ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ HARMONİK ve POLİHARMONİK POLİNOMLAR Aslı Zeynep YILDIRIM MATEMATİK ANABİLİMDALI ANKARA 2005 Her hakkı saklıdır.

(1)

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

HARMONİK ve POLİHARMONİK POLİNOMLAR

Aslı Zeynep YILDIRIM

MATEMATİK ANABİLİMDALI

ANKARA 2005

(2)

ÖZET Yüksek Lisans Tezi

HARMONİK ve POLİHARMONİK POLİNOMLAR Aslı Zeynep YILDIRIM

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Abdullah ALTIN

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde, ön bilgiler ve bazı temel kavramlar verilmiştir.

İkinci bölümde, Laplace denkleminin çözümleri olan harmonik fonksiyonlar tanımlanmıştır. Daha sonra değişkenlerine ayırma metodu kullanılarak bazı temel harmonikler elde edilmiştir. Son olarak Laplace denkleminin elemanter bazı çözümleri verilmiştir.

Üçüncü bölümde, harmonik polinomlar tanımlanmış ve örnekler verilmiştir. Daha sonra değişkenlerine ayırma metodu kullanılarak bazı temel harmonikler elde edilmiştir.

Dördüncü bölümde, poliharmonik denklemin çözümleri olan poliharmonik fonksiyonların ve ∆ Laplace operatörünün bazı özellikleri üzerinde durulmuştur.

Ayrıca poliharmonik bir fonksiyonu harmonik fonksiyonlar cinsinden ifade eden Almansi açılımı elde edilmiştir. Bu bilgilerden yararlanarak poliharmonik polinom tanımı ve poliharmonik polinomların bazı özellikleri verilmiştir.

Beşinci bölümde, Genelleştirilmiş Eksensel Simetrik Potansiyel Teori (GASPT) denklemi ve bu denklem ile tanımlanan L operatörünün bazı özellikleri incelenmiştir.

Daha sonra da bu denklemin homogen çözümleri ile ilgili bazı teoremler verilmiştir.

2005, 85 sayfa

ANAHTAR KELİMELER: Laplace denklemi, Harmonik fonksiyon, Harmonik polinom, Poliharmonik Fonksiyon, Poliharmonik polinom, GASPT denklemi, Almansi açılımı

(3)

ABSTRACT Master Thesis

HARMONIC and POLYHARMONIC POLYNOMIALS Aslı Zeynep YILDIRIM

Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Prof.Dr. Abdullah ALTIN

This thesis consists of five chapters.

In the first chapter, introductory information and some fundamental concepts are given.

In the second chapter, the harmonic functions which are the solutions of Laplace equation are defined. Afterwards, using seperation of variables some fundamental harmonics are introduced. Last, some fundamental solutions of Laplace equation are given.

In the third chapter, harmonic polynomials are defined and some examples are given.

Afterwards, using seperation of variables some fundamental harmonics are introduced.

In the fourth chapter, some properties of polyharmonic functions which are solutions of the polyharmonic equation, and Laplace operator ∆ are examined. Furthermore, the Almansi expansion which is the expansion of a polyharmonic function in terms of harmonic functions has been obtained.

In the last chapter, Generalized Axially Symmetric Potential Theory (GASPT) equation and some properties of the operator L which is defined by GASPT equation is given. Then certain theorems which are realed to homogenous solutions of this equation are given.

2005, 85 pages

Key Words: Laplace Equation, Harmonic function, Harmonic polynomial, Polyharmonic function, Polyharmonic polynomial, GASPT equation, Almansi expansion

(4)

TEŞEKKÜR

Bu çalışma konusuna beni yönlendiren ve çalışmalarımın her aşamasında desteğini eksik etmeyen saygıdeğer hocam, Sayın Prof. Dr. Abdullah ALTIN’a (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) en içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım.

Ayrıca çalışmalarım süresince her zaman yanımda olan, bana manevi destek veren aileme de teşekkürlerimi bir borç bilirim.

Aslı Zeynep YILDIRIM Ankara, Eylül 2005

(5)

İÇİNDEKİLER

ÖZET ……..………. i

ABSTRACT ...………. ii

TEŞEKKÜR …………..………...…… iii

1. GİRİŞ ……….. 1

1.1. Ön Bilgiler ………. 1

1.2. Temel Kavramlar ………... 1

2. LAPLACE DENKLEMİ ve HARMONİK FONKSİYONLAR ………… 3

2.1. Harmonik Fonksiyonlar ……… 3

2.2. Bazı Temel Harmonik Fonksiyonlar. Değişkenlerine Ayırma Metodu ...….. 4

2.3. Laplace Denkleminin Elemanter Bazı Çözümleri ……….. 13

3. HARMONİK POLİNOMLAR ……… 21

3.1. Harmonik Polinomların Tanımı ve Örnekler ………. 21

3.2. Küresel Koordinatlarda Laplace Denklemi ve Harmonik Polinomlar………. 31

4. POLİHARMONİK POLİNOMLAR ……… 38

4.1. Poliharmonik Fonksiyonlar ……… 38

4.2. Laplace Operatörünün Önemli Bazı Özellikleri ………. 39

4.3. Almansi Açılımı ………. 54

4.4. Poliharmonik Polinomlar ……… 56

5. GENELLEŞTİRİLMİŞ EKSENSEL SİMETRİK POTANSİYEL TEORİ (GASPT) DENKLEMİ ve POLİNOM ÇÖZÜMLERİ ………... 59

5.1. Genelleştirilmiş Eksensel Simetrik Potansiyel Teori (GASPT) Denklemi …. 59 5.2. L Operatörünün Bazı Özellikleri ……… 59

KAYNAKLAR……… 84

ÖZGEÇMİŞ……….. 85

(6)

(7)

1. GİRİŞ

1.1. Ön bilgiler

Laplace denklemi, fizik ve mühendisliğin pek çok alanında ortaya çıktığından matematikçilerin, mühendislerin ve bilim adamlarının büyük bir ilgi alanı olmuştur.

