Rosenbloom-tsfasman (RT) ağırlık sayaçları için macwilliams özdeşlikleri

T.C.

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ROSENBLOOM- TSFASMAN (RT) AĞIRLIK SAYAÇLARI

İÇİN MACWILLIAMS ÖZDEŞLİKLERİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

N. Tuğba ÖZZAİM

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATİK

Enstitü Bilim Dalı : CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Tez Danışmanı : Doç. Dr. Mehmet ÖZEN

Mayıs 2012

ii

TEŞEKKÜR

Bana her zaman fikirleriyle yön gösteren ve bu çalışmamda da yardımlarını eksik etmeyen hocam Sayın Doç. Dr. Mehmet ÖZEN’e teşekkürü bir borç bilirim.

Ayrıca maddi ve manevi desteklerini hiçbir zaman esirgemeyen çok değerli aileme de teşekkür ediyorum.

iii

İÇİNDEKİLER

TEŞEKKÜR... ii

İÇİNDEKİLER ... iii

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ... v

TABLOLAR LİSTESİ... vi

ÖZET... vii

SUMMARY... viii

BÖLÜM 1. GİRİŞ... 1

1.1 Cebirsel Yapılar ve Özellikler ... 1.2 Lineer Kodlar ... 1.3 Ağırlık Sayaçları ... 1.3.1 Karakterler... 1.4 Non-Hamming (Rosenbloom-Tsfasman) Metriğine Göre Lineer Kodların Yapısı 1 3 7 7 11 BÖLÜM 2. 2 2 2 2 F +uF +vF +uvF HALKASI ÜZERİNDE LİNEER KODLAR 13 2.1.R =₂ F +uF +vF +uvF_{2 2 2 2} Halkası... 13

2.2.R₂nin İdeal Yapısı... 14

2.3. F +uF +vF +uvF_{2 2 2 2} Üzerinde Lineer Kodlar……… 14

iv BÖLÜM 3.

NON-HAMMİNG RT METRİĞİNE GÖRE Mnxs(R ) 2 ÜZERİNDEKİ LİNEER KODLAR İÇİN TAM AĞIRLIK SAYACI VE MACWILLIAMS

ÖZDEŞLİĞİ ... 17 3.1. Tam Ağırlık Sayacı... 19

BÖLÜM 4.

NON-HAMMİNG (ROSENBLOOM-TSFASMAN) METRİĞİNE GÖRE

nxs 2

M (F ) ÜZERİNDEKİ LİNEER KODLAR İÇİN SPLİT ρ AĞIRLIK SAYACI VE MACWILLIAMS ÖZDEŞLİĞİ ...

BÖLÜM 5.

SONUÇLAR VE ÖNERİLER ...

27

37

KAYNAKLAR………..

ÖZGEÇMİŞ ………..

38 39

v

SİMGELER VE KISALTMALAR

G : Grup

| | : Mertebe

R : Halka

I : İdeal

F : Cisim

F 2 : İkili cisim

Fq : q elemanlı sonlu cisim V : Vektör uzayı

SpA : A kümesinin bütün lineer birleşimlerinin kümesi u,v : u ile v nin iç çarpımı

V(n,q) : Elemanları Fq dan alınan n-lilerin kümesi

C : Kod

[n,k,d] : n uzunluğunda, k boyutunda, d minimum uzaklığa sahip lineer kod C^⊥ : C kodunun dik tümleyeni

w : Ağırlık

W (z) C : C kodunun ağırlık sayacı χ : Halkanın bir karakteri

f : Hadamard transformu S (X,Y) C : Split ağırlık sayacı RT : Rosenbloom-Tsfasman

vi

TABLOLAR LİSTESİ

Tablo 4.1. F₂³ deki elemanların non-Hamming iç çarpımı... 17

vii

ÖZET

Anahtar kelimeler: Lineer Kodlar, Non-Hamming Metrik, Tam Ağırlık Sayacı, Split ρ Ağırlık Sayacı.

Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm diğer bölümlere hazırlık amaçlı olup bazı temel kavram ve teoremler, lineer kodların yapısı, Hamming metriği ve MacWilliams özdeşliği hakkında bilgi verilmiştir. Bu bölümün sonunda non- Hammnig metriğinde minimum uzaklık, minimum ağırlık ve lineer kodların duali incelenmiştir..

İkinci bölümde R2 = F₂+uF₂+vF₂+uvF₂ halkasının yapısı,R üzerinde lineer kodlar 2

ve halkanın karakter yapısı verilmiştir.

Üçüncü bölümde non-Hammnig metriğine göre M_nxs(R2)üzerinde lineer kodların yapısı ve tam ağırlık sayacı verildi. Bölümün sonunda da tam ağırlık sayacı kullanılarak MacWilliams özdeşliği M_nxs(R üzerindek2) i lineer kodlar için sağlandığı görüldü ve örneklendirildi.

Dördüncü bölümde non-Hamming metriğine göre M_nxs(F üzerindeki lineer kodlar 2) için split ρ ağırlık sayacı tanımlanmış ve MacWilliams özdeşliği ispatlanmış ve örneklendirilmiştir.

viii

MACWILLIAMS IDENTITIES FOR ROSENBLOOM

TSFASMAN(RT) WEIGHT ENUMERATORS

SUMMARY

Keywords: Linear Codes, Non-Hammning Metric, Complete Weight Enumerator, Split ρ Weight Enumerator.

