• Sonuç bulunamadı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ 3-BOYUTLU LORENTZ-MİNKOWSKİ UZAYINDA BOUR TEOREMİ VE KONFORMAL DÖNÜŞÜM ÜZERİNE Zehra BOZKURT MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2012 Her hakkı saklıdır

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ 3-BOYUTLU LORENTZ-MİNKOWSKİ UZAYINDA BOUR TEOREMİ VE KONFORMAL DÖNÜŞÜM ÜZERİNE Zehra BOZKURT MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2012 Her hakkı saklıdır"

Copied!
141
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

3-BOYUTLU LORENTZ-MİNKOWSKİ UZAYINDA BOUR TEOREMİ VE KONFORMAL DÖNÜŞÜM ÜZERİNE

Zehra BOZKURT

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA 2012

(2)

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

3-BOYUTLU LORENTZ-M·INKOWSK·I UZAYINDA BOUR TEOREM·I VE KONFORMAL DÖNܸSÜM

Zehra BOZKURT

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal¬

Dan¬¸sman: Doç. Dr. F. Nejat EKMEKC·I

Bu tez alt¬bölümden olu¸smaktad¬r.

Ilk bölüm giri¸· s k¬sm¬na ayr¬lm¬¸st¬r.

Ikinci bölümde, Öklid uzay¬nda helisoidal, dönel ve spiral yüzeylerle ilgili karakterizas· yonlar verilmi¸stir.

Üçüncü bölümde, Lorentz-Minkowski uzay¬nda helisoidal, dönel ve spiral yüzeylerle ilgili karakterizasyonlar verilmi¸stir.

Dördüncü bölümde, Öklid uzay¬nda Bour teoremi konformal aç¬dan incelenmi¸stir.

Be¸sinci bölümde, helisoidal, dönel ve spiral yüzeyler aras¬ndaki ili¸ski verilmi¸stir.

Alt¬nc¬bölümde, Lorentz-Minkowski uzay¬nda Bour teoremi konformal aç¬dan incelenmi¸stir.

Haziran 2012, 134 sayfa

(3)

ABSTRACT

Master Thesis

BOUR’S THEOREM AND CONFORMAL MAP ·IN 3-D·IMENS·IONAL LORENTZ-M·INKOWSK·I SPACE

Zehra BOZKURT

Ankara University

Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Doç. Dr. F. Nejat EKMEKC·I

This thesis consists of six chapters.

The …rst chapter is devoted to the introduction.

The second chapter, the characterizations of helicoidal, rotational and spiral surfaces in Euclidean space are given.

The third chapter, the characterizations of helicoidal, rotational and spiral surfaces in Lorentz-Minkowski space are given.

The fourth chapter, Bour’s theorem with respect to conformal map in Euclidean space is given.

The …fth chapter, the relations of helicoidal, rotational and spiral surfaces are given.

The sixth chapter, Bour’s theorem with respect to conformal map in Lorentz-Minkowski space is given.

June 2012, 134 pages

(4)

TE¸SEKKÜR

Bana ara¸st¬rma olana¼g¬sa¼glayan ve çal¬¸smalar¬m¬n her safas¬nda yak¬n ilgi ve önerileri ile beni yönlendiren dan¬¸sman hocam Doç. Dr. F. Nejat EKMEKC·I (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Matematik Anabilim Dal¬)’ye, yard¬mlar¬n¬benden esirgemeyen de¼gerli hocalar¬m Prof. Dr. Yusuf YAYLI (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Matematik Anabilim Dal¬)’ya ve Yrd. Doç. Dr. ·Ismail GÖK (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Matematik Anabilim Dal¬)’e te¸sekkürlerimi bir borç bilirim,

Finansal deste¼ginden dolay¬TÜB·ITAK’a te¸sekkür ederim.

Çal¬¸smalar¬m s¬ras¬nda ellerinden gelen her türlü deste¼gi gösteren aileme te¸sekkürlerimi sunar¬m.

Zehra BOZKURT Ankara, Haziran 2012

(5)

İÇİNDEKİLER

ÖZET ... i

ABSTRACT ... ii

TEŞEKKÜR ... iii

SİMGELER DİZİNİ ... v

ŞEKİLLER DİZİNİ ... vi

1. GİRİŞ ... 1

2. ÖKLİD UZAYINDA TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR ... 3

3. LORENTZ UZAYINDA TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR. ... 13

4. n-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA KONFORMAL DÖNÜŞÜM ÜZERİNE BOUR TEOREMİ ... 31

5. n-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSOİDAL, DÖNEL VE SPİRAL YÜZEY ARASINDAKİ İLİŞKİ ... 55

6. n-BOYUTLU LORENTZ-MİNKOWSKİ UZAYINDA KONFORMAL DÖNÜŞÜM ÜZERİNE BOUR TEOREMİ ... 65

KAYNAKLAR. ... 130

ÖZGEÇMİŞ ... 132

(6)

SİMGELER DİZİNİ

E, F, G Birinci Temel Formun Bileşenleri R(u,v) Dönel Yüzey

H(u,v) Helisoidal Yüzey S(u,v) Spiral Yüzey

a Helisoidal Yüzeyin Adımı

L, M, N İkinci Temel Formun Bileşenleri ε İşaret Matrisi

H Ortalama Eğrilik

γ (u) profil eğrisi

IE n

n boyutlu Öklid Uzayı

1n

IE

n boyutlu Minkowski Uzayı

ds2

Yay Elementi

(7)

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 1.1

IE3

de, sırasıyla helisoidal yüzey, dönel yüzey ve spiral yüzey ... 1 Şekil 2.1 Sırasıyla minimal helisoidal yüzey, katenoid ( minimal dönel

yüzey) ve minimal spiral yüzey ... 11 Şekil 3.1

IE13

de, sırasıyla, spacelike eksenli helisoidal, dönel ve spiral yüzey ... 21 Şekil 3.2

IE13

de, sırasıyla, timelike eksenli helisoidal, dönel ve spiral

yüzey ... 25 Şekil 3.3

IE13

de, sırasıyla, lightlike (null) eksenli helisoidal, dönel ve

spiral yüzey ... 30 Şekil 4.1 Bir genelleştirilmiş helisoid ve izometrik olduğu spiral yüzey .. 31 Şekil 4.2 Bir genelleştirilmiş helisoid ve konformal olarak eş olduğu

spiral yüzey ... 43 Şekil 5.1 Helisoidal, dönel ve spiral yüzey arasındaki bağıntı ... 63 Şekil 5.2 Bir spiral yüzey ve konformal olarak eş olduğu dönel yüzey ... 64 Şekil 6.1 Spacelike eksenli genelleştirilmiş helisoid ve konformal

olarak eş olduğu spiral yüzey ... 76 Şekil 6.2 Timelike eksenli genelleştirilmiş helisoid ve konformal

olarak eş olduğu spiral yüzey ... 87 Şekil 6.3 Lightlike eksenli genelleştirilmiş helisoid ve konformal

olarak eş olduğu spiral yüzey ... 98

(8)

1. G·IR·I¸S

Öklid uzay¬nda yüzeyler teorisi uzun zamand¬r çal¬¸s¬lmaktad¬r. Klasik diferensiyel geometride minimal yüzey olarak kar¸s¬m¬za ç¬kan tek regle yüzeyin helisoidal yüzey oldu¼gu ve katenoidin de minimal olan tek dönel yüzey oldu¼gu bilinmektedir. Spi- raller ve spirallerden olu¸san yüzeyler do¼gada herzaman kar¸s¬la¸sabilece¼gimiz özel e¼gri ve yüzeylerdir. Örne¼gin, bir ¸sahinin av¬na yakla¸smas¬, böceklerin ¬¸s¬k kayna¼g¬na yakla¸smas¬, korneadaki sinir hücreleri, bir çok biyolojik canl¬n¬n yap¬s¬, brokoli, inci çiçe¼gi, güller, ay çiçe¼gi, salyangoz kabu¼gu ve daha sayamad¬¼g¬m¬z birçok yap¬n¬n

¸sekli birer spiral e¼gri veya spiral yüzey ¸seklindedir. Ayr¬ca baz¬spiral yüzeylerinde minimal olduklar¬ gösterilmi¸stir. Bu yüzeyler daha pek çok özelli¼ge sahiptir. Bu yüzden ilgi çekmi¸s ve incelenmi¸slerdir.

