4. Noktasal Cisim Sistemlerinin Kineti ği

4. Noktasal Cisim Sistemlerinin Kineti ği

Daha önceki bölümlerde dinamiğin prensiplerini noktasal cisme uygulamıştık. Bu bölümde bu prensipleri noktasal cisim sistemi için genişleteceğiz.

4.1 Newton’un Đkinci Kanununun Genelleştirilmesi

Şekilde izole edilmiş, dış F¹, F2, F3 kuvvetleri ve f1, f2, f3 iç kuvvetlerinin etki ettiği mⁱ

noktasal cismini göz önüne alalım.

NOT: Sistem ayrık maddesel cisimlerden veya sürekli maddesel noktalardan oluşmaktadır.

NOT:

Σ = f

_i

0

Etki tepki prensibine göre oluşurlar.

Eğer sistemin kütle merkezi G noktasında ise m d²r/dt² = Σ mⁱ d²ri/dt² (m = Σ mⁱ ).

Z

Y

r = rG

ri

Newton’un ikinci kanununu mi noktasal cismine uygularsak:

2 ... n 1 2 ... n mi i mi i

+ + + + + + + = =

F1 F F f f f ɺɺr a

TÜM SĐSTEM ĐÇĐN:

n n

i i i i

i=1 i=1

+ = m

∑ ∑ ∑

^{F f ɺɺr (***)}

Sistemin G kütle merkezinin tanımından

m ^r

_G

= ∑ m

_{i i}

^r

Türev alınarak

m ^{ɺɺ r}

_G

= ∑ m

_{i i}

^{ɺɺ r}

elde edilir (m sabit).

(***) Denkleminde yerine yazılırsa

0 m

G

veya m

= + = =

∑ ∑ F F

i

ɺɺ r ∑ F a

∑ m

_i

= m dir.

Bu eşitliği tüm noktasal cisimlere uygulayıp sistem içim toplarsak ve kütle merkezinin tanımını kullanırsak Σ F = md²rG/dt² veya Σ F = maG elde ederiz. Bu eşitlik Newton’un ikinci kanununun noktasal cisimlerden oluşmuş bir sistem için genelleştirilmiş halidir.

Bu kanun kütle merkezinin hareket prensibi diye de adlandırılır.Kartezyen x-y-z koordinat siteminde

G x x y y z z

m F m F m F m

= ⇒ = = =

∑ ^{F a} ∑ ^a ∑ ^a ∑ ^a

yazılır.

ΣF//ma olup ΣF’nin G den geçme zorunluluğu Yoktur. Sisteme etkiyen toplam dış kuvvet, Sistemin toplam kütlesi ile G kütle merkezinin Đvmesinin çarpımına eşittir.

. . . .

. . . .

F₁

Σ ΣΣ ΣF

m a_G

F_i F_n

F₃

F₂

ΣΣΣ

ΣF//ma_G

G

4.2 Enerji

Yeniden daha önce çizdiğimiz şekli göz önüne alalım, mⁱ noktasal cismi için iş enerji bağıntısı (U^1-2)i = Ti idi. Bu eşitlikte (U^1-2)i, i noktasal cismine Fi = F1 + F2 + F3 +… (tüm dış kuvvetler) ve fⁱ = f1+ f2 + f3 +…(tüm iç kuvvetler) tarafından yapılan iş idi. Tⁱ ise mi

noktasal cisminin kinetik enerjisi idi. Tüm sistem için iş-enerji denklemini aşağıdaki gibi yazılabilir,

Σ (U^1-2)i =i Σ ∆ Tⁱ

i 2 1

2

i i i

T T -T T 1 m V

2

∆ =

=

m_i 1 2

ρρρρ_i r_i

r = rG

x y

z

O

. ^G

T₂ T₁

. G

m_i

Tüm sistem için

n

1-2 i i 1-2 2 1

i 1

(U ) = ∆ =T ∆T ⇒ U = ∆ =T T −T

∑ ∑

=

bulunur.

1-2 i 1-2

(U ) = U

∑

ⁱşi sisteme etkiyen tüm iç ve dış kuvvetlerin işini temsil eder. Katı cisimler ve katı cisimler sistemleri için (sürtünmesiz bağlı) iç kuvvetler iş yapmazlar ve moment oluşturmazlar. Sadece DIŞ

KUVVETLERĐN ĐŞĐ ve momenti söz konusudur.

