MUKAVEMET-1
Çözümlü Problemler
E D
C B
A
30N/m
3m
4m 6m F=100N
Çelik
Alüminyum 10 cm 100 MPa 100 MPa
40 MPa
40 MPa C
30o
50 MPa 50 MPa
Soru 1)
1000 mm boyundaki çubuk A ve B uçlarından iki rijit plakayla sabitlenmiştir. C noktasından P=4 kN luk kuvvet etkimektedir.
a) A ve B de doğacak reaksiyon kuvvetlerini hesaplayınız.
b) Sıcaklık 50o C arttırılırsa reaksiyon kuvvetleri ne olur hesaplayınız.
A1=500 mm2 , A2=250 mm2 E1=E2=2.105 N/mm2
α=1,2x10-6 1/oC
Çözüm:
RA+ RB=P=4000 N a) ∆L1-∆L2=0
N R
N R
R R
E A
L R E A
L R
B A
A A
A B
3429 ,
571
250 750 500
250 ) 4000 (
2 2
2 1
1 1
=
=
− =
⇒
=
b)
∆L1=∆L2
2 2
2 2
1 1
1 1
) (
) (
E A
L x L R
E T A
L x
TL + RB + = ∆ + A−
∆ α
α
5 6
5 6
10 . 2 . 250
750 ).
571 750 (
. 50 . 10 . 2 , 10 1
. 2 . 500
250 ).
3429 250 (
. 50 . 10 . 2 ,
1 − + +x = − + −x
x= 1714,7 N
Ay=RA+x By=RB-x
Ay=571+1714,7 By=3429-1714,7
B
250 mm
750 mm P
A1
A2
C
A
RB
RB
RA
RA
RA
x
RB
x
1000 mm boyundaki çubuk A ve B uçlarından iki rijit plakaya sabitlenmiştir.
C noktasından P=2 kN luk kuvvet etkimektedir.
a) A ve B de doğacak reaksiyon kuvvetlerini ve gerilmeleri hesaplayınız.
b) Sıcaklık 100 oC arttırılırsa meydana gelecek termik gerilmeleri hesaplayınız.
A1=500 mm2, A2=250 mm2, E1=2.105 N/mm2, E2=1.105 N/mm2 α1=1,6.10-6 1/oC, α2=1.10-6 1/oC
Çözüm:
N 2000 P
R
RA+ B = = a) ∆LAC =∆LCB
N 1142 R
, N 858 R
N 2000 R
3R 4
3R R 4
250 10 . 1
250 R 500 10 . 2
750 R E
A L R E A
L R
A B
B B
B A
5 B 5
A 2
2 2 B 1 1
1 A
=
=
⇒
= +
=
=
⇒
=
2 2
2 1
mm / N 43 . 250 3 858
mm / N 28 . 500 2 1142
=
=
=
=
σ σ
b)
∆L1=∆L2
2 2
2 2
2 1 1
1 1
1 A E
L L x
E T A
L L x
T − =α ∆ +
∆ α
250 750
100 ) 250 10 . 1 10 . 6 , 1 750 ( T ) L L
x (
6 6
2 2 1
1 = −
= α − α ∆ − −
A A1 P A2 B
750 mm 250 mm
C
Soru 3)
İç çapı 20 mm ve dış çapı 50 mm olan çelik boru içine çapı 20 mm olan bir bakır çubuk yerleştirilmiş üzerine rijit bir plaka oturtulmuş ve üzerinden P=2 kN luk kuvvet uygulanmıştır. Bu durumda meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız.
Eb=1.105 N/mm2, Eç=2.105 N/mm2
Çözüm:
b ç
b ç
L L
P P P
∆
=
∆
=
+
2 2
2
2 2
4 1650 ) 20 50 (
4 314 20
mm A
mm A
ç b
− =
=
=
= π π
b b
b b ç ç
ç ç
E A
L P E A
L
P =
N E
A E A P P
b b
ç ç
b 173
10 . 1 . 314
10 . 2 . 1 1650
2000
1 5
5 = +
= +
=
N E
A E A P P
ç ç
b b
ç 1827
10 . 2 1650
10 . 1 1 314
2000
1 5
5 =
+
= +
=
A MPa P
ç ç
ç 1,106
1650 1827 =
=
σ =
P
100 cm
φ20 mm φ50 mm
Ç Ç
döndürülerek çelik civata ve alüminyum boruda 50 kN’luk kuvvet oluşturuluyor. Daha sonra şekildeki görüldüğü gibi P=60 kN’luk dış kuvvet tatbik ediliyor. Cıvata ve alüminyum boruda her iki kuvvetten dolayı meydana gelen toplam gerilmeleri hesaplayınız.
