• Sonuç bulunamadı

(Y, τY) s¨urekli oldu˘gunu g¨osteriniz

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "(Y, τY) s¨urekli oldu˘gunu g¨osteriniz"

Copied!
1
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

TOPOLOJ˙I PROBLEMLER˙I IV

1. f : (X, τ ) → (X, τ0) birim (¨ozde¸slik) fonksiyon olsun. f nin s¨urekli olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul τ0 ⊆ τ oldu˘gunu g¨osterin.

2. X ve Y herhangi iki (6= ∅) k¨ume, τX, X ¨uzerinde herhangi bir topoloji, τY : Y ¨uzerindeki ayrık olmayan topoloji ve f : X → Y herhangi bir fonksiyon ise f nin τX− τY s¨urekli oldu˘gunu g¨osterin.

3. f : (X, τX) → (Y, τY) s¨urekli ve τX⊆ τX0 ise f : (X, τX0 ) → (Y, τY) s¨urekli oldu˘gunu g¨osteriniz.

4. X = Y = R, τX= τY = τL(sol ı¸sın topolojisi), f : R → R kesin artan ve ¨orten ise f nin τL− τLs¨urekli oldu˘gunu g¨osterin.

5. ¨Onceki problemde (kesin artan ve ¨orten ise) f nin (τstd− τL) s¨urekli oldu˘gunu g¨osterin.

6. X = Y = R, τX = τY = τcof (sonlu t¨umleyenli topoloji), f : R → R, f (x) = sin x olsun. f nin τcof − τcof

s¨urekli olmadı˘gını g¨osterin

7. X = Y = R, τY = τstd (standart topoloji), τX herhangi bir topoloji f : R → R olsun. A¸sa˘gıdakini g¨osterin f s¨ureklidir ⇔ ∀a, b ∈ R (a < b) i¸cin f−1((a, b)) ∈ τX

8. f : R → R, f (x) = x2fonksiyonunun τstd− τstd s¨urekli oldu˘gunu g¨osterin.

9. (X, τX) herhangi bir topolojik uzay, (R, τstd), f : X → R bir fonksiyon olsun. f nin τX− τstd s¨ureklidir ⇔

∀ a ∈ R i¸cin f−1(−∞, a) ve f−1(a, +∞) k¨umelerinin X de a¸cık olmasıdır. G¨osteriniz.

10. X = Y = R, τX = τY = τstd, f : X → Y, f (x) = bxc olsun. f nin τX− τY s¨urekli olmadı˘gını g¨osterin.

11. (X, τX) herhangi bir topolojik uzay Y = R, τY = τL, f : X → R herhangi bir fonksiyon olsun. E˘ger f bir a noktasında maksimum de˘gerine ula¸sıyor ise f nin a da s¨urekli oldu˘gunu g¨osterin.

12. (X, τX) herhangi bir topolojik uzay Y = R, τY = τR, f : X → R herhangi bir fonksiyon olsun. E˘ger f bir a noktasında minimum de˘gerine ula¸sıyor ise f nin a da s¨urekli oldu˘gunu g¨osterin.

13. X = Y = R, τX = τY = τstd, f : X → Y, f (x) = bxc olsun.

(a) ∀n ∈ Z i¸cin f nin n de s¨ureksiz oldu˘gunu g¨osterin.

(b) ∀x /∈ Z i¸cin f nin x de s¨urekli oldu˘gunu g¨osterin.

14. f : (R, τstd) → (R, τstd), f (x) =

(x x ≥ 1

2x x < 1 olsun.

(a) f nin x = 1 de s¨urekli olmadı˘gını g¨osterin.

(b) f nin x = 2 de s¨urekli oldu˘gunu g¨osterin.

15. f : (R, τstd) → (R, τstd), f (x) =

(x + 3 x ≥ 2

2x x < 2 olsun.

(a) f nin x = 2 de s¨urekli olmadı˘gını g¨osterin.

(b) f nin x = 0 de s¨urekli oldu˘gunu g¨osterin.

1

Referanslar

Benzer Belgeler

˙Iki Cauchy dizisinin toplamının ve farkının da Cauchy dizisi oldu˘ gunu g¨ osterin.. * ˙Iki Cauchy dizisinin ¸carpımının da Cauchy dizisi oldu˘ gunu

.} olarak kabul

.} olarak kabul

[r]

A¸ sa˘ gıdaki vekt¨ or alanı ve uzay b¨ olgesi i¸ cin Gauss (Diverjans) teoremini do˘

Fakat (hi¸c bir g j nin i¸cinde) dt k terimi olmadı˘ gından, bu toplamın her bir teriminde, t j lerden biri tekrarlanmı¸s olmalıdır, yani her bir terimi 0 olmak

(˙Ipucu: z-eksenine dik bir d¨ uzlemle arakesitini α e˘ grisi olarak

(˙Ipucu: yatay bir d¨ uzlemle arakesitini α e˘ grisi olarak kullanın.).. Her soru 24 puan