Sınır değer problemlerinin incelenmesi

T.C.

SAKARYA ÜNøVERSøTESø

FEN BøLøMLERø ENSTøTÜSÜ

SINIR DE öER PROBLEMLERøNøN øNCELENMESø

YÜKSEK LøSANS TEZø

Iúıl ARDA

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATøK

Tez Danıúmanı : Yrd. Doç. Dr. ùevket GÜR

Mayıs 2011

TEùEKKÜR

Bana bu çalıúmayı vererek beni yönlendiren ve çalıúmalarım sırasında benden yakın ilgi ve alakalarını esirgemeyen de÷erli hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. ùevket GÜR’e en derin teúekkür ve úükranlarımı sunarım.

øÇøNDEKøLER

TEùEKKÜR... ii

øÇøNDEKøLER... iii

SøMGELER VE KISALTMALAR LøSTESø... v

ÖZET... vi

SUMMARY... vii

BÖLÜM 1. GøRøù... 1

BÖLÜM 2. TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR... 3

BÖLÜM 3. TEK NOKTALI SINIR DEöER PROBLEMLERø. ... 22

BÖLÜM 4. øKø NOKTALI SINIR DEöER PROBLEMLERø... 30

4.1. Green Fonksiyonu ve Kullanımı... 32

4.2. Green Fonksiyonunun Varlı÷ı ve Kuruluúu... 36

4.3. Adjoint Denklem... 37

4.4. Green Fonksiyon De÷iúimi... 40

4.5. p. Mertebeden Denklemler için Sınır De÷er Problemi... 43

BÖLÜM 5. STURM-LøOUVøLLE SINIR DEöER PROBLEMø... 49

5.1. Homojen Sturm-Liouville Problemi... 49

iv

5.2. Regüler Sturm-Liouville Problemi... 55

5.3. Özfonksiyon Açılımı... 59

5.4. Sturm-Liouville Probleminin Green Fonksiyonu... 60

5.5. Periyodik Sturm-Liouville Problemi... 65

5.6. Homojen Olmayan Regüler Sturm-Liouville Problemi... 66

5.7. Singüler Sturm-Liouville Problemi... 70

5.7.1. Bessel Diferansiyel Denklemi... 73

5.7.2. Legendre Diferansiyel Denklemi... 81

5.7.3. Hermite Diferansiyel Denklemi……... 86

5.8. Salınım ve Karúılaútırma Teorisi... 91

BÖLÜM 6. SONUÇLAR VE ÖNERøLER………... 102

KAYNAKLAR……….. 103

ÖZGEÇMøù……….……….. 104

SøMGELER VE KISALTMALAR LøSTESø

L : Lineer Operatör

L^∗ : Adjoint Operatör

W : Wronskian

(

^,

)

G x ξ : Green Fonksiyonu

( )

J x

υ : Birinci Tip Bessel Fonksiyonu

( )

Y x

υ : økinci Tip Bessel Fonksiyonu

( )

Pn x : Legendre Polinomu

( )

Hn x : Hermite Polinomu

( )

^x

Γ :Gama Fonksiyonu

Dn : n yinci Basamaktan Türev Operatörü

ÖZET

Anahtar kelimeler: Baúlangıç De÷er Problemi, Green Fonksiyonu, Sınır De÷er Problemi, Sturm-Liouville Problemi, Sturm-Liouville Özde÷erleri, Sturm-Liouville Özfonksiyonları, Bessel Diferansiyel Denklemi, Legendre Diferansiyel Denklemi, Hermite Diferansiyel Denklemi.

Bu tez 6 bölümden oluúmaktadır.

Birinci bölümde diferansiyel denklemlerin kullanım alanlarından bahsedilerek teze giriú yapılmıútır. Ayrıca Sınır De÷er Problemleri ile ilgili yapılan ilk çalıúmalardan bahsedilmiútir.

økinci bölümde tezde kullanılan temel tanım ve kavramlar verilmiútir.

Üçüncü bölümde tek noktalı Sınır De÷er Problemleri üzerinde durularak çözümlerinin varlı÷ı ve tekli÷i incelenmiútir.

Dördüncü bölümde iki noktalı Sınır De÷er Problemleri incelenerek Green fonksiyonu ve özellikleri hakkında bilgiler verilmiútir.

Beúinci bölümde ise özel bir Sınır De÷er Problemi olan Sturm-Liouville Problemi üzerinde durulmuútur. Özellikleri verilerek, özde÷erleri ile özfonksiyonları incelenmiútir. Bu problemin özel halleri olan Özel Fonksiyonlardan birkaçı üzerinde durulmuútur. Son olarak da elde edilen verilerle Sturm-Liouville Teoremleri ispatlanmıútır.

Altıncı bölümde ise tez çalıúmasından elde edilen sonuçlar belirtilmiútir.

STUDYING OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS

SUMMARY

Key Words: Initial Value Problem, Green’s Function, Boundary Value Problem, Sturm-Liouville Problem, Sturm-Liouville eigenvalue, Sturm-Liouville eigenfunction, Bessel Equation, Legendre Equation, Hermite Equation.

This thesis is consists of six chapters.

In the first chapter, it is mentioned about the using areas of differential equations and there is an introduction to the thesis. Furthermore, it is discussed about the first study of the Boundary Value Problem.

In the second chapter, main definitions and concepts used in the thesis are given.

In the third chapter, one-dimensional Boundary Value Problems are examined and investigated the uniqueness and existence of the solutions.

In the fourth chapter, two-dimensional Boundary Value Problems are inspected and some properties related with Green’s functions are given.

In the fifth chapter, a special Boundary Value Problem called Sturm-Liouville problem are mentioned. By given the properties of this function, eigenvalue and eigenfunction are investigated. Some special functions which related with this problem are examined. Finally with these datas Sturm-Liouville theorems are proved.

Finally in the sixth chapter, the results are stated gained through the study of thesis.





