Prof. Dr. Kamil ALAKUŞ SAMSUN-2020

MATEMATİKSEL

İSTATİSTİK DERS NOTLARI

Prof. Dr. Kamil ALAKUŞ

SAMSUN-2020

I.BÖLÜM: ÇOK BOYUTLU TESADÜFÎ DEĞİŞKENLER

I.1 n Boyutlu Tesadüfî Değişken

T

^anım:





 bir örnek uzayı, U sınıfı da ’da tanımlı bir  -cebri ve P fonksiyonu U ’da tanımlı bir olasılık ölçüsü olmak üzere



, U, P



olasılık uzayı verilsin.



X₁, , X_n



:Rⁿ



^{X X}

 

^v



^X

 

^{v X}

 

^v



V  ₁, , _n  ₁ , , _n fonksiyonuna



a a_n



Rⁿ

 ₁, , için V: X₁ v a₁, , X_n v a_nUsınıfı oluyorsa

X₁, , Xn sıralı n’lisine n boyutlu tesadüfî değişken adı verilir.

Burada



X₁

 

v , , X_n

 

v



Rⁿ olup



X₁, , Xn



tesadüfî değişkeninin alabileceği değerlerdir. Bu durumda X tesadüfî değişkeninin alabileceği değer, ₁ X₁

 

v x₁ şeklinde gösterilebilir. Benzer şekilde X tesadüfî değişkeninin alabileceği değer ise₂ X₂

 

v x₂,  ve nihayet X_n tesadüfî değişkeninin alabileceği değer deXn

 

v xn ile gösterilebilir.

* Eğer



X₁, , Xn



tesadüfî değişkeninin alabileceği değerler sonlu ya da sayılabilir sonsuzlukta ise böylesi tesadüfî değişkene kesikli n boyutlu tesadüfî değişken; Eğer ilgili tesadüfî değişkeninin alabileceği değerler bir bölge içerisinde ( yani; RRⁿ) her bir değeri alıyorsa bu tesadüfî değişkene de sürekli n boyutlu tesadüfî değişken adı verilir.

I.2 Ortak Olasılık/Yoğunluk Fonksiyonu

T

^anım:



X₁, , Xn



, n boyutlu bir tesadüfî değişken olsun.



0, 1



:Rⁿ  f



X₁, , Xn



 f



xx, , xn



P



X₁  x₁, , Xn xn



fonksiyonu;

1. 



a₁, , a_n



Rⁿiçin f



x_x, , x_n



0 (pozitif tanımlı),

2.

   

^

1 n

1 ,

,

x x

n

x x

x

f 

 (eğer



X₁, , Xn



tesadüfî değişkenleri kesikli

ise); veya

    





xn x

n

i i n

x x dx

x f

1 1

1 ,

 ,  ( eğer



X₁, , X_n



tesadüfî

değişkenleri sürekli ise) özellikleri sağlanırsa f



x_x, , x_n



fonksiyonuna



X₁, , X_n



tesadüfî değişkeninin ortak olasılık ( ya da ortak olasılık yoğunluk) fonksiyonu adı verilir.

Ö

^rnek–1:

Ç

^özüm–1:

Bir madeni paranın üç kez atılması tesadüfî deneyi düşünülsün. X , üç atış ₁ sonunda üste gelen turaların sayısı ve X ’de ilk iki atıştaki turaların sayısını ₂ göstersin. (a)



X₁, X₂



tesadüfî değişkeninin ortak olasılık fonksiyonunu oluşturunuz. (b) P



X₁ ^0, X₂ ¹



, P



X₁ ^{2, 0} X₂ ²



ve

 



₁, ₂ :0 ₁1 ₂ 1



 X X X X

A için ^P

 

^A olasılıklarını hesaplayınız.

(a) Deneye ilişkin örnek uzayı, 



YYY, , TTT



olup n

 

 8 elemanlıdır. X ’in alabileceği değerler ₁ x₁ 



0, 1, 2, 3



ve X ’in ₂ alabileceği değerler ise x₂ 



0, 1, 2



’dir. Böylece



X₁, X₂



tesadüfî değişkeninin ortak olasılık fonksiyonunu f :R² 



0, 1



veya



^X₁^{, X}₂



 ^f



^x₁^{, x}₂



^P



^X₁^x₁^{, X}₂ ^x₂



artık yazılabilir.



