ZAMAN SERİSİ ANALİZLERİ
Belirli bir değişken için farklı zamanlarda toplanan verilere “zaman serisi” verileri adı verilmektedir. Zaman serisi verileri günlük, haftalık, aylık veya yıllık olabilmektedir. Her hangi bir üretim faaliyetini sürdürebilmek için, kısa ve uzun dönemde çok sayıda kara alınması gerekmektedir. Firmalar genellikle gelecekteki üretim, satış, yatırımlar, işçi ihtiyacı ve yeni ürün gelişimi gibi konularda çeşitli kararlar almak zorundadır. Örneğin firma ürettiği ürünün gelecek yıldaki talebini tahmin etmek isteyebilir. Buna benzer kararlar alınırken, genellikle zaman serisi verilerinden yararlanılmaktadır. Bu bölümde zaman serisi verilerini analiz yöntemlerinden bazıları incelenecektir. Aynı zamanda zaman serisi verilerinin içinde yer alan unsurların ne olduğu ortaya konulacak ve bu unsurların regresyon analizi ve hareketli ortalama metodu ile nasıl zaman serisi verilerinden nasıl uzaklaştırılacağı öğrenilecektir.
7.1. Zaman Serisi Verilerinin Unsurları
Zaman serisi verilerinin (i) uzun dönem eğilimi (trend), (ii) devresel hareketler, (iii) mevsimlik hareketler ve (iv) düzensiz (beklenmedik) hareketler olmak üzere 4 temel unsuru vardır.
1. Uzun Dönem Eğilimi (Trend): Zaman serisi verilerinde uzun dönemde meydana gelen artış veya azalışlara “uzun dönem eğilimi (trend)” adı verilmektedir. Diğer bir ifade ile
7.
ilgilendiğimiz değişkenin değerinde uzun bir dönemde meydana gelen artış ve azalışlardır.
Eğer ilgilendiğimiz değişkende, zaman içinde bir değişiklik meydana gelmiyorsa, o seride uzun zaman eğilimi yoktur. Uzun dönem eğilimi satışlar, gelirler, kâr, istihdam, nüfus, GSMH, tüketici harcamaları, yatırım, faiz oranı vb gibi değişkenlerde zaman içinde meydana gelen azalış veya büyümeyi göstermektedir. Uzun dönem eğiliminin ortaya çıkmasına sebep olan çok fazla sayıda faktör bulunmaktadır. Tüketicilerin zevk ve tercihlerindeki değişmeler, teknolojik değişiklikler, demografik değişiklikler (nüfus ve nüfusun yapısındaki değişmeler) bu faktörlerden bazılarıdır.
Uzun bir dönemi kapsayan veriler üzerinde yapılan uzun dönem eğilimi analizi geçmiş yıllarda uygulanan politikaların değerlendirilmesinde kullanılmaktadır. Örneğin bir firmanın son 10 yıldaki satış, gelir ve kâr rakamlarına dayanarak bulunan uzun dönem eğilimi bu zaman içinde firmada uygulanan yönetim politikalarının ne derece başarılı olduğunu ortaya koymaktadır.
Zaman serisi verilerinde, uzun dönem eğilimi doğrusal veya doğrusal olmayan düzgün bir eğri ile gösterilmektedir. Şekil 7.1’de bir firmaya ait gerçek satış verileri ile, bu döneme ait uzun dönem eğilimi şekil üzerinde gösterilmiştir.
y = 8.8679+0,7393x
7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0
0 1 2 3 4 5 6 7
Zaman (yıl)
Satışlar (milyar TL)
Şekil 7.1. Gerçek satışlar ve uzun dönem eğilimi (trend)
Uzun dönem eğilimi farklı şekillerde olabilmektedir. Doğrusal uzun dönem eğiliminde eğer düzenli büyüme varsa doğru yukarıya doğru, eğer küçülme varsa aşağıya doğrudur.