BÖLÜM 1. GøRøù

Bilim ve tekni÷in yasaları, matematik diline aktarıldı÷ında, birtakım denklemler aracılı÷ı ile ifade edilir. Cebir, geometri ve analiz statik problemlerin birço÷unun çözümü için yeterli olmaktadır. Buna karúılık, do÷adaki olayları tasvir eden yasaların büyük bir ço÷unlu÷u, bir veya daha fazla büyüklü÷ün, di÷er bir takım büyüklüklere göre de÷iúim hızlarını içerir. Bu de÷iúim hızları matematik olarak türev iúlemi ile ifade edilir. Problemler, türev yardımıyla katsayıları de÷iúkenlere ba÷lı olan adi diferansiyel denklemler veya kısmi türevli denklemler úeklinde belirtilir. Bu tipteki denklemlerin özelli÷i, araútırma yapılan bölgede veya bölgenin sınır çizgisinin üzerinde katsayıların tekil (singüler) olmasıdır. Yani bölgenin bazı noktalarında katsayıların sıfır olması veya belirsizlik halinde bulunmasıdır. Böyle tipteki denklemlere dönüúen fiziksel problemlerin analitik çözümlerini bulmak çok zor oldu÷u gibi bazı durumlarda çözüme ulaúmakta mümkün de÷ildir. Problemin zorlu÷u, denklemin çözümünün sonsuz seri úeklinde aranmasından kaynaklanmaktadır. Bu da denklemin tüm özel durumları için sonsuz serinin yakınsaklı÷ının ispatlanması ve özde÷er fonksiyonlarının ortogonalli÷inin gösterilmesidir. Ayrıca matematiksel fizik probleminin çözümünün kararlılı÷ını ispatlamak ve korumak da gerekir.

Sınır De÷er Problemleri, fiziksel birçok alanda problemlerin çözümü için kullanılmaktadır. Örne÷in klasik mekanik problemleri, elektro manyetik teori, kuantum mekani÷i, kuantum fizi÷i, termodinamik problemleri ve özellikle dalga denklemlerinde bu problemlere sıkça rastlanmaktadır.

Sınır De÷er Problemlerinin en önemli sınıfı, Sturm-Liouville Problemleridir. Bu problemlerin analizinde, diferansiyel operatörün içerdi÷i özfonksiyonlar incelenir.

Klasik Sturm-Liouville Problemi adını, Jacques Charles François Sturm (1803-1855) ve Joseph Liouville (1809-1882) isimli bilim adamlarının çalıúmalarından almıútır.

 _



Sınır De÷er Problemlerine öncelikle uzun bir süre boyunca Laplace Denkleminin harmonik çözümlerini bulmak amacıyla Dirichlet Problemi olarak çalıúılmıútır ve problemin çözümüne de Dirichlet prensibi adı verilmiútir.

Bu ve bunun gibi birçok problemin çözümünde kullanılabilen bu problemin önemi dikkate alınarak tezde, Sınır De÷er Problemleri, çözümlerin bulunmasında yardımcı olarak kullanılan Green Fonksiyonu, özel bir Sınır De÷er Problemi olan Sturm- Liouville Problemleri ve özellikleri incelenerek tek bir kaynakta toplanmıútır.



BÖLÜM 2. TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR

Tanım 2.1.

( )

1

( )

0

( )

p

p p

d d

L a x a x a x

dx dx

= +"+ + (2.1)

operatörü ile birlikte; I da a x ≠p

( )

⁰; x , I da sabit bir nokta; ₀ γ₁,^!,γ_p verilen sayılar ve ^{f x}

( )

, I da parçalı sürekli bir fonksiyon olsun. x I∈ olmak üzere

Lu = f problemine

u x

( )

0 =γ1,!,u^(p−1)

( )

x0 =γ_p (2.2)

koúulları altında, x noktası baúlangıç de÷erini belirtmek üzere Cauchy problemi₀ veya baúlangıç de÷er problemi denir. [1]

Tanım 2.2. I aralı÷ında tanımlı, sürekli f x1

( )

, ,! f x_n

( )

fonksiyonları lineer ba÷ımlıdır ⇔ Hepsi aynı anda sıfır olmayan c₁,!,c_n sabitleri için

c f x1 1

( )

+"+c f x_{n n}

( )

≡0 (2.3)

eúitli÷i vardır. Yani bu n fonksiyonun herhangi birisi di÷erlerinin lineer kombinasyonu olarak ifade edilebilirse bu fonksiyonlar lineer ba÷ımlıdır denir, (2.3) eúitli÷inde c₁="=c_n =0 ise bu fonksiyonlar lineer ba÷ımsızdır denir. [1]

Tanım 2.3. f₁,!, f_n,

(

n −^{1 .}

)

mertebeye kadar sürekli türevlere sahip, x de÷iúkenine ba÷lı fonksiyonlar olmak üzere bu fonksiyonların Wronskianı,

_



( )

( ) ( ) ( )

1 2

' ' '

1 2

1

1 1 1

1 2

, , ;

n n n

n n n

n

f f f

f f f

W f f x

f ⁻ f ⁻ f ⁻

=

"

"

! # # #

"

(2.4)

úeklindedir. Özel olarak f ve ₁ f fonksiyonlarının Wronskianı, ₂

W f f x

(

1, ;2

)

= f x f x1

( ) ( )

2^' − f x f x1^'

( ) ( )

2 (2.5)

úeklindedir. E÷er I aralı÷ında f₁,!, f_n lineer ba÷ımlı ise Wronskianları sıfırdır. [1]

Tanım 2.4. u₁,!,u_p, Lu =0 homojen denkleminin çözümleri olmak üzere

^{W u}

(

^{1,!,u xp;}

)

^{=Ce−m x( ), x I∈} (2.6)

úeklindedir. Burada C, sabit; ^{m x}

( )

^ise m^'=ap₋1 ap denkleminin bir özel çözümüdür. (2.6) ifadesine, Wronskian için Abel formülü adı verilir. p = ve L2 operatörü self adjoint ise a₂^' =a₁ dir. Buradan (2.6),

( )

1 2

( )

2

, ; C

W u u x

= a x , x I∈ (2.7)

formuna dönüúür.