¸Sekil 1.1 E3 de, s¬ras¬yla, helisoidal yüzey,dönel yüzey ve spiral yüzey

Bour bir genelle¸stirilmi¸s helisoidal yüzey ile bir dönel yüzeyin 3 boyutlu Öklid uzay¬nda izometrik oldu¼gunu, bu durumda da helisoidal yüzey üzerindeki helislerin dönel yüzey üzerindeki çemberlere kar¸s¬l¬k geldi¼gini göstermi¸stir.

Ikawa, Minkowski-3 uzay¬nda, yüzeyleri eksen ve pro…l e¼grisinin türüne göre s¬n¬‡and¬rarak k¬saca, (S,S), (S,T), (T,S), (T,T)- tür yüzey olarak göstermi¸s ve bu tür yüzeyler için

(9)

likte bu iki yüzeyin ayn¬Gauss dönü¸sümüne sahip olduklar¬nda minimal olduklar¬n¬

göstermi¸stir.

Güler, dönme eksenini null eksen alarak, 3-boyutlu Minkowski uzay¬nda space- like(timelike) helisoidal yüzeyler ile spacelike(timelike) dönel yüzeyler için Bour teo- reminin gerçeklendi¼gini göstermi¸stir. Ayr¬ca bu yüzeylerin ayn¬Gauss dönü¸sümüne sahip iken de minimal olma durumlar¬n¬incelemi¸stir. Daha sonra, 3- boyutlu Ök- lid uzay¬nda Gauss dönü¸sümü üzerine Bour teoremini vermi¸stir, Ayr¬ca, 3-boyutlu Minkowski uzay¬nda üreteç e¼grileri null olan timelike dönel yüzeyleri belirleyerek (S,L), (T,L) ve (L,L)- türünden timelike dönel yüzeyler ve spacelike helisoidal yüzeyler için Bour teoreminin gerçeklendi¼gini göstermi¸stir.

Carmo ve Dajczer, Bour teoreminin sonuçlar¬n¬kullanarak verilen bir helisoidal yüz- eye izometrik olan iki parametreli helisoidal yüzeyler ailesinin var oldu¼gunu göster- mi¸sler ve bunun sayesinde de sabit ortalama e¼grilikli helisoidal yüzeyler için bir temsili formül bulmu¸slard¬r.

Spiral yüzeyler ilk olarak Levy taraf¬ndan incelenmi¸stir. Daha sonra, Stübler, Lie ve Whittemore da spiral yüzeylerle ilgili çal¬¸smalar yapm¬¸slard¬r. Ayr¬ca, minimal spiral ve minimal dönel yüzeylerle ilgili baz¬karakterizasyonlar vermi¸slerdir.

Bu tezde n boyutlu Öklid uzay¬nda ve n boyutlu Minkowski uzay¬nda iki para- metreli helisoidal, dönel ve spiral yüzeyler için bour teoremini konformal aç¬dan inceledik.

.

(10)

2. ÖKL·ID UZAYINDA TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR

Tan¬m 2.1 (A…n Uzay): A bo¸s olmayan bir cümle, V de F cismi üzerinde bir vektör uzay¬olsun. Bir

: A A! V dönü¸sümü 8P; Q; R 2 A için

(P; Q)! (P; Q) =P Q!

¸seklinde tan¬mlans¬n. E¼ger, a¸sa¼g¬daki iki aksiyom sa¼glan¬yorsa A ya V ile

birle¸stirilmi¸s bir a…n uzay denir.

(i)8P; Q; R 2 A için

P Q =! P R +! RQ:!

(ii) 8P 2 A ve 8 2 V için P Q =! olacak ¸sekilde Q 2 A vard¬r (Hac¬saliho¼glu 1983).

Tan¬m 2.2(Reel iç çarp¬m uzay¬): R reel say¬lar cismi ve V de bir vektör uzay¬

olmak üzere, 8v; w 2 V için V de bir

h; i : V V ! R

(v; w)! h; i (v; w) = hv; wi 2 R

iç çarp¬m fonksiyonu tan¬mlanabilirse, V vektör uzay¬na iç çarp¬m uzay¬denir (Hac¬sal- iho¼glu 1975).

(11)

Tan¬m 2.3 (Öklid uzay¬) n boyutlu bir reel iç çarp¬m uzay¬V olmak üzere, V ile birle¸stirilmi¸s bir A a…n uzay¬na, Öklid uzay¬denir ve En ile gösterilir (Hac¬saliho¼glu 1975).

Tan¬m 2.4 (Standart iç çarp¬m) n boyutlu Öklidiyen uzay¬En de

8x = (x1; x2; :::; xn) ; y = (y1; y2; :::; yn)2 En için

hx; yi = Xn

i=1

xiyi

¸seklinde tan¬mlanan fonksiyona standart iç çarp¬m veya Öklid iç çarp¬m¬denir

(Hac¬saliho¼glu 1975).

Tan¬m 2.5 (Norm) En; n boyutlu Öklidiyen uzay¬nda

8x = (x1; x2; :::; xn)2 En için

kxk =p hx; xi

¸seklinde tan¬mlanan fonksiyona x vektörünün normu denir (Hac¬saliho¼glu 19759.

Tan¬m 2.6 (Vektörel çarp¬m) E3; 3boyutlu Öklid uzay¬nda

8x = (x1; x2; x3) ; y = (y1; y2; y3)2 E3 için

Öklidiyen vektörel çarp¬m

x y = (x2y3 y2x3;x3y1 y3x1;x1y2 y1x2)

¸seklinde tan¬mlan¬r (Hac¬saliho¼glu 1975):

(12)

Tan¬m 2.7 En; n boyutlu Öklid uzay¬n¬n aç¬k bir alt cümlesi U olmak üzere, bir

f : U ! R

fonksiyonunun k. mertebeden bütün k¬smi türevleri mevcut var ve sürekli iseler f fonksiyonuna Ck s¬n¬f¬ndan diferensiyellenebilirdir denir ve

f 2 Ck(U; R)

ile gösterilir (Hac¬saliho¼glu 1983).

Tan¬m 2.8 (Homeomor…zim) U ve V , En Öklid uzay¬n¬n iki aç¬k alt cümlesi olmak üzere f : U ! V bir fonksiyon olsun. E¼ger f fonksiyonu birebir, örten, sürekli ve terside sürekli ise f fonksiyonuna homeomor…zimdir denir (Hac¬saliho¼glu 1983).