İlgilendiğimiz değişkende büyüme veya azalma doğrusal olmayan şekilde de gerçekleşebilmektedir. Bazen ilgilendiğimiz değişkende, zamana bağlı olarak artan oranlarda büyüme veya azalma söz konusu iken, bazen de belirli bir noktadan sonra azalan oranlarda büyüme veya azalma olabilmektedir. Şekil 7.2’de farklı şekillerdeki uzun dönem eğilimleri verilmiştir.
y = 8.8679+0,7393x
7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0
0 1 2 3 4 5 6 7
Zaman (yıl)
Satışlar (milyar TL)
Şekil 7.2 (a). Doğrusal büyümeyi gösteren uzun dönem eğilimi
y = 13.304-0,7393x 7,0
8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0
0 1 2 3 4 5 6
Zaman (yıl)
Satışlar (milyar TL)
Şekil 7.2 (b). Doğrusal azalışı gösteren uzun dönem eğilimi
y = 9.2786+0.2464x+0,0821x2
7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0
0 1 2 3 4 5 6 7
Zaman (yıl)
Satışlar (milyar TL)
Şekil 7.2 (c). Artan oranlarda artışı gösteren uzun dönem eğilimi
y = 9.0048+ 0,8857x-0,0905x2
7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0
0 1 2 3 4 5 6 7
Zaman (yıl)
Satışlar (milyar TL)
Şekil 7.2 (d). Belirli bir noktadan sonra azalan oranlarda artışı gösteren uzun dönem eğilimi
y = 14.199+0.0635x-2.319x2+0,6848x3-0,0598x4
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0
0 1 2 3 4 5 6
Zaman (yıl)
Satışlar (milyar TL)
Şekil 7.2 (e). Artan oranlarda azalışı gösteren uzun dönem eğilimi
y = 13.714-1.23321X+0,0821x2 7,0
8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0
0 1 2 3 4 5 6
Zaman (yıl)
Satışlar (milyar TL)
Şekil 7.2 (f). Belirli bir noktadan sonra azalan oranlarda azalışı gösteren uzun dönem eğilimi
2. Devresel hareketler: Genellikle zaman serisi verileri, uzun dönem eğilimi gösteren çizginin etrafında dalgalanmaktadır. Bazı zamanlarda eğri, uzun dönem eğiliminin üzerinde, bazen de altında olmaktadır. Zaman serisi verilerinin, uzun dönem eğilimi etrafında gösterdiği döneme bağlı olmayan dalgalanmalara “devresel hareket” adı verilmektedir. Devresel hareketler 1 yıl ile 20 yıl arasında bir süreyle devam etmektedir. Devresel hareketlerin (i) durgunluk, (ii) kriz, (iii) toparlanma ve (iv) refah olmak üzere 4 farklı dönemi bulunmaktadır. İşte bu dört farklı dönem zaman serisi verilerinde dalgalanmalara yol açmaktadır. Şekil 7.3 ‘te devresel hareketler şekil üzerinde gösterilmiştir.
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Zaman (yıl)
Değişken
Durgunluk {
Kriz
} Toparlanma
Refah
Şekil 7.3. Devresel hareketler
3.Mevsimlik değişmeler: Zaman serisi içinde yer alan tek bir yıl içinde meydana gelen dalgalanmalara “mevsimlik değişmeler” adı verilir. Üretim, satış vb değişkenlerde yıl içinde meydana gelen değişiklikler iklim koşullarından, tatillerden veya kurumsal faktörlerden meydana gelebilmektedir. Örneğin kayak malzemesi satan firmaların işi kış aylarında yoğun olurken, yaz aylarında az olmaktadır. Bitkisel ürünlerin üretiminde iklim koşullarına bağlı olarak dalgalanma meydan gelmektedir. Eğer uygun istatistik yöntemler kullanılırsa ve iyi veriler varsa mevsimlik değişmeleri ortaya koymak mümkündür. Mevsimlik değişmeler Şekil 7.4’te gösterilmiştir.
