BÖLÜM 2 Aritmetik İşlemlerde Hata Analizi

(1)

BÖLÜM 2

Aritmetik İşlemlerde Hata Analizi

ˆ ˆ

_,

X Y

iki yaklaşık sayının toplama, çıkarma, çarpma, bölme işlemlerinde ortaya çıkan hataların analizini yapacağız.

Toplamdaki Hata

a

a a e

 

x

 

x e

değerinin

y

 

y e

y değerinden büyük olması,

x

 

x e

_değerinin

y

 

y e

_y değerinden küçük olması, İki gerçek değerin toplamı;





x y x y

x  e y e   x y e e ifadesinden daha büyük olamaz.





x y x y

x e  y e   x y e e ifadesinden daha küçük olamaz.

x



y

nin yaklaşık değerleri x , toplamdaki hata y

e

x



e

ykadardır.(Toplamdaki mutlak hata)

x y x y e e  e  e 1 1 2 x y n x y e e x y r r r b x y x y x y              , y x x y e e r r x y  

ÖRNEK:

5 ondalıklı bir hesaplayıcıda 325.6 ve 1.17153 sayılarını toplayınız ve göreli hatayı hesaplayınız.

(2)

Çıkarmada Hata

x x y y x e x x e y e y y e        

x



y

olsun.

x



y

gerçek değeri;





x y

x e ye değerinden büyük olamaz.



x y



x y e e 1

1

2

x y x y x y x y n x y x y

e

x

y

r

b

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

  















 





Çarpmada Hata

,

x y çarpılan yaklaşık 2 sayı olmak üzere x,y gerçek değerinin çarpımının;

a)



xex







yey



   x y x ey  y ex  e ex y  alabileceği en büyük değer b)



x e x







yey



   x y x ey  y ex  e ex y  alabileceği en küçük değer a



x y 



x e y  y ex



b



x y 



x e y  y ex



çarpmadaki mutlak hata;

xy y x e  xe  ye Göreli hata; 1 1 2 xy y x n xy x y e xe ye r r r b xy xy xy        

Bölmedeki Hata

x

y

, x y x e y e 

(3)

x y

x

e

y

e





den küçük olamaz. y x x y x y

xy

xe

ye

e e

x

e

y

e







2 2 y

y



e



y



e

y



y x x y x y

xy

xe

ye

e e

x

e

y

e











2 2 y

y



e



y



e

y



2 y x xe x e y  y  y ve 2 y x xe x e y  y  y y x e e x x y y x y         ve y x e e x x y y x y         Mutlak Hata;





y x x y e e x x x r r e y x y y y          Göreli Hata;





1 1 2 x _x _y y n x x y y x e _r _r y r r r b x x y y        

Örnek:

0.79425

x 

e _x 0.00043 1.27348 y  e _y 0.00028

Göreli hatalarını bulunuz.

(4)

Örnek:

A noktasının koordinatları mutlak hata



ex ey



0.01ile

x 

25.21

, y 12.10olarak ölçülmüş.

 

OA

doğrusunun eğiminde yapılan mutlak ve göreli hatayı hesaplayınız. 12.10 tan 0.479 25.21 y x     y x x y

e

x

e

y

x

y







0.01

0.01 0.00122312

25.21 12.10

y x x x y y

e

r

x

y

  









y x y x

e

r

y

x



_,

y

0.479 x



12.10 0.00122312

0.000587

25.21

y x

r 





202 9 _0.80 _%80 28 f f e r f     

Örnek:

Aşağıdaki ölçümlerden hangisi daha hassastır ? )

i 100 kg hatayla ölçen bir kantarda bir vagonun ağırlığı 50 ton,

)

ii 0.01 gr hatayla ölçen bir terazide bir ilaç 5 gr olarak ölçülmüş,

(5)

Karekök Hesabında Kullanılan Ardışık Yöntem

b

yi hesaplamak için; 1 1 , 0,1, 2,..., 2 n n n n b x x n x x     _  _    1 n n

x

_



x

 

ise işlemi durdur.

Örnek:

0 2 x  , 9 5 10  _{ }  _, 6.25? 1

1

6.25

2 2.5625

2

2 x





_





_







2

1

6.25 2.5625

2.5007621

2 2.5625

x





_





_







3 4 4 3

2.500000116

2.500000111

0.000000005

x







 

Örnek:

 

ln 1





f x





x

fonksiyonun x 0 0.2 noktasındaki değerini MacLauren açılımındaki ilk dört terimi

alarak hesaplayıp kesme hatası için bir üst sınır bulunuz. Taylor seri açılımı;

(6)

 









'' 2 2 1 1 0 1 1 1 0 f x        

 





''' 3 2 0 2 1 0 f   

 





4 4 6 0 6 1 0 f     

 

2 2 3 2 3 0 2 6 2 3 x x x f x   x  x  x 

 

0.2 2 2

 

3 0.2 0 0.2 0.2 0.2 0.2 0.00266 0.18266 2 6 f        

 

ln 1.2



0.1823215

   

0.00034 f e  f x f x 

 





4 4 4

6 4!

₁

n

x

R

x



R

 

 











_{ }







   





 

4 4 4 4 0.2 6 0.2 0.2 0.0004 4! _{1 0} 4 R        _   

 

ln 1.2



0.18266 0.0004



Örnek:

 

2

f x



x

üstel fonksiyonun

l

noktasında Taylor seri açılımı yaparak ilk iki terime gre yaklaşık değerini hesaplayınız. x=2 için yapılan hatayı bulunuz.

(7)

 





2 1 1 1 2 2 2 1 1! f x   x    x  x

 

'' 2 f x 

 

2 2 2 1 3

f

   

 

2 2 2 4 f  

Örnek:

(8)

Kaynaklar

1. Fikri Öztürk web sitesi

http://80.251.40.59/science.ankara.edu.tr/ozturk/index.html

2. Bilgisayar uygulamalı sayısal analiz yöntemleri (II. baskı) Doç. Dr.Eyüp Sabri TÜRKER

Araş. Gör. Engin CAN 3. Nümerik Analiz

Doç. Dr. Ömer AKIN

A.Ü.F.F. Ders Kitapları YAYINI (1998) 4. Sayısal Yöntemler ve Matlab Uygulamaları

Nurhan KARABOĞA(2012)