This thesis consist of four chapter. The first chapter is a preparation for the followings. Some basic definitions and theorems, structure of linear codes, Hamming metric and MacWilliams identity are given. End of the this chapter, minimum distance, minimum weight and dual of linear codes with respect to non-Hamming metric are investigated.

In the second chapter, the structure of R₂ = F₂+uF₂+vF₂+uvF₂, linear codes over R and the ring’s character are given. 2

In the third chapter, the structure of linear codes over M_nxs(R₂) with respect to non- Hamming metric and complete weight enumerator are investigated. Finally, MacWilliams identity for complete weight enumerator of linear codes over

( 2)

Mnxs R with respect to non-Hamming metric is provided and examples are given.

In the fourth chapter, split ρ weight enumerator for linear codes over M_nxs(F is 2) defined and MacWilliams identity is proved and examples are given.

BÖLÜM 1 . GİRİŞ

1.1. Cebirsel Yapılar ve Özellikleri

Bu kısımda temel kodları inşa ederken kullanacağımız cebirsel yapılar ve özellikler işlenmektedir.

Tanım 1.1.1: G boş olmayan bir küme ve ^∗ , G de bir ikili işlem olsun. (G,^∗) cebirsel yapısı aşağıdaki dört aksiyomu sağlıyorsa G grup olarak adlandırılır [1].

G1: Kapalılık: ∀a,b∈G için c = a ∗ b ∈ G dır.

G2: Birleşme: ∀a,b,c∈G için a ∗ (b ∗ c) = (a ∗b) ∗ c dır.

G3: Birim eleman: ∀a ∈G için, a ∗ e = e ∗ a = a olacak şekilde ^∃e ∈ G vardır.

G4: Ters eleman: ∀a ∈G için a ∗^{a−1 =a−1}∗ a e= olacak şekilde ^∃a−1∈ G vardır.

Ayrıca ∀^{a b,} ∈^G için a b∗ = ∗ değişme özelliği de sağlanıyorsa gruba değişmeli b a (abel) grup denir.

Tanım 1.1.2: G sonlu bir küme ise (G,^∗) grubuna bir sonlu grup ve eleman sayısına da grubun mertebesi denir. Grubun mertebesi G ile gösterilir [1].

Tanım 1.1.3: G bir grup ve H, G grubunun boş olmayan bir alt kümesi olsun.

Eğer H, G grubundaki işleme göre kendi başına bir grup ise H ye, G nin bir alt grubu denir ve H < G ile gösterilir [1].

Tanım 1.1.4: (G,) ve (H,∗ ) iki grup ve f: G → H bir fonksiyon olsun. ∀a,b∈Giçin f (a _ b) = f (a)∗ f (b) ise f fonksiyonuna G grubundanHgrubuna bir

homomorfizma denir. Aynı zamanda f birebir ve örten bir homomorfizma ise f izomorfizma olarak adlandırılır [1].

Eğer G ve H grupları arasında bir izomorfizma varsa bu gruplara izomorf gruplar denir ve G ≅H ile gösterilir.

Tanım 1.1.5: R ≠ ∅ kümesi üzerinde tanımlı iki ikili işlem toplama (+) ve

çarpma (.) olsun. Aşağıdaki aksiyomları sağlayan (R,+, .) cebirsel yapısına halka denir [1].

H1: (R,+) bir değişmeli bir gruptur.

H2: Çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.

H3: Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılma özellikleri vardır. Yani,

a,b,c∈ R için a . (b + c) = a . b + a . c ve (a + b) . c = a . c + b . c dır.

Halkanın toplama işlemine göre etkisiz elemanına halkanın sıfır elemanı denir ve 0R

ile gösterilir. Eğer çarpma işlemine göre de etkisiz eleman varsa böyle bir halkaya birimli halka denir ve bu etkisiz elemana da halkanın birim elemanı denir ve 1R ile gösterilir.

Tanım 1.1.6: R bir halka ve ∅≠ I ⊂ R olsun. Aşağıdaki iki aksiyom sağlanıyorsa I ya R nin ideali denir [1].

I1 : ∀a b, ∈I için a b− ∈ ve I

I 2: ∀s∈I ve ∀r∈R için sr ∈ I ve rs∈ I dır.

Tanım 1.1.7: R ve S iki halka ve :f R→ bir fonksiyon olsun. Eğer ,S ∀a b∈ için; R ^{1) ( ) ( ) ( )}

2) ( ) ( ) ( ) f a b f a f b f ab f a f b

+ = +

=

ise f ye R den S ye bir halka homomorfizması denir [1] .

Tanım 1.1.8: :f R→ bir homomorfizma ise f nin çekirdeği S

{ }

: ( ) 0_S (0 )_S

Çek f = a∈R f a = = f⁻ ile tanımlanır [1].

Homomorfizma Teoremi 1.1.1: f R: → bir halka homomorfizması ise S 1) Çek f =I R, nin bir idealidir.

2) ∀ ∈r R için ( )=φ r r+I ile tanımlı :φ R→R I/ fonksiyonu bir örten homomorfizmasıdır. φ ye doğal homomorfizma denir.

3) /R I≅ f R( ) dir [1].

Tanım 1.1.9: R birimli ve değişmeli bir halka ve R−

{ }

Tanım 1.1.10: R bir halka, x bir bilinmeyen ve a a0, ,...,1 a_n∈ olmak üzere, R

0 1 ... _n ⁿ

a +a x+ +a x

şeklindeki bir ifadeye R den katsayılı bir polinom denir. R den katsayılı tüm polinomlar kümesi ^{R x}

[ ]

Eğer a_n ≠ ise 0 a _n e polinomun başkatsayısı ve n yede polinomun derecesi denir.