8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 22,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Aylar
Satışlar (milyar TL)
Şekil 7.4. Satışlarda mevsime bağlı olarak meydana gelen değişimler
4.Düzensiz (beklenmedik) değişmeler: Zaman serisi verilerindeki düzensiz hareketler, tesadüfi bir değişken niteliğindedir. Uzun dönem eğilimi, devresel hareketler ve mevsimlik dalgalanmalar zaman serisi verilerinden uzaklaştırıldığında geriye kalan kısım “düzensiz (beklenmedik) değişim” dir. Bu dalgalanmalar, grev, deprem, fırtına, sel vb gibi tahmin edilemeyen belirsiz olayların gelişmesinden kaynaklanmaktadır. Bu tip belirsiz olaylar malların üretimi ve dağıtımı gibi birçok şeyi etkilemektedir. Düzensiz hareketler, belirsiz olaylar olduğundan bunu tahmin etmek mümkün değildir.
7.2. Zaman Serisi Modelleri
Zaman serisi ile ilgili olarak yaygın olarak kullanılan iki farklı tip model bulunmaktadır. Bunlardan birincisi zaman serisinde yer alan unsurların toplamından ibaret olan “toplam modeli”dir. Zaman serisi içinde yer alan unsurların çarpımından oluşan “çarpım modeli” ise ikinci zaman serisi modelidir. Her iki modelde de zaman serisindeki gerçek değer Y, uzun dönem eğilimi T, devresel hareketler C, mevsimlik değişimler S ve düzensiz değişimler I harfleri ile gösterilmektedir.
1. Toplam modeli: Toplam modelinde, zaman serisi verilerinde yer alan 4 temel unsurun toplamı alınmaktadır. Bu unsurların hepsinin de aynı birimle ifade edilmektedir.
I S C T
Y
Örneğin uzun dönem eğilimi (T) 171 milyar TL, devresel hareketler (C) –18 milyar TL, mevsimlik değişimler 6 milyar TL ve düzensiz değişimler 1 milyar TL ise, zaman serisinin gerçek değeri (Y) 160 milyar TL olacaktır.
160 1 6 18
171
Y milyar TL
Uzun dönem eğilimi önümüzdeki dönemdeki satışların 171 milyon TL olacağını göstermektedir. Kötü ekonomik koşullar sebebiyle beklenenden 18 milyar TL daha az satış olmasına rağmen, mevsimlik değişimlerin 6 milyar TL’lik ve düzensiz hareketlerin 1 milyar TL’lik olumlu katkıları ile, gerçek satış değeri 160milyar TL olacaktır.
2. Çarpım modeli: Çarpım modelinde, zaman serisi verilerinde yer alan 4 temel unsur çarpılmaktadır. Ancak toplam modelinden farklı olarak, zaman serisi unsurların hepsinin de birimi aynı değildir. Çarpım modelinde gerçek değer ile uzun dönem eğilimi aynı birimi taşıyorken, diğer unsurlar % olarak ifade edilmektedir. Bu modelde yüzde olarak ifade edilen unsurların 1’den büyük değer alması bu unsurun nispi etkisinin uzun dönem eğiliminden fazla, 1’den küçük olması ise uzun dönem eğiliminden az olduğunu göstermektedir.
I S C T
Y
Örneğin uzun dönem eğilimi 100 milyar TL, devresel hareketler 0.80, mevsimlik değişimler 1.10 ve düzensiz değişimler 1.50 ise zaman serisi verisinin gerçek değeri 132 milyar TL’dir.
132 ) 50 . 1 )(
10 . 1 )(
80 . 0 (
100
Y milyar TL
7.3. Doğrusal Uzun Dönem Eğiliminin Ölçülmesi
Uzun dönem eğiliminin ölçülmesi için çok sayıda metot kullanılabilmektedir.
Regresyon analizini bu amaçla kullanmak bunlardan bir tanesidir. Uzun dönem eğiliminin regresyon analizi ile ölçülmesinde kullanılan eşitliğin genel ifadesi aşağıdaki gibidir.
e bt a Y
Denklemde Y gerçek zaman serisi değerini yansıtan bağımlı değişken ve t ise zamanı temsil eden bağımsız değişkendir. Denklem parametrelerinden a sabit terimi, b uzun dönem eğilimi doğrusunun eğimini ve e tesadüfi hata terimini ifade etmektedir.
