11. Ders Bazı Eşitsizlikler. Bu kısımda Markov, Chebyshev, Schwartz ve Jensen eşitsizliklerine değinilecektir.

11. Ders

Bazı Eşitsizlikler

Bu kısımda Markov, Chebyshev, Schwartz ve Jensen eşitsizliklerine değinilecektir.

Teorem: (Markov Eşitsizliği) Ynegatif değerler almayan bir rasgele değişken olmak üzere, herc > 0için,

PY ≥ c ≤ EY

c dır.

Đspat: Đspatı kesikli hal için verelim.

EY =

∑

y

yfy =

∑

y<c

yfy +

∑

y≥cyfy

veYnegatif değerler almadığından, EY ≥

∑

y≥cyfy ≥

∑

y≥ccfy = cPY ≥ c

dır.

Markov eşitsizliğicnin büyük değerleric > EYiçin önem kazanmaktadır.c < Ey

için eşitsizliğin sağtarafı olasılık açısından bir bilgi sağlamamaktadır.

Teorem: (Chebyshev Eşitsizliği) X, varyansı var olan bir rasgele değişken olsun.

c > 0olmak üzere,

P|X− EX|≥ c ≤ VarX

c² dır.

Đspat: Y = X− EX² olsun.Ynegatif değerler almamaktadır.

EY = VarX

olmak üzere, Markov eşitsizliğinden,

P|X− EX|≥ c = PY ≥ c² ≤ EY

c²

= VarX

c² elde edilir.

c = kσX alınırsa Chebyshev eşitsizliği,

P|X− EX|≥ kσX ≤ 1 k²

biçimini alır. Eşitsizliği−1ile çarpar ve her iki tarafına1eklersek, 1− P|X − EX|≥ kσX ≥ 1 − 1

k² veya

P|X− EX|< kσX ≥ 1 − 1 k²

yazılır. Bu eşitsizliklerde0 < k ≤ 1olması durumunda, eşitsizliklerin sağtarafları bir bilgi sağlamamaktadır.

Markov eşitsizliği ve onun bir özel hali olan Chebyshev eşitsizliği rasgele

değişkenlerin dağılımına bakmaksızın beklenen değer ve varyanslara bağlı olarak bazı olasılıklar hakkında sınır değerleri belirlemektedir.

Örnek: Xrasgele değişkenin olasılık fonksiyonu,

fx = 1

2e^−x/2 , x > 0 0 , d.y.

olsun.EX = 2 , VarX = 4olmak üzere,k ≥ 1, için P|X− 2|< 2k =

∫

0 2+2k

1

2e^−x/2dx = 1− e^−1+k

dır.knın bazı değerleri için bu olasılıklar ve Chebyshev eşitsizliğinin belirlediği sınırlar aşağıdadır.

k P|X− EX|≤ kσX Chebyshev sınırı

1 0, 8647 0

3/2 0. 9179 0. 5556

2 0. 9502 0. 7500

5/2 0. 9698 0. 8400

3 0. 9817 0. 8889

7/2 0. 9889 0. 9184

4 0. 9933 0. 9375

5 0. 9975 0. 9600

Örnek 4.6.2X1, X2, … , Xnbağımsız aynı dağılımlı rasgele değişkenler ve EXi = μ,VarXi = σ², i = 1, 2, … , nolsun.

E 1 n

∑

i=1 n

Xi = 1 n

∑

i=1 n

EXi = μ

Var 1n

∑

i=1 n

Xi = 1 n²

∑

i=1 n

VarXi = σn² olmak üzere,a > 0için

P 1

n

∑

i=1 n

Xi− μ < a ≥ 1 − σ² a n

dır. Görüldüğü gibindeğeri arttığı zaman 1 n

∑

i=1 n

Xi rasgele değişkenin olasılık dağılımıμ etrafında yoğunlaşmaktadır.

Teorem: (Schwartz Eşitsizliği) EX² < ∞veEY² < ∞ olanXileYrasgele değişkenleri için,

EXY² ≤ EX²EY²

dır. Eşitlik olması için gerek ve yeterşartX = aY , (a ∈ R, PX ≠ aY = 0) olmasıdır.

Đspat: t ∈ Riçin

ht = EX− tY²

= EX² − 2tEXY + t²EY² olmak üzere, hert ∈ ℝiçinht ≥ 0dır. Dolayısıyla,

EY²t²− 2EXYt + EX² = 0 denklemin diskriminantı,

4EXY²− 4EX²EY² ≤ 0 dır. Buradan,

EXY² ≤ EX²EY² dır.

