T.C.
KIRIKKALE ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ
MATEMAT K ANAB L M DALI YÜKSEK L SANS TEZ
KOMPLEKS ANAL ZDE SINIR DE ER PROBLEMLER
BANU YILMAZ
TEMMUZ 2009
i
ÖZET
KOMPLEKS ANAL ZDE SINIR-DE ER PROBLEMLER
YILMAZ, Banu Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı, Yüksek Lisans Tezi Danı man: Prof. Dr. Kerim Koca
Temmuz 2009, 76 sayfa
Bu tez dört bölümden olu maktadır. Birinci bölümde tezin amacı ve kaynak özetleri hakkında kısa bilgiler verilmi tir.
kinci bölümde kompleks analizde temel kavramlar ve Gauss Teoremlerinin kompleks versiyonu ele alınmı tır. Üçüncü bölümde kompleks analizde Schwarz, Neumann ve Dirichlet Sınır De er Problemleri incelenmi tir.
Dördüncü bölümde ise bu sınır de er problemlerinin çözümü için q- analizindeki temel kavramlar ara tırılmı tır.
Anahtar Kelimeler: Schwarz Sınır De er Problemi, Dirichlet Sınır De er Problemi, Neumann Sınır De er Problemi, q- ntegrali
ii
ABSTRACT
BOUNDARY VALUE PROBLEMS IN COMPLEX ANALYSIS
YILMAZ, Banu Kırıkkale University
Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics, M.Sc. Thesis
Supervisor: Prof. Dr. Kerim Koca July 2009, 76 pages
This thesis consists of four basic chapters. In the first chapter, the purpose of the thesis and the summary of the literature are given.
In the second chapter, the basic concepts in complex analysis and complex version of Gauss Theorem are considered. In the third chapter, Schwarz, Neumann and Dirichlet boundary value problems in complex analysis are obtained.
In the fourth chapter, basic concepts in q-Analysis are investigated to solve these problems.
Key Words : Schwarz Boundary Value Problem, Dirichlet Boundary Value Problem, Neumann Boundary Value Problem, q- Integral
iii
TE EKKÜR
Tez çalı malarım esnasında destek ve yardımlarını hiçbir zaman esirgemeyen, çok de erli hocam Sayın Prof. Dr. Kerim KOCA’ ya te ekkür ederim.
iv
Ç NDEK LER ÖZET ...i
ABSTRACT...ii
TE EKKÜR... iii
Ç NDEK LER ...iv
1. G R ... 1
1.1. Tezin Amacı... 2
1.2. Kaynak Özetleri ... 2
2. MATERYAL VE YÖNTEM... 4
2.1. Reelde Green Teoremleri ... 4
2.2. Green – Gauss ntegral Formülünün Kompleks Versiyonu... 5
2.3. T ve D ΠΠΠΠD Operatörlerinin Özellikleri ... 7
2.4. Cauchy – Pompeiu Gösterim Formülleri... 8
2.5. ntegral Gösterim Formüllerinin Tekrarlanması... 17
3. ARA TIRMA BULGULARI... 32
3.1. Schwarz Sınır De er Problemi ... 32
3.2. Dirichlet Sınır De er Problemi ... 33
3.3. Neumann Sınır De er Problemi... 36
4. q- GAMMA VE q-BETA FONKS YONLARININ NTEGRAL GÖSTER MLER ... 49
4.1. Giri ... 49
4.2. Temel Özellikler... 49
4.3. q- Gamma Fonksiyonu ... 55
4.4. Beta ntegralinin q- Analo u ... 56
4.5. Üstel Fonksiyonun q- Analo u... 58
v
4.6. K(x;t) Fonksiyonunun Özellikleri ... 59
4.7. Sınırsız Aralıkta Beta ntegralinin q- Analo u ... 63
5. TARTI MA VE SONUÇ ... 74
KAYNAKLAR ... 75
1
1. G R
Kompleks Analiz, matematikteki en etkili konulardan biridir. Reel anlamda çözülemeyen bazı problemler, hesaplanamayan bazı integraller vs.
kompleks analiz yöntemleri ile kolayca çözülebilmektedir. Bu konu cebir, cebirsel geometri, sayılar teorisi, potansiyel teori, diferansiyel denklemler, harmonik analiz, operatör teorisi ve daha birçok dalları kapsar. Bu konunun fizikte birçok uygulaması vardır. Örne in elastisite teorisi, kuantum mekani i, akı kanlar dinami i, kabuk teorisi, su altı akustikleri vs. konuları kompleks analizin önemli uygulama alanlarıdır.
Analitik fonksiyonlar için sınır-de er problemleri bu tezin temelini olu turmaktadır. Daha ileri düzeyde indeks teorisi, singüler integral denklemlerin çözümlerinin varlık ve tekli i, Riemann-Hilbert sınır de er problemleri, analitik fonksiyonlar için incelenen sınır-de er problemine indirgenerek çözülür.
Bilindi i gibi lisans düzeyindeki kompleks analiz dersi cebir, topoloji ve geometri ile çok yakından ilgilidir. Hatta sıralı küme kavramı kompleks analizin metodları ile ili kilendirilerek incelenebilir.
Gauss, Cauchy, Weierstrass ve Riemann kompleks analizin temelini atan ve cebirsel yapıyı kuran matematikçilerdir.
2
Günümüzde, kompleks diferensiyel denklemlerin çözümleri, kompleks integral denklem sistemlerine dönü türülmekte ve bu sistemlerin hangi ko ullar altında çözümünün var ve tek oldu u ara tırılmaktadır. Bu tezde, kompleks kısmi türevli denklemler için verilen Dirichlet, Schwarz ve Neumann sınır de er problemlerinin çözümlerinin elemanter olarak hangi ko ullar altında ortay konulabilece ini ifade eden teoremler ispatlayaca ız. Burada klasik kompleks analizdeki Cauchy integral formülü ve Pompeiu integral operatörleri ile Gauss-Ostrogradski formülleri temel olarak göz önüne alınacaktır.