Sürtünmesiz ideal sistemler için iç kuvvetlerin yaptığı işerin toplamı sıfırdır. Böylece U^1-2 sisteme dış kuvvetlerin yaptığı iş anlamına gelir.

Eğer iş terimine yerçekimi ve elastik kuvvetlerin yaptığı işi dahil etmezsek

'

1-2 2 1

U = T -T = ∆ E

^, ∆E mekanik enerjisindeki değişim. Yay ve ağırlık kuvvetlerinin işini de göz önüne alırsak

'

U

1-2

= ∆ E

^U

_1-2^'

= ∆ + ∆ + ∆ = ∆ ^{T V}

_g

^V

_e

^E

veya

T

₁

+ V

_g1

+ V

_e1

+ U

_{1 2}^'₋

= + T

₂

V

_g2

+ V

_e2

elde ederiz.

Şimdi sistem için T = Σ (1/2) mⁱ vi2

KE (Kinetik Enerji) terimini inceleyelim.

Not: Bir cismin kütle merkezi ile ilgili bir büyüklük gösterilirken ya o büyüklügün üstü çizilir veya G indisi kullanılır. Örneğin kütle merkezinin hızı

v

G veya

v

ile gösterilir.

Bir noktasal cismin hızını

i i

v = + v ρ ɺ

şeklinde yazabiliriz. Burada v^G sistemin kütle merkezinin hızı ve ρⁱ, G ile beraber hareket eden (ötelenen) eksen takımına göre noktasal cismin bağıl hızı idi,

2 2

i i i i i i i i i i i

3. terim

1.terim 2. terim

1 1 1 1

T= m v v m (v ρ ) (v ρ ) Σ m v Σ m ρ Σm v.ρ

2 2 2 2

Σ = Σ + ɺ ⋅ + ɺ = + ɺ + ɺ

  

    

( )

i i i

m . . m . d m

Σ v ρ v ɺ

_i

= Σ ρ v ɺ

_i

= dt Σ ρ

_{i olur.}

ρ

_i kütle merkezinden ölçülüyor.

Yukarıdaki formülde 3. Terim sıfıra eşittir dolayısıyla toplam kinetik enerji;

Z

X O Y

z

y x

G ρρρρi

r_i

rG= r

m_i

d

d d

dt dt dt

=

= +

= +

i G i

i G i

i G i

r r + ρ r

r ρ

v v ρɺ

2 2

i i

1 1

T= mv Σ m |ρ |

2 + 2 ɺ

şeklindedir. Bu formül sistemin toplam kinetik enerjisinin, kütle merkezinin bir bütün olarak öteleme kinetik enerjisi artı tüm noktasal cisimlerin kütle merkezine göre bağıl hareketinin kinetik enerjisi olduğunu söyler.

i i

i

Σm Σm

Σm m

=

ⁱ

=

ⁱ

G

ρ ρ

ρ

idi. Eksen takımı G de olduğu için

ρ

_G

= 0

^,

Σ m

i

ρ

_i

= 0

olmalı^.

.

. _G

i i i

G = m V

m

i

V

_i

O z

y

4.3 IMPALS-MOMENTUM

a) Liner Momentum

Bir noktasal cismin liner momentumu Gi = mivi olarak tanımlanır. Sistemin liner momentumu onu oluşturan tüm noktasal cisimlerin liner momentumlarının vektörel toplamıdır.

G = Σ mⁱ vi

Burada vi = vG + dρⁱ/dt ve Σ mⁱ ρⁱ = m ρ^G = 0 yazarsak

i i i i i

i

m (v ρ ) m v d mρ

dt

v m d (0)

dt

= Σ + = Σ + Σ

= Σ +

G ɺ

Z

X O Y

z

y x

G ρρρρ_i r_i

rG

V_i

V_G

m m m m

i

= Σ

_G

=

_G

= = Σ

_i

G v v v v

elde ederiz.

Bu eşitlik sabit kütleli bir sistemin liner momentumunun sistemin kütlesi ile kütle merkezinin hızının çarpımına eşit olduğunu söyler. Yukarıdaki eştliğin zamana göre türevini alırsak

d d d

(m ) m

dt G = dt

_G

=

_G

⇒ = dt G

v a ΣF

bulunur.

Bu ifade bir tek maddesel cisim için daha önce elde ettiğimiz

Σ = F G ɺ

ile aynıdır.