X₁, X₂



Olay Olasılık

(0, 0) YYY 1 8

(0, 1)  0

(0, 2)  0

(1, 0) YYT 1 8

(1, 1) (YTY, TYY) 2 8

(1, 2)  0

(2, 0)  0

(2, 1) (YTT, TYT) 2 8

(2, 2) (TTY) 1 8

(3, 0)  0

(3, 1)  0

(3, 2) (TTT) 1 8

X1, X2 tesadüfî değişkeninin ortak olasılık fonksiyonunu,

2

2 x

X 

1

1 x

X 

0 1 2 TOPLAM

0 1 8 0 0 1 8

1 1 8 2 8 0 3 8

2 0 2 8 1 8 3 8

3 0 0 1 8 1 8

TOPLAM 2 8 4 8 2 8 1.0

(ya da)

             

       













- - - , 0

1 , 2 , 1 , 1 ,

x , 8 2

2 , 3 , 2 , 2 , 0 , 1 , 0 , 0 ,

x , 8 1

, _{1 2}

2 1

2

1 x

x x

x f

Yazılabilir.

(b) P



X₁0, X₂ 1



 f



0, 1

  

P 0

o P



X₁ 2, 0 X₂ 2



 f



2, 0

 

 f 2, 1

 

 f 2, 2



02 8183 8 o P

 

A  f



0, 1

 

 f 1, 1



02 814

Ö

^rnek–2:

Ç

^özüm–2:

İçinde 10 beyaz, 8 kırmızı ve 5 mavi bilyenin bulunduğu bir kavanozdan iadesiz ve tesadüfen 5 bilye çekiliyor. X , çekilen beyaz bilye sayısı ve ₁ X ’de çekilen ₂ kırmızı bilye sayısını göstersin. (a)



X₁, X₂



tesadüfî değişkeninin ortak olasılık fonksiyonunu oluşturunuz. (b) ^A

 

^X₁^{, X}₂



^:x₁^x₂



için ^P

 

^A

olasılığını hesaplayınız.

(a) Deneye ilişkin örnek uzayı, { 23 bilyeden 5 bilye çekilmesi} olup

 

_



 





 5

n 23 elemanlıdır. X ’in ₁ alabileceği değerler



^{0, 1, 2, 3, 4, 5}



1 

x ve X ’in ₂ alabileceği değerler ise



0, 1, 2, 3, 4, 5



2 

x ’dir. Böylece



X₁, X₂



tesadüfî değişkeninin

 

     



























 







 







 



 







 







- - - , 0

5 0

ve

5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 ,

5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 5

23 5

5 8

10

,

2 1 2 1

2 1 2

1

2 1

x x x x x

x x

x

x x f

(b)

       

33649 6300 800

1 5

23 1

5 2 8 2 10

5 23

3 5 1 8 1 10

5 23

5 5 0 8 0 10 2

, 2 1 , 1 0 ,

0   



 







 







 







 









 







 







 







 









 







 







 







 











 f f f

A P

33649

 7101 bulunur.

ortak olasılık fonksiyonunu f :R² 



0, 1



veya



X₁, X₂



 f



x₁, x₂





^X₁ ^x₁^{, X}₂ ^x₂



P  

 artık yazılabilir.

Ö

^rnek–3:

Ç

^özüm–3:



X₁, X₂



tesadüfî değişkeni için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu,

   



     

 0, ---

2 0

; 1 0

, ^{1 2} , ^{1 2}

2 1 2

1

x x

x x x x k

x f

verilsin. (a) f



x₁, x₂



’nin olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için

ksabiti ne olmalıdır. (b) P



0 X₁1 2, 1 X₂ 2



olasılığını ve

 



₁, ₂ : ₁  ₂ 1



 X X x x

A için P

 

A olasılığını hesaplayınız.

(a)



1^, 2



1 2 ¹

2 1

 

^{f x x dxdx} 

x x

olmalıdır.



 

1 2 ¹

2

0 1

0

2 1 2

1  

 

^{x x x dxdx}

k  ² ₂

0

1

0 2 2 1 3

1 I

2

3 x x dx

k



x 

 



  1 ² ₂

0

2

2 3

1 x dx

k



^_^{  }_^

1  I 1

4 3

2

0 2 2

2 



 



x  x

k 

5 1 3

3

5k  k 

bulunur.

