Esnek parçalı metrik uzaylar üzerine

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ESNEK PARÇALI METRİK UZAYLAR ÜZERİNE

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Oğulcan OLGUN

Enstitü Anabilim Dalı Enstitü Bilim Dalı

: :

MATEMATİK TOPOLOJİ

Tez Danışmanı : Doç. Dr. İsmet ALTINTAŞ

Ocak 2019

•

TEŞEKKÜR

Yüksek lisans eğitimim boyunca kıymetli bilgilerini ve deneyimlerini benden esirgemeyen, çalışmalarımın her aşamasını sabır ve titizlik ile takip eden, yorum ve önerileri ile yardımcı olan, gerekli tüm kolaylıkları gösterip desteğini esirgemeyen, öğrencisi olduğum için onur duyduğum danışman hocam Doç. Dr. İsmet ALTINTAŞ’a, teşekkür ve saygılarımı sunarım.

Hem ders aşamasında hem de tez aşamasında önerileri ile beni yönlendirip manevi desteklerini benden esirgemeyen değerli hocalarım Prof. Dr. Soley Ersoy’a, Prof. Dr.

Ömer Faruk GÖZÜKIZIL’a, Doç. Dr. Mahmut AKYİĞİT’e minnet ve şükranlarımı sunarım.

Hayatımın her evresinde bana destek olup yardımlarını esirgemedikleri için babam Can OLGUN’a, annem Ayla OLGUN’a ve kardeşim İrem OLGUN’a tüm kalbimle teşekkür ederim.

••

İÇİNDEKİLER

TEŞEKKÜR ………... i

İÇİNDEKİLER ……….. ii

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ ……… iv

ÖZET ………. vi

SUMMARY……… vii

BÖLÜM 1. GİRİŞ……….. 1

BÖLÜM 2.

TEMEL KAVRAMLAR 2.1. Esnek Kümeler...

2.2. Esnek Elemanlar...

2.3. Elemanter Esnek İşlemler………..

2.4. Esnek Reel Sayılar...

2.5. Esnek Fonks$yor...

2.6. Esnek Metr$k Uzaylar...

2.7. Parçalı Metrik Uzaylar………..

4 4 6 9 14 15 19 20

BÖLÜM 3.

ESNEK PARÇALI METRİK UZAYLAR ...

3.1. Esnek Parçalı Metr$k ...

3.2. Esnek Parçalı Metr$k Uzayların Topoloj$s$ ...

3.3. Esnek Parçalı Metrik Uzayların Tamlığı ………..

23 23 31 53

•••

TARTIŞMA VE SONUÇ………... 66

KAYNAKLAR ...

ÖZGEÇMİŞ………

67 71

•v

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ

A : Parametreler kümes!

b : Esnek baz

B : Esnek eleman sınıfı

(

^FC,A

)

: F esnek kümes•n• esnek tümleyen•

(F , ), ),,A : F esnek kümes•n•n elemanter esnek tümleyen•

( )

^X

( )

^X : X kümes•n•n kuvvet kümes•

F : Boş esnek küme

( )

^A

( )

^A : Esnek reel sayıların kümes•

( )

SA X : X üzer•ndek• tüm esnek kümeler•n sınıfı

( )

SE X^X

)

: XX kümes•n•n tüm esnek elemanlarının sınıfı

( )

SS B _: B esnek eleman sınıfının ürett•ğ• esnek küme t : Esnek topoloj•

X

X : Mutlak esnek küme x

x : B•r esnek eleman Í

Í : Esnek alt küme

Ê

Ê : Esnek üst küme

È

È : Esnek b•rleş•m

Ç

Ç : Esnek kes•ş•m

: Esnek fark

: Elemanter esnek b•rleş•m : Elemanter esnek kes•ş•m

\ : Elemanter esnek fark Î

Î : Esnek eleman sembolü

v ( _p( , ))

SS B x, ))e)) :xx merkezli ee yarıçaplı esnek p-açık yuvar ( _p[ , ])

SS B x, ])e] :xx merkezli ee yarıçaplı esnek p-kapalı yuvar :xx esnek elemanın bir komşuluğu

:xx esnek elemanının esnek komşuluğu ( )

N x(

N(( ))) : esnek elemanının esnek komşuluklar ailesi N

( ) SS N

x x

v•

ÖZET

Anahtar Kelimeler: Esnek küme, esnek eleman, elemanter esnek işlemler, esnek parçalı metrik, esnek parçalı metrik uzayların topolojisi, yakınsama, tamlık.

Bu tezin amacı, esnek kümeler üzerine esnek eleman temelinde esnek parçalı metrik yapısı kurmak ve esnek metrik uzayların bazı topolojik ve tamlık özelliklerini incelemektir. Bu amaç doğrultusunda aşağıdaki çalışmalar yapıldı.

1. Esnek parçalı metrik uzay, esnek eleman üzerinden tanımlandı ve örnekler verildi.

2. Esnek parçalı metrik uzay ile esnek metrik uzay ve klasik parçalı metrik uzay arasındaki ilişkiler ispatlandı.

3. Esnek parçalı metrik uzayda esnek yuvar, esnek komşuluk ve esnek açık küme tanımları verildi ve bir çok özellikleri ispatlandı. Esnek açık kümelerin elemanter esnek birleşimlerinin bir esnek küme olduğu gösterildi. Bazı şartlar altında ((EP5) şartı) altında esnek açık iki kümenin elemanter esnek kesişiminin de esnek açık olduğu gösterildi. Böylece (EP5) şartını sağlayan her esnek parçalı metrik uzayın elemanter işlemler altında bir esnek topolojik uzay olduğu ispatlandı.