Eal=0,6.105 N/mm2, Eç=2.105 N/mm2 Aal=100 mm2, dç=8 mm
Çözüm:
al ç
al ç
L L
kN P
P
∆
=
∆
=
+ 60
al ç
ç al al
al al ç ç
ç
P P
P P E
A L P E A
L P
6 5
10 . 6 , 0 100 10
. 2
25 5 5
=
=
⇒
=
kN P
kN P
N P
Pal al 60000 al 32,727 , ç 27,273 6
5 + = ⇒ = =
N P
N P
top al
top ç
17273 32727
50000 )
(
77273 27273
50000 )
(
−
= +
−
=
= +
=
ç 1537,3 MPa
64 77273
=
= π
σ al 172,73MPa
100 17273
−
=
− σ = 25 kN 50 kN 25 kN
25 kN 50 kN 25 kN
Çelik
Alüminyum 10 cm
P
Soru 5)
Başlangıçta boyları aynı olan alüminyum boru ile çelik civata bir somunla sıkıştırılıyor.
a) Somun 2 mm hareket ettiğine göre boru ve civatada meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız.
b) Civatanın ucundan P=1 kN luk bir kuvvet etki ettiğinde meydana gelecek gerilmeler nasıl değişir.
Eal=0,6.105 N/mm2, Eç=2.105 N/mm2 Aal=100 mm2, dç=8 mm
Çözüm:
2 2
265 , 4 50
8 mm
Aç =π =
N q
q q
E A
L q E
A L q
al al Ç ç
96 , 75187
10 2 . 6 , 0 . 100
100 10
. 2 . 265 , 50
100
2
5 5
=
= +
= +
al 751,87 MPa
100 96 , 75187
−
=
σ = ç 1495.83 MPa
265 , 50
96 , 75187
= σ =
b) p q MPa
al 761,8
100 1000 96
, 75187
100+ = + =−
σ =
p q MPa
ç 1515,72
265 , 50
1000 96
, 75187 265
,
50+ = + =
σ =
Çelik
Alüminyum 10 cm
P
çapı 20 mm olan bir bakır çubuk yerleştirilmiş üzerine rijit bir plaka oturtulmuş ve sistemin sıcaklığı
C T =100 o
∆ arttırılmıştır. Bu durumda bakır çubuk ile çelik boruyu aynı hizada tutacak P kuvveti ne olmalıdır.
Eb=1.105, Eç=2.105 , αç=12x10-6 1/oC, αb=16x10-6 1/oC
Çözüm:
t ç p
b t
b L L
L ) ( ) ( )
(∆ − ∆ = ∆
T E L
A L T P
L ç
b b
b ∆ − = α ∆
α
N P
E A
L T P
L
b b ç
b
37 , 12566 10
4 . 100 20 10 ).
12 16 (
) (
5 2
6 =
−
=
=
∆
−
− π
α α
100 cm
φ20 mm φ50 mm
Ç Ç
Soru 7)
200 mm boyundaki Aliminyum çubuk ile 300 mm boyundaki çelik çubuk şekilde görüldüğü gibi bir ucundan ankastre yapılmış diğer ucundan 0,5 mm lik boşluk bırakılmıştır. Sıcaklık 20 oC den 120 oC a çıkarıldığı zaman çubuklarda oluşan gerilmeleri hesaplayınız.
EAl=70 GPa, Eç=210 GPa , αç=12.10-6 1/oC, αAl=14.10-6 1/oC
Çözüm:
C T
T T
T
T L L
mm T
L T
L
o o
ç ç A A
ç ç A
A
125 , 3600 78
2800 10 . 5 , 20 0 10
).
300 12 200 14 (
5 , 0
5 , 0 )
(
5 , 0
6
6 ⇒ =
+ +
= + ⇒
=
−
=
∆ +
=
∆ +
∆
+
−
α α
α α
MPa T
EAl Al
Al = α ∆ =7.104 (14.10−6)(120−78,125)=41 σ
MPa T
Eç çl
ç = α ∆ =2.105 (12.10−6)(120−78,125)=105,5 σ
Al Çelik
200 mm 300 mm
0,5 mm
şekildeki gibi sıkıca birleştirilmiştir.