1.1. Tezin Amacı
Tezin “Giri ” kısmında da belirtildi i gibi bu tezin esas amacı belli tipten kompleks kısmi türevli denklemler için verilen sınır de er problemleri incelemektir. Bu tezin di er bir amacı da verilen çözüm metotlarının daha genel kompleks kısmi türevli denklemlere uygulanıp uygulanamayaca ını ara tırmaktır. Örne in denklemin çözümlerini belli tipten integral denkleme dönü türdükten sonra bir ba langıç fonksiyonu seçerek ardı ık yakla ıklar metodu ile elementer çözüm hangi ko ullar altında elde edilebilir?
1.2. Kaynak Özetleri
Öncelikle Tutschke(7) nin “Partielle Differentialgleichungen, klassische, Funktionalanalytische und komplexe Methoden” kitabından TD ve Π D integral operatörleri ve özellikleri ortaya konulacaktır. Begehr(15) in “Boundary
3
Value Problems in Complex Analysis” kayna ından bu singüler integral operatörleri için normlar ve bu norma göre operatörlerin sınırlılı ı ele alınacaktır. Daha sonra Begehr(9) in “Complex Analytic Methods for Partial Differential Equations” kitabından Gauss-Ostrogradski formülleri elde edilecektir. Böylece genel hazırlık yapıldıktan sonra Begehr(15) den sırasıyla
=0
wz , wz = f kompleks kısmı türevli denklemleri için Dirichlet, Schwarz ve Neumann problemlerinden yararlanılarak çözümler ortaya konulacaktır.
4
2. MATERYAL VE YÖNTEM
Tanım 2.1: D bölgesi bir γ:z=z(t),a≤t≤b kapalı e risi tarafından sınırlanmı bir bölge olsun. E er her t∈( ba, ) için z′(t) mevcut ise D bölgesinin sınırına düzgündür (regülerdir) denir.
Ayrıca sınırı düzgün olan bölgelere regüler bölge denir. Örne in, bir çokgenin çevresi düzgün de il fakat parçalı düzgün bir e ridir.
2
:D1 D
w →
eklinde verilen ve D1 bölgesinde k−ıncı basama a kadar kısmi türevlere sahip fonksiyonların sınıfını Ck(D1,D2) ile gösterelim. Bu durumda
) , (D1 D2
C , D1 üzerinde sürekli fonksiyonların sınıfı olur. Bu tezde D2 bölgesi , 2 vs. olacaktır.
2.1. Reelde Green Teoremleri
Teorem 2.1: γ, pozitif yönde yönlendirilmi parçalı düzgün, kapalı bir e ri ve γ
,
D tarafından sınırlanan bölge olsun. Ayrıca P ve Q fonksiyonları D de kısmi türevlere sahip D =D∪∂D=D∪γ kümesinde sürekli iki fonksiyon ise
∂
−
=
D D
y x y dxdy P x y dx
P ( , ) ( , ) (2.1)
∂
=
D D
x x y dxdy Q x y dy
Q ( , ) ( , ) (2.2)
olup buradan
y dxdy y x P x
y x dy Q
y x Q dx y x P
D ∂
−∂
∂
= ∂ +
γ
) , ( ) , ) (
, ( )
,
( (2.3)
elde edilir.
5
2.2. Green – Gauss ntegral Formülünün Kompleks Versiyonu
Teorem 2.2: w= f(z),D⊂ bölgesinde kompleks kısmi türevlere sahip ve
∂D sınırında sürekli ise
∂
∂ =
∂
D D
dz z z i f z dxdy
z z
f ( , )
2 1 )
,
( (2.4)
∂
=−
∂
∂
D D
z d z z i f z dxdy
z z
f ( , )
2 1 )
,
( (2.5)
dir.
spat: P,Q∈C1(D), P,Q:D→ fonksiyonları için (2.1) ve (2.2) den
∂
−
=
D D
y x y dxdy P x y dx
P ( , ) ( , )
∂
=
D D
x x y dxdy Q x y dy
Q ( , ) ( , )
yazabiliriz.
(2.1) ve (2.2) de P yerine f(z)=u(x,y)+iv(x,y) alırsak;
∂
−
=
D D
y z dxdy f z dx
f ( ) ( )
∂
=
D D
x z dxdy f z dy
f ( ) ( )
elde edilir. Bu son iki e itlikten
∂
∂
+
−
= +
D D
D
y
x if dxdy i f z dx f z dy
f ) ( ) ( )
(
∂
+
−
=
D
idy dx z f
i ( )( )
6
∂
−
=
D
dz z f i ( )
olup buradan
( )
∂
∂
− =
= +
D D
D
y
x f z dz
dz i z i f
dxdy if
f ( )
2 ) 1 2 (
2 1
elde edilir ki bu da
z d z i f dxdy f
D D
z
∂
= ( )
2 1
oldu unu gösterir.
Benzer ekilde
∂
∂
+
=
−
D D
D y D
x z dxdy i f z dxdy i f z dx f z dy
f ( ) ( ) ( ) ( )
∂
−
=
D
idy dx z f
i ( )( )
∂
=
D
z d z f i ( )
olup böylece
z d z i f z dxdy if
z f
D D
y x
∂
− =
) 2 (
2 ) ( ) (
bulunur. Buradan da
z d z i f dxdy z f
D D
z
∂
−
= ( )
2 ) 1
(
elde edilir.
7
Tanım 2.2: D, z− düzleminde sınırlı bir bölge olmak üzere, D de tanımlı kompleks de erli bir h fonksiyonu için
(
D) [ ]
1 ( )D
T h h z dxdy
ζ z
π ζ
= − − (2.6)
eklinde tanımlanan TD operatörüne zayıf singülerli e sahip Vekua integral operatörü denir.
Tanım 2.3: D, z− düzleminde sınırlı bir bölge olmak üzere, D de tanımlı kompleks de erli bir h fonksiyonu için Π olarak tanımlanan D
( ) [ ]
ξ η− ζ
ζ
−π
= Π
D
D d d
z z h
h ( )2
) (
1 (2.7)
operatörüne kuvvetli singülerli e sahip Vekua integral operatörü denir.
Tanım 2.4: z0∈D sabit bir nokta olmak üzere her z∈D için
− α
≤
− ( )| | |
) (
|u z u z0 H z z0 (2.8)
e itsizli i sa lanacak ekilde H pozitif reel sabiti ve 0<α≤1 biçiminde α sabiti varsa u(z) ye z0 noktasında Hölder süreklidir denir.