4. Esnek topolojik parçalı metrik uzayında esnek kapalı kümeler, esnek iç kümeler ve esnek kapanış kümeleri tanımlandı ve temel özellikleri ispatlandı.

5. Esnek parçalı metrik uzaylar arasında sürekli fonksiyon, homeomorfizm ve izometri tanımları yapıldı ve temel özellikleri ispatlandı.

6. Esnek parçalı metrik uzayda yakınsak diziler ve Cauchy dizileri incelendi ve esnek metrik uzayın tamlığı üzerine çalışıldı.

v••

ON SOFT PARTIAL METRIC SPACES

SUMMARY

Keywords: Soft set, soft element, elementary operations, soft partial metric, topologi of soft partial metric sapaces, converges, completeness.

The aim of this thesis is to construct a soft partial metric structure on the soft sets by using soft elements and to examine some topological and completeness properties of the soft partial metric spaces. For this purpose, the following studies has been performed.

1. The soft partial metric space has been defined by the soft element and some examples have been given.

2. The relationships between the soft partial metric space and the soft metric space and the classic partial metric space have been proved.

3. The definitions of the soft ball, soft neighborhood and soft open set in the soft partial metric space have been given and the many properties of their have been proved. It was shown that the elementary union of the soft open sets is a soft open set and under some conditions ((EP5) contition), the elemantary intersection of two soft open sets is a soft open set. It has thus been proved that every soft partial metric space satisfying the condition (EP5) is a soft topological space under elementary operations.

4. The soft closed sets, soft internal sets and soft closure sets in the soft topological partial metric space have been defined and their basic properties have been proved.

5. The definitions of continuous function, homeomorphism and isometry between the soft partial metric spaces have been given and their basic properties have been proved.

6. The convergent and Cauchy sequences of soft elements in soft partial metric space have been examined and the completeness of soft metric space has been studied.

BÖLÜM 1. GİRİŞ

Mühendislik, ekonomi, ve çevre bilimleri gibi alanlarda doğruluk değeri göreceli olan kavramlar ile sık sık karşılaşılır. Bunun sonucunda ortaya çıkan belirsizliği barındıran bir problemin, matematiksel olarak ele alınıp çözülmesi için Aristo mantığı ve Georg Cantor’un klasik kümeler teorisi yetersiz kalmaktadır. Bu tür problemlerin çözülebilmesi için olasılık teorisi, aralık matematiği teorisi, yaklaşımlı kümeler teorisi, bulanık kümeler teorisi, sezgisel bulanık kümeler teorisi ve esnek kümeler teorisi gibi birçok teori geliştirilmiştir. Bunlardan en önemlisi L. A.

Zadeh’in geliştirdiği ve belirsizlik kavramıyla büyük ölçüde başa çıkabilen bulanık kümeler teorisi birçok alanda kullanılmıştır [1]. Fakat üyelik fonksiyonlarından yararlanılan bu teoride her bir durum için üyelik fonksiyonunun inşa edilmesi kolay değildir. D. Molodtsov, bu zorlukları ortadan kaldırmak için 1999 ve 2004 yılında esnek kümeler teorisini geliştirmiş, bir esnek küme, tanım kümesi bir parametre kümesi, görüntü kümesi bir evrensel küme olan bir dönüşüm olarak tanımlayarak esnek kümeler teor$s$n$ oyun teor$s$, olasılık teor$s$, opt$m$zasyon teor$s$, yöneylem anal$z$ g$b$ alanlara başarılı b$r şek$lde uygulamıştır [2,3]. Ayrıca D. Molodtsov ve arkadaşları esnek sayı, esnek türev ve esnek $ntegral g$b$ kavramları tanımlayarak esnek küme teor$s$n$n temel$n$ oluşturmaya çalışmışlardır [4]. P. K. Maj$ ve arkadaşları esnek küme teor$s$n$ karar verme problemler$nde kullanmış, esnek kümeler$n bazı $şlemler$n$ tanımlayıp onların özell$kler$n$ $ncelem$ş ve bulanık esnek küme kavramını tanıtmışlardır [5-8]. Bunların dışında b$rçok araştırmacı esnek kümeler$ ve esnek küme $şlemler$n$ farklı şek$llerde yorumlayarak bu konular $le

$lg$l$ çeş$tl$ araştırmalar yapmışlardır [9-13].

Son yıllarda yapılan çalışmalarda esnek kümeler üzer$ne b$rçok matemat$ksel yapı kurulmuştur. Bu bağlamda esnek kümeler teor$s$nde grup, halka, $deal vb. ceb$rsel

kümeler •le •lg•l• yen• uygulamalar elde ed•lm•şt•r [14-21].

İlk kez 2011 yılında M. Shab•r ve M. Naz esnek kümeler üzer•ne topoloj•k yapılar kurmuşlardır [22]. W. K. M•n bu esnek topoloj•k uzaylarda esnek ayırma aks•yomları

•le •lg•l• çalışmalar sunmuştur [23]. 2012 yılında H. Hazra ve arkadaşları Shab•r ve Naz’ın tanımladığı esnek topoloj•den farklı olarak b•r topoloj• tanımlamışlardır [24].

Bu süreçte A. Aygünoğlu, B. P. Varol ve H. Aygün esnek kümeler ve bulanık esnek kümeler•n üzer•ne topoloj•k yapılar kurup b•rçok topoloj•k kavramı •ncelem•şlerd•r [25-28]. İ. Zorlutuna ve arkadaşları esnek topoloj•k uzaylarda esnek nokta kavramını kullanarak esnek •ç nokta, esnek komşuluk, esnek sürekl•l•k ve esnek kompaktlık g•b• kavramları tanıtmışlardır [29]. Bunlardan ayrı olarak b•rçok yazar esnek nokta kavramını kullanıp esnek topoloj•k uzaylar •le •lg•l• çok sayıda yen• çalışma yapmışlardır [30-34].

