18.102

MIT A¸cık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Ko¸sulları hakkında bilgi al- mak i¸cin http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret ediniz.

18.102

Introduction to Functional Analysis Bahar 2009

Prof.Dr.Richard Melrose

18.102 Fonksiyonel Analize Giri¸s Bahar D¨ onemi 2009

DERS 11. KAPALI KONVEKS K ¨ UMELER VE UZUNLU ˘ GUN M˙IN˙IMALLES ¸T˙IR˙ILMES˙I

Yeni kavramları ¨ o˘ grenece˘ giz. Bunlar ¸ce¸sitli ders kitaplarında ve ders not- larında var.Bu nedenle bunları ¨ ozet olarak verece˘ giz.

(1) Konveks k¨ umelerde uzunlu˘ gun minimalle¸stirilmesi

A¸sa˘ gıdaki sonu¸c i¸cin Hilbert uzayın ayrılabilir olması gerekmez ve bazı yeni sonu¸cların, ¨ ozellikle de t¨ um genelli˘ gi ile Riesz Temsil Teoreminin kanıtlanmasına olanak verir.

Onerme 17 Bir Hilbert uzayı H’nın altk¨ ¨ umesi C a¸sa˘ gıdaki ¨ ozellikleri sa˘ glasın.

(a) bo¸s k¨ umeden farklı, (b) kapalı,

(c) konveks, yani v ₁ , v ₂ ∈ C ise ¹ ₂ (v ₁ + v ₂ ) ∈ C,

Bu durumda orijine en yakın bir v ∈ C noktası vardır. Yani (11.1) kvk _H = inf

u∈C kuk _H .

Kanıt. Infimumun tanımı gere˘ gi kv n k → d = inf u∈C kuk olacak bi¸cimde C de bir (v _n ) dizisi vardır. (v _n ) dizisinin yakınsak oldu˘ gunu g¨ osterece˘ gız ve bunun limit noktası aradı˘ gımız nokta olacak. Paralelkenar kuralı

(11.2) kv _n − v _m k ² = 2kv _n k ² + 2kv _m k ² − 4

v _n + v _m 2

2

.

kv _n k → d oldu˘ gundan, N yeterince b¨ uy¨ uk se¸cilerek verilen her  > 0 ve her n > N i¸cin 2 kv _n k ² < 2d ² + ^ ₂

sa˘ glanır. Konvekslikten dolayı ^(v

^+v ₂

⁾ ∈ C ve dolayısıyla ^v

^+v ₂

² ≥ d ² . Bunları birle¸stirerek

(11.3) n, m > N ⇒u ∈ C, kuk _H ≤ 4d ² +  ² − 4d ²

elde edilir, dolayısıyla (v _n ) Cauchy dizisidir. H tam oldu˘ gundan v _n → v ∈ C,

¸c¨ unk¨ u C kapalıdır. ¨ Ustelik norm s¨ urekli ve dolayısıyla kvk _H = lim _n→∞ kv _n k = d.

B¨ oylece v’nin varlı˘ gını g¨ osterdik. Tekli˘ gi ise yine paralelkenar kuralından elde edilir. v ve v ⁰ C’nin iki noktası ve kv k=k v ⁰ k = d ise ^(v+v ₂

⁾ ∈ C ve dolayısıyla

(11.4) kv − v ⁰ k ² = 2kvk ² + 2kv ⁰ k ² − 4

v + v ⁰ 2

2

≤ 0 ⇒ v = v ⁰ .

(2) Dikt¨ umleyenler

Onerme 18. H bir Hilbert uzayı ve W ⊂ H bir altuzay ise ¨ (11.5) W ^⊥ = {u ∈ H : (u, w) = 0 ∀w ∈ W } bir do˘ grusal altuzaydır ve W ∩ W ^⊥ = {0} dır. Ayrıca W kapalı ise

(11.6) H = W ⊕ W ^⊥

dir. Yani her u ∈ H i¸cin u = w + w ^⊥ olacak bi¸cimde tek w ∈ W ve tek w ^⊥ ∈ W ^⊥ vardır.

Kanıt. (11.5) deki W ^⊥ ’nın do˘ grusal altuzay oldu˘ gu onu tanımlayan ko¸suldan g¨ or¨ ul¨ ur. u ∈ W ^⊥ ve u ∈ W ise u⊥u, tanımdan, (u, u) = kuk ² = 0 ve u = 0 elde edilir.

S ¸imde W ’nın kapalı oldu˘ gunu varsayalım. W = H ise W ^⊥ = {0} ve bu durumda g¨ osterecek bir¸sey yoktur. Dolayısıyla u ∈ H ve u 6∈ W olsun.