Potansiyel teorinin temel denklemi olan Laplace denklemi ve bu denklemin çözümleri olan harmonik fonksiyonlar, Uygulamalı ve Teorik Fizikteki kullanım alanlarının yanında, Matemetiğin de hemen hemen her alanında önemli bir yer tutmuş ve ileri araştırmaların temelini oluşturmuştur. Laplace denklemi ve bu denklemin çözümleri olan harmonik fonksiyonların özelliklerinin iyi bilinmesi eliptik ve parabolik denklemler üzerinde araştırma yapabilmek için oldukça önemlidir.

1.2. Temel kavramlar

Tanım 1.2.1. Ω ⊂ ⁿ de tanımlı u C∈ ²( )Ω fonksiyonunun x=

(

x1,...,x_n

)

∈ Ω noktasındaki gradienti

1

,..., x xn

 ∂ ∂ 

∇ = ∂ ∂  (Nabla Operatörü) (1.2.1)

operatörü yardımıyla

(

1

)

1

,..., ,..., _n

n

u u

grad u u w w w

x x

 ∂ ∂ 

= ∇ =∂ ∂ = =

r (1.2.2)

olarak tanımlanan vektörel bir fonksiyondur.

Tanım 1.2.2. (Laplace Operatörü): Laplace operatörü ∆ ile gösterilir ve ⁿde Laplace operatörü

(8)

2 2

1

...

x xn

∂ ∂

∆ = + +

∂ ∂ (1.2.3) şeklinde tanımlanır.

Tanım 1.2.2. (Green Özdeşliği) : Ω ⊂ ^msınırlı bir bölge ve nr

, ∂Ω sınırında dış birim normal vektör olsun. u w C, ∈ ²( )Ω fonksiyonlar olmak üzere

^u ^w^d

(

^{u w}

( ) ( )

^u ^. ^w

)

n σ

∂Ω Ω

∂ = ∆ + ∇ ∇

∫

∂

∫

^dv (1.2.4)

ve

(

^{u w w u}

)

Ω

∆ − ∆

∫

^dv ^u ^w_n ^w ^u_n ^d^σ

∂Ω

∂ ∂

 

=

∫

 ∂ − ∂  (1.2.5)

eşitlikleri geçerlidir. (1.2.4) ve (1.2.5) eşitlikleri sırasıyla “Birinci Green Özdeşliği”

ve “İkinci Green Özdeşliği” olarak bilinirler.

(9)

2. LAPLACE DENKLEMİ ve HARMONİK FONKSİYONLAR

2.1. Harmonik Fonksiyonlar

Tanım 2.1.1. D ⊂ ⁿ de

2 2

1

... 0

n

u u

u x x

∂ ∂

∆ = + + =

∂ ∂ (2.1.1)

Laplace denklemini sağlayan u∈C D²( ) fonksiyonuna D de harmoniktir veya harmonik fonksiyondur denir (Çevik 2004).

Bir fonksiyonun harmonik olması için sadece Laplace denklemini sağlaması yetmez.

Harmonik fonksiyonlar Laplace denklemini sağlayan ve de kendisi ve ikinci mertebeden kısmi türevleri sürekli olan fonksiyonlar olarak tanımlanır.

1 1 ... _n _n 0

u=a x + +a x + a

şeklindeki bütün lineer fonksiyonlar ve

, 1

0

n ij i j i j

a

==

∑

=

olmak üzere

, 1 n

ij i j i j

u a x x

=

∑

şeklindeki ikinci dereceden homogen bütün polinomlar ⁿ de harmoniktir.

(10)

Aslında sürekli bile olmayan fakat Laplace denklemini sağlayan, yani ikinci mertebeden

2 2

1

,...,

n

u u

x x

∂ ∂

∂ ∂ kısmi türevleri var ve bu kısmi türevlerin toplamı sıfır olan fonksiyonlar vardır. Örneğin ; z= + kompleks değişken olmak üzere x iy ² de

(

^1/ ⁴

)

Re ; ( , ) (0, 0)

( , )

0 ; ( , ) (0, 0)

e z x y

u x y

x y

 − ≠

= 

 =

ile tanımlanan u fonksiyonu Laplace denklemini sağlar ve u fonksiyonu orijinde sürekli değildir.

Teorem 2.1.1. u , D ⊂ ⁿ de Laplace denkleminin sürekli bir çözümü ise bu durumda u fonksiyonu D de analitiktir (Çevik 2004).

Teoreme göre, Laplace denkleminin çözümü olarak tanımlanan ve C D de sürekli ²( ) olması büyük bir fark göstermeyen harmonik fonksiyonlar gerçekten analitiktir.

Teoremin ispatı oldukça zordur fakat iddiası analitik katsayılı her eliptik denklemin çözümü için geçerlidir.

2.2. Bazı Temel Harmonik Fonksiyonlar. Değişkenlerine Ayırma Metodu

Bu kısımda harmonik fonksiyonların bir sınıfı, değişkenlerine ayırma metodu ile elde edilecektir. Bu sınıf oldukça küçük olmasına rağmen, süperpozisyon prensibini kullanarak bu sınıfı fazlasıyla genişletmek mümkündür. Eğer, D ⊂ ⁿ de tanımlı ve harmonik fonksiyonların bir sınıfına sahip isek, süperpozisyon prensibine göre bu fonksiyonların her lineer kombinasyonu da D de harmoniktir.

(11)

3 de orijine yerleştirilen birim yükten kaynaklanan herhangi ( , , )x y z ≠(0, 0, 0) noktasındaki elektrostatik potansiyel 1

r ile orantılıdır. Burada r , rr=( , , )x y z nin

orijine uzaklığı olup

1

2 2 2 2

( )

r=rr = x +y +z

dir. Fizikten bilinmektedir ki, yüklerin dağılımından kaynaklanan potansiyel, yüksüz uzayın her noktasında Laplace denklemini gerçekler.

1

, 0

u r

=r ≠ (2.2.1)

fonksiyonu ³ de orijin dışında harmoniktir. Orijine göre küresel simetrik olan bu fonksiyon, orijin merkezli ve r yarıçaplı küre üzerindeki noktalarda sadece r yarıçapına bağlı olup θ veφ açısal değişkenlerine bağlı değildir. r ye yarıçapsal anlamında radyal değişken adı verilmektedir.

İlk olarak, sadece r radyal değişkenine bağlı olan tüm harmonik fonksiyonları bulalım.