1.2. Lineer Kodlar

Bu bölümde çok önemli bir sınıf teşkil eden lineer kodlar ve lineer kodlarla ilgili temel kavramlar verilmektedir.

Tanım 1.2.1: F cismi üzerinde tanımlı elemanları vektörler olan V kümesi aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa V kümesine vektör uzayı denir [2].

V1: V kümesi toplama işlemine göre değişmeli bir gruptur.

V2: ∀a^∈F ve u∈V için au∈V dır.

V3: ∀a,b∈ F ve ∀u,v∈V için a (u + v) = au + av ve (a + b)v = av + bv dır.

V4: ∀a,b∈ F ve ∀u∈V için (ab)u = a (bu) V5: ∀u∈V için 1u = u dır.

Tanım 1.2.2: V bir vektör uzayı olsun ve W ≠ ∅ da V nin bir alt kümesi olsun. Eğer W vektör uzayının bütün aksiyomlarını sağlıyorsa W ya V nin bir alt uzayı denir [2].

Teorem 1.2.1: V bir vektör uzayı ve ∅ ≠W ⊂ alt kümesi olsun. W aşağıdaki V aksiyomları sağlıyorsa V vektör uzayının bir alt uzayıdır [2].

1) ∀x,y∈W için x + y∈W dır.

2) ∀a∈F ve ∀x∈W için ax∈W dır.

Tanım 1.2.3: a ler i skalerler ( yani cisim elemanları) olmak üzere, r tane v v1, 2,...,v_r vektörlerinin lineer birleşimi

1 1 2 2 ... _{r r}

v=a v +a v + +a v

şeklindedir. Eğer A=

{

}

Tanım 1.2.4: A=

{

}

birleşimlerinin kümesi olmak üzere, Sp(A) uzayına A kümesinin gerdiği (ürettiği) alt uzay denir. E kümesine de, Sp(A) alt uzayının bir üreteci denir [2].

Tanım 1.2.5: V vektör uzayında v v1, 2,...,v_rvektörleri verilsin. Eğer

1 1 2 2 ... _{r r} 0

a v +a v + +a v =

olacak biçimde en az biri sıfırdan farklı olan a a1, 2,...,a _r sayıları varsa

{

}

vektörlerinin kümesi lineer bağımlıdır denir. Lineer bağımlı olmayan kümeye lineer bağımsız küme denir [2]. Yani

1 1 2 2 ... _{r r} 0 1 2 ... _r

a v +a v + +a v = ⇒a =a = =a

Tanım 1.2.6: V bir vektör uzayı ve A=

{

}

1) A lineer bağımsız bir kümedir.

2) A, V yi geren bir kümedir.

Tanım 1.2.7: V vektör uzayının herhangi bir tabanındaki vektörlerin sayısına V nin boyutu denir ve boyV ile gösterilir [2].

Tanım 1.2.8: V bir vektör uzayı olsun. Aşağıdaki aksiyomlar sağlanıyorsa bu vektör uzayına iç çarpım uzayı denir [2]. c bir skaler ve u,v,w V∈ olmak üzere;

1) u u, ≥0 ; u u, = ⇔ =0 u 0_V 2) u v, = v u, dır.

3) u+v w, = u w, + v w, ve u v, +w = u v, + u w, dır.

4) cu v, =c u v, ve u cv, =c u v, dır.

Tanım 1.2.9: V iç çarpım uzayında ^{u v, =0}ise u vektörü, v vektörüne diktir (veya ortogonaldir) denir [2].

Tanım 1.2.10: R bir halka olsun. M kümesi aşağıda verilen dört aksiyomu sağlıyorsa M kümesine R halkası üzerinde sol modül denir [3].

M1

:

M2

:

(

)

M3

:

(

)

(

)

M4

:

(

)

Eğer R halkası birimli bir halka ise aşağıdaki ek aksiyom da sağlanır.

M5

:

Tanım da verilen “sol” ifadesi halkanın elemanlarının sol taraftan çarpıldığını

gösterir. Eğer halkanın elemanları “sağ” taraftan çarpılıyorsa sağ modül tanımı elde edilir.

Tanım 1.2.11: M , R üzerinde bir modül ve N , M modülünün bir toplama işlemine göre alt grubu olsun. ∀r ∈ R ve ∀n∈ N icin rn∈N ise N , M modülünün alt modülü olarak adlandırılır [3].

Tanım 1.2.12: x=( ,x x1 2,...,x_n) ve y=( ,y y_{1 2},...,y_n) vektörleri olsun. x ve y nin farklı bileşenlerinin sayısına Hamming uzaklığı denir ve ( , )d x y ile gösterilir [4].

Tanım 1.2.13: Bir x=( ,x x1 2,...,x_n) vektörünün sıfırdan farklı elemanlarının sayısı x vektörünün Hamming ağırlığını verir ve w(x) ile gösterilir.

Buradan

( , ) ( )

d x y =w x− y olduğu görülür [4].

Tanım 1.2.14: ^A=

{

}

Tanım 1.2.15: C kodunun minimum uzaklığı

, ,

( ) min ( , )

x y C x y

d C d x y

∈ ≠

= şeklinde tanımlanır [4].

