3-Boyutlu Dual Lorentz uzayında ivme eksenleri

(1)

3-BOYUTLU DUAL LORENTZ UZAYINDA

İVME EKSENLERİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Ayşe Zeynep PİRDAL

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATİK

Tez Danışmanı : Doç. Dr. Murat TOSUN

Haziran 2006

(2)

T.C.

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

3-BOYUTLU DUAL LORENTZ UZAYINDA

İVME EKSENLERİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATİK

Bu tez 09 / 06 /2006 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Oybirliği ile kabul edilmiştir.

Prof. Dr. Metin Başarır Doç. Dr. Murat Tosun Doç. Dr. İbrahim Okur

Jüri Başkanı Üye Üye

(3)

ii

Bu çalışmanın her aşamasında, bilgi ve tecrübesiyle beni yönlendiren ve yardım eden çok değerli hocam Doç. Dr. Murat TOSUN’a en içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım. Çalışmam esnasında bana vakit ayıran ve her konuda yardımını esirgemeyen Arş. Gör. Mehmet Ali GÜNGÖR’e, Arş. Gör. Soley ERSOY’a, Arş.

Gör. Murat SARDUVAN’a, Arş. Gör. Bahar DEMİRTÜRK’e, Arş. Gör. Betül KARAÇOBAN’a ve Matematik Bölümündeki değerli hocalarıma teşekkür ederim.

Ayrıca anlayış ve desteklerini daima hissettiğim, annem Şükran SAĞLAMTAŞ’a, anneannem Mürşide SAĞLAMTAŞ’a ve dedem Şükrü SAĞLAMTAŞ’a sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

(4)

iii

İÇİNDEKİLER

TEŞEKKÜR... ii

İÇİNDEKİLER... iii

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ... v

ŞEKİLLER LİSTESİ... vii

ÖZET... viii

SUMMARY... ix

BÖLÜM 1. GİRİŞ... 1

1.1. Lorentz Anlamda Temel Kavramlar... 1

BÖLÜM 2. DUAL LORENTZ ANLAMDA TEMEL KAVRAMLAR…….... 8

BÖLÜM 3. ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYINDA BİR PARAMETRELİ LORENTZİAN HAREKETLER... 16

3.1.Lorentz Küre Üzerinde Bir Hareketin Gösterilmesi……... 16

BÖLÜM 4. ÜÇ BOYUTLU DUAL LORENTZ UZAYINDA BİR PARAMETRELİ DUAL LORENTZİAN HAREKETLER... 24

4.1. Dual Lorentz Küre Hareketlerinin Gösterilmesi... 24

4.2. Dual Lorentzian Hareketlerde Hız……….….... 28

4.3. Dual Lorentzian Hareketlerde İvme ve İvme Eksenleri...…... 32

4.4. İvme Eksenlerinin Gerçelliği……….……… 41

BÖLÜM 5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER... 44

(5)

iv

(6)

v

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ

A : Hareketli sistem için dual Lorentz anlamda ortogonal matris A′ : Sabit sistem için dual Lorentz anlamda ortogonal matris M : Dual Lorentz küresinin merkezi

O′ : L de sabit sistemin merkezi ³ O : L de hareketli sistemin merkezi ³ Q : L de izafi sisteminin merkezi ³ ei

: L de hareketli sistemin baz vektörleri ³

e ′i

: L de sabit sistemin baz vektörleri ³

ei

: D de hareketli sistemin baz vektörleri ₁³

e ′i

: D de sabit sistemin baz vektörleri ₁³ ri

: D de izafi sisteminin baz vektörleri ₁³ S2 : Dual birim küre

2

S1 : Dual Lorentz birim küre

2

H0 : Dual hiperbolik birim küre L 3 : Üç boyutlu Lorentz uzayı D 3 : Üç boyutlu dual uzay

3

D 1 : Üç boyutlu dual Lorentz uzayı K : Hareketli dual birim küre K ′ : Sabit dual birim küre K1 : İzafi dual birim küre

Ω ve ′Ω : Dual Lorentz anti-simetrik matrisler Ωij_ve

ij′

Ω : Dual Pfaff formları

(7)

vi

Ψ : Ani dual Lorentz Pfaff vektörü ψ

: Ani dönme Pfaff vektörü

ψ^∗

: Ani kayma Pfaff vektörü

J

: Sürüklenme ivme vektörü

∇ : Ψ

ve Ψ

vektörleri arasındaki dual Lorentz açı ( , )u v

: Time-like yüzey

Λ : Dual skaler

li : Dual Lorentz ivme eksenleri

Φ : Dual açı

Φ : Dual Lorentz açı

ε : İşaret matrisi

Γ : Null konisi

( )

1 3

O : Lorentz anlamda ortogonal 3 3× tipindeki matrislerin cümlesi L L′ : Hareketli Lorentz sisteminin sabite göre hareketi

L L1 : İzafi Lorentz sisteminin hareketliye göre hareketi

1 ′

L L : İzafi Lorentz sisteminin sabite göre hareketi

K K′ : Hareketli dual Lorentz küresinin sabite göre hareketi K K1 : İzafi dual Lorentz küresinin hareketliye göre hareketi K K ′1 : İzafi dual Lorentz küresinin sabite göre hareketi Va

: Mutlak hız vektörü

Vr

: Relatif hız vektörü

Vf

: Sürüklenme hız vektörü

(8)

vii

ŞEKİLLER LİSTESİ

Şekil 1.1. L uzayında vektörler……..……….……... 3 ³ Şekil 1.2. L uzayında birim küreler………... 5 ³ Şekil 2.1. S Lorentzian birim küresi, ₁² H hiperbolik birim küresi ve ₀²

Γ ışın konisi... ²

12 Şekil 2.2. Yönlü timelike doğrular arasındaki dual hiperbolik açı... 13

Şekil 2.3. Spacelike doğrular arasındaki dual merkez açı... 14

Şekil 3.1.1. Lorentz anlamında Darboux vektörü…………...……….. 21

Şekil 4.1.1. Dual Lorentzian ortonormal sistemler…...……….... 25

(9)

viii

ÖZET

Anahtar Kelimeler: Dual sayı, dual uzay, Lorentz metriği, dual Lorentz (hiperbolik) birim küre, sürüklenme hızı, sürüklenme ivmesi, dual Lorentz uzay, ivme eksenleri.