Bunu yapmak için, ∆ Laplace operatörünün ⁿ de küresel koordinatlar ( ² de kutupsal koordinatlar) cinsinden ifadesine ihtiyaç vardır. Laplace operatörü, ² de

2

2 2

1 u 1 u

u r

r r r r θ

∂  ∂  ∂

∆ = ∂  ∂ + ∂ (2.2.2)

ve n> için 2 ⁿ de

1₁ n ¹ 1₂

n n

u r u u

r r r r

−

∂  ∂ 

∆ = ∂  ∂ + Λ (2.2.3)

ifadelerine sahiptir. Burada Λ sadece açısal değişkenlerle ilgili kısmi türevler içeren _n ikinci mertebeden bir diferensiyel operatördür. n = için 3

(12)

2

3 2 2

1 1

sin sin sin

u u

u φ

φ φ φ φ θ

 

∂ ∂ ∂

Λ = ∂  ∂ + ∂ (2.2.4)

şeklindedir. n > için 3 Λ nin açık ifadesine ihtiyaç yoktur. _n

Buradan sadece r ye bağlı harmonik fonksiyonlar kolayca bulunabilir. ² deki ( )u r gösterimine sahip harmonik fonksiyonlar için u 0

θ

∂ =

∂ olduğundan (2.2.2) den dolayı

1

u 0 r r r r

∂  ∂  =

∂  ∂  (2.2.5)

denklemi sağlanmalıdır. Bu denklemi sağlayan lineer bağımsız iki çözüm

1 , lnr (n =2) (2.2.6)

şeklindedir. n > için 2 ⁿ deki ( )u r harmonik fonksiyonu (2.2.3) den dolayı

1₁ ¹

n 0

n

r u

r r r

−

∂  ∂  =

∂  ∂  (2.2.7)

denklemini sağlamalıdır. Bu denklemin lineer bağımsız iki çözümü

1 , 2

( )

1 2

n n

r ⁻ > (2.2.8)

dir.

(13)

(2.2.6) ve (2.2.8) deki ilk fonksiyonlar ⁿ nin tümünde tanımlı ve harmonik iken, ikinci fonksiyonlar ⁿ de orijin dışında tanımlı ve harmoniktir. ln r nin ² de ve

2

n > için r^{− −}⁽ⁿ ²⁾ nin ⁿ de orijin kutuplu harmonik fonksiyon olduğu söylenebilir.

Diğer temel harmonik fonksiyonları elde etmek için değişkenlerine ayırma metodu kullanılacaktır.

2de kutupsal koordinatlarda,

( , )u r θ =R r( ) ( )Θθ (2.2.9)

gösterimine sahip ( , )u r θ harmonik fonksiyonlarını arayalım. Burada ( , )u r θ , r nin bir R fonksiyonu ile θ nın bir Θ fonksiyonunun çarpımı olarak düşünülmüştür. Yani değişkenlerine ayrılmıştır. Sadece reel değerli harmonik fonksiyonlar arandığından R ve Θ fonksiyonlarının reel değerli oldukları varsayılmıştır. ( , )u r θ =R r( ) ( )Θ θ nın kendisi ve türevleri kutupsal koordinatlardaki (2.2.2) Laplace operatöründe yerlerine yazılır ve sıfıra eşitlenirse,

2

1 1

0

R R R

r r

′′Θ + ′Θ + Θ = ′′

elde edilir. Bu denklemi r2

RΘ ile çarpar ve gerekli düzenlemeleri yaparsak

r R2 rR R

′′+ ′= −Θ′′

Θ (2.2.10)

bulunur. Bu eşitliğin sol yanı sadece r nin fonksiyonu iken sağ yanı θ nın bir fonksiyonudur. Tek değişkenli bir fonksiyon, bir başka değişkenin fonksiyonuna eşit

(14)

olduğuna göre bu fonksiyon aynı sabite eşit olmalıdır. Bu nedenle µ∈ olmak üzere (2.2.10) eşitliği

r R2 rR

R µ

′′+ ′ = = −Θ′′

Θ

şeklinde yazılabilir. Bu ifadeler

r R² ′′+rR′−µR= (2.2.11) 0

Θ + Θ = (2.2.12) ′′ µ 0

denklem çiftine denktir. Laplace denklemini sağlayan ( , )u r θ =R r( ) ( )Θθ formundaki bir ( , )u r θ fonksiyonu için, R ve Θ fonksiyonları sırasıyla (2.2.11) ve (2.2.12) adi diferensiyel denklemlerini sağlamalıdır.

(2.2.11), Euler denklemi olup

1 , ln ; 0

( )

, ; 0

R r r

r r

µ µ µ

µ µ

−

 =

=  ≠ (2.2.13)

şeklinde lineer bağımsız iki çözüme sahiptir. (2.2.12) denkleminin lineer bağımsız iki çözümü ise

( ) ( )

1 , ; 0

( ) cos , sin ; 0

µ

θ µ

θ µθ µθ µ

 =

Θ =  ≠ (2.2.14)

(15)

şeklindedir. µ negatif olduğu zaman (2.2.13) ve (2.2.14) deki fonksiyonlar kompleks değerlidir. Bu fonksiyonların reel ve imajiner kısımları reel değerli lineer bağımsız çözüm çiftlerini teşkil ederler.