(2.6) ve (2.7) formüllerinin ikisinde de C sabiti, Wronskianda kullanılan

{ }

uk

çözümleri ile belirlenir. Farklı çözümler, farklı C sabitleri oluúturur. Özel olarak

1, , _p

u ! u lineer ba÷ımlı ise W =0 dolayısıyla C =0 dır. [1]

_



Tanım 2.5. Süperpozisyon Prensibi

( )

u x1 fonksiyonu

{

f x1

( )

; ,α β1 1

}

baúlangıç de÷er probleminin, u x2

( )

fonksiyonu ise

{

f x2

( )

;α β2, 2

}

baúlangıç de÷er probleminin çözümleri ise Au x1

( )

+Bu x2

( )

fonksiyonu da

{

Af x1

( )

+Bf x A2

( )

; α1+Bα2,Aβ1+Bβ2

}

baúlangıç de÷er problemin çözümüdür. [1]

Tanım 2.6.

( )

^0,

1, H x x

x ξ ξ

ξ

­ ≥

− = ®

¯ <

úeklindeki fonksiyona Heaviside fonksiyonu denir. [1]

Tanım 2.7.

Lu a x u= 2

( )

^''+a x u1

( )

^'+a x u0

( )

= f x

( )

, a< <x b (2.8)

diferansiyel denklemi ele alınsın. Burada i =0,1, 2 olmak üzere a xi

( )

katsayıları a x b≤ ≤ aralı÷ında sürekli ve a x ≠2

( )

0 olup ^{f x}

( )

^{, a< <x b} aralı÷ında parçalı süreklidir. ^{u x}

( )

^,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

' '

1 11 12 11 12 1

' '

2 21 22 21 22 2

B u u a u a u b u b

B u u a u a u b u b

α α β β γ

α α β β γ

= + + + = ½°

= + + + = ¾°¿ (2.9)

sınır úartlarını sa÷layan çözüm;

(

α α β β11, 12, 11, 12

)

ve

(

α α21, 22,β β21, 22

)

vektörleri lineer ba÷ımsız olmak üzere (2.8) denklemine (2.9) sınır úartları ile birlikte bir sınır de÷er problemi denir.

_



β¹¹=β¹² =α²¹=α²² = ise aralı÷ın bitiú noktalarındaki 0

B u1 =α11u a

( )

+α12u a^'

( )

=γ1

B u2 =β21u b

( )

+β22u b^'

( )

=γ2

ayrıúmıú sınır úartları elde edilir.

α¹² =β¹¹ =β¹² =α²¹ =β²¹=β²² = , 0 α₁₁= , 1 α₂₂ = ise 1

u a

( )

⁼γ1, u a^'

( )

⁼γ2

baúlangıç úartları elde edilir.

Süper pozisyon prensibi, (2.8)-(2.9) probleminin çözümlerinde kullanılırsa: u,

{

f; ,γ γ1 2

}

sınır de÷er probleminin çözümü; U,

{

F; ,τ τ1 2

}

sınır de÷er probleminin çözümü olmak üzere Au BU+ ,

{

Af +BF A; γ1+Bτ1,Aγ2+Bτ2

}

sınır de÷er probleminin çözümüdür. u ve v,

{

f; ,γ γ1 2

}

sınır de÷er probleminin çözümleri ise u v− , homojen sınır de÷er problemini sa÷lar. Homojen sınır de÷er probleminin sadece u =0 aúikâr çözümü varsa,

{

f; ,γ γ1 2

}

probleminin ancak bir çözümü vardır;

aúikâr olmayan bir çözümü varsa, ,

{

f; ,γ γ1 2

}

probleminin ya çözümü yoktur ya da birden fazla çözümü vardır. [1]

Tanım 2.8. u x1

( )

ve u x2

( )

M kümesi üzerinde olmak üzere herhangi bir α ve β sabitleri için αu x1

( )

+βu x2

( )

de M kümesi üzerinde ise M bir lineer manifolddur denir. [1]

Tanım 2.9.

( )

1

( )

0

( )

p

L a x D= p +"+a x D a x+ lineer operatörü a x b≤ ≤ aralı÷ında tanımlı olmak üzere

_



Lu=a u_p ^{( )p} +"+a u₁ ^'+a u₀ = f, a< <x b (2.10)

probleminine

B u1 =α11u a

( )

+"+α1_pu^(p−1)

( )

a +β11u b

( )

+"+β1_pu^(p−1)

( )

b =γ1,

# (2.11)

1

( )

^{( 1)}

( )

1

( )

^{( 1)}

( )

p p

p p pp p pp p

B u=α u a +"+α u ⁻ a +β u b +"+β u ⁻ b =γ

sınır úartları ile beraber p.mertebeden bir sınır de÷er problemi denir. Burada 1, ,

i= ! p olmak üzere a xi

( )

∈C^p ve

(

α11,^!,α1_p,β11,^!,β1_p

)

,^!,

(

α_p1,^!,α_pp,β_p1,^!,β_pp

)

lineer ba÷ımsızdır. L diferansiyel operatörüdür ve

1, , _p

B ! B sabittir. f = , 0 γ₁="=γ_p =0 durumunda probleme homojen problem denir. Homojen problem sadece aúikar çözüme sahipse, (2.10)-(2.11) probleminin en çok bir çözümü vardır; aúikar olmayan bir çözüme sahipse, bu durumda problemin ya çözümü yoktur ya da birden fazla çözümü vardır. [1]

Tanım 2.10. p boyutlu R uzayının iki vektörü _p w ve z olmak üzere

1

,

p i i i

w z w z

=

=

¦

reel sayısına w ve z vektörlerinin iç çarpımları denir. w z =, 0 ise iki vektör ortogonaldir. Ayrıca w w, =w₁²+"+w²_p = w² dir. Tüm z vektörleri için

, 0

w z = ise w sıfır vektörüdür. [1]

Tanım 2.11. M , R kp

(

≤ p

)

de k boyutlu lineer bir manifold olmak üzere buradaki M ye dik olan vektörlerin kümesine M nin ortogonal tümleyeni denir ve M^⊥ ile gösterilir. [1]

_



Tanım 2.12. R de _p v M∈ , w M∈ ^⊥ ve v w =, 0 olmak üzere

u= +v wŸ u ² = v ²+ w² (Pisagor Teoremi)

dir. v vektörü M de u vektörünün bir izdüúümüdür. [1]