En küçük kareler yöntemini kullanarak doğrusal uzun dönem eğilimi doğrusu aşağıdaki formüller yardımıyla elde edilmektedir.
n t t
n t Yt Y
b 2
2 ( )
) )(
(
Y bt a
Örnek:
Aşağıda 1980-1992 yılları arasında Türkiye’nin sabit sermaye yatırımları verilmiştir.
Yıllar Sabit sermaye yatırımları (Trilyon TL) 1980
1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992
467.6 558.0 503.4 546.7 718.9 714.5 717.6 749.3 793.6 832.3 799.5 721.1 770.4
a) En küçük kareler yöntemini kullanarak, doğrusal uzun dönem eğilimi doğrusunu bulun ve grafik üzerinde gösteriniz?
b) Tahmin edilen uzun dönem eğilimi doğrusunu kullanarak, 1999 yılındaki sabit sermaye yatırımını tahmin ediniz?
Çözüm:
Yıllar Sabit sermaye yatırımları (Trilyon TL)
t Yt t2
1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992
467.6 558.0 503.4 546.7 718.9 714.5 717.6 749.3 793.6 832.3 799.5 721.1 770.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
467,6 1116,0 1510,2 2186,8 3594,5 4287,0 5023,2 5994,4 7142,4 8323,0 8794,5 8653,2 10015,2
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121
Y 8892.9
t 91
Yt 67108
t144 2 8196907 . 182 26
7 . 4857
13 ) 91 819 (
13 ) 91 )(
9 . 8892 67108 (
) (
) )(
(
2 2
2
n t t
n t Yt Y
b
234 . 497 ) 7 )(
6907 . 26 ( 0692 .
684
Y bt a
t Y 497.23526.6907
Uzun dönem eğilimi (T) = Y her bir yıl için aşağıda gösterilmiştir.
Yıllar
t Y 497.23526.6907t
1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
497.235 +26.6907(1) = 523.9250 497.235 +26.6907(2) = 550.6157 497.235 +26.6907(3) = 577.3064 497.235 +26.6907(4) = 603.9971 497.235 +26.6907(5) = 630.6878 497.235 +26.6907(6) = 657.3785 497.235 +26.6907(7) = 684.0692 497.235 +26.6907(8) = 710.7599 497.235 +26.6907(9) = 737.4506 497.235 +26.6907(10) = 764.1413 497.235 +26.6907(11) = 790.8320 497.235 +26.6907(12) = 817.5220 497.235 +26.6907(13) = 844.2134
Uzun dönem eğilimi doğrusu ile gerçek sabit sermaye yatırımı değerleri ise aşağıdaki Şekil 7.5’te verilmiştir.
Actual Fits Actual Fits
0 5 10
450 550 650 750 850
SSY(trilyon
Time
Yt = 497,235 + 26,6907*t
MAPE:
MAD:
MSD:
8,30 55,04 3711,18
Trend Analysis for SSY(trilyon
Linear Trend Model
Şekil 7.5. Türkiye’nin 1980-1992 yılları arasındaki sabit sermaye yatırımlarına ait uzun dönem eğilimi doğrusu
b) Uzun dönem eğilimi doğrusu kullanılarak 1999 yılının sabit sermaye yatırımı 1031.0483 trilyon TL olarak bulunur.
0483 . 1031 )
20 ( 6907 . 26 235 .
497
Y trilyon TL
7.4. Devresel ve Düzensiz Hareketlerin Ölçülmesi
Yıllık veriler uzun dönem eğilimi, devresel hareketler ve düzensiz hareketler olmak üzere 3 temel unsuru içermektedir. Bu tip zaman serisi verileri “mevsimlik hareketleri”
içermezler. Mevsimlik veriler sadece 1 yıl veya 1 yıldan daha az bir zaman dönemini kapsamaktadırlar. Günlük, haftalık, aylık ve 4 aylık veriler mevsimlik değişmeleri içermektedir. Yıllık zaman serisi verileri, mevsimlik değişimleri içermediğinden çarpım şeklindeki zaman serisi modelini şu şekilde yazmak mümkün olabilmektedir.