µ nün her değeri için (2.2.13) ve (2.2.14) deki fonksiyonların seçiminde

u r_µ( , )θ =R r_µ( )Θ_µ( )θ (2.2.15)

ifadesi her Ω ⊂ ² de bir harmonik fonksiyon tanımlamaz. Bu sadece (2.2.15) Ω da iyi tanımlı bir fonksiyona karşılık geldiğinde doğrudur. Genellikle orijini çevreleyen eğriler içeren bölgelerde harmonik fonksiyonlar aranır. ², r< ile verilen açık R diskler ve R₁< <r R₂ ile gösterilen açık çembersel halkalar böyle bölgelere örnektirler. Eğer Ω böyle bir bölge ve Γ , Ω da orijini çevreleyen herhangi bir eğri ise Γ nın herhangi bir noktasından başlayıp Γ üzerinde bir defa dönüp başlanılan noktaya gelindiğinde θ açısal değişkeni 2π kadar değişir. Bu durumda (2.2.15) ifadesi Ω da tek değerli bir fonksiyon tanımlar. O halde Θ_µ( )θ fonksiyonu 2π peryotludur yani her θiçin

Θ_µ(θ +2 )π = Θ_µ( )θ (2.2.16)

dır. (2.2.14) ile verilen Θ_µ( )θ fonksiyonları

; 0,1,...

n n

µ = =

için (2.2.16) periyodiklik koşulunu sağlar. µ = olduğunda ise sadece 1 fonksiyonu 0 bu koşulu sağlar. Bu yüzden, Ω orijini çevreleyen eğriler içeren bir bölge ise harmonik çözümleri tanımlarken (2.2.15) de

Θ_n( )θ =cosnθ , sinnθ ; n=1, 2,... (2.2.17)

(16)

açısal fonksiyonları kullanılır. Karşılık gelen radyal fonksiyonlar ise

1 , ln ; 0

( ) , ; 1, 2,...

n n n

r n

R r r r⁻ n

 =

=  = (2.2.18)

şeklindedir. (2.2.15) den harmonik fonksiyonların bir sınıfı

1 , cos , sin ; 1, 2,...

( , )

ln , cos , sin ; 1, 2,...

n n

n n n

r n r n n

u r r r n r n n

θ θ

θ ⁻ θ ⁻ θ

 =

= 

 = (2.2.19)

olarak bulunur. Eğer Ω ⊂ ² orijini içermezse (2.2.19) daki tüm fonksiyonlar Ω da harmoniktir. Eğer Ω orijini içerirse sadece birinci satırdaki fonksiyonlar Ω da harmoniktir.

Kabul edelim ki, Ω ⊂ ², orijini çevreleyen kapalı eğriler içermeyen bir bölge olsun.

Bu durumda, θ ile uygun değerler aralığına kısıtlanan

( , )u r θ = (2.2.20) θ

fonksiyonu Ω da harmonik bir fonksiyon tanımlar. Örneğin Ω , x> sağ yarı 0 düzlemi ise

2 2

π θ π

− < < dir. u r( , )θ = harmonik fonksiyonu kartezyen θ koordinatlarda

( , ) arctan y ; 0 ,

u x y x y

x

=    < < ∞ − ∞ < < ∞

  (2.2.21)

(17)

şeklindedir. Eğer Ω , y> üst yarı düzlemi ise 00 < < aralığını alabiliriz. θ π Kartezyen koordinatlarda karşılık gelen harmonik fonksiyon ise

( , ) arctan ; 0 ,

2

u x y x x y

y

π ^{ }

= −   < < ∞ − ∞ < < ∞

  (2.2.22)

şeklindedir.

Şimdi de ³ de küresel koordinatlarda,

( , , )u r θ φ =R r Y( ) ( , )θ φ (2.2.23)

gösterimine sahip ( , , )u r θ φ harmonik fonksiyonlarını bulalım.

2

3 2 2

1 1

sin sin sin

u u

u φ

φ φ φ φ θ

 

∂ ∂ ∂

Λ = ∂  ∂ + ∂

olmak üzere n= için küresel koordinatlardaki Laplace denklemi 3

2

2 2 3

1 1

u 0

u r u

r r r r

∂  ∂ 

∆ = ∂  ∂ + Λ =

şeklindedir. ( , , )u r θ φ =R r Y( ) ( , )θ φ ve türevleri yukarıdaki Laplace denkleminde yerlerine yazılırlarsa,

2

(

²

)

2 ³

1 1

0

r R Y R Y

r r

′ ′ + Λ =

⇒

(

²

)

₃

r R Y 0

R Y

′ ′ +Λ =

(18)

⇒

(

^{r R}²

)

₃Y

₍ ₎

R Y µ µ

′ ′ Λ

= − = ∈

bulunur. Buradan

(

^{r R}² ^{′ −}

)

^′ ^µ^R= (2.2.24) ⁰

Λ +₃Y µY = (2.2.25) 0

denklem çifti elde edilir.

α1 ve α₂

( 1) 0

α α+ − = µ

denkleminin kökleri olmak üzere, (2.2.24) denkleminin lineer bağımsız iki çözümü

r^α¹ , r^α² (2.2.26)

şeklindedir. (2.2.25) denkleminin çözümü oldukça zordur. Kabul edelim ki, ³ de orijine yerleştirilmiş ^S

( )

^0,1 birim küre yüzeyi üzerinde herhangi bir noktanın koordinatları

(

^{θ φ}^,

)

olsun. (2.2.25) denkleminin tüm çözümlerini bulmak yerine

( )

C2 Ω da ^S

( )

^0,1 birim küre yüzeyi üzerinde tanımlı ^Y

(

^{θ φ}^,

)

çözümlerini bilmek yeterlidir. Bu tip çözümler θ ya göre 2π peryotlu olmalı ve kürenin kutuplarında (φ = ve 0 φ π= noktalarında) θ dan bağımsız olan limitlere yaklaşmalıdır.

µsabitleri

µ = + =

(19)

değerlerinden birine eşit olduğu zaman (2.2.25) denkleminin bu koşulları sağlayan aşikar olmayan çözümleri vardır. Böyle µ_n ler için (2.2.25) in

( )^k

(

^,

)

^; 1, 2,..., 2 1 , 0,1,...

Yn θ φ k = n+ n=

şeklinde 2n+ tane lineer bağımsız çözümü vardır ( Courant-Hilbert 1953 ). Bu tip 1 çözümler birim küre yüzeyi üzerinde elde edildiklerinden Yüzey küresel harmonikleri adını alırlar.

µ µ= n için karşılık gelen radyal çözümler, (2.2.26) dan

, 1 ; 0,1,...

n n

r r^{− −} n=

şeklindedir. Bu durumda ( , , )u r θ φ =R r Y( ) ( , )θ φ formundaki harmonik fonksiyonlar ise

( )

, 1

, ; 1, 2,..., 2 1 , 0,1,...

