka bir üniversitedeki başka bir tez çalışması olarak sunulmadığını beyan ederim.

i ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

KURŞUN-208 ÇEKİRDEĞİNİN NÖTRON VE PROTON YOĞUNLUK DAĞILIMLARININ İNCELENMESİ

Melek GÖKBULUT Gaziosmanpaşa Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı

Danışman: Yrd. Doç. Dr. Erhan ESER

Bu çalışmada, Thomas–Fermi yoğunluk ifadesi kullanılarak çift sihirli sayıya sahip Pb

208

82 çekirdeğinde nötron ve proton yoğunluk dağılımını hesaplamak için basit analitik bir ifade elde edilmiştir. Hesaplamalarda Fermi integrali için Guseinov ve Mamedov tarafından elde edilen farklı bir çözüm yöntemi kullanılmıştır. Bu analitik ifade kullanılarak Mathematica 5.0 programlama dilinde nötron ve proton yoğunluk dağılımlarının programı yapılarak 208 Pb

82 çekirdeğinin farklı yarıçap değerleri için sonuçlar alınmıştır. Elde edilen sonuçlar diğer teorik ve deneysel sonuçlarla karşılaştırılarak nötron ve proton yoğunluk dağılımları için kullanılan ifade modifiye edilmiştir. Elde edilen sonuçların literatürdeki sonuçlarla oldukça uyum içerisinde olduğu görülmüştür.

2012, 50 sayfa

Anahtar Kelimeler:208 Pb

82 çekirdeği, Nötron yoğunluğu, Proton yoğunluğu, Fermi integrali,

ii ABSTRACT M. Sc. Thesis

INVESTIGATION OF NEUTRON AND PROTON DENSITIES DISTRUBITIONS OF LEAD-208 NUCLEUS

Melek GÖKBULUT

Gaziosmanpaşa University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Physics

Supervisor: Asst. Prof. Dr. Erhan ESER

In this study, it was obtained a simple analytical expression to calculate the neutron and proton density distributions in 208 _Pb

82 nucleus that have double magic number using the expression of the density of Thomas-Fermi. For Fermi integral in the calculation, it is used a different solution method which obtained by Guseinov and Mamedov. On the basis of these analytical expressions a program for the neutron and proton density distributions has been constructed by using Mathematica 5.0 mathematical software, and the results have been taken for the different radius of 208 Pb

82 nucleus. The expression used for the neutron and proton density distributions have been modified to fit into other experimental and theoretical results with the obtained results. The results have been seen well enough agreement with those of in the literature.

2012, 50 pages

Keywords: 208 Pb

iii ÖNSÖZ

Bu tezin hazırlanmasında ilgi ve desteğini esirgemeyen, çalışmanın her türlü aşamasında karşılaştığım zorluklarda bana yol gösteren çok değerli tez hocam Yrd. Doç. Dr. Erhan ESER’e teşekkür ederim.

Bu tezin belirli aşamalarında çalışmalarından yararlandığım hem lisans hem de yüksek lisans öğrenim döneminde üzerimdeki hakkı hiç ödenmeyecek olan sevgili hocam Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU’na ve bilgi ve görüşleriyle bu çalışmaya katkıda bulunan Ögr. Gör. Hüseyin KOÇ’a teşekkür ederim.

Ayrıca bana sabır gösterip maddi ve manevi her zaman yanımda olan eşime ve aileme teşekkür etmeyi bir borç bilirim.

Melek GÖKBULUT Ağustos–2012

iv İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET……… _i ABSTRACT………... _ii ÖNSÖZ………... _iii İÇİNDEKİLER……… _iv SİMGE ve KISALTMALAR DİZİNİ………….……….. _v ŞEKİLLER DİZİNİ……… _vi 1. GİRİŞ……… 1 2. LİTERATÜR ÖZETİ………... 3

2.1 Bazı Temel Kavramlar………... 3

2.1.1 Çekirdeğin Yapısı ve Kütlesi………... 3

2.1.2 Çekirdek Yarıçapı ………... 4

2.1.3 Spin ve Parite………... 6

2.1.4 İzospin……….. 7

2.1.5 Nükleer Kuvvet……… 8

2.1.6 Nükleer Momentler……….. 10

2.1.6.1 Manyetik Dipol Moment………... 11

2.1.6.2 Elektrik Kuadrupol Moment………... 13

2.2 Nükleer Yapı Modelleri……… 15

2.2.1 Sıvı Damla Modeli………... 16

2.2.2 Fermi Gaz Modeli……….. 20

2.2.3 Shell (Kabuk) Modeli………. 23

2.3 Çekirdekte Nötron ve Proton Yoğunluğu………. ₂₉

3. MATERYAL ve METOT………... 36

3.1 Nötron ve Proton Yoğunluklarının Hesaplanması……… 36

4. BULGULAR……… 41

5. SONUÇ ve TARTIŞMA ………. 44

KAYNAKLAR………. 46

v SİMGE ve KISALTMALAR DİZİNİ Simgeler Açıklama A Kütle Numarası Z Proton Sayısı N Nötron Sayısı Protonun Kütlesi Nötronun Kütlesi Mezon Kütlesi Ortalama Yarıçap Kimyasal Potansiyel Elektrik Yükü Fermi Enerjisi

∗ _{Nükleonun Etkin Kütlesi}

Sıcaklık

( ) Binomial Katsayısı Planck Sabiti

( ) Gama Fonksiyonu

( ) İncomplement(tamamlanmamış) Gama Fonksiyonu ( ) Fermi İntegrali

Spin Orbit Çifti Kuvveti

KISALTMALAR DİZİNİ

MeV Mega elektron volt

fm Femtometre

vi

ŞEKİLLER DİZİNİ

Sayfa Şekil 2.1 _{Çekirdek yük yoğunluğunun yarıçapa bağlı değişimi………... 5} Şekil 2.2 _{Nükleon-nükleon potansiyeli……… 8} Şekil 2.3 (a) Çekirdeğin merkezine yerleştirilmiş koordinat sistemindeki

konum vektörleri (b) Deforme çekirdek için toplam açısal

momentum……… 13

Şekil 2.4 Yarı deneysel bağlanma enerjisindeki terimlerin kütle numarasıyla

değişimi……… 19

Şekil 2.5 Fermi gaz modelinde proton ve nötronlar için alınan potansiyel

kuyu şekli……….. 21 Şekil 2.6 _{Osilatör ve sonsuz kuyu potansiyel kuyu şekillileri……….. 25} Şekil 2.7 Sonsuz kuyu ve harmonik salınıcı potansiyelinden elde edilen

enerji düzeyleri………. 26

Şekil 2.8 Kabuk modeli potansiyel şekli………. ₂₇ Şekil 2.9 Spin-yörünge etkileşmesi dahil edilerek hesaplanan enerji

seviyeleri……….. 28

Şekil 4.1 _{çekirdeğinin nötron yoğunluk dağılımı ……… 41} Şekil 4.2 çekirdeğinin proton yoğunluk dağılımı ……… ₄₂ Şekil 4.3 _{çekirdeğinde nötron ve proton yoğunluk dağılımı………… 43}

Çekirdekte pozitif yük dağılımının ilk kanıtları Ruterford’un alfa parçacıklarının altın levhadan saçılma deneyleri ile ortaya çıkmıştır. Daha sonraları 1932’de Chadwic tarafından çekirdek içinde ikinci tür bir parçacık olan nötronun keşfedilmesiyle çekirdeğin yaklaşık olarak aynı kütleye sahip pozitif yüklü protonlardan ve yüksüz olan nötronlardan oluşan bir kuantum sistemi olduğu anlaşılmıştır. Çekirdekte nötron ve proton yoğunluk dağılımının detaylarının incelenmesi esasına dayanan çalışmalar nükleer fiziğin önemli uğraş alanlarından birisidir (Ford ve Hill, 1955; Berezhnoy, 2005).

Çekirdekte nötron ve proton yoğunluk dağılımları nükleer özellikleri anlamak için temel öneme sahiptir ve nükleer yapıyı tasvir etmek için kullanılır. Yoğunluk doğrudan atom çekirdeğinin boyutunun derinlemesine araştırılmasıdır ve nükleer reaksiyonların tesir kesitlerinde önemli rol oynar. Nükleer yoğunluk için cebirsel bir form özellikle nükleer saçılma ve reaksiyon süreçlerindeki analitik çalışmalar için önemlidir (Gambhir ve ark., 1989; Lalazissis ve ark., 1997a; Pei ve ark., 2005; Chu ve ark., 2010).

Çekirdek içinde proton dağılımı elektron çekirdek saçılması gibi elektromanyetik etkileşimlerden ölçülen yük dağılımından belirlenir ve proton yoğunluk dağılımının fiziksel anlamı yük yoğunluğu dağılımı ile ifade edilir (Richter ve Brown; 2003; Centelles ark., 2010).

