BEKLEME HATTI MODELLERİ

BEKLEME HATTI MODELLERİ

Günlük yaşamımızda, kuyrukta bekleyen insanlar ve araçlar ile her zaman karşılaşırız. Bunlar arasında

 Maça gitmek için bilet kuyruğu,

 Sinema kuyruğu,

 Hastanelerdeki hasta kuyruğu,

 Bankalarda işlem kuyruğu,

 Mağazalarda kasiyer kuyruğu

 Dolmuş kuyruğunu,

 Belirli saatlerde araç kuyruğu,

 Trafik ışığı kuyruğu,

 Yemekhanelerde yemek kuyruğu

sayabiliriz. Sözü edilen bu kuyrukların oluşumundaki tek neden hizmet için gelen müşteri istemlerinin anında karşılanamamasıdır. Böylece kuyruk, sınırlı bir hizmet nedeniyle geciken bir bekleme dizisi (hattı) durumudur.

Aynı durumla üretim sürecinde de karşılaşılır.

 Arızalı makinelerin onarım beklemesi,

 Tüketicilerin mal beklemesi,

 Montaj hattında parçaların montaj beklemesi,

 Kontrol için parçaların kalite kontrol laboratuarında beklemesi,

 İşletmeye başvuruların cevap beklemesi, bu konudaki bazı örneklerdir.

Yöneylem araştırması veya yönetim biliminde bekleme hattı, kuyruk olarak adlandırılır. Kuyruk kuramı yöneylem araştırmasının geniş uygulama alanlarından birini kapsar. Kuyruk Teorisiyle ilgili ilk çalışma 1909 yılında Danimarkalı mühendis Karl Erlang tarafından yapılmıştır.

Günümüzde işletmelerin en önemli sorunlarından birisi müşterilerine etkin bir servis sistemi sunamamaktır. Bekleme hattı modelleri bu konuda yöneticilere oldukça yararlı olabilmektedir.

Hizmet için gelen müşteriler istemlerinin biran önce karşılanmasını isterler.

Çünkü müşteriler fazla beklediklerinde psikolojik olarak etkilendikleri gibi zamanlarını da boşa harcadıklarını düşünürler. Bu durumda da müşteriler gereğinden fazla bekletildiği için büyük bir olasılıkla, işletme müşterilerinin birçoğunu kaybedecektir. Yönetici, müşterilerin bekleme zamanını en düşük düzeyde tutmak için müşterilere hizmet veren personelin sayısını arttırması gerekir. Ancak fazla sayıda personel kullanımı da işletmeye ek maliyetler getirir. Bu durumda yönetici servis maliyetlerinin düşük olmasını, servis niteliğinin yükseltmesini ve de müşterilerin bekleme zamanını da en düşük düzeyde tutmayı amaçlar.

Böylece ortaya işletmenin yararları ile müşterilerin yararlarını fazla çatıştırmayan bir ekonomik dengeye ulaşma sorunu ile karşılaşır. İşte bu ekonomik denge yani bir anlamda müşterilere en iyi ve etkin servis sağlama ancak bekleme hattı modelleri ile gerçekleştirilir.

KUYRUK SİSTEMLERİ

Kuyruk sistemi; servis için gelen, servis olanağı hazır değilse bir süre bekleyen, sıra kendisine geldiğinde servis görüp ayrılan müşterilerin oluşturduğu bir sistem olarak tanımlanabilir. Burada müşteriler, işlerinin görülmesi için servis sistemine gelen, araçlar, kişiler, gereçler, hammadde ve makinelerdir.

Kuyruk sistemlerinin temel yapısı 3 elemandan meydana gelmektedir:

 Müşteri veya hizmet bekleyen topluluk

 Bekleme Hattı(Kuyruk)

 Servis Mekanizması(İstasyonu)

Müşteri veya Hizmet Bekleyen

Topluluk Kuyruk Servis

Mekanizması

Ayrılan Müşteri

KUYRUK SİSTEMİNİN BİLEŞENLERİ

 Varış prosesi (Varışlar, Geliş özellikleri, Geliş Hızı)

 Servis prosesi (Hizmet, Servis Oranı, Servis Hızı)

 Kuyruk disiplini (Öncelik, Servis Disiplini)

Varış Prosesi (Varışlar, Geliş Özelikleri, Geliş Hızı) (ʎ) :

Müşterilerin sisteme geliş modelini tanımlar. Varış prosesi, müşterilerin varışlar arası zamanları ile karakterize edilir. Varışlar, sabit zamanlarda ya da rassal zamanlarda tek kişi veya gruplar halinde olabilir. Varışlar rassal zamanlarda oluyorsa, varışlar arası zaman bir dağılım ile modellenir.

