BULA¸ SICI HASTALIK MODEL· I

(1)

BULA ¸SICI HASTALIK MODEL·I

BULA¸ SICI HASTALIK MODEL· I

Birinci dünya sava¸s¬sonras¬nda Avrupa’da ortaya ç¬kan ve · Ispanyol gribi olarak adland¬r¬lan grip salg¬n¬sonucu dünya çap¬nda 50 100 milyon aras¬

insan ölmü¸stü. 1980 lerden sonra görünen AIDS virüsü nedeniyle de 25 milyondan fazla insan¬n öldü¼ gü bilinmektedir. Son zamanlarda da SARS, ku¸s gribi, domuz gribi, ebola gibi epidemikler günümüzün küreselle¸sen dünyas¬nda çok h¬zl¬¸sekilde yay¬larak pandemik haline dönü¸smekte ve dünya çap¬nda ölümlere yol açmaktad¬rlar.

Bu kesimde, endemik(yerel salg¬n), epidemik(bölgesel salg¬n) veya pandemik(küresel salg¬n) halindeki bula¸s¬c¬hastal¬klar¬n en temel matematiksel modellerini inceleyece¼ giz.

Nuri ÖZALP (Ankara Üniversitesi) 7 !^MATEMAT·^{IKSEL B·}^IYOLOJ·^I7 ! Biyoloji ve Biyokimya Modelleri 56 / 93

(2)

BULA ¸SICI HASTALIK MODEL·I SI modeli

SI modeli

En basit bula¸s¬c¬hastal¬k modelinde insanlar¬iki s¬n¬fa ay¬rabiliriz: Hastal¬k bula¸smas¬na duyarl¬ki¸si(Susceptible) ve hastal¬k bula¸sm¬¸s/ta¸ s¬y¬c¬

(Infective) ki¸si. Duyarl¬ki¸sinin hasta olmad¬¼ g¬n¬ve ta¸s¬y¬c¬n¬n hasta oldu¼ gunu dü¸sünebiliriz. Duyarl¬ki¸si ta¸s¬y¬c¬ile temasa geçti¼ ginde hasta olabililecektir. Burada, her bir insan¬n di¼ ger bir insanla temas¬olma ¸sans¬

e¸sit olacak ¸sekilde nüfusun yap¬land¬¼ g¬n¬varsay¬yoruz.

(3)

BULA ¸SICI HASTALIK MODEL·I SI modeli

∆t zaman¬nda hastal¬k bula¸san insanlar¬n say¬s¬n¬göz önüne alal¬m. Ragele bir ta¸s¬y¬c¬n¬n rasgele bir duyarl¬insana ∆t zaman¬nda hastal¬k bula¸st¬rma olas¬l¬¼ g¬na β∆t diyelim. Bu durumda, S duyarl¬ve I da ta¸s¬y¬c¬insan say¬s¬n¬göstermek üzere, ∆t zaman¬nda toplam nüfustan yeni hastal¬k bula¸sanlar¬n beklenen say¬s¬ β∆tSI olup, böylece

I ( t + _∆t ) = I ( t ) + β ∆tS ( t ) I ( t ) olur. O halde, ∆t ! ⁰ ^için

dI

dt = βSI (29)

bulunur. Bunu S

^βSI

! ^I ile gösterelim. ¸ Simdi, do¼ gum ve ölümleri gözard¬

ederek, P = S + I olacak ¸sekilde P nüfusunun sabit oldu¼ gunu varsayal¬m.

Bu durumda ( 29 ) denklemini dI

dt = βPI 1 I P

¸seklinde yazabiliriz ki bu, çevre ta¸s¬ma kapasitesi P ve büyüme oran¬ βP olan bir lojistik denklemdir. O halde, t ! ∞ için I ! ^P olup, sonunda hastal¬k tüm nüfusa bula¸sacak demektir.

(4)

BULA ¸SICI HASTALIK MODEL·I SIS modeli

SIS modeli

Ta¸s¬y¬c¬iyile¸serek tekrar duyarl¬hale gelsin. Ta¸s¬y¬c¬n¬n ∆t zaman¬nda iyile¸sme olas¬l¬¼ g¬na γ∆t diyelim. Bu durumda ∆t zaman¬nda iyile¸senlerin toplam say¬s¬γ∆tI olup, böylece

I ( t + ∆t ) = I ( t ) + β∆tS ( t ) I ( t ) γ∆tI ( t ) olup, ∆t ! ⁰ ^için

dI

dt = βSI γI (30)

bulunur. Bu durumu S

βSI

!

