DIŞBÜKEY KÜMELER DIŞBÜKEY/ İÇBÜKEY FONKSİYONLAR

DIŞBÜKEY/ İÇBÜKEY FONKSİYONLAR

Hazırlayan:

Doç. Dr. Nil ARAS, 2019

Lisansüstü Eğitim Enstitüsü

Endüstri Mühendisliği Anabilim Dalı

ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler

DIŞBÜKEY KÜMELER

DIŞBÜKEY KÜME

n Verilen bir S kümesinin farklı her iki noktasının dışbükey bileşimiyle bulunan her nokta (farklı her iki noktayı

birleştiren doğru parçası) S kümesinin bir öğesi ise, S’ye dışbükey küme denir.

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 2

X_i, X_j Î S, 0 ≤ λ ≤1 iken,

X₀ = λX_i + (1- λ)X_j, " i ≠j için X₀ Î S

Dışbükey İçbükey küme

küme

Dışbükey, içbükey küme

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 3

X₁

X₂

X₁

X₁ X₂

x₂ Dışbükey küme

Dışbükey küme

İçbükey küme

Dışbükey uygun çözüm alanı

(Kısıtlar doğrusal fonk., amaç fonk. doğrusal)

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 4

2 X₁ + X₂ ≤ 100 X₁ + X₂ ≤ 80 X₁ ≤ 40 X₁ , X₂ ≥ 0 kısıtları altında ENB z = 3x₁ + 2x₂

Dışbükey uygun çözüm alanı

(Kısıtlar doğrusal fonk., amaç fonk. doğrusal değil)

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 5

İçbükey uygun çözüm alanı

(Kısıt doğrusal olmayan fonk., amaç fonk. doğrusal)

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 6

ÖRNEK:

n X ve Y, S kümesinin elemanı olan iki nokta olsun. Bu iki

noktanın dışbükey bileşimi olan X* noktasının da S kümesinin bir elemanı olduğu ispat edilmelidir.

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 7

𝑆 = 𝑋 𝐴𝑋 ≤ 𝑏, 𝑋 ≥ 0 |

𝑋^∗ = 𝜆𝑋 + 1 − 𝜆 𝑌 , 𝜆 ∈ 0, 1 İspat:

Doğrusal programlamanın uygun çözüm alanı dışbükey kümedir.

𝐴𝑋^∗ ≤ 𝑏, 𝑋^∗≥0

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 8

𝑋 ∈ 𝑆 , 𝑋 ≥ 0 → 𝐴𝑋 ≤ 𝑏

𝑆 = 𝑋 𝐴𝑋 ≤ 𝑏, 𝑋 ≥ 0 |

Y ∈ 𝑆 , 𝑌 ≥ 0 → 𝐴𝑌 ≤ 𝑏

n (1) nolu eşitsizliğin her iki tarafını 𝛌 ile, (2) nolu eşitsizliğin her iki tarafını (1-𝛌) ile çarpalım.

(1) (2)

𝝀𝐴𝑋 ≤ 𝝀𝑏

𝟏 − 𝝀 AY ≤ (𝟏 − 𝝀)𝑏

(3) (4)

n X ve Y’nin dışbükey bileşimi

olduğundan, (6) nolu eşitsizlik izleyen şekilde yazılabilir.

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 9

𝐴(𝜆𝑋 + 1 − 𝜆 Y) ≤ 𝑏 (6)

𝑋^∗ = 𝜆𝑋 + 1 − 𝜆 𝑌

𝐴𝑋^∗ ≤ 𝑏, 𝑋^∗≥0

n (3) ve (4)’ü toplayalım.

𝜆𝐴𝑋 + 1 − 𝜆 AY ≤ 𝜆𝑏 + (1 − 𝜆)𝑏 (5)

✓

𝑆 = 𝑋 𝐴𝑋 ≤ 𝑏, 𝑋 ≥ 0 |

ALIŞTIRMA: S kümesi dışbükey midir?

n X ve Y, S kümesinin elemanı olan iki nokta olsun. Bu iki

noktanın dışbükey bileşimi olan X* noktasının da S kümesinin bir elemanı olduğu ispat edilmelidir.