Bu tez dört bölümden oluşmuştur. Birinci bölümde L , 3 -boyutlu Lorentz uzayında ³ temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. İkinci bölümde D , 3 -boyutlu dual ³₁ Lorentz uzayı ile ilgili genel tanım, teorem ve bağıntılar verilmiştir. Üçüncü bölümde L , 3 -boyutlu Lorentz uzayında bir parametreli Lorentz küresel hareketler tanıtılmış 3

ve bu hareketlerin hızları ve pol noktaları ile ilgili teoremler verilmiştir. Dördüncü bölümde ilk olarak D , 3 -boyutlu dual Lorentz uzayında bir parametreli dual ₁³ Lorentzian küresel hareketler tanıtıldı. Bu hareketin hızları ve ivmeleri ile ilgili bağıntı verildi. Bu bölümün üçüncü ve dördüncü kısmı tezimizin orijinal kısmını oluşturmaktadır. Burada, bir parametreli dual Lorentzian hareketin ivmeleri ve ivme eksenleri ile ilgili bağıntılar elde edildi.

(10)

ix

ACCELERATION AXES IN THREE DIMENSIONAL DUAL

LORENTZ SPACE

SUMMARY

Keywords: Dual number, dual space, Lorentzian metric, dual Lorentzian (hyperbolic) unit sphere, velocity, acceleration, dual Lorentzian space, acceleration axis

This thesis consists of four chapters. In the first chapter, we have given basic concepts, theorems and relations in three dimensional Lorentz Space, L . In the ³ second chapter, general definitions, theorems and relations were given concerned with three dimensional dual Lorentzian Space, D . In the third chapter, one ₁³ parameter Lorentzian spherical motions were explained in three dimensional Lorentz space, L , and theorems were given which were concerned with velocities and pole ³ points of these motions. In the fourth chapter, initially one parameter dual spherical motions in three dimensional dual Lorentz space, D were explained and relation ³₁ was given which was concerned with velocities and accelerations of this motion. The third and the fourth parts of this chapter are the original contribution to the science of mathematics. Here, relations were obtained concerned with acceleration and acceleration axes of one parameter dual Lorentzian motion.

(11)

BÖLÜM 1. GİRİŞ

1.1. Lorentz Anlamda Temel Kavramlar

Tanım 1.1.

V , sonlu boyutlu reel vektör uzayı olmak üzere,

, :V V× → R

bilineer fonksiyonu ∀v w V, ∈ için v w, = w v, özelliğini sağlıyor ise , ’ye V üzerinde bir simetrik bilineer form denir[13].

Tanım 1.2.

^için ^{v v ≤}^, ⁰^ise ^, bilineer formu negatif semi-definit, v-) ∀ ∈ için w V v w =, 0 için v = oluyorsa 0 , bilineer formuna non-dejenere,

0

v ≠ ise dejenere adı verilir[13].

Tanım 1.3.

, , V üzerinde simetrik bilineer form ve W ’da V

’

nin bir altuzayı olsun.

, :W W× → R fonksiyonuna , nin W üzerinde kısıtlanmışı denir ve , _W ile gösterilir. Böylece

(12)

2

, _W :W W× → R

negatif definit olacak şekilde en büyük boyutlu W altuzayının boyutuna; , simetrik bilineer formun indeksi denir[13]. v, , ’nin indeksi olmak üzere

0≤ ≤v boyV dir.

Tanım 1.4.

R üzerinde 3 X =( ,x x x1 2, 3)

, Y=( ,y y y₁ ₂, ₃)

olmak üzere

3 3

, _L:R ×R →R

( , )X Y → X Y , = −x y_{1 1}+x y₂ ₂ +x y₃ ₃

L

şeklinde tanımlanan simetrik, bilineer, non-dejenere metrik tensörüne R üzerinde ³ Lorentz metriği denir.

Bundan sonraki gösterimlerde aksi belirtilmedikçe , sembolü ,

L anlamında kullanılacaktır.

Tanım 1.5.

R üzerinde Lorentz metriğinin tanımlanmasıyla meydana gelen 3

{

^R³^{, ,}

}

ikilisine 3 -boyutlu Lorentz uzayı veya kısaca Lorentz uzayı denir ve L ile gösterilir. ³

Tanım 1.6.

3

1 2 3

( , , ) X = x x x ∈

L olsun. Eğer i-) X X <, 0

ise X

’e time-like vektör, ii-) X X >, 0

veya X =0

ise X

’e space-like vektör, iii-) X X =, 0

ve X ≠0

ise X

’e null vektör adı verilir.

(13)

Teorem 1.1.

W , V Lorentz vektör uzayının bir alt uzayı olsun. Bu takdirde aşağıdaki önermeler denktir.

i-) W light-like dır.

ii-) W light-like vektör içerir fakat time-like vektör içermez.

iii-) ^W^{∩ Γ = −}^F

{ }

⁰ dır. Burada F bir boyutlu alt uzaydır (Γ , V nin null konisidir)[13].