γI

I ile gösterelim. ( 30 ) denkleminde S = P I ve

<

⁰

= ^βP

γ (temel üreme(ço¼ galma) oran¬) (31) al¬n¬rsa

dI

dt = γ ( <

⁰

¹ ) I 1 I

P ( 1 1/ <

⁰

) ^. olur.

(5)

dI

dt = γ ( <

⁰

¹ ) I 1 I P ( 1 1/ <

⁰

)

denklemi, büyüme oran¬γ ( <

⁰

¹ ) ve ta¸s¬ma kapasitesi P ( 1 1/ <

⁰

) olan bir lojistik denklemdir. E¼ ger büyüme oran¬negatif, yani <

⁰

< 1 olursa hastal¬k yokolur ve e¼ ger büyüme oran¬pozitif, yani <

⁰

> 1 ise hastal¬k endemik haline dönü¸sür. <

⁰

> 1 oldu¼ gu bir endemik hastal¬k için ta¸s¬y¬c¬

insan say¬s¬, t ! ^∞ ^için, ^I ! ^P ( 1 1/ <

⁰

) ta¸s¬ma kapasitesine yakla¸s¬r.

(6)

<

⁰

için bir biyolojik yorum yapabiliriz. t = 0 an¬nda ba¸slang¬ç enfeksiyonlu bir bireyin t an¬nda hâlâ ta¸s¬y¬c¬kalma olas¬l¬¼ g¬y ( t ) olsun.. t + ∆t an¬nda ta¸s¬y¬c¬kalma olas¬l¬¼ g¬, t an¬nda ta¸s¬y¬c¬olma olas¬l¬¼ g¬ile ∆t süresinde iyile¸smeme olas¬l¬¼ g¬n¬n çarp¬m¬oldu¼ gundan

y ( t + _∆t ) = y ( t )( 1 γ ∆t )

ve ∆t ! ⁰ ^için

^dydt

= γy ve y ( 0 ) = 1 olup, çözümü

y ( t ) = e

^γt

(32)

dir.

(7)

( t, t + dt ) evresinde tek bir öncül ta¸s¬y¬c¬taraf¬ndan üretilen ikincil enfeksiyonlar¬n beklenen say¬s¬; t an¬nda ba¸slang¬ç enfeksiyonlu ta¸s¬y¬c¬n¬n hâlâ ta¸s¬y¬c¬kalma olas¬l¬¼ g¬ile, tek ta¸s¬y¬c¬n¬n dt zaman¬nda üretti¼ gi ikincil enfeksiyonlar¬n beklenen say¬s¬n¬n çarp¬m¬yani y ( t ) S ( t ) βdt ile verilir.

Tek ta¸s¬y¬c¬dan üretilen ikincil ta¸s¬y¬c¬lar¬n toplam say¬s¬P ye göre çok küçük kals¬n. Böylece, tek bir öncül ta¸s¬y¬c¬dan üretilerek tamamen duyarl¬

bir nüfusu tehdit eden ikincil ta¸s¬y¬c¬lar¬n beklenen say¬s¬

Z

_∞

0

βy ( t ) S ( t ) dt βP Z

_∞

0

y ( t ) dt

= βP Z

_∞

0

e

^γt

dt

= ^βP γ

= <

⁰

olup, burada ta¸s¬y¬c¬lar¬n ta¸s¬y¬c¬olarak kald¬klar¬zaman süreci için S ( t ) P yakla¸s¬m¬n¬kulland¬k. E¼ ger tamamen duyarl¬bir nüfusu tehdit eden tek bir ta¸s¬y¬c¬iyile¸smeden önce birden çok ikincil enfeksiyon üretirse, bu durumda <

⁰

> 1 olup, hastal¬k endemik duruma dönü¸sür.

(8)

BULA ¸SICI HASTALIK MODEL·I SIR epidemik modeli

SIR epidemik modeli

SIS modelinden farkl¬olarak; nüfus, duyarl¬(Susceptible), ta¸ s¬y¬c¬

(Infective)ve etkilenmeyen–iyile¸ smi¸ s (Recovered) olmak üzere üç s¬n¬fa ayr¬l¬r.

Etkilenmeyen s¬n¬f¬ndaki bireyler ne ta¸s¬y¬c¬ne de hastal¬¼ ga duyarl¬

ki¸silerdir. (Örne¼ gin, hastal¬¼ g¬geçirip iyile¸serek veya a¸s¬lanarak ba¼ g¬¸s¬kl¬k kazanm¬¸s, di¼ ger nüfustan soyutlanm¬¸s veya hastal¬ktan ölmü¸s ki¸siler gibi).