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 10

𝑆 = 𝑥_;, 𝑥_< | 𝑥_;^< + 𝑥_<^< ≤ 1

𝑋^∗ = 𝜆𝑋 + 1 − 𝜆 𝑌 , 𝜆 ∈ 0, 1 İpucu:

Dışbükey küme ispatlarında kullanılabilir vektör özellikleri

a ve b boyutları aynı iki vektör olsun.

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 11

𝑎 =

𝑎_; 𝑎_<

. . . 𝑎_?

𝑏 =

𝑏_; 𝑏_<

. . . 𝑏_? a ve b vektörlerinin evriği (transpozesi) aşağıdaki gibi

gösterilsin.

𝑎^@ = 𝑎_;, 𝑎_<, … , 𝑎_? 𝑏^@ = 𝑏_;, 𝑏_<, … , 𝑏_?

a ve b vektörlerinin iç çarpımı (skaler çarpım)

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 12

𝑎 = 1

−1 , 𝑏 = −2 1 𝑎^@. 𝑏 = 1 −2 + −1 1 = −3

ÖRNEK:

𝑎^@. 𝑏 = D

EF;

?

𝑎_E𝑏_E = 𝑎_;𝑏_; + 𝑎_<𝑏_< + ⋯ + 𝑎_?𝑏_?

Vektörün normu (büyüklüğü)

Farklı ölçümler kullanılabilir.

Eğer Öklid uzaklık ölçümü kullanılırsa:

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 13

𝑎 = 1

2 𝑎 = 𝑎_;^< + 𝑎_<^< = 1^< + 2^<= 5

ÖRNEK:

𝑎 = 𝑎^@. 𝑎 ^;I< = D

EF;

?

𝑎_E^< = 𝑎_;^< + 𝑎_<^< + ⋯ + 𝑎_?^<

Schwartz eşitsizliği

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 14

𝑎 = 0^< + 2^< = 0 + 4=2

ÖRNEK:

𝑎′. 𝑏 ≤ 𝑎 . 𝑏

𝑎 = 0

2 , 𝑏 = 3 4

𝑏 = 3^< + 4^< = 9 + 16=5 𝑎′. 𝑏 = 0 3 + 2(4) = 8

8 ≤ 2×5 8 ≤ 10

𝑎′. 𝑏 ≤ 𝑎 . 𝑏

DIŞBÜKEY FONKSİYON

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 15

n X=(x₁, x₂, ..., x_n) iken f(X), verilen bir S kümesinde tanımlı bir fonksiyon olsun.

n " X₁, X₂ Î S, X₁ ≠ X₂ ve 0 ≤ λ ≤1 iken, izleyen eşitsizlik gerçekleşiyorsa f(X) dışbükey bir fonksiyondur.

n Eğer eşitsizlik aşağıdaki şekilde gerçekleşiyorsa fonksiyona

“kesin dışbükey fonksiyon” denir.

𝑓 𝜆𝑋_; + (1 − 𝜆)𝑋_< ≤ 𝜆𝑓(𝑋_;) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑋_<)

𝑓 𝜆𝑋_; + (1 − 𝜆)𝑋_< < 𝜆𝑓(𝑋_;) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑋_<)

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 16

𝑓 𝜆𝑋_; + (1 − 𝜆)𝑋_< ≤ 𝜆𝑓(𝑋_;) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑋_<)

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 17

X₁ X₂

𝑓 𝜆𝑋_; + (1 − 𝜆)𝑋_< ≤ 𝜆𝑓(𝑋_;) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑋_<)

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 18

X₁ X₂

f(X₁) f(X₂)

𝑓 𝜆𝑋_; + (1 − 𝜆)𝑋_< ≤ 𝜆𝑓(𝑋_;) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑋_<)