E er her z1, z2∈D için (2.8) yazılabiliyorsa u(z) ye D de Hölder süreklidir denir.
2.3. T ve D ΠΠΠΠD Operatörlerinin Özellikleri
a) h, D de sınırlı olmak üzere TDh kompleks düzlemin tamamında düzgün sınırlıdır ve
2 1
|
| sup 2
| ) (
| ≤
π h mD z
h
TD (2.9)
dir.
8 b) TD ve Π operatörleri D
) ( )
(
:C D C D
TD α → α
) ( )
(
:C D C D
D α → α
Π eklinde sınırlı operatörlerdir.
c) TDh nin Hölder normu
ζ
− ζ
ζ
−
= ζ
ζ α
≠ ζ α
2 1
2 1
2 1 )
(
) ( ) ( ) ( ) sup (
, sup
max T h T h
h T h
TD C D D D D (2.10)
olarak verilir.
d) ∂zTDh=ΠDh (2.11)
dir.
2.4. Cauchy – Pompeiu Gösterim Formülleri
Teorem 2.3: D⊂ regüler bir bölge ve w∈C1(D; ) ∩ C( D ; ) olsun. Bu taktirde, her z∈D için
− ζ
η ζ ξ
−π
− ζ ζ ζ
= π ζ
∂D D z
d w d
z w d
z i
w 1 ( )
) 2 (
) 1
( , ζ=ξ+iη (2.12)
ve
− ζ
η ζ ξ
−π
− ζ ζ ζ π
= − ζ
∂D D z
d w d
z w d
z i
w 1 ( )
) 2 (
) 1
( (2.13)
dir.
9 spat: z0∈D olsun ve ε>0 sayısını
{
z D z z}
Dz
Kε( 0)= ∈ :| − 0 |<ε ⊂ olacak ekilde yeterince küçük seçelim. Di er yandan
D
Dε = \Kε(z0) diyelim. E er (2.4) ba ıntısını w yerine
0
) (
z w
− ζ
ζ alarak Dε bölgesi için
yazarsak
∂ ε ε
ζ ζ=
− ζ + ζ
η
− ξ ζ
− ζ
D D
z d w d i
z d w
) 0 ( 2
) 1 (
0 0
olur. Buradan kutupsal koordinatların kullanılmasıyla
= θ
−
ζ z0 tei dξdη=tdtdθ olaca ından
dt d e te z z w
d
w d i i
z K
ζ θ η
ζ ξ θ θ
ε π ζ ε
ζ = + −
− ( )
) (
0 2
0
0 ) 0
( 0
yazılabilir. Ayrıca
) 0 ( 0 0 0
) ( )
( )
( z
d w d
z d w d
z d w d
z D K
D ζ−
η ζ ξ
− + ζ
η ζ ξ
− = ζ
η ζ ξ
ε ζ ε
ζ ζ
olup di er taraftan
0 0 0
) ( )
(
lim z
d w d
z d w d
D
D ζ−
η ζ ξ
− = ζ
η
ζ ξ ζ
ε
→ ζ ε
dır. Kutupsal koordinatların tekrar kullanılmasıyla
) 0 ( 0 0
0
) ( )
( )
( z
w d z
w d z
w d
z K D
D ζ−
ζ ζ
− − ζ ζ ζ
− = ζ ζ ζ
∂ ε ε ∂
∂
(2.14)
olur. Di er yandan, ζ−z0 =εeiθ dζ=εieiθdθ için
) ( 2 )
( )
( 0
2
0 0 ) 0
( 0
z iw d
e e ie z z w
w d
i i i
z K
π ε θ
ε ε ζ
ζ ζ
θ π θ
θ ε
= +
− =
∂
dir.
10
Böylece (2.14) ifadesinin her iki tarafının ε→0 için limiti alınırsa )
( 2 )
( )
(
lim 0
0 0 0
z z iw
w d z
w d
D D
π
− − ζ ζ ζ
− = ζ ζ ζ
ε ∂
→ ∂ ε
bulunur. Buradan z0 ın keyfi olması nedeniyle her z∈D için η
− ξ ζ
ζ
−π
− ζ ζ
ζ
= π ζ
∂D D
d z d w zd
w z i
w ( ) 1 ( )
2 ) 1 (
elde edilir. Böylece (2.12) ispatlanmı olur. (2.12) de wζ (ζ)=0 oldu unda Cauchy integral formülü elde edilir. (2.13) de benzer ekilde ispatlanabilir.
Tanım 2.4: D⊂ bölgesi verilsin. K ⊂D kompakt bir küme olmak üzere K da sıfırdan farklı, ∂K ve K nın dı ında özde olarak sıfır olan bir ϕ fonksiyonunaDbölgesinde bir test fonksiyonu denir. D de k−ıncı basama a kadar türevlere sahip bütün test fonksiyonlarının sınıfı C0k(D; ) ile gösterilir.
Teorem 2.4: Her ϕ∈C10(D; ) ve f ∈L1(D; ) için
[
ϕ + ϕ]
=D
z
Df z z f z z dxdy
T ( ) ( ) ( ) ( ) 0 (2.15)
dir.
spat: ϕ∈C10(D; ) olsun. Sınırda ϕ nin de eri sıfıra e it oldu undan
ζ ζ
∂
ϕ
− = ζ
η ζ ξ π ϕ
− − ζ ζ ζ π ϕ
= ϕ
D D
z z T
d d z
d
z i 1 ( ) ( )( )
) 2 (
) 1 (
yazabiliriz. Böylece integrasyonun sırası de i tirilerek
η
− ξ ϕ ζ
π ζ
−
= ϕ
D D
z D
z d d
z z dxdy f
dxdy z z
Tf 1 ( ) ( )
) ( ) (
η ξ ζ ϕ ζ
−
= D
d d f( ) ( ) dir. Çünkü ispatı yaparken kullandı ımız ba ıntıda
πϕ
−
− = ζ
η ζ ξ
ϕζ D
z z d
d ( )
) ( oldu undan
ζ πϕ
= ζ πϕ
−
− ζ = ϕ −
− D
z z
z) dxdy ( ( )) ( ) (
dir. Böylece ispat tamamlanmı olur.
11 Bu ba ıntılar göz önüne alındı ında
f
zTf =
∂ oldu u görülür.