SIS modelinde oldu¼ gu gibi, ta¸s¬y¬c¬lar¬n I s¬n¬f¬n¬sabit γ oran¬nda terk ettiklerini, fakat do¼ grudan R s¬n¬f¬na girdiklerini kabul edelim. Böylece modelin hareket çizgesi

S

^βSI

! ^I

^γI

! ^R

¸seklini al¬r ve kar¸s¬l¬k gelen diferensiyel denklem sistemi de dS

dt = βSI , dI

dt = βSI γI , dR

dt = γI (33)

olur. Burada S + I + R = P olmak üzere nüfus boyutunu sabit kabul ediyoruz.

(9)

Nüfus boyutu için P yi ve zaman için de γ

¹

i kullanarak, ( 33 ) sistemini boyutsuzla¸st¬ral¬m; yani

ˆS = S /P, ˆI = I /P, R ˆ = R /P, ˆt = γt

alarak ve boyutsuz temel üreme oran¬n¬

<

⁰

= ^βP

γ (34)

¸seklinde tan¬mlayarak, ˆS + ˆI + R ^ˆ = 1 boyutsuz k¬s¬t¬ile, ( 33 ) sistemini d ˆ S

d ˆt = <

⁰

^{ˆS ˆI,} ^{d ˆI} _{d ˆt} = <

⁰

^{ˆS Î} ^Î, ^{d ˆ} _{d ˆt} ^R = Î (35)

¸seklinde yazal¬m.

Soru: Hangi ko¸sullar alt¬nda bir epidemik olu¸sur?

E¼ ger epidemik olu¸sursa, nüfusun ne kadar¬hastal¬¼ g¬kapar?

(10)

Sistemin denge noktas¬, bir parametreye ba¼ gl¬ ( ˆS , ˆI , ˆR ) = ( ˆS , 0, 1 ˆS ) noktalar¬d¬r. Az say¬daki ta¸s¬y¬c¬n¬n duyarl¬nüfusa kar¬¸smas¬ile ta¸s¬y¬c¬

say¬s¬n¬art¬rmas¬sonucu bir epidemik olu¸sur. ( 35 ) sisteminin bir denge noktas¬nda bir ba¸slang¬ç nüfusu kabul edip, bu nüfusa az say¬da ta¸s¬y¬c¬

ekleyerek bu denge noktas¬n¬biraz de¼ gi¸stirebilir ve bu noktan¬n kararl¬l¬¼ g¬n¬

belirleyebiliriz. Denge noktas¬karars¬z oldu¼ gunda bir epidemik olu¸sur. ( 35 ) sistemindeki sadece d ˆI

d ˆt için olan denklem göz önüne al¬narak lineer kararl¬l¬k problemi çözülebilir. ˆI 1 ve ˆS ˆS

₀

= S

₀

/P al¬rsak,

d ˆI

d ˆt = <

⁰

^ˆS

⁰

^{1 ˆI}

olup, böylece <

⁰

^ˆS

⁰

¹ > 0 için epidemik olu¸sur. O halde

<

⁰

^ˆS = ^βS

⁰

γ > 1 (36)

için bir epidemik olu¸sur ki bunu tahmin edebilirdik. E¼ger S

₀

say¬daki duyarl¬nüfusa eklenen her bir ta¸ s¬y¬c¬birey ortalama olarak birden çok ki¸ siyi ta¸ s¬y¬c¬yaparsa bu durumda epidemik olu¸ sur.

(11)

E¼ ger bir epidemik olu¸sursa, nüfusun ne kadar¬hastalan¬r?

Basitlik için ˆS

0

= 1, yani nüfusun tamam¬n¬n hastal¬¼ ga duyarl¬oldu¼ gunu kabul edelim. ( 35 ) sisteminin çözümünün zamana göre asimptotik olarak bir denge noktas¬na yakla¸st¬¼ g¬n¬(ve böylece ta¸s¬y¬c¬lar¬n son say¬s¬n¬n 0 olaca¼ g¬n¬) umuyoruz.

Bu denge noktas¬n¬, R ˆ

_∞

nüfusun hastal¬k kapanlar¬n¬n kesiri olmak üzere, ( ˆS, ˆI, ˆR ) = ( 1 R ˆ

_∞

, 0, ˆ R

_∞

) olarak tan¬mlayal¬m. R ˆ

_∞

¬hesaplamak için, ( 35 ) sisteminde d ˆ S /d ˆt = ( d ˆ S /d ˆ R )( d ˆ R /d ˆt ) de¼ gi¸sken de¼ gi¸stirmesi yaparsak

d ˆ S

d ˆ R = ^{d ˆ} ^{S /d ˆt}

d ˆ R /d ˆt = <

⁰

^ˆS =)

Z

₁ Rˆ_∞ 1

d ˆ S ˆS =

Z

Rˆ_∞ 1

<

⁰

^{d ˆ} ^R )

1 R ˆ

_∞

e

^<⁰ ^<⁰^R^ˆ^∞

= 0 (37) elde ederiz.