Çekirdek içinde nötronların dağılımı elektromanyetik etkileşmelere duyarsızdır ve nötron dağılımı hakkında bilgi edinmek için yeterli değildir (Patterson ve Peterson, 2003; Schmidt ve ark., 1999). Nötron dağılımını araştırmak için proton, pion ve alfa gibi güçlü etkileşim araştırmalarına ihtiyaç duyulur. Ancak güçlü etkileşim içeren hadronik çalışmalar nükleon-nükleon etkileşim mekanizması hakkındaki bilgi eksikliğinden dolayı reaksiyon mekanizmasında belirsizlikler sergiler ve bu çalışmalarla belirlenen nötron yoğunluk dağılımları model bağımlıdır. Bu nedenle çekirdekte nötron

dağılımı hakkındaki bilgiler yetersiz ve daha az güvenilirdir (Lalazissis ve ark., 1997a; Centelles ve ark., 2010; Zenihiro ve ark., 2010; Warda ve ark., 2010).

Ayrıca paritenin korunmadığı çekirdek elektron saçılması deneysel çalışmaları da çekirdekte nötron yoğunluk dağılımını incelemek için kullanılmaktadır. Bu deneysel çalışma ile modelden bağımsız olarak nötron yoğunlukları incelenebilmektedir. (Roca-Maza ve ark., 2011; Vretenar ve ark., 2000, Horowitz ve ark., 2001).

Çeşitli teorik modellerle nükleer yoğunlukların hesaplanması nükleer fizik alanında yapılan çalışmaların önemli bir kesitini oluşturur. Ortalama alan teorileri, Shell model yaklaşımları, Relativistik olmayan Skyrme etkileşimli Hartree-Fock yaklaşımları, Relativistik Hartree-Fock Bogoliubov yaklaşımları, Bruckner-Hartree-Fock teknikleri bu çalışmaların tipik bir örneğini oluşturur (Ray ve Hodgson, 1979; Gambhir ve ark., 2001; Alonso ve Sammarruca, 2003; Tel ve ark., 2008; Sharma ve ark., 2011).

Nükleon yoğunluk dağılımları genel olarak, Fourier-Bessel serileri, iki ve üç parametreli Fermi ve Gaussian dağılımları ve Harmonik osilatör dağılımı ile ifade edilir (Lalazissis ve ark., 1997a; Patterson ve Peterson, 2003).

Bu çalışmada Shelll model yaklaşımı içinde Thomas-Fermi yoğunluk ifadesi kullanılarak çift sihirli sayıya sahip çekirdeğinde nötron ve proton yoğunluk dağılımı incelenmiştir. Yoğunluk ifadesinde yer alan Fermi integrali diğer çözüm yöntemlerinden farklı bir çözüm yöntemi kullanılarak hesaplanmıştır (Guseinov ve Mamedov, 2010). Elde edilen sonuçlar diğer teorik ve deneysel sonuçlarla karşılaştırılarak nötron ve proton yoğunluk dağılımları için kullanılan ifade modifiye edilmiştir.

2. LİTERATÜR ÖZETİ

2.1 Bazı Temel Kavramlar

2.1.1 Çekirdeğin Yapısı ve Kütlesi

Atom çekirdeği nötronlardan ve protonlardan oluşan bir kuantum sistemidir. Rutherford ince altın metal levhadan alfa parçacıklarının saçılması deneyleri sonucunda yeterince yüksek enerjili pozitif yüklü alfa parçacıklarının, atom içinde son derece küçük, ağır ve yüklü bir şeye çarpmasıyla geri saçılabileceğini savunmuş ve biyolojideki hücre çekirdeğine benzer biçimde “ atom çekirdeği” kavramını ortaya atmıştır (Berezhnoy, 2005).

Daha sonra, nitrojen gazıyla alfa parçacıklarının etkileşimini inceleyen Rutherford detektörlerde hidrojene benzeyen bir parçacığı fark etmiş ve hidrojen çekirdeğinin temel bir parçacık olduğunu ileri sürerek, bu parçacığa Yunancada ilk anlamına gelen “proton” adını vermiştir. Nötr bir atomun çekirdeğindeki proton sayısı etrafındaki elektron sayısıyla aynı olduğu için protonun, elektronun negatif yüküyle aynı büyüklükte pozitif yük taşıdığı bulunmuştur. Buradan her bir atomun pozitif yüklü merkezi bir çekirdeğe sahip olduğu anlaşılmıştır (Jevremovic, 2005).

1932 yılında Chadwick atom çekirdeğinde ikinci bir tür parçacık olduğunu keşfetmiş ve bu parçacığa nötron adını vermiştir. Chadwick tarafından nötronun keşfedilmesinden sonra, Heisenberg ve ondan bağımsız olarak Ivanenko tarafından atom çekirdeği kuramı tamamlanmıştır. Buna göre atom çekirdeği protonlardan ve nötronlardan oluşur ve protonlar ve nötronlar her ikisi birden nükleon olarak adlandırılır (Berezhnoy, 2005).

Atomun çekirdeği içindeki toplam proton sayısına atom numarası adı verilir ve ile gösterilir. Çekirdekteki nötron sayısı ise ile gösterilir. Çekirdeğin kütle numarası, toplam nükleon sayısını ifade eder. Buradan bir atomun kütle numarası aşağıdaki gibi ifade edilir.

Bir çekirdeği belirleyen , , sayılarıyla bir elementin kimyasal sembolü şeklinde gösterilir. Nükleer kütleler atomik kütle birimi cinsinden ölçülür, kısaca “akb” ya da “u” olarak gösterilir. Atomik kütle birimi nötr bir karbon atomunun 12 de biri

      12 1 olarak tanımlanır. 1akb=1u=1.66×10-24g=931,5 MeV c⁄ 2 (2.2)

Proton ve nötronun kütlesi u cinsinden,

m_p=1,00759u ve m_n=1,00898u (2.3)

olarak elde edilir. Atom numarası aynı ( ), kütle numarası ( ) farklı çekirdeklere izotop, nötron sayısı ( ) aynı atom numarası ( ) farklı çekirdeklere izoton, kütle numarası aynı çekirdeklere ise izobar çekirdekler adı verilir (Boztosun, 2005; Taylor ve ark., 2008).

2.1.2 Çekirdek Yarıçapı

Çekirdek yarıçapı ve büyüklüğü, atomdaki gibi keskin sınırları olan ve yarıçapı tam olarak tanımlanabilen küreler olarak temsil edilemezler. Çekirdeğin biçimi, merkezi yoğunluğun yarıya düştüğü ortalama yarıçap ve merkezi yoğunluğun maksimum değerinden minimum değere düştüğü yüzey kalınlığı ile karakterize edilir (Krane, 2006). Çekirdeğin büyüklüğü birkaç fermi (1fm=10-15m) mertebesinde olup atomdan yaklaşık olarak 105 kez daha küçük bir yapıya sahiptir.

Çekirdeğin özelliklerini belirlemede kullanılan elektron saçılma deneyleri sonucu elde edilen nükleon yoğunluk dağılımı Şekil 2.1’deki gibidir. Şekilden görüldüğü gibi nükleer madde yoğunluğu ile artmaktadır. Ancak büyük değerleri için merkezi yük yoğunluğunun tüm çekirdekler için yaklaşık olarak 0.17 nükleon. fm-3  gibi bir sınır ₀ değeri eğiliminde olduğu görülür. Nükleer madde yoğunluğu olarak bilinen  sınır ₀

değerinin varlığı çok önemli bir sonuçtur. Küresel çekirdekler için yaklaşık olarak, A R3 ₀  ) 3 4

(   dır. ₀ 0.17nükleon.fm-3değeri yerine yazılarak çekirdeğin yarıçapı,

= (2.4)

şeklinde elde edilir. Burada bir sabit olup yaklaşık olarak değeri 1,21 fm dir. Sonuç olarak, çekirdeğin yarıçapı R, _A13 _{ile orantılıdır (Cottingham ve Greenwood, 2004).}

Çekirdeğin parçacık yoğunluğu çekirdek boyutundan bağımsız hemen hemen sabittir (Walecka, 2004). Şekil 2.1’den görüldüğü gibi nükleon yoğunluğu, nükleer potansiyele benzer biçimde kısa mesafe boyunca oldukça sabit daha sonra hızlı bir şekilde sıfıra gitme eğilimi gösterir (Krane, 2006).

Şekil 2.1. Çekirdek yük yoğunluğunun yarıçapa bağlı değişimi (Cottingham ve Greenwood, 2004)

2.1.3 Spin ve Parite

Protonların ve nötronların her ikisi de ℏ spin açısal momentumuna sahiptir. Bununla birlikte, atomdaki elektronlar gibi, çekirdek içindeki nükleonlarda orbital açısal momentuma sahiptir. Orbital açısal momentumun ve spin açısal momentumun vektörel olarak toplamı, çekirdeğin toplam açısal momentumunu verir. Bu toplam açısal momentuma nükleer spin adı verilir ve ile gösterilir. Nükleer spin kuantum mekaniksel momentum vektörlerinin tüm özelliklerine sahiptir (Das ve Ferbel, 2003).