2012 yılında S. Das ve S. K. Samanta, esnek reel küme, esnek reel sayı ve bunların özell•kler•n• [35], 2013 yılında esnek kompleks küme, esnek kompleks sayı ve bunlar

•le •lg•l• özell•kler• [36] •nceled•kten sonra aynı yıl esnek eleman •le esnek kümeler üzer•nde elemanter esnek küme •şlemler•n• tanımlayarak bu •şlemlere göre esnek kümeler üzer•ne esnek metr•k yapıları kurmuşlardır [37]. 2017 yılında K. Taşköprü doktora tez•nde esnek kümeler üzer•nde elemanter •şlemlerle esnek elamenter topoloj•k yapı kurmuş, d•ğer esnek topoloj•k uzaylarla •l•şk•s•n• •ncelem•ş ve bu topoloj•k uzayda b•rçok kavramı çalışmıştır [38-39].

Öte yandan, son zamanlarda ilgi çekici bir başka alan olan parçalı metrik uzaylar konusu ilk kez 1992 ve 1994 yıllarında, S.G. Matthews tarafından metrik uzayların bir genellemesi olarak ortaya atılmıştır [40-43]. 1995 yılında S.J. O’Neill parçalı metrik uzayların tamlık ve topolojik özelliklerini incelemiştir [44]. Bunların dışında birçok yazar parçalı metrik uzaylarda özellikle sabit nokta teoremleri üzerine çalışmalar yapmıştır. Bu konuda en güncel çalışmalar için [45-49] kaynaklarına bakılabilir.

yapısı kurmak ve bazı tamlık ve topolojik özelliklerini incelemektir. Bu amaç doğrultusunda aşağıdaki çalışmalar yapılmıştır.

İkinci bölümde, sonraki bölümlerde kullanılacak esnek küme ve temel özellikler, esnek eleman, esnek kümeler üzerinde elemanter işlemler, esnek metrik uzaylar elemanter esnek topolojik uzaylar ve esnek fonksiyon kavramı ile ilgili bazı temel özellikler verilmiştir. Aynı bölümde parçalı metrik kavramı ile temel özellikleri kısaca anlatılmış ve bir kaç önemli örnek verilmiştir.

Tezin esas bölümü olan üçüncü bölümde, esnek kümeler üzerine esnek eleman kullanılarak esnek parçalı metrik yapısı kurulmuş ve bazı temel özellikleri ispatlanarak örnekleri verilmiştir. Esnek parçalı metrik uzay, esnek metrik uzay ile karşılaştırılmış ve her esnek metrik uzayın esnek parçalı metrik uzay olduğu görülmüştür. Esnek parçalı metrik uzayla klasik parçalı metrik uzaylar arasında ilişkiler kurulmuştur. Bu bölümde aynı zamanda esnek parçalı metrik uzaylarda esnek açık yuvar, esnek kapalı yuvar, esnek açık küme kavramları tanımlanmış ve bazı önemli özellikleri ispatlanmıştır. Genel olarak esnek metrik uzayın bir elemanter esnek topolojik uzay olmadığı halde tezde verilen (EP5) aksiyomunu sağlayan her esnek parçalı metrik uzayın bir esnek elamenter topolojik uzay olduğu ispatlanmıştır.

Bundan sonar esnek elemanter topolojik parçalı metrik uzayda esnek kapalı küme, esnek iç, esnek kapanış tanımları yapılarak bazı özellikleri ispatlanmıştır. Bu bölümde aynı zamanda esnek parçalı metrik uzayda terimleri esnek elemanlar olan dizilerin yakınsaklık, Cauchy dizileri ve bazı özellikleri ile esnek tam parçalı metrik uzaylarda tam kümeler ve kapalı kümelerin bazı temel özellikleri .ispatlanmıştır.

Tezin son bölümü olan tartışmalar ve öneriler bölümünde, bu tezde elde edilen sonuçlar ve tez kapsamındaki çalışmaların devamı niteliğinde olan çalışmalar için bazı öneriler verilmiştir.

BÖLÜM 2. TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde bazı temel kavramlar ver•lmekted•r. Bu kavramlar, b•r sonrak• bölümde tanım ve yapıların kurulmasında, teoremler•n •spatlanmasında önb•lg• ve yöntem olarak kulanılacaktır.

2.1. Esnek Kümeler

Tanım 2.1.1. [2] X ¹ Æ evrensel bir küme, A ¹ Æ parametrelerin bir kümesi ve

( )

^X

( )

^X

^,

^{X kümesinin} kuvvet kümesi olmak üzere ^{F A: ®}

( ) ( ) (

^XX dönüşümüne X üzerinde bir esnek küme denir ve

(

^{F A,}

)

ikilisi ile gösterilir.

Başka bir değişle ile X kümesinin alt kümelerinin parametrelendirilmiş bir sınıfına X üzerinde bir esnek küme denir. Her lÎA için ^F

( )

^{l kümesi,}

(

^{F A,}

)

^esnek

kümesinin l-yaklaşımlı elemanlarının bir kümesi olarak düşünülebilir. Böylece X kümesi üzerinde bir

(

^{F A,}

)

esnek kümesi

(

^{F A,}

)

⁼

{ (

^l,F

( )

^l

)

^{:lÎA ve F}

( )

^{l ÌX}

}

biçiminde yazılabilir.

X evrensel kümesi üzerinde A parametre kümesi ile parametrelendirilmiş bütün esnek kümelerin sınıfı SA

( )

X ile gösterilir.