(11.7) C = u + W = {u ⁰ ∈ H : u ⁰ = u + w, w ∈ W }

k¨ umesini ele alalım. Bu durumda w _n , W de bir dizi olmak ¨ uzere, u ⁰ _n = u + w _n i¸cin u ⁰ _n ile w _n nin yakınsak olmaları denk olduklarından C kapalıdır. u ∈ C oldu˘ gundan C bo¸s k¨ umeden farklıdır. u ⁰ = u+w ⁰ ve u ⁰⁰ = u+w ⁰⁰ elemanlarının C de olması ^u

^+u ₂

= u + ^w

^+w ₂

∈ C olmasını gerektirdi˘ ginden C konveksdir.

B¨ oylece yukarıdaki sonu¸ctan uzunlu˘ gun minimalle¸stirilmesi uygulanarak kvk = inf u

∈C ku ⁰ k e¸sitli˘ gini sa˘ glayan tek bir v ∈ C bulunur. Iddiamız v’nın W ’ye dik oldu˘ gudur -iki ger¸cel boyutta bir resmini ¸cizmek yararlı olacaktır! Bunu g¨ ormek i¸cin keyfi w ∈ W noktasını alalım ve λ ∈ C olsun. Bu durumda v + λw ∈ C ve

(11.8) kv + λwk ² = kvk ² + 2Re(λ(v, w)) + |λ| ² kwk ² .

e ^iθ (v, w) = |(v, w)| ≥ 0 olacak bi¸cimde λ = te ^iθ se¸celim. G¨ osterilmek istenen (11.9) t(2 |(v, w)| + tkwk ² ) ≥ 0 ∀t ∈ R ⇒ |(u, w)| = 0

anlamında kvk nın minimal oldu˘ gudur.

Bu ger¸cekten verilen u / ∈ W i¸cin in¸sa edilen v ∈ W ^⊥ vekt¨ or¨ un¨ un u = v + w

sa˘ gladı˘ gını verir. Teklik, 0 nın 0+0 ayrı¸stırmasına indirgenece˘ ginden, (11.6) yı

biricik ayrı¸stırmayla verir. Bu da W ∩ W ^⊥ = {0}’ı demektir.

(3) Riesz Theoremi : Bu sonu¸cların en ¨ onemli uygulaması Riesz Temsil Teoreminin kanıtlanması i¸cindir (Hilbert uzayları i¸cin ¨ ol¸c¨ umle ilgili bir ba¸ska uygulaması vardır).

Theorem 7 H bir Hilbert uzayı ise verilen s¨ urekli do˘ grusal fonksiyonel T : H → C i¸cin

(11.10) T (u) = (u, φ), ∀u ∈ H olacak bi¸cimde tek bir φ ∈ H vardır.

Kanıt. (a) ¨ Onceki ¨ onteorem kullanılmadan 10. dersde hızlıca verilen kanıt verilecek. T sıfır fonksiyoneli ise w = 0, (11.10)’nı sa˘ glar. Di˘ ger durumda T (u ⁰ ) 6= 0 olacak bi¸cimde u ⁰ ∈ H vardır. u = _{T (u} ^u

) diyelim. u ∈ H ve T (u) = 1 dır. B¨ oylece

(11.11) C = {u ∈ H : T (u) = 1} = T ⁻¹ ({1})

bo¸s k¨ umeden farklıdır. T ’nin s¨ ureklili˘ gi ve ikinci bi¸cimi, bir s¨ urekli fonksiyonun ters g¨ or¨ unt¨ us¨ u altında kapalı bir k¨ umenin g¨ or¨ unt¨ us¨ u kapalı oldu˘ gundan, C kapalıdır. ¨ Ustelik

(11.12) T ( u + u ⁰

2 ) = (T (u) + T (u ⁰ )) 2

oldu˘ gundan C konveksdir. B¨ oylece minimal uzunlukta olan bir v ∈ C noktası vardır. Yukarıdaki kanıtta oldu˘ gu gibi, buradan her w ∈ W ve λ ∈ C i¸cin kv + λwk ² ≥ kvk ² elde edilir ve buradan da v ∈ W ^⊥ bulunur.

Kanıta a¸sa˘ gıdaki gibi devam edilir.