Açısal momentum ile ilgili birçok uygulamada çekirdek, açısal momentumuna sahip tek bir parçacık gibi davranır. Bu nedenle spini ve buna karşılık gelen spin kuantum sayısı, nükleer durumları tasvir etmek için kullanılır. Sık sık karşılaşılan bir durum, tek bir değerlik parçacığının nükleer özelliklerinin tümünü belirtmesidir. Bu durumda = dir. İki değerlik parçacığının göz önünde bulundurulduğu durumlarda = + olur. Bazı durumlarda tek parçacık ve nükleonların geri kalan kısmının oluşturduğu kor, momentuma katkıda bulunabilir. Bu durumda = ç + şeklinde ifade edilir.

Nükleer spin tam sayı ve yarım sayı değerleri alabilir. Tek ’lı çekirdekler yarım sayılı spinlere, çift ’lı çekirdekler tam sayılı sipinlere sahiptir. Çift-çift çekirdeklerin taban durumundaki spinleri sıfırdır (Krane, 2006).

Nükleer spinin yanı sıra parite de nükleer durumları tanımlamak için kullanılır ve ile gösterilir. Parite, nükleonların uzaysal koordinatlarının işareti değiştiğinde toplam dalga fonksiyonlarının bileşenlerinin işaretini belirtir (Basdevant ve ark., 2005). Tek parçacık dalga fonksiyonunun açısal kısmı parite dönüşümü altında aşağıdaki gibi ifade edilir.

) , ( ) 1 ( ) , (       m m Y PY   (2.5)

Böylece tek nükleonlu bir durumun paritesi açısal momentum kuantum sayısına bağlı olarak (1)ile belirlenir (Martin, 2006).

Parite çift (+) ve tek (-) değerler alabilir. Bir nükleonun veya bir çekirdeğin dalga fonksiyonu koordinatların işareti değiştiğinde dalga fonksiyonunun işareti değişmiyorsa çift pariteli, koordinatların işareti değiştiğinde dalga fonksiyonunun işareti değişiyorsa tek paritelidir. Eğer her nükleonun dalga fonksiyonunu bilinirse, nükleonun her birinin paritesi birbiriyle çarpılarak = ∙ ⋯ nükleer parite belirlenebilir (Krane, 2006).

2.1.4 İzospin

Protonlar ve nötronlar hemen hemen aynı kütleye sahip olmalarının yanında nükleer reaksiyonlarda çok kapsamlı bir simetri gösterirler. Nükleer kuvvetlerin yükten bağımsız olması, birçok örnekte nötronlar ve protonlar arasındaki formalizmde ayırım yapılmasının gerekli olmadığı anlamına gelir. Nötronun 1932’de keşfedilmesinden hemen sonra Heisenberg nötronların ve protonların iki farklı yüke sahip aynı parçacık gibi göz önünde bulundurulabileceğini önermiştir. Buna göre nötron ve proton nükleon denilen parçacığın iki farklı durumu olarak ele alınır. Bu iki durumu ayırt etmek için Heisenberg izospin denilen ve ile gösterilen bir kavramı ortaya atmıştır. Protonlar için, _{= − 1 2 ; nötronlar için, = +}1 _{2 dir.}

Çekirdeğin toplam izospini ise nükleonların izospinlerinin toplamı olarak ifade edilir:

= ( − )

İzospin bozunma ve reaksiyon olasılıklarının ifade edilmesinde, bir reaksiyonun izinli olup olmadığının belirlenmesinde önemli bir rol oynamaktadır (Brussaard ve Glaudemans, 1977; Krane, 2006).

2.1.5. Nükleer Kuvvet

Çekirdeğin özellikleri, çekirdeği oluşturan nötronlar ve protonlar arasında etkin olan kuvvetlerin belirlenmesiyle açıklanabilir. Bu kuvvet son derece karışıktır ve bu kuvvetin açık bir formunu elde etmek oldukça zordur (Lilley, 2001).

Çekirdek içinde Gravitasyonel kuvvet, protonlar arasındaki itici elektrostatik kuvvetle karşılaştırıldığında çok küçüktür ve çekirdek içinde sadece Gravitasyonel ve elektrostatik kuvvetlerin bulunması durumunda, protonlardan ve nötronlardan oluşan kararlı bir yapının olamayacağı ortaya çıkmıştır (Jevremovic, 2005).

Çekirdeği bir arada tutan kuvvete güçlü nükleer kuvvet adı verilir ve şu anda bilinen dört temel kuvvet arasında en güçlü olanıdır. İki parçacık arasındaki herhangi bir etkileşimin kuantum teorisi, bazı diğer parçacıkların değiş tokuş edilmesi üzerine dayanmaktadır. Nükleer kuvvetlerde nükleonlar arasındaki kuvveti taşıyan parçacıklara mezon adı verilir ve bu teori ilk olarak 1935’de Japon fizikçi Yukawa tarafından ortaya atılmıştır (Berezhnoy, 2005).

Mikroskobik sistemlerin iç dinamikleri kuvvetler cinsinden direkt olarak yazılamaz fakat bir potansiyelden türetilebilir. Dolayısıyla nükleer kuvvetleri anlamak için yazılan nükleer potansiyelin özellikleri önemlidir. Nükleon nükleon saçılma deneylerinden elde edilen nükleon potansiyel enerji grafiği Şekil 2.2 de gösterilmiştir.

Nükleon-nükleon potansiyeli, potansiyel kuyu ile temsil edilir. Nükleer çekim kuvveti önce artmakta fakat belirli bir mesafeden sonra azalmaktadır. İtici ve çekici bileşenlerin eşit ve zıt olduğu nokta minimum notasıdır ve bu denge konumunda çekirdek içindeki her bir nükleon komşularıyla belli bir mesafeyi koruma eğilimi gösterir. Bu aynı zamanda nükleer kuvvetin doygunluk özelliğine sahip olduğunu gösterir. Çekirdek içindeki bir nükleon diğer tüm nükleonlarla değil sadece komşu nükleonlarla etkileşir. Bir nükleonun sadece komşu nükleonlarla etkileşmesinden dolayı bir nükleonun bağlanma enerjisi, kütle numarasından bağımsız olarak bir doyma değerine ulaşır. Bunu gösteren diğer bir kanıt çekirdek içindeki nükleer madde yoğunluğunun yaklaşık olarak sabit olması ve aşağı yukarı ≥ 20 için her bir nükleon başına bağlanma enerjisindeki değişimin oldukça küçük olmasıdır (Lilley, 2001).

Çok daha küçük mesafelerde 15

r0.45 10  m nükleonlar arasındaki etkileşim kuvveti itici özelliğe sahiptir. Çoğunlukla çekici özelliğe sahip olan nükleer kuvvetin çok küçük mesafelerde itici özelliğe sahip olan bir kuvvete dönüşmesi çekirdeğin kendi üzerine çökmesine engel olmaktadır. Nükleer kuvvetlerin etki mesafesi

c m r_n    ile belirlenir ve burada mezon (pion) kütlesi konularak r_n 1.41015m bulunmuştur. Buradan nükleer kuvvetin çok kısa bir menzile sahip olduğu ortaya çıkmıştır. Nükleer kuvvetin tahmini menzili çekirdek boyutuyla sınırlıdır (Das ve Ferbel, 2003; Berezhnoy, 2005).

Nükleer kuvvetin diğer bir özelliği yük simetrisine sahip olmasıdır, bu durumda iki nötron arasındaki etkileşim kuvveti aynı durumdaki iki proton arasındaki etkileşim kuvvetiyle aynıdır. Çekirdek kuvvetinin yükten bağımsız olduğunun deneysel kanıtları nükleon-nükleon saçılma deneylerinden elde edilir. Diğer bir kanıt ise izobar çekirdeklerin enerji düzeylerinin incelenmesidir. Çok küçük farklar dışında iki izobar çekirdeğin enerji düzeyleri neredeyse özdeştir. Bu çekirdek kuvvetinin nötron ve protonlar için aynı olduğuna dair önemli bir delildir (Taylor ve ark., 2008).

Nükleer kuvvet aynı zamanda, etkileşen parçacıkların elektrik yükünden bağımsızdır; yani iki proton, iki nötron ve bir proton bir nötron arasındaki etkileşim kuvveti hemen hemen aynıdır (Berezhnoy, 2005). Ancak bir proton ve bir nötronun bağlı bulunduğu

döteron çekirdeği göz önünde bulundurulduğunda, doğada iki proton ya da iki nötron bağlı durumunun bulunmaması çekirdek içinde bir proton ve bir nötron arasındaki kuvvetin benzer iki nükleon arasındaki kuvvetten ortalama olarak daha büyük olduğunu gösterir. Çekirdeklerin eşit sayıda nötron ve proton sayısına sahip olma eğilimleri bu özellikten kaynaklanır (Lilley, 2001; Taylor ve ark., 2008).