Tanım 2.1.2. [5,10,12]

(

^{F A,}

)

^ve

(

^{G B,}

) ^,

^X üzerinde iki esnek küme olsun.

Her lÎA için ^F

( )

^{l = Æ ise}

(

^{F A,}

)

kümesine boş esnek küme denir ve F ile gösterilir.

Her lÎA için ^F

( )

^{l =X ise}

(

^{F A,}

)

kümesine mutlak esnek küme denir ve XX ile gösterilir.

AÌ ve her B lÎA için ^F

( )

^{l ÌG}

( )

^{l ise}

(

^{F A,}

)

kümesine

(

^{G B,}

)

^esnek

kümesinin esnek alt kümesi denir ve

(

^{F A,}

) (

^Ì

( ( ( (

^{G BG B,,,}

) )

ile gösterilir.

(

^{G B,}

)

^kümesine

de

(

^{F A,}

)

esnek kümesinin esnek üst kümesi denir ve

(

^{G B,}

) (

^É

( ( ( (

^{F AF A,,,,}

) )

ile gösterilir.

(

^{F A,}

)

^kümesi,

(

^{G B,}

)

kümesinin esnek alt kümesi ve

(

^{G B,}

)

kümesi de

(

^{F A,}

)

kümesinin esnek alt kümesi ise

(

^{F A,}

)

^ve

(

^{G B,}

)

kümelerine X üzerinde eşit esnek kümeler denir.

C= ÇA B ve her lÎC için ^H

( )

^{l =F}

( )

^{l ÇG}

( )

^l olmak üzere

(

^{H C,}

)

^esnek

kümesine

(

^{F A,}

)

^ve

(

^{G B,}

)

esnek kümelerinin esnek kesişimi denir ve

(

^{H C,}

) (

^{= F A,}

) (

^Ç

( ( ( (

^{G BG B,,,}

) )

ile gösterilir.

C= ÈA B ve her lÎC için

( )

( ) ( ) ( ) ( )

, , ,

F A B

H G B A

F G A B

l l

l l l

l l l

Î - ìï

=í Î -

ï È Î Ç

î

olmak üzere

(

^{H C,}

)

esnek kümesine

(

^{F A,}

)

^ve

(

^{G B,}

)

esnek kümelerinin esnek birleşimi denir ve

(

^{H C,}

) (

^{= F A,}

) (

^È

( ( ( (

^{G BG B,,,,}

) )

ile gösterilir.

C=A BB ve her lÎC için ^H

( )

^{l =F}

( )

^{l GGG}

( ) ( ) ( )

^ll olmak üzere

(

^{H C,}

)

^esnek

kümesine

(

^{F A,}

)

^ve

(

^{G B,}

)

esnek kümelerinin esnek farkı denir ve

(

^{H C,}

) (

^{= F A,}

) ( ( ( ( ( (

^{G BG B,,,,}

) ) )

ile gösterilir.

( )

C :

F A®

( ) (

X^X dönüşümü her lÎA için ^FC

( )

^{l =X-F}

( )

^l olmak üzere X üzerindeki

(

^FC,A

)

esnek kümesine

(

^{F A,}

)

esnek kümesinin esnek tümleyeni denir ve

(

^FC,A

)

⁼

⁽

^{F A,}

⁾

^C ile gösterilir.

Önerme 2.1.3. [10,12]

(

^{F A,}

)

^,

(

^{G A,}

)

^ve

(

^{H A,}

)

, X üzerinde esnek kümeler olmak üzere aşağıdaki eşitlikler sağlanır.

1.

( (

^{F A,}

) (

^È

( ( ( ( ( (

^{G AG AG AG A,,,,,,,}

) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

^{CCC =}

( ( ( ( ( ( (

^{F AF AF AF A,,,,,,,}

) ) ) ) ) ) )

^CCCCÇ

( ( ( ( ( ( (

^{G AG A,,,,}

) ) )

^CCCC,

2.

( (

^{F A,}

) (

^Ç

^{( ( ( ( ( (}

^{G AG AG AG A,,,,,,,}

^{) ) ) ) )} ) ⁾ ) ) ) ) ) ) )

^{CCC =}

^{( ( ( ( ( ( (}

^{F AF AF AF A,,,,,,,}

^{) ) ) ) ) ) )}

^CCCCÈ

^{( ( ( ( ( ( (}

^{G AG A,,,,}

^{) ) )}

^CCCC,

3.

( (

^{F A,}

) (

^Ç

( ( ( ( ( (

^{G AG AG AG A,,,,,,,}

) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

^È

( ( ( ( ( ( (

^{H AH AH AH A,,,,,,,}

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

⁼

( ( ( ( ( ( (

^{F AF AF AF A,,,,,,,}

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

^{È H AH AH AH A,,,,,,,}

) ) ) ) ) ) ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) (

^Ç

( ( ( ( ( ( ( ( (

^{G AG AG AG A,,,,,,,}

) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) (

^{È H AH A,,,,}

) ) ) )

^,

4.

( (

^{F A,}

) (

^È

( ( ( ( ( (

^{G AG AG AG A,,,,,,,}

) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

^Ç

( ( ( ( ( ( (

^{H AH AH AH A,,,,,,,}

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

⁼

( ( ( ( ( ( (

^{F AF AF AF A,,,,,,,}

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

^{Ç H AH AH AH A,,,,,,,}

) ) ) ) ) ) ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) (

^È

( ( ( ( ( ( ( ( (

^{G AG AG AG A,,,,,,,}

) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) (

^{Ç H AH A,,,,}

) ) ) )

^.