Tüm çubuklara homojen etkiyen sıcaklık 200 oC arttırıldığında çubuklarda oluşacak gerilmeleri hesaplayınız.
Eb=1.105 MPa, Eç=2.105 MPa αb=2.10-6 1/oC, αç=1.10-6 1/oC
Çözüm:
∆Lç=∆Lb
Ab=50 10=500 mm2 Aç=50 30=1500 mm2
b b b
ç ç
ç A E
L L P E T
A L L P
T + =α ∆ −
∆ α
N 8571 P
10 . 1 500
1 10
. 2 1500 P 1 200 10 ).
1 2 E (
A P E
A T P )
( 6 5 5
b b ç ç ç
b
=
+
=
−
⇒
+
=
−α ∆ −
α
40 mm
Bakır
Çelik
Çelik P/2
P/2 P P/2
P/2 P
Bakır
Çelik Çelik
50 mm 10 mm
Soru 9)
Çelik ve Alüminyumdan meydana gelmiş kompozit malzeme P yüküne maruzdur. Çelik ve Alüminyumda doğacak gerilmeleri hesaplayınız.
Eal=0,67.105 MPa, Eç=2.105 MPa Aal=300 mm2, Aç=200 mm2
Çözüm:
al ç
al
ç P P P P
P P
N 1000 P
−
=
⇒ +
=
=
al
ç L
L ∆
∆ =
N 335 P
, N 665 P
1 10 . 67 , 0 300
10 . 2 200 P 1000 E
A E A P
) P P ( E A
L P E A
L P
al ç
5 al 5
al al
ç ç al
al al
al al ç ç
ç
=
=
+
=
⇒
− =
⇒
=
MPa 325 , 200 3 665
ç = =
σ 1,116 MPa
300 335
al = =
σ P=1000 N
Çelik Alüminyum
Aç=200mm , Aal=300mm , Eç=2.10 N/mm , Eal=0.67.10 N/mm , P=1000N
Çelik
Alüminyum 500mm P
1 .
. . 1 .
. . .
1000
+
=
+
=
− =
=
−
=
=
∆
=
∆ +
=
a a
ç ç a
a a
ç ç a
a a
ç ç a
a
a a
a ç
ç ç
a ç
a ç
a ç
E A
E A P P
E A
E A P
P
E A
E A P
P P
E A
P E
A P
P p P
N P
l l
P P P
2 2 2
2
5 5
/ 116 , 300 1 335
/ 325 , 200 3 665
/ 665
/ 335 10 1
. 67 , 0 . 300
10 . 2 . 200
1000
mm N
mm N mm N P
mm N P
a ç ç a
=
=
=
=
=
= +
=
σ σ
Soru11) Verilen sistemde bakır halka çelik halka üzerine basınçsız
geçirilmiştir. MPa MPa
b
ç em
em =120 ,σ =50
σ olduğuna göre sistemin dayanabileceği P
basıncını hesaplayınız. tb =20mm,tç =10mm,Eç =2.105N/mm2,Eb =1.105N/mm2 D=400mm
Not: 12MPa’lık basıncı dayanamayacağı için 5MPa’lık basınç olmalıdır.
( )
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
x q
t E xD t
E D x q
D D
t E D xD
t E xD t
E D qD
b b ç
ç b ç
b b b
ç ç ç ç ç
=
− =
∆
=
∆
=
∆
−
=
∆
( )
MPa q
t xD
mm N q
q
em b b
b ç
5 2
/ 12
10 120 . 2 2400
1
2 2
=
≤
=
=
=
=
σ σ
σ Çelik Bakır
P
C mm
t mm N E
C mm
t mm N E
b b
b
ç ç
ç
0 6 2
5
0 6 2
5
/ 1 10 . 16 ...
40 ...
/ 10 . 1
/ 1 10 . 12 ...
20 ...
/ 10 . 2
−
−
=
=
=
=
=
=
α α
D
Çelik Bakır
( )
2 2
2
5 5
6 2
2
/ 20 40
. 2
1000 . 6 , 1 . 2
.