Servis Prosesi (Hizmet, Servis Oranı, Servis Hızı) (µ) :

Servis prosesi, servis sayısı ve servis zamanı dağılımı ile karakterize edilir.

Her servis kendisine ait bir kuyruğa veya tüm servisleri besleyen ortak (tek) bir kuyruğa sahip olabilir.

Kuyruk Disiplini (Öncelik, Servis Disiplini):

Servis istasyonunun, servis için müşteri seçiminde koyduğu ve uyguladığı politikalara servis disiplini denir. Dört tip servis disiplininden söz edilebilir.

FIFO(İlk giren ilk çıkar), LIFO (Son giren ilk çıkar), Rastgele Seçim ve Öncelikli Seçim’dir. Aksi belirtilmedikçe, FIFO kullanılır.

KUYRUK SİSTEMİ ÇEŞİTLERİ

Çeşitli kuyruk sistemleri vardır.

 Tek kuyruk-tek servis sistemi

 Tek kuyruk-paralel çoklu servis sistemi

 Tek kuyruk-seri çoklu servis sistemi

 Çoklu kuyruk-paralel çoklu servis sistemi

KENDALL-LEE-TAHA Simgesi



   





Kuyruk veya



Bekleme hattı

Servis Olanakları olanağı Kuyruk Sistemi

Müşteri Kaynağı

Ayrılan Müşteri

Tek Kuyruk- Tek Servis Sistemi Gelen

Müşteriler



 

 





Kuyruk veya



Bekleme hattı

Servis Olanakları1 Kuyruk Sistemi

Müşteri Kaynağı

Ayrılan Müşteri

Tek Kuyruk- Paralel Çoklu Servis Sistemi Gelen

Müşteriler

Servis Olanakları2 Servis Olanakların



 

 





Kuyruk veya



Bekleme Hattı

Servis 1 Kuyruk Sistemi

Müşteri Kaynağı

Ayrılan Müşteri

Tek Kuyruk- Seri Çoklu Servis Sistemi Gelen

Müşteriler

Servis 2 Servis n



   











Servis Olanakları1 Kuyruk Sistemi

Müşteri Kaynağı

Ayrılan Müşteri

Çoklu Kuyruk- Paralel Çoklu Servis Sistemi Gelen

Müşteriler

Servis Olanakları2 Servis Olanakların

Kuyruk problemlerinde, kuyruk sisteminin bileşenlerini kısaca simgelerle ifade etmek amacıyla Kendall, Lee ve Taha tarafından bazı simgeler geliştirilmiştir.

(a/b/c) : (d/e/f)

Bu gösterimde yer alan harflerin anlamları aşağıdaki gibidir:

a: Gelişler yada gelişler arası zaman dağılımı b: Servis süresi dağılımı

c: Sistemdeki paralel servis kanallarının sayısı d: Kuyruk disiplini (FIFO,LIFO.,....)

e: Sistem kapasitesi (sisteme alınacak müşteri sayısı)(sonlu ya da sonsuz)

f: Geliş kaynağının büyüklüğü (sonlu ya da sonsuz)

Bu simgeler yerine yaygın olarak kullanılan standart değerler aşağıdaki gibidir:

a ve b simgeleri yerine:

M: Poisson geliş ve ayrılış dağılımları (gelişler arası sürenin ya da servis süresinin üstel olması ile aynı anlamdadır.).

D: Deterministik -sabit gelişler arası süre ya da servis süresi.

