SAİT TANRIÖĞEN - CELAL BAYAR ÜNİVERSİTESİ
MESLEKİ TRİGONOMETRİ
AÇI VE YAY VE BİRİMLERİNİN BİRBİRİNE DÖNÜŞÜMÜYLE İLGİLİ ÖRNEKLER
ÖRNEK 1.
Yarıçapı 126,42 m. olan bir çemberde; 2°35′54" lik merkez açıya karşılık gelen yay boyu kaç METREDİR?ÇÖZÜM
Açı ve Yay Genel Formülü
𝑦𝑦 =2 × 𝜋𝜋 × 𝑟𝑟 × 𝛼𝛼
360 =2 × 𝜋𝜋 × 126,42𝑚𝑚.× 2°35′54"
360 = 5,73 𝑚𝑚.
ÖRNEK 2.
Dünyanın yarıçapı 6370 km. dir. Dünya üzerinde 9850 m lik yay boyuna karşılık gelen merkez açı kaç DERECEDİR?ÇÖZÜM
Açı ve Yay Genel Formülü
𝑦𝑦 =2 × 𝜋𝜋 × 𝑟𝑟 × 𝛼𝛼
360 → 𝛼𝛼 = 360 × 𝑦𝑦 2 × 𝜋𝜋 × 𝑟𝑟
𝛼𝛼 = 360 × 𝑦𝑦 2 × 𝜋𝜋 × 𝑟𝑟 =
360 × 9850𝑚𝑚.
2 × 𝜋𝜋 × 6370000𝑚𝑚. = 0,088597084° =0°05′18,94"
𝑦𝑦 =2 × 𝜋𝜋 × 𝑟𝑟 × 𝛼𝛼°
360°
𝑦𝑦 =2 × 𝜋𝜋 × 𝑟𝑟 × 𝛼𝛼°
360°
SAİT TANRIÖĞEN - CELAL BAYAR ÜNİVERSİTESİ
ÖRNEK 3.
Türkiye Cumhuriyeti bandıralı, 31532 grostonluk, 190 m.lik Ocean Freedom adlı kuru yük gemisi İstanbul Boğazında bir limana iskeleye tam paralel olarak demirlemiştir. Boğazın genişliğini ölçmek isteyen teknisyenler; geminin tam karşısında, boğazın hemen kenarındaki bir noktadan teodolitle geminin en ön kısmındaki nokta ile en arka ucundaki noktalar arasında yatay açıyı ölçerek 5g 54c 85cc bulmuşlardır. İstanbul Boğazının bu kesitteki genişliği kaç metredir?ÇÖZÜM
Açı ve Yay Genel Formülü
𝑦𝑦 =2 × 𝜋𝜋 × 𝑟𝑟 × 𝛼𝛼
400 → 𝑟𝑟 = 400 × 𝑦𝑦 2 × 𝜋𝜋 × 𝛼𝛼 =
400 × 190
2 × 𝜋𝜋 × 5,5485 = 2180,01𝑚𝑚.
Boğazın bu kesitteki genişliği = 2180,01m.
ÖRNEK 4.
Bir üçgenin A açısı 62o48’ 32” ; B açısı 80g 65c 69ccolduğuna göre; C açısını RADYAN cinsinden bulunuz.ÇÖZÜM
Açı birimleri dönüşüm formülü
A=62o48’ 32” verilmiş; (A ve B açıları ayrı birimde verildikleri için; ya B açısını DERECEYE çevirmemiz ya da A açısını GRADA çevirmemiz gerekiyor.) Biz GRADı DERECEye çevirerek yapacağız.
B açısını GRADdan DERECEye çevirelim:
𝐷𝐷 =𝐺𝐺 × 360 400 =
80,6569 × 360
400 = 72,59121° = 72°35′28,35"
B=80g 65c 69cc = 72,59121 o = 72o 35’ 28,35”
C açısını ÜÇGENİN İÇ AÇILARI TOPLAMI 180 DERECEDİR kuralından bulalım.
𝐶𝐶 = 180° − (𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) = 180 − (62° 48’ 32” + 72°35′28,35") =44° 35’ 59,64”
C açısını RADYANA çevirelim;
𝑅𝑅 =𝐷𝐷 × 2 × 𝜋𝜋
360 = 44𝑜𝑜35′59,64′′× 2 × 𝜋𝜋
360 = 0,778415101 𝑅𝑅𝐴𝐴𝐷𝐷𝑅𝑅𝐴𝐴𝑅𝑅 𝑦𝑦 =2 × 𝜋𝜋 × 𝑟𝑟 × 𝛼𝛼𝑔𝑔
400𝑔𝑔
𝐷𝐷 360 =
𝐺𝐺 400 =
𝑅𝑅 2 × 𝜋𝜋 =
𝑀𝑀 6400
SAİT TANRIÖĞEN - CELAL BAYAR ÜNİVERSİTESİ
ÖRNEK 5.
