4. q- GAMMA VE q-BETA FONKS YONLARININ NTEGRAL
4.2. Temel Özellikler
1) ∈a olmak üzere a reel sayısının q-analo u
[ ]
qa q
a
q −
= − 1
1 , q∈ \{1}
dir.
2) ∈n için
[ ]
nq!=[1]q[2]q...[n]qq q q
q q
q n
−
−
−
−
−
= −
1 ...1 1 1 1
1 2
dir.
3)
[ ]
[ ] [ ]
! !!
q q
q
q n k k
n k
n
= −
dir.
50
4) x,y∈ , 0<q<1, k∈ olmak üzere
k k kx q xy y
qy yq
qx xq
=
=
=
dir.
5) ∈a , 0< q<1 olmak üzere
) 1
)...(
1 )(
1 ( ) ,
(a q k = −a −aq −aqk−1 dir.
Tanım 4.1: Bir f fonksiyonunun [0, a] aralı ındaki q integrali
∞
=
−
=
a
n
n n
qx q f aq aq
d x f
0 0
) ( ) ( ) 1 ( )
(
dir.
Tanım 4.2: f fonksiyonunun sınırsız aralıktaki q integrali
∞ ∞
−∞
=
−
=
A
n
n n
q A
f q A q q
x d x f
/ 0
) 1 ( )
(
dir.
Teorem 4.1:
∏
∞=
∞ = −
<
<
0
) 1
( )
; ( , 1
|
| , 1
|
|
k
aqk q
a q
x olmak üzere,
∞
= ∞
= ∞
0 ( ; )
)
; ( )
; (
)
; ( k
k k k
q x
q x ax
q q
q
a (4.1)
dir.
51
Buradan,
∞ oldu undan böylece
∞
elde edilir. Di er taraftan
1 olup buradan
)
bulunur. Ayrıca
52 olup buradan
)
53
elde edilir. Buradan
)
yazılabilir.
Bu ba ıntı ardı ık olarak n- defa uygulanırsa )
olup böylece
= ∞ Teorem 4.1 den a a ıdaki sonuçları elde edebiliriz:
54 Sonuçlar
a) = ∞
∞
= ( ; )
1 )
;
0(q q x q x
n n
n |x|<1, |q|<1
dir.
b) ∞ ∞
=
−
=( ; ) )
;
0 (
) 2 1 (
q q x
q x q
n n
n n n
c) N
k
k k k q
q x x k q
N ( 1) ( ; )
0
2 =
−
∞
=
d)
k N
k
qx x q
k k N
)
; ( 1 1
0
− =
∞ +
=
, |x|<1
dir.
imdi ise Gamma ve Beta integralinin q−analo unu bulurken de i imize yarayacak olan
∏
−=
+
= +
1 0
) (
) (
n j
j n
q a q b
b
a ∈n + (4.6)
∏
∞=
∞ = +
+
0
) 1 ( )
1 (
j
j
q q a
a (4.7)
∞
∞
+
= + +
q t t q
q q a
a a
) 1 (
) 1 ) (
1
( ∈t C (4.8)
notasyonlarını dikkate alalım.
55 4.3. q- Gamma Fonksiyonu
Euler Gamma fonksiyonunun bir q- analo u
t
q t q
q q
q
t q −
∞
∞ −
=
Γ (1 )1
)
; (
)
; ) (
( (4.9)
eklinde verilir. Bu ise
x d E x
t q
q
qqx q t
−
−
= −
Γ
1 1
0
) 1
( (4.10)
integral gösterilimine denktir.
Gerçekten, q-integral tanımından
∞
=
−
−
−
−
− −
=
0 1
1
0 1
1 ) 1
1 (
j
j j
q q
qqx t
q f q q q q
x d E x
q qj q
j t
t j j
E q q q
q q −
+
∞ −
= −
−
− −
−
= 1
1
0 1
) 1 (
) 1 1 ( ) 1 (
∞
=
− +
−
− −
=
0
1 1
) 1
1
j (
q qj t q
jt
E q q
∞
=
+
− − −
−
=
0
1
1 1
) 1 (
1
j
j jt q
t q
E q q q
∞
=
+ ∞
− −
=
0
1
1 ( ; )
) 1 (
1
j
j jt
t q q q
q
(4.11)
dir. Di er yandan,
n n j
j
jt q q S
q →∞
∞
=
+ ; )∞ = lim (
0
1
=
=
+ ∞
∞
→ n k
k kt n
q q q
0
1; ) (
lim
56
{
+ ∞}
∞
∞ ∞
→ + + +
= lim (q;q) qt(q2;q) ... qnt(qn 1;q)
n
−
−
− +
− + +
= ∞ →∞
) 1 )...(
1 )(
1 ( 1 ...
1 lim )
;
( 2 n
nt t
n q q q
q q
q q q
=
∞ =
∞ →
n
k k
kt
n q q
q q q
0( ; ) lim
)
;
( (4.12)
∞
= ∞
)
; ( ) 1
; (
q q q
q t
dir.
(4.12), (4.11) de yerine yazılırsa
t q t
q
qx q t
q q
q q
q x q
d E x
t −
∞
∞
−
−
− = −
=
Γ 1
1 1
0
1 (1 )
)
; (
)
; ) (
(
oldu u görülür.
4.4. Beta ntegralinin q- Analo u
Tanım 4.1:
x d q x q
q
x qx q
q
β ∞
− ∞
= α
β α β
)
; (
)
; ) (
, (
1
0
1 (4.13)
ifadesine Beta ntegralinin q-analo u denir.