Tanım 1.2.16: Bir C kodunun sıfırdan farklı kodsözlerinin ağırlıklarının en küçüğüne o kodun minimum ağırlığı denir [4].

Tanım 1.2.17: Eğer C⊂V n q( , )altkümesi ( , )V n q vektör uzayının bir alt uzayı ise C ye lineer kod denir. Eğer C nin boyutu k ise C ye [n,k]-kodu denir. Eğer C nin ayrıca minimum uzaklığı d ise o zaman C ye [n,k,d] kodu denir [4].

Teorem1.2.2: Eğer C lineer bir kod ise ( )d C =w C( )dir [4].

Tanım 1.2.18: V(n,q) vektör uzayında doğal olan bir iç çarpım tanımlıdır. Eğer

1 2

( , ,..., _n)

u= u u u ve v=( ,v v_{1 2},...,v_n)∈V n q( , ) olmak üzere u ve v nin iç çarpımı u v, =u v_{1 1}+u v_{2 2}+ +... u v_{n n}

şeklinde tanımlanır [4].

Tanım1.2.19: C bir [n,k]- kodu olsun.

{

}

C^⊥ = u∈V n q u c = ∀ ∈c C

şeklinde tanımlanan ^C⊥ koduna lineer kodun dik tümleyeni denir [4].

1.3. Ağırlık Sayaçları

Bu bölümde kodlama teorisinin en önemli sonuçlarından biri olan MacWilliams özdeşliği ispatında yardımcı olacak kavramlar verilecektir. Bu özdeşlik C nin ağırlık sayacı bilindiğinde ^C⊥ in ağırlık sayacının tamamen tanımlı olduğunu gösterir.

Tanım 1.3.1: C bir [n,k,d] lineer kod olsun ve W ,C i de Hamming ağırlığı i olan kodsözlerin sayısını göstersin. Burada açıkça görülür ki W_i = (10 ≤ ≤i d) ve W₀ =1 dir. Aşağıda verilen

0

( )

n i

C i

i

W z W z

=

=

∑

ifadesine C nin Hamming ağırlık sayacı denir [5].

Örnek 1.3.1: [5,2,-] parametrelerine sahip F sonlu cismi üzerinde ₂

{

}

C = kodu için

{

}

C^⊥ = olup C veC^⊥ kodları

için ağırlık sayaçları sırasıyla aşağıdaki gibi elde edilir:

3 4

( ) 1 2 W zC = + z +z

2 3 4

( ) 1 2 4

WC⊥ z = + z + z +z 1.3.1. Karakterler

Tanım 1.3.1.1: (G,+) bir grup ve (ℂ −{0},.) kompleks sayıların çarpımsal grubu olsun. χ :G →ℂ −{0} homomorfizması varsa χ , G grubunun karakteri denir. χ homomorfizma olduğundan her u,v∈G için,

χ ( u + v) = χ ( u ).χ (v) ve χ (0) =1

dır. Eğer ^∀u∈G icin χ (u) =1 ise χ özel olarak G grubunun temel karakteridir [4].

Teorem 1.3.1.1: G bir grup ve χ da G grubunun bir karakteri olsun. O halde, temel karakter ise

( ) 0 Diğer

u G

u G χ

χ

∈

= 

∑

{ }

:F_q 0

χ → − karakteri (F_q, )+ grubu üzerinde temel karakter olmasın. u∈V (n,q) olmak üzere herhangi bir C ⊂V (n, q) lineer kodu için χu^:C→ −

{ }

(

)

( ) ( , ) ...

u c c u c u c u c un n

χ =χ =χ + + +

şeklindedir. İç çarpım özellikleri ve χu için verilen tanım kullanılarak χu

fonksiyonunun C kodu için karakter olduğu aşağıdaki gibi gösterilebilir [4]:

( ) ( )

( ) ( , ) , ,

u c d c d u c u d u

χ + =χ + =χ +χ

= χ

(

) (

)

Teorem 1.3.1.2: χ_u:C →ℂ −{0} karakterinin temel karakter olabilmesi için gerek ve yeter şart ^u∈C⊥ olmasıdır [4].

Bundan sonra χ_u karakteri, temel olmayan karakter olarak ele alınacaktır.

Sonuç 1.3.1.1: C ⊂V (n, q) lineer kod olsun. Bu taktirde u∈V (n,q) icin,

( )

0

u c C

C u C

c

u C χ

⊥

∈ ⊥

 ∈

= 

 ∉

∑

Tanım 1.3.1.2: f, F üzerinde n uzunluklu tüm vektörlerin uzayı olan V(n,q) üzerinde tanımlanmış bir fonksiyon olsun. Ayrıca f toplamanın ve çıkarmanın tanımlı olduğu bir cümle üzerinde değerler alsın yani f(u) toplanabilir ve çıkarılabilir olsun [6]. Bu durumda f nin Hadamard dönüşümü;

( , )

( ) ( , ). ( )

v V n q

f u χ u v f v

∈

=

∑

 , u∈V n q( , )

Önerme 1.3.1.1: Eğer C V(n,q) üzerinde bir [n,k.-] lineer kod ise

( ) 1 ( )

v C u C

f v f u

C

⊥ ∈

∈

∑

∑

dır [6].