Tanım 2.13. λ bir reel (veya karmaúık) parametre olmak üzere

^{d p x}

( )

^{du q x u}

( ) ( )

^{x u 0, a x b}

dx^§¨ dx^·¸− +λρ = ≤ ≤

© ¹ (2.12)

úeklindeki diferansiyel denklem ele alınsın. L diferansiyel operatörü

^{L u}

[ ]

^{d p x}

( )

^{du q x u}

( )

dx dx

§ ·

= − ¨ ¸+

© ¹ (2.13a)

olarak tanımlanırsa, (2.12) denklemi bu operatör yardımıyla

^{L u}

[ ]

−λρ

( )

^{x u}=⁰ (2.13b)

biçiminde de yazılabilir. Burada λ sayısına spektral parametre, ^ρ

( )

^x fonksiyonuna potansiyel fonksiyon denir. [1]

Tanım 2.14. (2.13a,b) denklemlerinin

( ) ( )

( ) ( )

'

1 11 12

'

2 21 22

0 0

B u u a u a

B u u b u b

α α

β β

= + = °½

= + = °¿¾ (2.14)

sınır koúullarını sa÷layan çözümünün bulunmasına Sturm-Liouville sınır de÷er problemi denir. Burada α₁₁, α₁₂, β₂₁, β₂₂ reel sabitler olup α₁₁² +α₁₂² ≠ ve 0

2 2

21 22 0

β +β ≠ dır. Özel olarak,

_



a) α₁₂ =β₂₂ = için (2.14) denklemleri 0

^{u a}

( )

^{=u b}

( )

⁼⁰

ile tanımlı Dirichlet koúuluna,

b) α₁₁=β₂₁ = için 0

^{u a'}

( )

^{=u b'}

( )

⁼⁰

ile tanımlı Neumann sınır koúuluna indirgenmektedir. [8]

Tanım 2.15. (2.12) ifadesi, λ spektral parametresine ba÷lı bir denklem ailesidir.

( )

⁰

u x = fonksiyonu λ parametresinin her bir de÷erinde denklemi ve verilmiú sınır úartlarını sa÷ladı÷ından aúikar bir çözümdür. E÷er bu homojen denklemin, λ parametresinin herhangi bir de÷erinde (2.14) homojen sınır koúullarını sa÷layan aúikâr çözümden baúka bir çözümü varsa, λ parametresinin bu de÷erine verilmiú sınır de÷er probleminin özde÷eri denir. Bu özde÷ere karúılık gelen çözüme ise problemin özfonksiyonu denir. Özde÷erlerin oluúturdu÷u kümeye de, verilmiú sınır de÷er probleminin spektrumu adı verilir. [8]

Tanım 2.16. ^ρ

( )

^{x >0, u x}

( )

^{ve v x}

( )

fonksiyonları ^x∈

[

^{a b,}

]

aralı÷ında tanımlı ve sürekli fonksiyonlar olmak üzere

^,

( ) ( ) ( )

b

a

u v _ρ =

³

ρ x u x v x dx

büyüklü÷üne ^{u x}

( )

^{ve v x}

( )

fonksiyonlarının ^ρ

( )

^x a÷ırlık fonksiyonuna göre skaler çarpımı denir. [8]

_



Tanım 2.17. Tanım 2.16 da ^{u x}

( )

^{=v x}

( )

oldu÷unda

( ) ( )

1 2 2

b

a

u _ρ = ®^­ ρ x u x dx^½¾

¯

³

¿

sayısına ^{u x}

( )

^{in ρ}

( )

^x fonksiyonuna göre normu denir. [8]

Tanım 2.18. Tanım 2.16 da ρ

( )

^{x ≡1} özel hali için

^,

( ) ( )

b

a

u v =

³

u x v x dx

ifadesine ^{u x}

( )

^{ve v x}

( )

fonksiyonlarının sadece skaler çarpımı denir. E÷er

, 0

u v = ise o halde ^{u x}

( )

^{ve v x}

( )

fonksiyonları

(

^{a b,}

)

aralı÷ında birbirine diktir denir. [8]

Tanım 2.19. a x b≤ ≤ aralı÷ında kompleks de÷erli iki fonksiyon ^{f x}

( )

^{ve g x}

( )

olmak üzere iç çarpımları

^,

( ) ( )

b

a

f g =

³

f x g x dx (2.15)

úeklindedir. Burada ^{g x ,}

( )

^{g x}

( )

fonksiyonunun eúleni÷idir. [2]

Tanım 2.20. Reel de÷iúkenli ^{u x}

( )

fonksiyonu, bir h komúulu÷unda

(

^{x h−}

)

ⁿⁱⁿ

kuvvetlerine göre Taylor serisine açılabiliyorsa bu fonksiyon h de analitiktir denir.

Bir

(

^{a b,}

)

aralı÷ının her noktasında analitik olan bir fonksiyon o aralıkta analitiktir denir.

_



Karmaúık de÷iúkenli ve tek de÷erli bir u fonksiyonu, D bölgesinin ancak bazı noktaları hariç di÷er noktalarında türevlenebiliyorsa, bu fonksiyon D bölgesinde analitiktir denir. E÷er bu fonksiyon D bölgesinin bütün noktalarında türevlenebiliyorsa buna düzgün analitik fonksiyon denir. Örne÷in,

( )

¹

1 u z z

z

= +

−

fonksiyonu, z = noktası hariç her yerde analitiktir. [9]1

Tanım 2.21. ^{u''+ p x u}

( )

^{'+q x u}

( )

⁼⁰ denkleminde ^{p x}

( )

^{ve q x}

( )

fonksiyonları x₀ noktasında analitik de÷il ise bu noktaya denklemin singüler noktası denir. [10]

Tanım 2.22. Aúa÷ıdaki koúulları sa÷layan (2.12)-(2.13) Sturm-Liouville problemine regüler Sturm-Liouville sınır de÷er problemi adı verilir:

a) ^{p x >}

( )

^0, ρ

( )

^{x >0}, ^x∈

[

^{a b,}

]

^,

b) ^{p x'}

( )

^,

[

^{a b,}

]

aralı÷ında süreklidir,

c) ^{q x}

( )

^{ve ρ}

( )

^x fonksiyonları

[

^{a b,}

]

aralı÷ında süreklidir, d) −∞ < < < ∞a b

Bu koúullardan herhangi biri bozuldu÷unda, singüler Sturm-Liouville sınır de÷er problemi ortaya çıkar. [8]

Tanım 2.23. Bir özde÷ere karúılık gelen tüm özfonksiyonlar birbirinin skaler çarpımı ise, bu özde÷ere basittir denir. [4]

Tanım 2.24. ^{G x}

(

^{, ;ξ λ}

)

fonksiyonuna Sturm-Liouville probleminin Green fonksiyonu denir. [8]

_



Tanım 2.25.

