(8)-(9) sisteminin faz düzlem denklemi dy

(8)-(9) sisteminin faz düzlem denklemi dy

dx = ^cx + dy

ax + by (17)

olup, zamana aç¬k olarak ba¼ gl¬de¼ gildir. Bir yörünge boyunca nüfusun nas¬l de¼ gi¸sti¼ gini belirlemek için, zamana ba¼ gl¬denklemde de¼ gi¸sim yönünü gösteren ok i¸saretleri kullanaca¼ g¬z. Faz düzlem denklemi kendi ba¸s¬na kararl¬l¬¼ g¬veya karars¬zl¬¼ g¬belirleyemez. t zaman¬n¬ t ile de¼ gi¸stirmek bir kararl¬denge noktas¬n¬karars¬z bir denge noktas¬na dönü¸stürebilir fakat faz düzlem denklemi ayn¬kal¬r. Örne¼ gin çözümdeki e

tipi bir terim e

ye dönü¸sür fakat faz düzlem denklemi de¼ gi¸smez. Kararl¬l¬¼ g¬n belirlenmesinde zamana ba¼ gl¬denklemin kullan¬lmas¬zorunlulu¼ gunu göstermek için

a¸sa¼ g¬daki örnek yeterli olacakt¬r.

Iki Tür Modeli Faz Düzlemi

Example

A¸sa¼ g¬daki iki sistemi göz önüne alal¬m.

dx

dt = x, dy

dt = y ; x ( 0 ) = x

, y ( 0 ) = y

(18) dx

dt = 2x, dy

dt = 2y ; x ( 0 ) = x

, y ( 0 ) = y

. (19)

· Ilk sistemin çözümü f ^x = x

e

, y = y

e

g ^, ve ikinci sistemin çözümü ise x = x

e

, y = y

e

dir. Böylece (18) sistemi karars¬z, ve (19) sistemi kararl¬d¬r. Fakat her iki sistemin faz düzlem denklemleri ayn¬olup,

dy dx = ^y

x

dir.

E¼ ger a, b, c, d sabitlerinin hepsinin birden i¸saretlerini de¼ gi¸stirirsek, faz düzlem denklemi de¼ gi¸smez kal¬r. p = a + d , q = ad bc ve

4 = ^p

^{4q oldu¼} gundan, bu durumda sadece p nin i¸sareti de¼ gi¸sir.

Böylece, e¼ ger faz düzlem denklemini göz önüne al¬rsak, p > 0 ve p < 0 durumlar¬n¬ayr¬ayr¬incelemek gerekmez. Ters do¼ grultudaki hareketi gösteren oklar kullanmak yeterli olur. ¸ Simdi a¸sa¼ g¬daki temel durumlar¬göz önüne alal¬m:

I(A) : 4 > ^{0, q} > 0; I(C) : 4 > ^{0, q} < 0; III(A) : 4 < ^{0, p} > 0; III(C) :

4 < ^{0, p} < 0. Yukar¬daki aç¬klamalara göre son iki durum 4 < ^{0, p} 6= ⁰

durumu olarak dü¸sünülebilir.

Iki Tür Modeli Faz Düzlemi

I(A) : 4 > ^{0, q} > 0 durumu.

Kökler farkl¬ve reeldir. p > 0 iken kökler pozitiftir. p < 0 iken kökler negatiftir. Genelli¼ gi bozmaks¬z¬n c 6= ⁰ kabul edelim.

x ( t ) = ^k

( r

d )

c e

+ ^k

( r

d )

c e

(20)

y ( t ) = k

e

+ k

e

(21) dir. r

> r

( r

> r

> 0 veya 0 > r

> r

) olsun. Basit yörüngeler k

= 0 ise

x ( t ) = k

r

d c e

y ( t ) = k

e

)

=) ^x _y = ^r

^d

c (22)

k

= 0 ise,

x ( t ) = k

r

d c e

y ( t ) = k

e

)

=) ^x _y = ^r

^d

c (23)

olur.

¸

Sekil:

Her iki e¼ gim de pozitif kabul edilmi¸stir.

Zamana ba¼ gl¬ çözümler göstermektedir ki bu yörüngeler ya orjinden

uzakla¸smaktad¬r (karars¬z durum, her iki kök de pozitif), ya da orjine do¼ gru

yakla¸smaktad¬r (kararl¬durum, her iki kök de negatif).