(12)

Uygun <

⁰

ba¸slang¬ç ko¸sullar¬alt¬nda bu e¸sitlik R ˆ

_∞

a göre lineer olmayan bir denklem olup, Newton yöntemi gibi nümerik bir yöntemle çözülebilir.

¸

Sekilde görüldü¼ gü gibi <

⁰

^de¼ geri büyüdükçe, enfeksiyon say¬s¬nda patlama olu¸smaktad¬r. Bu h¬zl¬art¬¸s e¸ sik fenomeni olarak bilinen olguya klasik bir örnektir.

Figure: SIR modelinde <

0

a ba¼ gl¬olarak hastalanan nüfus oran¬(Yatay eksen <

0

dü¸sey eksen ˆ R

_∞

) .

(13)

BULA ¸SICI HASTALIK MODEL·I A¸s¬lama

A¸ s¬lama

Hepatit A ve B, difteri, kolera v.b. gibi bula¸s¬c¬hastal¬klar için a¸s¬lar mevcut olup, a¸s¬lama yöntemiyle epidemikler önlenebilmektedir.

Epidemik davran¬¸s¬n önüne geçmek için toplumun tümünün a¸s¬lanmas¬

gerekmez

Nüfusun a¸s¬lanan oran¬n¬p ile ve epidemik davran¬¸s¬önlemek için gerekli minimum oran¬da p ile gösterirsek, bu durumda p > p için epidemik olu¸smayabilir. Epidemi¼ gin olu¸smamas¬nedeniyle a¸s¬lanmayan insanlar bile emniyette kalaca¼ g¬için, p > p sa¼ glanmas¬durumuna nüfus sürü

korunumunu sa¼ gl¬yor diyoruz.

(14)

BULA ¸SICI HASTALIK MODEL·I A¸s¬lama

SIR modelinde a¸s¬lanmam¬¸s bireylerin duyarl¬(S) s¬n¬f¬nda ve a¸s¬lanm¬¸slar¬n ise etkilenmeyen(R) s¬n¬f¬nda kalaca¼ g¬n¬kabul edersek, bu durumda ba¸slang¬ç nüfusu ( ˆS, ˆI, ˆR ) = ( 1 p, 0, p ) ¸seklini alacakt¬r. ( 36 ) epidemik olu¸sma ko¸sulundan dolay¬, ˆS = 1 p olmak üzere, <

⁰

( 1 p ) > 1 durumunda epidemik olu¸sacakt¬r. O halde, bir epidemi¼ gi önlemek için a¸s¬lanmas¬gereken minimum nüfus kesri

p = 1 1

<

⁰

dir. A¸s¬lanan nüfusun daha küçük bir yüzdesi ile, nüfus sürü korunumunu sa¼ glayabilece¼ ginden dolay¬, <

⁰

¬n daha küçük de¼ gerlerine kar¸s¬l¬k gelen hastal¬klar¬n <

⁰

¬n daha büyük de¼ gerlerine kar¸s¬l¬k gelenlere göre yokolmas¬

daha kolayd¬r. Örne¼ gin dünya çap¬nda <

⁰

⁴ e kar¸s¬l¬k gelen çiçek hastal¬¼ g¬yok olmas¬na ra¼ gmen, <

⁰

¹⁷ ye kar¸s¬l¬k gelen k¬zam¬k hastal¬¼ g¬

bazen salg¬n hale gelebilmektedir.

(15)

BULA ¸SICI HASTALIK MODEL·I SIR endemik hastal¬k modeli

SIR endemik modeli

Endemik hastal¬klar¬n güçlenmesi uzun zaman sürecinde olur. b do¼ gum oran¬n¬, d hastal¬k haricindeki nedenlerden dolay¬ölenlerin oran¬n¬, c de hastal¬k nedeniyle ölenlerin oran¬n¬göstersin ve böylece R de ba¼ g¬¸s¬kl¬s¬n¬f olsun. Bu durumda bir endemik model çizgesi

dir.