EğerEXY² = EX²EY²iseEX− tY² = 0olacakşekilde birt ∈ Rvardır. O zaman Markov Eşitsizliğinden herc > 0için

PX− tY² ≥ c ≤ EX− tY²

c = 0

yani

PX− tY² < c = 1 ve

PX− tY² = 0 = 1 ⇒ PX = tY = 1 dır.

Schwartz eşitsizliğinin bir sonucu olarak,

EX − μXY − μY² ≤ EX − μX²EY− μY²

EX − μXY − μY² ≤ σX2σ_Y² yazılır. Eğer μx = μy = 0veVarX = VarY = 1ise

EXY² ≤ 1 dır.

Yine Schwartz eşitsizliğinin bir sonucu olarak,

ρX,Y = EX − μ^XY − μY

σXσY

korelasyon katsayısı için,

ρ_X,Y² = EX − μ^XY − μY² σ_X²σ_Y² ≤ 1 yani,

− 1 ≤ ρX,Y ≤ 1

elde edilir. Eşitliğin sağlanması için gerek ve yeterşartXveYarasında lineer ilişki olmasıdır.

Örnek:

a) X, Yrasgele değişkenleri için

EX = EY = 0 , VarX = VarY = 1 ve aralarındaki korelasyon katsayısıρolsun.

2 maxX², Y² = |X²− Y²|+X²+ Y² ve Schwartz Eşitliğinden

E|X²− Y²|² ≤ E|X − Y|²E|X + Y|² = EX − Y²EX + Y² olmak üzere,

EmaxX², Y² = 1

2E|X²− Y²|+EX² + EY²

= 12E|X²− Y²|+2

≤ 1 + 1

2 EX− Y²EX + Y² yazılır.

EX− Y²EX + Y² = EX²− 2EXY + EY²EX²+ 2EXY + EY²

= 2 − 2ρ2 + 2ρ = 41 − ρ² olduğundan,

EmaxX², Y² ≤ 1 + 1 − ρ² elde edilir.

b)X, Yaralarındaki korelasyon katsayısıρolan herhangi iki rasgele değişken olsun.

λ > 0için,

P|X− μX|≥ λσXveya|Y− μY|≥ λσY =

= PX− μX

σX ² ≥ λ²veyaY− μY

σY ² ≥ λ²

= PmaxX− μX

σX ², Y− μY

σY ² ≥ λ² olmak üzere Markov eşitsizliğinden,

P maxX− μX

σX ², Y− μY

σY ² ≥ λ² ≤ 1λ²E maxX− μX

σX ², Y− μY

σY ²

≤ 1λ²1 − 1 − ρ² ve böylece,

P|X− μX|≥ λσX veya|Y− μY|≥ λσY ≤ 1λ²1 − 1 − ρ²

elde edilir. Bu eşitsizliğe iki boyutlu hale genelleştirilmişChebyshev eşitsizliği denir. Bu eşitsizlikteYyerineXyazılır veρX,X = 1olduğu gözönüne alınırsa,

P|X− μ^X|≥ λσ^X ≤ 1λ² elde edilir.

Jensen Eşitsizliği:

Jensen eşitsizliğini ifade etmeden önce konveks fonksiyon kavramını hatırlatalım.

Biru : R → Rfonksiyonu ile ilgili, herx0 ∈ Riçinx0, ux0 noktasından geçen bir doğru bulunabilir, öyleki fonksiyonun grafiği bu doğrunun üst tarafında kalıyorsa bu fonksiyona konveks fonksiyon denir. Başka bir ifade ile, seçilen herx0 ∈ Riçin birm ∈ R bulunabilir, öyleki

ux ≥ ux0 + mx− x0 ,x ∈ R dır. Buradakimsayısı sözü edilen doğrunun eğimidir.

Şimdi Jensen eşitsizliğini elde edelim.

u : R → Rkonveks bir fonksiyon ve birYrasgele değişkeni için, E|Y| < ∞ , E|uY| < ∞

olsun. O zamanufonksiyonu için,x0 = EYolmak üzere, ux ≥ uEY + mx − EY ,x ∈ R

yazılabilir. Buradakimsayısıx0 = EYsayısına bağlıdır,xdeğerine bağlı değildir. x yerineYyazılmasıyla,

uY ≥ uEY + mY − EY

ve her iki tarafın beklenen değerinin alınmasıyla, EuY ≥ uEY

eşitsizliği elde edilir.