2.2. Esnek Elemanlar

Tanım 2.2.1. [35] X ¹ Æ bir küme ve A ¹ Æ bir parametreler kümesi olmak üzere : A X

e ® fonksiyonuna X kümesi üzerinde bir esnek eleman denir.

e , X üzerinde bir esnek eleman ve bir ^{( , )}F A ÎSA

( )

X verildiğinde her lÎA için

( )

^{( )F}

( )

e l Î l ise e esnek elemanı ( , )F A esnek kümesine aittir denir ve ( , )F A

e

Î( , )Î( ,( , ile gösterilir.

Her lÎA için ^{( )F}

( )

^{l ÌX} tek elemanlı bir küme ise ( , )F A kümesine tek elemanlı esnek küme denir. Ohalde her tek elemanlı esnek küme, bir esnek eleman olarak alınabilir.

Her lÎA için ^{( )F}

( )

^{l ¹ Æ} ile X üzerinde tanımlı tüm esnek kümeler ile F boş esnek kümenin oluşturduğu sınıf ^{S XS X}

( ) )

^{ile ve ( , )F A ÎS XS X}

( ) )

esnek kümesinin tüm esnek elemanlarının sınıfı da SE F A( , ) ile gösterilir.

Bu tezde kolaylık açısından esnek elemanlar için x y zx y z, , ,, ,, , ,z gösterimi kullanılmaktadır.

Önerme 2.2.2. [37] Bir ^{( , )F A ÎS XS X}

( ) )

esnek kümenin esnek elemanlarının bir sınıfı, ( , )F A esnek kümesini bir esnek alt kümesini üretir. b, XX mutlak esnek kümesinin esnek elemanlarının bir sınıfı ise b sınıfının ürettiği esnek küme ^SS

( )

^{b ile}

gösterilir.

Önerme 2.2.3 [37] Herhangi bir ^{( , )F A ÎS XS X}

( ) )

^{esnek kümesi için}

(

^{( , )}

)

^{( , )}

SS SE F A = F A olur. Fakat XX mutlak esnek kümenin esnek elemanlarının bir b sınıfı için ^{SE SS}

( ( )

^b

)

^{Êb olur.}

Uyarı 2.2.4. [37] ^{b b1, 2 ÌSE X}

( )

^X

)

olmak üzere b₁Ìb₂ olsun. Her lÎA için

( ) ( )

1 2

b l =b l ise SS

( )

b1 =SS

( )

b2 olur.

Örnek 2.2.5. [38] ^A=

{

^{l m,}

}

parametreler kümesi ve ^{X =}

{

^{a b c, ,}

}

evrensel kümesi verilsin. Bu durumda

( ) ( )

{ } { ^{( ) ( )} } { ^{( ) ( )} }

( ) ( )

{ } { ^{( ) ( )} } { ^{( ) ( )} }

( ) ( )

{ } { ^{( ) ( )} } { ^{( ) ( )} }

1 4 7

2 5 8

3 6 9

, , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , ,

x a a x a b x b c

x b b x a c x c a

x c c x b a x c b

l m l m l m

l m l m l m

l m l m l m

= = =

= = =

= = =

( ) ( )

{ } { ^{( ) ( )} } { ^{( ) ( )} }

1

{ ( ) ( ) }

4

{ ^{( ) ( )} }

7 ^,

⁾ }

^,

x1111111111111

{ { { ( ⁽ (

^aaaaa

^{) (} ) ( ) ( ) ( ^{) (} ) (

^aaaaa

⁾ ) ) ⁾ ) ) } } } } } }

^xxxx^xx4444444444444

{ { { { { { ^{( ( ( ( ( (}

^aaaa^aa

^{) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (}

b^bbbbb

^{) ) ) ) ) )} } } } } } }

^xxxxx7777777777777

{ { { { ^{( ( ( (}

^,,,,,bbb

^{) ( ) ( ) ( ) (}

^{,,,,, m,,}c

( ) ( )

{ } { ^{( ) ( )} } { ^{( ) ( )} }

2

{ ( ) ( ) }

5

{ ^{( ) ( )} }

8 ^,

⁾ }

^,

x2222222222222

{ { { ( ( ⁽

^bbb^b

) ( ^{) ( ) (} ) ( ) ( ) (

^bbb

) ) ⁾ ) ) ⁾ } } } } } }

^xx5555555555555

{ { { { { { ^{( ( ( ( ( (}

^aa

^{) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (}

^cc

^{) ) ) ) ) )} } } } } } }

^xx8888888888888

{ { { { ^{( ( ( (}

^,,,,,c

^{) ( ) ( ) ( ) (}

^{,,,,, m,,a}

( ) ( )

{ } { ^{( ) ( )} } { ^{( ) ( )} }

3

{ ( ) ( ) }

6

{ ^{( ) ( )} }

9 ^,

x333333333333333

{ { { ( ( ⁽

^ccc^c

^{) (} ) ( ) ( ) ( ^{) (} ) (

^ccc^c

) ⁾ ) ⁾ ) ) } } } } } }

^xxxx666666666666666

{ { { { { { ^{( ( ( ( ( (}

b^bbb

^{) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (}

a^aaa

^{) ) ) ) ) )} } } } } } }

^xxxx^xx999999999999999

{ { { { ^{( ( ( (}

^,,,,,c^cccc

^{) ( ) ( ) ( ) (}

^{,,,,, m,}b

olmak üzere ^{SE X}

( )

^XXXX

) )

⁼

^{{ { {}

^{x xxxx xx1111111111111111,x2222222222222222,...,xxx9999999999999999}

^{} }}

^olur. b11₁₁11₁₁ =

^{

x xx x₁1₁11₁₁1, ₂₂₂₂2222

^} }

, b₂2₂₂₂222₂ =

{

x x x xx x x x1₁₁₁1₁1₁1, 22₂₂₂2₂2₂, ₄₄₄₄₄4444, ₅₅555₅₅5₅

} }

ve

{ }

3 x x x x1, 2, 4, 6

b3₃₃₃3₃₃3 = x x x x₁₁₁₁11₁1 ₂2₂₂2₂₂2 ₄₄₄₄₄444 ₆₆₆66₆6₆

}

eleman sınıfları ele alınırsa

( )