İspat:

( )

u C

f u

∑

( , )

( , ). ( )

u C v V n q

u v f v χ

∈ ∈

 

 

 

∑ ∑

u C u C

v C v C

f v χ u v f v χ u v

⊥ ∈ ⊥ ∈

∈ ∉

∑ ∑

∑ ∑

toplama işleminin sağ tarafındaki ifade sonuç 1.3.1.1 den dolayı sıfırdır ve sol tarafındaki ^{( , )}

u C

χ u v

∑

O halde;

( )

u C

f u

∑

f v

∈ ⊥

∑

elde edilir.

Teorem 1.3.1.3: (MacWilliams Özdeşliği)Fqüzerinde tanımlı C [n,k,d] lineer kodu olsun . Bu taktirde;

( ) ( )

( ) 1 (1 ( 1) )^{n w c} (1 )^{w c}

C

c C

W z q z z

⊥ C −

∈

=

∑

dır [5] .

ispat: C ^⊥ kodunun tanım 1.3.1 den dolayı ağırlık sayacı ( ) ^{w u}( ) C

u C

W ⊥ z z

∈ ⊥

=

∑

şeklindedir. Buradan

( )

( )

( )

( )

( ) 1 ,

1 ,

n q

n q

w u C

u F c C

w u c C u F

W z u c z

C

u c z C

χ χ

⊥

∈ ∈

∈ ∈

 

=  

 

 

=  

 

 

∑ ∑

∑ ∑

elde edilir.

Burada u=( ,u u_{1 2},...,u_n)ve c=( ,c c_{1 2},...,c_n)olmak üzere

(

) (

)

χ =χ + + +

1 1 2 2

=χ(u c) (χ u c )... (χ u c_{n n})

1

( )

n

j j j

χ u c

=

=

∏

böylece

( )

1

( ) 1 ( ( ) ^j )

n q

n w u

j j C

c Cu F j

W z u c z

C χ

⊥

∈ ∈ =

=

∑ ∑ ∏

^{( )}

1

1 ( )

q

n

w u j

c C j u F

C χ uc z

∈ = ∈

 

=

∑ ∏

∑

{ }

* 0

q q

F =F − olsun. Teorem1.3.1.1 den dolayı biliyoruz ki χ temel karakter olmadığından

( )

*

1 0 1 diğer

q

j j

u F

q c

χ uc

∈

− =

= 

−

∑

bu nedenle

( ) ^{( )} ( )

*

( ) 1 ( 1) 0

0 1 diğer

q q

w u j

j j

u F u F

q z c

uc z z uc

χ χ χ z

∈ ∈

+ − =

= + =  −

∑ ∑

olur.

O halde C deki her bir c=( ,c c_{1 2},...,c_n) kodsözü için

( )

1

(1 ( 1) ) (1 )

q

n

w u n w c w c

j u F j

uc z q z z

χ ⁻

∈

=

 

= + − −

 

 



∑

∏

bulabiliriz. Son eşitliği (0.1) de yerine yazarsak

( ) ( )

( ) 1 (1 ( 1) )^{n w c} (1 )^{w c}

C

c C

W z q z z

⊥ C −

∈

=

∑

MacWilliams özdeşliği elde edilir.

1.4.Non-Hamming (Rosenbloom-Tsfasman) Metriğine Göre Lineer Kodların Yapısı

ρnon-Hamming (Rosenbloom-Tsfasman) metriği [7] de sunulmuş ve minimum uzaklık için üst sınırlar hesaplanmıştır. Bu bölümde de non-hamming (RT) metriği üzerinde lineer kodların minimum uzaklığı, minimum ağırlığı, duali ve iç çarpımı incelenecektir. Daha ayrıntılı bilgi için [8]’e bakılabilir.

Tanım 1.4.1:α =(α α0, 1,...,α_s−1)∈ kod sözün non-hamming ağırlığı ; C

{ }

max | 0 +1 0 ( ) 0 0

i N

w i α α

α α

≠ ≠

= 

 =

Herhangi α β, ∈Ciçin ρ α β( , )=w_N(α β− )şeklinde tanımlanan ρ fonksiyonuna α ve β kodsözlerinin non-Hamming uzaklığı denir. ρ bir metriktir.

Tanım 1.4.2: Non-Hamming metriğinde minimum uzaklık

{ }

( ) min , ( , ) | ( , ) 0

N C

d C = _{α β∈} ρ α β ρ α β ≠ şeklinde tanımlanır.

Tanım 1.4.3: Non-Hamming metriğinde minimum ağırlık;

{ }

( ) min ( ) | 0

N C N

w C = _α∈ w α α ≠ şeklinde tanımlanır.

Hamming metriğinde olduğu gibi C lineer kod ise ( )d_N C =w C_N( ) olur.

Tanım 1.4.4: C nin herhangi iki kodsözü α =(α α0, 1,...,α_s−1) ve β =(β β0, 1,...,β_s−1) olmak üzere non-Hamming metriğine göre iç çarpım

1 1 0

,

s

i s i i

α β ⁻ α β_{− −}

=

=

∑

şeklinde tanımlanır.

Tanım 1.4.5: C bir [n,k,d] lineer kod olsun ve W ,C de non-i Hamming ağırlığı i olan kodsözlerin sayısını göstersin. O halde

0

( )

n i

C i

i

W z W z

=

=

∑

polinomuna C nin non-Hamming ağırlık sayacı denir.

BÖLÜM 2 . F +uF +vF +uvF

_HALKASI ÜZERİNDE LİNEER

KODLAR

Bu bölümde ilk olarak R₂ = F₂+uF₂+vF₂+uvF₂ halkasının elemanları ve idealleri verilecek daha sonra lineer kodlar tanımlanacaktır. Bu halka yapısı ile ilgili daha ayrıntılı bilgi için [9] e bakılabilir.

