18.702 Cebir II

MIT Açk Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.702 Cebir II

2008 Bahar

Bu materyallerden alnt yapmak veya Kullanm “artlar hakknda bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr sitelerini ziyaret ediniz.

1

18.702 2008 Parçalan³ Cisimleri

Katsaylar F içinde olan ve indirgenemez olmas zorunlu olmayan bir f polino- munun F üzerinde bir parçalan³ cismi ³u özelliklere sahip bir cisim geni³leme- sidir:

• K cismi f nin tüm köklerini kapsar, bir ba³ka deyi³le α1, ..., α_n K nin elemanlar olmak üzere f(x) = (x − α1) · · · (x − αn)dir.

• K, F üzerinde f nin kökleri olan α1, ..., αn tarafndan üretilir.

kinci özellik, K nin her β elemannn (biricik bir biçimde olmasa da) α = α1, ..., αn de§i³kenlerine ba§l bir polinom olarak yazlabilece§ini söyler.

A³a§daki önemli teoremi kantlamak için simetrik fonksiyonlar kullanrz:

Parçalan³ Teoremi. K, F [x] içindeki bir f(x) polinomunun F üzerinde bir parçalan³ cismi olsun. F [x] deki indirgenemez bir polinom olan g(x) polinomu- nun K'de bir kökü varsa, K cismi g nin tüm köklerini kapsar.

Bu teorem bir parçalan³ cismi olan K yi bu özelli§e sahip bir sonlu cisim geni³lemesi olarak yeniden tanmlama olana§ verir:

Bir kökü K'de olan F üzerinde indirgenemez bir polinomun tüm kökleri K dedir.

Bu noktadan sonra K geni³lemesini tanmlamak için hangi polinomun kul- lanld§ önemli de§ildir.

Parçalan³ teoremini kantlamadan önce, kantta kullanlmalarnn yansra kendileri de dikkate de§er olan iki önerme türetelim.

lk önerme, simetrik bir fonksiyon olu³turmak için genel bir yöntem verir. Simetrik grup Sn nin polinom halkas F [u1, ..., un] üzerine etkisi altnda herhangi bir p(u1, ..., un)polinomunun yörüngesi p1, ..., pk elemanlarna sahip olsun. (Yörün- genin eleman says olan k hakknda söylenebilecek tek ³ey Sn grubunun eleman says olan n! i böldü§üdür.)

Önerme 1. {p1, ..., p_k}, de§i³kenleri u = u1, ..., u_n olan p1polinomunun yörün- gesi olsun. k, p1 in yörüngesindeki eleman says olmak üzere, w = w1, ..., w_k ba³ka bir grup de§i³ken olsun. E§er ϕ(w1, ..., w_k) polinomu w de§i³kenlerine göre simetrik polinom ise, ϕ(p1, ..., p_k)polinomu u de§i³kenlerine göre simetrik polinomdur.

Kant. Bu, biraz kafa kar³trc olmas d³nda neredeyse sradan bir do§rudur. u de§i³kenlerinin bir permütasyonu {p1, ..., pk} yörüngesine etki etti§inde yörün- genin bir permütasyonunu verir. Dolaysyla, ϕ simetrik bir polinom oldu§undan, {p1, ..., pk}kümesinin her permütasyonu, ϕ(p1, ..., pk)elemann kendisine ta³r.

2

kinci önerme, F nin bir cisim geni³lemesi olan K nin bir elemannn F içinde olmas durumunda, bunu gösterebilmek için bir yöntem sunar.

Önerme 2. Bir K cisim geni³lemesinin, katsaylar F 'de olan bir f(x) = xⁿ− a1xⁿ⁻¹+ · · · ± anpolinomunun tüm köklerini kapsad§n varsayalm. Bir ba³ka deyi³le, α1, ..., α_n elemanlar K'de olmak üzere, f(x) = (x − α1) · · · (x − α_n)ol- sun. E§er q(u1, ..., u_n)katsaylar F 'de olan simetrik bir polinom ise, q(α1, ..., α_n) de F nin elemandr.