/ 40 20
. 2
1000 . 6 , 1 . 2
/ 6 , 1 10 ) . 2 . 20
1 10
. 1 . 40 ( 1 1000
10 . 100 . 12 16 2 .
1 .
1 ) (
2
2 2
mm t N
D x
mm t N
xD
mm N E
t E D t x T
D D
E t T xD D D
E t T xD D
D
ç ç
b b
ç ç b b
ç b
ç b
ç b ç
ç
b b b
b
=
=
=
=
=
=
= +
= −
+
∆
= −
∆
=
∆
+
∆
=
∆
−
∆
=
∆
−
σ σ
α α
α α
Soru 13) 1000 mm boyundaki çubuk A ve B uçlarından iki rijit plakaya sabitlenmiştir. C noktasından P= 2 kN’luk kuvvet etkimektedir. A ve B’ de doğacak reaksiyon kuvvetlerini hesaplayınız. A1=500 mm2, A2=250 mm2, E1=E2=2.105N/mm2
RB RA
RA+RB=P
RA RA
250mm 750mm
A A1 P A2 B
P
RB=P-RA
N R
N R
R P R
R P R
R P R
E A
L R
B A
A A
A A
A A
i i
i i
1200 800
2 2 3
0 ) 2 (
3
10 0 . 2 . 250
250 ).
( 10 . 2 . 500
750 .
. 0 .
5 5
=
=
−
=
=
− +
−
− =
=
=
=
∑
δ
ve çelikte oluşacak kuvvetleri hesaplayınız. Eb= 1.10 N/mm,Eç=2.10 N/mm ,αç=1.10 1/ C, αb=1,5.10-61/0C Verilmeyen ölçüler mm’dir.
20 10 10
Bakır Çelik
500mm P
2 2
2 2
4 ) 20 ( 4
) 40 ( 4 314 927 2573
) (
A
D mm A
N P
N P
P P P
E t A
P E
A P
E A
l t P E l
A l t P l
l l l
l l
P P P
b ç b ç
ç b
ç b b b
b ç ç
ç
b b
b b b
b ç ç
ç ç ç
ç b ç
b ç
b ç
−
=
=
=
=
=
−
=
∆
−
= +
−
∆
= +
∆
=
=
∆
=
∆ +
=
π π
π
α α α α
Soru 15) Biri bakır diğeri çelik iki çubuk 200C’de birbirine kaynatılmıştır. Sıcaklık 1000C’ye çıkartıldığında çubuklarda meydana gelecek gerilmeleri hesaplayınız.
Eb= 1.105 N/mm2,Eç=2.105N/mm2,αç=12.10-61/0C, αb=16.10-61/0C
( )
kN x
E A E A x t
E A
l t x E l
A l t x l
ç ç b b
ç b
ç ç ç
ç b b b
b
16 10 . 160
10 . 1
1 10
. 1
1
80 . 10 . 4 1
1
. . .
. . .
2
8 8
6
=
=
+
=
+
∆
= −
+
∆
=
−
∆ α −
α
α α
2 2
/ 1000 16
16000
/ 500 32
16000
mm N
mm N
b ç
=
=
=
=
σ σ x
20mm 10mm
L 50mm
Çelik Bakır
x x
x
200mm boyundaki alüminyumdan (Al) yapılmış çubuk ile 300mm boyundaki çelik çubuk (Fe) şekilde görüldüğü gibi bir ucundan 0,6mm lik boşluk bırakılmıştır.
Sıcaklık 30oC’den 150oC’ye çıkarıldığı zaman çubuklarda oluşacak gerilmeleri hesaplayınız.
αAl=14.10-6 1/C αFe=12.10-6 1/C EAl=70GPa EFe=210GPa
2 6 3
2
6 3
6
6 0 6
/ 15 , 66
) 75 , 123 150 .(
10 . 12 . 10 . 210
/ 72 , 25
) 75 , 123 150 .(
10 . 14 . 10 . 70 .
. 75 , 123
75 , 93 ) 30
300 . 12 200 . 14 (
10 . 6 , 30 0
) 300 . 10 . 12 200 . 10 . 14 (
6 , 0
6 , 0 ).
. .
(
6 , 0 . . .