(16)

BULA ¸SICI HASTALIK MODEL·I SIR endemik hastal¬k modeli

P = S + I + R olmak üzere, kar¸s¬l¬k gelen diferensiyel denklem sistemi de dS

dt = bP bSI d .S

dI

dt = bSI ( c + d + γ ) I (38)

dR

dt = γI d .R olur. Bu modelde, P kendi ba¸s¬na

dP

dt = ( b d ) P cI (39)

diferensiyel denklemini sa¼ glamakta olup, sabit olmas¬gerekmez. Bir hastal¬¼ g¬n bir nüfusta endemik olmas¬için dI /dt nin negatif olmamas¬

gerekir ki bu da

βS

c + d + γ 1

olmas¬demektir. Bir hastal¬¼ g¬n bir nüfusta endemik olmas¬için, yeni do¼ ganlar¬n yeni duyarl¬s¬n¬fa sonsuz kaynak sa¼ glamas¬gerekir.

(17)

BULA ¸SICI HASTALIK MODEL·I Ölümcül evrimle¸sme

Ölümcül evrimle¸ sme

Mikro-organizmalar çevrelerindeki ay¬klanma (seleksiyon) bask¬lar¬

nedeniyle sürekli olarak geli¸sirler.

Mikrobik bakterilerdeki ay¬klanma bask¬s¬n¬n bir temel kayna¼ g¬ antibiyotiklerdi ve antibiyotik-dirençli yap¬lar¬n güçlenmesi t¬pta önemli bir sa¼ gl¬k sorunu ortaya koymaktad¬r.

Bakteriler ve virüsler ölümcül evrimle¸smeyle sonuçlanan üreme ba¸sar¬s¬için de birbirleriyle do¼ grudan çeki¸sirler.

S, I ve R s¬f¬rdan farkl¬ve bir denge de¼ gerlerinde olsunlar

Baz¬virüs parçac¬klar¬n¬n do¼ gal olarak olu¸san rasgele, güdümsüz bir süreçle mutasyona u¼ gras¬n.

Soru: Nüfus içindeki kaba bir virüs mutasyonlu virüse hangi ko¸sullarda dönü¸sür?

Matematiksel deyimle, endemik hastal¬¼ g¬n dengesinin mutasyonla bir ölümcül yap¬ya geçi¸sinin lineer kararl¬l¬¼ g¬n¬belirlemek istiyoruz.

(18)

Ölümcül evrimle¸ sme

Mikro-organizmalar çevrelerindeki ay¬klanma (seleksiyon) bask¬lar¬

nedeniyle sürekli olarak geli¸sirler.

Mikrobik bakterilerdeki ay¬klanma bask¬s¬n¬n bir temel kayna¼ g¬

antibiyotiklerdi ve antibiyotik-dirençli yap¬lar¬n güçlenmesi t¬pta önemli bir sa¼ gl¬k sorunu ortaya koymaktad¬r.

Bakteriler ve virüsler ölümcül evrimle¸smeyle sonuçlanan üreme ba¸sar¬s¬için de birbirleriyle do¼ grudan çeki¸sirler.

S, I ve R s¬f¬rdan farkl¬ve bir denge de¼ gerlerinde olsunlar

Baz¬virüs parçac¬klar¬n¬n do¼ gal olarak olu¸san rasgele, güdümsüz bir süreçle mutasyona u¼ gras¬n.

Soru: Nüfus içindeki kaba bir virüs mutasyonlu virüse hangi ko¸sullarda dönü¸sür?

Matematiksel deyimle, endemik hastal¬¼ g¬n dengesinin mutasyonla bir ölümcül yap¬ya geçi¸sinin lineer kararl¬l¬¼ g¬n¬belirlemek istiyoruz.

(19)

Ölümcül evrimle¸ sme

Mikro-organizmalar çevrelerindeki ay¬klanma (seleksiyon) bask¬lar¬

nedeniyle sürekli olarak geli¸sirler.

Mikrobik bakterilerdeki ay¬klanma bask¬s¬n¬n bir temel kayna¼ g¬

antibiyotiklerdi ve antibiyotik-dirençli yap¬lar¬n güçlenmesi t¬pta önemli bir sa¼ gl¬k sorunu ortaya koymaktad¬r.

Bakteriler ve virüsler ölümcül evrimle¸smeyle sonuçlanan üreme ba¸sar¬s¬için de birbirleriyle do¼ grudan çeki¸sirler.

S, I ve R s¬f¬rdan farkl¬ve bir denge de¼ gerlerinde olsunlar

Baz¬virüs parçac¬klar¬n¬n do¼ gal olarak olu¸san rasgele, güdümsüz bir süreçle mutasyona u¼ gras¬n.

Soru: Nüfus içindeki kaba bir virüs mutasyonlu virüse hangi ko¸sullarda dönü¸sür?

