1.5. Üst Yarı-Düzlem İçin Poisson İntegral Formülü 0
Im z üst yarı-düzlemi için Dirichlet problemi; üst yarı-düzlemde harmonik ve
x , 0 u x
sınır değerlerine sahip olan bir x, y fonksiyonu bulmaktır, burada u x bir
reel değişkenli ve reel-değerli fonksiyondur.
Teorem 1.5.1. (Poisson İntegral Formülü) u t , her t için parçalı sürekli ve sınırlı, reel- R değerli bir fonksiyon olsun. Bu durumda
2 2,
y t x
dt t u y y
x
(1.3)
fonksiyonu Im z 0 üst yarı-düzleminde harmoniktir ve u sürekli iken
x , 0 u x
sınır değerine sahiptir.
İspat. (1.3) denklemini N -değer Dirichlet probleminin sonuçlarından belirlemek kolaydır.
t
Nt
t
1
2 x -ekseni boyunca yerleştirilmiş N tane noktayı göstersin. t
*0 t
1* t
*N, N
k 1 , 2 , , için t
k*1 t
k t
k*olacak biçimde seçilmiş N 1 tane nokta olsun. Bu durumda N -değer Dirichlet probleminden
k
N
k
k k
N
u t u t Arg z t
t u y
x
1
*
* 1
*
1
,
fonksiyonu üst yarı-düzlemde harmoniktir ve
N N
k k
k
t x t
u x
t x t t
u x
t x t
u x
, 0
,
, 0
,
, 0
,
*
1
*
1
* 0
sınır değerlerini alır.
Şekil 10
Bir kompleks sayının argümentinin özelliklerini kullanırsak
11
* 1
* 1
* 0
1 1
, 1
Nk
N N
k k
k
u t Arg z t
t z
t Arg z t u t
z Arg t u y
x
yazabiliriz. Buradan değeri (ağırlık anlamında)
Nk
k
t
ku y
x
0
1
*,
ile verilir, burada k 0 , 1 , , N için açıları toplamı
k dir. Bu, yukarıda Şekil 10 da gösterilmiştir.
2 2, tan
y t x d ydt t
x Arc y t
z
Arg
değişken değişimi yapılırsa
N
k k
k k
y t
x
t t y u
y x
0 * 2 2
*
,
elde edilir. Bu Riemann toplamının limiti
2 2,
y t x
dt t u y y
x
genelleştirilmiş integrali olur. Böylece teorem ispatlanmıştır.
Örnek 1.5.2. Im z 0 üst yarı-düzleminde harmonik olan bir x, y fonksiyonu bulunuz öyle
ki
, 0 0 , 1 1 1
, 1 0 ,
x x
x x
sınır değerlerine sahip olsun.
Çözüm. Poisson integral formülünden
dt t x
y t x
y
y t x
ydt
22 2
2
1
) ( )
(
t x u y
u dt du
t x du y t x u y
( )
2 1
2arctan arctan olduğundan
tan 1 1
tan 1 1
1 tan , 1
1
1 1
1 2 2
1
1 2 2
x Arc y x
Arc y
t x Arc y y
t x
ydt y
t x
dt y y
x
t
elde edilir.
Örnek 1.5.3 Im z 0 üst yarı-düzleminde harmonik olan bir x, y fonksiyonu bulunuz öyle
ki
, 0 0 , 1 1 1
, 0
,
x x
x x
x
sınır değerlerine sahip olsun.
Çözüm. Poisson integral formülünden
1 tan 1 tan 1
ln 1 2 , 1
2 2 2 2
1
1 2 2
1
1 2 2
1
1 2 2
x Arc y x x
Arc y x y x
y x
y
y t x
ydt x
y t x
dt t
y x y t x
tdt y y
x
elde edilir. x, y fonksiyonu üst yarı-düzlemde süreklidir. x , 0 fonksiyonu reel eksen üzerinde x 1 de süreksizliğe sahiptir.
Örnek 1.5.4. Im z 0 üst yarı-düzleminde harmonik olan bir x, y fonksiyonu bulunuz öyle
ki
, 0 1 , 1 1 ,
1 0 ,
1 ,
0 ,
x x
x x
x x
x
sınır değerlerine sahip olsun.
Çözüm. N-değer Dirichlet problemindeki yöntemi kullanarak
1 tan 1
tan 1 1 1
,
x
Arc y x
Arc y y
x
v
fonksiyonunu buluruz. Bu fonksiyon üst yarı-düzlemde harmonik ve x 1 için v x , 0 0 ,
1
x için v x , 0 1 ve x 1 için v x , 0 1 sınır değerlerine sahiptir. Bu fonksiyon Örnek 1.5.3 de bulunan fonksiyona eklendiğinde
1 1 tan 1 1 tan 1
ln 1 1 2
,
2 22 2
x
Arc y x
x Arc y x
y x
y x
y y
x
buluruz.
Problemler.
1. Poisson integral formülünü kullanarak Im z 0 üst yarı-düzleminde harmonik olan öyle bir ( y x , ) fonksiyonu bulunuz ki
( ,0) , 1 1
( , ) 0, 1
x x x
x y x
sınır koşulları sağlansın.
2. Poisson integral formülünü kullanarak Im z 0 üst yarı-düzleminde harmonik olan öyle bir ( y x , ) fonksiyonu bulunuz ki
( , 0) ( ) 0, 0 ( , 0) ( ) , 0 1 ( , 0) ( ) 0, 1
t U t t
t U t t t
t U t t
sınır koşulları sağlansın.
3. Poisson integral formülünü kullanarak Im z 0 üst yarı-düzleminde harmonik olan öyle bir )
, ( y x
fonksiyonu bulunuz ki
1 , 1 ) ( ) 0 , (
1 0 , ) ( ) 0 , (
0 , 0 ) ( ) 0 , (
t t
U t
t t
t U t
t t
U t
sınır koşulları sağlansın.
4. Poisson integral formülünü kullanarak Im z 0 üst yarı-düzleminde harmonik olan öyle bir )
, ( y x
fonksiyonu bulunuz ki
( ,0) ( ) 1, 0
( ,0) ( ) , 0 1
( ,0) ( ) 0, 1
t U t t
t U t t t
t U t t
j j j
= = <
= = < <
= = >