Denizli Belediyesi, ilan reklam vergisi tahsilatı tahhuklarının kontrolu için, bünyesindeki harita teknisyenlerinden bazılarını tabelaların en ve boylarını ölçmekle görevlendirmiştir. Aydın yolu kenarındaki dev meşrubat şirketi tabelasının da en ve boyunun ölçülmesi gerekmektedir. Tabelaya tırmanmak tehlikeli ve imkânsızdır. Tabelanın sağındaki ve solundaki ayaklarından ölçülerek tabelanın uzunluğu 15,00 m. olarak bulunmuştur. Tabelanın eninin bulunması için teknisyenler tabelanın tam karşısına tabelanın orta ayağından tam 75,00 m. uzağındaki A noktasına teodolit kurarak aşağıdaki düşey açıları gözlemlemiş ve okumuştur. Buna göre tabelanın eni kaç metredir?ÇÖZÜM
Öncelikle Ölçülen düşey açı gözlemlerinden α düşey açısını bulalım.
α = 102,1250 – 97,8750 = 6,3700 GRAD Açı ve Yay Genel Formülü
𝑦𝑦 =2 × 𝜋𝜋 × 𝑟𝑟 × 𝛼𝛼
400 =2 × 𝜋𝜋 × 75 × 6,37
400 = 7,50𝑚𝑚.
Tabelanın eni = 7,50m.
AÇI ÖLÇÜ KARNESİ
Dur. Nok. Bak. Nokta Düş. Açı A Tabelanın üst kenarı 97,8750
Tabelanın alt kenarı 102,1250
𝑦𝑦 =2 × 𝜋𝜋 × 𝑟𝑟 × 𝛼𝛼𝑔𝑔 400𝑔𝑔
SAİT TANRIÖĞEN - CELAL BAYAR ÜNİVERSİTESİ
SORU Manisa Büyükşehir Belediyesi, Park ve Bahçeler Müdürlüğü, parklardaki ağaçların olduğu yerlere 75x40 cm. boyutlarındaki taş bloklar (bordür taşları) kullanılarak yarıçapı r = 1,50m. olan daire şeklinde taş döşeyecektir. Şekilde görüldüğü gibi taş blokların iyi bir görüntü oluşturulması için iç kenarları yontulacaktır. Yontulacak miktar ( x= ) kaç SANTİMETREDİR? (İPUCU: Açı ve Yay) (Tah süre: 10 dk.)20 PUAN ÇÖZÜM: HER AÇIYA KARŞILIK BİR YAY; HER YAYA KARŞILIK BİR AÇI KARŞILIK GELDİĞİNİ biliyoruz. Şekilden de görüldüğü gibi İÇ İÇE İKİ YAY VARDIR; Birisi yarıçapı 1,50m. olan yay;
diğeri de yarıçapı (1,50-0,40=1,10m.) olan yay. rd=1,50m ri=1,10m. yd=0,75m yi=? Önce 1,50m YARIÇAPLI BİR DAİREDE 75cm YAY BOYUNA KARŞILIK GELEN MERKEZ AÇIYI BULALIM.
𝑦𝑦 =2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 360 → 𝜋𝜋 =
360𝑦𝑦 2𝜋𝜋𝜋𝜋 → 𝜋𝜋 =360𝑦𝑦𝑑𝑑
2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑑𝑑 = 360 ∗ 0,75
2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 1,50 = 28,64788976° = 28°38′52,4"
Şimdi de 𝜋𝜋 = 28°38′52,4" ye karşılık gelen y iyi bulalım.
𝑦𝑦 =2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋
360 → 𝑦𝑦𝑖𝑖=2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑖𝑖𝜋𝜋 360 =
2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 1,10 ∗ 28°38′52,4"
360 = 0,55𝑚𝑚 = 55𝑐𝑐𝑚𝑚
Yontulacak kısım taşların iki yanında da eşit miktarda olacağından;
𝑋𝑋 =𝑦𝑦𝑑𝑑2− 𝑦𝑦𝑖𝑖=75 − 55
2 = 10𝑐𝑐𝑚𝑚.
X= 10 cm.
Aşağıdaki örnekleri de siz yapınız.
Bir koşu pistinde yan yana 8 adet parkur vardır. Parkur daire şeklindedir. Bir parkurun genişliği 122 cm. dir.
1.inci parkurun içteki yarıçapı 36,5 m.dir; 8.inci parkurun dışındaki yarıçapı ise 46,26 m. dir. 300 metre koşusu için 8 atletin FİNİŞ ÇİZGİSİ protokol türbininin ortasında tek çizgidir. Fakat START ÇİZGİSİ her atlet için farklı noktalardadır. En dıştaki 8.inci atletin START çizgisi en ilerdedir. Daha sonra 7.inci atletin, … en sonunda 1. İnci atletin START ÇİZGİSİ gelmektedir. START ÇİZGİLERİ arası farklar kaçar metredir?