Matematiksel deyimle, endemik hastal¬¼ g¬n dengesinin mutasyonla bir ölümcül yap¬ya geçi¸sinin lineer kararl¬l¬¼ g¬n¬belirlemek istiyoruz.

(20)

Ölümcül evrimle¸ sme

Mikro-organizmalar çevrelerindeki ay¬klanma (seleksiyon) bask¬lar¬

nedeniyle sürekli olarak geli¸sirler.

Mikrobik bakterilerdeki ay¬klanma bask¬s¬n¬n bir temel kayna¼ g¬

antibiyotiklerdi ve antibiyotik-dirençli yap¬lar¬n güçlenmesi t¬pta önemli bir sa¼ gl¬k sorunu ortaya koymaktad¬r.

Bakteriler ve virüsler ölümcül evrimle¸smeyle sonuçlanan üreme ba¸sar¬s¬için de birbirleriyle do¼ grudan çeki¸sirler.

S, I ve R s¬f¬rdan farkl¬ve bir denge de¼ gerlerinde olsunlar

Baz¬virüs parçac¬klar¬n¬n do¼ gal olarak olu¸san rasgele, güdümsüz bir süreçle mutasyona u¼ gras¬n.

Soru: Nüfus içindeki kaba bir virüs mutasyonlu virüse hangi ko¸sullarda dönü¸sür?

Matematiksel deyimle, endemik hastal¬¼ g¬n dengesinin mutasyonla bir ölümcül yap¬ya geçi¸sinin lineer kararl¬l¬¼ g¬n¬belirlemek istiyoruz.

(21)

Ölümcül evrimle¸ sme

Mikro-organizmalar çevrelerindeki ay¬klanma (seleksiyon) bask¬lar¬

nedeniyle sürekli olarak geli¸sirler.

Mikrobik bakterilerdeki ay¬klanma bask¬s¬n¬n bir temel kayna¼ g¬

antibiyotiklerdi ve antibiyotik-dirençli yap¬lar¬n güçlenmesi t¬pta önemli bir sa¼ gl¬k sorunu ortaya koymaktad¬r.

Bakteriler ve virüsler ölümcül evrimle¸smeyle sonuçlanan üreme ba¸sar¬s¬için de birbirleriyle do¼ grudan çeki¸sirler.

S, I ve R s¬f¬rdan farkl¬ve bir denge de¼ gerlerinde olsunlar

Baz¬virüs parçac¬klar¬n¬n do¼ gal olarak olu¸san rasgele, güdümsüz bir süreçle mutasyona u¼ gras¬n.

Soru: Nüfus içindeki kaba bir virüs mutasyonlu virüse hangi ko¸sullarda dönü¸sür?

Matematiksel deyimle, endemik hastal¬¼ g¬n dengesinin mutasyonla bir ölümcül yap¬ya geçi¸sinin lineer kararl¬l¬¼ g¬n¬belirlemek istiyoruz.

(22)

Ölümcül evrimle¸ sme

Mikro-organizmalar çevrelerindeki ay¬klanma (seleksiyon) bask¬lar¬

nedeniyle sürekli olarak geli¸sirler.

Mikrobik bakterilerdeki ay¬klanma bask¬s¬n¬n bir temel kayna¼ g¬

antibiyotiklerdi ve antibiyotik-dirençli yap¬lar¬n güçlenmesi t¬pta önemli bir sa¼ gl¬k sorunu ortaya koymaktad¬r.

Bakteriler ve virüsler ölümcül evrimle¸smeyle sonuçlanan üreme ba¸sar¬s¬için de birbirleriyle do¼ grudan çeki¸sirler.

S, I ve R s¬f¬rdan farkl¬ve bir denge de¼ gerlerinde olsunlar

Baz¬virüs parçac¬klar¬n¬n do¼ gal olarak olu¸san rasgele, güdümsüz bir süreçle mutasyona u¼ gras¬n.

Soru: Nüfus içindeki kaba bir virüs mutasyonlu virüse hangi ko¸sullarda dönü¸sür?

Matematiksel deyimle, endemik hastal¬¼ g¬n dengesinin mutasyonla bir ölümcül yap¬ya geçi¸sinin lineer kararl¬l¬¼ g¬n¬belirlemek istiyoruz.

(23)

Ölümcül evrimle¸ sme

Mikro-organizmalar çevrelerindeki ay¬klanma (seleksiyon) bask¬lar¬

nedeniyle sürekli olarak geli¸sirler.