Reel Sayı Dizileri ve Yakınsama

Rasgele değişkenlerin dizilerinde yakınsama kavramına geçmeden önce reel sayıların dizileri ile reel sayı değerli fonksiyonların dizileri için yakınsama kavramlarını hatırlatalım.

Tanım: anreel sayıların bir dizisi olmak üzere, her > 0içinsayısına bağlı olan bir mpozitif tamsayısı var, öyle kin  miçin|an− a| < oluyorsaandizisiasayısına yakınsar denir.

Birandizisinin birasayısına yakınsaması genellikle

n∞lim an = aveyaan  a

biçiminde gösterilir. Buradaki yakınsamanın reel sayılardaki mutlak değer metriğine göre olduğunu belirtelim.

Tanım: A ⊂ Rolmak üzere, tanım kümesiAolangn : A  R, n = 1, 2, . . . .

fonksiyonlarınıngndizisini ve birg : A  Rfonksiyonunu gözönüne alalım. t0 ∈ Aiçin

gnt0sayı dizisigt0sayısına yakınsıyorsagnfonksiyon dizisinet0 noktasındag fonksiyonuna yakınsar denir. Eğergnfonksiyon dizisi hert ∈ Anoktası için g fonksiyonuna yakınsıyor, yani hert ∈ Aiçin

n∞lim gnt = gt

isegnfonksiyon dizisiAkümesinde noktasal olarakgfonksiyonuna yakınsar denir.

gnfonksiyon dizisinin Akümesinde noktasal olarakgye yakınsaması demek her t ∈ Ave her > 0 içinvetye bağlı birm, tpozitif tamsayısı var, öyle kin  m, t

olduğunda|gnt − gt|< olması demektir.gnfonksiyon dizisinin gfonksiyonunaA kümesinde noktasal olarak yakınsamasını

gn

A da noktasal

 g

biçiminde göstereceğiz. Özetlersek,gn

A da noktasal

 ggösterimi, ∀t ∈ Aiçin

nlim g∞ nt = gt

demektir.

Şimdi fonksiyon dizilerinde düzgün yakınsaklık kavramını hatırlatalım.

Tanım: Hert ∈ Ave > 0içinna bağlı birmpozitif tamsayısı var, öyle kin  m

için|gnt − gt|< oluyorsagnfonksiyon dizisineAkümesinde düzgün olarak g fonksiyonuna yakınsar denir.

gndizisiningyeAkümesinde düzgün olarak yakınsamasını

gn

A da düzgün

 g

biçiminde göstereceğiz.gndizisininAkümesindegye düzgün yakınsaması

durumunda, seçilen her > 0sayısına karşılık belli birmsayısından sonrakinler için gnfonksiyonlarının grafiklerigfonksiyonunun etrafındaki2genişliğindeki birşeridin içindedir.

Düzgün yakınsak bir fonksiyon dizisinin noktasal yakınsak olduğu açıktır. Noktasal yakınsak bir fonksiyon dizisi düzgün yakınsak olmayabilir.

Örnek:

gn : 0, 1  R

t  gnt = n²te^−nt olmak üzere,gndizisini ve

g : 0, 1  R t  gt = 0 foksiyonunu gözönüne alalım.∀t ∈ 0, 1için

n∞lim gnt =

n∞lim n²t

e^nt = 0 = gt

olduğundangndizisi noktasal olarakgfonksiyonuna yakınsar.

Diğer taraftan,gnfonksiyonlarıt = ¹_n için maksimum değerleri olangn¹_n = ⁿ_e değerlerini almaktadırlar.nsayısı arttıkçagn foksiyonlarının grafiklerignin grafiği etrafındaki birşeridin içinde kalamayacakları açıktır.

Rasgele Değişkenlerin Dizileri ve Yakınsama

Ω, U, Pbir olasılık uzayı,

Xn : Ω  R , n = 1, 2, . . . ω  Xnω

ve

X : Ω  R ω  Xω

bu uzayda tanımlı rasgele değişkenler olsun. Rasgele değişkenlerinXndizisinin bir fonksiyon dizisi olduğunu vurgulayalım. Bundan sonraki kısımlarda kısalık olması bakımından olasılık uzayı bazen belirtilmeyecektir. Bu durumlardaXndizisindeki rasgele değişkenlerleXrasgele değişkeninin aynı olasılık uzayında tanımlı olduğunu düşüneceğiz.Xndizisindeki rasgele değişkenlere karşılık gelen dağılım fonksiyonlarını sırasıylaF1, F2, . . . , Fn, . . . veXin dağılım fonksiyonunuFile göstereceğiz.