Tanım 2.5: f,g∈L1(D; ) olsun. Her ϕ∈C10(D; ) test fonksiyonu için
[
ϕ + ϕ]
=D
z z f z z dxdy z
g( ) ( ) ( ) ( ) 0
oluyorsa f(z) fonksiyonuna g(z) nin D bölgesinde z de i kenine göre Sobolev türevi denir ve bu türev
g g
f = z =∂z biçiminde gösterilir.
Aynı zamanda, z ye ba lı Sobolev türevler de verilebilir. Fonksiyon klasik anlamda diferensiyellenebilir oldu unda Sobolev anlamda da diferensiyellenebilirdir ve her iki türev aynıdır.
∈
z \ D için açıktır ki Tf analitiktir ve türevi
)2
( ) 1 (
) ( ) (
z d f d
z f z Tf
D
z ζ−
η ζ ξ
−π
= Π
=
∂ (2.16)
dir.
Tanım 2.6: Her f ∈Lp(D; ) p>1 için
2 0 2
\ ( )
( ) lim ( )
( ) ( )
D D K z
d d d d
f f
z z
ε
ε
ξ η ξ η
ζ ζ
ζ − = → ζ −
ifadesinde sa daki limit mevcut ise bu limite ΠDf nin esas de eri denir.
Kompleks kısmi türevli denklem için D= z{ ∈ :|z|<1} birim diskinde sınır-de er problemleri incelenmesi sırasında Cauchy-Pompeiu formülünün de i ik versiyonları kar ımıza çıkar.
12
Her f ∈Lp(D; ) 1< p oldu unda hemen hemen her yerde her D
z∈ için (2.16) genelle tirilmi anlamda sa lanır. Sa taraftaki integral, Cauchy esas de eri anlamındadır.
Teorem 2.5: w∈C1( ; )∩C( D ; ) olmak üzere
= ζ
= ζ
ζ − ζ ζ + π
ζ ζ
− ζ
+ ζ ζ
= π
1
|
| 1
|
|
)]
( 2 [Im
)] 1 ( 2 [Re
) 1
( d
d w z w z
z i w
1
|
| 1 ,
) ( )
1 (
1
|
|
<
η ζ ξ
− + ζ
− ζ
ζ π ζ<
ζ
ζ d d z
z w z z
w (2.17)
dir.
spat: w∈C1( ; )∩C( D ; ) için
∂
=
D D
z w z dz
dxdy i z
w ( )
2 ) 1
(
oldu unu biliyoruz. z sabit bir nokta |z|<1 için
∈
= z{ :|z|<1} birim diskinde bu formülü yeniden yazarsak
0 ) 2 (
) 1 (
1
|
| 1
|
|
= ζ ζ
− η ξ ζ
= ζ
<
ζ
ζ w d
d i d w
bulunur.
Bunun her iki tarafını
−π1
ile çarparsak
0 ) 2 (
) 1 1 (
1
|
| 1
|
|
= ζ π ζ
+ η ξ π ζ
−
= ζ
<
ζ
ζ w d
d i d w
olup bu son ifadede w(ζ) yerine
ζ ζ −
z w z
)1
( yazarsak
13
1 0 ) 1 (
)1 2 (
1
1
|
| 1
|
|
= η ζ ξ ζ −
−π ζ ζ ζ −
π ζ<
ζ
= ζ
d z d w z
z d w z
i
elde edilir. Bu e itli in her iki tarafının kompleks e leni ini alırsak
1 0 ) 1 (
)1 2 (
1
1
|
| 1
|
|
= η ζ ξ ζ −
−π ζ ζ ζ −
− π
<
ζ ζ
= ζ
d z d w z
z d w z
i
olur. Bunu (2.12) e itli i olan
η
− ξ ζ
ζ
−π
− ζ ζ
ζ
= π
<
ζ ζ
= ζ
d z d w zd
w z i
w
1
|
| 1
|
|
) 1 (
) ( 2
) 1 (
ile taraf tarafa toplayıp birim diskte de ζ ζ
−
= ζ
ζd d |ζ|=1 olduklarını göz önüne alırsak
η ζ ξ
− + ζ
− ζ
ζ
−π ζ ζ ζ ζ ζ −
− + ζ
ζ
= π
<
ζ
ζ ζ
= ζ
d z d
z w z w z d
w z z w z i
w
1
|
| 1
|
| 1
) ( ) 1 (
)1 ) (
( 2
) 1 (
η ζ ξ ζ −
− + ζ
ζ
−π ζ
ζ ζ
− ζ + ζ
− ζ
ζ ζ
= π
<
ζ
ζ ζ
= ζ
d z d w z
z d w
z w z z i
w
1
|
| 1
|
| 1 ( ) ( )1
1 ) ) (
( 2
1
η ζ ξ ζ −
− + ζ
ζ
−π ζ
ζ ζ ζ
− ζ
ζ ζ + ζ
− ζ
ζ ζ
= π
<
ζ
ζ ζ
= ζ
d z d w z
z d w
z w z z i
w
1
|
| 1
|
| ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1
2 1
η ζ ξ ζ −
− + ζ
ζ
−π ζ
ζ
− ζ + ζ
− ζ
ζ ζ
= π
<
ζ
ζ ζ
= ζ
d z d w z
z d w
z w z z i
w
1
|
| 1
|
| ( ) ( ) 1 ( ) ( )1
2
1 (2.18)
bulunur.
Di er taraftan
) 2(
) 1 2(
Im 1 ]
[Re w w
z w z w w z i
w z + −
− ζ
+ + ζ
=
− + ζ
+ ζ
z w z z
w z z z z
z
− ζ
−
−ζ
− ζ
+ + ζ
− ζ
− +ζ
− ζ
+
= ζ
2 1 2
1
14
z w
w z
− ζ
ζ + ζ
= ζ ( ) ( )
z w z z
w
− ζ + ζ
− ζ
ζ
= ζ ( ) ( )
dir. Bu ifade (2.18) te yerine yazılırsa (2.17) e itli i elde edilmi olur.