^{L u x}

[ ] ( )

^{d p x}

( )

^{du q x u}

( ) ( )

^{x u 0 a x b}

dx^ª dx^º λρ

= «¬ »¼+ + = < < (2.16)

diferansiyel denklemini

( ) ( )

( ) ( )

'

11 12

'

21 22

0 0

u a u a

u b u b

α α

β β

+ =

+ = (2.17)

sınır úartları ile birlikte ele alınsın.

(a) ^lim

( )

⁰

x a p x

→ + = veya ^lim

( )

⁰

x b p x

→ − = dır.

(b) ^{p x}

( )

^{, q x}

( )

^{veya ρ}

( )

^x fonksiyonlarından herhangi biri x→a veya x→b durumunda sınırsızdır.

(c)

(

^{a b,}

)

aralı÷ı sınırsızdır.

( (

^a,∞

) (

^{, −∞,b}

) (

^{, −∞ ∞,}

) )

Bu úartlardan en az birini sa÷layan (2.16)-(2.17) problemine singüler Sturm-Liouville problemi denir. [4]

Tanım 2.26. (2.16) denkleminde ^{p x}

( )

^{=x, q x}

( )

^{= −}υ^{2 x}, ρ

( )

^{x =x} ve a =0 alınarak elde edilen

( )

^{xu' '+§¨λx−υ}_x^{2 ·¸u=0}

© ¹ (2.18)

veya

2

'' '

2

1 0

u u u

x x

λ υ

§ ·

+ +¨ − ¸ =

© ¹ (2.19)

_



diferansiyel denklemine Bessel Diferansiyel Denklemi denir. Burada υ bir sayı, λ ise spektral parametredir. [4]

Tanım 2.27. ^{J x}υ

( )

fonksiyonuna birinici tipten ve υ ‘üncü mertebeden Bessel fonksiyonu denir. [4]

Tanım 2.28. Y xk

( )

fonksiyonuna ikinci tipten ve k’ıncı mertebeden Bessel fonksiyonu veya Weber fonksiyonu denir. Genel halde, keyfi υ de÷erleri için Weber fonksiyonları

( ) ( )

^cos

( )

sin

J x J x

Y x_υ ^υ υπ ^υ

υπ

− −

=

olarak tanımlanmaktadır. [4]

Tanım 2.29. (2.16) denkleminde ^{p x}

( )

^{= −1 x2, ρ}

( )

^{x =1, q x =}

( )

^{0, a = −1 ve b =1}

alınarak elde edilen

_¬^ª

(

^{1−x u2}

)

^'_¼^º'+λu=0 (2.20) veya

^'' 2 ₂ ^' ₂

1 1 0

u x u u

x x

− + λ =

− − (2.21)

denklemine Legendre Diferansiyel Denklemi, bu denklemin çözümlerine ise Legendre fonksiyonları denir. [4]

Tanım 2.30. (2.16) denkleminde ^{p x}

( )

^{=e−x2, q x ≡}

( )

^{0, ρ}

( )

^{x =e−x2, a = −∞ ve}

b = ∞ alınarak elde edilen

_



(

^{e u−x2 '}

)

^{'+λe u−x2} = (2.22) ⁰

veya

u^''−2xu^'+λu=0, − ∞ < < ∞ (2.23) x

denklemine Hermite Diferansiyel Denklemi denir.

_x^{lim e u x−x2}

( )

⁰

→±∞ = (2.24)

sınır koúulları altında ^{p x ≠}

( )

⁰ olmasına ra÷men geçerli oldu÷u aralık sonsuz oldu÷undan problem singüler bir Sturm-Liouville problemidir. (2.23) denkleminin (2.24) koúullarını sa÷layan çözümlerine Hermite fonksiyonları denir. [4]

Tanım 2.31. a =_n 2ⁿ alınarak elde edilen H xn

( )

polinomlarına Hermite polinomları denir. [4]

Tanım 2.32. Bir fonksiyonun

[

^{a ∞,}

)

aralı÷ında sonsuz sayıda kökü varsa, bu fonksiyona salınımlıdır denir. [4]

Teorem 2.1. Lineer Sistemler için Varlık ve Teklik Teoremi

( )

ij

( )

A t = ¬ªa t º¼ , n n× tipindeki bir matris fonksiyonu ve t0∈

(

a b,

)

olmak üzere

( )

f t vektörel bir fonksiyon olsun. Herhangi bir x baúlangıç vektörü için ₀

(

^{a b,}

)

aralı÷ında

X t^'

( )

=A t X t

( ) ( )

+ f t

( )

, x t

( )

0 =x0

baúlangıç de÷er probleminin tek çözümü vardır. [4]

_



Teorem 2.2. Rolle Teoremi

[ ]

: ,

f a b →R fonksiyonu sürekli ve ^{∀ ∈x}

(

^{a b,}

)

noktasında türevlenebilir olsun.

E÷er ^{f a}

( )

^{= f b}

( )

^ise

(

^{a b,}

)

aralı÷ında ^{f c ='}

( )

⁰ olacak úekilde en az bir c noktası vardır. [7]

Teorem 2.3. Bolzano-Weierstrass Teoremi

Her sınırlı reel sayı dizisinin en az bir yakınsak alt dizisi vardır. [7]

Teorem 2.4. Leibniz Formülü

f ve g fonksiyonları bir A⊂R cümlesi üzerinde n. mertebeden türevlenebilen fonksiyonlar ise f g⋅ fonksiyonu da n. mertebeden türevlenebilirdir ve

( )

^{( )}

( )

^{( )}

( )

^{( )}

( )

0

n n k n k

k

f g x n f x g x

k

−

=

⋅ = § ·¨ ¸

¦

© ¹

úeklindedir. [7]

Teorem 2.5.