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 19

X₁ X₂

f(X₁) f(X₂)

𝑓 𝜆𝑋_; + (1 − 𝜆)𝑋_< ≤ 𝜆𝑓(𝑋_;) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑋_<)

𝜆𝑋_; + 1 − 𝜆 𝑋_<, lÎ[0,1]

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 20

X₁ X₂

f(X₁) f(X₂)

𝑓 𝜆𝑋_; + (1 − 𝜆)𝑋_< ≤ 𝜆𝑓(𝑋_;) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑋_<)

𝜆𝑋_; + 1 − 𝜆 𝑋_<

𝑓(𝜆𝑋_; + 1 − 𝜆 𝑋_<)

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 21

X₁ X₂

f(X₁) f(X₂)

𝑓 𝜆𝑋_; + (1 − 𝜆)𝑋_< ≤ 𝜆𝑓(𝑋_;) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑋_<)

𝜆𝑋_; + 1 − 𝜆 𝑋_<

𝑓(𝜆𝑋_; + 1 − 𝜆 𝑋_<)

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 22

X₁ X₂

f(X₁) f(X₂)

𝑓 𝜆𝑋_; + (1 − 𝜆)𝑋_< ≤ 𝜆𝑓(𝑋_;) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑋_<)

𝜆𝑋_; + 1 − 𝜆 𝑋_<

𝑓(𝜆𝑋_; + 1 − 𝜆 𝑋_<)

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 23

X₁ X₂

f(X₁) f(X₂)

𝑓 𝜆𝑋_; + (1 − 𝜆)𝑋_< ≤ 𝜆𝑓(𝑋_;) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑋_<)

𝜆𝑋_; + 1 − 𝜆 𝑋_<

𝑓(𝜆𝑋_; + 1 − 𝜆 𝑋_<) 𝜆𝑓(𝑋_;) + 1 − 𝜆 𝑓(𝑋_<)

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 24

X₁ X₂

f(X₁) f(X₂)

𝑓 𝜆𝑋_; + (1 − 𝜆)𝑋_< ≤ 𝜆𝑓(𝑋_;) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑋_<)

𝜆𝑋_; + 1 − 𝜆 𝑋_<

𝑓(𝜆𝑋_; + 1 − 𝜆 𝑋_<) 𝜆𝑓(𝑋_;) + 1 − 𝜆 𝑓(𝑋_<)

Örnekler:

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 25

İÇBÜKEY FONKSİYON

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 26

n X=(x₁, x₂, ..., x_n) iken f(X), verilen bir S kümesinde tanımlı bir fonksiyon olsun.

n " X₁, X₂ Î S, X₁ ≠ X₂ ve 0 ≤ λ ≤1 iken, izleyen eşitsizlik gerçekleşiyorsa f(X) içbükey bir fonksiyondur.

n Eğer eşitsizlik aşağıdaki şekilde gerçekleşiyorsa fonksiyona

“kesin içbükey fonksiyon” denir.

𝑓 𝜆𝑋_; + (1 − 𝜆)𝑋_< ≥ 𝜆𝑓(𝑋_;) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑋_<)

𝑓 𝜆𝑋_; + (1 − 𝜆)𝑋_< > 𝜆𝑓(𝑋_;) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑋_<)

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 27

𝑓 𝜆𝑋_; + (1 − 𝜆)𝑋_< ≥ 𝜆𝑓(𝑋_;) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑋_<)

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 28

X₁ X₂

𝑓 𝜆𝑋_; + (1 − 𝜆)𝑋_< ≥ 𝜆𝑓(𝑋_;) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑋_<)

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 29

X₁ X₂

f(X₁) f(X₂)

𝑓 𝜆𝑋_; + (1 − 𝜆)𝑋_< ≥ 𝜆𝑓(𝑋_;) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑋_<)

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 30

X₁ X₂

f(X₁) f(X₂)

𝜆𝑋_; + 1 − 𝜆 𝑋_<, 𝜆 ∈ [0,1]