Newton’un hareket denkleminin değişik bir ifadesidir. Kütle sabittir.

b) Açısal Momentum

Şimdi bir noktasal cisim sisteminin açısal momentumunu sabit bir O noktasına, kütle merkezine (G) ve herhangibir P noktasına göre belirleyeceğiz.

r = rG

ρG

=

O (sabit)

x y

z

O noktasına göre:

Noktasal cisim sisteminin açısal momentumunun sabit bir O noktasına göre (sabit Newton referans sistemine göre) yazarsak,

( m

i

)

= Σ ×

O i i

H r v

Bu ifadenin zamana göre türevini alırsak,

0

i i i

( m ) ( m ) ( m ) ( )

= Σ × + Σ × = Σ × + Σ × = Σ × = Σ

0 i i i i i i i i i i i 0

H r v r v r v r m a r F M



ɺ ɺ ɺ ɺ

Yukarıdaki formülde ilk ifade yok olur ve

ΣM

₀

= H ɺ

₀

elde ederiz.

Bu eşitlik sabit bir noktaya göre sisteme etki eden tüm dış kuvvetlerin momentinin, sistemin açısal momentumunun zamana göre değişme oranına (türevine) eşit olduğunu söyler. Eğer sistemin kütlesi zamanla değişiyorsa bu eşitliği uygulayamayız.

G noktasına göre:

Noktasal cisim sisteminin kütle merkezi G’ye göre açısal momentumu her bir noktasal cismin liner momentumunun G noktasına göre momentlerinin toplamıdır.

m

i

= Σ ×

G i i

H ρ r ɺ

... (A)

yukarıdaki eşitlikte

r ɺ

i yerine

( ^{r ɺ + ρ ɺ}

ⁱ

)

yazarsak,

G i i i i i i i i

0

H = Σ × ρ m (r ρ ) ɺ + ɺ = Σ × ρ m r ɺ + Σ × ρ m ρ ɺ

 

elde ederiz. Yukarıdaki eşitliklerdeki birinci ifade kütle merkezinin tanımından dolayı sıfıra eşittir. Böylece

m

i

= Σ ×

G i i

H ρ ρɺ

………(B)

(NOT:

Σ × ρ

_i

m

_i

r ɺ = − × Σ r ɺ m

_i

ρ

_i yazılır. Σ

m

_iρ_i =

0

olur. Kütle merkezi tanımından) elde edilir. (A) eşitliği mutlak açısal momentum eşitliğidir (çünkü mutlak hız kullanıldı).

(B) eşitliği bağıl açısal momentum eşitliğidir (çünkü bağıl hız kullanıldı).

Kütle merkezi G’ye göre sistemin mutlak ve bağıl açısal momentumu aynıdır, bu herhangi bir P noktası için geçerli değildir. (A) eşitliğinin zamana göre türevini alırsak;

i

= +

i

r ɺ r ɺ ρ ɺ

kullanılarak

( ^r

ⁱ

^{= + r}

^G

^ρ

ⁱ

^idi )

^,

^{r = r}

^G

^idi

ⁱ

Σm

G i i i i i i i i i i i

0

H = Σ × ρ m (r ρ ) + + Σ × ρ m r = Σ × ρ (F f ) + = Σ × = Σ ρ F

ri

M

G ɺɺ

ɺ ɺ ɺ ɺ ɺɺ



Burada F_i noktasal cisme etki eden dış kuvvetleri fⁱ ise noktasal cisme etki eden iç kuvvetleri temsil ediyor. Böylece Σ ρⁱ × Σ Fⁱ = Σ M^G elde ederiz. Buradan Σ M^G = dHG/dt olduğu görülür.

NOT: ΣM₀ = Hɺ ve ₀ ΣM_G = Hɺ _G Denklemleri Dinamiğin önemli denklemleri olup, sabit kütleli rijid veya rijid olmayan belirli maddesel sistemlere uygulanır.

P noktasına göre:

Herhangi bir P noktasına göre sistemin açısal momentumu, ρ ρ ρ kullanılarak; ′ = +_{i i}

( )

p i i i i i i i i

H = Σ × ρ m r ′ ɺ = Σ + ρ ρ × m r ɺ = Σ × ρ m r ɺ

_i

+ Σ × ρ

_i

m r

_i

(ilk terim:

Σ × ρ m r ɺ = × Σ ρ m r ɺ = × Σ ρ m v = × ρ m v

ÖTELEME YAPAN EKSENLERDE

Σm

_i

v

_i

= m idi v

₎

diye tanımlarız. Burada ilk terimi ρ mv× şeklinde ve ikinci terimi

i i G

ρ m

H

Σ × rɺ_i = şeklinde yazarsak aşağıdaki eşitliği elde ederiz.