Bununla birlikte nükleonların 1 2 spinli parçacıklar olduğu ve Pauli dışarlama ilkesine göre aynı uzaysal durumlarda bulunabilecekleri göz ardı edilmemelidir. İki nötron veya iki proton aynı uzaysal durumda ancak birinin spini aşağı yönde diğerinin spini de yukarı yönde olduğu zaman bulunabilir. İki proton veya iki nötronun en düşük taban durumunda net spinleri ( S=0) sıfırdır. Bir nötron artı bir protondan oluşan bir sistemde böyle bir sınırlama yoktur. Onların spinleri paralel (S=1) ya da anti paralel (S=0) olabilir. Döteron çekirdeğinin gözlenen spini birdir ve bu durum nötron proton çifti arasındaki kuvvetin S=1 durumunda daha güçlü olduğunu ortaya çıkarmıştır. İki nükleon arasındaki etkileşim kuvvetinin S=0 ve S=1 durumlarında farklı olması nükleer kuvvetin spine bağımlı olduğunu gösterir. Burada ayrıca; iki nükleonun



S toplam spin açısal momentum ve



L orbital açısal momentum yönelimlerine bağlı olarak nükleonlar arasındaki etkileşim kuvvetine bir katkı gelir. Bu spin-orbit kuvveti olarak adlandırılır ve

 

S

L . skaler çarpımına göre değişir. Bu kuvvet  L ve



S paralel ise çekici, anti paralel ise itici bir özelliğe sahiptir. Bu nedenle nükleer kuvvet aynı zamanda nükleonların sipinlerinin paralel veya anti paralel olmasına da bağlıdır ( Lilley, 2001).

2.1.6 Nükleer Momentler

Nükleer yapı hakkındaki bilgilerin çoğu çekirdeklerin çevreleri ile kuvvetli nükleer etkileşmelerinin incelenmesinden değil, zayıf elektromanyetik etkileşmelerinin incelenmesinden ileri gelir. Nükleer etkileşme, çekirdek içerisindeki nükleonların hareketini ve dağılımını düzenler ve bu dağılım genel olarak elektromanyetik etkileşmeler ile incelenir. Bunu yaparken elektromanyetik alanlar kullanılır. Elektromanyetik alanların nükleonlar üzerindeki etkisi nükleer çevrenin uyguladığı kuvvetli etkileşmeden daha azdır ve böylece ölçme işlemi ölçmeye çalıştığımız sistemi

daha az etkiler. Bu nedenle nükleer fizikte, manyetik dipol moment ve elektrik kuadropol moment nükleer yapıyı yorumlamak için önemlidir ( Krane, 2006).

2.1.6.1 Manyetik Dipol Moment

Dairesel bir yörüngede hareket eden yüklü bir parçacık manyetik dipol momente sahiptir. Sınırladığı alan A olan dairesel bir akım halkasının manyetik momenti

| | = ∙ (2.7)

şeklinde ifade edilir. Akımı oluşturan, r yarıçaplı dairesel bir yörüngede hızıyla hareket eden bir e yükü ise; manyetik moment,

| | = = = |ℓ| (2.8)

şeklinde elde edilir. Burada |ℓ| klasik açısal momentum ’dir. Kuantum mekaniğinde manyetik dipol moment,

= ∫ ∗( )ℓ ( ) (2.9)

şeklinde belirlenir. Burada dalga fonksiyonu belirli bir ℓ durumuna karşılık geliyorsa, integralin sadece z-bileşeni sıfırdan farklı olur ve ℓ = _ℓℏ ifadesi yazılabilir. Buna göre manyetik dipol moment,

= ℏ ℓ (2.10)

şeklinde ifade edilir. Burada ℓ yörüngenin açısal momentum kuantum sayısıdır. Eşitlik 2.10’da ℏ 2 niceliğine manyeton denir. Atomik hareketlerde elektronun kütlesi kullanılır ve Bohr manyetonunun değeri,

T ev 10 7884 . 5  5  B  dır. Elektronun

T ev 10 15254 , 3  8  N

 dır. Elektronun ve protonun kütlelerinin farklı olmasından dolayı nükleer manyeton, Bohr manyetonundan daha küçüktür (Krane, 2006). Toplam manyetik dipol moment, orbital ve spin manyetik momentlerin vektörel toplamıdır.

= _ℓ+ (2.11)

Burada = ℓ + ve _  g__N, dir. Bu ifadede yer alan g , _  yörünge açısal momentuma karşılık gelen gçarpanıdır. Protonlar için g_ 1, nötronlar için g_ 0dır ve  _s g_ss_N, sipin manyetik momentidir ve g spin g çarpanı protonlar için; 5,586 _s nötronlar için −3,826 dır. Burada proton ve nötron için _{= 1 2 dir (Krane, 2006;} Fenyes, 2011). Proton ve nötronun tam olarak manyetik momentleri,

= 2,7928

(2.12) = −1,9130

şeklinde elde edilir. Protonun manyetik momentinin pozitif, yani spinle aynı doğrultuda, nötronun manyetik momentinin ise negatif, spinle zıt doğrultuda uzandığı görülmektedir. Nükleonlardan oluşan çekirdeğin manyetik momenti aşağıdaki gibi ifade edilir.

I g _N

I 

  (2.13)

Burada g, gyromagnetik faktor olarak adlandırılır ve − ≤ ≤ + aralıkları arasında yer alır (Berezhnoy, 2005). Tüm çift-çift çekirdeklerin taban durumunda spin ve manyetik dipol momentleri sıfırdır. Tek lı çekirdekler yarım sayı spin değerlerine sahiptir ve ≤ ‘dir. Magnetik moment değerleri Schmidt eğrileri tarafından belirlenir. Tek-Z ve çift-N için, 0,5  7, tek-N ve çift-Z için 2,21,5 dir. Tek-tek çekirdeklerin taban durumu spini tüm durumlarda tamsayı değerini alır ve ve tek protonun ve tek nötronun toplam açısal momentumudur. Tek-tek

çekirdeklerin taban durumu manyetik dipol momentleri pozitif veya negatif olabilir (Fenyes, 2011).

2.1.6.2 Elektrik Kuadropol Moment

Çekirdeğin elektrik kuadropol momentini bulmak için, x_n,y_n,z_n kartezyen koordinat sistemi Şekil 2.3’de görüldüğü gibi çekirdeğin merkezine yerleştirilir. Buradan çekirdeğin V_n(r) elektriksel potansiyeli,



şeklinde yazılır. Yukarıdaki ifadede  ; nükleer yük yoğunluğu, _e dv hacim elemanıdır _n ve integral çekirdeğin tüm hacmi üzerinden alınır.

Şekil 2.3 (a) Çekirdeğin merkezine yerleştirilmiş koordinat sistemindeki konum vektörleri (b) Deforme çekirdek için toplam açısal momentum (Fenyes, 2011)

Şekil 2.3a’da görüldüğü gibi r vektörü z ekseni yönünde olmak üzere, r ve r_n n

vektörleri arasındaki açı  dır. Burada kosinüs teoremi ve ( )1 r r_n

durumundaki seri açılımı kullanılabilir.

 cos 2 r r r r n2 2 n    rrn  (2.15)



Seri açılımdaki p_l(cos) ifadesi Legendre polinomudur. Legendre polinomlarının diferansiyel şekli aşağıdaki gibi yazılır.

l l l l l d d l p ( 1) ! 2 1 ) (  2    (2.17)

Böylece V_n(r) potansiyeli aşağıdaki gibi elde edilir.

... ) 3 )( r ( 2 1 ) r ( ) r ( ) ( ₃ 2 2 n 2 n n     







Eşitlik 2.18’deki paydaki birinci ifade elektrik monopol momenttir ve net nükleer yükünü ifade eder. İkinci ifade elektrik dipol momenttir. Üçüncü ifade ise elektrik kuadropol moment adını alır. Sonraki terimlerin ağırlığı giderek azaldığından yüksek dereceli multipoller nükleer fizikte önemli bir yere sahip değildir. Özgün elektrik kuadropol moment aşağıdaki gibi tanımlanır (Fenyes, 2011).

n n n e z r dv Q (r )(3 2 2) n 0 



Kuadropol moment çekirdekte yük dağılımının küresellikten sapmasının bir ölçüsüdür ve kuadropol moment birimi barn (1b=10-24cm2) dır (Shirokov ve Yudin, 1982).

Eğer parçacık küresel bir simetriye sahipse, ortalama olarak

3 2 2 2 2 _n n n n r y x z    olur

ve Q kuadropol moment sıfır olur. Eğer parçacık ₀ x_ny_n düzleminde yoğunlaşmışsa (z_n 0), Q₀ 0 dır ve elipsoidin rotasyonu obleyttir. Eğer parçacık z ekseni boyunca _n

yoğunlaşmışsa (z _n r_n), Q₀ 0 dır ve elipsoidin rotasyonu proleyttir (Krane, 2006; Fenyes, 2011).

Küresel ve küresel olmayan tüm çekirdekler için deneysel olarak elde edilen kuadropol moment ifadesi aşağıdaki gibi ifade edilir. Bu ifadede çekirdeğin toplam açısal momentumu, toplam açısal momentumun simetri ekseni üzerindeki izdüşümüdür.

0 2 3 2 1 1 3 Q ) I )( (I ) I(I K Q      (2.20)

Taban durumu için, = durumunda kuadropol moment,

0 ) 3 2 )( 1 ( ) 1 2 ( Q I I I I Q     (2.21)

şeklinde ifade edilir. Buradan = 0 veya = durumlarında kuadropol momentin sıfır olduğu görülür (Fenyes, 2011; Shirokov ve Yudin, 1982).