I C T Y
Bu denklemden uzun dönem eğilimi uzaklaştırıldığında, geriye devresel ve düzensiz değişimlerin etkisi kalacaktır. Regresyon denklemi ile uzun dönem eğilimi elde edilirken
Y
T olduğunu görmüştük. Söz konusu denklemde T yerine
Y konulursa, devresel ve düzensiz hareketlerin ortak etkisini yansıtan formül elde edilmiş olacaktır.
Y I Y C
I C Y Y
Y T
Y
Y oranı bize, devresel ve düzensiz hareketlerin etkisini % olarak göstermektedir. Bu
değerin 1’den az olması devresel ve düzensiz hareketlerin negatif etkisi ile gerçek zaman serisi değerinin uzun dönem eğilimi değerinden küçük olduğunu ifade etmektedir. Örneğin 1980 yılı için bu katsayının 0.8925 olması, 1980 yılı sabit sermaye yatırımlarının uzun dönem eğiliminden (1-0.8925)x100=%10.75 oranında düşük olması demektir. Diğer taraftan bu katsayının 1’den büyük olması demek devresel ve düzensiz hareketlerin pozitif katkısı ile gerçek sabit sermaye yatırımlarının uzun dönem eğilimi değerinin üzerinde olması demektir.
Örneğin 1981 yılı için hesaplanan 1.0134, 1981 yılı sabit sermaye yatırımlarının uzun dönem eğilimi değerinden (1.0134-1)x100=%1.34 daha yüksek olduğunu göstermektedir.
Şimdi Türkiye’nin 1980-1992 yılları arasındaki sabit sermaye yatırımlarına ait zaman serisi verilerinde, devresel ve düzensiz hareketlerin etkisini gösteren katsayısı hesaplayalım.
Sabit sermaye yatırımları (Trilyon
TL)
t
Y 523.9250 26.6907 CI Y Y
467.6 558.0 503.4 546.7 718.9 714.5 717.6 749.3 793.6 832.3 799.5 721.1 770.4
523.9250 550.6157 577.3064 603.9971 630.6878 657.3785 684.0692 710.7599 737.4506 764.1413 790.8320 817.5220 844.2134
0.8925 1.0134 0.8720 0.9051 1.1399 1.0869 1.0490 1.0542 1.0761 1.0891 1.0110 0.8821 0.9126
Şimdi nispi devresel ve düzensiz hareketleri grafik üzerinde görelim. Bunun için bu hareketlerin etkisini yansıtan katsayı dik eksende, zaman ise yatay eksende olacak şekilde grafik hazırlanır. Nispi devresel ve düzensiz hareketler katsayısının zaman içindeki değişimi Şekil 7.6’da gösterilmiştir.
0,6000 0,7000 0,8000 0,9000 1,0000 1,1000 1,2000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Zaman
CI (%)
Şekil 7.6. Nispi devresel ve düzensiz hareketler katsayısı
7.4. Mevsimlik Hareketlerin Ölçülmesi
Zaman serisi verilerinde, mevsimlik değişimlerin etkisinin ölçülmesinde “hareketli ortalama metodundan” yararlanılmaktadır. Bu yöntem uzun dönem eğilimi ile devresel ve düzensiz hareketleri zaman serisi verilerinden arındırıp, mevsimlik değişimlerin etkisini de ortadan kaldırmaktadır. Bu bölümde hareketli ortalamanın nasıl hesaplanacağı, mevsimlik ve düzensiz değişimin yüzdesinin nasıl belirlendiği, mevsimlik değişim indeksinin nasıl hesaplanacağı ve mevsimlik değişimlerden arındırılmış verilerin nasıl elde edileceği anlatılacaktır.
Üretim, satışlar, tüketim harcamaları, gelirler, yatırımlar gibi ekonomik değişkenler mevsimlik değişimleri içermektedir. Diğer bir ifade ile, bu değişkenlerin değeri mevsimlere bağlı olarak değişmektedir. Bu yüzden bu verilerden, mevsimlik değişmelerin etkisinin uzaklaştırılması gerekmektedir.