GI: Gelişler arası sürenin genel dağılımı G: Hizmet süresinin genel dağılımı

c simgesi yerine:

Sistemdeki paralel servis kanalı sayısını ifade eden pozitif bir sayı yazılır.

d simgesi yerine:

FIFO, LIFO gibi kuyruk disiplinlerinden bir tanesi yazılır.

e simgesi yerine:

Sistemde izin verilen maksimum eleman sayısı yani sistem kapasitesini gösteren bir değer yazılır. Sistem kapasitesinin sonlu olması durumunda bu simgenin yerine pozitif bir tam sayı, sonsuz olması durumunda ise, sonsuz değeri yazılır.

f simgesi yerine:

Geliş kaynağının eleman sayısının sonlu ya da sonsuz olmasına bağlı olarak, pozitif bir tam sayı ya da sonsuz değeri yazılır.

Örneğin,

(M/M/3) : (FIFO/40/∞)

 Poisson dağılımlı,

 Poisson servis zaman dağılımlı,

 üç kanallı,

 İlk giren-ilk çıkar servis disiplinli,

 En fazla 40 müşterinin sisteme alınabileceği,

 Sonsuz kaynaklı bir sıra

bekleme sistemini temsil etmektedir.

Kararlılık Durumu Performans Ölçütleri

Kuyruk sistemlerinde en sıklıkta kullanılan performans ölçütleri aşağıdaki gibi tanımlanır:

P0= Sistemde müşteri olmama olasılığı,

Pn= Sistemde “n” müşteri olma olasılığı ( n=1,2,3,...N)

Pw= Varış yapan müşterin hizmet almak için bekleme olasılığı, ρ = Hizmet hattının kullanım hızı (hatların meşguliyet oranı, %), Ls = sistemde beklenen (kuyrukta + serviste) müşteri sayısı, Lq = kuyrukta beklenen müşteri sayısı,

Ws= sistemde beklenen bekleme (kuyrukta + serviste) süresi, Wq= kuyrukta beklenen bekleme süresi,

C = meşgul hizmet verenlerin beklenen sayısı.

Bu ölçütler doğrudan veya dolaylı olarak denge durumunda sistemde n müşteri bulunma olasılığı Pn den türetilir.

𝐿

= ∑ 𝑛𝑃

∞

𝑛=1

𝐿

= ∑ (𝑛 − 𝑐)𝑃

∞

𝑛=𝑐+1

Ls ve Ws arasındaki ilişki ile Lq ve Wq arasındaki ilişki Little’ın formülü (Little’s formula) olarak isimlendirilir.

𝐿

= 𝜆

𝑊

𝐿

= 𝜆

𝑊

Gelen müşterilerin hepsi kuyruk sistemine katılabilirse λeff (etkin geliş hızı) λeff = λ’dir.

Sistemin dolu olması nedeniyle gelen müşterilerin hepsi sisteme katılamıyorsa λeff < λ dir.

Ws ve Wq arasındaki ilişki ise aşağıdaki gibi yazılır:

Sistemdeki Beklenen Kuyruktaki Beklenen Beklenen Bekleme Süresi = Bekleme Süresi + Servis Süresi

𝑊

= 𝑊

+ 1 𝜇

eşitliğin her iki tarafı λeff ile çarpılırsa:

𝐿

= 𝐿

+ 𝜆

𝜇

Sistemdeki beklenen müşteri sayısı ve kuyruktaki beklenen müşteri sayısı arasındaki fark meşgul hizmet verenlerin beklenen sayısına eşittir.

𝑐̅ = 𝐿

− 𝐿

= 𝜆

𝜇

𝑯𝒊𝒛𝒎𝒆𝒕 𝒗𝒆𝒓𝒆𝒏𝒍𝒆𝒓𝒊𝒏 𝒌𝒖𝒍𝒍𝒂𝒏𝚤𝒎𝚤 = 𝒄̅

𝒄

1. (M / M / 1) : (GD / ∞/ ∞) KUYRUK SİSTEMİ

Tek Kanallı-Sonsuz Geliş Kaynaklı-Sonsuz Sistem Kapasiteli Kuyruk Modeli

Özellikleri:

 Poisson gelişli

 Poisson ayrılışlı

 Tek kanallı

 Genel servis disiplinli (İlk giren ilk çıkar disiplinli)