2.2 Nükleer Yapı Modelleri

Birçok araştırmaya rağmen nükleer kuvvetler elektromanyetik kuvvetler kadar iyi anlaşılmamış ve bu nedenle çekirdek yapısının kuramı tamamlanamamıştır. Nükleer kuvvetler ile ilgili güçlük nükleer kuvvetlerin doğasından kaynaklanır. Bu nedenle fizikçiler çekirdeğin özelliklerini incelemek için nükleer modeller geliştirmişlerdir. Bu modellerde çekirdek bir gaz, bir sıvı damlası, bir atom gibi ele alınarak incelenmiştir. Hiç bir model tek başına çekirdekler hakkında bilinen tüm özellikleri açıklayamamaktadır.

2.2.1 Sıvı Damla Modeli

Sıvı damla modeli çekirdeğin özelliklerini açıklamaya çalışan ilk modellerden birisidir. i) Çekirdeğin küresel olması,

ii) Çekirdekte nükleon başına bağlanma enerjisinin periyodik tablonun büyük bir bölümünde sabit olması,

iii) Nükleer madde yoğunluğunun sabit olması

özellikleri sıvı damlasının özelliklerine benzetilerek nükleonlar, çekirdek içindeki moleküller gibi ele alınır ve çekirdek güçlü nükleer kuvvetler tarafından bir arada tutulan nükleer sıvı damlası olarak tasvir edilir. Bu model ilk olarak George Gamow tarafından öne sürülmüş, Niels Bohr ve John Archibald tarafından geliştirilmiştir (Carter, 2009). Sıvı damla modeli çekirdeğin tüm özelliklerini açıklayamamakla birlikte çekirdeklerin birçoğunun küresel şekle sahip olması ve Fisyon olayını açıklayabilmektedir (Jevremovic, 2005).

Modelin matematiksel analizi, çekirdeğin içerdiği nötron ve proton sayısına göre çekirdeğin bağlanma enerjisini veren yarı ampirik bir formülle verilir. Yarı ampirik bağlanma enerjisi formülü 1935’de Weizsacker tarafından geliştirilmiştir. Deneysel verilerle belirlenen sabitler içermesine rağmen bu formülün temeli teorik hesaplamalara dayanır (Martin, 2006).

Buna göre, A nükleonlu bir çekirdeğin bağlanma enerjisi;

4 3 5 2 4 3 1 3 3 2 2 1 2 1 A a A Z) (A a A ) Z(Z a A a A a B(Z,A)       (2.22)

şeklinde ifade edilir.

Eştlik 2.22’deki katsayılar sırasıyla hacim terimi, yüzey terimi, Coulomb terimi, simetri terimi ve çiftlenim terimi adını alır. Bu katsayıların değerleri deneysel verilere uygun olarak elde edilir (Fenyes, 2011).

Hacim terimi her bir nükleonun etrafının diğer tüm nükleonlarla çevrili olduğu varsayımına dayanılarak yazılmıştır. Bu terimin ’ya bağlılığı nükleer kuvvetin doygunluk özelliğinden kaynaklanır (Boztosun, 2005; Lilley, 2001). Bağlanma enerjisinin ile lineer olarak değişmesi, her nükleonun yalnızca en yakın komşularıyla etkileştiğini gösterir. Elektron saçılma deneylerinden de çekirdek yoğunluğunun kabaca sabit olmasından her nükleonun aynı sayıda komşuya sahip olduğu bilinmektedir dolayısıyla her nükleon bağlanma enerjisine kabaca aynı miktarda katkıda bulunur (Krane, 2006). Buradan nükleer bağlanma enerjisine toplam katkı ile orantılı olup, nükleer yarıçap _A13 _{ile orantılı olduğundan, çekirdeğin bağlanma enerjisi de çekirdeğin} hacmiyle orantılı olur (Martin, 2006).

İkinci terim olan yüzey terimi nükleonların bir kısmının yüzeyde olmasından dolayı hacim terimi için eklenen bir düzeltme terimidir. Çekirdek yüzeyinde bulunan nükleonlar daha az sayıda nükleonla etkileştiğinden çekirdeğin merkezine yakın yerlerde bulunan nükleonlara göre daha zayıf bağlı olurlar ve bağlanma enerjisine merkezdeki nükleonlardan daha az katkıda bulunurlar (Krane, 2006). Bu nedenle yüzeydeki nükleonlar çekirdeğin bağlanma enerjisini azaltacak yönde bir eğilim gösterir. Buradan, 2 23

0 2

4

4R   r A olur ve çekirdeğin bağlanma enerjisi, _A23 faktörüyle orantılı olarak azalır (Jevremovic, 2005). Bu terim bir çekirdeğin yüzey enerjisi olarak tanımlanır. Bu enerji, gravitasyonel etkiler çok küçük olduğunda sıvı damlasının küresel bir şekle sahip olmasından sorumludur. Yüzey enerjisi, hafif çekirdeklerde daha çok önem kazanır; çünkü verilmiş bir hacim içinde en düşük yüzölçüme sahip olma eğiliminden dolayı, hafif çekirdeklerde nükleonların büyük bir kesri yüzeyde yer alır. Bu da bu çekirdeklerde, nükleon başına bağlanma enerjisinin niçin daha küçük olduğunun bir göstergesidir (Das ve Ferbel, 2003).

Üçüncü terim olan Coulomb terimi, potansiyel enerjiden dolayı bağlanma enerjisine gelen katkıyı gösterir. Çekirdekte protonlar arasındaki elektriksel itme kuvveti, çekirdeğin bağlanma enerjisini azaltacak yönde bir katkıda bulunur (Carter, 2009). Her proton diğer tüm protonları ittiğinden, bu terim ( − 1) ile orantılıdır ve çekirdek düzgün yüklü bir küre olarak ele alınırsa, potansiyel enerji; ( ) şeklinde elde

edilir (Krane, 2006). Coulomb terimi ’si büyük olan çekirdeklerde daha fazla önem kazanır ve çekirdeğin proton sayısından daha fazla nötron sayısına sahip olma eğilimine neden olur (Basdevant ve ark., 2005).

Kararlı ve radyoaktif izotopların dağılımı incelendiğinde kararlı çekirdeklerde Z A 2  olduğu görülür. Eğer bağlanma enerjisi formülünün gözlenen kararlı çekirdeklerin tanımlanmasında gerçekçi olması isteniyorsa, dördüncü terimin katkısının da hesaba alınması gerekir. Bu terim çekirdeğin proton ve nötronlar bakımından simetrik olmasını sağlamaya çalıştığı için simetri terimi olarak adlandırılır ve

A Z) (A a 2 4 2  şeklinde yazılır (Krane, 2006). Simetri terimi çekirdeklerin = ’ye sahip olma eğilimi ile açıklanır. Bu terimin teorik gerekçesi, Pauli dışarlama ilkesinden bir proton bir nötron arasındaki etkileşim kuvvetinin, iki proton ve iki nötron arasındaki etkileşim kuvvetinden ortalama olarak daha büyük olması gerçeğine dayanır (Lilley, 2001). Verilen bir nükleon sayısı için proton ve nötron sayısı arasındaki dengesizlik enerjinin olması gerekenden daha yüksek olmasına neden olur. Verilen bir için, nötron ve proton çifti arasındaki etkileşimi maksimum yapmak enerjik olarak daha avantajlıdır ve bu nötron ve proton sayısını mümkün olduğu kadar birbirine eşit yapmakla gerçekleştirilir (Cottingham ve Greenwood, 2004).

Son olarak özellikle kararlı konfigürasyonlar meydana getirmek üzere nükleonların ikişer ikişer bağlaşmaları eğilimini göz önünde bulunduran son terim çiftlenim terimi ilave edilir. Çekirdeklerin bağlanma enerjileri analizlerinin dikkatlice incelenmesi; çekirdek içinde aynı tür nükleonların çift kalmayı tercih ettiğini otaya çıkarmıştır (Berezhnoy, 2005). Tek ve sayısına sahip yalnızca dört çekirdek (2H,6Li,10B,14N) varken çift ve sayısına sahip 167 çekirdek bulunmaktadır. Çifttenim enerjisi, çift ve ’ye sahip olan çekirdekler için; 4

3 5



a A , tek ve ’ye sahip olan çekirdekler için; 4

3 5



Eşitlik 2.22’deki sabit katsayıların değerleri, geniş bir çekirdek aralığı için deneysel olarak gözlemlenen bağlanma enerjilerine uygun olacak şekilde; a =15,5MeV, ₁

2

a =16,8MeV, a =0,72MeV, ₃ a =23MeV, ₄ a = 34MeV olarak belirlenmiştir (Das ve ₅ Ferbel, 2003).

Weizsacker bağlanma enerjisi formülü nükleer kuvvetin temel teorilerine dayanmadığı için nükleer kuvvetin niceliksel özelliklerini ortaya çıkaramaz, fakat bağlanma enerjisinin etkileyici bir özetini verir. Bağlanma enerjisi eğrisinin şekli, Şekil 2.4’de gösterildiği gibi elde edilir (Cook, 2006).