Tanım: Ω, U, Pbir olasılık uzayı,Xnrasgele değişkenlerin bir dizisi veXbir rasgele değişken olmak üzere her > 0için

nlim Pω : X∞ nω − Xω|≥  = 0 iseXndizisine olasılıkta (olasılık ölçüsünde)Xe yakınsar denir.

Tanımdaki limit ifadesi kısaca,

nlim P|X∞ n− X|≥  = 0 veya

P|Xn− X|≥   0 olarak yazılabilir ya da eşdeğeri olan,

n∞lim P|Xn− X|<  = 1 veya

P|Xn− X|<   1 ifadesi kullanılabilir.

Xndizisinin olasılıktaXe yakınsamasını Xn

olasılıkta

 X , Xn

 XP veya p lim Xn = X biçiminde göstereceğiz.

Tanım: rpozitif bir reel sayı,n = 1, 2, . . . içinE|Xn|^r < ∞ veE|X|^r < ∞olmak üzere,

n∞lim E|Xn− X|^r = 0 iseXndizisiner. ortalamadaX ’e yakınsar denir.

Xndizisininr. ortalamadaXe yakınsamasını, Xn

 Xr

biçiminde göstereceğiz. Bundan sonra belli bir ortalamada yakınsama söz konusu olduğunda tanımdaki momentlerin sınırlı olmasışartının sağlandığını varsayacağız.

Tanım: Xndizisindeki rasgele değişkenlerin dağılım fonksiyonlarının dizisiFnveX rasgele değişkenin dağılım fonksiyonuFolmak üzere,Fin sürekli olduğu herx ∈ R noktasında,

nlim F∞ nx = Fx

iseXndizisine dağılımdaXe yakınsar veyaXndizisiFdağılım fonksiyonu ile limit dağılıma sahiptir denir.

Xndizisinin dağılımdaXe yakınsamasını, Xn

 Xd

biçiminde göstereceğiz. Dağılımda yakınsama için rasgele değişkenlerin aynı uzayda

tanımlı olmaları gerekmez.

Teorem 5.1.3 Ω, U, Pbir olasılık uzayı,Xnrasgele değişkenlerin bir dizisi veXbir rasgele değişken olmak üzere :

Xn

 X ⇒ XP n

 Xd

dır.

Đspat: Xndizisi olasılıktaXe yakınsasın.Xe karşılık gelenFdağılım fonksiyonunun sürekli olduğu bir noktax x ∈ R  olsun. > 0içinu, vsayılarıu < x < v

veFu > Fx− /2, Fv < Fx + /2olacakşekilde seçilsin.

PXn  x = PXn ≤ x

= PXn ≤ xveX ≤ v + PXn ≤ xveX > v

≤ PX ≤ v + P|Xn− X| ≥ v − x

ve

P|Xn− X| ≥ v − x  0 olması sebebiyle, belli birm1 vardır, öylekin ≥ m1için

PXn ≤ x ≤ PX ≤ v + /2

dır. Benzer biçimde

PX ≤ u ≤ PXn ≤ x + P|Xn− X|≥ x − u

ve

P|Xn− X| ≥ x − u  0 dan, belli birm2vardır, öyle kin ≥ m2için

PXn ≤ x ≥ PX ≤ u −  2 dır. Böylecen ≥ maxm1, m2için

PX ≤ u − 

2 ≤ PXn ≤ x ≤ PX ≤ v +  2 Fu− 

2 ≤ Fnx ≤ Fv +  2 ve

Fx−  < Fⁿx < Fx +  yani,

nlim F∞ nx = Fx

dır.Xndizisi dağılımdaXe yakınsar.

Örnek: Ω = a, b, U σ −cebiriΩnın kuvvet kümesi,Pa = Pb = 1

2 olmak üzere n = 1, 2, . . . için

Xn : Ω  R

ω  Xnω =

1 , ω = a

0 , ω = b

ve

X : Ω  R

ω  Xω =

1 , ω = b

0 , ω = a

olsun.n = 1, 2, . . . için

Fnx =

0 , x < 0 1/2 , 0  x < 1

1 , x ≥ 1

ve

Fx =

0 , x < 0

1/2 , 0  x < 1

1 , x ≥ 1

olduğundan herx ∈ R için,

Fnx = Fx

yaniXndizisi dağılımdaXe yakınsar. Ancak, > 0,  < 1için P|Xn− X| ≥  , n = 1, 2, . . . olduğundanXndizisi olasılıktaXe yakınsamaz.