( , , )

, ; 1, 2,..., 2 1 , 0,1,...

n k n

n k n k

n

r Y k n n

u r

r Y k n n

θ φ θ φ

θ φ

− −

 = + =

= 

= + =

 (2.2.27)

şeklindedir. Eğer Ω ⊂ ³ orijini içermezse (2.2.27) deki tüm fonksiyonlar Ω da harmoniktir. Aksi durumda sadece ilk satırdaki fonksiyonlar Ω da harmoniktir.

2.3. Laplace Denkleminin Elemanter Bazı Çözümleri

I. u= f r( )tipindeki çözümler:

D⊂ n bölgesinde P x( ,...,₁ x_n) noktasının koordinat başlangıcına uzaklığı ,

(

¹² ^... ⁿ²

)

¹²

r= x + +x

(20)

olmak üzere Laplace denkleminin r ye bağlı olan u= f r( ) tipindeki çözümünü arayalım. ( )f r nin x_i e göre birinci ve ikinci mertebeden türevleri alınırsa ,

(

1² ²

)

¹² ¹

1 ... 2

2

i

n i

i i

f df r df x df

x x x

x dr x dr r dr

∂ ∂ −

= = + + =

∂ ∂

2 2

i

i i

x

f df

x x r dr

∂∂ =∂ ∂  

2 2

1 1

i

i i

x d f r df

dr x r dr r x x r

 

∂ ∂  

= ∂ +  + ∂   

2 2

1 1

i i

i

x x

d f df

dr r dr r x r r

 

   

=   +  + − 

2 2 2

2 3

i 1 i

x d f x df

r dr r r dr

 

 

=  + − 

   

olurlar. Buradan,

2 2

2 2 3

1 1

n n 1

i i

i i i

x x

f d f df

f ₌ x ₌ r dr r r dr

   

∂   

∆ =

∑

∂ =

∑

  + −  

2

2 2

2 2 3

1 1 1

1

n n n

i i

i i i

d f df df

x x

r dr ₌ r dr ₌ r dr ₌

 

= + − 

 

∑ ∑ ∑

elde edilir. Burada , ² ²

1 n

i i

x r

=

∑

= ^ve

1

n

i

n

=

∑

= olduklarının dikkate alınmasıyla

(21)

2 2

1 0

d f n df

f dr r dr

∆ = + − = (2.3.1)

elde edilir. (2.3.1) de

df * ( )

f r

dr = (2.3.2)

denirse,

2 2

* ( )

d f df r

dr = dr (2.3.3)

olur , (2.3.2) ve (2.3.3) nin , (2.3.1) de yerlerine konulmasıyla,

*

( 1) *

df n 0 dr r f

+ − = (2.3.4)

elde edilir. Bu denklemi de düzenlersek,

*

* ( 1) 0

df dr

f + n− r =

değişkenlerine ayrılabilir denklemini elde ederiz. Bu denklemi çözersek,

*

ln f +(n−1) lnr=lnc1

(22)

⇒ ^*

( )

¹ 1

f r rn⁻ =c

çözümü elde edilir. (2.3.2) den

* 1

1

n df

f c r

dr

= − =

olup bu denklemin çözümü de,

( ) ₁ ¹ ¹ ² ₂ ; ( 2) 2

n c n

f r c r dr r c n

n

− −

= = + ≠

∫

− (2.3.5)

dir. Buradan görülüyor ki,

2

)

) ( ) 1_n ; ( 2) i f sabit

ii f r n

r ⁻

=

= ≠

ler çözüm olup,

2

( ) 1_n f r =r ⁻

r ye bağlı çözümdür. (2.3.4) de n= alınıp düzenlenirse, 2

1 1 2

( ) 1 ln

f r c dr c r c

=

∫

r = +

olacaktır.

(23)

O halde ∆f r( )= denkleminin r ye bağlı çözümleri 0

1 2

2

1 2

ln ; 2

( ) ⁿ ; 3

c r c n

f r c r ⁻ c n

+ =

= 

+ ≥



olarak elde edilir. c₁ ve c₂ nin keyfi sabitler olduğu yukarıdaki f r( ) çözümleri, genellikle

( ) 2 ; 2

( ) ln1 ; 2

n

f r a b n

r

f r a b n

r

= − + ≠

= + =

şeklinde ifade edilirler. Burada a ve b keyfi sabitlerdir.

II. u=φ

(

a x1 1+a x2 2+ +... a x_n _n

)

tipindeki çözümler:

Bu durumda Laplace denkleminin u=φ

(

a x1 1+a x2 2+ +... a x_n _n

)

şeklinde çözümünü arayalım φ nin x e göre iki kez türevini alalım, _i

(

^{1 1} ² ² ^...

)

i n n

i

u a a x a x a x

x φ

∂ = ′ + + +

∂

( )

2 2

1 1 2 2

2 _i ... _n _n

i

u a a x a x a x

x φ

∂ = ′′ + + +

∂

Buradan

2 2

xi

φ

∂

∂ nin ,

2 2 1 n

i xi

φ φ

=

∆ = ∂

∑

∂ da yerine yazılmasıyla,

(24)

²2 ²

(

1 1 2 2

)

1 1

... 0

n n

i n n

i i i

u u a a x a x a x

x φ

= =

∂   ′′

∆ =

∑

∂ =

∑

 + + + = (2.3.6)

elde edilir. (2.3.6) eşitliğinde

( )

²

1

0

n i i

a

=

∑

≠ olacağından,

^φ^′′

(

^{a x}^{1 1} ⁺^{a x}² ²^{+ +}^... ^{a x}ⁿ ⁿ

)

= (2.3.7) ⁰ elde edilir. (2.3.7) de iki kez integral alırsak keyfi a a₁, ₂,...,a sabitleri için ve keyfi _n

A ve B sabitleri için

(

^{a x}^{1 1} ^{a x}² ² ^... ^{a x}ⁿ ⁿ

) (

^{A a x}^{1 1} ^{a x}² ² ^... ^{a x}ⁿ ⁿ

)

^B

φ + + + = + + + +

çözümü elde edilir.