Mikrobik bakterilerdeki ay¬klanma bask¬s¬n¬n bir temel kayna¼ g¬

antibiyotiklerdi ve antibiyotik-dirençli yap¬lar¬n güçlenmesi t¬pta önemli bir sa¼ gl¬k sorunu ortaya koymaktad¬r.

Bakteriler ve virüsler ölümcül evrimle¸smeyle sonuçlanan üreme ba¸sar¬s¬için de birbirleriyle do¼ grudan çeki¸sirler.

S, I ve R s¬f¬rdan farkl¬ve bir denge de¼ gerlerinde olsunlar

Baz¬virüs parçac¬klar¬n¬n do¼ gal olarak olu¸san rasgele, güdümsüz bir süreçle mutasyona u¼ gras¬n.

Soru: Nüfus içindeki kaba bir virüs mutasyonlu virüse hangi ko¸sullarda dönü¸sür?

Matematiksel deyimle, endemik hastal¬¼ g¬n dengesinin mutasyonla bir ölümcül yap¬ya geçi¸sinin lineer kararl¬l¬¼ g¬n¬belirlemek istiyoruz.

(24)

Orjinal kaba virüsün enfeksiyon oran¬ β, etkilenmeyen oran¬ γ, hastal¬k-nedenli ölüm oran¬ c ve mutasyonlu virüsün kar¸s¬l¬k gelen oranlar¬da s¬ras¬ile β

⁰

, γ

⁰

ve c

⁰

olsun.

Ayr¬ca, kaba veya mutasyonlu virüsten biriyle enfekte olan bir bireyin her iki tipin de daha sonraki formlar¬na kar¸s¬ba¼ g¬¸s¬kl¬k kazand¬¼ g¬n¬

varsayal¬m.

Model, bu durumda, tek bir duyarl¬S s¬n¬f¬, hangi virüsün enfeksiyona neden oldu¼ guna ba¼ gl¬olan, iki farkl¬ta¸ s¬y¬c¬I ve I

⁰

s¬n¬f¬ve tek bir etkilenmeyen R s¬n¬f¬na sahiptir. Modele uygun çizge

(25)

Diferensiyel denklem sistemi dS

dt = bP dS S ( βI + β

⁰

I

⁰

) (40)

dI

dt = βSI ( γ + d + c ) I (41)

dI

⁰

dt = β

⁰

SI

⁰

( γ

⁰

+ d + c

⁰

) I

⁰

(42) dR

dt = γI + γ

⁰

I

⁰

dR (43)

E¼ ger nüfus ba¸slang¬çta kaba virüsle dengede ise, bu durumda I 6= ⁰ ^olmak üzere dI /dt = 0 olup, S için denge noktas¬ ( 41 ) den

S = ^γ + d + c

β (44)

olarak belirlenir ki bu bir birim temel üreme oran¬ βS / ( γ + d + c ) ye kar¸s¬l¬k gelir.

(26)

Bu endemik hastal¬k dengesini mutasyonlu virüs ta¸s¬yan az bir ta¸s¬y¬c¬

ekleyerek, yani I

⁰

nü küçük alarak, de¼ gi¸stirebiliriz. Kararl¬l¬k problemini Jakobiyen analizi yaparak çözmek yerine, ( 42 ) denkleminde S yerine ( 44 ) ile verilen S ¬alarak

dI

⁰

dt = β

⁰

γ + d + c

β ( γ

⁰

+ d + c

⁰

) I

⁰

elde ederiz. E¼ ger

β

⁰

γ + d + c

β > ( γ

⁰

+ d + c

⁰

) veya

β

⁰

γ

⁰

+ d + c

⁰

> ^β

γ + d + c (45)

ise, bu durumda I

⁰

üstel olarak büyür.

(27)

Bu sonuç bize endemik virüslerin (veya di¼ ger mikroorganizmalar¬n) insanlar aras¬nda;

1

( β

⁰

> β için ) daha kolay yay¬lacak,

2

( γ

⁰

< γ için ) insanlar¬daha uzun süre hasta b¬rakacak, ve

3

( c

⁰

< c için ) daha az ölümcül olacak ¸sekilde evrimle¸smeye yönelece¼ gini önermektedir.

Di¼ ger bir deyi¸sle; virüsler kendi temel üreme oranlar¬n¬art¬rmak için evrimle¸sirler. Örne¼ gin, modelimiz virüslerin daha az ölümcül olarak evrimle¸sece¼ gini önermektedir, çünkü ölüm hastal¬¼ g¬yaymaz. Bununla beraber, (ölünün, yeterince dikkat edilmeden, aile bireyleri taraf¬ndan y¬kanmas¬gibi nedenlerden dolay¬) ölünün hastal¬k yaymas¬durumda bu model geçersizdir.