Tan¬m 2.10 (Di¤ eomor…zim) U ve V , En Öklid uzay¬n¬n iki aç¬k alt cümlesi olmak üzere f : U ! V bir fonksiyon olsun. f bir homeomor…zim ayr¬ca f ve f 1 fonksiyonlar¬n¬n her ikiside Cks¬n¬f¬ndan ise f fonksiyonuna Cks¬n¬f¬ndan di¤eomor-

…zim denir. k = 1 ise k¬saca f di¤eomor…zimdir. U dan V ye bir di¤eomor…zim varsa U cümlesi V cümlesine di¤eomorftur denir (Hac¬saliho¼glu ve Sabuncuo¼glu 1983).

Tan¬m 2.11 (Yüzey) U E2 bir aç¬k cümle ve f : U ! En diferensiyellenebilir bir dönü¸süm olsun. O halde f (U ) En cümlesine bir lokal yüzey, veya iki

parametreli yüzey veya yama denir (Gray 1997).

M cümlesi E3 uzay¬n¬n bir alt cümlesi olsun. Her p 2 M için p nin E3 üzerinde

(13)

Tan¬m 2.13 (I.Temel form) 8u; v 2 R; (U; X) parametrizasyonu ile verilen

X : U E2 ! En

(u; v)! X(u; v) = (X1(u; v); X2(u; v); :::; Xn(u; v))

ile belirli olan X(U ) yüzeyi göz önüne al¬ns¬n. Lineer ba¼g¬ms¬z fXu; Xvg cümlesi yüzeyin vektör alanlar¬n¬n bir baz¬d¬r. Yüzeyin birim normal vektör alan¬

N = Xu Xv kXu Xvk: ile belirlidir.

I = (ds)2 = Edu2+ 2F dudv + Gdv2:

e¸sitli¼gine yüzeyin I. temel formu yada metri¼gi denir. Burada (Xu; Xv)baz¬na kar¸s¬l¬k gelen E; F ve G birinci temel formun bile¸senleri

E = hXu; Xui F = hXu; Xvi G = hXv; Xvi

¸seklinde tan¬ml¬d¬r.

Yüzeyin ikinci temel formunun bile¸senleri ise

L = hXuu; Ni M = hXuv; Ni N = hXvv; Ni

¸seklinde tan¬ml¬d¬r. X(u; v) yüzeyinin birinci ve ikinci temel formlar¬n¬n bile¸senlerini

(14)

kullanarak elde etti¼gimiz ortalama ve Gauss e¼grilikleri a¸sag¬daki gibidir.

H = EN + GL 2F M 2 (EG F2) :

K = LN M2 EG F2 (O’Neil 1983).

Tan¬m 2.14(Minimal yüzey) Öklid uzay¬nda her noktada ortalama e¼grilik fonksiy- onu s¬f¬r (H = 0) olan yüzeylere minimal yüzey denir. Bir ba¸ska ifadeyle ayn¬s¬n¬r- lara sahip olan yüzeyler aras¬nda en küçük alanl¬yüzeye minimal yüzey denir [Gray 1998].

Tan¬m 3.19 ( En de helisoidal, dönel ve spiral yüzeyler)

E2k+11 ;tek boyutlu Öklid uzay¬nda (0; 0; :::; 1) do¼grultman vektörü ile verilen do¼gru- lar¬invaryant b¬rakan ortogonal dönme matrisi 0 v 2 olmak üzere

A1 = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@

cos v sin v 0 : ::: : ::: 0

sin v cos v 0 : ::: : ::: 0

0 0 cos v sin v ::: 0 ::: :

0 0 sin v cos v ::: 0 ::: :

: : 0 0 ::: : ::: :

: : : : ::: cos v sin v 0

: : : : ::: sin v cos v 0

0 0 0 0 ::: 0 0 1

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

¸seklinde verilir.

E2k;çift boyutlu Öklid uzay¬nda sp f(0; 0; :::; 0; 0; 1); (0; 0; :::; 0; 1; 0)g vektörü ile ver-

(15)

ilen düzlemleri invaryant b¬rakan ortogonal dönme matrisi 0 v 2 olmak üzere

A2 = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

cos v sin v 0 : ::: : ::: 0 0

sin v cos v 0 : ::: : ::: 0 0

0 0 cos v sin v ::: 0 ::: : :

0 0 sin v cos v ::: 0 ::: : :

: : 0 0 ::: : ::: : :

: : : : ::: cos v sin v 0 0

: : : : ::: sin v cos v 0 0

0 0 0 0 ::: 0 0 1 0

0 0 0 0 ::: 0 0 0 1

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

ile belirlidir. Burada

i: Ai:` = `

ii: AtiA1 = 1;

iii:det Ai = 1 dir (1 i 2).

E2k+1, (2k + 1)-boyutlu Öklid uzay¬nda ekseni (0; 0; :::; 1) timelike vektörü olan a ad¬ml¬ ve üreteç e¼grisi (u) = ( 1f (u); 0; :::; k 1f (u); 0; f (u); 0; '(u)) olan he- lisoidal, dönel ve spiral yüzeylerin parametrik ifadeleri s¬ras¬yla a¸sa¼g¬daki gibidir.

H (u; v) = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB

cos v sin v ::: : ::: 0 sin v cos v ::: : ::: 0

0 0 ::: 0 ::: :

0 0 ::: 0 ::: :

: : ::: : ::: :

: : ::: cos v sin v 0 1 CC CC CC CC CC CC CC CC

0 BB BB BB BB BB BB BB BB

1f (u) 0 :::

k 1f (u) 0

f (u)

1 CC CC CC CC CC CC CC CC

+ av 0 BB BB BB BB BB BB BB BB

0 0 0 : : :

1 CC CC CC CC CC CC CC CC

(16)

R (u; v) = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@

cos v sin v ::: : ::: 0 sin v cos v ::: : ::: 0

0 0 ::: 0 ::: :

0 0 ::: 0 ::: :

: : ::: : ::: :

: : ::: cos v sin v 0 : : ::: sin v cos v 0

0 0 ::: 0 0 1

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@

1f (u) 0 :::

k 1f (u) 0

f (u) 0

(u)

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

S (u; v) = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@

cos v sin v ::: : ::: 0 sin v cos v ::: : ::: 0

0 0 ::: 0 ::: 0

0 0 ::: 0 ::: 0

: : ::: : ::: 0

: : ::: cos v sin v 0 : : ::: sin v cos v 0

0 0 ::: 0 0 1

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@

1g(v)f (u) 0

:::

k 1g(v)f (u) 0

g(v)f (u) 0

g(v) (u)

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

E2k, (2k)-boyutlu Öklid uzay¬nda ekseni sp f(0; 0; :::; 0; ); (0; 0; :::; 1; 0)g timelike vektörü olan a ad¬ml¬ve üreteç e¼grisi (u) = ( 1f (u); 0; :::; k 1f (u); 0; f (u); 0; '(u); '(u)) ( ; i 2 R) olan helisoidal, dönel ve spiral yüzeylerin parametrik ifadeleri, s¬ras¬yla, u2 I; 0 v 2 ; a2 R= f0g ve g : I R ! R 8v 2 I için diferensiyellenebilir bir

(17)

fonksiyon olmak üzere

H (u; v) = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

cos v sin v ::: : ::: 0 0 sin v cos v ::: : ::: 0 0

0 0 ::: 0 ::: : :

0 0 ::: 0 ::: : :

: : ::: : ::: : :

: : ::: cos v sin v 0 0 : : ::: sin v cos v 0 0

0 0 ::: 0 0 1 0

0 0 ::: 0 0 0 1

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

1f (u) 0 :::

k 1f (u) 0

f (u) 0

(u) (u)

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

+av 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

0 0 0 : : : 0 1

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

;

R (u; v) = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

cos v sin v ::: : ::: 0 0 sin v cos v ::: : ::: 0 0

0 0 ::: 0 ::: : :

0 0 ::: 0 ::: : :

: : ::: : ::: : :

: : ::: cos v sin v 0 0 : : ::: sin v cos v 0 0

0 0 ::: 0 0 1 0

0 0 ::: 0 0 0 1

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

1f (u) 0 :::

k 1f (u) 0

f (u) 0

(u) (u)

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

;

(18)

S (u; v) = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

cos v sin v ::: : ::: 0 0 sin v cos v ::: : ::: 0 0

0 0 ::: 0 ::: : :

0 0 ::: 0 ::: : :

: : ::: : ::: : :

: : ::: cos v sin v 0 0 : : ::: sin v cos v 0 0

0 0 ::: 0 0 1 0

0 0 ::: 0 0 0 1

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

1g(v)f (u) 0

:::

k 1g(v)f (u) 0

g(v)f (u) 0

g(v) (u) g(v) (u)

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

¸seklindedir.