 Sonsuz sistem kapasiteli

 Sonsuz geliş kaynaklı Bu modelde,

 Geliş hızı = λ(ünite/birim zaman) (zaman birimi başına müşterilerin kuyruk sistemine geliş sayısı)

 Servis hızı = μ(ünite/birim zaman) (birim zamanda hizmet sunulabilen ortalama müşteri sayısı)

Sistem kullanım faktörü (ρ (ro)), sistemin meşgul olma olasılığının yani bir anlamda, hizmet veren kişi veya sistemin müşteriye harcadığı zamana oranıdır. Yani, ρ= λ/ μ dir. Trafik sıklığı olarak da ifade edilir.

ρ< 1 (yani λ < μ ) olmak üzere aşağıdaki bağıntılar geçerlidir:

(Gelen müşterilerin hepsi sisteme katılabildiğinden bu modelde λeff=λ dir.)

1. Servis verenin boş kalma süresinin oranı:

Po = 1 – ρ

2. Sistemde n birim müşteri bulunma olasılığı:

Pn = (1 – ρ) ρ

n=1,2,3,...

3. Sistemde n veya daha fazla birimin bulunma olasılığı:

Pn = ρ

4. Sistemdeki ortalama müşteri sayısı (Ls)

𝐿

= 𝜌

1 − 𝜌 = 𝜆

𝜇 − 𝜆 = 𝐿

+ 𝜌 = 𝐿

𝜌 = 𝜆𝑊

5. Ortalama (beklenen) kuyruktaki müşteri sayısı veya ortalama kuyruk uzunluğu

𝐿

= 𝜆

𝜇 − 𝜆 − 𝜆

𝜇 = 𝜆

𝜇(𝜇 − 𝜆) = 𝜌

1 − 𝜌 = 𝐿

− 𝜌 = 𝜆𝑊

6. Servis, ilk gelen ilk hizmet görür kuralına göre verilirse, yeni gelen müşterinin beklenen bekleme süresi yani müşterinin kuyrukta harcadığı ortalama zamanı

𝑊

= 𝜌

𝜇 − 𝜆 = 𝜆

𝜇(𝜇 − 𝜆) = 𝑊

− 1

𝜇 = 𝐿

𝜆 = 𝐿

𝜇

7. Kuyruk sisteminde müşterilerin harcadığı ortalama zaman

𝑊

= 1

𝜇 − 𝜆 = 𝑊

+ 1

𝜇 = 𝐿

𝜆 = 𝐿

+ 1 𝜇

ÖRNEK:

Tek kanallı bir sisteme her 6 dakikada 1 müşteri hizmet istemi ile gelmektedir. Sistemde müşteri başına ortalama servis zamanı 5 dakika olduğuna göre belirtilen varsayımların geçerliliği durumunda