(b)



^{   }



^

_{ }

²



^



1 2 1

0

2 1 2 1 2 1 2

1 5

2 3 1

, 2 1

0 X X x x x dxdx

P %13.75

80 11

 ;

 

A ¹P

 

A ¹P



X1X2 ¹



P

 

^%92.5

40 37 40 1 3 5

1 3

1

0 1

0

2 1 2 1 2 1

1     





 

^{x x x x dx dx}

 Çalışma Soruları

1.



X₁, X₂



tesadüfî değişkeninin ortak olasılık fonksiyonu,

               



  

 0, ---

2 , 2 , 1 , 2 , 2 , 1 , 1 , 1 ,

x ,

, ₂ ¹ 2 ^{2 1 2}

1

x x

x x c

x

f

verilsin. f



. ’in o.f. olabilmesi için cne olmalıdır. ( Cevap: c118) 1.



X₁, X₂



tesadüfî değişkeninin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,

2.

   



    





- - - , 0

1 0

; x x 0

, , ^{1 2 2}

1 2 2

1

x x

x c x

f

verilsin. f



. ’in o.y.f. olabilmesi için cdeğerini bulunuz. (Cevap: c1)

I.3 Ortak Dağılım Fonksiyonu

T

^anım:



X₁, , Xn



, n boyutlu tesadüfî değişken olsun.



x₁, , x_n



:Rⁿ 



0, 1



F 



X₁, , X_n



F



x₁, , x_n



P



X₁ x₁, , X_n x_n



 

   

   











  

 



  

 

n n

n n

t x

n

i

n i

n x

t t x

n n

n

X X

dt t

t f

X X

t t

f x

x F

1 1

1

1 1

1 1

1

ise sürekli ,

, , ,

,

ise kesikli ,

, , , , ,

,















fonksiyonuna



X₁, , Xn



tesadüfi değişkeninin ortak dağılım fonksiyonu adı verilir.

 Özellikleri

1. F



x₁ ,, xn



fonksiyonu monoton artan bir fonksiyondur.

2.



X₁ ,, Xn



tesadüfi değişkenleri kesikli ise F



x₁ ,, xn



fonksiyonu da kesikli, sürekli ise F



x₁ ,, xn



fonksiyonu da süreklidir.

3.



X₁ ,, Xn



tesadüfi değişkenleri sürekli ise

 

n n n

x x

x x

F











1

1 , ,



xx xn



f ,,

 ’dir.

4. n2 ve



^X₁^{, X}₂



tesadüfi değişkenleri için

a. P



a₁X₁a₂,X₂ b



P



X₁ a₂,X₂ b

 

P X₁a₁,X₂ b



F



a₂, b

 

F a₁, b



b. P



X₁a, b₁ X₂b₂



F



a, b₂

 

F a, b₁



c. P



X₁a,X₂ b



F ,



a b



d. P



a₁X₁a₂,b₁ X₂ b₂



F



a₂, b₂

 

F a₁, b₂



F



a₂, b₁

 

F a₁, b₁



e. F



, x₂



 F



x₁, 



F



, 



0 ve F



, 



1

f. F



x₁, x₂'nin üst sıınırı



F_X1

 

x₁ fonksiyonuna X ’in; ₁ F



x₁'nin üst sıınırı, x₂



 

₂

2 x

F_X

 fonksiyonuna daX ’nin dağılım veya marjinal dağılım fonksiyonu adı verilir. ₂

I. Bölge için: F



x₁, x₂







0, 0

 

,



0

0 0

2 1 0

2 1 2

1

2 1









 



  

x x

dt dt t t f X

X

P 

Ö

^rnek–4:

Ç

^özüm–4:



X₁, X₂



tesadüfî değişkeninin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu,

 



    

 0, ---

1 0

; 2 0

, ₂ ^{1 2}, ^{1 2}

1

x x

x x x

x f

verilsin. (a) F



x₁^, x₂



^?, (b) P



X₁^1, X₂ ¹²



, P



X₁^{1, 1 2} X₂ ¹



ve P



12X₁3 2, 14 X₂ 1 2



olasılıklarını hesaplayınız. (c) X ve ₁ X ’nin ayrı ayrı marjinal dağılım fonksiyonlarını oluşturunuz. 2