2.1. R =₂ F +uF +vF +uvF _{2 2 2 2} Halkası

R2 halkası aşağıdaki gibi tanımlanır:

{

}

2 | , , , 2, 0 ve

R = a+bu+cv+duv a b c d∈F u =v = uv=vu Buradan R₂nin F₂üzerinde 4 boyutlu olduğu görülür

R2 nin elemanlarını aşağıdaki gibi listeleyebiliriz:

2

0, , , , , , , ,1,1 ,1 ,1 ,1 ,1

1 ,1

u v u v uv u uv v uv u v uv u v u v uv u uv

R v uv u v uv

+ + + + + + + + + + + +

 

=  + + + + + 

Buradan R₂ =16 olduğu görülür.

R2 deki toplama ve çarpma ise, δ₁= +a₁ b u₁ +c v₁ +d uv₁ ve δ₂ =a₂+b u₂ +c v₂ +d uv₂ olmak üzere;

1 2 (a1 a2) (b1 b u2) (c1 c v2) (d1 d uv2)

δ δ+ = + + + + + + +

1 2 (a a1 2) (a b1 2 b a u1 2) (c a1 2 c a v2 1) (a d1 2 a d2 1 c b1 2 b c uv1 2)

δ δ = + + + + + + + +

Şeklindedir. Ayrıca R2nin birimleri kolay bir şekilde bulunabilir ve bunlar aşağıdaki gibidir.

(

)

1,1 ,1 ,1 ,1

1 ,1 ,1

u v u v u uv

F uF vF uvF

v uv uv u v uv

+ + + + + +

 

+ + + =  + + + + + + 

Önerme 2.1.1: Herhangi bir r∈R₂ için ² 1 birim ise 0 diğer r  r

= 

2.2. R₂nin İdeal Yapısı

Halkanın ideal yapısı kodlar üzerinde çalışırken önemli bir role sahiptir. R2 nin idealleri aşağıdaki gibi listelenebilir.

2 2 2 2

( ) {0, , , }

Ju =u F +uF +vF +uvF = u uv u+v

2 2 2 2

( ) {0, , , }

Jv =v F +uF +vF +uvF = v uv v v+

2 2 2 2

( )( ) {0, , , }

Ju v₊ = u+v F +uF +vF +uvF = u+v uv u+ +v uv

, {0, , , , , , , }

Ju v = u v u+v uv u+uv v uv u+ + +v uv

Buradan J₀ ={0}⊆J_uv ⊆J J J_u, _v, _{u v+} ⊆J_{u v,} ⊆J₁=R₂ olduğu görülür.

2.3. F +uF +vF +uvF Üzerinde Lineer Kodlar _{2 2 2 2}

Tanım 2.3.1: F2+uF2+vF2+uvF2 üzerinde n uzunluğunda bir C lineer kodu

2 2 2 2

(F +uF +vF +uvF )ⁿ nin bir altmodülüdür.

Bu halkanın bir dezavantajı üreteç matrisinin oluşturulamamasıdır. Fakat en azından üreteçleri sınıflandırmak mümkün olmuştur. F2+uF2 +vF2+uvF2 üzerinde lineer kodlar için 6 sınıf üreteçler vardır. Bunları , , , , ,a b c d e f olarak gösterirsek;

(

)

a∈ F +uF +vF +uvF n \ (J_{u v,} )ⁿ ( _{u v}, ) ; (ⁿ _u) , (ⁿ _v) , (ⁿ _{u v})ⁿ b∈ J b∉ J J J ₊

( _u)ⁿ

c∈ J \ (J_uv)ⁿ ( _v)ⁿ

d∈ J \(J_uv)ⁿ ( _{u v})ⁿ

e∈ J ₊ \ (J_uv)ⁿ

{ }

( _uv)ⁿ 0, ⁿ f ∈ J = uv

Tanım 2.3.2: Eğer αi∈ , R2 β_j∈F₂+uF₂+vF₂ , γ_m∈F₂+vF₂

2 2

t F uF

µ ∈ + , η_r∈F₂+uF₂ ve ζ_s∈ olmak üzere; F₂

3 5 6

1 2 4

1 1 1 1 1 1

0

k k k

k k k

i i j j m m t t r r s s

i j m t r s

a b c d e f

α β γ µ η ζ

= = = = = =

+ + + + + =

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

eşitliği sadece α β γ µ η ζi^, j^, m^, t^, r^, s =⁰ için sağlanıyorsa 2

Rn in alt kümesi olan

{ } { } ^{{ }} { } ^{{ }} { }

{

}

S = a b c d e f

lineer bağımsızdır denir.

Tanım 2.3.3: Kabul edelim ki

{ } { } ^{{ }} { } ^{{ }} { }

{

}

S = a b c d e f

Kümesi yukarıdaki gibi tanımlanan lineer bağımsız üreteçlerin kümesi olsun. O halde S tarafından üretilen n uzunluğundaki C lineer kodu

3 5 6

1 2 4

2

1 1 1 1 1 1

{

k k k

k k k

i i j j m m t t r r s s i

i j m t r s

a b c d e f R

α β γ µ η ζ α

= = = = = =

+ + + + + ∈

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

2 2 2, 2 2, 2 2, 2 2, 2}

j F uF vF m F vF t F uF r F uF s F

β ∈ + + γ ∈ + µ ∈ + η ∈ + ζ ∈

Bu durumda diyebiliriz ki C (16) (8) ( ) ( ) (^{k1 k2} u ^k3 v ^k4 u+v) (2)^{k5 k6} tipindedir.