Tanım 1.4. ile verilen Lorentz iç çarpımı da, L uzayındaki vektörleri üç sınıfa ayırır. ³ Time-like vektörler null koninin içinde, light-like(veya null) vektörler null koninin üzerinde ve space-like vektörlerde null koninin dışında bulunurlar(Şekil 1.1.).

(Şekil 1.1.) L³ Uzayında Vektörler

Tanım 1.7.

L , 3 -boyutlu Lorentz uzayı ve 3 X Y ∈, ³

L olsun.

, 0

X Y =

ise X

ve Y

vektörleri Lorentz anlamında diktirler denir.

(14)

4

Tanım 1.8.

X ∈ 3

L için X

’in normu

X = X X,

L

olarak tanımlanır.

Yine aksi belirtilmedikçe sembolü

L yerine kullanılacaktır.

Teorem 1.2.

X ∈ 3

L olmak üzere, i-) X >0

dır, ii-) X = ⇔0 X

bir null vektördür, iii-) X

bir time-like vektör ise X ² = − X X, , iv-) X

bir space-like vektör ise X ² = X X,

dir[2].

Tanım 1.9.

(

^V^{, ,}

)

bir Lorentz uzayı olsun. W ⊂ altuzayını göz önüne alalım. V i-) , _W :W W× → R pozitif ise W ’ya space-like altuzay,

ii-) , _W :W W× → R indeksi 1 olan non-dejenere ise W ’ya time-like altuzay, iii-) , _W:W W× → R dejenere ise W ’ya light-like altuzay denir.

Tanım 1.10.

V Lorentz vektör uzayında bütün time-like vektörlerin cümlesi λ olsun. U∈ , için λ

{

^X^∈^λ^: ^{U X}^, ^<⁰

}

cümlesine V ’nin U ’yu ihtiva eden time-konisi denir.

(15)

Tanım 1.11.

L uzayındaki Lorentz ve Hiperbolik birim küreler, sırasıyla, 3

{ }

2 3

1 , 1

S = P∈ P P = L

ve

( ) { }

2 3

0 , 1

H r = P∈ P P = − L

biçiminde ifade edilir(Şekil 1.2.).

(Şekil 1.2.) L ³ Uzayında Birim Küreler

Tanım 1.12.

( )

^{u v}^,

=

_, _L³ _uzayında _bir _yüzey _olsun. _Eğer ^P^∈

( )

^{u v}^, ^için,

( ) ( )

, : , ,

P P

u v × u v →

R , bir Lorentz iç çarpımı ise

( )

^{u v}^, ’ye time-like yüzey denir.

Tanım 1.13.

α∈ L Lorentz uzayında bir eğri olsun. 3 α eğrisinin hız vektörü αⁱ olmak üzere;

i-) α αⁱ, ⁱ <0 ise α , time-like eğri,

(16)

6

ii-) α αⁱ, ⁱ >0 ise α , space-like eğri,

iii-) α αⁱ, ⁱ =0 ise α , null eğri olarak adlandırılır[13].

Tanım 1.14.

L Lorentz uzayında 3 A⁻¹=ε εA^T eşitliğini sağlayan A matrisine Lorentz anlamda ortogonal matris denir. Burada ε işaret matrisidir, yani

1 0 0 0 1 0 0 0 1 ε

− 

 

=  

 

 

dir.

Teorem 1.3.

Lorentz anlamda ortogonal 3 3× tipindeki matrislerin cümlesi O1

( )

3 olmak üzere aşağıdaki ifadeler denktir.

1) A∈O1

( )

3

2) A^T =εA⁻¹ε

3) A ’nin sütunları L ün bir ortonormal bazını oluşturur ³

4) A , L ün herhangi bir ortonormal bazını ortonormal bir baza taşır[13]. ³

Tanım 1.15.

ST = −ε εS eşitliğini sağlayan S matrisine Lorentz anlamında anti-simetrik matris denir.

(17)

Tanım 1.16.

vektörüne v ve w nin vektörel çarpımı denir.

1, ise

0, ise

ij

i j i j δ _{= }^ ⁼

 ≠ ve e_i =

(

δ δ δ_i1, _i2, _i3

)

olmak üzere

1 2 3

det

e e e

v w v v v

w w w

− 

 

∧ =  

 

 

biçiminde tanımlanır[20].

(18)

BÖLÜM 2. DUAL LORENTZ UZAYDA TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde D dual Lorentz uzaydaki temel tanım ve teoremlere yer verilecektir. ₁³

Tanım 2.1.

, a a^∗

∀ ∈ R olmak üzere bir ^A⁼

(

^{a a}^, ^∗

)

ikilisine bir sıralı ikili denir. Bu şekilde tanımlanan R R cümlesi D ile gösterilsin. ×

( )

{

^{a a}^, ^∗ ^{: ,}^{a a}^∗

}

= ∈ R

D

^,

)

AB= a a^∗ b b^∗ = ab ab^∗+a b^∗

şeklinde tanımlanır ve D deki çarpma olarak adlandırılır.

(19)

Tanım 2.4.

(

^,

)

A= a a^∗ ve ^B⁼

(

^{b b}^, ^∗

)

^{∈D için}

a= , ab ^∗ =b^∗

ise A ile B eşittir denir ve A= şeklinde gösterilir. B

Tanım 2.5.

R reel sayılar cümlesi olmak üzere

= ×R R D

cümlesi üzerinde toplama, çarpma ve eşitlik işlemleri Tanım 2.2. , Tanım 2.3. ve Tanım 2.4. deki gibi tanımlanmış ise D cümlesine dual sayılar sistemi ve

(

^{a a}^, ^∗

)

∀ ∈D elemanına da bir dual sayı denir.

Tanım 2.6.