1. Sistemde olması beklenen müşteri sayısı (Ls) :

𝜆 = 1

6 = 0,1666 𝑑𝑎𝑘𝑖𝑘𝑎𝑑𝑎 𝑔𝑒𝑙𝑖ş 𝑜𝑟𝑎𝑛𝚤

ya da

𝜆 = 1

6 60 = 10 𝑠𝑎𝑎𝑡𝑡𝑒 𝑚üş𝑡𝑒𝑟𝑖 𝑔𝑒𝑙𝑖ş 𝑜𝑟𝑎𝑛𝚤 𝜇 = 1

5 = 0,2 𝑑𝑎𝑘𝑖𝑘𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑠 𝑜𝑟𝑎𝑛𝚤

ya da

𝜇 = 1

5 60 = 12 𝑠𝑎𝑎𝑡𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑠 𝑜𝑟𝑎𝑛𝚤

Yani 1 saate servis sunulan müşteri sayısı Buna göre,

𝐿

= 𝜆

𝜇 − 𝜆 = 0,1666

0,2 − 0,1666 = 5 𝑚üş𝑡𝑒𝑟𝑖 𝑜𝑙𝑢𝑟

ya da

𝐿

= 𝜆

𝜇 − 𝜆 = 10

12 − 10 = 5 𝑚üş𝑡𝑒𝑟𝑖 𝑜𝑙𝑢𝑟

2. Sırada (Kuyrukta) olması beklenen müşteri sayısı (Lq) :

𝐿

= 𝜆

𝜇(𝜇 − 𝜆) = 10

12(12 − 10) = 4 𝑚üş𝑡𝑒𝑟𝑖

3. Müşteri başına sistemde geçen ortalama zaman (W):

𝑊

= 1

𝜇 − 𝜆 = 1

12 − 10 = 0,5 𝑠𝑎𝑎𝑡 𝑦𝑎𝑛𝑖 30𝑑𝑎𝑘. 𝑑𝚤𝑟

ya da

𝑊

= 1

𝜇 − 𝜆 = 1

0,2 − 0,1666 = 30 𝑑𝑎𝑘. 𝑑𝚤𝑟

4. Müşteri başına sırada (kuyrukta) geçen ortalama zaman (Wq), yani hizmet edilmeden önce kuyrukta beklediği zaman:

𝑊

= 𝜆

𝜇(𝜇 − 𝜆) = 10

12(12 − 10) = 0,4166 𝑠𝑎𝑎𝑡

yada,

𝑊

= 𝜆

𝜇(𝜇 − 𝜆) = 0,1666

0,2(0,2 − 0,1666) = 25 𝑑𝑎𝑘

2. (M / M / 1) : (GD / N/ ∞) KUYRUK SİSTEMİ

Tek Kanallı-Sonsuz Geliş Kaynaklı-Sonlu Sistem Kapasiteli Kuyruk Modeli

Özellikleri:

 Poisson gelişli

 Poisson ayrılışlı

 Tek kanallı

 Genel servis disiplinli (İlk giren ilk çıkar disiplinli)

 Sonlu sistem kapasiteli

 Sonsuz geliş kaynaklı

Bu model ile bir önceki model arasındaki en önemli farklılık, sistemde herhangi bir anda ancak belirli sayıda müşteriye hizmet verilebilmesidir.

Sistem ancak N sayıda müşteriye hizmet verebiliyorsa, herhangi bir zamanda kuyrukta bekleyen müşterilerin sayısı sonlu olup bu sayı (N- 1) den fazla olmaz. Kuyruk uzunluğu (N-1) olacaktır. Bir başka deyişle, sistemde N müşteri bulunduğu zaman sisteme gelen yeni müşterilerin, sisteme katılmasına izin verilmeyecektir. Öte yandan bir önceki modelde olduğu gibi (ρ<1) olma zorunluluğu yoktur. Çünkü kuyruk uzunluğu (N-1) den daha fazla uzayamaz.

Etkin geliş oranı:

𝜆

= 𝜆𝑃

𝜆

= 𝜆 − 𝜆

= 𝜆(1 − 𝑃

)

Etkin trafik yoğunluğu da:

𝜌

= 𝜆

𝜇 = 𝜆(1 − 𝑃

)

𝜇 = 𝜌(1 − 𝑃

)

Bu modeldeki bağıntılar aşağıdaki gibidir:

1.Sistemde müşteri olmama olasılığı P0:

𝑃

= {

( 1 − 𝜌

1 − 𝜌

) 𝜌 ≠ 1 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝜆 ≠ 𝜇 ( 1

𝑁 + 1 ) 𝜌 = 1

2.Sistemde n sayıda müşteri bulunma olasılığı Pn:

𝑃

= {

( 1 − 𝜌

1 − 𝜌

) 𝜌

𝜌 ≠ 1 ( 1

𝑁 + 1 ) 𝜌 = 1 }

𝑛 = 0,1,2, … , 𝑁

3. Sistemdeki ortalama müşteri sayısı Ls:

𝐿

=

{

(

𝜌

1 −

𝑁 + 1

𝜌

+ 𝑁𝜌

(1 − 𝜌)(1 − 𝜌

)

𝜌 ≠ 1

𝑁

2

𝜌 = 1

}

λeff’i kullanarak Ls’den diğer performans ölçütlerini hesaplayabiliriz:

1. Kuyruk uzunluğu:

𝐿

= 𝐿

− 𝜌

= 𝐿

− 𝜆

𝜇 = 𝐿

− 𝜆(1 − 𝑃

) 𝜇

2. Müşterilerin kuyrukta ortalama bekleme süresi Wq:

𝑊

=

𝜆_𝑒𝑓𝑓

=

𝜆(1−𝑃_𝑁)

= 𝑊

−

𝜇

3. Müşterilerin sistemde harcadıkları ortalama süre Ws:

𝑊

= 1

𝜇 [ 𝑁 + 1

2 ]

Örnek:

Bir tek-kişilik bir berber dükkânında 10 koltuk bulunuyor. Varışlar arası süreler üstel dağılıma uymakta ve ortalama olarak her saat 20 potansiyel müşteri berber dükkânına varmaktadır. Dükkânı dolu bulan müşteriler geri dönmektedir. Berberin her müşterinin saçını kesmesi ortalama 12 dakika almaktadır. Saç kesme süreleri üstel dağılıma uymaktadır.

a) Ortalama olarak berber saatte kaç adet saç kesimi yapabilmektedir?

b) Ortalama olarak dükkâna giren bir müşterinin dükkânda harcayacağı süre ne kadardır?

Çözüm:

a) Tüm gelenlerin P10 oranı dükkânı dolu bulacaktır. Böylece, her saat ortalama λ(1-P10) oranında kişi dükkâna girecektir. Tüm giren müşteriler saçlarını kestirecek, böylece berber saat başına ortalama λ(1-P10) saç kesimi hizmeti verecektir. Problemimizde, N=10, λ =saatte 20 ortalama müşteri ve μ=saat başına 5 müşteri olduğunu görüyoruz. Buradan P=20/5= 4,

11 0 1

4 1

4 1 1

1



 

 

 







 

P

P P

Ve

  0 , 75 4

1 4

* 3 4

1 4 4 1

1 1

11 10 11

10

10 1





 

 

 







 

 

 







 

P

P

P P

Böylece, saatte ortalama 20*(1-3/4) =5 müşteri saç kesimi hizmeti alacaktır. Bu durum saatte ortalama 20-5=15 potansiyel müşterinin dükkâna girmeyeceği anlamına gelmektedir.

b) Dükkana giren bir müşterinin dükkanda harcayacağı süre Ws’nin belirlenmesi için Ls formülünden yararlanılır:

   

 

 ^{1 11 4 4}   ^{1 4 10}  ^{4 9 , 67}

1 4

11 11

10









  L

müşteri hesaplanır.

Ws formülünde Ls yerine konulursa;

 1 0 , 75  ^{1 , 93}

20

67 , 9 )

1

( 

 

 

N S

s

P

W L



Çalışma sonunda; bu berber dükkanının kalabalık olduğu görülmekte ve en az bir berber daha işe alınması tavsiye edilmektedir.

3. (M / M / c) : (GD / ∞/ ∞) KUYRUK SİSTEMİ

Kuyruk Modeli

Özellikleri:

 Poisson gelişli

 Poisson ayrılışlı

 Paralel çok kanallı

 Genel servis disiplinli (İlk giren ilk çıkar disiplinli)

 Sonsuz sistem kapasiteli

 Sonsuz geliş kaynaklı

Bu modelde c sayıda servis kanalı olduğu kabul edilir. Gelen müşterilerin sayısı (n) kanal sayısından az ise veya eşit ise yani n≤c ise kuyrukta beklemeden müşteri hizmet alacaktır. Bekleme olmayacaktır. Ancak n>c ise c sayıda müşteriye hizmet sunulacağından n-c sayıda müşteri kuyrukta bekleyecektir. Sistemin işleyebilmesi için

𝜆

𝑐𝜇

< 1

𝜇

< 𝑐

Bu modeldeki bağıntılar aşağıdaki gibidir:

λ eff=λ( Gelen müşterilerin hepsi sisteme katılabilmektedir)

1. Sistemde müşteri bulunmama olasılığı

𝑃

= 1

∑ ( (𝑐𝜌)

𝑛! + (𝑐𝜌)

𝑐! (1 − 𝜌) )

𝑐−1𝑛=0

2. Kuyruk sisteminde n sayıda müşteri bulunma olasılığı

𝑃

= {

(𝑐𝜌)

( 𝑃

𝑛! ) 𝑛 < 𝑐 (𝑐𝜌)

( 𝑃

𝑐! 𝑐

) 𝑛 ≥ 𝑐 }

ρ≥1 ise servis oranı’dir. Bu durumda tüm servisler meşgul olacaktır. Tüm servislerin doluluğu;

𝑃(𝑛 ≥ 𝑐) = (𝑐𝜌)

𝑃

𝑐! (1 − 𝜌)

Aşağıdaki tabloda n≥c değerleri için durgun durum olasılıkları verilmektedir.