(a)Ortak dağılım fonksiyonunu olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu her bölgede hesaplamak mümkündür. O halde önce f



x₁, x₂



fonksiyonunun tanımlı olduğu bölgeler belirlenmelidir. Bu bölgeler ise şöyledir: I. Bölge: x₁ 0;x₂ 0; II. Bölge: 0x₁2;0 x₂ 1; III. Bölge:

1 0

;

2 ₂

1  x 

x ; IV. Bölge: 0x₁ 2;x₂ 1 ve V. Bölge: x₁ 2;x₂ 1 .

II. Bölge için: F



x₁, x₂





     

, 4

2 2 1

0 0

2 1 2 1 2

2 1 1

2

2 1

1

x dt x

dt t t x

X x X P

x

x x

x









 

 

III. Bölge için: F



x₁, x₂





   

₂²

0 2

0

2 1 2 1 2

2 1

2

2 1

, 2

0 X X x t t dt dt x

P

x

x x











 

 

IV. Bölge için: ^F



^x₁^{, x}₂



^

   

1 4 0

,

2 1 1

0 0

2 1 2 1 2

1 1

2 1

1

dt x dt t t X

x X P

x x

x











 

 

V. Bölge için: F



x₁, x₂







0 2, 0 1

  

1

1

0 1

0

2 1 2 1 2

1

2 1













 

 

x x

dt dt t t X

X

P bulunur.

Sonuç olarak



X₁, X₂



tesadüfî değişkeninin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu,

 

 













































1

; 2 , 1

1

; 2 0

4 ,

1 0

; 2 ,

1 0

; 2 0

4 ,

0

; 0 , 0

,

2 1

2 1

2 1

2 1

2 2

2 1

2 2 1

2 1

2 1

x x

x x x

x x

x

x x x

x

x x

x x F

bulunur. (b)

     

16 1 4

2 1 2 1

1 , 1 2 1 ,

1

2 2

2

1  X  F  

X

P ; P



X₁1, 1 2 X₂ 1





2, 1



F ^F



^{1, 1}

 

^{F 2, 1 2}

 

^{F1, 12}



16 9 16

1 4 1 4

11  

 ;



12X₁3 2, 14 X₂ 1 2



P F



3 2, 1 2



F



12, 12

 

F 3 2, 1 4

 

F1 2, 1 4



32 3 256

1 256

9 64

1 64

9    

 bulunur. (c) X ve ₁ X ’nin marjinal dağılım fonksiyonları ise sırası ₂ ile

 





















2 , 1

2 0

4 ,

0 , 0

1 1 2

1 1

1 1

x x x

x x

F_X ve

 

















1 , 1

1 0

,

0 , 0

2 2 2

2 2

2 2

x x x

x x

F_X ile verilir.

 Çalışma Soruları

1.



^X₁^{, X}₂



tesadüfî değişkeninin ortak olasılık fonksiyonunu,

2.

               





  



- - - , 0

2 , 2 , 1 , 2 , 2 , 1 , 1 , 1 ,

x , 18 2

1

, ₂ ^{1 2 1 2}

1

x x

x x x f

verilsin. (a) ^F



^x₁^{, x}₂



^{?, (b) P}



^X₁^{1, X}₂ ^2



^, PX1^1, X2 ¹ ve



1 X₁2, 1 X₂ 3



P olasılıklarını hesaplayınız. (c) X ve ₁ X ’nin ayrı ayrı marjinal ₂ dağılım fonksiyonlarını oluşturunuz. ( Cevaplar: (b) 188 ; 618ve 1)

3.



X₁, X₂



tesadüfî değişkeninin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu,

4.

   





     



- - - , 0

1 0

2;

x 0 5 ,

3

, ₂ ^{2 1 2 1 2}

1

x x

x x x

x

f

verilsin. (a) F



x₁, x₂



?, (b) A

 

X₁, X₂



: x₁1;x₂ 1



ise A olayının olasılığını hesaplayınız. (c) X ve ₁ X ’nin ayrı ayrı marjinal dağılım fonksiyonlarını oluşturunuz. (Cevap: ₂ (b) 720)

I.4 Marjinal ve Şartlı Dağılımlar

I.4.1 Marjinal Olasılık (veya Yoğunluk) Fonksiyonu

T

^anım:

^

^{X1, X2}

^

, herhangi iki tesadüfî değişken olsun. f



x₁, x₂



İlgili tesadüfî değişkenin ortak olasılık (veya yoğunluk) fonksiyonunu göstersin.