Örnek 2.3.1: (0, , 0,u u+v uv, ), (0, 0,uv uv, , 0) nin ürettiği C kodunu bulalım:

Çözüm: Bu iki kodun lineer kombinasyonlarına bakmalıyız. Öncelikli kodların elemanlarının hangi üreteç sınıfından alındığına bakalım. Birinci kodun elemanları

b sınıfından ikinci kodun elemanları ise f sınıfındandır.

Tanım 2.3.2 den dolayı ^b sınıfından olan kodun katsayıları;

{ }

2 2 2 0, , , ,1,1 ,1 ,1

j F uF vF u v u v u v u v

β ∈ + + = + + + + +

ve f sınıfından olan kodun katsayıları

2 {0,1}

s F

ζ ∈ = olacaktır.

O halde bu katsayılarla kodu çarpıp birbirleriyle toplarsak yani lineer kombinasyonlarını alırsak;

(0, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, , 0), (0, , 0, , 0), (0, , 0, 0, 0), (0, , 0, , )

(0, , 0, , ), (0, , 0, , ), (0, , 0, , )

(0, 0, , , 0), (0, 0, , 0, 0), (0, , , 0, 0), (0, , , , 0)

(0, , , , ), (0

uv uv uv uv u u v uv

u u v uv uv u uv u v uv uv u uv u v uv

C uv uv uv uv uv uv uv uv

u uv u v uv uv

+

+ + + + + + +

=

+ + , , , , ), (0, , , , ),

(0, , , , )

u uv u v uv u uv uv u v uv u uv uv u v uv uv

 

 

 

 

 

 + + + 

 

+ + +

 

 

Buradan C =8.2 16= olduğu görülür.

Bu kodun non-Hamming (Rosenbloom-Tsfasman) minimum ağırlığı Tanım 1.4.3 den w C_N( )= olduğu görülür. 2

Tanım 2.3.4: a bu+ +cv+duv∈ olsun.R2 c =( , , , )a b c d de 4 uzunluğundaki bir ikili vektör olarak düşünülebilir. ^{wt c( )}de bu vektörün Hamming ağırlığı olmak üzere;

(a bu cv duv) ( 1)^{wt c}( )

χ + + + = −

R 2 halkasının üreteç karakteridir. Buradan görülebilir ki ; (0) 1

χ =

(1) ( )u ( )v (uv) 1

χ =χ =χ =χ = −

(1 u) (1 v) (1 uv) (u v) (u uv) (v uv) 1

χ + =χ + =χ + =χ + =χ + =χ + =

(1 u v) (1 u uv) (1 v uv) (u v uv) 1

χ + + =χ + + =χ + + =χ + + = −

(1 u v uv) 1

χ + + + =

şeklindedir.

BÖLÜM 3. NON- HAMMİNG RT METRİĞİNE GÖRE

ÜZERİNDEKİ LİNEER KODLAR İÇİN TAM AĞIRLIK SAYACI

VE MACWILLIAMS ÖZDEŞLİĞİ

2 2 2 2 2

R =F +uF +vF +uvF 16 elemanlı halka olsun. M_nxs(R2) R₂’nin tüm nxs matrislerini göstersin. Tekrardan ρ (Rosenbloom-Tsfasman) ağırlığını tanımlamak gerekirse ;

0 1 1

( , ,..., _s )

α = α α α ₋ ∈M_1xs(R₂) olsun. Böylece;

max{ | 0} 1 , 0 ( ) 0 , 0

i i

N

w i α α

α α

≠ + ≠

=  =

şeklinde tanımlanır. Non-Hamming metriğini kullanarak ρ metriği

0 1 1

( , ,..., _s )

α = α α α ₋ ve (β = β β₀, ₁,...,β_s−1) için,

( , ) w_N( ) ρ α β = α β−

olarak tanımlanır.

Şimdide bu tanımı matrislere genişletirsek;

0 1 , 1

( , ,..., )

i i i i s

ξ = ε ε ε ₋

(

)

1

( ) ( )

n

N N i

i

w ξ w ξ

=

=

∑

şeklindedir.

Tanım 3.1: M_nxs(R nin bir 2) R altmodülü C, n ₂ uzunluğunda bir lineer kod olarak adlandırılır.C⊂M_nxs(R2) bir lineer kod olsun.

( ) { | ( ) } 0

r N

w C = ξ∈C w ξ =r ≤ ≤r ns kodun ρağırlık spektrumu olarak adlandırılır ve ρ ağırlık sayacı

( ) 0

( ) ( ) ^N

ns

w r

C r

r C

W z w C z z ^ξ

ξ

= ∈

=

∑

∑

ile gösterilir.

Tanım 3.2: ξ_i =(ε ε_i0, _i1,...,ε_is−1) ve ∆ =_i (δ δ_i0, _i1,...,δ_is−1)∈M_1xs(R₂) olsun.ξ_i ve ∆ _i için iç çarpım ;

1

, 1 0

,

s

i i ij i s j

j

ξ ⁻ ε δ _{− −}

=

< ∆ >=

∑

olarak tanımlanır.