Örnek 2.1

¸

Sekil 2.1 S¬ras¬yla minimal helisoidal yüzey, katenoid(minimal dönel yüzey) ve minimal spiral yüzey

(19)

Tan¬m 2.14 X ve Y iki yüzey, f : X ! Y bir dönü¸süm olmak üzere, e¼ger X in bütün te¼get vektörleri için X üzerinde kf vpk = (p) kvpke¸sitli¼gini sa¼glayan reel de¼gerli > 0 fonksiyonu varsa f ye konformal dönü¸süm ve fonksiyonuna da f nin derece faktörüdür denir.

E¼ger sabitse , f ye homoteti, = 1 ise, f ye izometri denir (Hac¬saliho¼glu 2004).

Tan¬m 2.15 X ve Y iki yüzey, f : X ! Y bir dönü¸süm olmak üzere.f nin bir konformal dönü¸süm olmas¬için gerek ve yeter ¸sart E = 2E; F = 2F ; G = 2G e¸sitliklerinin sa¼glanmas¬d¬r: Burada E, F; G ve E, F ; G de¼gerleri, s¬ras¬yla, X ve Y nin birinci temel formlar¬n bile¸senleridir (O’Neil 1997).

(20)

3. LORENTZ UZAYINDA TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR

Tan¬m 3.1(Skalar çarp¬m uzay¬) V bir reel vektör uzay¬olmak üzere, V üzerinde tan¬ml¬

g : V V ! V

dönü¸sümü bilineer, simetrik ve nondegenere ise g ye V üzerinde bir sakalar çarp¬m, bu durumda V vektör uzay¬na da bir Skalar çarp¬m uzay¬ denir (O’Neil 1983).

Tan¬m 3.2 (Simetrik bilineer formun indeksi) V bir skalar çarp¬m uzay¬, W da üzerinde skalar çarp¬m negatif tan¬ml¬ olacak ¸sekilde V nin en büyük boyutlu alt uzay¬olsun. Bu durumda W n¬n boyutuna g skalar çarp¬m¬n¬n indeksi denir. g skalar çarp¬m¬n¬n indeksi v ise 0 v boyV dir. Ayr¬ca V skalar çarp¬m¬n¬n indeksi, üzerinde tan¬ml¬g skalar çarp¬m¬n¬n indeksi olarak tan¬ml¬d¬r (O’Neil 1983).

Tan¬m 3.3 (Lorentz uzay¬) V bir skalar çarp¬m uzay¬ olsun. V nin indeksi v olmak üzere v = 1 ve boyV 2ise V skalar çarp¬m uzay¬na bir Lorentz uzay¬ denir (O’Neil 1983).

Tan¬m 3.4 (spacalike, timelike, lightlike(null) vektör) V bir Lorentz uzay¬

olsun. 8v 2 V için E¼ger,

g(v; v) > 0 veya v = 0 ise v ye spacelike vektör,

g(v; v) < 0 ise v ye timelike vektör,

g(v; v) = 0 ise v ye lightlike(null) vektör denir (O’Neil 1983).

Tan¬m 3.5 (Bir vektörün normu) V bir skalar çarp¬m uzay¬ve v 2 V olsun.

(21)

e¸sitli¼gi ile tan¬ml¬kvk reel say¬s¬na v vektörünün normu denir. Normu 1 olan vektöre de birim vektör ad¬verilir (O’Neil 1983).

Tan¬m 3.6(Yar¬Öklidiyen uzay) Rn; nboyutlu standart vektör uzay¬üzerinde 8p 2 Rn ve 8vp; wp 2 TpRn için

hvp; wpi =

n mX

i=1

viwi

Xn i=n m+1

viwi

e¸sitli¼giyle verilen v indeksli metrik tensörle birlikte elde edilen uzaya yar¬Öklidiyen uzay denir ve Env ile gösterilir. Burada 1 i n olmak üzere, vi ve wi; s¬ras¬yla vp

ve wp tanjant vektörlerin bile¸senleridir (O’Neil 1983).

Tan¬m 3.7(Minkowski uzay¬) Env yar¬Öklidiyen uzay¬nda v = 1 ve n 2ise En1

yar¬Öklidiyen uzay¬na Minkowski n-uzay¬ denir (O’Neil 1983).

Tan¬m 3.8 (Riemann Manifoldu) M bir diferensiyellenebilir (C1) manifold olsun. M üzerinde C1 vektör alanlar¬n¬n uzay¬ (M ) ve M den R ye C1 fonksiy- onlar¬n uzay¬C1(M; R) olmak üzere, M üzerinde

h; i : (M) (M )! C1(M; R)

¸seklinde tan¬mlanan pozitif tan¬ml¬, simetrik, 2-lineer h; i fonksiyonuna M üzerinde bir iç çarp¬m, metrik tensör, diferensiyellenebilir metrik veya Riemann metri¼gi denir.

(M;h; i) ikilisine de Riemann manifoldu denir (Kobayashi ve Nomizu 1963).

Tan¬m 3.9 (Yar¬ Riemann Manifoldu) M bir diferensiyellenebilir (C1) man- ifold olsun. M üzerinde C1 vektör alanlar¬n¬n uzay¬ (M ) ve M den R ye C1

(22)

fonksiyonlar¬n uzay¬C1(M; R) olmak üzere, M üzerinde

g : (M ) (M )! C1(M; R)

olmak üzere

i: simetrik

8X; Y 2 (M) için g(X; Y ) = g(Y; X),

ii: 2-lineer

8X; Y; Z 2 (M) ve 8a; b 2 R için

g(aX + bY; Z) = ag(X; Z) + bg(Y; Z);

g(X; aY + bZ) = ag(X; Y ) + bg(X; Z);

iii:non-degenere

8X 2 (M) için

g(X; Y ) = 0 ise Y = 0

özelliklerini sa¼glayan g tensörüne bir yar¬ Riemann metri¼gi ve (M; g) ikilisine de yar¬-Riemann manifoldu denir (O’Neil 1983).

Tan¬m 3.10 (Lorentz manifoldu) M bir yar¬-Riemann manifoldu olmak üzere, boyM 2 ve M nin indeksi 1 ise M ye bir Lorentz manifoldu denir. Bu tan¬ma göre bir M Lorentz manifoldu için

(23)

dir (O’Neil 1983).