¹

( )

³

{ ( { } ) ( { } ) }

( , )F A =SS b =SS b = l, a b, , m, a b, ,

( )

²

{ ( { } ) ( { } ) }

( , )G A =SS b = l, a b, , m, a b c, ,

elde edilir. Buradan SE F A( , )=

{

x x x x₁₁₁₁1₁1,,,, ₂₂2₂₂2₂,,,, ₄₄4₄₄4₄,,,,x₆66

} }

ve SE G A( , )=

{

x x x x x x₁₁₁₁1₁1,,,, ₂₂₂₂₂22,,,, 4₄₄₄₄₄4,,,, ₅₅₅55₅₅₅₅,,,, ₆₆₆6₆6₆₆₆,,,,x₇₇₇₇₇₇77₇

} }

olup b₁ÌSE F A( , ), b₂ÌSE G A( , ) ve b₃ =SE F A( , ) bulunur.

Önerme 2.2.6. [37] Herhangi ( , ), ( , )F A G A ÎS X^{S X}

( ) )

esnek kümeleri için ( , )F A kümesinin her esnek elemanı ( , )G A kümesinin de bir esnek elemanı ise

( , )F A Ì( , )( , )( , )( , )G A olur.

Uyarı 2.2.7. [37] ( , ), ( , )F A G A ÎS X^{S X}

( ) )

iki esnek küme olsun. Bu durumda ( , ) ( , )

xÎ( , )F A È( , )( , )( , )G A

x ( , )( , )( , )( , )( , ) ise xx ( , )Î( , )( , )( , )F A veya xx ( , )Î( , )( , )( , )G A olması gerekmez. Ayrıca ( , )F A , ( , )G A esnek kümelerinin esnek kesişiminin veya esnek tümleyeninin ^{S XS X}

( ) )

^sınıfına

ait olması gerekmez.

Örnek 2.2.8. [38] Örnek 2.2.5. üzerinden ^{( , )H A =}

{ (

^l,

{ }

^{a c,}

)

^,

(

^m,

{ }

^c

) }

^{ÎS X}

( )

^X

)

^ve

{ }

( ) ( { } )

{ } ( )

( , )K A = l, a b c, , , m, b c, ÎS X^X

)

esnek kümeleri verilsin. Buradan

( ) ( { } )

{ } ( )

(K^C, )A = l,Æ , m, a ÏS X^X

)

{ }

( ) ( { } )

{ }

( , )F A))))))È(((((((H A, ), ), ), ), ), ), )= l, a b c, , , m, a b c, ,

olur. Ancak xx₇₇₇Î( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )F A È( , )( , )( , )( , )H A olmasına rağmen xx₇₇₇ÏÏÏ( , )( , )( , )F A, )) ve xx₇₇₇ÏÏÏ( , )( , )( , )( , )H A) olur.

Aynı zamanda ^{( , )F A Ç((((((H A, ), ), ), ), ), )=}

{ (

^l,

{ }

^a

)

^,

(

^{m,Æ Ï}

) }

^{S X}

( )

^X

)

elde edilir.

2.3. Elemanter Esnek İşlemler

Tanım 2.3.1. [37] ( , ), ( , )F A G A ÎS X^{S X}

( ) )

iki esnek küme olsun.

{

x X x^: ( , ) veya F A x ( , )G A

}

b = xxxxxxÎX :X :X :XX :X::::: Î( , )(( , )(( , )((( , )( , ), ) veya, ) veya , ) veya , ) veya , ) veya, ) veya Î( , )( ,( ,

}

esnek elemanların bir sınıfı olmak üzere ^{( , )F A ( , )( , )( , )(G A)=SS}

( )

^b esnek kümesine ( , )F A ile ( , )G A esnek kümelerinin elemanter birleşimi denir. Yani,

( ) ( )

( )

( , )F A ( , )( , )( , )( , )G A =SS SE F A, ÈSE G A,

biçiminde tanımlanır.

{

x X x^: ( , ) ve F A x ( , )G A

}

b = ^xxxxxxÎ^{X :X :X :XX :X :::::} Î^{( , )( , )( , )( , )( , )(( , )( , )( , ), ) ve , ) ve , ) ve , ) ve , ) ve , ) ve} Î^{( , )( ,( ,}

}

olmak üzere ^{( , )F A ( , )( ,( , )( , )G A =SS}

( )

^b esnek kümesine ( , )F A ile ( , )G A esnek kümelerinin elemanter kesişimi denir. Yani,

( ) ( )

( )

( , )F A ( , )( , )( , )G A =SS SE F A, ÇSE G A,

biçiminde tanımlanır.

{

^{x X x: (FC, )A}

}

b = xxxxxxÎX :X :XX :XX ::: Î(((((( ^CC, ), ), )

olmak üzere ^{(F , )A))=SS}

( )

^b esnek kümesine ( , )F A esnek kümesinin elemanter tümleyeni denir. Diğer bir ifadeyle^{(F , )A)))=SS SE F}

( (

^C,A

) )

biçiminde tanımlanır.