Dual sayı üçlülerinin cümlesi ^D³⁼

{

^A⁼

(

^{A A A}¹^, ²^, ³

)

^{A A A}¹^, ²^, ³^∈^D

}

, D halkası üzerinde bir modüldür ve D -Modül veya dual uzay olarak adlandırılır. D ün ³ elemanlarına da dual vektörler denir.

Tanım 2.7.

A= +a a*

E , B= +b b^∗∈

D

E -Modül dual vektörlerinin iç çarpımı

3 3

:

f D ×D →D

şeklinde bir dönüşümdür ve

(20)

10

( )

^, ^, ^,

f A B = A B = a+ a b^∗ + b^∗

E E

olarak tanımlanır[10].

Tanım 2.8.

A= +a a^∗

E , B= +b b^∗∈

E D-Modül olsun. D -Modül üzerinde

3 3 3

, , , ,

A B = a b +  a b^∗ + a b^∗ 

L L L

E

biçiminde tanımlanan dual Lorentz iç çarpımı tanımlanırsa

(

^D³^{, ,}

)

ikilisine dual Lorentz uzay denir ve bu uzay D ile gösterilir. ₁³

Burada eşitliğin sağındaki iç çarpımlar, L uzayındaki Lorentz iç çarpımıdır. ³ Böylece

{

}

3 3

1 = A= +a a^∗ ,a a^∗∈

D E L

dir.

Tanım 2.9.

3

A= +a a^∗∈ 1

E D olmak üzere

i-) a

space-like vektör ise A

’ya bir dual space-like vektör,

ii-) a

time-like vektör ise A

’ya bir dual time-like vektör,

(21)

iii-) a

light-like (null) vektör ise A

’ya bir dual light-like (null) vektör denir.

Tanım 2.10.

³

A= +a a^∗∈ 1

D

E vektörünün dual normu

,

, ,

a a

A A A a

a

 ∗ 

 

= =  

olarak adlandırılır.

Tanım 2.11.

3

, 1

A B ∈

D olmak üzere A

ve B

’nin Lorentz vektörel çarpımı

( )

⁽ ⁾

3 3 3

:

A B, A B a b a^∗ b a b^∗

Λ × →

→ Λ = Λ + Λ + Λ

D D D

E

biçiminde tanımlanır.

Burada eşitliğin sağındaki vektörel çarpımlar, L uzayındaki vektörel çarpımlardır. ³

Tanım 2.12.

³

A= +a a^∗∈ 1

D

E olmak üzere

(22)

12

¹²

{

( )

^{1, 0 ; ,} ³ ve space-like vektör

}

S = A= +a a^∗ A = a a^∗∈ a

L E

cümlesine dual Lorentz birim küre denir.

⁰²

{

( )

^{1, 0 ; ,} ³ ve time-like vektör

}

H = A= +a a^∗ A = a a^∗∈ a

E L

cümlesine dual hiperbolik birim küre denir(Şekil 2.1.).

(Şekil 2.1.) 2

S1 Lorentz Birim Küresi, 2

H0 Hiperbolik Birim Küresi ve Γ2 Işık Konisi

Teorem 2.1.

3

D uzayındaki 1 2

H dual hiperbolik ve 0 2

S dual Lorentz birim kürelerinin noktaları, 1

sırasıyla, L Lorentz çizgiler uzayındaki yönlü time-like ve space-like doğrulara ³ bire-bir karşılık gelir[15].

Γ

2

H 0

2

S 1

(23)

Tanım 2.13.

A

ve B

dual time-like birim vektörlerine karşılık gelen yönlü time-like doğrular arasındaki hiperbolik açı ϕ ve en kısa uzaklık ϕ^∗ olmak üzere

ϕ ϕ^∗

Φ = + E

dual sayısına A

ve B

vektörleri arasındaki dual hiperbolik açı denir(Şekil 2.2.).

(Şekil 2.2.) Yönlü Time-like Doğrular Arasındaki Dual Hiperbolik Açı

Teorem 2.2.

A= +a a^∗

E , B= +b b^∗∈ ₁³

D

E iki dual time-like birim vektör olsun. A

ve B

vektörlerinin iç çarpımı

, cosh

A B = − Φ

dır[15].

O X

ϕ Y a

b

ϕ^∗

b^∗

a^∗ d1

d2

(24)

14

Tanım 2.14.

A

ve B

dual space-like birim vektörlerine karşılık gelen yönlü space-like doğrular arasındaki merkez açı ϕ ve en kısa uzaklık ϕ^∗ olmak üzere

ϕ ϕ^∗

Φ = + E

dual sayısına A

ve B

vektörleri arasındaki dual merkez açı denir(Şekil 2.3.).

(Şekil 2.3.) Space-like Doğrular Arasındaki Dual Merkez Açı

Teorem 2.3.

A= +a a^∗

E , B= +b b^∗∈ ₁³

E D iki dual space-like birim vektör ve ^{Sp A B}

{ }

^, ^time- like olsun. A

ve B

vektörlerinin Lorentz iç çarpımı

, cosh

A B = Φ

dır[16].

a

O

X

Y ϕ

b ϕ^∗

b^∗ a^∗

d1

d2

(25)

Tanım 2.15.

A

ve B

dual space-like birim vektörlerine karşılık gelen yönlü space-like doğrular arasındaki merkez açı ϕ ve en kısa uzaklık ϕ^∗ olmak üzere

ϕ ϕ^∗

Φ = + E

dual sayısına A

ve B

vektörleri arasındaki dual space-like açı denir.

Teorem 2.4.

A= +a a^∗

E , B= +b b^∗∈ ₁³

E D iki dual space-like birim vektör ve ^{Sp A B}

{ }

^, ^space- like olsun A

ve B

vektörlerinin Lorentz iç çarpımı

, cos

A B = Φ

dır[16].