Ayrıca |z|<1 için
η ζ ξ
− ζ + ζ + ζ
− ζ
+ ζ ζ
− π ζ
ζ
− ζ
+ ζ ζ
= π
<
ζ
ζ ζ
= ζ
d z d w z
z w z d
z w z
z i w
1
|
| 1
|
| 1
) 1 ( 2
)] 1 ( 2 [Re
) 1 (
) 0 ( Im w +i dir. Di er yandan
η ζ ξ
ζ ζ π
ζ ζ
π ζ
ζ ζ
d d w
w d w i
<
=
−
=
1
|
| 1
|
|
) 1 (
) ( 2
) 1 0 (
η ζ ξ
ζ ζ π
ζ ζ
π ζ
ζ ζ
d d w w d
w i
<
=
−
−
=
1
|
| 1
|
|
) 1 (
) ( 2
) 1 0 (
(
(0) (0))
2 ) 1 0 (
Imw w w
i = −
oldu unu biliyoruz.
Daha önce (2.17) ba ıntısı olan
[ ]
=
ζ ζ<
ζ ζ
= ζ
η ζ ξ
− + ζ
− ζ
ζ
−π ζ ζ ζ + π
ζ ζ
− ζ
+ ζ ζ
= π
1
|
| | | 1
1
|
| 1
) ( )
1 ( )
( 2 Im
)] 1 ( 2 [Re
) 1
( d d
z w z z d w
d w z w z
z i w
elde edilmi ti. (2.19) formülü ile kar ıla tırıldı ında istenilen formülün do rulu u için
) 0 ( 1 Im
) ( )
1 ( )]
( 2 [Im
1
1
|
| 1
|
|
w i d z d w z z d w
w ξ η−
ζ
− + ζ
− ζ
ζ
−π ζ ζ ζ
π ζ<
ζ ζ
= ζ
<
ζ
ζ
ζ ξ η
ζ
− ζ + ζ + ζ
− ζ
+ ζ ζ
ζ
− π
=
1
|
| 1
)1 ( )
( 2
1 d d
z w z
z w z
oldu u gösterilmelidir. O halde,
15
− η ζ ξ
− + ζ
− ζ
ζ
− π ζ
− ζ
π ζ<
ζ ζ
=
ζ| 1 | | 1
| 1
) ( 2 ) ( 2 2
) 1 2 (
1 2
1 d d
z w z z d w
w i w
η ζ ξ
ζ + π
ζ ζ ζ
− ζ
ζ + π
η ζ ξ
ζ
−π ζ ζ
ζ
π ζ<
ζ
= ζ
= ζ
ζ
= ζ
d d w w d
d i d w w d
i| | 1 | | 1 | | 1 | | 1
) 1 (
) ( 2
) 1 1 (
) ( 2
1 2 1
η ζ ξ
ζ + ζ − + −
− ζ
− π ζ ζ
ζ
− π ζ ζ
ζ
= π
=
ζ ζ<
ζ ζ ζ ζ
= ζ
d d w w z w z z w w d
d i w
i| | 1 | | 1 | | 1 1
2 2
2 1 )
( 4
1 )
( 4
1
= ζ
= ζ
ζ ζ ζ + π
ζ ζ ζ
− π
1
|
| 1
|
|
) ( 4
1 )
( 4
1 w d
d i w i
η ζ ξ
ζ + + −
−ζ
− ζ
− π
=
<
ζ
ζ
ζ w d d
z w z
1 z
|
|
1 1
2 1
2 2
1
η ζ ξ
− ζ
ζ
− + + ζ
− ζ ζ
+ ζ
− ζ
− π
=
<
ζ
ζ
ζ w d d
z z w z
z z
1
|
| (1 )
1 2 )
( 2 2
1
η ζ ξ
− ζ + + ζ
− ζ
+ ζ ζ
− π
=
<
ζ
ζ
ζ d d
z w z z w z
1
|
| 1
1 2
1
olup
η ζ ξ
− ζ + ζ + ζ
− ζ
+ ζ ζ
− π ζ
ζ
− ζ
+ ζ ζ
= π
<
ζ
ζ ζ
= ζ
d z d w z
z w z d
z w z
z i w
1
|
| 1
|
| 1
) 1 ( 2
)] 1 ( 2 [Re
) 1 ( dir.
Sonuç 1: w∈C1( ; )∩C( D ; ) ise w(z) fonksiyonu
η ζ ξ
− ζ + ζ + ζ
− ζ
+ ζ ζ
ζ
− π ζ
ζ
− ζ
+ ζ ζ
= π
<
ζ
ζ ζ
= ζ
d z d w z
z w z
d z w z
z i w
1
|
| 1
|
| 1
) 1 ( )
( 2
) 1 ( 2 Re
) 1 (
) 0 (
+Im w (2.19)
biçiminde gösterilebilir.
16
Not: E er w(z) birim diskte analitik bir fonksiyon ise (2.19) formülü
= ζ
ζ +
− ζ
− ζ ζ ζ
= π
1
|
|
) 0 ( Im 2 1
) ( 2 Re
) 1
( d i w
w z z i
w (2.20)
ekline gelir.
Tanım 2.7:
= ζ
ζ +
− ζ
− ζ ζ ζ
= π
1
|
|
) 0 ( Im 2 1
) ( 2 Re
) 1
( d i w
w z z i
w
formülüne analitik fonksiyonlar için “Schwarz – Poisson formülü” denir. Ayrıca
2 1
− − ζ
= ζ
− ζ
+ ζ
z z
z
ifadesine “Schwarz çekirde i” ve bunun reel kısmı olan
2 2 2
2 | |
|
|
|
|
|
|
) )(
( ) ( ) 1 (
z z z
z z z
z z
z ζ−
−
= ζ
− ζ
− ζ
− ζ
−
− ζ ζ +
− ζ
=ζ
− − ζ + ζ
− ζ
ζ
ifadesine de “Poisson çekirde i” denir.
Tanım 2.8: ϕ(z) birim diskte analitik bir fonksiyon olmak üzere
=
ζ ζ
ζ
− ζ
+ ζ ζ π ϕ
= ϕ
1
|
|
) 2 (
) 1
( d
z z z i
S (2.21)
eklinde tanımlanan S operatörüne Schwarz operatörü denir.
∈
z = z{ ∈ :|z|<1} ve ζ∈∂D olmak üzere )
( ) (
lim ϕ =ϕ ζ
ζ
→ S z
z
; ( D C ∂
ϕ∈ ) (2.22)
oldu u gösterilebilir.