= + × ρ m

p G

H H v

Bu eşitlik herhangi bir P noktasına göre açısal mutlak momentumun, kütle merkezi G noktasına göre açısal momentumu artı kütle merkezinin Liner momentumunun P noktasına göre momenti diye de okunabilir.

Şimdi Statikte elde ettiğimiz (bildiğimiz) moment prensibini kullanacağız.

ρρρρ_i r_i

rG

y z

O

. ^G

m_i

x

.

P

'

ρi

r_p

ρG

.

A Denklemine benzer bir momentum bağıntısını, P’ye göre MOMENTUM’u kullanarak yazalım:

b i i i

(

H_p

)

= Σ ×ρ′_i

m

ρɺ′_i

,

ρɺ′

: m 'nin P'ye göre hızıdır.

′

_i

=

_G

+

_i

⇒ ′

_i

=

_G

+

_i

ρ ρ ρ ρ ρ ɺ ɺ ρ ɺ

kullanılarak

bağıl i i i i

( H

_p

) = Σ × ρ

_G

m ρ ɺ

_G

+ Σ × ρ

_G

m ρ ɺ

_i

+ Σ × ρ

_i

m ρ ɺ

_G

+ Σ × ρ

_i

m ρ ɺ

_i

Birinci terim:

Σ × ρ

_G

m

_i

ρ ɺ

_G

= ρ

_G

× m v

_b

Đkinci terim:

Σ × ρ

_G

m

i

ρ ρ ɺ

_i

=

_G

× m v

_b

Üçüncü terim:

Σ × ρ

_i

m

_i

ρ ɺ

_G

= − × Σ ρ ɺ

_G

m

_i

ρ

_i

= 0

Dördüncü terim:

Σ × ρ

_i

m

_i

ρ ɺ

_i

= ( H

_G

)

_b

( ) ^H

^p _b

^{= ( ) H}

^{G b}

^{+ ρ}

^G

^{× m v}

^b

P noktasına göre Moment, P noktasına göre AÇISAL MOMENTUM cinsinden yazılabilir.

b i

( H

_p

) = Σ × ρ ′

_i

m ρɺ ′

_i tanımından türev alarak

b i i

0

( H ɺ

_p

) = Σ × ρ ɺ ′

_i

m ρ ɺ ′

_i

+ Σ × ρ ′

_i

m ɺɺ ρ r r ρ

_i

; ɺɺ

_i

= + ɺɺ

_p

ɺɺ ′

_i

 

kullanılarak

b i i i

Σ

( ) = Σ × ′ m ( − ) = Σ × ′ m − Σ × ′ m

p

p i i p i i i p

M

H ɺ ρ ɺɺ r ɺɺ r ρ ɺɺ r ρ ɺɺ r

 

b i b

( ) m ′ ( ) m

Σ M

_p

= H ɺ

_p

− ×Σ a

_p

ρ

_i

⇒ Σ M

_p

= H ɺ

_p

− × a

_p

ρ

_G

i

i i

m m m

m

Σ ′

= = Σ

Σ

ⁱ

G G i

ρ ρ ρ ρ

b b

( ) m ( ) m

Σ M

_p

= H ɺ

_p

+ ρ

_G

× a

_p

= H ɺ

_p

+ × ρ a

_p

NOT: Moment merkezi olarak seçilen p noktasının

a

_p ivmesi bilindiği zaman bu bağıntı yararlıdır.

o

o b

o

1 0 ise

NOT: ( ) 2 0 ise

3 ve paralel ise

 =

Σ =  = =



p

p p G

p

a

M H ρ ρ

ρ a ɺ

Bu bağıntı bize herhangi bir P moment merkezine göre moment yazma şansını verir. Katı cisim kinetiğinde önemlidir.

Şekilde G noktasına etki eden bileşke kuvveti ve onun oluşturduğu moment görülüyor. P noktasına göre momentlerin toplamını

Σ M

_p

= Σ M

_G

+ × Σ ρ F

_veya

Σ M

_p

= H ɺ

_G

+ × ρ m a

şeklinde yazabiliriz.

Moment nakil teoreminden

yazılır.

konularak veya

m elde edilir.