.

(26)

BÖLÜM 3.

_L³

, 3-BOYUTLU LORENTZ UZAYINDA BİR

PARAMETRELİ LORENTZİAN KÜRESEL

HAREKETLER

3. 1. Lorentz Küre Üzerinde Bir Hareketin Gösterilmesi

L Lorentz küresinde,

{

O e e e; , 1 2,3

}

Lorentz anlamda ortonormal koordinat sistemi olsun. Bu koordinat sistemine kısaca hareketli koordinat sistemi denir. Aynı şekilde

{

O e e e; , 1′ ′ ′2,3

}

sistemi de ′L sabit Lorentz küresinde Lorentz anlamda bir ortonormal koordinat sistemi olsun. Bu koordinat sistemleri, sırasıyla, L ve L Lorentz ′ kürelerinin temsilcileri olarak kabul edilecektir. Böylece

, ,

i j i j i ij

e e = e e ′ ′ =ε δ

, 1, veya space-like -1, veya time-like

i i

i

i i

e e

ε _{= }^ ^′

 ′

, 1≤ ji, ≤3

dir.

Bu iki sistemden herhangi birini imtiyazlı saymayıp bir diğer üçüncü

{

O r r r; , , 1 2 3

}

izafi ortonormal sistemini ele alalım. Bütün hareketlerimizi bu izafi sistemine göre vereceğiz. Böylece

i, j i ij

r r =ε δ

, 1, space-likeⁱ -1, time-like

i

r ε _{= }^ r



, 1≤ ji, ≤3

dir.

(27)

Eğer kısalık için

















=

3 2 1

e e e E

,

















=

3 2 1

r r r R

,

















′

′=

3 2 1

e e e E

notasyonlarını kullanırsak, bu sistemlerin her biri aynı şekilde yönlendiğinden O noktası etrafındaki dönmeler ile sistemlerin birinden ötekine geçilebilir. Böylece

R=A E , R= A E′ ′ (3.1.1)

yazabiliriz. Burada A A′, ∈ O1

( )

3 dir.

A ve A′ Lorentz anlamda ortogonal matrislerinin bileşenleri t reel parametresinin C∞-sınıfından türevlenebilen fonksiyonları oldukları kabul edilecektir. Böylece “ O ” noktası etrafındaki harekete bir parametreli D_I Lorentz dönme hareketi adını vereceğiz.

Eğer (3.1.1) denklemi göz önüne alınırsa, r_j

,

(

¹^{≤ ≤}^j ³

)

vektörlerinin, sırasıyla, L ve ′L Lorentz kürelerine göre diferensiyelleri

dR=S R

d R′ =S R′ (3.1.2)

dir, burada, sırasıyla, S =dAA⁻¹ ve ^S^′⁼^{dA A}^′

( )

^′ ⁻¹^dir[8].

Kolayca gösterilebilir ki S ve S′ Lorentz anlamda anti-simetrik matrislerdir. S ve S′ nün bileşenleri, sırasıyla ω_ij ve ω_ij′ olmak üzere i, j, k indislerinin

, , k 1, 2, 3; 2, 3,1;3,1, 2

i j = sıralanışları ω_ij =ω_k ve ω_ij^′ =ω_k^′ ile gösterilirse,

(28)

18

3 2

3 1

2 1

0 0

0 S

ω ω

 − 

 

= − 

− 

 

ve

3 2

3 1

2 1

0 0

0 S

ω ω

′ − ′

 

 

′= ′ − ′

′ ′

− 

 

dır[14].

İzafi sisteme göre koordinatları x x x₁, ₂, ₃ olan herhangi bir nokta X olsun.

















=

3 2 1

x x x

X olduğundan dolayı

T R OX= =x X

(3.1.3)

vektörünü ele alalım. X noktası birim Lorentz küresi üzerinde bir nokta ise

2 2 2 2

1 2 3 1

x = − +x x +x =

dir. Şimdi X noktasının, L ve ′L , sırasıyla, hareketli ve sabit Lorentz kürelerine göre değişimini hesaplayalım.

Eğer (3.1.2) ve (3.1.3) denklemleri göz önüne alınırsa,

(

^T ^T

)

dx= dX +X S R

(3.1.4)

elde ederiz. Böylece X noktasının relatif hız vektörü ( X in L ye göre hızı)

(29)

r

V dx

= dt

dir. Eğer V_r =0

yani dx = 0

ise X noktası L hareketli Lorentz küresinde sabittir.

O halde X in L da sabit olma şartı

t T

dX = −X S (3.1.5)

dir.

Benzer olarak X noktasının L Lorentz küresine göre değişimi, (3.1.3) denklemi ′ göz önüne alınırsa,

(

^T ^T

)

d x′= dX +X S R′

(3.1.6)

dir. Böylece mutlak hız vektörü (X in ′L ye göre hızı)

a

V d x dt

= ′

dir. Eğer V_a =0

yani d x′ = 0

ise X noktası L de sabittir. O halde X in ′′ L de sabit olma şartı aşağıdaki denklemle verilir:

T T

dX = −X S′ (3.1.7)

Eğer X noktası L da sabit ise X in ′L ye göre hızına X in sürüklenme hızı adı verilir ve

f f

V d x

= dt

ile gösterilir. Eğer (3.1.5) ve (3.1.6) denklemleri göz önüne alınırsa

(30)

20

T

d xf =X ΨR

(3.1.8)

elde edilir, burada Ψ =S′− dır. Eğer S ψ Pfaff vektörü

1 1r 2 2r 3 3r ψ = −ψ +ψ +ψ

(3.1.9)

olarak seçilirse (3.1.8) denklemi

d xf = ∧ψ x

(3.1.10)

şeklini alır. Böylece (3.1.4) ve (3.1.6) denklemlerinden

d xf =d x′−dx

olduğu kolayca görülebilir. Bu son denklem ifade eder ki

f r

a V V

V

= +

dir.