(28)

Bu sonuç bize endemik virüslerin (veya di¼ ger mikroorganizmalar¬n) insanlar aras¬nda;

1

( β

⁰

> β için ) daha kolay yay¬lacak,

2

( γ

⁰

< γ için ) insanlar¬daha uzun süre hasta b¬rakacak, ve

3

( c

⁰

< c için ) daha az ölümcül olacak ¸sekilde evrimle¸smeye yönelece¼ gini önermektedir.

Di¼ ger bir deyi¸sle; virüsler kendi temel üreme oranlar¬n¬art¬rmak için evrimle¸sirler. Örne¼ gin, modelimiz virüslerin daha az ölümcül olarak evrimle¸sece¼ gini önermektedir, çünkü ölüm hastal¬¼ g¬yaymaz. Bununla beraber, (ölünün, yeterince dikkat edilmeden, aile bireyleri taraf¬ndan y¬kanmas¬gibi nedenlerden dolay¬) ölünün hastal¬k yaymas¬durumda bu model geçersizdir.

(29)

Bu sonuç bize endemik virüslerin (veya di¼ ger mikroorganizmalar¬n) insanlar aras¬nda;

1

( β

⁰

> β için ) daha kolay yay¬lacak,

2

( γ

⁰

< γ için ) insanlar¬daha uzun süre hasta b¬rakacak, ve

3

( c

⁰

< c için ) daha az ölümcül olacak ¸sekilde evrimle¸smeye yönelece¼ gini önermektedir.

Di¼ ger bir deyi¸sle; virüsler kendi temel üreme oranlar¬n¬art¬rmak için evrimle¸sirler. Örne¼ gin, modelimiz virüslerin daha az ölümcül olarak evrimle¸sece¼ gini önermektedir, çünkü ölüm hastal¬¼ g¬yaymaz. Bununla beraber, (ölünün, yeterince dikkat edilmeden, aile bireyleri taraf¬ndan y¬kanmas¬gibi nedenlerden dolay¬) ölünün hastal¬k yaymas¬durumda bu model geçersizdir.

(30)

Bu sonuç bize endemik virüslerin (veya di¼ ger mikroorganizmalar¬n) insanlar aras¬nda;

1

( β

⁰

> β için ) daha kolay yay¬lacak,

2

( γ

⁰

< γ için ) insanlar¬daha uzun süre hasta b¬rakacak, ve

3

( c

⁰

< c için ) daha az ölümcül olacak ¸sekilde evrimle¸smeye yönelece¼ gini önermektedir.

Di¼ ger bir deyi¸sle; virüsler kendi temel üreme oranlar¬n¬art¬rmak için evrimle¸sirler. Örne¼ gin, modelimiz virüslerin daha az ölümcül olarak evrimle¸sece¼ gini önermektedir, çünkü ölüm hastal¬¼ g¬yaymaz. Bununla beraber, (ölünün, yeterince dikkat edilmeden, aile bireyleri taraf¬ndan y¬kanmas¬gibi nedenlerden dolay¬) ölünün hastal¬k yaymas¬durumda bu model geçersizdir.

(31)

B·IYOK·IMYASAL TEPK·IMELER

B· IYOK· IMYASAL TEPK· IMELER

Tan¬m (Biyokimya -canl¬lar¬n kimyas¬)

Moleküler biyolojinin özel moleküller ve onlar¬n tepkimeleri konusuna odaklanan bir dal¬, veya kimyan¬n canl¬organizmalarda ortaya ç¬kan karma¸s¬k kimyasal tepkimelere odaklanan bir dal¬.

5000 y¬l önce ekme¼ gin maya kullan¬larak üretilmesi.

Modern biyokimyan¬n ba¸slang¬c¬:Friedrich Wöhler’in 1828 de, organik bile¸senlerin yapay olarak da üretilebildi¼ gini gösteren, üre sentezi üzerine yapt¬¼ g¬çal¬¸smas¬.

Bu kesimde kütle devinim yasas¬olarak bilinen bir kimyasal tepkime için kullan¬¸sl¬bir model; ve enzim (maya) kar¬¸s¬ml¬kimyasal tepkimeler için model verece¼ giz.

Enzim kinetiklerinin matematiksel modelini kullanarak üç temel enzimatik özelli¼ gi göz önüne alaca¼ g¬z: rekabetli engelleme, oynak engelleme ve peki¸ sim. Son olarak da ilaç emilim kineti¼ gine bir örnek olu¸sturaca¼ g¬z.

BULA¸ SICI HASTALIK MODEL· I