.
mm N
mm N
T E
C T
T T T
T l l
T l T l
çel çel Al
A A Al
o Ç Ç A A
Ç Ç A
A
=
−
=
=
−
=
∆
=
=
+ + =
+
=
= +
−
=
∆ +
=
∆ +
∆
−
−
−
−
σ σ σ
α σ
α α
α α
200 300 0,6
Al Fe
Soru 17)
Verilen sistemde AC ve BC çubuklarında doğan gerilmeleri ve çubukların şekil değiştirme miktarlarını hesaplayınız.
DBC=10mm DAC=20mm P=3000N E=200GPa
k=20kN/mm P
A C
B 500mm
200mm
Fyay=
P
A C
B
RA
ABC=78,54mm2 AAC=314,16mm2
N F
F F
F
E A
l F P E A
l F k F
L L
L L
F P R
F
yay
yay yay
yay
AC AC yay BC
BC yay yay
AC BC
sistem yay
yay A
y
227 , 447
10 . 200 . 16 , 314
200 ).
3000 ( 10 . 200 . 54 , 78
500 . 10
. 20
. ).
( . . 0
3 3
3
=
⇒
+ −
=
+ −
=
∆ +
∆
=
∆
=
∆
−
=
= Σ
E mm A
l F l P
E mm A
l l F
mm A N
F P
mm A N
F
AC AC yay AC
BC BC yay BC
AC yay AC
BC yay BC
3 3
2 2
10 . 125 , . 8
).
(
0142 , 10 0 . 200 . 54 , 78
500 . 227 , 447 .
.
/ 1257 , 16 8
, 314
227 , 447 ) 3000
(
/ 6942 , 54 5 , 78
227 , 447
= −
= −
∆
=
=
=
∆
− =
− =
=
=
=
=
σ σ
Şekilde görülen biri tb=15mm olan bakır diğeri tç=10mm olan çelik iki boru iç içe geçirilerek Δt=150oC ye kadar ısıtılırsa bakır ve çelik borularda meydana gelecek gerilmeleri hesaplayınız.
αb=16.10-6 (1/C) αç=12.10-6 (1/C) Eb=100GPa Eç=200GPa tb=15mm tç=10mm Bakır daha çok genleşir ve bakır içte olduğu için basınç oluşur.
⇒
∆
=
∆
+
∆
∆
=
∆
−
∆
∆
=
∆
ç b
ç ç ç
ç
b b b
b
D D
E t
D t x D
E t
D t x D
. . 2 . .
. . 2 . .
2 2
α α
2 .
/ 5 , 51 5
, 10 51
. 2
100 . 3 , 10 .
2 .
33 , 15 34
. 2
100 . 3 , 10 .
2 . 3 , 10
) . .
.(
).
. ).(
. ).(
. .(
2
mm N t MPa
D x
t MPa D x
MPa x
E t E t D
t E
t E x t
ç ç
b b
b b ç ç
ç b ç ç b b
=
=
=
=
=
=
=
=
+
= ∆
σ σ
α α
Bakır Çelik
x
x
x x
ΔD=Δα.Δt ΔD=P.D2/(2.E.t)
Bakır Çelik
D=100mm
'
Soru 19)
Verilen sistemde yay katsayısı 200N/m ve yayın maksimum 0,5mm çökmesine müsaade edildiğine göre BC çubuğunda meydana gelen gerilmeyi ve E noktasındaki çökmeyi hesaplayınız.
(Not:AE çubuğun rijitlik katsayısı)
BC çubuğu için; S0=400mm2, E=70GPa, l=500mm
mm N F F
E S
l F
E E yay
BC BC
BC BC yay
833 , 3 0
5
3 9333 5 , 0 10 . 70 . 400
500 .
3 5 , 0 .
. 3 1
3
=
→
=
=
→
=
=
⇒
=
δ δ δ δ δ
1m 2m 2m 5k
B D E
A
C
Verilen cıvatalı bağlantıda;
a) Cıvatadaki kayma gerilmesini,
b) Levhadaki ve çataldaki normal gerilmeyi
hesaplayınız.
a) N mm vida
r S
F
C 221,16 / ,
6 . . 2 50000 .
. 2
50 .
