KONU 7:

(1)

1 KONU 7: KLASİK OPTİMİZASYON - I

Matematiksel Gösterimler Tanım 1: (Öklid Uzayı)

Üzerinde bir iç çarpım fonksiyonu tanımlanmış sonlu boyutlu vektör uzayıdır.

Tanım 2: (Norm) n

E Öklid uzayı verilsin. Burada, x



x x_{1 2}...x_n



 ve y



y y_{1 2}...y_n



 vektörleri tanımlansın. x ve y vektörleri arasındaki uzaklık



 







   2  2   2 1 1 2 2 ... n n x y x y x y x y biçiminde tanımlanır. 

y 0 olması durumunda, x ’ in normu x  x₁2x₂2 ... x_n2 olur.

Tanım 3: (İç Çarpım)

x , yE olmak üzere, x ve y vektörleri arasındaki iç çarpım n

  



1 n i i i x y x y

biçiminde tanımlanır. Eğer, iç çarpım sıfır ise (x y 0), x ve y vektörleri birbirine diktir. NOT: (Cauchy-Schwartz Eşitsizliği) x y  x y

Tanım 4: (Doğru) n

E Öklid uzayında, S  kümesi tanımlansın. x , ₁ x₂E olsun. Bu iki farklı noktadan geçen n doğru,







 



 :  ₂ 1 ₁ ,     

S x x x x x

(2)

2 Tanım 5: (Dışbükey Küme)

1

x ve x noktalarını birleştiren doğru parçası da S kümesinin bir öğesi ise, S kümesine ₂ dışbükey (konveks) küme denir.

Dışbükey küme Dışbükey olmayan küme

Tanım 6: (Dışbükey Bileşim)

1, 2, ... , n

x x x aynı kümenin farklı noktaları iken _i 0 ,i1,2,...,n ve 

 



1 1 n i i olmak üzere,          



0 1 1 2 2 1 ... n n n i i i x x x x x

biçiminde elde edilen x ’ a, verilen noktaların dışbükey bileşimi denir. ₀



1



x₁x biçimindeki noktalar, ₂ _i 0 ,i1,2,...,n ve   



1 1 n i i olacak biçimde, x ve ₁ 2

x noktalarının dışbükey bileşimleridir. Burada, ₁ 



1 



ve  ₂ dır.

Tanım 7: (Çok Boyutlu Düzlem) n

E ’ de çok boyutlu düzlem,







 : 

S x c x z

noktalar kümesi olarak tanımlanır. Burada, c 0 ve  z sabittir. Örneğin, S





x x x₁, ,₂ ₃



:x₁2x₂x₃ 4



E dır. 3

Tanım 8: (Kapalı Yarım Uzay ve Açık Yarım Uzay) Çok boyutlu düzlem E ’ yi n







 : 

(3)

3 Tanım 9: (Uç Nokta)

S , _{E uzayında tanımlı bir dışbükey küme olsun.}n

1

x , x₂S , 

 

0,1 ve x 



1 



x₁x , ₂

 ₁ ₂

x x x ise, xS , S ’ nin bir uç noktası adını alır.



x Ax b x 0 biçimindeki çok boyutlu küme, sonlu sayıda uç noktaya sahiptir. :  , 



Teorem: S



x Ax b x 0 boş olmayan bir küme olsun. Burada, A , rankı :  , 



m olan m n

boyutlu matris ve b, m boyutlu vektördür. Bu özelliğe sahip S kümesinin en az bir uç noktası vardır.

Özellik 1: Bir kümenin farklı iki noktasının dışbükey bileşimi olarak yazılamayan noktası var ise, bu noktaya uç nokta (köşe nokta) denir.

Özellik 2: Eğer, f x

 

c x fonksiyonunun en iyi çözümü var ise, bu nokta uygun çözüm  alanının bir uç noktasıdır. Amaç fonksiyonu en iyi değerini birden fazla uç noktada alıyorsa, bu noktaların her dışbükey bileşimi de en iyi çözümdür.

Tanım 10: (Dışbükey Fonksiyon)

S , E ’ de tanımlı boş olmayan bir küme olsun. n f x fonksiyonu, S ’ de dışbükey bir

 

fonksiyon ise,







 ₂ 1  ₁





  

₂  1 

  

₁

f x x f x f x

biçiminde tanımlanır. Burada, x , ₁ x₂S ve 

 

0,1 dir.