III. u=F a x

(

1 1²+a x2 2²+ +... a x_n _n²

)

tipindeki çözümler:

2 2 2

1 1 2 2 ... _n _n

a x +a x + +a x = s

diyelim. Bu durumda Laplace denkleminin s ye bağlı ^u⁼^{F s}

( )

şeklinde çözümünü arayalım. ^{F s}

( )

ⁿⁱⁿx e göre iki kez türevini alalım, i

2 _i _i

i i

F dF s dF

x ds x a x ds

∂ = ∂ =

∂ ∂

2

2 2 _i _i 2 _i 2 _i _i

i i i

F dF dF dF

a x a a x

x x ds ds x ds

∂ = ∂  = + ∂

∂ ∂   ∂

(25)

2

2 _i 2 _i _i 2

i

dF d F s

a a x

ds ds x

= + ∂

∂

2 2 2

2 _i dF 4 _i _i d F2

a a x

ds ds

= +

bulunurlar. Buradan

2 2 i

F x

∂

∂ nin ,

2 2 1 n

i i

F F

= x

∆ = ∂

∑

∂ da yerine yazılmasıyla,

2 2 1

( )

n

i i

F s u

= x

∆ = ∂

∑

∂

2 2 2

2 1

2 4

n

i i i

i

dF d F

a a x

ds ds

=

 

=  + 

 

∑

2 2 2

2

1 1

2 4

n n

i i i

i i

dF d F

a a x

ds ds

= =

 

=  +  

   

∑ ∑

(2.3.8)

elde edilir. (2.3.8) in, Laplace denklemini sağlanması için,

( ) (

² ²

)

²2

1 1

2 4 0

n n

i i i

i i

dF d F

a a x

ds ds

= =

+ =

∑ ∑

(2.3.9)

olmalıdır. (2.3.9) eşitliğinde

( )

1

0

n i i

a

=

∑

= alalım ve ² ²

1

4 0

n i i i

a x

=

 ≠

 



∑

 olacağından,

2

2 0

d F

ds = (2.3.10)

dır. (2.3.10) de iki kez integral alırsak bu denklemin çözümü A ve B keyfi sabitler olmak üzere ,

(26)

( )

F s = As+ B

şeklinde elde edilir. O halde bu tipte aranan çözümler

(

1 1² ... _n _n²

)

u=A a x + +a x + ; B

( )

1

0

n i i

a

=

∑

= olarak bulunurlar.

(27)

3. HARMONİK POLİNOMLAR

3.1. Harmonik Polinomların Tanımı ve Örnekler

Tanım 3.1.1.

2 2 1

0

n

i i

u

= x

∂ =

∑

∂ (3.1.1)

Laplace denkleminin çözümü olan fonksiyonlara harmonik fonksiyonlar adı verilir.

Biz öncelikle bu denklemin homogen polinom çözümleri ile ilgileneceğiz. Çünkü

1,..., _n

x x değişkenlerini içeren her polinom çözüm farklı dereceli homogen polinomların sonlu sayıdaki toplamıdır (Andrews et al.1999).

Tanım 3.1.2. m. dereceden homogen ve (3.1.1.) denklemini sağlayan H_m

(

x1,...,x_n

)

polinomuna homogen harmonik polinom denir. Biz öncelikle iki boyutlu Laplace denkleminin çözümleri olan harmonik fonksiyonların bir alt grubunu teşkil eden iki değişkenli harmonik polinomların incelemesini yapacağız. Bu arada kompleks değişkenli analitik fonksiyonlardan da yararlanacağız (Andrews et al.1999).

Aşağıdaki gibi belirlenen farklı derecelerdeki F polinomlarının

2

( )

2 1

0

n

i i

F F

= x

 ∂ 

∆ =

∑

∂  = Laplace denklemini sağlayıp sağlamadıklarını inceleyelim.

i) F x

(

1,...,x_n

)

=c (c sabit) iken ∆F=0 dır.

ii) F x

(

1,...,x_n

)

=a x1 1+ +... a x_n _n iken ∆F=0 dır.

Sabit ve 1.dereceden her polinom her zaman bir harmonik polinom teşkil eder.

iii) F x

(

1,...,x_n

)

=a x11 1²+a x x12 1 2+ +... a x x1_n 1 _n+ +... a x x21 2 1+a x22 2²+ +... a x_nn _n² polinomunun harmonik olması için ∆F x

(

1,...,x_n

)

=2

(

a11+ +... a_nn

)

=0 ın sağlanması, yani katsayıların a₁₁+ +... a_nn = bağıntısının sağlanması gerekir. 0

(28)

Örnek 3.1.1 : P x( ,....,₁ x_n)=a x_{1 1}²+...+a x_n _n² olmak üzere ∆ =P 2

(

a1+a2+ +... a_n

)

dir. Eğer a₁+a₂+ +... a_n = olacak şekilde katsayılar arasında bir bağıntı varsa bu 0 polinom harmoniktir.

Örnek 3.1.2 : P x y z( , , )=a x₁₁ ²+a y₂₂ ²+a z₃₃ ²+2a xy₁₂ +2a xz₁₃ +2a yz₂₃ polinomunun harmonikliğini inceleyelim.

( )

2 2 2

2

2 2 2

11 22 33 12 13 23

2

2 2 2

11 22 33 12 13 23

2

2 2 2

11 22 33 12 13 23

2

2 2 2

P P P

P x y z

a x a y a z a xy a xz a yz

x

y

z

∂ ∂ ∂

∆ = + +

∂ ∂ ∂

= ∂ + + + + + +

∂

+ ∂ + + + + + +

∂

+ ∂ + + + + +

∂

( )

2 2 2

11 22 33 12 13 23

2 2 2

11 22 33 12 13 23

2 2 2

11 22 33 12 13 23

2 2 2

x x

y y

z z

∂  ∂ 

=∂ ∂ + + + + + +

 

∂ ∂

+∂ ∂ + + + + + +

∂ ∂ 

+∂ ∂ + + + + + 

(

2a x11 2a y12 2a z13

) (

2a y22 2a x12 2a z23

) (

2a z33 2a x13 2a y23

)

x y z

∂ ∂ ∂

= + + + + + + + +

∂ ∂ ∂

=2 a

(

11+a22+a33

)

(29)

elde edilir. Bu polinomun harmonik olması için a₁₁+a₂₂+a₃₃ = olmalıdır. 0

Şimdi bu örneklerin ışığı altında bizim konumuzu daha çok ilgilendiren iki boyuttaki polinomları inceleyelim.