2
2 2
2 = =
=
= π π
τ
b) N mm levha
S F
C 40 / ,
5 . 250
50000 2
=
= σ =
çatal mm
S N F
çatal 21 / ,
) 12 . 5 5 . 250 (
25000 2
− =
= σ =
LEVHA
CİVATA M12
ÇATAL
50kN
50kN
250mm
5mm
5mm
Soru 21)
d=10mm olan cıvata yeterince sıkıştırıldıktan sonra çapında δd=0,0001mm bir küçülme olduğu ölçülüyor. Cıvata malzemesinin mekanik özellikleri bilindiğine göre cıvata boyundaki uzamadan dolayı cıvatada meydana gelen gerilmeyi hesaplayınız.
v=0,25
E=2×105N/mm2
2 5 2
5 5
5 5
5
/ 8
)) 0 .(
25 , 0 0 10 .(
. 2
1 10
0001 , 0
)) .(
1.(
: .
/ 8
10 . 4 . 10 . 2 .
10 . 25 4
, 0 10 10 10
0001 , 0 : .
mm N
E d
d yol II
mm N r
E r
D d yol I
z
z z y x
x l
l l
l r
l l
r r
=
⇒
+
−
=
+
−
=
=
=
=
=
=
⇒
=
=
⇒
=
=
=
=
−
− −
−
σ
σ σ σ ν δ σ
ε ε
υ ε ε ε ε υ
ε ε δ
100m Φd
ABCD rijit çubuğun C ve B noktaları Al ve Cu çubuklarla sabitlenmiştir. Bu durumda Al çubuktaki gerilmeler ile A noktasındaki çökmeyi hesaplayınız.
SAl=200mm2 SCu=300mm2 EAl=70GPa ECu=100GPa
a) 200 300
cu
Al δ
δ =
2 0
/ 12 , 200 7
1 , 1425
7 , 3049 1
, 1425
12000 )
. 14 , 2 .(
3 . 2
12000 .
3 . 2
400 . 3000 300
. 200 .
0
) 1 ....(
...
...
...
...
...
14 , 2
300 140
1000 . 100 . 300 . 300
300 . 1000
. 70 . 200 . 200
200 .
mm N
N F
N F
F F
F F
F F
M
F F
F F
F F
Al
cu Al
Al Al
cu Al
cu Al
cu Al
cu Al
cu Al
=
=
=
=
= +
= +
= +
= Σ
=
=
=
σ
F=3k Al
Cu
200mm 300mm
200mm 100mm 100mm
D C B A
F=3k FAl FCu
200mm 100mm 100mm
D C B A
RDx
RDy
Soru 23)
E noktasından bir pimle mafsallanmış CDErijit kirişi D noktasından çapı 30mm olan prinç BD çubuğu ile desteklenmiştir. C noktasında ise bir delik açılmış ve şekilde görüldüğü gibi uç kısmında vida dişi bulunan AC çubuğu bu delikten geçirilerek bir somunla tutturulmuştur. Sistem oda sıcaklığında (20oC) gerilmesiz olduğuna göre pirinç çubuğun sıcaklığı 50oC’ye kadar ısıtılırsa bu çubukta hasıl olan gerilmeyi hesaplayınız.
MPa N F
sek çe
i F
F F
E A
L t F
E L A
L F
BD BD
p p
p p
p ç ç
ç
6 , 105
85 , 706
74636 74636
; ker '
10 . 105 . 85 , 706
10 . 3 , 0 . . 3 , 0 ) 1 20 50 ( 10 . 8 , 18 . 310 , 10 0 . 200 . 13 , 380
10 . 9 , 0 .
. . . 3 . 0 . 1 . .
. . 75 , 0
1
3 3 6
3 3
3
=
=
=
+
−
=
+
∆
=
−
σ σ
α
Φ22mm
0,3m
0,9m
0,3m 0,45
B C
D E
A
EP=105GPa αÇ=12.10-6 αP=18,8.10-6 EÇ=200GPa
Bir ABCD rijit kirişi şekilde görüldüğü gibi B noktasından mafsallanıp A noktasına tatbik edilen 32kN’luk kuvveti dengelemek üzere kirişin C ve D noktalarından sırayla 10mm çaplı CE çubuğu ve 15mm çaplı DF çubuğu bağlanmıştır. Bu çubuklar elastisite modülü E=70GPa olan alüminyumdan imal edildiğine göre;
a) çubuklarda oluşan kuvvetleri
b) A noktasındaki çökmeyi hesaplayınız.
kN F
kN F
F kN
F F
kN F F
F F
en Benzerlikt
CE A
CE A DF CE
CE
CE CE
DF CE
DF CE
DF CE DF
CE
) 3 ...(
...