Böylece aşağıdaki teoremi verebiliriz.

Teorem 3.1.1.

L bir parametreli Lorentz küresel hareketinde, bir X noktasının mutlak hız vektörü, 3

relatif hız vektörü ile sürüklenme hız vektörünün toplamına eşittir[14].

Şimdi ψ Pfaff vektörü ve (3.1.10) denkleminin anlamını daha iyi anlamak için Darboux dönme vektörünün önemini belirtelim. Bir eksen etrafında dönme hareketini göz önüne alalım. Kabul edelim ki bu eksen başlangıç noktasından geçsin ve doğrultusu d

olsun. Dönme hareketi ω= d

∓ açısal hızı ile meydana gelsin. Yer

(31)

vektörü OX=x

olan bir X noktası bu dönme hareketinin etkisine tabi tutalım ve bu noktanın hız vektörü de v

olsun.

(3.1.1.) Lorentz Anlamda Darboux Vektörü

O halde

v= ∧d x

eşitliği doğrudur. Bu son denklem ifade eder ki v

vektörü hem x

hem de d

ye diktir. Ayrıca;

sinh

v = d x α = ωr

∓

dir, burada x sinhα =r

dir. Böylece v

gerçekten d

ekseni etrafında d

∓ açısal hızı ile o noktanın dönme polünden uzaklığı ile çarpımına eşittir. Bu ise v

nin X noktasının hız vektörü olduğunu ifade eder. Böylece ψ Pfaff vektörüne, bir parametreli D_I dönme hareketinin t anındaki dönme vektörü diyebiliriz. O halde aşağıdaki teorem verilebilir.

d

α

x v

X Time-like Time-like

Space-like Space-like

O

(32)

22

Teorem 3.1.2.

L , 3 -boyutlu Lorentz uzayında bir parametreli 3 DI dönme hareketinde, t anında, hareketli sistemin her X noktası için bir sonsuz küçük dönme hareketi meydana gelir. Bu dönme hareketinde ψ Pfaff vektörü, Darboux dönme vektörünün rolünü oynar. Burada X noktasının d x_f

ilerleme vektörü (3.1.10) ile verilmiştir [14].

Şimdi ψ dönme vektörü doğrultusundaki p

birim vektörünü hesaplarımıza dahil edelim.

=1 p

olduğundan dolayı

2 2 2

1 2 3

ψ = p −ψ +ψ +ψ

dir. Burada ψ = ψ = −ψ₁²+ψ₂²+ψ₃²

∓ , dt zaman aralığında dönmeyi meydana

getiren sonsuz küçük dönme açısını gösterir (Burada ψ nin işareti p

yönüne bağlıdır). OP p

= ile birim Lorentz küresi üzerinde gösterilen P noktası ani dönme polüdür. P noktası sürüklenme hızının sıfır olması ile karakterize edildiğinden dolayı (3.1.10) denkleminden

0 ψ∧ =x

, x ² =1

ise

x= p

∓

dir. P dönme polü ile onun P karşı noktası (ona karşı gelen nokta) bir t anında sabit kalırlar. ψ ve OX=x

vektörleri, birim Lorentz küresinin P , P ve X noktalarından geçerek onu bir büyük dairesi boyunca kesen, bir Lorentz düzlem

(33)

meydana getirirler. X noktası L küresinde sabit ise (3.1.10) den dolayı X in d xf sürüklenme hızı (ilerleme doğrultusu) bu büyük daireye dik olur. Böylece aşağıdaki teoremler verilebilir.

Teorem 3.1.3.

Bir parametreli bir harekette Lorentz küresi üzerinde, her anda, sürüklenme hızları sıfır olan bir çift P , P noktaları ( P dönme polü ve onun P karşı noktası) vardır.

Yani bu noktalar, t anında her iki küre yüzeyi üzerinde sabit kalır[14].

Teorem 3.1.4.

Hareketli L küresinin her noktası t anında P polü (ve onun P karşı noktası) etrafında

dt

ψ açısal hızı ile bir dönme hareketi (ani dönme hareketi) yapar. O halde

küre üzerindeki bir parametreli hareket t anında L küre yüzeyinin tamamının ′L sabit küresine göre böyle bir dönmesinden ibaret olur[14].

Teorem 3.1.5.

Bir parametreli bir küre hareketinde L hareketli küresinin bir X noktası ′L sabit küresi üzerinde, küresel yörünge normali her defasında P dönme polünden (ve onun

P karşı noktasından) geçen, bir yörünge çizer[14].

(34)

BÖLÜM 4.

D³1

, 3-BOYUTLU DUAL LORENTZ UZAYINDA BİR

PARAMETRELİ DUAL LORENTZİAN

HAREKETLER

Bu bölümde D , 3 -boyutlu dual Lorentz uzayda, bir parametreli dual Lorentzian ₁³ hareketler tanıtılarak, bu harekette hızlar ve ivmelerle ilgili teoremlere yer verildi.

Ayrıca bir parametreli hareketin ivme ve ivme eksenleri ile ilgili bağıntılar elde edildi.