Lu= f, a< <x b; B u₁ =γ₁,!,B u_p =γ_p (2.25)

olmak üzere (2.10)-(2.11) sınır de÷er problemi ele alınsın. (2.11) tipindeki sınır úartları ile birlikte

Lu =0, a< <x b; B u₁ =0,!,B u_p =0 (2.26)

homojen probleminin sadece aúikar çözümü varsa, (2.25) probleminin tek çözümü vardır. (2.26) problemi aúikar olmayan çözümlere sahip ise, (2.25) özel bir tip olmadıkça çözümü yoktur.

_



L v^∗ =0, a x b< < ; B v₁^∗ =0,!,B v^∗_p =0 (2.27)

ise bu problemin adjoint homojen problemidir. [1]

Teorem 2.6. n bilinmeyenli m lineer denklemler için: m n> ise denklem sisteminin çözümü yoktur; m n< ise denklem sisteminin sonsuz çözümü, m n= ise denklem sisteminin tek çözümü vardır. E÷er denklem sisteminin katsayılar determinantı sıfır ise ya çözüm yoktur ya da sonsuz çözüm vardır.

n bilinmeyenli m denklem kümesi

1 n

ij j i

j

a u f

=

¦

= ^{, i= !1, ,m} (2.28a)

úeklinde yada

Au= f (2.28b)

úeklinde tek bir denklem olarak yazılabilir. Burada A ,

( )

a katsayılarının ^ij m n× tipinde bir matrisi; f =

(

f1, ,! f_m

)

m boyutlu, u=

(

u1,!,u_n

)

n boyutlu birer vektördür. A matrisinin elemanları ve f vektörünün bileúenleri reel sayılar olarak alındı÷ından u çözümünün bileúenleri de reeldir. Böylece f ∈R_m, u∈R_n olmak üzere

:A R_n →R_m

lineer bir dönüúümdür.

(2.28a,b) incelendi÷inde u∈R_n ise Au R∈ _m dir ve v R∈ _m için

_



^*

1 1 1 1 1 1

, ,

m n n m n m

i ij j j ij i j ji j

m n

i j j i i j

Au v v a u u a v u a v u A v

= = = = = =

§ · § ·

= ¨ ¸= = ¨ ¸=

© ¹ © ¹

¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦

elde edilir. Burada A , ^* a_ij^* =a_ji ile n m× tipinde bir adjoint matristir. Böylece A , ^* A matrisinin satır ve sütunlarının yer de÷iúmesi ile oluúmuútur. A R^*: _m →R_n , m n= ve a_ij =a_ji ise matris simetriktir ve A= A^* dır.

(2.28a,b), iki problemi aynı anda içermektedir:

Au =0 (homojen denklem) (2.29) A u = (adjoint homojen denklem) (2.30) ^* 0

(2.29), (2.30) denkleminin f = alınmıú halidir. A karesel bir matris ise (2.29) ve 0 (2.30) aynı anlama gelir.

(2.28) denkleminin bir u çözümü bulunursa, _p u (2.29) denkleminin çözümü olmak _h üzere genel çözüm u u= _p+u_h úeklindedir. (2.29) in sadece sıfır çözümü varsa, (2.28) tek çözüme sahip olur. [1]

Teorem 2.7. ^{k x}

(

^,ξ

)

, a< <x b, a<ξ < karesel bölgesinde tanımlı reel de÷erli bir b fonksiyon olsun.

(

^,

) ( ) ( ) ( )

^,

b

a

k xξ u ξ dξ−u x = f x

³

^{a< <x b} (2.31)

homojen olmayan integral denklemine karúılık gelen homojen denklem,

(

^,

) ( ) ( )

^0,

b

a

k xξ u ξ dξ−u x =

³

^{a< <x b} (2.32)

ve adjoint homojen denklem,

_



(

^,

) ( ) ( )

^0,

b

a

k ξ x v ξ dξ−v x =

³

^{a< <x b} (2.33)

ele alınsın.

(a) (2.32) probleminin sadece aúikar çözümü varsa, (2.33) ve (2.31) problemlerinin tek çözümü vardır.

(b) (2.32) probleminin aúikar olmayan çözümleri varsa, (2.33) ve (2.31) problemlerinin çözümü vardır ⇔ (2.33) probleminin çözümü olan her v fonksiyonu,

( ) ( )

⁰

b

a

f x v x dx =

³

eúitli÷ini sa÷lar. [1]

Teorem 2.8. Homojen sınır úartları ile (2.25) problemi ele alınsın;

Lu= f, a< <x b; B u₁ ="=B u_p =0 (2.34)

(a) (2.26) homojen probleminin sadece aúikar çözümü varsa, (2.27) adjoint homojen probleminin ve (2.34) probleminin tek çözümü vardır.

(b) (2.26) probleminin k ba÷ımsız çözümü varsa, (2.27) probleminin de k ba÷ımsız çözümü vardır. Buradan (2.34) probleminin çözümü vardır ⇔

( )1 ( ) 0

b b k

a fv dx= = a fv dx=

³

^"

³

eúitli÷i sa÷lanır. Burada

(

^{v( )1,!,v( )k}

)

^{, (2.27)}

probleminin çözümlerinin kümesidir. Koúullar sa÷lanırsa, (2.34) probleminin genel çözümü u^+

¦

^k_i=1c u_i ^{( )i} olarak bulunur. Burada u, (2.34) probleminin özel bir çözümü;

{ }

ci , keyfi sabitler ve u^{( )1},!,u^{( )k} , (2.26) probleminin lineer ba÷ımsız çözümleridir. [1]

_



Teorem 2.9. Strum-Liouville Özde÷erleri

(2.12) denklemindeki ^{p x}

( )

^{, p x'}

( )

^{, q x}

( )

^{ve ρ}

( )

^x fonksiyonları

[

^{a b,}

]

aralı÷ında sürekli ve

[

^{a b,}

]

aralı÷ının her noktasında ^{p x >}

( )

