HAFTA 3

(1)

1 HAFTA 3

REGRESYON MODELLERİNİN FONKSİYON KALIPLARI:

Şimdiye kadar anlatılan regresyon modelleri:  Basit doğrusal model

 Orijinden geçen doğrusal model  Çoklu regresyon modeli

Her zaman regresyon modeli doğrusal olmayabilir. Katsayılarda doğrusal olan ya da değişkenlerin uygun dönüşümleriyle doğrusallaşabilen bazı yaygın modeller:

 Log-doğrusal modeller  Yarı-logaritmik modeller  Ters modeller

Esneklik: Açıklanan değişken

Y

’nin açıklayıcı değişken

X

’e göre esnekliği;

X

’deki küçük bir yüzde değişimin

Y

’de meydana getirdiği yüzde değişimidir. Esneklik:

 Nokta esneklik

 Ortalamaya göre esneklik olarak incelenebilir.

1. Basit doğrusal regresyon modeli: Y 

 

₀ ₁x



için  nokta esneklik . 1 ; 1, 2, , i i x Y x i n x Y  Y     

 ortalamaya göre esneklik ₁ x

Y  

 herhangi bir zaman kesitinde alınan veriler düşünülürse t zaman kesitinde esneklik

1 1 1 1 ( ) ( ) / ( ) ( ) / t t t t t t t t t t t t Y Y X Y Y Y X X Y X X X      _   

Y

’deki göreli değişimi ya da oransal değişimi verir. Göreli değişim*100=yüzde değişimi verir.

a) Mutlak değişme =X_t X_t_₁

b) Göreli ya da oransal değişme = 1 1 t t t X X X   

c) Yüzde değişme ya da yüzde büyüme oranı = 1 1 t t t X X X    *100

Bu üç farklı değişim

X

’deki değişimleri vermektedir. X ve t Xt1,

X

değişkeninin sırasıyla

t ve t1 zamanındaki değerleridir.

(2)

2  nokta esneklik . ij; 1, 2, , ; 1, 2, , j i x Y i n j k x Y     

 ortalamaya göre esneklik _j xj ; j 1, 2, ,k Y



 

 Log-doğrusal modeller:

Üstel regresyon modeli: 1

0 i 1, 2, ,

i

i i

Y 



X e   n

Y

’nin doğal logaritması alınırsa; * * * 0 0 1 i i i i i Y X lnY ln lnX         Y_i* 



₀*



₁X_i*



_i

doğrusal modele dönüşür. Böyle dönüşümler sonucunda doğrusal model haline dönüşebilen modellere log-log, çifte-log ya da log-doğrusal modeller denir. Log-log modelinin yaygın kullanılmasına yol açması eğim katsayısının

Y

’nin

X

’e göre esnekliğini vermesidir. Örneğin;

Y

= bir mala olan talep

X

= bu malın birim fiyatı

olmak üzere

Y

ve

X

arasındaki doğrusal regresyon modelindeki eğim katsayısı 1 talebin fiyat esnekliğini ölçer.

 Yarı-logaritmik modeller: Log-doğ log

Doğ 

 _



İktisatçılar, işletmeciler, kamu yöneticileri sık sık nüfus, gayrisafi ulusal ürün (GSUÜ), para arzı, istihdam, verimlilik, dış ticaret açığı gibi değişkenlerin büyüme oranlarının bulunmasıyla ilgilenir.

Y

ve

X

değişkenlerinden biri aritmetik seri, diğeri ise geometrik seri özelliğini taşıyorsa bu tip modeller kullanılır.

0 1 aritmetik seri geometrik seri _X Y Y X          * _* _* 1 0 0 1 Y lnY ln ln X    

(3)

3

tipindeki modellere yarı-logaritmik modeller denir. Sadece açıklanan değişken üzerinde logaritmik dönüşüm yapılıyorsa, modele log-dog modeli; sadece açıklayıcı değişkenin logaritmik dönüşümü yapılıyorsa modele doğ-log modeli denir.

Bu tür modellerde X’deki mutlak değişime karşılık Y’deki oransal ya da göreli değişmeyi

eğim katsayısı ölçer. 1

1

Açıklanan değişkendeki göreli değişim Açıklayıcı değişkendeki mutlak değişim dY

dX Y dlnY

dt   

Y

ve

X

’deki küçük değişmeler için bu ilişki yaklaşık 1 1 1 ( ) / ( ) t t t t t Y Y Y X X      .

Y

’deki göreli değişmeyi 100 ile çarparsak, ₁ açıklayıcı değişken

X

’deki mutlak değişmeye karşılık

Y

’deki % değişmeyi ya da büyüme oranını verecektir.

1 1

sabit göreli ya da sabit yüzde 100 *

'deki büyüme hızı 0 küçülme hızı 0 Y         _   _ 

gösterir. Bu nedenle bu tip modellere (sabit) büyüme modelleri denir.

 Ters modeller: 0 1 1 i i i Y X      

türünde olan modellere ters modeller denir. Bu model, X’in modele ters ya da 1 bölü olarak

girmesi nedeniyle X değişkeninde doğrusal değildir ama 0 ve 1 regresyon katsayılarında doğrusaldır. Bu nedenle de doğrusal bir regresyon modelidir. Bu modelin iki özelliği:

1

0 1

0

asimtotik değerine yakınsar.

X X Y       

(4)

4

Phillips eğrisi Engel’in harcama eğrisi

Eğer * 1 i

i

X X

 olarak alınırsa, Yi 

 

0 1Xi*



i doğrusal modeli olur. Eğer bu modelin eğimi dY ₁ 1₂

dX   X dir. 1 pozitif ise eğim her noktada negatif, 1 negatif ise eğim her

noktada pozitif olur.

Örnek: İngiltere’de Phillips eğrisi, 1950-1966

Y 1950-1966 dönemi için İngiltere’deki ücret değişmeleri

X  işsizlik oranı Ters model: ˆ_i 1.4282 8.2743 1 i Y X    r2 0.3849 F1,15 9.39

Açıkça anlaşılacağı üzere ücret tabanı yüzde -1.43, yani X sonsuza doğru büyüdükçe ücretlerdeki yüzde düşüş yılda yüzde 1.43’den çok olamaz (2. grafik). 3. grafik ise Engel’in harcama eğrisi, gelir ne olursa olsun belli bir noktadan sonra harcama yapılmıyor. Eşik değerinin yani 1

0  

 altında harcama yapılmıyor. Fonksiyon kalıplarının özeti:

Model Eşitlik _Eğim

 

dY

(5)

5 Ters 0 1 1 Y X       1 2 1 X     _ _ 1 1 XY     _ _ *

Not: * esneklik katsayısının X’e ya da Y’ye ya da her ikisine birden bağlı olarak değiştiğini

gösterir. Uygulamada X , Y değerleri belirtilmezse, bu esneklikler X , Y ortalama değerleri