Tan¬m 3.12 (I.Temel form) 8u; v 2 R (U; X) parametrizasyonu ile verilen

X : U E2 ! E31

(u; v) ! X(u; v) = (X1(u; v); X2(u; v); X3(u; v))

ile belirli olan X(U ) yüzeyi göz önüne al¬ns¬n. Lineer ba¼g¬ms¬z fXu; Xvg cümlesi, yüzeyin vektör alanlar¬n¬n bir baz¬d¬r. Yüzeyin birim normal vektör alan¬

N = Xu Xv kXu Xvk: ile belirlidir.

I = (ds)2 = Edu2+ 2F dudv + Gdv2:

e¸sitli¼gine yüzeyin I. temel formu yada metri¼gi denir (O’Neil 19839.

Tan¬m 3.13 (·Immersiyon) M ve M , s¬ras¬yla, n ve (n + d) boyutlu birer C1 manifold olmak üzere

x : M ! M diferensiyellenebilir bir dönü¸süm olsun. 8p 2 M için

dxp : TpM ! Tx(p)M

türev dönü¸sümü birebir ise x fonksiyonuna bir immersiyon denir (Chen 1973).

Tan¬m 3.14 M yüzeyinin bir spacelike immersiyonu x : M ! E31 olsun. x in Gauss ve ortalama e¼grili¼gi

K = ln m2 EG F2 En + Gl 2F m

(24)

rada l; m; n

l = g(Xuu; N ) m = g(Xuv; N ) n = g(Xvv; N )

¸seklinde tan¬ml¬olup yüzeyin ikinci temel formunun bile¸senleridir (Lopez 2008).

Tan¬m 3.15 (Spacelike yüzey) U E21 bir aç¬k cümle ve f : U ! En1 diferensiyel- lenebilir bir dönü¸süm olsun. O halde f (U ) En1 cümlesine bir lokal yüzey, veya iki parametreli yüzey denir.

E31, 3-boyutlu Minkowski uzay¬nda bir yüzey M olsun. M yüzeyi üzerinde indirgen- mi¸s metrik pozitif tan¬ml¬ise M ye E31 de bir spacelike yüzey denir (Beem ve Ehrlich 1981).

Tan¬m 3.16(Timelike yüzey) U E21 bir aç¬k cümle ve f : U ! En1 diferensiyel- lenebilir bir dönü¸süm olsun. O halde f (U ) En1 cümlesine bir lokal yüzey, veya iki parametreli yüzey denir.

E31, 3-boyutlu Minkowski uzay¬nda bir yüzey M olsun. M yüzeyi üzerinde indirgen- mi¸s metrik Lorentz metri¼gi ise ise M ye E31 de bir timelike yüzey denir (Beem ve Ehrlich 1981).

Tan¬m 3.17 ( E31 de regle yüzey) E31, 3-boyutlu Minkowski uzay¬nda bir yüzeyin her noktas¬ndan geçen bir do¼grunun üzerindeki tüm noktalar yine bu yüzeyin üz- erinde kal¬yorsa bu yüzeye bir regle yüzey denir (Beem ve Ehrlich 1981).

E31, 3-boyutlu Minkowski uzay¬nda dönme ekseni spacelike, timelike ve lightlike ola-

(25)

Tan¬m 3.18( En1 de ekseni spacelike olan helisoidal, dönel ve spiral yüzeyler)

E2k+11 (2k + 1 < n), tek boyutlu Minkowski uzay¬nda (1; 0; :::; 0) do¼grultman vektörü ile verilen spacelike do¼grular¬invaryant b¬rakan semi-ortogonal dönme matrisi 0 v 2 olmak üzere,

S1 = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@

1 0 0 : : ::: : 0

0 cos v sin v 0 : ::: : :

0 sin v cos v 0 : ::: : :

0 0 0 cos v sin v ::: : :

: 0 0 sin v cos v ::: : :

: : : 0 0 ::: 0 0

: : : : : ::: cosh v sinh v

0 : : : : ::: sinh v cosh v

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

¸seklindedir.

E2k1 (2k < n), çift boyutlu Minkowski uzay¬nda sp f(1; 0; :::; 0); (0; 1; 0; :::; 0)g vektör- leri ile verilen spacelike düzlemleri invaryant b¬rakan semi-ortogonal dönme matrisi 0 v 2 olmak üzere,

S2 = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

1 0 0 : : : ::: 0 0

0 1 0 0 : : ::: : :

0 0 cos v sin v 0 : ::: : :

0 0 sin v cos v 0 : ::: : :

: 0 0 0 cos v sin v ::: : :

: : 0 0 sin v cos v ::: : :

: : : : 0 0 ::: 0 0

0 : : : : : ::: cosh v sinh v

0 0 : : : : ::: sinh v cosh v

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

(26)

i: Si:` = `

ii: Sit" Si = "; " = diag(1; 1; 1)

iii:det Si = 1(i = 1; 2) dir.

E2k+11 , (2k +1)-boyutlu Minkowski uzay¬nda ekseni (1; 0; :::; 0) spacelike vektörü olan a ad¬ml¬ ve üreteç e¼grisi (u) = ('(u); 1f (u); 0; 2f (u); 0; :::; k 1f (u); 0; f (u); 0) olan helisoidal, dönel ve spiral yüzeylerin parametrik ifadeleri s¬ras¬yla a¸sa¼g¬daki gibidir.

H (u; v) = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@

1 0 0 ::: : :

0 cos v sin v ::: : : 0 sin v cos v ::: : :

0 0 0 ::: : :

: 0 0 ::: : :

: : : ::: 0 0

: : : ::: cosh v sinh v 0 : : ::: sinh v cosh v

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@ (u)

1f (u) 0 :

k 1f (u) 0

f (u) 0

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

+ av 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@ 1 0 0 : : : 0 0

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

R (u; v) = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@

1 0 0 : ::: 0

0 cos v sin v ::: : 0 0 sin v cos v ::: : 0

0 0 0 ::: 0 0

: 0 0 ::: 0 0

: : : ::: : :

: : : ::: cosh v sinh v 0 : : ::: sinh v cosh v

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@ (u)

1f (u) 0 :::

k 1f (u) 0

f (u) 0

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

(27)

S (u; v) = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@

1 0 0 : ::: 0

0 cos v sin v ::: : 0 0 sin v cos v ::: : 0

0 0 0 ::: 0 0

: 0 0 ::: 0 0

: : : ::: : :

: : : ::: cosh v sinh v 0 : : ::: sinh v cosh v

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@

g (v) (u)

1g (v) f (u) 0

:::

k 1g (v) f (u) 0

g (v) f (u) 0

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

E2k1 , (2k)-boyutlu Minkowski uzay¬nda ekseni sp f(1; 0; :::; 0); (0; 1; :::; 0)g vektörleri

olan a ad¬ml¬ve üreteç e¼grisi (u) = ('(u); '(u); 1f (u); 0; 2f (u); 0; :::; k 1f (u); 0; f (u); 0) olan helisoidal, dönel ve spiral yüzeylerin parametrik ifadeleri, s¬ras¬yla, u 2 I;

0 v 2 ; a2 R= f0g ve 8 v 2 I için g : I R ! R diferensiyellenebilir fonksiyon olmak üzere

H (u; v) = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

1 0 0 0 ::: 0 0

0 1 0 0 : 0 0

0 0 cos v sin v ::: 0 0 0 0 sin v cos v ::: 0 0

0 0 0 0 ::: 0 0

0 0 0 0 ::: 0 0

: : : : ::: : :

: : : : ::: cosh v sinh v : : : : ::: sinh v cosh v

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

(u) (u)

1f (u) 0 :::

k 1f (u) 0

f (u) 0

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

+av 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

1

0 : : : 0 0 0

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

;

(28)

R (u; v) = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

1 0 0 : ::: 0 0

0 1 0 0 : ::: 0

0 0 cos v sin v ::: : 0 0 0 sin v cos v ::: : 0

: 0 0 0 ::: 0 0

: : 0 0 ::: 0 0

: : : : ::: : :

0 : : : ::: cosh v sinh v 0 0 : : ::: sinh v cosh v

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

(u) (u)

1f (u) 0 :::

k 1f (u) 0

f (u) 0

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

;

S (u; v) = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

1 0 0 : ::: 0 0

0 1 0 0 : ::: 0

0 0 cos v sin v ::: : 0 0 0 sin v cos v ::: : 0

: 0 0 0 ::: 0 0

: : 0 0 ::: 0 0

: : : : ::: : :

0 : : : ::: cosh v sinh v 0 0 : : ::: sinh v cosh v

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

g (v) (u) g (v) (u) g (v) 1f (u) 0

:::

k 1g (v) f (u) 0

g (v) f (u) 0

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

¸seklindedir.