Örnek 3.1.3 : z= + komplex değişkenine bağlı x iy P z_n

( )

=a z_n ⁿ+ +... a z1 ¹+a0 polinomu düzenlenerek reel ve sanal kısımlara ayrılırsa,

P z_n

( )

=P_n1

(

x y,

)

+iP_n2

(

x y,

)

olarak yazılabilir. P zn

( )

polinomu analitik olduğundan n-yinci dereceden olan

( )

1 ,

Pn x y ve P_n2

(

x y,

)

iki değişkenli polinomları da harmoniktir.

Uyarı 3.1.1. m boyutlu uzayda n-yinci dereceden bir P x_n( ,....,₁ x_m) polinomu için

( )

2 2 2

2 2 2 1

1 2

( ... ) _n ,..., _m 0

m

P x x

x x x

∂ + ∂ + + ∂ =

∂ ∂ ∂

sağlanıyor ise n-yinci dereceden m boyutlu P x_n( ,....,₁ x_m) polinomuna harmoniktir denir (Andrews et al.1999).

Örnek 3.1.4 : P z1

( )

= = +z x iy kompleks değişkenli polinomunun reel ve sanal kısımları olan P11

(

x y,

)

=x ve P12

(

x y,

)

= y polinomları için

P11

(

x y,

)

( ²2 ²2)( )x 0

x y

∂ ∂

∆ = + =

∂ ∂

( )

² ²

12 , ( 2 2)( ) 0

P x y y

x y

∂ ∂

∆ = + =

∂ ∂

(30)

sağlandığından bu polinomlar harmonik polinomlardır.

( )

²

( )

²

P z2 =z = x iy+ kompleks değişkenli polinomunun reel ve sanal kısımları sırasıyla P21

(

x y,

)

=x²−y² ve P22

(

x y,

)

=2xy polinomlarıdır. Bu polinomlar için

P21

(

x y,

)

( ²2 ²2)(x² y²) 2 2 0

x y

∂ ∂

∆ = + − = − =

∂ ∂

P22

(

x y,

)

( ²2 ²2)(2xy) 0 0 0

x y

∂ ∂

∆ = + = − =

∂ ∂

sağlanmaktadır. O halde P21

(

x y,

)

veP22

(

x y,

)

polinomları harmonik polinomlardır.

( )

³

3 3( )

P z =z = x iy+ kompleks değişkenli polinomunun reel ve sanal kısımları,

( )

³

( )

³ ³ ² ² ³

3

3 2 2 3

31 32

3 3 ( ) ( )

( 3 ) (3 )

( , ) ( , )

P z z x iy x x iy x iy iy

x xy i x y y

P x y iP x y

= = + = + + +

= − + −

= +

eşitliklerinden dolayı sırasıyla P x y₃₁( , )=x³−3xy² ve P₃₂( , )x y =3x y² −y³ polinomlarıdır. Bu polinomlar için,

( )

² ² ³ ² ² ³ ² ² ³ ²

31 , ( 2 2)( 3 ) 2 ( 3 ) 2( 3 )

6 6 0

P x y x xy x xy x xy

x y x y

x x

∂ ∂ ∂ ∂

∆ = + − = − + −

∂ ∂ ∂ ∂

= − =

( )

² ² ² ³ ² ² ³ ² ² ³

32 , ( 2 2)(3 ) 2 (3 ) 2 (3 )

6 6 0

P x y x y y x y y x y y

x y x y

y y

∂ ∂ ∂ ∂

∆ = + − = − + −

∂ ∂ ∂ ∂

= − =

(31)

olmaktadır. O halde P31

(

x y,

)

ve P32

(

x y,

)

polinomları Laplace denklemini sağladıklarından harmonik polinomlardır.

Bu şekilde n kez devam edecek olursak, n-yinci dereceden P zn

( )

=zⁿ =

(

x iy+

)

ⁿ komplex değişkenli polinomunun analitik olduğunu biliyoruz. O halde buradan

( )

P zn nin reel ve sanal kısımları olan P_n1

(

x y,

)

ve P_n2

(

x y,

)

polinomlarıda harmoniktir. Şimdi bu polinomları elde edelim. P zn

( )

yi

( ) ( )

0

n n n k k

k

x iy n x iy

k

−

=

+ =   

∑

  (3.1.2)

şeklinde binom serisine açabiliriz. Bu binom serisini de i nin kuvvetlerini daha rahat görebilmemiz amacıyla

4

4 1

4 2

4 3

k m

=

= +

şeklinde parçalayabiliriz. Bu eşitlikleri (3.1.2) ye yansıtacak olursak

( ) ( )

0

4 4 1

0 4 0 4 1

n n n k k

k

n n

m m

n m n m

m m

x iy n x iy

k

n n

x iy x iy

m m

−

=

− − − +

= =

+ =   

 

   

=   +  + 

∑

∑ ∑

⁴ ²

( )

⁴ ² ⁴ ³

( )

⁴ ³

0 4 2 0 4 3

n n

m m

n m n m

m m

n n

x iy x iy

m m

+ +

− − − −

= =

   

+

∑

 +  +

∑

 + 

(32)

( ) ( )

4 4 1

0 0

4 2 4 3

0 0

4 4 1

4 2 4 3

n n

m m

n m n m

m m

n n

m m

n m n m

m m

n n

x y i x y

m m

n n

x y i x y

m m

− − − +

= =

+ +

− − − −

= =

   

=   +  + 

   

−  +  −  + 

∑ ∑

eşitliğini elde ederiz. Şimdi de bu eşitliğin reel ve sanal kısımlarını ayırırsak

( )

2 2 4 2 4

0

4 1

4 3

0

( ) ( )

4 4 2

4 1 4 3

n m

n n n m

n

m

n n m m

m

n n

P z z x iy x y x y

m m

n n

i x y

m m

− −

=

− − +

=

    

= = + =   − +  

   

+  +   − + 

∑

elde edilir. Böylece

( )

2 2 4 2 4

1

0

4 1

4 3

2

0

( , )

4 4 2

( , )

4 1 4 3

n n m m

n

m

n n m m

n

m

n n

P x y x y x y

m m

n n

P x y x y

m m

− −

=

− − +

=

    

=   − +  

   

=  +   − + 

∑

( )

1 ,

Pn x y veP_n2

(

x y,

)

polinomları elde edilir.