Şimdi bu iç çarpımı matrisler için genişletirsek;

1 2 1 2 2

( , ,..., _n) ve ^T ( , ,..., _n)^T M_nxs(R )

ξ = ξ ξ ξ ∆ = ∆ ∆ ∆ ∈ olmak üzere

1

, ,

n

i i

i

ξ ξ

=

< ∆ >=

∑

olarak genişletilebilir.

Tanım 3.3: C kodu n uzunluğunda bir lineer kod olsun.C nin dual kodu;

{

}

C^⊥ = ∆ ∈M R < ∆ >=ξ ∀ ∈ξ C olarak tanımlanır ve ^C⊥ de n uzunluğunda lineer bir koddur.

Örnek 3.1: Kodsözleri M_{1 2x} (R den olan C ₂) kodu aşağıdaki gibi olsun.

{

}

C = uv u+v u+ +v uv uv uv uv uv u+ +v uv uv u+v

Bu C kodunun Rosenbloom Tsfasman metriğine göre duali ise;

(0, 0), (0, ), (0, ), (0, ), (0, ), (0, ), (0, ), (0, ), ( , 0),

( , ), ( , ), ( , )( , ), ( , ), ( , ),

( , ), ( , 0), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )( , ), (

u v uv u v u uv v uv u v uv u v

u v u u v v u v uv u v u v u v u uv u v v uv

C u v u v uv uv uv u uv v uv uv uv u v uv u uv uv v uv u

+ + + + + +

+ + + + + + + + +

= + + + + + +

, ), ( , 0), ( , ), ( , ), ( , ),

( , ), ( , ), ( , ), ( , )

v u v uv u v uv u v uv u u v uv v u v uv uv u v uv u v u v uv u uv u v uv v uv u v uv u v uv

 

 

 

 

 

 + + + + + + + + + + 

 

+ + + + + + + + + + + + +

 

 

3.1. Tam Ağırlık Sayacı

Ağırlık sayacına geçilmeden önce aşağıdaki tanımlar verilmelidir. Bu bölümde kodsözler polinom olarak verilecektir.

0 1 1

( , ,..., )

i i i is

ξ = ε ε ε ₋ ∈M_1xs(R₂) ve ξ =( ,ξ ξ_{1 2},...,ξ_n)^T∈M_nxs(R₂) olsun.

ϕ:M_nxs(R²)^→M_nx¹(R x²[ ]/^<x^{s >} )

ξ →(ε₁₀+ε₁₁x+ +... ε_1,s−1x^s−1,...,ε_n0+ε_n1x+ +... ε_{n s,−1}x^s−1)^T

Yukarıda tanımlanan dönüşüm R-modül izomorfizmasıdır. ε( )x ∈(R x₂[ ]/<x^s > ) polinomunun w _N ağırlığı de ( ( )) 1r ε x + olduğu görülür. Yani

( ( )) der( ( )) 1 wN ε x = ε x +

Tanım 3.1.1: ε^{( )x} =ε₀+ε₁x+ +... εx^s−1∈(R x₂[ ]/<x^s > olsun ) ε( )x in l inci . katsayısı

( ( )) (0 1)

l l

c ε x =ε ≤ ≤ − l s olarak tanımlanır.

1 2 1 2 1 2

( )x ( ( ),x ( ),...,x _n( )) ve ( )x ^T x ( ( ),x ( ),...,x _n( ))x ^T M_nx (R x[ ]/ x^s )

ξ = ξ ξ ξ ∆ = ∆ ∆ ∆ ∈ < >

olsun. Burada ξ_i( )x =ε_i0+ε_i1x+ +... ε_{i s,−1}x^s−1 ve ∆_i( )x =δ_i0+δ_i1x+ +... δ_{i s,−1}x^s−1 dır.

Yukarıda tanımlanan ξ( ) ve ( )x ∆ x in iç çarpımı polinomlar cinsinden

1 1

( ), ( ) ( ( ), ( ))

n

s i i

i

x x c x x

ξ ₋ ξ

=

< ∆ >=

∑

Bir a∈ elemanının Hamming ağırlığı ; R₂

0 , 0 ( ) 1 ,

a a

diğer ω _{= }^{ =}



olarak tanımlanır.

1≤ ≤i n ve 0≤ ≤ −j s 1 için ξ =(ε_{ij nxs}) ve Y_ns =y₁₀,y₁₁,...,y_1,s−1,...,y_n0,y_n1,...,y_{n s,−1} olsun. Bir C kodunun tam ρ ağırlık sayacı;

1, 1 , 1

10 11 ( ) 0 1 ( )

( ) ( ) ( ) ( )

10 11 1, 1 0 1 , 1

( ) ... ^s ... ^{n n} ... ^{n s}

C ns s n n n s

C

W Y y^{ω ε} y^{ω ε} y^{ω ε} y^{ω ε} y^{ω ε} y^{ω ε}

ξ

− −

− −

∈

=

∑

olarak tanımlanır. Tam ρ ağırlık sayacının ns değişkenli bir polinom olduğuna dikkat çekilir. Ayrıca tam ρ ağırlık sayacında değişkenler dönüşümü yapılarak ρ ağırlık sayacını elde etmek mümkündür.

Örnek 3.1.1: Örnek 3.1 deki C ve C^⊥ kodlarının ağırlık sayaçlarını yazalım:

1 2 1 2

( ) 1 3 3

W YC = + +y y + y y

1 2 1 2

( ) 1 3 7 21

WC⊥ Y = + y + y + y y

Önerme 3.1.1 : χ R nin karakteri olmak üzere ₂

2

( ) 0

α R

χ α

∈

∑