Şekil 2.4 Yarı deneysel bağlanma enerjisindeki terimlerin kütle numarasıyla değişimi

Sonuç olarak sıvı damla modeli, çekirdeği sıvı damlası gibi ele alarak çekirdeğin kollektif özelliklerinin (titreşim ve dönme) incelenmesinde kullanılır. Bu modelde çekirdeğin küresel bir yapıya sahip olduğu kabul edilir. Bağlanma enerjisinin sistematik davranışını ve çekirdeğin kütlesini kaba bir şekilde açıklayan bu model, açısal momentum ve kararlılık koşulu gibi, çekirdeğin yapısının ince ayrıntılarını açıklamakta yetersiz kalır.

2.2.2 Fermi Gaz Modeli

Fermi gaz modeli, nükleer yapı tartışmaları içine kuantum mekaniksel etkileri katan ilk girişimlerden birisidir. Bu modelde çekirdek, çok küçük bir bölge ile sınırlandırılmış nükleer hacimde, serbest nötronlardan ve protonlardan oluşan bir gaz gibi ele alınır ve bu koşullar altında nükleonların çekirdek içinde ayrı ayrı enerji seviyelerine yerleştiği varsayılır (Das ve Ferbel, 2003). Çekirdek içerisinde bulunan nükleonların bu düzeyleri, sadece serbest oldukları ve çekirdek içinde çarpışma yapmadan hareket ettikleri zaman oluşturabilecekleri kabul edilir. Nükleon başına bağlanma enerjisinin ve merkezi yoğunluğun yaklaşık olarak sabit olması böyle bir modelle açıklanabilir (Eser, 2006).

Bu sistem içindeki tek bir nükleonun enerji düzeyleri, bu nükleonun dışında kalan diğer tüm nükleonların oluşturduğu ortalama potansiyel için Schrodinger denkleminin çözülmesi ile bulunur ve nükleon çifti arasındaki etkileşmelerin önemli olmadığı varsayılır (Eser, 2006).

Burada protonlar ve nötronlar, sınırları çekirdeğin yarıçapı ile belirlenen keskin sınırlara sahip, derinliği bağlanma enerjisini verecek şekilde ayarlanabilen küresel simetrik bir kuyu içinde hareket ediyormuş gibi ele alınır. Protonlar arasındaki Coulomb etkileşmesinden dolayı, Şekil 2.5’de görüldüğü gibi protonların algıladığı potansiyel, nötronların algıladığı potansiyelden (enerji seviyelerinden) farklıdır (Das ve Ferbel, 2003; Martin, 2006).

Nükleonlar fermiyon oldukları için, Fermi-Dirac istatistiğine uygun olarak, Pauli dışarlama ilkesine göre, herhangi bir enerji seviyesi, spin yönelimleri farklı olacak şekilde en fazla iki özdeş nükleon tarafından doldurulabilir. En düşük enerji seviyesi çok güçlü bağlanma enerjisine sahip olduğundan, çekirdeğin taban durumunda büyük bir kararlılığa ulaşmak için enerji seviyeleri aşağıdan yukarıya doğru doldurulur. Tamamen dolu olan en yüksek enerji seviyesi fermi seviyesi olarak adlandırılır ve bu düzeydeki nükleonun enerjisi E fermi enerjisi şeklinde tanımlanır. Eğer fermi enerjisi _F ötesinde hiçbir fermiyon yoksa en son nükleonun bağlanma enerjisi E_F ile verilir. Aksi

takdirde bir sonraki seviyedeki fermiyonun enerjisi en son nükleonun bağlanma enerjisini yansıtır (Das ve Ferbel, 2003).

Şekil 2.5. Fermi gaz modelinde proton ve nötronlar için alınan potansiyel kuyu şekli

Şekil 2.5’de görüldüğü gibi proton kuyusunun tabanı, nötron kuyusu ile karşılaştırıldığında yaklaşık olarak 1 eV kadar yüksektedir. Eğer nötronların ve protonların kuyu derinlikleri aynı olsaydı, nötron sayısının proton sayısından fazla olduğu ağır çekirdeklerde nötronların fermi düzeyi, protonların fermi düzeyinden daha yüksekte uzanır ve son nükleonun bağlanma enerjisi yüke bağımlı olarak nötronlar ve protonlar için farklı olurdu. Aynı zamanda bu tür çekirdeklerin tümü kararsız olur ve nötronlar  bozunumu yoluyla proton seviyelerine düşerdi. Ancak nötronların ve  protonların her ikisi için doldurulmuş en yüksek enerji seviyeleri hemen hemen aynıdır. Bu durum kararlı ağır çekirdeklerde neden nötron sayısının proton sayısından fazla olduğunu da açıklamaktadır (Das ve Ferbel, 2003).

fermi enerjisi düzeyinin momentumu; M nükleonun kütlesi olmak üzere, 2

1

) 2 ( ME

p_F  dir. Momentum uzayında, V hacmi içinde p ve p dp arasındaki durum sayısı, aşağıdaki gibi durum yoğunluğu ile verilir.

dp p V dn dp p n ₃ 2 ) 2 ( 4 ) (      (2.23) F E

Her bir seviye iki fermiyon içerdiğinden, 

_

dn n

0

2 kullanılarak nötron ve proton sayısı aşağıdaki gibi elde edilir.

3 2 3 3 ) (   n F p V N  , _{2 3} 3 3 ) (   p F p V Z  (2.24) Nükleer hacim, A R R V 3 0 3 3 4 3 4     (2.25)

şeklinde alınır. Eşitlik 2.25’de ki R sabiti, elektron ve hadron saçılma deneylerinden ₀ elde edilmiştir ve değeri 1.21 fm’dir. Nötron ve proton kuyularının derinliklerinin aynı olduğu varsayılarak,

2

A Z

N   için fermi momentumu,

c MeV 250 8 9 13 0            R p p p_{F F}n _Fp  (2.26)

olarak elde edilir. Nükleonlar çekirdek içinde büyük bir momentum değerine sahip olarak serbestçe hareket etmektedir. Buradan fermi enerjisi,

  M p E F F 2 2 33 MeV (2.27)

şeklinde bulunur. Nükleon başına bağlanma enerjisinin değeri ortalama olarak 7-8 MeV dir. Buradan potansiyel kuyunun derinliği,

   A B E V_{0 F} 40 MeV (2.28)

olarak elde edilir. Fermi gaz modeline göre nükleonlar, yaklaşık olarak 40 MeV değerinde bir potansiyel içinde serbest olarak hareket etmektedir. Böylelikle Fermi gaz modeli ile potansiyel kuyu derinliği hakkında tahmini bir değer elde edilebilir.

Fermi gaz modeli kullanılarak, bağlanma enerjisinin nötron fazlalığına bağımlılığını veren teorik bir ifade de elde edilebilir. Her bir nükleonun ortalama kinetik enerjisi ve protonların ve nötronların birbirleriyle etkileşim potansiyelleri göz önünde bulundurularak ayrı ayrı simetri teriminin Weizsacker yarı-ampirik bağlanma enerjisi formülündeki varlığının doğal bir yolla hesaba alındığı gösterilebilir (Heyde, 1999).

2.2.3 Shell (Kabuk) Modeli

Kabuk (shell veya tabakalı) modeli üzerine kurulan atom teorisi, atomun karmaşık yapısını açıklamada çok büyük başarı sağlamıştır. Atomik modelin başarıları, çekirdeğin özellikleri incelenirken aynı modelin kullanılabileceği fikrini ortaya çıkarmıştır. Atomik kabuk modelinde kabuklar giderek artan enerjili elektronlarla Pauli prensibine uyacak şekilde doldurulur ve tamamen dolu kabuklardan oluşan eylemsiz bir kor ve birkaç değerlik elektronu elde edilir. Atomik özelliklerin esas olarak değerlik elektronları tarafından belirlenebileceğini varsayılır.

Çekirdeğin dinamik ve statik özelliklerinin araştırılması sonucunda, çekirdeğin atomdaki gibi bir kabuk yapısına sahip olabileceği ilk olarak Gamow ve Elsasser tarafından ortaya atılmıştır (Arya, 1966).

Atom kabuk yapısına benzer şekilde, nükleer kabukların varlığını destekleyen bir takım deneysel veriler gözlenmiştir. Her hangi bir çekirdekten bir nötron veya bir proton ayırmak için gerekli olan enerji miktarına ayrılma enerjisi adı verilir. Nötron ve proton ayrılma enerjileri atom fiziğindeki iyonlaşma enerjisine benzer ve en dıştaki nükleonların yani değerlik nükleonlarının bağlanmaları hakkında bilgi verir.

Ayrılma enerjisi, atomik iyonlaşma enerjisi gibi veya ile bazı nötron ve proton sayılarındaki birkaç keskin düşme dışında düzgün olarak artar. Ayrılma enerjisindeki

keskin süreksizliklerin, atomik yapıdaki gibi, kabukların dolmasına karşılık geldiği düşünülmüştür. Ayrılma enerjisindeki ani ve keskin davranış, aynı proton nötron sayılarında ortaya çıkmaktadır. Bu sayılara “ sihirli sayılar “ denir. Bu sayılar veya için; 2, 8, 20, 28, 50, 82 ve 126 dır (Krane, 2006).