Tablo: M/M/c/GD/∞/∞/ Kuyruk Sistemi için P(n≥ c) değerleri

3. Bekleme hattındaki ortalama müşteri sayısı (ortalama kuyruk uzunluğu)

ρ c=2 c=3 c=4 c=5 c=6 c=7

𝐿

= 𝑃(𝑛 ≥ 𝑐)𝜌 1 − 𝜌 =

(𝑐𝜌)

𝑃

𝑐! (1 − 𝜌)

1 − 𝜌 = (𝑐𝜌)

𝑃

𝑐! (1 − 𝜌)

4. Sistemdeki ortalama müşteri sayısı;

𝐿

= 𝐿

+ 𝜆 𝜇

5. Sisteme gelen herhangi bir müşterinin harcadığı ortalama süre

𝑊

= 𝐿

𝜆

6. Kuyruk sistemine gelen müşterilerin harcadığı ortalama süre

𝑊

= 𝐿

𝜆 = 𝐿

𝜆 + 1

𝜇 = 𝑊

+ 1

𝜇 = 𝑃(𝑛 ≥ 𝑐)

𝑐𝜇 − 𝜆 + 1 𝜇

Örnek:

İki veznedarın olduğu bir bankaya saatte ortalama 80 müşteri geliş yapmakta ve veznelerden birinin boşalması için tek bir hatta beklemektedir. Bir müşterinin hizmet alması için gereken ortalama süre 1,2 dakikadır. Varışlar arası süreler ve servis sürelerin üstel dağılıma uyduğunu varsayalım. Buna göre;

a. Bankada mevcut müşterilerin beklenen sayısı nedir?

b. Bir müşterinin bankada harcadığı zamanın beklenen uzunluğu nedir?

c. Belirli bir veznenin boş olduğu zamanın oranı nedir?

Çözüm:

Elimizdeki sistem saatte ortalama λ=80 müşteriye ve saatte ortalama μ=50 müşteriye sahip bir M/M/2/GD/∞/∞/ kuyruk modelidir. Böylece

1 80 . ) 0 50 ( 2

80  

  , olduğundan durağan bir denge durumu mevcuttur.

(λ=100 için bir denge durumu mevcut değildir.) Olasılık tablosundan P(j≥

2)= 0.71 olarak belirlenip

 







 



  ^

1 ) (

!

1 ^{2 0}

1 P j c

c p L c

c q

formülünde yerine konursa;

84 . 80 2

. 0 1

80 . 0

* 71 . 0 1

) 2

( 

 



 





L_q P

müşteri kuyrukta bekleyen müşteri sayısıdır.

Buradan da



 



s

L

L

formülünde yerine değerleri koyduğumuzda;

44 . 50 4 84 80 .

2  

s 

L müşteri bankada mevcut müşteri sayısını

vermektedir.

Ws bankada bekleyen müşteri sayısını verdiğinden 055

. 80 0

44 .

4 







s

W L saat =3.3 dak. beklendiği görülmektedir.

Herhangi bir veznenin boş olduğu zamanın oranını belirlemek için o veznenin, j=0 için tüm zamanda ve ( simetriden dolayı) j=1 için zamanın yarısında boş olduğunu dikkate almak gerekmektedir. Bir veznenin boş olmasının olasılığı P0+0.5P1 olarak verilmektedir. P(j≥2)=0,71 olması

durumunu kullanarak

  





 

 ) !1

( ⁰

c

p c c

j P

c

özelliğinden P0’ı elde ederiz.

 

   

 

) 71 . 0 ( 1

! ) (

0 2 

 

  _c

c c c j p P





 

!