...
300 . 450 300
450 24 8
18 144
15 .
3 144
) 2 ...(
...
...
...
...
...
...
. 3
10 . 70 4 .
) 015 , 0 .(
. 5
75 , 0 . 10
. 70 4 .
) 01 , 0 .(
. 3
6 , 0 .
5 3 500
300
;
3 2
3 2
=
⇒
=
=
=
=
+
=
⇒
=
=
=
→
=
δ δ δ
δ
π π
δ δ δδ
450
300 200 δA
δDF
δCE
A B C D
E F
600mm 750mm
32kN
450mm 300mm 200mm
) 1 ..(
...
...
...
. 5 . 3 144
500 . 300 . 450 . 32
0
DF CE
DF CE
B
F F
kN
F F
M
+
=
+
=
= Σ
Soru 25)
Uzunlukları ve kesit alanları eşit çubuklardan oluşan sistem görülmektedir. Çubukların mesnetlendiği duvarın rijit olduğu kabul edilerek sıcaklığın Δt kadar artması halinde çubuklarda oluşacak gerilmeleri hesaplayınız.
b ç
b ç ç b
ç ç
ç ç
ç b
b b b
b ç b
ç b
E E
E E T
A x
E A
l T x E l
A l T x l
l l
l l
+ +
= ∆
=
∆ +
−
=
∆ −
∆
=
∆
∆
= ∆
. 2
. ).
. 2 .(
. . .
. . . .
. 2
. 2
60 cos
α σ α
σ
α α
A
B C
D çeli
bakır bakır 120
120
a) Asal gerilmeleri ve düzlemlerini b) C düzleminde meydana gelen
gerilmeleri hesaplayınız.
Çözüm:
o
o 22,5
45 2
100 1 2 . tan 50
=
⇒
=
=
= α α
α
a)
MPa 71 , 120 50 71 , 70 OM R
MPa 71 , 20 50 71 , 70 OM R
max min
= +
= +
=
−
= +
−
= +
−
= σ σ
100 MPa 100 MPa
50 MPa
50 MPa C
30o
MPa R
OM
xy y
x y x
71 , 70 2 50
100 2
2 50 100 2
2 2 2
2
=
+
=
+
−
=
= + =
=
σ τ σ
σ σ
2α
75o
a (100,50)
b (0,-50) C
M σmax σ
σmin
τ
O
Soru 28)
Gerilme durumu verilen elemanda a) Asal gerilmeleri ve düzlemlerini b) C düzleminde meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız.
Çözüm:
0 100
3 , 43 60 50
25 60 50 50
min max
=
=
=
=
=
−
=
σ σ τ σ
MPa
MPa Sin
MPa Cos
C C
100 N/mm2
C 30o 100 N/mm2
60o σ
σmax=100 MPa
τ
b σC a
a) Asal gerilmeleri ve düzlemlerini
b) C düzleminde meydana gelen normal ve kayma gerilmeleri hesaplayınız.
Çözüm:
a (-100,40) , b(50,-40)
(
25,0)
OM , 0 2 ,
OM x y −
σ +σ
MPa r
r x y xy
85 2 40
50 100
2
2 2
2 2
=
+
− −
=
+
−
= σ σ τ
a)
MPa 110
MPa 60
85 25 r 2 OM
2
min max
2 xy 2 y x y
x min max,
−
=
=
±
−
=
±
=
+
− + ±
= σ
σ
σ τ σ σ
σ σ
MPa 85
MPa 85
r
min max
min max,
−
=
=
±
= τ
τ τ
40 2τ 2
30o σ
τ
b a
σmin
c τC
τmin τmax
M O
100 MPa 100 MPa
40 MPa
40 MPa C
30o
50 MPa 50 MPa
Soru 30) a) Verilen sistemde asal gerilme ve düzlemlerini bulunuz.
b) C’de meydana gelen normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız.