4. 1. Dual Lorentzian Küresel Hareketlerin Gösterilmesi

L de sabit ve hareketli sistemler, sırasıyla, 3 L′ ve L olmak üzere L′ ve L sistemlerinin ortonormal koordinat sistemleri, de sırasıyla,

{

O e e e′ ′ ′ ′; , , 1 2 3

}

ve

{

O;e₁,e₂,e₃

}

, ,

i j i j i ij

e e = e e ′ ′ =ε δ

, 1, veya space-like -1, veya time-like

i i

i

i i

e e

ε _{= }^ ^′

 ′

, 1≤ ji, ≤3

dir. L′ ve L aynı şekilde yönlendirilmiş olsun, yani; Lorentz ortogonal dönüşüm ile birinden diğerine geçilebilsin. Bu iki sistemden herhangi birini imtiyazlı saymayıp bir diğer üçüncü sistem L olsun. 1 L deki ortonormal koordinat sistemi ¹

{

O;r₁,r₂,r₃

}

olmak üzere

i, j i ij

r r =ε δ

, 1, space-likeⁱ -1, time-like

i

r ε _{= }^ r



, 1≤ ji, ≤3

(35)

^{M R R R} ^;¹^,²^, ³

}

olsunlar. Burada

i i i

E′= +e′ e′^∗

E ,

i i i

E = +e e^∗

E ,

i i i

R = +r r^∗

E , 1≤ ≤ i 3

i i

e′^∗ =MO′∧e′

,

i i

e^∗ =MO∧e

,

i i

r^∗ =MQ∧r

dir.

(Şekil 4.1.1.). Dual Lorentzian Ortonormal Sistemler

_E′₂

R2

E2

_E′₃

E3

R3

E1

R₁

E′1

2

H0

2

S1

r₁

r3

r₂

Q

e′₁

e′3

e′2

e1

e3

e2

O

O′

(36)

26

Bu sistemler aynı yönlü olarak seçilmişlerdir. Yani, bir dual Lorentz ortogonal dönüşüm ile birinden diğerine geçilebilir. Bu dönüşümler, M etrafındaki dual Lorentz dönmelerdir.

A=   , Aij

ij ij ij

A =a + Ea^∗ ,

A′=   , Aij′

ij ij ij

A′ =a′ + Ea′^∗

3 3× tipinde dual Lorentz ortogonal matrisler olmak üzere

R=A E ve R = A E′ ′ (4.1.1)

yazılabilir, burada

1

2

3

R

R R

R

  

=  

  

 

,

1

2

3

E

E E

E

  

=  

  

 

,

1

2

3

E

E E

E

 ′

  

′= ′

 ′

  

dual sütun matrisleridir.

A ve A′ dual Lorentz ortogonal matrislerinin elemanları t= +t Et^∗ dual parametresinin yeteri kadar türevlenebilen fonksiyonlarıdır. Bu tez boyunca aksi söylenmedikçe t^∗ = alınacaktır. Böylece dual Lorentz uzayda bir parametreli 0 hareketler söz konusu olacaktır.

Şimdi Ri

vektörlerinin, sırasıyla, K ve K ′ dual Lorentz kürelerine göre diferensiyellerini hesaplayalım.

Eğer (4.1.1) denklemi göz önüne alınırsa, R nin K hareketli dual Lorentz küresine göre diferensiyeli

(37)

^-1

d R d A E d A A R

R

=

= Ω

(4.1.2)

dir, burada Ω Lorentz anlamda anti-simetrik matristir. Ω nın bileşenleri Ω_ij olmak üzere i j k, , indislerinin i j k =, , 1, 2, 3; 2, 3,1;3,1, 2 sıralanışları, Ω = Ω_ij _k_ile gösterilirse,

1 3 2 2 3

d R = Ω R − Ω R

2 3 1 1 3

d R = Ω R − Ω R

3 2 1 1 2

d R = −ω r +ωr + −ω r^∗−ω^∗r +ωr^∗+ω^∗r

E

bulunur[8]. Benzer olarak (4.1.1) denklemi göz önüne alınırsa R = A E′ ′ denkleminden

1 3 2 2 3

d R′ = Ω′R − Ω′R

2 3 1 1 3

d R′ = Ω′R − Ω′R

(38)

28

3 2 1 1 2

d R′ = −Ω′R + Ω′R

bulunur. Son denklemde reel ve dual bileşenleri cinsinden

¹ ^{3 2} ^{2 3}

(

^{3 2} ³ ² ^{2 3} ² ³

)

d R′ =ω′r −ω′r +ε ω′r^∗+ω′^∗r −ω′r^∗−ω′^∗r

2 3 1 1 3

(

3 1 3 1 1 3 1 3

)

d R′ =ω′r −ω′r +ε ω′r^∗+ω′^∗r −ω′r^∗−ω′^∗r

(4.1.4)

3 2 1 1 2

(

2 1 2 1 1 2 1 2

)

d R′ = −ω′r +ω′r +ε ω− ′r^∗−ω′^∗r +ω′r^∗+ω′^∗r

dir[8].

Burada

i ωi ωi^∗

Ω = + E ve

i ωi ωi^∗

′ ′ ′

Ω = + E ,

(

¹^{≤ ≤}ⁱ ³

)

dual Pfaff formları (1-formları) olarak isimlendirilirler. (4.1.3) ve (4.1.4) denklemlerinin reel ve dual kısımları, sırasıyla, L L ve 1 L L¹ ′ Lorentz uzayında bir parametreli hareketlerin dönme kısmı ile ilgili Pfaff formlarını verir. L de her ³ L L′ hareketi bir "D" dönme ve bir

" "S öteleme hareketi ile ilgilidir.

4.2. Dual Lorentzian Hareketlerde Hız

K birim dual Lorentz küresinin koordinatları 1 X_i =x_i+εx_i^∗

(

¹^{≤ ≤}ⁱ ³

)

^olan

1 2 3

XT = X X X  noktasını ele alalım.

K K1 ve K₁ K ′ dual Lorentzin dönmelerine göre X

birim dual vektörünün değişimlerini inceleyelim.