(2.19) formülü, Cauchy - Schwarz - Poisson formülü olarak bilinir.
imdi
f
wz = ( de), Re w= (ϕ∂ de) Imw(0)=c (2.23) Schwarz sınır de er problemini göz önüne alalım. E er (2.22) göz önüne alınırsa (2.19) ba ıntısından elde edilen
17
ic d z d z f
z z f
d z z z i
w +
− + +
−
− +
−
= +
<
=
η ζ ξ
ζ ζ
ζ ζ
ζ ζ
ζ π
ζ ζ ζ
ζ ζ π ϕ
ζ
ζ| 1 | | 1
| 1
1 ) ( )
( 2
) 1 2 (
) 1
( (2.24)
fonksiyonunun (2.23) probleminin çözümü oldu u görülür. Gerçekten (2.21) ve (2.22) özellikleri ile beraber TD operatörünün (T f(z)) f(z)
z D =
∂
∂ özelli i
göz önüne alınırsa (2.24) deki w(z) fonksiyonunun (2.23) probleminin ko ullarını sa ladı ı görülebilir.
Buradan da görüldü ü gibi integral gösterilim formülleri birim diskte belli tipten sınır de er problemlerinin çözümleridir.
2.5. ntegral Gösterim Formüllerinin Tekrarlanması
Birinci basamaktan denklemlerin çözümleri için elde edilen integral formülleri, tekrarlama yoluyla daha yüksek basamaktan denklemler için de ortaya konulabilir. Bunu görebilmek için önce tek de i kenli reel fonksiyonlarda bilinen Calculus’un temel teoremini verelim:
Teorem 2.6: f ∈Cn+1((a,b); )∩Cn([ ba, ]; ) ise bu taktirde x, x0∈(a,b) için
dt t k f
t x x
k x x x f
f
x
x
k k n
k k k
)
! ( ) ) (
! ( ) ) (
(
0
) 1 ( 0
0 0 )
( +
=
+ −
−
= (2.25)
dir.
spat: Tümevarımla ispatlayalım.
=0
k için
=
− +
= +
x
x
x f x f x f x f dt t f x
f
0
0 0
0) () ( ) ( ) ( ) ( )
(
olup, verilen e itlik do rudur.
18 n
k = için
dt t n f
t x x
k x x x f
f
x
x
n n n
k k k
)
! ( ) ) (
! ( ) ) (
(
0
) 1 ( 0
0 0 )
( +
=
+ −
−
=
e itli i do ru olsun.
+1
= n
k için
dt t n f
t x x
k x x x f
f
x
x
n n n
k k k
) )! (
1 (
) ) (
! ( ) ) (
(
0
) 2 1 ( 1
0
0 0 )
( + +
+
= +
+ −
−
=
oldu unu gösterece iz.
dt t n f
t x x
k x x
f x
x
n n n
k k k
) )! (
1 (
) ) (
! ( ) (
0
) 2 1 ( 1
0
0 0 )
( + +
+
= +
+ −
−
0 1 ) 0
1 ( 0
0 0 ) (
) )! (
1 (
) ) (
! ( )
( + +
=
+ − +
−
= n
n n
k k k
x n x
x x f
k x x f
n dt
t x n t t f
n f t
x x
x
n n
x
x n n
+
− + +
+ + −
+ + +
0 1
0 ) 1 1 (
)!
1 (
) ( ) 1 ( ) ) (
)! ( 1 (
) (
)!
1 (
) )(
( )
! ( )
( 0 1
0
) 0 1 0 (
) 0 (
+ + −
−
=
+
=
+
n x x x
f x
k x x
f n
n k
n k k
dt t n f
t t x
n f t
x x n
x
n x
x n n
)
! ( ) ) (
)! ( 1 (
)
( ( 1)
0 0 ) 1 1 (
+
+ + −
+ + + −
)!
1 (
) )(
( )
! ( )
( 0 1
0
) 0 1 0 (
) 0 (
+ + −
−
=
+
=
+
n x x x
f x
k x x
f n
n k
n k k
dt t n f
t x x
n f x
x x n
x n n
n
)
! ( ) ) (
)! ( 1 (
)
( ( 1)
0 ) 0
1 1 (
0 + + +
+ − +
− −
19
dt t n f
t x x
k x x
f x n
x
n n
k k k
)
! ( ) ) (
! ( )
( ( 1)
0 0
0 0 )
( +
=
+ −
−
=
) (x
= f
olup, böylece ispat tamamlanır.
Taylor formülü
η
− ξ ζ
ζ
−π
− ζ ζ
ζ
= π ζ
∂
d z d w zd
w z i
w
D D
) 1 (
) ( 2
) 1
( ,
η
− ξ ζ
ζ
−π
− ζ ζ
ζ
− π
= ζ
∂
d z d d w
z w z i
w
D D
) 1 (
) ( 2
) 1 (
ba lantılarına uygulanırsa Cauchy-Pompeiu tipi integrallerin yüksek basamaktan integral gösterimleri elde edilebilir.
Teorem 2.7: D⊂ bir regüler bölge olmak üzere w∈C2(D; )∩C1(D; ) için
η
− ξ ζ
− ζ ζ +π
− ζ ζ
− ζ ζ
− π
− ζ ζ
ζ
= π ζζ
∂ ζ
∂
d zd w z
zd w z
d i z w z i
w
D D
D
) 1 (
) 2 (
1 )
( 2
) 1
( (2.26)
∂ ζ
∂
+ ζ
− ζ π ζ
+
− ζ ζ
ζ
= π
D D
d z i w
zd w z i
w ( )log| |2
2 1 )
( 2
) 1 (
η ξ
− ζ
π wζζ ζ z d d
D
|2
| log ) 1 (
(2.27)
dir.