^{0 ve ρ}

( )

^{x >0} olsun. Bu durumda (2.12)-(2.14) Strum-Liouville probleminin özde÷erleri, artan

λ₁<λ₂ <λ₃ <"<λ_n−1<λ_n <" (2.35)

reel sayı dizisini oluúturmaktadır ve

lim _n

n λ

→∞ = +∞ (2.36)

úeklindedir. Her λ_n özde÷erine, sabit katlar hariç, yalnız bir u xn

( )

özfonksiyonu karúılık gelir. Ayrıca, her ^x∈

[

^{a b,}

]

^{için q x ≥}

( )

⁰ ve (2.14) koúullarındaki α₁₁, α₁₂,

21,

β β₂₂ katsayıları negatif de÷il ise tüm özde÷erler de negatif de÷ildir. [6]

Tanım 2.33. (2.12)-(2.14) Sturm-Liouville probleminin özde÷erleri teorem 2.9 gibi sıralansın. λ_n özde÷erine karúılık gelen u xn

( )

özfonksiyonu, bir çarpımsal sabit ile hesaplanabilir. Her bir özfonksiyonun, çarpılaca÷ı keyfi sabit

²

( ) ( )

¹

b n a

u x ρ x dx=

³

^{n =1, 2,!}

úartını sa÷lamalıdır. Bu úarta normalleútirme úartı denir. [2]

Teorem 2.10. Fredholm Alternatifi

(2.28a,b) denkleminin çözüm veya çözümlerinin var olması için gerek ve yeter úart (2.30) denklemini sa÷layan her v için

_



f v, _m=0

olmasıdır. [1]

øspat.

Ÿ Kabul edelim ki (2.28a,b) denkleminin bir çözümü var olsun. O halde bir ) u çözümü için f = Au olur ve , _m , _m , ^*

f v = Au v = u A v n úeklindedir. Böylece (2.30) denklemini sa÷layan her v çözümü için f v, _m =0 elde edilir.

)

⇐ (2.30) denklemini sa÷layan her v için f v, _m =0 olsun. f vektörünün A aralı÷ında R nın bir elemanı olup olmadı÷ı incelensin. _A R bir lineer manifold _A oldu÷undan f vektörü, h R∈ _A ve h^⊥∈R_A^⊥ olmak üzere h h+ ^⊥ olarak ayrılabilir.

h^⊥ vektörü sadece h vektörüne de÷il, R nın bütün elemanlarına ortogonaldir: her _A

u∈Rn için 0 , , ^*

m n

Au h^⊥ u A h^⊥

= = ve buradan A h^{* ⊥} = olur. Böylece h0 ^⊥, (2.30) denkleminin bir çözümüdür. Kabulden f = +h h^⊥ vektörü de h^⊥ vektörüne ortogonal olur. h, h^⊥ vektörüne ortogonal oldu÷undan dolayı h^⊥ kendisine ortogonaldir. Yani h^⊥ = ve 0 f ∈R_Aelde edilir.

Tanım 2.34. n n× tipindeki bir A matrisi için öncelikle detA ≠0 regüler durumu ele alınsın. Bu durumda detA ≠ olur ve (2.29) ile (2.30) denklemleri sadece sıfır ^* 0 çözüme sahip olurlar. Böylece herhangi bir f vektörü için (2.28a,b) denklemlerinin, u=A f⁻1 úeklinde bir çözümü vardır. Buradaki A⁻¹, A matrisinin ters matrisidir. Bu matrise Green matrisi denir.

detA =0 singüler durumunda ise, A matrisinin satırları arasında lineer ba÷ımlılık vardır. E÷er lineer ba÷ımlı elemanlar f vektöründe ise (2.28a,b) denkleminin çözümü vardır. f = ise (2.29) homojen problemi, ço÷u durumda sıfır çözümü 0 olmasıyla birlikte, her zaman çözülebilir. (2.29) denkleminin ^k

(

^≤n

)

ba÷ımsız

_



çözümü varsa A matrisi, k boyutlu bir sıfır uzayı adını alır. A dan farklı bir sıfır uzayına sahip olmasına ra÷men A için de aynı durum geçerlidir. (2.30) denkleminin ^* k ba÷ımsız çözümlerinin kümesi v^{( )1},!,v^{( )k} , (2.29) denkleminin k ba÷ımsız çözümlerinin kümesi u^{( )1},!,u^{( )k} olmak üzere f vektörü, i= !1, ,k için

, ( )ⁱ 0

f v = úartlarını sa÷larsa (2.28a,b) denklemlerinin genel çözümü

^{( )}

1

k i

p i

i

u u c u

=

= +

¦

olur. Burada u , (2.28a,b) denkleminin özel bir çözümüdür. [1] _p

Teorem 2.11. øntegral Hesabının Birinci Ortalama De÷er Teoremi

f ve g ,

[

^{a b,}

]

aralı÷ında tanımlı ve g ile fg bu aralıkta integrallenebilir olsun. g ,

[

^{a b,}

]

üzerinde her yerde aynı iúaretli ve f sınırlı ise

[

^{inf ,supf f}

]

aralı÷ında öyle bir k sabiti vardır ki

( ) ( ) ( )

b b

a a

f x g x dx k g x dx=

³ ³

dır. E÷er f fonksiyonu

[

^{a b,}

]

de sürekli ise

[

^{a b,}

]

aralı÷ındaki en az bir x₀ noktası için

( ) ( ) ( )

0

( )

b b

a a

f x g x dx= f x g x dx

³ ³

olur. [7]



BÖLÜM 3. TEK NOKTALI SINIR DEöER PROBLEMLERø

Bu bölümde Lu = f diferansiyel denkleminin x ekseni üzerinde bulunan bir I aralı÷ındaki çözümlerine de÷inilecektir. L , (2.1) úeklinde lineer, .p mertebeden adi diferansiyel operatör olup k= !1, ,polmak üzere

{

a xk

( ) }

katsayıları I da sürekli,

( )

⁰

a x ≠p ve x noktası a xp

( )

in bir singüler noktasıdır. Homojen olmayan ^{f x}

( )

fonksiyonunun aynı aralık üzerinde parçalı sürekli oldu÷u kabul edilirse Lu = f denkleminin bir çözümü olarak

(

^{p −1 .}

)

mertebeden sürekli, .p mertebeden parçalı sürekli türevlere sahip ve f fonksiyonunun bütün noktalarında sürekli olan bir ^{u x}

( )

fonksiyonu alınabilir.