Atom numarası sihirli sayılardan birine karşılık gelen bir elementin kararlı izotop sayısı ve karalı izoton sayısı komşularından daha fazladır. Ayrıca sihirli sayıda nötrona veya protona sahip izotopların doğal bolluğunun genel dağılım içinde beklenenden daha fazla olduğu gözlemlenmiştir (Arya, 1966).

Ayrıca, özellikle 50, 82 veya 126 nötron içeren çekirdeklerin nötron yakalama tesir kesiti düşüktür ve sihirli sayılarda nötron yakalama kesrinin çok düşük olması, kabukların kapalı olduğunu ve gelen nötronun soğurulmayacağını gösterir. Sihirli sayılardan bir fazla nötron sayına sahip olan elementin en sondaki nötronunun bağlanma enerjisi çok küçüktür (Arya,1966).

Elde edilen bu veriler protonlar ve nötronların, atomdaki elektronlar gibi, çekirdek içindeki kabuklarda yer aldıklarına işaret eder ve her bir kabuk belirli maksimum sayıda proton ve nötronla sınırlıdır (Kaplan, 1979).

Shell modeline göre, çekirdekteki nükleonlar tarafından enerji seviyeleri Pauli dışarlama ilkesine göre doldurulur. Çekirdekteki nükleonlar, bir V(r) _{potansiyelinde}

bağımsız olarak hareket eder. Bu potansiyel bir nükleona diğer tüm nükleonlardan gelen ortalama etkiyi gösterir ve V(r) sadece radyal uzaklığa bağlıdır. Potansiyelin farklı formları sihirli sayıları elde edebilecek şekilde alınır (Arya, 1966).

Pauli prensibine göre, toplam dalga fonksiyonu nükleonların dalga fonksiyonlarının çarpımı şeklinde yazılabilir.

) ( )... 3 ( ) 2 ( ) 1 (    n    (2.29)

Buradan Şekil 2.6’daki gibi potansiyel formuna sahip olan harmonik osilatör ve sonsuz kuyu potansiyel ifadeleri radyal schrodinger denkleminde yerine yazılarak enerji seviyeleri bulunur.

Şekil 2.6. Osilatör ve sonsuz kuyu potansiyel kuyu şekilleri (Arya, 1966)

Çekirdekteki potansiyel sonsuz kare kuyu potansiyeli olarak alınırsa, bir nötronu veya bir protonu ayırmak için onu kuyudan dışarıya çıkarmaya yetecek enerjiyi, sonsuz büyülükte sağlamak gerekir. Nükleer potansiyel keskin kenarlı değildir ve ortalama yarıçapının ötesinde düzgün olarak sıfıra yaklaşır. Harmonik salınıcı potansiyeli ise keskin bir şekle sahip değildir ve yine sonsuz bir ayrılma enerjisi gerektirir (Krane, 2006). Her iki potansiyel formu kullanılarak elde edilen enerji düzeyleri Şekil 2.7’de gösterilmiştir. Şekilde görüldüğü gibi sihirli sayıların tümü elde edilememiştir.

Şekil 2.7. Sonsuz kuyu ve harmonik salınıcı potansiyelinden elde edilen enerji düzeyleri (Krane, 2006)

Sihirli sayıları elde edebilmek için bu iki potansiyel formundan hareket edilerek Saxon ile Woods tarafından aşağıdaki gibi ifade edilen bir potansiyel formu geliştirilmiştir (Cansoy, 1978).





Eşitlik 2.30 da ve a parametreleri sırasıyla ortalama yarıçap ve yüzey kalınlığını verir bu ifadede R=1,21A13 _{fm ve} a0,524fm _{olarak seçilir.} Kuyu derinliği , uygun ayrılma enerjisini verecek şekilde ayarlanır ve 50 MeV mertebesindedir (Krane, 2006). Bu potansiyel formu Şekil 2.8’de gösterilmiştir.

Şekil 2.8. Kabuk modeli potansiyel şekli (Mulders ve Ubachs, 2003)

Kabukların sırasıyla 2(21) nükleonla doldurulmasıyla 2, 8 ve 20 sayıları elde edilmiş fakat daha üst enerji seviyeleri için yapılan hesaplamalarda sihirli sayılar elde edilememiştir (Krane, 2006).

Sihirli sayıların elde edilebilmesi için, atom fiziğindeki gibi spin-orbit etkileşimini içeren bir terimin Woods-Saxon potansiyeline eklenmesi 1949’da Mayer ve Jensen tarafından ortaya atılmıştır. Buradan toplam potansiyel aşağıdaki gibi yazılır (Martin, 2006).     V r V r L S V_T ( ) _s( ) (2.31)

Eşitlik 2.31’de L _{ve S tek bir nükleonun orbital ve spin açısal momentum} operatörleridir ve V_s(r) radyal koordinatlara bağlı olarak seçilen keyfi bir fonksiyondur. Burada enerji düzeylerinin yeniden düzenlenmesine neden olan

 

 S

L çarpanıdır (Martin, 2006).

Toplam açısal momentum

  



 L S

J şeklinde tanımlanır ve kuantum durumları )

, , ,

( s j j_z kuantum sayıları ile belirlenir. Atomik spektroskopide olduğu gibi

,.. 4 , 3 , 2 , 1 , 0 

etkileşiminin dahil edilmesi, 2(21) katlı dejenere ( n, ) seviyelerini 2 1 2 1 , _  _    n n ile gösterilen iki seviyeye ayırır (Açıkgöz ve Yıldırım,2001).

Deneysel olarak V_s nin işareti negatif olarak bulunmuştur. Bu durum

2 1   j seviyesinin, 2 1  

j seviyesinden daha aşağı bir seviyede bulunmasına neden olur. Her bir düzeyin alabileceği nükleon sayısı 2 j 1 ile bulunur (Martin, 2006). Bu durumda elde edilen enerji düzeyleri Şekil 2.9’da gösterilmiştir.

Şekil 2.9. Spin-yörünge etkileşmesi dahil edilerek hesaplanan enerji seviyeleri (Krane, 2006)

Shell modeli, protonların ve nötronların sihirli sayıları ile birlikte çekirdeğin kararlılığını açıklar. Çiftlenmemiş tek nükleon tarafından belirlenen spin, parite ve nükleer momentler gibi bazı nükleer özellikleri açıklamakta başarılıdır. Taban durumundaki çekirdeğin açısal momentumu hakkında sağladığı bilgiler dışında bazı ağır çekirdekler için gözlenen birkaç barn gibi aşırı büyük kuadropol momentleri kestirmekte ise başarısızdır (Krane, 2006).

2.3 Çekirdekte Nötron ve Proton Yoğunluğu

Çekirdekte nötron ve proton yoğunlukları, çekirdeğin temel özelliklerinden biridir ve nükleer özellikleri anlamamız için çok büyük bir öneme sahiptir (Gambhir ve Patil, 1985; Gambhir ve Patil, 1986; Zenhiro ve ark., 2010). Bununla birlikte, nükleer madde dağılımının belirlenmesi özellikle nükleer saçılma ve reaksiyon süreçlerindeki analitik çalışmalar için önemlidir (Gambhir ve ark., 1989).

Nükleer madde ideal olarak; elektromanyetik etkileşimlerin ihmal edildiği, güçlü etkileşim yoluyla birbirleriyle etkileşen, nötronlardan ve protonlardan oluşan sonsuz büyüklükte bir sistem olarak tanımlanır. Nükleer madde, nötron ve proton yoğunluklarının eşit olduğu simetrik nükleer madde ve nötron ve proton yoğunluğu arasındaki fark ile karakterize edilen asimetrik nükleer madde olmak üzere iki şekilde ele alınır (Alonso, 2003).

Modern fiziğin başlarında kararlı çekirdeklerin nötron ve proton dağılımlarının tamamen aynı olmayacağının farkına varılmıştır. 1953’de Johson ve Teller nötron fazlalığı olan çekirdeklerde protonlardan daha büyük yarıçapta nötronların uzandığını öneren bir çekirdek modeli ileri sürmüşlerdir (Abashian ve ark., 1956).

Coulomb potansiyelinin en önemli etkisi nötron ve proton sayısı arasındaki farkın artmasına neden olmaktır. Çekirdek içinde Coulomb potansiyeli oldukça yavaş değişir ve bu değişim yüzeyde nötronlara göre proton yoğunluğunu arttırmaya meyilli iken Johson ve Teller yüzeyde nötron sayısını arttıran bir etkiye dikkat çekmişlerdir. Bu düşüncelerinde iki önemli etkiyi göz önünde bulundurmuşlardır:

(1) Nötron sayısı proton sayısından daha fazla olduğundan, ortalama olarak protonlardan daha büyük kinetik enerjiye sahiptirler ve protonlardan daha geniş yayılırlar.