{

^{x X x: ( , )F A ( , )G A}

}

b = xxxxxxÎX :XXXX :X :::: Î( , )(( , )( , )(( , ), ), ) ^{( , )( , )( , )}

}}

olmak üzere ( , ) ( , )F A \ G A =SS

( )

b esnek kümesine ( , )F A ve ( , )G A esnek kümelerinin elemanter farkı denir. Diğer bir deyişle

( )

( )

( , ) ( , )F A ^\ G A =SS SE ( , )F A ( , )^{( , )( , )(}G A⁾

^{) )} ) ) )

olarak tanımlanır.

Önerme 2.3.2. [37] ( , ), ( , )F A G A ÎS X^{S X}

( ) )

$k$ esnek küme olsun. Aşağıdak$ eş$tl$kler sağlanır.

1. ( , )F A ( , )( , ) ( , )(( , )G A)= F A È( , )( , )( , )( , )G A , 2. ( , )F A ((((F , ), ), ), ), ), ), )A = F= ,

3. Her iÎI !ç!n ^{( , )}F Ai =SS

( )

bi !se ( , )_{i i}

i I i I

F A SS b

Î Î

æ ö

= ç ÷

è ø

b ö_÷

i bi

i i

i i

b öö ø÷÷

i i

i i

i i

( , )_i, ), ) _i

i I

SS ( , )_ii, ), ), ) _ii

i I i I

æç

i i

i i

ææ èçç

i i

i i

i i

i i

i i

i I i I i I

i i .

Önerme 2.3.3. [38,39] ( , ), ( , )F A G A ÎS X^{S X}

( ) )

!k! esnek küme olsun. Bu durumda aşağıdak!ler sağlanır.

1. ( , )F A ( , )( , )( , )( , )G A Í(( , )( , )(( , )( , )( , )(( , )F A))Ç( , )( , )( , )( , )G A , 2. (F , )A)))Í((((F^CC, ), ), ), )A ,

3. ( , ) ( , )F A \ G A Í( , )( , )( , )( , )F A ( , )( , )( , )( , )G A , 4. ( , )F A (((F , ), ), ), ), )))A ÍÍ XXX ,

5. Her iÎI !ç!n ^{( , )}F Ai =SS

( )

bi !se ( , )_{i i}

i I i I

F A SS b

Î Î

æ ö

Ê ç ÷

è ø

b ö_÷

i bi

i i

i i

b öö ø÷÷

i i

i bi

i bi

i i

i bi

i i

i i

i i

( , )_i, ), ) _i

i I

( , )_i,, ), ), ) _i

i I i I

æ

i i

i i

i i

i i

i SSè i

i i

i i

æ

i i

i i

i i

i ç i

i i

i i

ææ èçç

i i

i i

i i

i i

i I i I i I

i i

i i .

Uyarı 2.3.4. [38] ( , ), ( , )F A G A ÎS X^{S X}

( ) )

!k! esnek küme olsun. ( , )F A ( , )( , )( ,( ,G A = F= olması ( , )F A Ì((((G , ), ), ), ), ), )A) ve ( , )G A Ì((((F , ),, ), ),,A olmasını gerekt!rmez. Örneğ!n;

{

^{, , ,}

}

X = a b c d ve ^A=

{

^{l m,}

}

olmak üzere

( { } ) ( { } )

{ }

( { } ) ( { } )

{ }

( { } ) ( { } )

{ }

( , ) , , , , , ,

( , ) , , , , , ,

( , ) , , , , , ,

F A a b a c

G A c d b c

H A c d a b d

l m

l m

l m

=

=

=

esnek kümeler!n! ve elemanter tümleyenler!n! gözönüne alalım. ( , )F A ( , )( , )( ,( ,G A = F= ve ( , )F A ( , )( , )( , )( , ) =H A = F olmasına rağmen ( , )F A ÌÌ(G , ), ),,A veya ( , )G A ÌÌ(F , ), ),,A ve

( , )F A ÌÌ(H , ), ),,A veya ( , )H A ÌÌ(F ,,, ), )A elde ed!l!r. Ancak (H , ), ), )A)Ì( ,( , )( , )( ,F A ^ve (F , ), ), )A)Ì( ,( ,( , )( , )H A olur. Aynı zamanda ( , )G A ( , )( , )( , )(H A ¹ F) ¹ olmasına rağmen (G , )), )A) (((((((H , ), ), ), ), ), ), )A = F= F olur.

Önerme 2.3.5. [38,39] Herhangi ( , ), ( , )F A G A ÎS X^{S X}

( ) )

esnek kümeleri için ( , )F A ( , )( ,(( , )G A = F= ve ^{( , )F A Ç( , )(( ,(( , )( , )( , )G A ÎS X}

( )

^X

)

^{ise ( , )F A Ì((((G , ), ),,, ),,A ve}

( , )G A Ì((((F , ), ), ), ))))A olur.

Lemma 2.3.6. [37,39] Herhangi

(

^{F A,}

) (

^{, G A,}

)

^{ÎS XS X}

( ) )

esnek kümeleri için aşağıdakiler sağlanır.

1. ^{SE F A}

( (

^,

) ( ( ( ( (

^{G AG A,,,,}

) ) ) ) ) ) ) ) ) )

^{=SE F A}

(

^,

)

^{ÇSE G A}

(

^,

)

^.

2. ^{SE F A}

( (

^,

) ( ( ( ( (

^{G AG A,,,,}

) ) ) ) ) ) ) ) ) )

^{ÉSE F A}

(

^,

)

^{ÈSE G A}

(

^,

)

^.

Önerme 2.3.7. [37,39]

(

^{F A,}

) (

^{, G A,}

) (

^{, H A,}

)

^{ÎS XS X}

( ) )

iki esnek kümeler olsun. Bu durumda aşağıdakiler sağlanır.

1.