Teorem 3.1. Lineer Denklemler için Varlık ve Teklik Teoremi

L , (2.1) tipinde bir operatör; I da a x ≠p

( )

⁰; x , I da sabit bir nokta; ₀ γ₁,^!,γ_p verilen sayılar ve ^{f x}

( )

, I da parçalı sürekli bir fonksiyon olsun. x I∈ olmak üzere

Lu = f baúlangıç de÷er probleminin (2.2) koúulları altında tek çözümü vardır.

øspat. y₁= , u y₂ =u^', ! , y_n =u⁽ⁿ⁻¹⁾ olsun. Baúlangıç de÷er problemi

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

'

1 0 2 0 1 0

'

0 0 1 2

1

1 '

0 1 0 1 0 0 0 0 0

,

p , p p

p

p p

p p p

y x y x y x u

y x y x y x u

y x u

y x a x y x a x y x f x

− −

−

−

−

= =

= =

=

= − − − +

#

"

(3.1)

_



sistemine indirgenir. (3.1) sistemini matris formunda y x^'

( )

0 = A x y x

( ) ( )

0 0 +g x

( )

0

úeklinde kısaltılırsa, A x

( )

0 katsayısı −a x0

( )

0 ,!,−a_p−1

( )

x0 , 0 veya 1; g x

( )

0

fonksiyonu ise 0 veya f x

( )

0 olarak bulunur. a x0

( )

0 , ,! a_n−1

( )

x0 _ve f x

( )

0 ,

(

^{a b,}

)

aralı÷ında sürekli ise A x

( )

0 katsayısı ve g x

( )

0 fonksiyonu da süreklidir. Böylece teorem 2.1 in sonucu olarak, baúlangıç de÷er probleminin

(

^{a b,}

)

aralı÷ında tek çözümü vardır. (3.1) sistemi de baúlangıç de÷er problemine eúit oldu÷undan, (2.1)-(2.2) denklem sisteminin de

(

^{a b,}

)

aralı÷ında tek çözümü vardır.

Lu =0 homojen probleminin u x

( )

0 ="=u^(p−1)

( )

x0 =0 homojen sınır úartları altındaki tek çözümü u ≡0 úeklindedir.

Teorem 3.2. u₁,!,u_p, Lu =0 probleminin çözümleri olmak üzere bu çözümlerin lineer ba÷ımlı olması için gerek ve yeter úart x₀∈ noktasında Wronskianlarının I sıfır olmasıdır.

øspat. u₁,!,u_p, I üzerinde lineer ba÷ımlı ise biri di÷erinin katı olarak yazılabilir.

Determinantın herhangi iki satırı, bir di÷erinin sabit katı olarak yazılmıú oldu÷unda de÷eri sıfır olur. Dolayısıyla da W =0 bulunur. Tersine W u

(

1,!,u x =_p; 0

)

0 ise

c u x1 1

( )

0 +"+c u x_{p p}

( )

0 =0, #

c u1 1^(p−1)

( )

x0 +"+c u_{p p}^(p−1)

( )

x0 =0

oldu÷undan

(

c1,!,c_p

)

aúikar olmayan çözümlerin varlı÷ı için gerek ve yeter úart elde edilir. Buradan U x

( )

=c u x1 1

( )

+"+c u xp p

( )

úeklindedir ve U, homojen diferansiyel denklemin U x

( )

0 =U x^'

( )

0 ="=U^(p−1)

( )

x0 =0 baúlangıç úartlarını sa÷layan çözümüdür. Teorem 3.1 den dolayı U ≡0 olup

{

u x1

( )

,!,u_p

( )

x

}

kümesi lineer ba÷ımlı olmuú olur.

_



Teorem 3.3. u x1

( )

, ,! u x_p

( )

, baúlangıç de÷er probleminin

{

^{0;1, 0, 0,!, 0}

}

_x0^,

{

^{0;0,1, 0,!, 0}

}

_x0^,…,

{

^{0;0, 0, 0,!,1}

}

_x0 úartlarını sa÷layan çözümleri olsunlar. Bu durumda

(

u1,!,u_p

)

kümesi lineer ba÷ımsızdır ve homojen denklemin her çözümü,

1, , _p

c ! c sabitleri yardımı ile u=c u_{1 1}+"+c u_{p p} úeklinde yazılabilir.

øspat. W u

(

1,!,u x = ≠_p; 0

)

1 0 oldu÷undan

(

u1,!,u_p

)

kümesi lineer ba÷ımsızdır.

Buradan,

a u x1 1

( )

0 +"+a u xp p

( )

0 =u x

( )

0

#

1 1^{( 1)}

( )

0 ^{( 1)}

( )

0 ^{( 1)}

( )

0

p p p

p p

a u ⁻ x +"+a u ⁻ x =u ⁻ x

yazılabilir. Burada , a₁,!,a_p bilinmeyenlerdir. Wronskian sıfırdan farklı oldu÷u için katsayılar determinantı da sıfır de÷ildir ve denklem sisteminin tek çözümü vardır.

Yukarıdaki sistemde a₁=c₁,!,a_p =c_p alınırsa,

u x

( )

=c u x1 1

( )

+c u x2 2

( )

+"+c u xp p

( )

elde edilir.

Lu =0 denkleminin herhangi p ba÷ımsız çözümleri bu denklemin bir bazıdır.

0 0

x = , u₁ =cosx, u₂ =sinx alınarak u^''+ = denkleminin u 0

{

^{cos ,sinx x}

}

bazı elde edilebilir. Ayrıca v x1

( )

=cosx+sinx ve v2

( )

x =2cosx−3sinx fonksiyonları da bu denklem için bir baúka baz oluúturur.

−∞ < < ∞x aralı÷ında ap

( )

x ≠⁰; ^uξ

( )

^x , Lu=0 homojen denkleminin