Örnek 3.1

; ,

(29)

Tan¬m 3.19( En1 de ekseni timelike olan helisoidal, dönel ve spiral yüzeyler):

E2k+11 ;tek boyutlu Lorentz uzay¬nda (0; 0; :::; 1) do¼grultman vektörü ile verilen time- like do¼grular¬ invaryant b¬rakan semi-ortogonal dönme matrisi 0 v 2 olmak üzere

T1 = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@

cos v sin v 0 : ::: : ::: 0

sin v cos v 0 : ::: : ::: 0

0 0 cos v sin v ::: 0 ::: 0

0 0 sin v cos v ::: 0 ::: 0

: : 0 0 ::: : ::: 0

: : : : ::: cos v sin v 0

: : : : ::: sin v cos v 0

0 0 0 0 ::: 0 0 1

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

¸seklinde verilir.

E2k1 ; çift boyutlu Lorentz uzay¬nda sp f(0; 0; :::; 0; 0; 1); (0; 0; :::; 0; 1; 0)g vektörü ile verilen timelike düzlemleri invaryant b¬rakan semi-ortogonal dönme matrisi 0 v 2 olmak üzere

T2 = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

cos v sin v 0 : ::: : ::: 0 0

sin v cos v 0 : ::: : ::: 0 0

0 0 cos v sin v ::: 0 ::: 0 0

0 0 sin v cos v ::: 0 ::: 0 0

: : 0 0 ::: : ::: 0 0

: : : : ::: cos v sin v 0 0

: : : : ::: sin v cos v 0 0

0 0 0 0 ::: 0 0 1 0

0 0 0 0 ::: 0 0 0 1

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

ile belirlidir. Burada

(30)

ii: Tit" T1 = "; " = diag(1; 1; 1)

iii:det Ti = 1 (i = 1; 2) dir.

E2k+11 , (2k + 1)-boyutlu Minkowski uzay¬nda ekseni (0; 0; :::; 1) timelike vektörü olan a ad¬ml¬ ve üreteç e¼grisi (u) = ( 1f (u); 0; :::; k 1f (u); 0; f (u); 0; '(u)) olan he- lisoidal, dönel ve spiral yüzeylerin parametrik ifadeleri ,s¬ras¬yla,

H (u; v) = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@

cos v sin v ::: : ::: 0 sin v cos v ::: : ::: 0

0 0 ::: 0 ::: 0

0 0 ::: 0 ::: 0

: : ::: : ::: 0

: : ::: cos v sin v 0 : : ::: sin v cos v 0

0 0 ::: 0 0 1

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@

1f (u) 0 :::

k 1f (u) 0

f (u) 0

(u)

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

+ av 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@ 0 0 0 : : : 0 1

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

;

R (u; v) = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@

cos v sin v ::: : ::: 0 sin v cos v ::: : ::: 0

0 0 ::: 0 ::: 0

0 0 ::: 0 ::: 0

: : ::: : ::: 0

: : ::: cos v sin v 0 : : ::: sin v cos v 0

0 0 ::: 0 0 1

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@

1f (u) 0 :::

k 1f (u) 0

f (u) 0

(u)

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

;

(31)

S (u; v) = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@

cos v sin v ::: : ::: 0 sin v cos v ::: : ::: 0

0 0 ::: 0 ::: 0

0 0 ::: 0 ::: 0

: : ::: : ::: 0

: : ::: cos v sin v 0 : : ::: sin v cos v 0

0 0 ::: 0 0 1

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@

1g(v)f (u) 0

:::

k 1g(v)f (u) 0

g(v)f (u) 0

g(v) (u)

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

¸seklindedir.

E2k1 , (2k)-boyutlu Minkowski uzay¬nda ekseni sp f(0; 0; :::; 0; ); (0; 0; :::; 1; 0)g time- like vektörü olan a ad¬ml¬ve üreteç e¼grisi

(u) = ( 1f (u); 0; :::; k 1f (u); 0; f (u); 0; '(u); '(u))olan helisoidal, dönel ve spiral yüzeylerin parametrik ifadeleri, s¬ras¬yla, u 2 I; 0 v 2 ve a 2 R= f0g olmak üzere

H (u; v) = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

cos v sin v ::: : ::: 0 0 sin v cos v ::: : ::: 0 0

0 0 ::: 0 ::: 0 0

0 0 ::: 0 ::: 0 0

: : ::: : ::: 0 0

: : ::: cos v sin v 0 0 : : ::: sin v cos v 0 0

0 0 ::: 0 0 1 0

0 0 ::: 0 0 0 1

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

1f (u) 0 :::

k 2f (u) 0

f (u) 0

(u) (u)

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

+av 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

0 0 0 : : : 0 1

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

;

(32)

R (u; v) = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

cos v sin v ::: : ::: 0 0 sin v cos v ::: : ::: 0 0

0 0 ::: 0 ::: 0 0

0 0 ::: 0 ::: 0 0

: : ::: : ::: 0 0

: : ::: cos v sin v 0 0 : : ::: sin v cos v 0 0

0 0 ::: 0 0 1 0

0 0 ::: 0 0 0 1

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

1f (u) 0 :::

k 2f (u) 0

f (u) 0

(u) (u)

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

;

g : I R ! R 8v 2 I için diferensiyellenebilir bir fonksiyon olmak üzere

S (u; v) = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

cos v sin v ::: : ::: 0 0 sin v cos v ::: : ::: 0 0

0 0 ::: 0 ::: 0 0

0 0 ::: 0 ::: 0 0

: : ::: : ::: 0 0

: : ::: cos v sin v 0 0 : : ::: sin v cos v 0 0

0 0 ::: 0 0 1 0

0 0 ::: 0 0 0 1

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

1g(v)f (u) 0

:::

k 2g(v)f (u) 0

g(v)f (u) 0

g(v) (u) g(v) (u)

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

¸seklindedir.