Σ = Σ + × Σ

Σ =

Σ = + × Σ Σ = + × Σ

p G

G G

p G

p G G

M M ρ F

M H

M H ρ F

M H ρ a

ɺ

ɺ

ɺ

4.4 Enerjinin ve Momentumun Korunumu

Bir noktasal cisim sisteminde toplam mekanik enerjinin ve toplam momentumum belli bir zaman aralığında değişmediği durumlar hareket problemlerinde sık sık görülür.

Şimdi bunları ayrı ayrı inceleyelim:

a) Enerjinin Korunumu:

Bir noktasal cisim sistemi eğer, iç sürtünmeler ve elastik olmayan elemanlar tarafından sönümlenerek enerji kaybetmiyorsa bu sistemin konservatif (saklayıcı, koruyucu sistem) olduğu söylenir.

Eğer bir zaman aralığında dış kuvvetler tarafından sisteme bir iş yapılmamışsa (ağırlık ve elastik kuvvetler hariç) bu sistemde bir enerji kaybı yoktur.

1-2 G e

U ′ = ∆ + ∆ + ∆ = ∆ T V V E idi.

∆E = 0 veya E^ilk = Eson böylece

∆T + ∆V^g + ∆V^e = 0 veya T1 + Vg1 + Ve1 = T2 + Vg2 + Ve2 yazabiliriz. Buna dinamik enerjinin korunumu kanunu denir.

b) Momentumun Korunumu

Eğer herhangi bir zaman aralığında bir noktasal cisim sistemine etki eden toplam dış kuvvetlerin bileşkesi 0 ise dG/dt = 0 ve bu zaman aralığında (Σ =F Gɺ idi) G1 = G2’dir.

Buna liner momentumun korunumu prensibi denir.

Eğer benzer şekilde herhangi bir noktasal cisim sistemine, herhangi bir sabit O noktasına veya G kütle merkezine göre etki eden dış kuvvetlerin momentlerinin toplamı 0 ise,

veya

Σ

ba

ğıntılarından ΣM_O = Hɺ _O M_G = Hɺ _G

O 1 O 2 G 1 G 2

(H )

=

(H ) veya (H )

=

(H )

Buna açısal momentumun korunumu prensibi denir.

Problem 4/1: m kütlesindeki üç topun herbiri, kütlesi ihmal edilebilen bir açısal kafese kaynak edilmiştir. Eğer ani bir F kuvveti şekilde gösterildiği gibi bir çubuğa uygulanırsa a) O noktasının ivmesini

b) Çubuk sisteminin açısal ivmesini hesaplayınız^.

Sistem sürtünmesiz yatay bir düzlemde bulunuyor.

Çözüm 4/1 :

1^° Sistemin kütle merkezi O noktasıdır.

m m F 3m

F bulunur.

3m

Σ = = ⇒ =

= = =

a

G 0

F a a i a

a a a i

2^°

dr dθ

dt r dt

θ ' Σ yi moment prensibinden elde edebiliriz.

= +

=

r θ

G G

v e e

M H

ɺɺ ɺ

i

2

2 2

0

2

2

0 2

m

dr d θ d θ

r 3m r 3mr

dt dt dt

3mr θ H 3mr θ elde edilir.

Σ d (3mr θ )

dt

Fb 3mr θ θ Fb

3mr

- i şareti açısal ivmenin yönünü belirtir. Büyüklüğü θ

= = Σ × ⇒

 

= Σ ×  +  =

 

= ⇒ =

Σ = ⇒ = =

Σ = Σ = − = ⇒ = −

G 0 i i

0 r r θ z

0 z

G G 0 0 z

G z z

H H ρ r

H e e e e

H e

M H M H e

M M e e

ɺ

ɺ ɺ

ɺ ɺ

ɺɺ ɺɺ

ɺɺ

2

Fb dir.

= 3mr

Problem 4.2: 4/1 deki sistemde O noktasında kaynak yerine menteşe kullanılırsa ne fark eder ? açıklayınız.

Çözüm 4/2: Newton’un hareket kanunu her maddesel sistem için geçerlidir. Yani G kütle merkezinin a_G = a ivmesi 4/1 deki gibi olur.

F

=

_G

= 3m

a a i

_{fark yok.}

Kütleler O etrafında serbestçe dönerken, O menteşesi artık sistemin G kütle

merkezi değildir. ^{ΣMG veHɺ G} ifadeleri her iki problemde aynıdır. Çubukların (parmaklıkların) açısal hızları (hareketleri) birbirinden farklıdır. Kolayca hesaplanamaz.