(

^{( , )F A ( , )( , )( , )( , )G A}

) ) ) )

^{( , )( , )( , )( , )H A Í}

( ( ( (

^{(( , )( , )( , )( , )( , )( , )F A) H A, ), ), ), )}

) ( ) ( ) ( ) (

^{( , )( , )( , )( , )G A ( , )( , )( , )( , )H A}

) )

^.

2.

(

^{( , )F A ( , )( , )( , )( , )G A}

) ) ) )

^{( , )( , )( , )( , )H A Ê}

( ( ( (

^{( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )F A ( , )( , )( , )( , )H A}

) ( ) ( ) ( ) (

^{( , )( , )( , )( , )G A ( , )( , )( , )( , )H A}

) )

Hangi şartlarda elemanter birleşim ve elemanter kesişim işlemlerinin ^{S XS X}

( ) )

^üzerinde

dağılma özelliğine sahip olacağı aşağıdaki önermede verilmiştir.

Önerme 2.3.8. [39] ( , ), ( , ),F A G A

(

H A,

)

ÎS X^{S X}

( ) )

esnek kümeleri verilsin.

1. Eğer ^{( , )F A Ç( , )( , )(( , )( , )( , )(G A)ÎS X}

( )

^X

)

^ise

(

^{( , )F A ( , )( , )( , )G A)}

) ) ) )

^{( , )( , )( , )H A)=}

( ( ( (

^{( , )( , )( , )F A) H A, ), ), ))}

) ( ) ( ) ( ) (

^{( , )( , )( , )G A ( ,( , )( , )H A}

) )

^,

2. Eğer ^{( , )F A)))))))))Ç((((((((((H A, ), ), ), ), ), ), ), ), )ÎS XS X}

( ) )

^{ve ( , )G A)))))))))Ç((((((((((H A, ), ), ), ), ), ), ), ), )ÎS XS X}

( ) )

^ise

(

^{( , )F A ( , )( , )( , )( , )G A}

) ) ) )

^{( , )( , )( , )( , )H A =}

( ( ( (

^{( , )( , )( , )( , )F A ( , )( , )( , )( , )H A}

) ( ) ( ) ( ) (

^{( , )( , )( , )( , )G A ( , )( , )( , )( , )H A}

) )

olur.

Önerme 2.3.9. [39] ( , ), ( , )F A G A ÎS X^{S X}

( ) )

esnek kümeleri verilsin.

1. (F^CC, )A (((((((G^CC, ),, ),A ¹ F ise

(

^{( , )F A))) ( , )( , )( , )( , )G A}

) ) ) )

^{CC =(((((((((FCC, ), ), ), ), ), ), ), ), )A (((((((((GCC, ), ), ), )A ,}

2.

(

^{( , )F A ( , )( , )( ,( ,G A}

) )

^{CC ¹ F ise}

(

^{( , )F A))) ( , )( , )( , )( , )G A}

) ) ) )

^{CC =((((((((FCC, ), ), ), ), ), ),, )A (((((((GCC, ), ), ), )A .}

Önerme 2.3.10. [39] ( , ), ( , )F A G A ÎS X^{S X}

( ) )

esnek kümeleri verilsin.

1. (F^CC, )A (((((((((G^CC, ), ),A ¹ F, (F , )A ¹ F) ¹ ve (G , )A ¹ F) ¹ ise

(

^{( , )F A ( , )( , )( , )( , )G A}

) ) ) )

^{=((((((F , ), ), ), ), ), ), )A (((((((G ,,, ), ), ),,A ,}

2. ( , )F A ( , )( , )( ,( ,G A ¹ F¹ , (F ,, ), ), )A ¹ F¹ ve (G , ), ), ), ) ¹A ¹ F ise

(

^{( , )F A ( , )( , )( , )G A,}

) ) ) )

^{=((((((F , ),, ), )A)) (((((G , ), ), ), )A)).}

Uyarı 2.3.11. [29] Yukarıdaki önermede görüldüğü gibi elemanter işlemler De Morgan kurallarını genelde sağlamazlar. Eğer her ( , ), ( , )F A G A ÎS X^{S X}

( ) )

^için

( )

( , )F A⁾⁾⁾⁾⁾Ç^{(( , )( , )( , )}( , )^{( , )}G A^{, )}ÎS X^{S X}

)

^{, (FC, ), (A GC, )A ÎS X}

( )

^X

)

^{ve (FCC, )A Ç(((((((((((((((GCC, )), ), ), ))), ), )A ÎS X}

( )

^X

)

olusa elemanter işlemler için De Morgan kuralları sağlanır.

Tanım 2.3.12. [38,39] ^{t ÌS XS X}

( ) )

esnek kümelerin bir sınıfı olsun. Aşağıdaki şartlar sağlanırsa t sınıfına XX üzerinde elemanter işlemlere göre bir esnek topoloji ve

(

^{XXXX, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,t AAAA}

) )

üçlüsüne elemanter esnek topoloji denir.

1. F,XXÈÈtt,,

2.

{

⁽U Ai^{, )}

}

i I_Î Ît için ( _i, ) ,

i I

U A

Î

Ît ( _i, ) ,

i I

( , )

( )

i I i I

3.

{

⁽U Ai^{, )}

}

iⁿ₌₁Ît için ( , ) .

n i i I

U A

Î

Ît ( , ) .

n i i I

,,

i I i I

Tanım 2.3.13. [38] ^{ÌÌS XS XS X}

( ) ( ) ( ) )

esnek kümeler!n b!r sınıfı olsun. Eğer sınıfı aşağıdak! şartları sağlarsa bu sınıfa XX üzer!ndek! b!r elemanter esnek topoloj! !ç!n esnek baz den!r.

B1. Her xxÎXXX ^!ç!n xxÎBB olacak şek!lde en az b!r B Î esnek kümes! vardır.