Örnek 3.2

; ,

(33)

Tan¬m 3.20 ( En1 de ekseni lightlike(null) olan helisoidal, dönel ve spiral yüzeyler):

E2k+11 ; tek boyutlu Lorentz uzay¬nda (0; :::; 0; 1; 1) vektörü ile gerilen do¼grular¬ in- varyant b¬rakan semi-ortogonal dönme matrisi 0 v 2 olmak üzere

L1 = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@

cos v sin v ::: 0 : : 0 0

sin v cos v ::: 0 : : 0 0

0 0 ::: 0 : 0 0 0

0 0 ::: 0 : 0 0 0

: : ::: : : : : 0

: : : cos v sin v 0 : :

: : : sin v cos v 0 : :

: : ::: 0 0 1 v v

: : ::: : : v 1 v22 v22

0 : : : : v v22 1 + v22

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

dir. E2k1 ;çift boyutlu Lorentz uzay¬nda ( ; 0; :::; 0) ve (0; :::; 0; 1; 1) vektörü ile gerilen düzlemleri invaryant b¬rakan semi-ortogonal dönme matrisi

L2 = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

1 0 0 ::: 0 : : 0 0

0 cos v sin v ::: 0 : 0 0 0

0 sin v cos v ::: 0 : 0 0 :::

0 0 0 ::: : : : 0 :

0 0 0 ::: cos v sin v 0 0 :

: : : ::: sin v cos v 0 : 0

: : : ::: 0 0 1 v v

: : : ::: : : v 1 v22 v22

0 0 0 : : : v v22 1 + v22

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

(34)

dir. E¼ger dönel yüzeyin ekseni l ve pro…l e¼grisi

(u) = ( 1f (u); 0; 2f (u); 0; :::; k 1f (u); 0; f (u); (u) f (u); (u) + f (u))

ise bu durumda helisoidal, dönel ve spiral yüzeyin parametrik ifadesi u 2 I; 0 v 2 ; a2 R= f0g ; 8v 2 I için g : I R ! R diferensiyellenebilir bir fonksiyon olmak üzere

H (u; v) = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@

cos v sin v ::: 0 0 0 sin v cos v ::: 0 0 0

0 0 ::: 0 0 0

0 0 ::: 0 0 0

: : ::: : : 0

: : : : : :

: : : : : :

: : ::: 1 v v

: : ::: v 1 v22 v22 0 : : v v22 1 + v22

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

1f (u) 0 f (u) : : :

k 1f (u) 0

f (u)

(u) f (u) (u) + f (u)

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

+av 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

0 0 0 : : : 0 0 0 1 1

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

;

R (u; v) = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@

cos v sin v ::: : 0 0 sin v cos v ::: : 0 0

0 0 ::: 0 0 0

0 0 ::: 0 0 0

: : ::: : : 0

: : : 0 : :

: : : 0 : :

: : ::: 1 v v

: : ::: v 1 v22 v22

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B

1f (u) 0 f (u) : : :

k 1f (u) 0

f (u)

(u) f (u) 1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC C

;

(35)

S (u; v) = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB

@

cos v sin v ::: : 0 0 sin v cos v ::: : 0 0

0 0 ::: 0 0 0

0 0 ::: 0 0 0

: : ::: : : 0

: : : 0 : :

: : : 0 : :

: : ::: 1 v v

: : ::: v 1 v22 v22 0 : : v v22 1 + v22

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC A

0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

1g(v)f (u) 0

g(v)f (u) :

: :

k 1g(v)f (u) 0

g(v)f (u)

g(v)( (u) f (u)) g(v)( (u) + f (u))

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA :

¸seklindedir. E¼ger dönel yüzeyin ekseni l ve pro…l e¼grisi

(u) = (f (u); 0; 1f (u); 0; :::; k 1f (u); 0; f (u); (u) f (u); (u) + f (u))

ise bu durumda helisoidal, dönel ve spiral yüzeyin parametrik ifadesi, s¬ras¬yla, u 2 I;

0 v 2 ; a 2 R= f0g ve 8v 2 I için g : I R ! R diferensiyellenebilir bir fonksiyon olmak üzere

H (u; v) = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

1 0 0 ::: : 0 0

0 cos v sin v ::: : 0 0 0 sin v cos v ::: : 0 :::

0 0 0 ::: 0 0 :

0 0 0 ::: 0 0 :

: : : ::: : : 0

: : : ::: 1 v v

: : : ::: v 1 v22 v22 0 0 0 : v v22 1 + v22

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

f (u) 0 f (u) : : : f (u)

(u) f (u) (u) + f (u)

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

+av 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

0 0 : : : 0 1 1

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

;

(36)

R (u; v) = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

1 0 0 ::: : 0 0

0 cos v sin v ::: : 0 0 0 sin v cos v ::: : 0 :::

0 0 0 ::: 0 0 :

0 0 0 ::: 0 0 :

: : : ::: : : 0

: : : ::: 1 v v

: : : ::: v 1 v22 v22 0 0 0 : v v22 1 + v22

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

f (u) 0 f (u) : : : f (u)

(u) f (u) (u) + f (u)

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA :

S (u; v) = 0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

1 0 0 ::: : 0 0

0 cos v sin v ::: : 0 0 0 sin v cos v ::: : 0 :::

0 0 0 ::: 0 0 :

0 0 0 ::: 0 0 :

: : : ::: : : 0

: : : ::: 1 v v

: : : ::: v 1 v22 v22 0 0 0 : v v22 1 + v22

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

0 BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB B@

g(v)f (u) 0

g(v)f (u) :

: :

g(v)f (u)

g(v) (u) g(v)f (u) g(v) (u) + g(v)f (u)

1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CA

dir.

(37)

Örnek 3.3

; ;

¸Sekil 3.3 E31 de, s¬ras¬yla, lightlike(null) eksenli helisoidal, dönel ve spiral yüzey

Tan¬m 3.21 X ve Y iki yüzey, f : X ! Y bir dönü¸süm olmak üzere. E¼ger X in bütün te¼get vektörleri için X üzerinde

g(f vp; f vp) = (p) g(vp; vp)

e¸sitli¼gini sa¼glayan reel de¼gerli > 0 fonksiyonu varsa f ye konformal dönü¸süm ve fonksiyonuna da f nin derece faktörüdür denir.

E¼ger sabitse , f ye homoteti, = 1 ise, f ye izometri denir. [Weinstein 1996].

Tan¬m 3.22 X ve Y iki yüzey, f : X ! Y bir dönü¸süm olmak üzere.f nin bir konformal dönü¸süm olmas¬için gerek ve yeter ¸sart E = 2E; F = 2F ; G = 2G e¸sitliklerinin sa¼glanmas¬d¬r: Burada E, F; G ve E, F ; G; s¬ras¬yla, X ve Y nin birinci temel formlar¬n katsay¬lar¬d¬r [O’Neil 1997].

(38)

4. n-BOYUTLU ÖKL·ID UZAYINDA KONFORMAL DÖNܸSÜM ÜZ- ER·INE BOUR TEOREM·I

Teorem 4.1 (Bour teoremi): Bir genelle¸stirilmi¸s helisoidal yüzey

H(u; v) = 2 66 64

u cos v u sin v (u) + av

3 77

75 (4.1)

ile bir dönel yüzey

R(u; v) = 2 66 66 64

pa2 + u2cos(v + Z

a 0 a2+u2du) pa2+ u2sin(v +

Z

a 0 a2+u2du) Z qa2+u2 02

a2+u2 du

3 77 77 75

: (4.2)

izometriktir. Dolay¬s¬yla helisoidal yüzey üzerindeki helisler dönel yüzey üzerindeki paralel çemberlere kar¸s¬l¬k gelir [Bour 1862].

Örnek: 4.1

!