 

   

   















2 2

1 , , , sürekli ise

ise kesikli ,

, ,

2 1 2 2 1

2 1 2 1

1

x x

X f x x dx X X

X X x x f x

f

şeklinde tanımlanan fonksiyonuna X tesadüfi değişkeninin marjinal olasılık (veya yoğunluk) ₁ fonksiyonu adı verilir. Benzer şekilde X tesadüfi değişkeninin marjinal olasılık (veya ₂ yoğunluk) fonksiyonu ise

 

   

   















1 1

2 , , , sürekli ise

ise kesikli ,

, ,

2 1 1 2 1

2 1 2 1

2

x x

X f x x dx X X

X X x x f x

f

ile verilir.

I.4.2 Marjinal Dağılım Fonksiyonu

T

^anım:

^

^{X1, X2}

^

, herhangi iki tesadüfî değişken olsun. F



x₁, x₂



İlgili tesadüfî

değişkenin ortak dağılım fonksiyonunu göstersin.

 

₁



₁^, ₂^{'nin üst sıınır}



1 x F x x

F_X  fonksiyonuna X tesadüfi değişkeninin marjinal ₁

dağılım fonksiyonu ve

 

₂



₁'in üst sıınır , ₂



2 x F x x

F_X  fonksiyonuna da X ₂

tesadüfi değişkeninin marjinal dağılım fonksiyonu adı verilir.

I.4.3 Şartlı Olasılık (veya Yoğunluk) Fonksiyonu

T

^anım:

^

^{X1, X2}

^

, herhangi iki tesadüfî değişken olsun. f



x₁, x₂



ortak olasılık (veya yoğunluk) fonksiyonu ve X ile ₁ X tesadüfî değişkenlerinin marjinal olasılık ( ₂ veya yoğunluk ) fonksiyonları da sırası ile ^f_X1

 

^x₁ ^{0 ve f}_X2

 

^x₂ ^0 olsun. Öyle ise

(a)

    ^ _{ } ^

2 2

2 2 1 1 2

2 1 1

,

1 P X x

x X x X x P

X X P x g_X





 





 

 









- - - 0,

bölgesi in

' , ,

1 2

2 1

2

x X f

x x f

X

fonksiyonuna X₂ x₂ verilmişken (biliniyorken) X tesadüfi değişkeninin şartlı ₁ olasılık (veya yoğunluk) fonksiyonu adı verilir.

(b) Benzer şekilde X₁ x₁ verilmişken (biliniyorken) X tesadüfî değişkeninin şartlı olasılık ₂

(veya yoğunluk) fonksiyonu ise

    ^ _{ } ^

1 1

2 2 1 1 1

1 2 2

,

2 P X x

x X x X x P

X X P x g_X





 





 



 









- - - 0,

bölgesi nin

' , ,

2 1

2 1

1

x X f

x x f

X

ile verilir.



Not–1:

İki değişkenlide olduğu gibi n3 ve pozitif tamsayı olduğunda da tesadüfi değişkenlere ilişkin marjinal ve şartlı olasılık (veya yoğunluk ) fonksiyonları benzer şekilde elde edilebilir. Ancak bu durumda marjinal ve şartlı olasılık (veya yoğunluk) fonksiyonlar birli, ikili,

… ve nihayet



n1



’li tanımlanabilir. Örneğin n3 için mümkün marjinal ve şartlı olasılık (veya yoğunluk ) fonksiyonlar Tablo-I ve Tablo-II’de verildiği gibidir.

Tablo-I: n3 için mümkün marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlar.