Hareketli ortalama, belirli bir zaman periyodundaki (k) ölçümlerin ortalamasını ifade etmektedir. Hareketli ortalamayı hesaplamak için, öncelikle k değeri kadar sayının toplamı alınmakta ve bu toplam k kadar sayının tam ortasına yazılmaktadır. Örneğin k=4 ise, ilk 4 rakamın toplamı alınıp 2. ile 3. rakamın ortasına yazılmaktadır. Daha sonra bu işlem serideki ilk rakam göz ardı edilerek tekrar edilmektedir. Sonra bu dört rakamın toplamı bu seferki 4 rakamın tam ortasına yazılacaktır. Benzer şekilde daima ilk rakam seri dışı bırakılarak işlemler sürdürülür ve tüm seri için hareketli toplamlar bulunur. Bunu takiben hareketli toplamlar k sayısına yani 4’e bölünerek hareketli ortalama bulunur. Hareketli ortalamalar tam bir rakamın karşısında olmadığından bu ortalama değerlerin merkezleştirilmesi yani bir rakamın tam karşısına yazılması gerekmektedir. Bu amaçla 2 ve 3 ile 3 ve 4 arasındaki
hareketli ortalama değerleri toplanıp ikiye bölünerek merkezleştirilmiş hareketli ortalama bulunmakta ve 3. rakamın karşısına yazılmaktadır. Seri boyunca merkezleştirme işlemi yapılarak, hareketli ortalama bulma işlemi sonlandırılmış olmaktadır. Eğer k sayısı tek rakamlı ise merkezleştirilmiş hareketli ortalamayı bulmaya gerek yoktur. Zira zaten bulunan ortalamalar tam bir rakamın karşısına gelmektedir. Örneğin k=3 ise 3 rakamın ortalaması alınıp, 2. rakamın karşısına yazılmaktadır.
Zaman serisi verileri için hareketli ortalamalar hesaplandıktan sonra, bu ortalamalar gerçek zaman serisi verilerine oranlanarak, mevsimlik ve düzensiz değişmeler yüzdesi bulunmaktadır. Daha sonra bu yüzdeler bir özet tabloda toparlanmakta ve her bir dönem için mevsimlik değişimler yüzdesinin ortalaması hesaplanmaktadır. Bunu takiben mevsimlik değişimler yüzdelerinin ortalamalarının toplamı alınmakta ve her bir dönem için hesaplanan mevsimlik yüzde değişim ortalaması ortalama toplamına bölünüp, k=4 ile çarpılarak mevsimlik değişim indeksi hesaplanmaktadır.
Zaman serisi verilerini, mevsimlik değişmelerden arındırmak için gerçek zaman serisi değerinin, mevsimlik değişim indeksine oranlanması gerekmektedir. Şimdi mevsimlik değişmelerin etkisinin nasıl ölçüldüğünü ve zaman serisi verilerinden bunun nasıl uzaklaştırıldığını bir örnek üzerinde görelim.
Örnek:
1988-1993 yıllarında Türkiye’de üçer aylık dönemler halinde petrol satışları aşağıdaki gibidir. Bu verilerde mevsimlik ve düzensiz hareketler yüzdesini ve mevsimlik değişim indeksini bulunuz. Mevsimlik değişim indeksinden yararlanarak, mevsimlik değişimlerden arındırılmış zaman serisi verilerini elde ediniz?