spat: ξ η
− ζ
ζ
−π
− ζ ζ
ζ
= π ζ
∂
d z d w zd
w z i
w
D D
) 1 (
) ( 2
) 1 (
formülünde w yerine wt alırsak
+ ζ =
−
−π ζ
−
= π ζ
∂ ζ
D t t D
t t t it
t dt t dt t w
t dt i w
w 1 ( ) 1 2, 1 2
) 2 (
) 1 (
olur. Bu ba ıntı (2.12) de yerine yazılırsa
20
η ζ ξ
−
−π ζ
− π
− ζ
−π
− ζ ζ
ζ
= π
∂
∂
d t d
dt t dt t w
t dt i w
d z z w z i
w
D D
t t D
t D
2 ) 1 1 (
) 2 (
1 1 1 ) ( 2
) 1 (
t dt z
d t d
i w zd
w
i D D
t
D ∂
∂ ζ− ζ−
η ξ π
+ π
− ζ ζ
ζ
= π
) ( ) ( ) 1 2 (
1 )
( 2
1
2 1
1 1 ) 1
1 (
dt dt d zd t t
w
D D
t
t ξ η
− ζ
− ζ π
−π
∂
∂
−
− +
=
D D
t t t
D
dt dt t z t w dt
t z t i w zd
w
i 1 ( ) ( , ) 1 2
) , ( ) 2 (
1 )
( 2
1 ϕ
ϕ π ζ π
ζ ζ
π (2.27)
elde edilir. Burada
η ζ ξ
ζ π
ζ ζ
η ξ
ϕ π d d
z t
z t z
t d t d
z
D
D − −
−
= −
−
= − 1 1
) (
1 )
( ) ( ) 1
, (
dir. Çünkü
) ( ) (
) ( ) ( ) ( )
( ) (
1
z t
Bt Az B
A z
t
Bt B Az A z B t A z
t ζ− ζ−
−
− ζ
= +
− ζ
− ζ
− ζ +
−
= ζ
− +ζ
−
= ζ
− ζ
− ζ e itli inden
t B z
z A t
= −
= − 1
1 , bulunur. Böylece
− −
−
= −
−
−t ζ z t z ζ t ζ z
ζ
1 1
1 ) ( ) (
1
elde edilir.
η
− ξ ζ
ζ
−π
− ζ ζ
ζ
= π ζ
∂
d z d w zd
w z i
w
D D
) 1 (
) ( 2
) 1
( (2.12)
ba ıntısında w(z) yerine z t
z t
−
− alırsak
ζ
− ζ
= −
ζ t
w( ) t ve w t
−
= ζ
ζ ζ ) 1
( olur.
Yine (2.8) ba ıntısında w(z) yerine z alınırsa
<
ζ
=
ζ ζ−
η ξ
−π
− ζ
ζ ζ
= π
1
|
| 1
|
|
1 2
1
z d d z
d z i
elde edilir.
21
Di er taraftan (2.12) ba ıntısında w(z) yerine z t
z t
−
− alalım. Bu durumda
<
ζ
=
ζ ζ− ζ−
η ξ
−π
− ζ ζ ζ
− ζ
−
= π
−
−
1
|
| 1
|
| ( )( )
1 ) ( ) ( 2
1
z t
d d d
z t
t i
z t
z t
<
ζ ζ<
=
ζ ζ− ζ−
η ξ
−π
− ζ ζ ζ
− ζ
− π
− ζ ζ
− ζ
= π
1
|
| | | 1
1
|
| ( )( )
1 ) ( ) ( 2
1 ) ( ) (
2 t z
d d d
z t
i z t
d i
t
=
ζ ζ<
=
ζ ζ− ζ−
η ξ
−π
− ζ
− ζ
ζ ζ + π
− ζ
−ζ
− ζ
−
= π
1
|
| | | 1
1
|
| ( )( )
1 ) ( ) ( 2
1 1
1 )
(
2 t z
d d z
t d d i
t z
z t i
t
olur. imdi
= ζ ζ−
ζ 1
|
| z
d
integralini hesaplayalım.
= θ
−
ζ z rei dζ=ireiθdθ r=|ζ−z| için i re
d ire z
d
i i
π θ =
− = ζ
ζ π
=
θ θ
θ
= ζ
2
2 0 1
|
|
dir. Benzer ekilde
t i
d = π
− ζ
ζ
= ζ
2 1
|
|
olup böylece
ζ ζ ζ
ζ ζ
ζ
ζ ζ
t d z
z t
t z t
d t
=
= − −
−
= −
−
− | | 1
1
|
|
1 1
) ( ) (
= ζ
=
ζ ζ−
ζ
− −
− ζ
ζ
= −
1
|
| 1
|
| t
d z
t t z d z
t t
0 ) 2 2
( π − π =
= − i i
z t
t
dır.
22 Böylece
<
ζ
=
ζ ζ− ζ−
η ξ
−π
− ζ
− ζ
ζ ζ
= π
−
−
1
|
| 1
|
| ( )( )
1 ) ( ) ( 2
1
z t
d d z
t d i
z t
z t
) , ( ) ,
~(z t ϕ z t
ϕ −
= (2.28)
elde edilir. Burada
∂ − −
=
D t z
d t i
z 2 ( )( )
) 1 ,
~(
ζ ζ
ζ ζ ϕ π
olup bu fonksiyon hem t, hem de z ye göre analitiktir.
Di er taraftan
∂
ζ ζ ξ η= ζ ζ
D D
d i w
d d
w ( )
2 ) 1
(
olması nedeniyle
0 )
1 ( ) 2 (
1 ζ ξ η=
+π ζ π ζ
− ζ
∂
d d w d
i w
D D
olur. Bu ba ıntıda w(ζ) yerine wt(t) yazılırsa
2 1 2
1 0;
) 1 (
) 2 (
1 w t dt w t dt dt t t it
i D
t t D
t = = +
+ π
− π
∂
∂
olur. Burada w(t) yerine w(t)ϕ~(z,t) yazılırsa
= +
−
∂ D
t t D
t t dt z t w t dtdt
w t
i z 1 ~( , ) ( ) 0
) ( ) ,
~( 2
1
2
ϕ 1
ϕ π
π (2.29)
bulunur. Çünkü
~ =t 0
ϕ ϕ~ =z 0 dır. Di er yandan (2.28) den
) , ( )
,
~( z t
z t
z t t
z ϕ
ϕ +
−
= −
olup (2.27) nin her iki yanına (2.29) ba ıntısı eklenirse
23
∂
∂
−
− +
=
D t t D
t D
dt dt t z t w dt
t z t i w zd
w z i
w 1 ( ) ( , ) 1 2
) , ( ) 2 (
1 )
( 2
) 1
( ϕ
ϕ π ζ π
ζ ζ π
+
−
∂ D
t t t
D
dt dt t w t z dt
t w t
i z 1 ~( , ) ( ) 1 2
) ( ) ,
~( 2
1 ϕ
ϕ π π
dt t z t i w zd
w
i D
t D
) , ( ) 2 (
1 )
( 2
1 ϕ
ζ π ζ
ζ
π ∂ ∂
− +
=
dt t z w t
z t t
i z dt
dt t z t w
D
t D
t t
∂ −
+ −
−
− ( , ) ( )
2 ) 1
, ( ) 1 (
2
1 ϕ
ϕ π π
2
) 1
( )
, 1 (
dt dt t z w t
z t t
z
D
t
− t
+ −
+ ϕ
π
−
− +π
−
−
− π
− ζ ζ
ζ
= π
∂ ∂ D
t t
D D
t dt dt
z t
z t t w z dt
t z t t i w zd
w
i 1 ( ) 1 2
) 2 (
1 )
( 2
1
bulunur. Son ba ıntıda t =t1+it2=ζ=ξ+iη alınırsa
η
− ξ ζ
− ζ ζ +π
− ζ ζ
− ζ ζ
− π
− ζ ζ
ζ
= π ζζ
∂ ∂
ζ d d
z w z
z d w z
d i z w z i
w
D
D D
) 1 (
) 2 (
1 )
( 2
) 1 (
elde edilir. Bu ise istenilen sonuçtur.