0

j p p c

j j

 

formülündeki ilişkiden yararlanarak;

 

176 .

! 0 1

8 . 0

*

2 ¹ ₀

1  p 

p

Bu ilişkilerden elde edilen sonuçlardan, bir veznenin boş kalma oranı P0+0.5P1 =0.11+0.5(0.176)= 0.198 olarak bulunmuştur.

1. (M / M / c) : (GD /∞ / N) (c<N) KUYRUK SİSTEMİ

Modeli

Özellikleri:

 Poisson gelişli

 Poisson ayrılışlı

 Paralel çok kanallı

 Genel servis disiplinli (İlk giren ilk çıkar disiplinli)

 Sonsuz sistem kapasiteli

 Sonlu geliş kaynaklı

Bu modelde kuyruğu oluşturan müşterilerin sayısı bazen küçük sayıda olabilir. Bu durumda kuyruk sistemine girecek müşteri sayısı N ile sınırlıdır.

Örneğin fabrikada bir ustabaşı 3 makineyi işletiyor ve ustabaşına gereksinim rastgele süre ile oluyor ise, bu durumda makinelerin kuyruk sistemine gelişleri sonlu bir geliş kaynağı olarak düşünülebilir.

Kanal sayısı (c) birden fazla sayıldığı gibi kanal sayısı müşteri sayısına eşit veya ondan küçük olabilir. Sistemde herhangi bir müşterinin bulunmama olasılığı Po,

𝑃

= 1

∑ 𝑁!

(𝑁 − 𝑛)! 𝑛! (𝜌)

+ ∑ 𝑁!

(𝑁 − 𝑛)! 𝑐! 𝑐

(𝜌)

𝑛=𝑁𝑛=𝑐 𝑐−1𝑛=0

Sistemde n müşteri bulunma olasılığı Pn

𝑃

= {

𝑃

𝑁!

(𝑁 − 𝑛)! 𝑛! (𝜌)

0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑐 𝑃

𝑁!

(𝑁 − 𝑛)! 𝑐! 𝑐

(𝜌)

𝑐 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁

Sistemde beklenen ortalama müşteri sayısı (L)

𝐿

= ∑ 𝑛𝑃

+ ∑(𝑛 − 𝑐)𝑃

+ 𝑐(1 − ∑ 𝑃

)

𝑐−1

𝑛=0 𝑁

𝑛=𝑐 𝑐−1

𝑛=0

Kuyruktaki ortalama müşteri sayısı (Lq)

𝐿

= ∑(𝑛 − 𝑐)𝑃

𝑁

𝑛=𝑐



Örnek:

Ekonometri bölümü öğrencileri gruplar halinde iki terminali bulunan bilgi işlem merkezinde proje hesaplarını yaptırmaktadır. Hesaplama işi ortalama olarak terminal zamanının 30 dakikasını almaktadır. Her öğrencinin hesapları için terminali kullanması 90 dakikada bir olmakta, yani her bir öğrencinin ortalama servislere gelişleri arası 90 dakikadır.

Servise geliş süresi ve servis süresi üstel dağılımlıdır. Bir grupta 3 öğrenci vardır. Buna göre:

a) Her iki terminalin aylak kalma olasılığını

b) Üç öğrencinin tümünün sistemde olma olasılığını c) Her iki terminalin kullanma olasılığını bulunuz.

Çözüm:

μ = 60/30 = 2 iş/saat λ = 60/90 = 2/3 N = 3 c= 2 ρ = 1/3

a)

𝑃₀ = 1

∑ 3!

(3 − 𝑛)! 𝑛!(1/3)^𝑛 + ∑ 3!

(3 − 𝑛)! 2! 2^𝑛−2(1/3)^𝑛

3𝑛=2 1𝑛=0

Po=0,42

b) 𝑃₃ = 𝑃₀( ^3!

0!2!2) (¹

3)³ = 0.02

c)Her iki terminalin kullanımda olma olasılığı (P2 + P3) dir.

c) 𝑃₂ = 𝑃₀( ^3!

1!2!) (¹

3)² = 0.14

P2 + P3 = 0.14 + 0.02 = 0.16