Birli İkili

 

^

   

3 2

1 1 1, 2, 3 2 3

x x

X x f x x x dx dx

f

 

^

  

3 2

1 1, 2 1, 2, 3 3

x X

X x x f x x x dx

f

 

^

   

3 1

2 2 1, 2, 3 1 3

x x

X x f x x x dxdx

f

 

^

  

2 3

1 1, 3 1, 2, 3 2

x X

X x x f x x x dx

f

 

^

   

2 1

3 3 1, 2, 3 1 2

x x

X x f x x x dxdx

f

 

^

  

1 3

2 2, 3 1, 2, 3 1

x X

X x x f x x x dx

f

Tablo- II: n3 için mümkün şartlı olasılık (ve ya yoğunluk) fonksiyonlar.

Birli İkili

  ^ _ ^ _

3 2

3 2 1 3

3 2 2

1 ,

, , ,

3 2

1 f x x

x x x x f

X x X x g

X X

X   

  ^ _{ } ^

3 3 2 1 3

3 2 1

3 2

1

, , ,

x f

x x x x f

X x x g

X X

X  

  ^ _ ^ _

3 1

3 2 1 3

2 1 1

2 ,

, , ,

3 1

2 f x x

x x x x f

X x X x g

X X

X   

  ^ _{ } ^

2 3 2 1 2

2 3 1

2 3

1

, , ,

x f

x x x x f

X x x g

X X

X  

  ^ _ ^ _

2 1

3 2 1 2

2 1 1

3 ,

, , ,

2 1

3 f x x

x x x x f

X x X x g

X X

X   

  ^ _{ } ^

1 3 2 1 1

1 3 2

1 3

2

, , ,

x f

x x x x f

X x x g

X X

X  

Ö

^rnek–5:

^

^{X1, X2}

^

tesadüfî değişkeninin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu,

   



     

 0, ---

1 0

; 1 0

, ₂ ^{1 2} , ^{1 2}

1

x x

x x x

x f

verilsin. (a) ^F



^x₁^{, x}₂



^{?, (b) X ve} ₁ X ’nin ayrı marjinal olasılık yoğunluk ₂ fonksiyonlarını bulunuz. (c)X₂ x₂ iken X ’in ve ₁ X₁ x₁ ikenX ’nin şartlı ₂ olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz. (d) X₂ 1 2 iken X ’in şartlı ₁ olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz. (e) P



1 4 X₁12



ve



^{1 4} X1 ^{1 2}X2 ¹²



P olasılıklarını hesaplayınız.

I. Bölge için: F



x₁, x₂







0, 0

 

,



0

0 0

2 1 0

2 1 2

1

2 1









 



  

x x

dt dt t t f X

X

P 

II. Bölge için: F



x₁, x₂





     

, ^{1 2} 2^{1 2}

0 0

2 1 2 1 2

2 1 1

2

2 1

1

x x x dt x

dt t t x

X x X P

x

x x

x

 









 

 

III. Bölge için: F



x₁, x₂





     

2 , 1

1

0 ^{2 2}

0 1

0

2 1 2 1 2

2 1

2

2 1

x dt x

dt t t x

X X

P

x

x x

 











 

 

IV. Bölge için: F



x₁, x₂





     

2 1 1

0

, ^{1 1}

1

0 0

2 1 2 1 2

1 1

2 1

1

 











 

 

x dt x

dt t t X

x X P

x x

x

V. Bölge için: F



x₁, x₂







0 1 0 1

  

1

1

0 1

0

2 1 2 1 2

1

2 1

1















 

 

x x

dt dt t t X

X

P bulunur.

Sonuç olarak



X₁, X₂



tesadüfî değişkeninin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu,

 

 

 

 



























 





 







 







1

; 1 , 1

1

; 1 0

2 , 1

1 0

; 1 2 , 1

1 0

; 1 0

2 ,

0

; 0 , 0

,

2 1

2 1 1

1

2 1

2 2

2 1

2 1 2 1

2 1

2 1

x x

x x x

x

x x x

x

x x x

x x x

x x

x x F

elde edilir.

(b) X ’in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu ₁

   





   



- - - , 0

1 0

2 ,

1 2

1 1

1 1

x x x

f_X

ve X ’nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu ₂

Ç

^özüm–5:

(a)Ortak dağılım fonksiyonunu olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu her bölgede hesaplamak mümkündür. O halde önce f



x₁, x₂



fonksiyonunun tanımlı olduğu bölgeler belirlenmelidir. Bu bölgeler ise şöyledir: I. Bölge: x₁ 0;x₂ 0; II. Bölge: 0x₁1;0x₂ 1; III. Bölge:

1 0

;

1 ₂

1 x 

x ; IV. Bölge: 0x₁1;x₂ 1 ve V. Bölge: x₁ 1;x₂ 1 .