Kant. Simetrik Fonksiyonlar Teoremi, q polinomunun, katsaylar F 'de olan ve s1(u), ..., s_n(u) temel simetrik fonksiyonlarnn bir polinomu olarak yazla- bilece§ini söyler. Bir ba³ka deyi³le, q(u1, ..., un) = Q(s1, ..., sn) dir. Ayrca, ai= si(α) oldu§unu belirtelim. u = α için

(2) q(α1, ..., αn) = Q(s1(α), ..., sn(α)) = Q(a1, ..., an)

elde ederiz. f nin katsaylar olan ai ler ve Q nun katsaylar F içinde oldu§un-

dan, Q(a) da F içindedir. 2

Parçalan³ Teoreminin Kant. Elimizde indirgenemez bir g ∈ F [x] polinomu ve g nin parçalan³ cismi K'de yer alan bir β1 kökü vardr. K nin g nin tüm kök- lerini kapsad§n göstermeliyiz. g nin β1 için F üzerinde indirgenemez polinom oldu§unu belirtelim.

a_i∈ F olmak üzere f(x) = xⁿ− a₁xⁿ⁻¹+ · · · + a_n polinomunun parçalan³ cismi K ve K[x] içinde f(x) = (x − α1) · · · (x − α_n) olsun. K, F üzerinde αi

kökleri tarafndan üretildi§inden, katsaylar F 'de olan ve β1 = p₁(α₁, ..., α_n) e³itli§ini sa§layan bir p1(u1, ..., un) polinomu vardr. Böyle bir polinom seçe- lim. Simetrik grup Sn nin u de§i³kenleri üzerine etkisi altnda p1 in yörüngesi {p1, ..., pk}ve βj= pj(α)olsun. Dolaysyla, β1, ..., βk K nin elemanlardr.

Parçalan³ teoremini,

h(x) = (x − β1) · · · (x − βk)

polinomunun katsaylarnn F içinde oldu§unu göstererek kantlayaca§z. E§er bu kantlanrsa, β1hnin bir kökü oldu§undan, β1için F üzerinde indirgenemez polinom olan g, F [x]'de h yi bölecektir. Dolaysyla, K h nin tüm köklerini kapsad§ndan, g nin de tüm köklerini kapsayacaktr.

Diyelim ki

f (x) = x^k− b₁x^k−1+ b₂x^k−2− · · · ± b_k

olsun. b1, ..., b_k katsaylar, temel simetrik fonksiyonlarn β daki de§erleri olarak elde edilir. Ancak, bunlar k de§i³kene ba§l temel simetrik fonksiyonlardr. Takip etmeyi kolayla³trmak için, Önerme 1'deki gibi yeni w1, ..., wkde§i³kenleri tanm- lar ve bu de§i³kenlere ba§l temel simetrik fonksiyonlar s⁰1(w), ..., s⁰_k(w)olarak adlandrrz. Burada üsleri, de§i³kenlerin yeni oldu§unu hatrlatmak için kul- lanyoruz. Bu durumda, bj= s⁰_j(β)dr.

3

ki admda hesab tamamlarz: lk olarak, wj = pj(u) yerle³tiririz. Önerme 1, s⁰_j(p1(u), ..., pk(u))nun u ya ba§l simetrik bir polinom oldu§unu söyler çünkü s⁰_j(w1, ..., wk) w ya ba§l simetrik bir polinomdur.

Daha sonra, ui = αi yerle³tiririz. s⁰j(p1(u), ..., pk(u)), u ya ba§l simetrik bir fonksiyon oldu§undan, Önerme 2 s⁰j(p₁(α), ..., p_k(α)) elemannn F cisminde oldu§unu söyler.

Di§er yandan, pj(α) = βjve bu nedenle s⁰j(p1(α), ..., pk(α)) = s⁰_j(β1, ..., βk) = bj

dir. Dolaysyla, bj F içindedir ve iddia edildi§i gibi h nin katsaylar F dedir. 2

4