1 2

( ) ⁿ ( )ⁿ ( , ) ( , )

n n n

P z =z = x iy+ =P x y +iP x y

şeklinde yazalım. P zn

( )

=zⁿ =

(

x iy+

)

ⁿ polinomu analitik olduğundan

1( , ) 0 2( , ) 0

n n

P x y ve P x y

∆ = ∆ =

(33)

sağlanacaktır. Yani P_n1

(

x y,

)

veP_n2

(

x y,

)

polinomları harmoniktir.

Örnek 3.1.5 : u x y( , )=x⁴−6x y² ²+y⁴+ iki değişkenli dördüncü dereceden x polinomu için,

2 2 2 2

4 2 2 4

2 2 2 2

( )( ( , ))u x y ( )(x 6x y y x)

x y x y

∂ + ∂ = ∂ + ∂ − + +

∂ ∂ ∂ ∂

=

2 2

4 2 2 4 4 2 2 4

2(x 6x y y x) 2(x 6x y y x)

x y

∂ − + + + ∂ − + +

∂ ∂

=12x²−12y²−12x²+12y² = 0

sağlanmaktadır. O halde ( , )u x y harmonik bir polinomdur.

Örnek 3.1.6 : ϕ ve ψ harmonik polinomlar olsun. u=ϕψ polinomunun hangi durumda harmonik olacağını gösterelim (Anar 2005).

ϕ ve ψ harmonik olduklarından ∆ = ve ϕ 0 ∆ = dır. Şimdi hangi durumda ψ 0

(

^ϕψ

)

⁰

∆ = olduğunu gösterelim. u=ϕψ denirse,

( ) ( )

2 2 2 2

1 1

1 1 1

... ...

...

n n

n n n

u u

x x x x

x x x x x x

ϕψ ϕψ

ϕ ψ ϕ ψ

ψ ϕ ψ ϕ

∂ + +∂ = ∂ + + ∂

∂ ∂ ∂ ∂

 

∂ ∂ ∂ ∂

=∂ ∂ + +∂ ∂ 

 

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ∂ ∂ +∂ + +∂ ∂ +∂ 

(34)

2 2

1 1 1 1 1 1

2 2

...

n n n n n n

x x x x x x

ϕ ϕ ψ ϕ ψ ψ

ψ ϕ

ϕ ϕ ψ ϕ ψ ψ

ψ ϕ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2 2 2

1 1 1 1

1 1

... 2 ... ...

2 ...

n n n n

n n

x x x x x x x x

x x x x

ϕ ϕ ϕ ψ ϕ ψ ψ ψ

ψ ϕ

ϕ ψ ϕ ψ

ψ ϕ ϕ ψ

∂ ∂  ∂ ∂ ∂ ∂  ∂ ∂ 

= ∂ + + ∂ + ∂ ∂ + +∂ ∂ +  ∂ + + ∂ 

∂ ∂ ∂ ∂ 

= ∆ + ∂ ∂ + +∂ ∂ + ∆

olduğu görülür. ϕ ve ψ harmonik olduğundan ∆ = ve ϕ 0 ∆ = dır. O halde ψ 0

1 1

... 0

n n

x x x x

ϕ ψ ϕ ψ

∂ ∂ + + ∂ ∂ =

∂ ∂ ∂ ∂ eşitliği sağlandığı zaman, yani

. . 0

gradϕgradψ = ∇ ∇ = ϕ ψ

olduğu zaman u=ϕψ polinomu harmoniktir.

Örnek 3.1.7 : i = −1 olmak üzere, z= + , x iy

(

^{x y ∈}^,

)

kompleks değişkenli f fonksiyonu,

( ) ( , ) ( , ) f z =u x y +iv x y

biçiminde yazılabilir. Burada ( , )u x y ve ( , )v x y reel değerli fonksiyonlardır. f z ( ) analitik bir fonksiyon ise u x y ve ( , )( , ) v x y nin harmonik olduğu bilinmektedir.

3 2

( ) 4 2 1

f z = z − z + fonksiyonu için u ve v yi bulalım ve bunların harmonik polinomlar olduklarını gösterelim (Anar 2005).

(35)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

3 2

2 3 2

3 2 2

3 2 2 3 2 2

3 2 2 2 2 3

( ) 4 2 1 4 2 1

4 3 3 2 2 1

4 12 2 2 1 12 4 4

f z z z x iy x iy

x x iy x iy iy x xiy iy

x x iy xy iy x xiy y

x xy x y i x y y xy

= − + = + − + +

   

=  + + + −  + + +

= + − − − + − +

= − − + + + − −

Buradan u x y( , )=4x³−12xy²−2x²+2y²+ ve 1 v x y( , ) 12= x y² −4y³+4xy olarak elde eldirler. Şimdi bu polinomların harmonik olduklarını gösterelim,

( ) ( )

2 2 2 2

3 2 2 2 3 2 2 2

2 2 2 2

3 2 2 2 3 2 2 2

2 2

4 12 2 2 1 4 12 2 2 1

12 12 4 24 4

24 4 24 4 0

u u

u x xy x y x xy x y

x y x y

x xy x y x xy x y

x x y y

x y x xy y

x y

x x

∂ ∂ ∂ ∂

∆ = + = − − + + + − − + +

∂ ∂ ∂ ∂

 

∂  ∂  ∂ ∂

=∂ ∂ − − + + +∂ ∂ − − + + 

∂ ∂

= − − + − +

∂ ∂

= − − + =

( ) ( )

2 2 2 2

2 3 2 3

2 2 2 2

2 3 2 3

2 2

12 4 4 12 4 4

24 4 12 12 4

24 24 0

v v

v x y y xy x y y xy

x y x y

x y y xy x y y xy

x x y y

xy y x y x

x y

y y

∂ ∂ ∂ ∂

∆ = + = − + + − +

∂ ∂ ∂ ∂

 

∂  ∂  ∂ ∂

=∂ ∂ − + +∂ ∂ − + 

∂ ∂

= + + − +

∂ ∂

= − =