^T X = X R

vektörünün K hareketli dual Lorentz küresine göre değişimi

(39)

^T ^T d X =d X R+X d R

dır. Burada d R = Ω R değeri yerine yazılırsa

(

^T ^T

)

d X = d X +X Ω R

(4.2.1)

bulunur. Böylece X noktasının relatif hız vektörü ( X nın K ya göre hızı) Vr =d X dt

dir. (4.2.1) denklemi reel ve dual kısımlarına ayrılırsa,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ⁽ ⁾

( )

1 2 3 3 2 1 1 2 3 2 3 3 2 3 2 1 1 3 2 3 2 1

2 1 3 3 1 2 2 1 3 1 3 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2

3 1 2 2 1 3 3 1 2 1 2

+ +

d X dx x x r dx x x x x r dx x x r

dx x x r dx x x x x r dx x x r

dx x x r dx x x

ω ω ω ω ω ω ω ω

ω ω ω ω

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

 

= + − +  + + − − + + − 

 

+ + +  + + + + + + + 

− − + − −

E

E_^

(

⁻^x²^ω¹^∗⁻^x²^∗^ω¹

)

^r³⁺

⁽

^dx³⁻^ω^{2 1}^x ⁻^x²^ω¹

⁾

^r³^∗^_

bulunur.

Benzer şekilde X noktasının K ′ sabit dual Lorentz küresine göre değişimi

^T ^T d X′ =d X R+X d R′

dır. Burada d R′ = Ω ′R değeri yerine yazılırsa

(

)

d X′ = d X^Τ+X^ΤΩ′ R

(4.2.2)

bulunur. O halde mutlak hız vektörü (X nın K ′ ya göre hızı) V_a =d X dt′

dir. (4.2.2) denklemi reel ve dual bileşenlerine ayrılırsa

(40)

30

( ) ( ) ( )

( )

1 2 3 3 2 1 1 2 3 2 3 3 2 3 2 1 1 3 2 3 2 1

2 1 3 3 1 2 2 1 3 1 3 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2

3 1 2 2 1

+ +

d X dx x x r dx x x x x r dx x x r

dx x x r dx x x x x r dx x x r

dx x x r

ω ω ω ω ω ω ω ω

ω ω

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

 

′ = + ′− ′ +  + ′ + ′− ′ − ′ + + ′ − ′ 

 

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

+ + +  + + + + + + + 

′ ′

− −

E E

( ) ⁽ ⁾

3+ ^ dx3^∗−x1ω2′^∗−x1^∗ω2′−x2ω1′^∗−x^∗2ω1′ r3+ dx3−ω2 1′x −x2ω1′ r3^∗^

E

elde edilir.

X noktasının K hareketli birim dual Lorentz küresi üzerinde sabit kalma koşulu

0

d X =

olacağından, (4.2.1) denkleminden

^T ^T

d X = −X Ω (4.2.3)

yani

1 2 3 3 2

d X = −X Ω +X Ω ,

2 1 3 3 1

d X = − Ω −X X Ω ,

3 1 2 2 1

d X =X Ω +X Ω

bulunur. Bu son denklemler reel ve dual bileşenlerine ayrılırsa, sırasıyla,

( )

1 1 2 3 3 2 2 3 2 3 3 2 3 2

dx +εdx^∗ = −xω +xω +ε −xω^∗−x^∗ω +xω^∗+x^∗ω ,

( )

2 2 1 3 3 1 1 3 1 3 3 1 3 1

dx +εdx^∗= −xω −xω ε+ −xω^∗−x^∗ω −xω^∗−x^∗ω ,

( )

3 3 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1

dx +εdx^∗ =xω +xω ε+ xω^∗+x^∗ω +xω^∗+x^∗ω elde edilir.

X noktasının K ′ sabit birim dual Lorentz küresi üzerinde sabit kalma koşulu

0

d X′ =

olacağından, (4.2.2) denkleminden

T T

dX = −X Ω ′ (4.2.4)

yani

(41)

1 2 3 3 2

d X = −X Ω +′ X Ω′ ,

2 1 3 3 1

d X = − Ω −X ′ X Ω′ ,

3 1 2 2 1

d X =X Ω +′ X Ω′

dir ki, böylece

( )

1 1 2 3 3 2 2 3 2 3 3 2 3 2

dx +εdx^∗= −xω′+xω′+ε −xω′^∗−x^∗ω′+xω′^∗+x^∗ω′

( )

2 2 1 3 3 1 1 3 1 3 3 1 3 1

dx +εdx^∗= −xω′−xω ε′+ −xω′^∗−x^∗ω′−xω′^∗−x^∗ω′

( )

3 3 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1

dx +εdx^∗ =xω′+xω ε′+ xω′^∗+x^∗ω′ +xω′^∗+x^∗ω′

elde edilir.

Eğer X noktası K hareketli birim dual Lorentz küresi üzerinde sabit ise, bu takdirde

X

dual vektörünün K ′ sabit birim dual Lorentz küresine göre hızına, X

dual vektörünün sürüklenme hızı adı verilir ve _f d X^f

V = dt

ile gösterilir.

Eğer (4.2.4) denklemi (4.2.2) denkleminde yerine yazılırsa

(

)

(

)

T T

f

T

d X X X R

X R

= − Ω + Ω′

= Ω − Ω′

(4.2.5)

elde edilir. Son denklem (4.2.1) ve (4.2.2) denklemleri göz önüne alınırsa aşağıdaki teorem verilebilir.

Teorem 4.2.1.

3

D , 3-boyutlu dual Lorentz uzayında bir parametreli dual Lorentzian hareketlerde, bir 1

X dual noktasının mutlak hızı, relatif hızı ile sürüklenme hızının toplamına eşittir[8].