(2) Coulomb potansiyeli yasak bölgeye proton dalga fonksiyonlarının geçişini engelleyen bir bariyer oluşturur. Bu tartışmaların geçerliliği protonların ve nötronların

her ikisinin de yaklaşık olarak eşit nükleer potansiyele sahip olmasına bağlıdır (Berg ve Wilets, 1955; Wilets, 1956)

Bu bağlamda kaonların çekirdekle etkileşmesi çalışmaları yapılmıştır (Burhop, 1967; Davis ve ark., 1967; Cotanch, 1981). Davis ve ark. (1967) ve bu çalışmalardan ayrı olarak Burhop (1967) tarafından mezonlarının ağır ve hafif çekirdeklerde nötronlarla ve protonlarla etkileşimi sonucunda ortaya çıkan olası ürünler incelenmiş ve bu çalışmalar neticesinde ağır çekirdeklerin çok büyük oranda nötronlardan oluşan bir yüzeye sahip oldukları gözlemlenmiştir. Bu da ağır çekirdeklerde nötronların protonlardan daha büyük yarıçapta uzandığına dair önemli bir kanıt olmuştur.

Çekirdekte proton dağılımı nükleer yük dağılımı ile ifade edilir ve bu nedenle nükleer yük dağılımı nükleer yapıyı betimlemek için önemli bir özelliktir. Elektromanyetik araştırmaların basit reaksiyon mekanizmasından dolayı çekirdeğin içinde yük yoğunluğu hakkında kesin bilgiler elde edilebilmektedir (Zenihiro ve ark., 2010). Yük yoğunlukları hakkındaki bilgiler elektron ve müon saçılmalarından, nükleer saçılmalar ve reaksiyonlardan, mezik atomlardan ve izobarik enerji kaymaları gibi çalışmalardan elde edilir (Gambhir ve Patil, 1985).

Nükleer yük yoğunlukları genel olarak Fourier-Bessel sabitleri, Fermi dağılımı, Gaussion dağılımı ve Harmonik osilatör dağılımı kullanılarak ifade edilir. Yük yoğunluk yarıçapı nin sıfırıncı dereceden küresel Bessel fonksiyonu (ξ) ile ifade edildiği yük yoğunluğu aşağıdaki gibi ifade edilir.



















R

r

R

r

R

r

k

j

a

r

0

)

(

)

(





Burada parametresi Fourier-Bessel sabitidir. Fourier-Bessel sabitleri aşağıdaki ifadeden görüldüğü gibi yük yoğunluğu ile ilişkilidir.





r

j

m

r

_R

r

dr

R

m

a

)

(

)

(

2

_





Fourier-Bessel sabitlerine göre yoğunluk dağılımının ifade edilmesi oldukça zordur. Ayrıca yoğunluk yüzey bölgesi ( ≈ ) dışında hemen hemen sabittir. Bu özellik ağır çekirdeklerde belirgin olarak görülür ve yoğunluk exponansiyel olarak yüzeye doğru azalır. Bu dağılım yaygın olarak iki parametreli Fermi dağılımı ile temsil edilir.















a

R

r

r

)

(

exp

1

)

(





Farklı çekirdekler incelenerek gözlemlenen yoğunluk dağılımları, iki parametreli Fermi dağılımına parametresinin eklenmesiyle yeniden düzenlenen üç parametreli Fermi dağılımı ile daha iyi tasvir edilebilmektedir. Üç parametreli Fermi dağılımı,

        a R r R r r pF ) ( exp 1 ) ( 1 ) ( 2 0 3







şeklinde ifade edilir. Diğer yoğunluk dağılımı ifadeleri üç parametreli Gaussian dağılımı,         2 2 2 2 0 3 ) ( exp 1 ) ( 1 ) ( a R r R r r pG







ve Harmonik osilatör yoğunluk dağılımıdır.





1

)

(

r

a(

r

_R

)

e









Bu ifadelerde yer alan , yoğunluğun yarıya düştüğü mesafe yarım yoğunluk yarıçapı, ise yüzey dağılım parametresidir. Bu yoğunluk dağılımı ifadelerindeki parametreler çeşitli çekirdekler kullanılarak yapılan deneysel çalışmalar sonucunda elde edilmektedir (Wong, 2004).

Burada = ⁄4.4’dür. Eğer = 0 ise t parametresi yüzey kalınlığını ifade etmektedir. Yüzey kalınlığı yoğunluğun % 90 dan %10 a düştüğü mesafeye karşılık gelir (Bellicard ve Oostrum, 1967).

Nükleer yük yoğunluğu daha çok yoğunluğun Gaussian ve Fermi tipi ile tasvir edilmektedir. Genel olarak Gaussian dağılımı hafif çekirdeklerin yük yoğunluğunu tasvir etmek için Fermi dağılımı ise ağır çekirdeklerin yük yoğunluğunu tasvir etmek için daha uygundur (Chu ve ark., 2010).

Çekirdekte proton dağılımı hakkında güvenilir bilgiler daha çok elektron çekirdek saçılmalarından elde edilir ve deneysel veriler proton yoğunluk parametrelerine uygun olarak alınan yük parametreleri kullanılarak analiz edilir. Ayrıca müonik X ışınlarının spekturumu incelenerek de çekirdekte proton dağılımı hakkında bilgi edinilebilmektedir (Burhop, 1967; Gills ve Rebel, 1976; Lalazissis ve ark., 1997a).

Çekirdekte proton yoğunluk dağılımı hakkında bilgi edinilebilmesine rağmen, nötron yoğunluk dağılımı çoğunlukla bilinmemektedir. Nötron yoğunluk dağılımı hakkında elde edilen bilgiler daha az ve daha az kesindir (Pei ve ark., 2005).

Nötronlar yüksüz parçacıklar olduğu için, onların uzaysal dağılımının ölçümü, pozitif yüklü protonların uzaysal dağılımını belirlemekten çok daha zordur (Warda ve ark., 2010).

Çekirdekte nötron yoğunluğu hakkında bilgi edinmek için birçok teorik ve deneysel çalışmalar yapılmaktadır. Bu araştırmalarda proton, alfa parçacığı ve pion gibi güçlü etkileşim parçacıkları kullanıldığı için, saçılma verilerinin analizleri modele bağımlı olarak değişir ve sonuçlar çok cisimli saçılma teorilerindeki belirsizliklerden etkilenir (Ray ve Hodgson, 1979). Hadronik çalışmalar özellikle nükleer ortamda nükleon nükleon saçılma genlikleri ile bilgilerin tam olmamasından dolayı reaksiyon mekanizmasında belirsizlikler sergilemektedir. Bu nedenle nötron yoğunlukları hakkındaki bilgiler daha az güvenilirdir (Lalazissis ve ark., 1997a). Nötron yoğunluk

dağılımı hakkında kesin bilgiler elde edebilmek için uygun araştırma ve etkin nükleon-nükleon etkileşimi dikkatlice seçilmelidir (Zenihiro ve ark., 2010).

Ortalama bir enerjiye sahip parçacıklarının nükleer madde ile güçlü etkileşiminden dolayı, parçacıklarının çekirdekten saçılması çalışmaları nükleer yapı araştırmaları için çok önemli bir araç olmuştur (Bernstein ve Seidler, 1972; Tatischeff ve ark., 1972; Gills ve Rebel, 1976).

Gills ve Rebel (1976) tarafından nötron dağılımı hakkında bilgi edinmek için 104 MeV enerjili parçacıklarının , , den elastik saçılma tesir kesitleri ölçülmüştür. Proton dağılımları elektron saçılması analizlerinden alınmıştır. Nötron dağılımları ise deneysel tesir kesitlerine uygun olarak değişen modifiye edilmiş Gaussian parametreleri ile ifade edilmiştir. Çekirdeklerin bir nötron yüzeyine sahip olup olmadıkları deneysel ve teorik olmak üzere her iki bakış açısıyla birlikte tartışılmıştır.

Ortalama enerjilerde proton-çekirdek elastik saçılması nükleer iç ve yüzey hakkında bilgi edinmek için oldukça sık kullanılan araştırma yöntemlerinden biridir (Thomas, 1969; Egelhof, 2001; Piekarewicz ve Weppner, 2006; Zenihiro ve ark., 2010).

Zenihiro ve ark. (2010) tarafından yapılan çalışmada ve , , çekirdeklerinden, 295 MeV değerinde ortalama bir enerjiye sahip olan protonların saçılma tesir kesitleri ölçülmüştür. Kurşun izotopları nötron yoğunlukları için Gaussian dağılımı toplamının kullanıldığı bu çalışmada kurşun izotoplarındaki nötron yoğunluk dağılımı için reaksiyon modeli ve deneysel verilerdeki belirsizliklerin ölçüm sonuçları rapor edilmiştir.

Antiprotonların çekirdekle etkileşmesi çalışmalarında ise antiprotonik-X ışınları spektrumunun incelenmesi ve çekirdek antiproton reaksiyonu sonucunda ortaya çıkan ürünlerin yok olma verimlerinin belirlenmesi gibi iki farklı metot kullanılarak, çekirdek yüzeyinde nötron ve proton yoğunluğu belirlenebilmektedir (Baran ve ark., 1996; Schmidt ve ark., 1999; Trzcinska ve ark., 2001; Klos ve ark., 2007).