 

f x fonksiyonu, kesin dışbükey bir fonksiyon ise,







 ₂ 1  ₁





  

₂  1 

  

₁

f x x f x f x

biçiminde tanımlanır.

Buna göre, f x fonksiyonu, içbükey (konkav) fonksiyon olacaktır.

 

Dışbükey fonksiyonların toplamı dışbükey bir fonksiyon, içbükey fonksiyonların toplamı da içbükey bir fonksiyon olur.

(4)

4

Bir dışbükey fonksiyonun grafiksel gösterimi, Şekil 7.1’ de verilmiştir.

x1 1x1x2 x2

Şekil 7.1. Dışbükey bir fonksiyonun grafiksel gösterimi

Burada,

 





 ₁, ₁ A x f x

 





 ₂, ₂ D x f x











   



 ₂ 1 ₁, ₂ 1 ₁ B x x f x x





  

  



   



 ₂ 1 ₁, ₂  1 ₁ C x x f x f x olarak tanımlıdır.

Bir içbükey fonksiyonun grafiksel gösterimi ise, Şekil 7.2’ deki gibi olacaktır.

x1 1x1x2 x2

Şekil 7.2. İçbükey bir fonksiyonun grafiksel gösterimi

Burada,

 





 ₁, ₁ A x f x

 





 ₂, ₂ D x f x











   



 ₂ 1 ₁, ₂ 1 ₁ C x x f x x





  

  



   



 ₂ 1 ₁, ₂  1 ₁ B x x f x f x olarak tanımlıdır.

Şekil 7.3’ te, ne konveks ne de konkav bir fonksiyonun grafiği görülmektedir.

(5)

5

Örnek 7.1: n boyutlu uzayda, çok boyutlu düzlemin bir dışbükey küme olduğunu gösteriniz. Çözüm:









 ₁, ₂, ... , _n : _{1 1} _{2 2} ... _{n n}  n

S x x x d x d x d x b E olmak üzere x ve ₁ x noktalarının ₂

dışbükey bileşimi xx₂ 



1 



x dir. ₁





  d d₁ ₂...d_n D olmak üzere

















                             2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 b b D x D x x D x D x D x D x D x D x bulunur.

Örnek 7.2: Bir yarım uzayın üst tarafında bulunan noktaların oluşturduğu kümenin dışbükey küme olduğunu gösteriniz.

Çözüm:

1

x yarım uzay üzerinde ise, D x ₁ b 2

x yarım uzayın üst bölgesinde ise, D x ₂ b

yazılabilir. Bu iki noktanın, (x ve ₁ x ) dışbükey bileşimi ₂













               ₂ 2 1₁ 1 , 0 1 1 D x D x x D x D x >b =b olacağından, D x b dir.

Örnek 7.3: Bir doğrusal programlama probleminin (d.p.p.), tüm uygun çözümlerinin oluşturduğu kümenin dışbükey küme olduğunu gösteriniz.

Çözüm: x noktası, x x₁, ₂, ... ,x noktalarının doğrusal bileşimi olarak, _n _{1 1}x _{2 2}x  ... _{n n}x x

biçiminde yazılır. Burada, _i0 ,i1,2,...,n ve 

(6)

6



  



        ₁ 1 1₁ ₂2 2₂ ... n n n n Ax A x x x Ax Ax Ax =b =b =b olup,



  



 ₁ ₂ ... _n Ax b bulunur.   



1 1 n i i olduğundan, Ax b dir.

Örnek 7.4: Dışbükey fonksiyonların toplamının da dışbükey fonksiyon olduğunu gösteriniz. Çözüm: SEm bir dışbükey küme ve f x , _i

 

i1,2,...,m dışbükey fonksiyonlar olsun.

 

 



1 m i i G x f x olarak alınsın.







 ₂ 1  ₁





  

₂  1 

  

₁ i i i f x x f x f x , 0  1







 





  





 

       



2 1



2



1 1 1 1 1 1 m m m i i i i i i f x x f x f x , x x₁, ₂S







 ₂ 1  ₁





  

₂  1 

  

₁ G x x G x G x

olup, G fonksiyonu dışbükeydir.

Örnek 7.5: f x

 

x , 2 x R , fonksiyonunun dışbükey fonksiyon olduğunu gösteriniz.  Çözüm:

 

f x fonksiyonu, f



x₂ 



1 



x₁



f x

  

₂  1 

  

f x ,₁ 0  1biçiminde gösterilmeli.









  

 



















































                                                              2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 0 1 2 1 1 0 1 2 0 1 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x >0 >0 >0