Iki Tür Modeli Faz Düzlemi

Di¼ ger yörüngeleri çizmek için x ( t ) ve y ( t ) nin t ! ^∞ iken asimptotik davran¬¸s¬n¬inceleyelim: r

> r

oldu¼ gundan

t ! ∞ iken 8 >

> <

> >

:

x ! ^k

^r

_c ^{d e}

! ₀ ^∞ her iki kök pozitif negatif y ! ^k

^e

! ₀ ^∞ her iki kök pozitif

negatif

t ! ^{∞ iken} 8 >

> <

> >

:

x ! ^k

^r

_c ^{d e}

! ⁰ _∞ her iki kök pozitif negatif y ! ^k

^e

! ⁰ _∞ her iki kök pozitif

negatif

Böylece x ve y sonsuza giderken yörüngeler de x

y = 8 >

<

> : r

d r

c d

c

her iki kök pozitif negatif

do¼ grusal yörüngelerinden birine paralel hareket ederler. Yörüngeler orjine yakla¸s¬rken, do¼ grusal yörüngelere te¼ get olarak yakla¸s¬rlar:

x y !

8 >

<

> : r

d r

c d

c

her iki kök negatif

pozitif

Iki Tür Modeli Faz Düzlemi

Baz¬tipik yörüngeler ¸ Sekilde verilmi¸stir.

¸

Sekil:

Nod: Tipik yörüngeler.

Bu tür durumdaki denge noktas¬na, yörüngeler s¬f¬ra gidiyorsa bir kararl¬

nod; yörüngeler s¬f¬rdan uzakla¸s¬yorsa, bir karars¬z nod denir.

4 >

Kökler z¬t i¸sarettedir. c 6= ^{0 ise} x ( t ) = ^k

( r

d )

c e

+ ^k

( r

d ) c e

y ( t ) = k

e

+ k

e

r

< 0 < r

olsun. k

= 0 ise x ( t ) = k

r

d

c e

y ( t ) = k

e

)

=) ^x _y = ^r

^d c k

= 0 için

x ( t ) = k

r

d c e

y ( t ) = k

e

)

=) ^x _y = ^r

^d

c

Iki Tür Modeli Faz Düzlemi

¸

Sekil:

Baz¬önemli yörüngeler.

t ! ^{∞ iken} (

x ! ^k

^r

_c ^{d e}

y ! ^k

^e

t ! ^{∞ iken} (

x ! ^k

^r

_c ^{d e}

y ! ^k

^e

Iki Tür Modeli Faz Düzlemi

¸

Sekil:

Bir semer noktas¬kom¸sulu¼ gunda yörüngeler.

Bu tip bir denge noktas¬bir semer noktas¬olarak adland¬r¬l¬r. Bu bir

karars¬z denge noktas¬d¬r, çünkü bu nokta kom¸sulu¼ gundaki ço¼ gu yörüngeler

noktadan uzakla¸smaktad¬rlar.

yörüngelerdir ki bunlar denge noktas¬n¬kesen tek yörüngeler olup, bu türden tüm do¼ grusal yörüngeleri belirlemek için kolay bir yol, faz düzlem denkleminde y = mx dönü¸sümü yapmakt¬r. Böylece,

m = ^dy

dx = ^cx + dy

ax + by = ^c + dm a + bm veya bm

+ ( a d ) m c = 0 olup, buradan

m = ^{d a}

p ( a d )

+ 4bc

2b (24)

elde edilir ki bunun y /x = c / ( r d ) ye denk oldu¼ gu gösterilebilir.

Ba¼ g¬ms¬z de¼ gi¸sken t ye göre, üzerinde çözümün e¼ giminin sabit oldu¼ gu bir

e¼ griye bir e¸ syönlü denir. Do¼ grusal yörüngeleri ve basit e¸syönlüleri ( ki

bunlar üzerinde dy /dx = 0 ve dy /dx = ∞ dur) bilmek, örne¼ gin bir semer

noktal¬faz düzlem denklemini kolayca çizmemizi mümkün k¬lar.

Iki Tür Modeli Faz Düzlemi

n

dt

= x y ,

= 2x 2y

o

sistemini göz önüne alal¬m.

p = a + d = 1, q = ad bc = 4, 4 = ^p

^4q = 17 olup, 4 > ^{0 ve} q < 0 oldu¼ gundan semer noktas¬vard¬r. Faz düzlem denklemi

dy

dx = ² ( x + y )

x y

oldu¼ gundan e¸ syönlüler: x y = 0 ve x + y = 0 do¼ grular¬d¬r

¸

Sekil:

E¸syönlüler (oklar zamana ba¼ gl¬denklemden al¬nm¬¸st¬r).

m = ³

p 17

2 + ^{3.56 veya 0.56}

olup, basit yörüngeler y = 3.56x ve y = 0.56x dir. Böylece, a¸sa¼ g¬daki gra…¼ gi çizebiliriz.

¸

Sekil:

Bir semer noktas¬kom¸sulu¼ gunda yörüngeler (basit e¸syönlüler ve do¼ grusal