Di er formülü elde etmek için (2.13) ile verilen
z d w d
zd w z i
w
D D ζ−
η ζ ξ
−π
− ζ ζ
ζ
− π
=
∂
ζ( ) 1
) ( 2
) 1 (
ba ıntısında w(z) yerine wz(z) yazarsak
ζ π
ζ ζ π
ζ − −
− −
=
∂ t
dt t dt t w
t t d i w
w
D D
t t
t 1 ( ) 1 2
) 2 (
) 1 ( elde edilir. Bu ba ıntı
∂
ζ ξ η
− ζ
ζ
−π
− ζ ζ
ζ
= π
D D
d z d w zd
w z i
w ( ) 1 ( )
2 ) 1 (
ifadesinde yerine yazılır ve integrasyon sırası de i tirilirse
∂ ∂
η ζ ξ
−
−π ζ
−
− π
− ζ
−π
− ζ ζ
ζ
= π
D D D
t t D
t d d
t dt t dt t w
t w d i d z
z w z i
w 1 ( ) 1 2
2 1 1
1 ) ( 2
) 1 ( bulunur.
24
Böylece son e itli in düzenlenmesiyle
∂ ∂ ζ− ζ−
η ξ π
− π
− ζ ζ
ζ
= π
D D D
t dt
z t
d t d
i w zd
w z i
w ( )( )
) 1 2 (
1 )
( 2
) 1 (
− ζ
− ζ
η ξ π
−π
D D
t
t dt dt
z t
d t d
w 1 2
) ( ) ( ) 1 1 (
∂ ∂
π ψ
− π ψ
−
− ζ ζ
ζ
= π
D D D
t t
t t z t dt w z t dt dt i w
zd w
i 1 ( , ) 1 2
) , ( ) 2 (
1 )
( 2
1 (2.30)
olur. Burada
− ζ
− ζ
η ξ
= π ψ
D t z
d t d
z ( )( )
) 1 , (
dir. Böylece ispat tamamlanmı olur.
|2
|
log t−z fonksiyonu sabit bir t∈Dnoktası için D \{t} kümesinde C1 sınıfındandır. Böylece yeterince küçük ε>0 sayısı için
D z t
z z D
Dε = \{ :| − |≤ε}, ∈ bölgesinde
∂ ε ε
ζ ξ η
− ζ
ζ
−π
− ζ ζ
ζ
= π
D D
d z d w zd
w z i
w ( ) 1 ( )
2 ) 1
( (2.31)
formülü geçerlidir. Di er taraftan
=
ζ ζ−
− ζ π ζ
= ψ
1
|
|
|2
| 2 log
) 1 ,
~(
z t d
t i z
=
ζ ζ−
− ζ ζ
− π ζ
=
1
|
|
)]
( ) log[(
2 1
z t d i t
ve
= ζ
= ζ
− ζ
−ζ
− ζ
−
= π
− ζ
− ζ
ζ
= π
∂ ψ
∂
1
|
| 1
|
|
1 1
1 2
1 ) ( ) ( 2
1 ) ,
~(
z d t
z t i z
t d i
t t z
yazılabilir. E er
25 z
t
z
z ζ
ε
)]
( ) log[(
|
| log )
(z t z 2 z t z t
w = − = − −
fonksiyonu için Dε bölgesinde (2.27) formülünü yeniden yazarsak
t t
t w t
t t
w = ζ−
− ζ
− ζ
−
= ζ ζ
− ζ
− ζ
=
ζ ζ 1
) ( ) ) (
( )], (
) log[(
) (
olması nedeniyle
ε
∂ ε ζ− ζ−
η ξ
−π
− ζ ζ
− ζ
= π
−
D
D t z
d d d
z t t i
z ( )( )
1
|
| log 2
| 1
| log
2 2 (2.32)
elde edilir. Di er yandan ε<|z−t| bölgesi için
= θ
−
ζ t rei dξdη=rdrdθ kutupsal gösterimi kullanılırsa
ε π
θ ε π θ
θ θ
− ε
<
−
ζ − +
θ
= π
− +
θ
= π
− ζ
− ζ
η ξ
π 0
2
0 0
2
0
|
|
1 ) (
1 ) ( ) ( 1
i i i
i
t t z re
dr d e z
re t re
dr rd z
t d d
olur ve bu integral mevcut olup ε→0 için integralin de eri sıfıra yakla ır.
Yine ε<|z−t| için
ε
=
− ζ ε
=
− ζ
− = ζ
ζ π
= ε
− ζ
− ζ π ζ
|
|
|
|
2 0
2 log
| 2
| 2 log
1
t
t z
d i
z t d
i
olur. Çünkü, |z− |t >ε için
−z ζ
1 fonksiyonu |ζ−t|=ε çemberinin içinde analitiktir. Bu durum, ekil 2.1 ile a a ıdaki gibi ifade edilebilir.
ekil 2.1
−z ζ
1 fonksiyonunun analitikli inin incelenmesi