Çözüm:
Adım 1: Hareketli ortalama ile mevsimlik ve düzensiz değişimler yüzdesinin hesaplanması Hareketli toplam= (8.2+10.5+12.8+9.3)=40.8
=(10.5+12.8+9.3+9.1)=41.7 =(12.8+9.3+9.1+11.4)=42.6 Hareketli ortalama=hareketli toplam/k =40.8/4=10.200 =41.7/4=10.425 =42.6/4=10.650
Merkezleştirilmiş hareketli ortalama=[Hareketli ortalama(1)+hareketli ortalama(2)]/2 =(10.20+10.425)/2=10.3125
=(10.65+10.75)/2=10.5375 =(10.875+10.925)/2=10.90
Mevsimlik ve düzensiz değişimler yüzdesi=Gerçek değer/merkezleştirilmiş hareketli ortalama =12.8/10.3125=1.2412
=9.3/10.5375=0.8826
Yıl Dönem Petrol satışları (milyar TL)
Hareketli toplam
Hareketli ortalama (k=4)
Merkezleştirilmiş hareketli ortalama
Mevsimlik ve düzensiz değişimler yüzdesi (%)
1988 1
2 3 4
8.2 10.5 12.8 9.3
40.8 41.7 42.6
10.200 40.425 10.650
10.3125 10.5375
1.2412 0.8826
1989 1
2 3 4
9.1 11.4 13.2 9.8
43.0 43.5 43.7 44.0
10.750 10.875 10.925 11.000
10.7000 10.8125 10.9000 10.9625
0.8805 1.0543 1.2110 0.8940
1990 1
2 3 4
9.3 11.7 13.4 9.7
44.2 44.1 44.3 44.7
11.050 11.025 11.075 11.175
11.0250 11.0375 11.0500 11.1250
0.8435 1.0600 1.2127 0.8719
1991 1
2 3 4
9.5 12.1 13.9 9.9
45.2 45.4 45.3 45.7
11.300 11.350 11.325 11.425
11.2375 11.3250 11.3375 11.3750
0.8454 1.0684 1.2260 0.8703
1992 1
2 3 4
9.4 12.5 13.7 10.2
45.5 45.8 46.3 46.6
11.375 11.450 11.575 11.650
11.4000 11.4125 11.5125 11.6125
0.8246 1.0953 1.1900 0.8784
1993 1
2 3 4
9.9 12.8 14.2 10.7
47.1 47.6
11.775 11.900
11.7125 11.8375
0.8453 1.0813
Adım 2: Mevsimlik değişim indeksinin hesaplanması Yıllar
Dönemler
1 2 3 4
1988 1989 1990 1991 1992 1993
- 0.8505 0.8435 0.8454 0.8246 0.8453
- 1.0543 1.0600 1.0684 1.0953 1.0813
1.2412 1.2110 1.2127 1.2260 1.1900
-
0.8826 0.8940 0.8719 0.8703 0.8784
- Toplam 4.2093 5.3593 6.0809 4.3972
Ortalama 0.8416 1.07186 1.21618 0.87944
O 009344.Mevsimlik değişim
indeksi
0.83990 1.06936 1.21335 0.87739
Mevsimlik değişim indeksi=(Ortalama/
O)(k)=(0.8416/4.0093)(4)=0.83990 =(1.07186/4.0093)(4)=1.06936 =(1.21618/4.0093)(4)=1.21335 =(0.87944/4.0093)(4)=0.87739
Yıl Dönem Petrol satışları (milyar TL)
Mevsimlik değişim indeksi
Mevsimlik değişimlerden arındırılmış satışlar 1988 1
2 3 4
8.2 10.5 12.8 9.3
0.83990 1.06936 1.21335 0.87739
9.76 9.82 10.55 10.60 1989 1
2 3 4
9.1 11.4 13.2 9.8
0.83990 1.06936 1.21335 0.87739
10.83 10.66 10.88 11.17 1990 1
2 3 4
9.3 11.7 13.4 9.7
0.83990 1.06936 1.21335 0.87739
11.07 10.94 11.04 11.06 1991 1
2 3 4
9.5 12.1 13.9 9.9
0.83990 1.06936 1.21335 0.87739
11.31 11.32 11.46 11.28 1992 1
2 3 4
9.4 12.5 13.7 10.2
0.83990 1.06936 1.21335 0.87739
11.19 11.69 11.29 11.63 1993 1
2 3 4
9.9 12.8 14.2 10.7
0.83990 1.06936 1.21335 0.87739
11.79 11.97 11.70 12.20