Görüldüğü gibi dağılımda yakınsama olasılıkta yakınsamayı gerektirmez. AncakXn dizisinin yakınsadığıXrasgele değişkeni bir noktada yoğunlaşmışdağılıma sahipse, dağılımda yakınsama, olasılıkta yakınsamayı gerektirir.

Teorem: Xn, rasgele değişkenlerin bir dizisi veX, c c ∈ R noktasında yoğunlaşmışdağılıma sahip bir rasgele değişken olmak üzere,

Xn

 X  Xd n

 XP

yani,

Xn

 c  Xd n

 cP

dır.

Đspat: Xrasgele değişkenin dağılım fonksiyonu,

Fx =

0 , x < c

1 , x ≥ c

x = cdışındaki her noktada süreklidir.XndizisiXe dağılımda yakınsasın, yani her x ∈ Rvex ≠ ciçin

nlim F∞ nx = Fx

olsun. Bu durumda, > 0için

P|Xn− X| ≥  = P|Xⁿ− c| ≥ 

= PXn ≤ c −  + PXn ≥ c + 

≤ PXn ≤ c −  + PXn ≥ c + 1 2

= Fnc −  + 1 − Fnc + 1 2

olmak üzere,

nlim P|X∞ n− X| ≥  ≤

nlim∞ Fnc −  + 1 − Fnc + 1 2

= 0 + 1 − 1

= 0

olduğundan,Xndizisi olasılıktacnoktasında yoğunlaşmışXrasgele değişkenine (c sabitine) yakınsar. Bu ve Teorem 5.1.1 in g)şıkkından,

Xn

 c ⇔ Xd n

 cP

sonucu çıkmaktadır.

Örnek: Yn, bağımsız ve aynı dağılma sahip rasgele değişkenlerin bir dizisi ve bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu,

fy =

1

b− a , a < y < b

0 , d. y.

olsun.Xndizisi

Xn= maxY1, Y2, . . . , Yn , n = 1, 2, . . . olarak tanımlansın.

FXnx =

0 , x < a

x− a b− a

n

, a ≤ x < b

1 , x ≥ b

ve

fX_nx =

n x− a b− a

n−1 1

b− a , a < x < b

0 , d. y.

olmak üzere, dağılım fonksiyonlarınınFXndizisi için,

nlim F∞ Xnx =

0 , x < b

1 , x ≥ b yani,

Xn

 bd

dır.Xndizisi dağılımındabnoktasında yoğunlaşmışdağılıma sahip rasgele değişkene yakınsar. Başka bir ifade ile nsonsuza giderkenXn nin limit dağılımıbnoktasında yoğunlaşmışdağılımdır. Yukarıdaki teoremdenXndizisinin olasılıkta dabnoktasında yoğunlaşmışdağılıma sahip rasgele değişkene yakınsadığını söyleyebiliriz.Şimdi bu yakınsamayı doğrudan olasılıkta yakınsamanın tanımından görelim. > 0,  < b − a

için,

nlim P|X∞ n− b|≥  =

nlim P|X∞ n ≤ b −  =

nlim F∞ Xnb − 

=

n∞lim

a

b−

∫

=

n∞lim b−  − a b− a

n = 0

dır.

Örnek:Xn (n = 1, 2, . . .) rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

fXnx = n 2π e⁻

nx²

2 , −∞ < x < ∞ olsun.

FXnx =

x

−∞

∫

−∞

∫

2π e⁻ t²

2 dt

ve

n∞lim FXnx =

0 , x < 0 1/2 , x = 0 1 , x > 0 olmak üzere,Xndizisi dağılımda, dağılım fonksiyonu

Fx = 0 , x < 0 1 , x ≥ 0 olanXrasgele değişkenine yakınsar, yani

Xn

 Xd

dır. Ancak,Xsıfır noktasında yoğunlaşmışdağılıma sahip olduğu için Xn

 0P

dır. Başka bir ifade ile her > 0için

nlim P|X∞ n|<  = 1dır. Bununla birlikte, PXn < 0 = 1/2 , n = 1, 2, . . .

PX < 0 = 0 ve

PXn ≤ 0 = 1/2 PX ≤ 0 = 1

olmak üzere,PXn < 0olasılığın  ∞içinPX < 0olasılığına vePXn ≤ 0 olasılığı n  ∞içinPX ≤ 0olasılığına yakınsamamaktadır.Đlgi çekici bu durumun sebebix = 0 noktasındaFfonksiyonunun sürekli olmamasıdır.