𝑓 𝜆𝑋_; + (1 − 𝜆)𝑋_< ≥ 𝜆𝑓(𝑋_;) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑋_<)

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 31

X₁ X₂

f(X₁) f(X₂)

𝜆𝑋_; + 1 − 𝜆 𝑋_<

𝑓(𝜆𝑋_; + 1 − 𝜆 𝑋_<)

𝑓 𝜆𝑋_; + (1 − 𝜆)𝑋_< ≥ 𝜆𝑓(𝑋_;) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑋_<)

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 32

X₁ X₂

f(X₁) f(X₂)

𝜆𝑋_; + 1 − 𝜆 𝑋_<

𝑓(𝜆𝑋_; + 1 − 𝜆 𝑋_<)

𝑓 𝜆𝑋_; + (1 − 𝜆)𝑋_< ≥ 𝜆𝑓(𝑋_;) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑋_<)

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 33

X₁ X₂

f(X₁) f(X₂)

𝜆𝑋_; + 1 − 𝜆 𝑋_<

𝑓(𝜆𝑋_; + 1 − 𝜆 𝑋_<)

𝑓 𝜆𝑋_; + (1 − 𝜆)𝑋_< ≥ 𝜆𝑓(𝑋_;) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑋_<)

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 34

X₁ X₂

f(X₁) f(X₂)

𝜆𝑋_; + 1 − 𝜆 𝑋_<

𝑓(𝜆𝑋_; + 1 − 𝜆 𝑋_<)

𝜆𝑓(𝑋_;) + 1 − 𝜆 𝑓(𝑋_<)

𝑓 𝜆𝑋_; + (1 − 𝜆)𝑋_< ≥ 𝜆𝑓(𝑋_;) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑋_<)

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 35

X₁ X₂

f(X₁) f(X₂)

𝜆𝑋_; + 1 − 𝜆 𝑋_<

𝑓(𝜆𝑋_; + 1 − 𝜆 𝑋_<)

𝜆𝑓(𝑋_;) + 1 − 𝜆 𝑓(𝑋_<)

𝑓 𝜆𝑋_; + (1 − 𝜆)𝑋_< ≥ 𝜆𝑓(𝑋_;) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑋_<)

Örnekler:

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 36

x )

x (

f =

NE DIŞBÜKEY NE İÇBÜKEY OLAN FONKSİYONLAR

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 37

ÖZELLİKLER

n Doğrusal bir fonksiyon hem içbükey, hem dışbükey bir fonksiyondur.

n Dışbükey fonksiyonların toplamı da dışbükey bir fonksiyon, içbükey fonksiyonların toplamı da içbükey bir fonksiyondur.

n f(X) dışbükey iken, -f(X) içbükey bir fonksiyondur.

n f(X) içbükey iken, -f(X) dışbükeydir.

n Bir fonksiyon, belirli bir alt kümede dışbükey iken, başka bir alt kümede içbükey olabilir.

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 38

ALIŞTIRMA

n f(X)=aX² fonksiyonunun a’nın pozitif değerleri için dışbükey, negatif değerleri için içbükey bir fonksiyon olduğunu ispatlayınız.

n f(X)=aX+b şeklinde verilen bir doğrusal fonksiyonun hem içbükey hem de dışbükey bir fonksiyon olduğunu ispatlayınız.

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 39

İpucu

n Dışbükey fonksiyon olması için, lÎ[0,1] olmak üzere izleyen eşitsizlik sağlanmalıdır :

n f(X)=aX² ise,

n f(X₁)=aX₁² , f(X₂)=aX₂²

n f [λX₁+ (1- λ)X₂]=a. ( λX₁+ (1- λ)X₂ )²

Doç. Dr. Nil ARAS, ENM503, 2019 40

𝑓 𝜆𝑋_; + (1 − 𝜆)𝑋_< ≤ 𝜆𝑓(𝑋_;) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑋_<)

𝑎(𝜆𝑋_; + 1 − 𝜆 𝑋_<)

?