   





   



- - - , 0

1 0

2 ,

1 2

2 2

2 2

x x x

f_X

olarak elde edilir.

(c) X₂ x₂ iken X ’in şartlı olasılık yoğunluk fonksiyonu ₁

    ^{     }





  



 









- - - , 0

1 0

1 , 2 2 ,

1 2

2 1

2 2 1

2 2 1 1 2

2

1 2

1

x x x x x

f x x f x X x X P x X x

gX X

Benzer şekilde X₁ x₁ iken X ’in şartlı olasılık yoğunluk fonksiyonu ise ₁

    ^{     }





  



 









- - - , 0

1 0

1 , 2 2 ,

2 1

2 1

1 2 1

1 1 2 2 1

1

2 1

2

x x x x x

f x x f x X x X P x X x

g_{X X}

elde edilir.

(d) X₂ 12 iken X1’in şartlı olasılık yoğunluk fonksiyonu

   

^{  }





    









- - - , 0

1 0 2 ,

1 2 2 1

2 1 , 2 1 2

1 ¹

1 1

2 1 1 2

1 2

1

x x f

x f X

x X P X

x

g_{X X}

bulunur.

(e)



14 X₁ 1 2



P ^

 

¹

 

0 2 1

4 1

2 1 2 1,x dxdx x

f ^1



²

 

4 1

1

1 x1 dx

f_X ^1



^2_^{  }_^

4 1

1 1

2 1

2x dx

875 . 21 32 %

7 

 bulunur

.



^{1 4}X1 ¹²X2 ^{1 2}



P ^1



²



^



4 1

1 2

1 12

1 x X dx

f_X ^1



^2_^{  }_^

4 1

1 1

2 1

2x dx

875 . 21 32 %

7 

 bulunur.

 F



3, 1.5

 

,



0

5 .

1 3

2 1

2 1







 

 

t t

t t

f  ;

 F



2, 0

     

 





0 2

2 1

2 1

0 , 0 ,

t t

f t t

f  f

 

1,0  f

 

2,0 %29.17

120 35 24

1 6 1 12

1    

 ;

 F



4, 2.7

      

 





7 .

2 4

2 1

2 1

0 , 0 ,

t t

f t t

f  f

 

1,0  f

 

2,0  f

 

0,1  f

   

1,1  f 2,1  f

 

0,2

   

^%99.17

120 2 119 , 2 2 ,

1   

 f f bulunur.

(b)  P



X₁X₂ 1



 f

     

0,0  f 0,1  f 1,0  %50 12

6 6 1 4 1 12

1    



Ö

^rnek–6:

Ç

^özüm–6:



X₁, X₂



tesadüfî değişkeninin ortak olasılık fonksiyonunu,

2

2 x

X 

1

1 x

X 

0 1 2 3

 

₁

1 x

f_X

0 112 14 1 8 1120 715

1 16 14 120 0 715

2 1 24 1 40 0 0 115

 

₂

2 x

f_X 35120 63120 21120 1120 1

verilsin. (a) Ortak dağılım fonksiyonunu kullanarak F



1.2, 0.9



;



^{3, 1.5}



F ; ^F



^{2, 0}



^{ve F}



^{4, 2.7}



olasılıklarını hesaplayınız. (b)



X₁ X₂ 1



P ve P



X₁ X₂



olasılıklarını hesaplayınız. (c) P



X₁0



ve



0 X₂ 3



P olasılıklarını hesaplayınız. (d)X₂ 1 iken X ’in şartlı olasılık ₁ fonksiyonunu bulunuz. (e) P



⁰ X1 ²X2 ¹



olasılığını hesaplayınız.

(a)

       

 









2

2 1 1

2 1 2

2 1 2

1, , ,

x

t t x

t t f x

X x X P x x

F ise aranan olasılıklar,

 F



1.2, 1.9



P



X 1.2,X₂ 0.9

 

,

  

0,0

 

1,0

9 . 0 1.2

2 1

2 1

f f

t t f

t t







 

 

25 4 % 1 6 1 12

1   

 ;