Teorem: Xn, Ynrasgele değişken dizileri veg : ℝ²  ℝsürekli bir fonksiyon olmak üzere,

Xn

 X, YP n

 Y  fXP n, Yn  fX, Y^P dır.

Đspatsız olarak verilen bu teoremin, bir sonucu olarak, eğerXn

 XP veYn

 YP ise

a) Xn+ Yn

 X + YP

b) XnYn

 XYp

c) Xn

Yn

 Xp

Y , PYn ≠ 0 = 1 n = 1, 2, . . . 

dır.

Aşağıda ispatsız olarak bazı teoremler ifade edilecek ve bunlarla ilgili bazı örnekler verilecektir.

Teorem: Xbir rasgele değişkenXnrasgele değişkenlerin bir dizisi veφXnkarşılık gelen karakteristik fonksiyonların bir dizisi olmak üzere,

Xn

 X  φd Xnt  φXt , t ∈ R

dır. Moment çıkaran fonksiyonların var olması halinde, Xn

 X  Md Xnt  MXt , −h < t < h

Örnek:n = 1, 2, . . . içinXnrasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu,pn ∈ 0, 1

ve

nlim np∞ n = λ λ > 0olmak üzere,

fXnx = xnp_n^x1 − pn^n−x , x = 0, 1, 2, . . . , n olsun.Xn nin karakteristik fonksiyonu,

φXnt = 1 − pn+ pne^itⁿ , t ∈ R olmak üzere,

n∞lim φXnt = e^{λeit−1} , t ∈ R dır. Bu karakteristik fonksiyon, olasılık fonksiyonu

fx = e^−λλ^x

x! , x = 0, 1, 2, . . . olanXrasgele değişkenine karşılık gelmek üzere,

Xn

 Xd

dır.

Problemler

1.

a) Xnegatif değerler almayan bir rasgele değişken olsun.

PX ≥ 10 = 1/5iseEX ≥ 2

b) EX = 10, PX ≤ 7 = 0. 2, PX ≥ 13 = 0. 3iseVarX ≥ 9/2

olduğunu gösteriniz.

2. Xrasgele değişkenin olsılık yoğunluk fonksiyonu,

a) fx =

1

10 , 0 < x < 10

0 , d.y.

b) fx = 1

10, x = 1, 2, . . , 10

c)fx =

x

25 , 0 < x ≤ 5

10− x

5 , 5 < x < 10

0 , d.y.

d) fx = 1 1024

10x , x = 0, 1, 2, … , 10

e) fx =

1θ e^−x/θ , x > 0, θ > 0

0 , d.y.

f) fx =

3

128x² , −4 < x < 4

0 , d.y.

g) fx =

3

26516 − x² , −4 < x < 4

0 , d.y.

olsun.k = 3/2, 2, 3 değerleri içinP|X− μX|≥ kσXolasılıklarını hesaplayınız ve Chebyshev eşitsizliğinin belirlediği sınırla karşılaştırınız.

3. Düzgün bir zar ard arda10kez atılsın i = 1, 2, . . , 10içinX1 i. atışta üste gelen sayı olsun.Xi lerin bağımsız olduğu varsayımı altında gelen sayılar toplamının25, 45aralığı içinde olması olasılığı için bir alt sınırı Chebyshev eşitsizliği yardımıyla belirleyiniz.

4. X1, X2, … , Xn bağımsız ve aynı dağılımlı (beklenen değeriμve varyansıσ²) olan rasgele değişkenler olmak üzere herε > 0için

nlim P∞

∑

i=1 n

Xi

n − μ < ε = 0

olduğunu gösteriniz.

5. Xn, bağımsız ve aynı dağılımlı ikinci momenti sınırlı rasgele değişkenlerin bir dizisi olmak üzere

n

i=1

∑

n

 EX2 1 olduğunu gösteriniz.

6. n = 1, 2, . . . içinXnrasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

fXnx =

nⁿ

Γnxⁿ⁻¹e^−nx , x > 0

0 , d. y.

olsun.Xn

 1P olduğunu gösteriniz.

7.n = 1, 2, . . . için Xnrasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, fX_nx = 1

2π σn

e⁻

x−μn2 2σn2

, − ∞ < x < ∞ veXrasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

fXx = 1 2π σe⁻

x−μ2

2σ2 , − ∞ < x < ∞ olsun.

Xn

 X  limd _n→∞μn = μ , lim_n→∞σ_n² = σ² olduğunu gösteriniz.