(b) Yukarıdaki dikt¨ umleyeni kullanarak 11. dersde verilen kanıt burada tekrarlanacaktır. T s¨ urekli oldu˘ gundan sıfır uzayı

(11.13) W = T ⁻¹ ({0}) = {u ∈ H : T (u) = 0}

kapalı do˘ grusal altuzaydır. B¨ oylece yukarıdaki ¨ Onerme 18 gere˘ gi (11.14) H = W ⊕ W ^⊥

vardır. S ¸imdi, e˘ ger T = 0 fonksiyoneli ise W = H ve E ^⊥ = {0} ve w = 0 se¸cimi (11.10) i¸cin ¸calı¸sır. Di˘ ger durumda W de olmayan v ⁰ ∈ W ^⊥ vardır, yani, T (v ⁰ ) 6= 0 ve b¨ oylece v ∈ W ^⊥ ve T (v) = 1 sa˘ glanır. Buradan her u ∈ H i¸cin u − T (v)v a¸sa˘ gıdaki ifadeyi sa˘ glar:

(11.15) T (u − T (u)v) = T (u) − T (u)T (v) = 0 ⇒ u = w + T (u)v, w ∈ W.

(w, v) = 0 oldu˘ gundan (u, v) = T (u)kvk ² . B¨ oylece, e˘ ger φ = _kvk ^v

ise (11.16) u = w + (u, φ)v ⇒ T (u) = (u, φ)T (v) = (u, φ) dır 

(4) Sınırlı d¨ on¨ u¸s¨ umlerin e¸slenikleri.

Riesz Teoreminin bir uygulaması olarak bir Hilbert uzayında sınırlı her d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un,

(11.17) A : H → H, kHuk _H ≤ Ckuk _H ∀u ∈ H, nın tek bir tane e¸slenik d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u oldu˘ gu g¨ osterilmi¸sti. Yani

(11.18) (Au, v) _H = (u, A ^∗ v) ∀u, v ∈ H

olacak bi¸cimde tek bir tane sınırlı A ^∗ : H → H d¨ on¨ u¸s¨ um vardır. A ^∗ ’nın varlı˘ gını g¨ ormek i¸cin, A ^∗ v dı¸sında, her bir v ∈ H i¸cin A ^∗ v’nın nasıl olması gerekti˘ gini g¨ ormemiz gerekir. (11.18) deki gibi bir v’yi sabitliyelim. Yani

(11.19) H → C, u → (Au, v) ∈ C yi ele alalım. Bu do˘ grusal d¨ on¨ u¸s¨ umd¨ ur ve

(11.20) |(Au, v)| ≤ kAuk _H kvk _H ≤ (Ckvk _H )kuk _H

oldu˘ gundan sınırlıdır. B¨ oylece H da v’ye ba˘ glı bir s¨ urekli do˘ grusal fonksiyonel vardır. Aslında bu a¸sa˘ gıdaki iki s¨ urekli fonksiyonelin birle¸simidir:

(11.21) H → H → C, u → Au, w → (w, v).

Riesz teoremi gere˘ gi H da tekbir eleman vardır, bunu A ^∗ v ile g¨ osterelim (A ^∗ sadece v’ye ba˘ glı oldu˘ gundan),

(11.22) (Au, v) = (u, A ^∗ v), ∀u ∈ H

sa˘ glanır. B¨ oylece A ^∗ : H → H tanımlanır fakat do˘ grusal ve s¨ urekli oldu˘ gunu kontrol etmeliyiz. Do˘ grusallık Riesz teoreminin teklik kısmından g¨ or¨ ul¨ ur.

B¨ oylece v ₁ , v ₂ ∈ H ve c ₁ , c ₂ ∈ C ise

(11.23) (Au, c ₁ v ₁ + c ₂ v ₂ ) = c ₁ (Au, v ₁ ) + c ₂ (Au, v ₂ )

= c ₁ (u, A ^∗ v ₁ ) + c ₂ (u, A ^∗ v ₂ ) = (u, c ₁ A ^∗ v ₂ + c ₂ A ^∗ v ₂ ),

burada A ^∗ v 1 ve A ^∗ v 2 nın tanımları kullanılarak, teklikten dolayı, A ^∗ (c 1 v 1 + c ₂ v ₂ ) = c ₁ A ^∗ v ₁ + c ₂ A ^∗ v ₂ oldu˘ gu elde edilir.

Cauchy e¸sitsizli˘ ginin optimalli˘ ginden (11.24) kvk _H = sup

kuk=1

|(u, v)| ,

(do˘ gru mu? de˘ gil ise u = _kvk ^v alınız.) ve buradan da (11.25) kA ^∗ vk = sup

kuk=1

|(u, A ^∗ v)| = sup

kuk=1

|(Au, v)| ≤ kAk kvk elde edilir. B¨ oylece

(11.26) kA ^∗ k ≤ kA ^∗ k .

(A ^∗ ) ^∗ = A olmasından, bu e¸sitsizli˘ gin tersi de do˘ grudur ve b¨ oylece (11.27) kA ^∗ k = kA ^∗ k

bulunur.