¸

Sekil 4.1 Bir genelle¸stirilmi¸s helisoid ve izometrik oldu¼gu dönel yüzey

(39)

Teorem 4.2(4.1) ve (4.2) ile verilen helisoidal yüzey ile dönel yüzey Bour teoremiyle birlikte izometrik olsunlar. Bu durumda bu iki yüzey ayn¬Gauss dönü¸sümüne sahip ise, b2 a2 0; 0 v 2 ; u; a; b2 R=f0g ve d 2 R olmak üzere

H(u; v) = 2 66 64

u cos v u sin v (u) + av

3 77 75

helisoidal yüzeyi ile

R(u; v) = 2 66 66 4

pa2 + u2cos(v + Z

a 0 a2+u2du) pa2+ u2sin(v +

Z

a 0 a2+u2du) mb arg ch(pa2b+u2)

3 77 77 5:

dönel yüzeyi minimaldir. Burada

(u) = a arctan(

pb2 a2 a log(

spa2+ u2+p

a2+ u2 b2 pa2+ u2 p

a2+ u2 b2)) + d dir [Ikawa 2000].

(40)

Teorem 4.3 ( E2k+1 de konformal dönü¸süm alt¬nda Bour teoremi): Bir genelle¸stirilmi¸s helisoidal yüzey

H(u; v) = 2 66 66 66 66 66 66 66 66 66 66 66 66 4

1f (u) cos v

1f (u) sin v : : :

k 1f (u) cos v

k 1f (u) sin v f (u) cos v f (u) sin v (u) + av

3 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 5

ile bir spiral yüzey

S(u; v) = 2 66 66 66 66 66 66 66 66 66 66 66 66 66 66 66 4

eg0(v) 1 r

a2+(Pk 1 i=1

2

i+1)f2 b2 2s (Pk 1

i=1 2

i+1)(b2+1) cos(v) eg0(v) 1

r

a2+(Pk 1 i=1

2

i+1)f2 b2 2s (Pk 1

i=1 2

i+1)(b2+1) sin(v) :

: : eg0(v) k 1

r

a2+(Pk 1 i=1

2

i+1)f2 b2 2s (Pk 1

i=1 2

i+1)(b2+1) cos(v) eg0(v) k 1

r

a2+(Pk 1 i=1

2

i+1)f2 b2 2s (Pk 1

i=1 2

i+1)(b2+1) sin(v) eg0(v)

r

a2+(Pk 1 i=1 2

i+1)f2 b2 2s (Pk 1

i=1 2

i+1)(b2+1) cos(v) eg0(v)

r

a2+(Pk 1 i=1 2

i+1)f2 b2 2s (Pk 1

i=1 2

i+1)(b2+1) sin(v) eg0(v) s

3 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 5

; eg0(v) 6= sabit:

lokal olarak konformaldir. Dolay¬s¬yla helisoidal yüzey üzerindeki helisler spiral

(41)

yüzey üzerindeki spirallere kar¸s¬l¬k gelir. Burada

S(u) = (Pk 1 i=1

2

i + 1)ab (b2+ 1) 02 p A (Pk 1

i=1 2

i + 1)b4f02+ (Pk 1 i=1

2

i + 1)b2(b2+ 1) 02 ve

A = ( Xk 1

i=1 2

i + 1)2a2b2 b2+ 1 2 04+ ((

Xk 1 i=1

2

i + 1)2b4f02 +(

Xk 1 i=1

2

i + 1)b2 b2+ 1 02)((

Xk 1 i=1

2

i + 1)3b2f2f02 +(

Xk 1 i=1

2

i + 1)b2a2f02 ( Xk 1

i=1 2

i + 1)a2 b2+ 1 02)

dir.

Ispat.· Pro…l e¼grisi ve eksen, s¬ras¬yla, a¸sa¼g¬daki gibi verilsin

(u) = ( 1f (u); 0; 2f (u); 0; :::; k 1f (u); 0; f (u); 0; (u)) ve (0; :::; 0; 1):

Bu durumda helisoidal yüzey a; i (1 i k 1) = sabitolmak üzere

H(u; v) = ( 1f (u) cos v; 1f (u) sin v; :::; k 1f (u) cos v; k 1f (u) sin v;

f (u) cos v; f (u) sin v; (u) + av)

dir. Bu durumda,

Hu(u; v) = ( 1f0(u) cos v; 1f0(u) sin v; :::; k 1f0(u) cos v; k 1f0(u) sin v;

f0(u) cos v; f0(u) sin v; 0(u))

Hv(u; v) = ( 1f (u) sin v; 1f (u) cos v; :::; k 1f (u) sin v; k 1f (u) cos v;

f (u) sin v; f (u) cos v; a)

(42)

olup helisoidal yüzeyin birinci temel form bile¸senleri

E = hHu; Hui = ( Xk 1

i=1 2

i + 1)f02+ 02 F = hHu; Hvi = a 0

G = hHv; Hvi = ( Xk 1

i=1 2

i + 1)f2+ a2:

¸seklinde verilir. Dolay¬s¬yla da yay elementi a¸sa¼g¬daki gibidir.

ds2 = ((

Xk 1 i=1

2

i + 1)f02+ 02)du2+ 2a 0dudv + ((

Xk 1 i=1

2

i + 1)f2+ a2)dv2: (4.3)

Di¼ger taraftan spiral yüzeyin parametrik ifadesi

S(uS; vS) = ( 1eg0(vS)fS(uS) cos vS; 1eg0(vS)fS(uS) sin vS; :::;

k 1eg0(vS)fS(uS) cos vS; k 1eg0(vS)fS(uS) sin vS; eg0(vS)fS(uS) cos vS; eg0(vS)fS(uS) sin vS; eg0(vS) (uS))

¸seklindedir. g00(v) = b = sabitoldu¼gundan

SuS(uS; vS) = ( 1eg0(vS)fS0(uS) cos vS; 1eg0(v)fS0(uS) sin vS; :::;

k 1eg0(vS)fS0(uS) cos vS; k 1eg0(v)fS0(uS) sin vS; eg0(vS)fS0(uS) cos vS; eg0(v)fS0(uS) sin vS; eg0(vS) 0(uS))

Referanslar

Benzer Belgeler

Yine D , 3-boyutlu dual Lorentz uzayında bir parametreli dual Lorentzian küresel 1 3 hareketler ve bu hareketlerin hızları, ivmeleri, pol noktaları, ivme polleri

In the third chapter, Smarandache curves according to Frenet, Bishop and Darboux frame in Euclidean space is defined.. The fourth chapter is the original parts of this

In this study, by defining the one-parameter closed spherical Lorentz motion in 3-dimensional Lorentz space, we give the relation between spherical areas, generated by this motion

De…nition 1 Sonsuz bir aral¬k üzerinde tan¬ml¬ s¬n¬rl¬ fonksiyonlar¬n integra- line birinci tip genelle¸ stirilmi¸ s integral

Bu kesimde 1961 ve 1963’de N.Levine tarafından sürekli fonksiyonların zayıflatılmı¸s biçimleri olarak tanımlanmı¸s olan zayıf sürekli fonksiyon ve yarı-sürekli fonksiy-

Minkowski 3-uzayında Gauss dönüşümü 1-tipli dönel yüzeyler hakkında bilgi almak için Altın (2000)’nın “On the Gauss map of surfaces of revolution in 3 1 ”

Minkowski uzayı ndaki Gauss dönüş ümü noktasal 1-tipli dönel yüzeyler çalı ş mamı z içinde Niang (2004)’ı n “On rotation surfaces in the Minkowski 3-dimensional space

Bu çalışmada, altın elektrodun yüzeyi, p-aminobenzoik asidin (p-ABA) diazonyum tuzu indirgenmesi ve amin oksidasyonu teknikleri ile kaplanmış ve elde edilen tek