Problem 4/3: 20 kg kütlesindeki bir bomba 0 noktasında x-y düşey düzleminde 300 m/s ilk hızı ile şekilde gösterildiği eğimle fırlatılıyor. Bomba yörüngenin en yüksek noktasına eriştiğinde patlayıp A, B ve C parçalarına bölünüyor. Patlamadan sonra A parçasi dikey olarak 500 m. yükseliyor, B yatay v_B hızına sahip ve Q noktasında yere çarpıyor. A, B ve C’nin kütleleri 5kg, 9kg. Ve 6kg. oldukları parçalar bulunduktan sonra tespit ediliyor.

C’nin patlamadan hemen sonraki hızını bulunuz. Atmosferik sürtünmeyi ihmal edin.

Çözüm 4/3: v =-gt+v (dü_{z 0} şey atış), P noktasında v =0 (P maksimum nokta)_z

z

mak z mak

usinθ

0 gt t

g g

u u

= − + ⇒ = =

2 2

z 0 z

1 1 Mz Mz

z gt (v ) t P noktasında h (9,81). M

2 2 g g

   

= − + ⇒ = −   +  

   

A A

A'nın hızı v = 2gh = 2(9,81)(500) =99,0 m/s

B

yol 400 m

B'nin hızı ise v 163,5 m/s

zaman 24,5 s

= = =

Patlama kuvveti, bomba ve üç parçadan oluşan sistem için bir iç kuvvet olup patlama anında değişmez.

0 Momentum korunumludur.

Σ = Σ = ⇒ F fi

A B C

m m m m

= = ⇒ = + +

1 2 A B C

G G G v v v v

2 2 2 C

20 (300) 3 5(99, 0) 9(163,5)( cos 45 sin 45 ) 6 5

6 2560 1040 495 (427 173 825 ) m/s

v (427) ( 173) ( 82,5) 468 m/s

vC

  = + + +

  

= − − ⇒ = − −

= + − + − =

C

C

i k i j v

v i j k i j k

Cx C Cy

C Cz C

v 427 427

cos arccos 24,16

v 468 468

v 173 173

cos arccos 113,96

v 468 468

v 82,5 82,5

cos arccos 100,15

v 468 468

α α

β β

β γ

 

= = ⇒ =   =

− − 

= = ⇒ =   =

−  − 

= = ⇒ =   =

Problem 4/4: 16 kg kütleli A vagonu 1.2 m/s hızı ile kendi yatağında yatay olarak hareketlidir. Vagon, O noktasında mafsallı iki çubuğa tespit edilen dört topu taşıyor.

Topların kütleleri 1,6 kg’dır. 1 ve 2 topu verilen yönde 80 dev/dak ; 3 ve 4 topu 100 dev/dak hızı ile dönüyor. Tüm sistem için

a) T kinetik enerjiyi

b) |G|=G Liner momentumunu

c) |H_O|=H_O açısal momentumunu hesaplayınız.

Çözüm 4/4: Kinetik enerji:

i

bağ i i

i 1 2 i

i 3 4 i

dr dθ

| | v v r

dt dt

80(2 )

(v ) r θ (0, 450) 3,77 m/s 60

100(2 )

(v ) r θ (0,300) 3,14 m/s 60

π π

−

−

= ⇒ = +

= = =

 

= =     =

i r θ

ρ ɺ e e

ɺ ɺ

Sistemin kinetik enerjisi i ²

1 1

T m m ( ) idi

2 2

= v

²_G

+ Σ ρɺ

_i

2 2 2

1 2 3 4

0

0

i 1 2

3 4

1 2

1 1 1

[16 4(1,6)](1, 2) 2[ (1,6)(3,77) ] 2[ (1,6)(3,14) ]

2 2 2

54,66 J

2 m [16 4(1,6)](1, 2) (26,88 ) kg m/s

3 m m m

m m

2[0, 45 (1,6)(3,77) ] 2[0.300 (

T T

− −

−

= + + +

=

= ⇒ = + =

+ = Σ × = × + × +

× + ×

= + +

+

G

0 i i 1 1 2 2

3 3 4 4

0 r θ

r

G v G i i

H r v r v r v

r v r v

H e e

e տ

3 4 2

2 0

1,6)( 3,14) ] (5, 43 3,02 ) kgm /s H 2, 41kgm /s

−

−

= −

=

θ

0 z z

e

H e e