Çözüm:
a (150,75) , b(-60,-75)
0,714
60 150
75 2 2
2 tan
y x
xy =
= +
= − σ σ α τ
2α =35,5o ⇒α =18o
45
2 60 OM 150
, 0 2 ,
OM x y = − =
σ +σ
MPa 129 2 75
60
R 150 2
2
=
+
+
=
MPa 84 129 45
MPa 174 129 45 R OM
min max
−
=
−
=
= +
= +
= σ σ
MPa Sin
R
MPa Cos
R OM
C C
104 54
8 , 120 54
−
=
−
=
= +
= τ σ
σx=150 N/mm2
σy=60 N/mm2
C 450
τxy=75 N/mm2
α=36o σ
τ
b
a
σmin
c τC τmin
τmax
M O 54o
a) Asal gerilme ve düzlemlerini
b) C düzleminde meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız.
Çözüm:
a (-120,60) , b(80,-60)
2 20 80 , 120
0
2 , = − + =−
+
OM OM σx σy
MPa R
R x y xy
62 , 116 2 60
80 120
2
2 2
2 2
=
+
− −
=
+
+
= σ σ τ
48o
, 15 96
, 30 2
2 80 120 2 60
tan α = − − ⇒ α = ⇒ α =
MPa MPa R
OM
62 , 136 20
62 , 116
62 , 96 20 62 , 116
min max
−
=
−
−
=
=
−
= +
= σ σ
120 MPa 60 MPa
C 37o
43,04o
σ
τ
b a
σmin
c τC
τmin τmax
M O
2α
Soru 32) a) Verilen sistemden asal gerilmeleri ve düzlemlerini bulnuz.
b) C’de meydana gelen normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız.
Çözüm:
A (150,75) B (-60,-75)
/ 2
75N mm
xy = τ c
b 450
a
/ 2
150N mm
x = σ
/ 2
60N mm
y = σ
45 2
60 150
2
=
= −
= +
OM OM
OM σx σy
o
tg
18 5 . 35 2
60 150
75 . 2 2
=
== + α
α α
min
2 max
max max
129 45
/ 174
129 45
mm N
R OM
−
=
= +
= +
=
σ σ σ σ
2 2
2 2
/ 8 . 120 54 cos / 129
2 75 60 150
mm N R
OM mm N R
R
c = + =
=
+
+
= σ α
η
σ
b C
a
O M
ηc
360
α = 54o
Gerilme durumu verilen elemanda a) Asal gerilmeleri ve düzlemlerini;
b) C düzleminde meydana gelen gerilmeleri
hesaplayınız.
Çözüm:
100N/mm2
30o C
100N/mm2
60o
σc a
b
2 max =100N/mm σ
0 / 100
/ 3 . 43 60 sin 50
/ 25 60 cos 50 50
min
2 max
2 2
=
=
=
=
=
−
=
σ σ η σ
mm N
mm N
mm N
c c
Soru 34)
Gerilme durumu verilen elemanda a) Asal gerilmeleri ve düzlemlerini
b) C düzleminde meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız
Çözüm:
a) 120MPa
60MPa
37o c 80MPa
A(-120,60)
c
B (80,-60) 2 α
M
43,04o
o y x
y x
tg
MPa R
OM
48 , 15
96 , 30 2
80 120 2 60
62 , 116 2 60
80 120 2
2 20 80 120 2
2 2 2
2
=
− =
= −
=
+
− −
=
+
−
=
− + =
= −
= +
α α
σ η σ
σ σ
MPa MPa 62
, 96 20 62 , 116
62 , 136 20
62 , 116
max min
=
−
=
−
=
−
−
= σ σ
max. ve min. değerlerini bulunuz.
Çözüm:
o o
y x
xy
xy y
x y x
tg R
MPa OM
6 , 40 2
*
*
*
* 30 , 20 37
, ) 0 60 ( 100
30 . . 2
2 2
86 30 80 2 30
) 60 ( 100 2
2 20 40 2
) 60 ( 100 2
2 2 2
2 2
2
=
=
−
− =
− −
− =
−
=
= +
=
+
− −
=
+
−
=
=
− =
= +
= +
α σ α
σ α τ
σ τ σ
σ σ
MPa R
OM
MPa R
OM
66 86 20
106 86 20
min max
−
=
−
=
−
=
= +
= +
= σ σ
MPa
MPa R
OM
C C
56 , 78 66 sin . 86
97 , 14 66 cos .
=
=
−
= +
−
= τ σ
37o
100MPa
60MPa 30MPa 30MPa
σ σ
C
b (-60;-30)
a (100;30)
M