Beta integralinin q-analo unu, gamma fonksiyonlarının analogları cinsinden elde edebiliriz. Gerçekten
x d q x q
q
x qx q
q
β ∞
− ∞
= α
β α β
)
; (
)
; ) (
, (
1
0 1
n n
n n
n q
q q
q q q
q
+ ∞ β
+ ∞
∞
=
−
− α
=
)
; (
)
; ) (
1 (
1 0
) 1 (
57
oldu undan
n
oldu undan
∞ bulunur. (4.16), (4.15) de yerine yazılırsa
58
4.5. Üstel Fonksiyonun q- Analo u
Üstel fonksiyonun iki tane q-analo u vardır ve bunlar
∞
eklindedir. imdi bu e itlikleri elde etmeye çalı alım:
59
Sonuç b) de x yerine −(1−q)x yazarsak;
∞
=
− = − − ∞
−
0
2 / ) 1
( ( (1 ) ; )
) 1 (
)
;
n (
n n n n
n q x q
q q q q x
bulunur. Bu ise (4.19) un do ru oldu unu gösterir.
Sonuç a) da x yerine (1−q)x yazılırsa (4.20) kolayca elde edilir.
Gamma fonksiyonunun sınırlı aralık için q− analog gösterilimini elde ettik. Aralık sınırsız oldu unda Gamma fonksiyonunun q− analo unu bulmak istiyoruz. Bunun için öncelikle
t q t
q t
x x x t x
x
K + + −
= + 1 (1 )1
1 1 )
;
( (4.21)
çekirdek fonksiyonunu göz önüne almak gerekir.
4.6. K(x;t) Fonksiyonunun Özellikleri
1) K( tx; ) fonksiyonu x de i kenine göre bir q− sabittir.
2) K(x;t)=qt(t−1)/2 dir.
3) t t
q
x x t x
K = − +
→
1 0
)
; (
lim dır.
spat: 1) K(qx;t)=K(x;t) oldu unu gösterece iz.
t t q
t
q x
x q
qx
qx +
+ +
=
+ − 1
1 1
1 1 1 1
1
( )
q t t(
x)
q tx x
qx q −
− − +
+
= +
+ 1
1 1 1
1 1 1
ba ıntıları
60 ifadesinde yerine yazılırsa
q t bulunur.
2) q t
61
3) q t
t q t
q q
x x x t x
x
K −
→
→ + +
= + 1
0 0
) 1 1 ( 1 1
lim )
; ( lim
∞
−
∞
∞
∞
→ +
+ +
+
= +
q t
q
q t t q
q q x
x
x q
x x
x
) 1
(
) 1 ( 1
1 1 lim 1
0 1
∞
−
∞
∞ ∞
→
+ +
+ +
= +
t q q
t
q q
q t
x x q
q x x x
x
) 1
( 1
) 1 1 ( 1 1 lim
0 1
∞
−
∞
→
∞ ∞
→
+ +
+ +
= +
q t q
t q
q q q
t
x x q
q x x x
x
) 1
( 1
lim
) 1 1 ( 1 lim 1
1 0
0
) 1 1 (
1 1 x
x x xt
+ + +
=
t
t x
x +
= −1 dir.
Sınırsız aralıkta Gamma fonksiyonunun q−integrali
x d e x t
A K
t qx q
q A
q ∞ − t −
= −
Γ
) 1 ( /
0
) 1
, ( )
( (4.22)
biçimindedir. imdi bunu görelim:
f fonksiyonunun q−integrali tanımında
x q t e x x
f( )= −1 − alınırsa;
62
toplamını hesaplayalım. Bunun için
Ramanujan özde li inden yararlanaca ız.
Ramanujan özde li inin
∞
63
bulunur. Bu bulunan de er (4.23) de yerine yazılırsa
)
elde edilir.
4.7. Sınırsız Aralıkta Beta ntegralinin q- Analo u Sınırsız aralıkta Beta integralinin q−analo u
x Ramanujan özde li inden yararlanaca ız.
O halde,
tanımından
∞
64
yazılabilir. Ramanujan özde li inde
A alırsak;
∞
bulunur. Bu son bulunan toplam de eri (4.25) de yerine yazılırsa
∞ elde edilir.
Ayrıca Γq(t) için (4.10) formülü, genelle tirilmi integral aracılı ıyla
65 x d E x
t q
q
qx q t q
−
∞ − −
= Γ
1 /
0
) 1
(
q qn
n
t q t n n
E q q q
q q −
− +
∞
−∞
= −
−
− −
−
= 1
1
1 ) 1 (
) 1 1 ( ) 1 (
q qn
n
t q nt
E q
q q −
− +
∞
−∞
= −
−
= 1
1
) 1 ( ) 1 (
q qn
n
q nt
t q E
q
−
− +
∞
−∞
− =
= − 1
1
) 1 1 (
1
− +
= −
− +
∞
=
−
− +
∞
−∞
− =
q qn
n nt q q
qn
n nt q
t q E q E
q
1 1
0 1
1
) 1
1 (
1
q qn
n nt q
t q E
q
−
− +
∞
− =
−
= 1
1
1 0 ) 1 (
1
biçiminde yazılabilir. Çünkü, n<0 için
0 ) 1
( 1
1 1
=
−
= + ∞
−
− +
n q q
qn
q q
E dır.
x d E x
t q qx q
q q t
− −
∞
= −
Γ
1 /
0
) 1
(
gösteriliminde ∞ 1/ −q yerine ∞ alınırsa ıraksak bir seri elde edilir. Yani f fonksiyonunun sınırsız aralıktaki q integrali
∞
−∞
=
∞
−
=
n
n
qx q f qn q
d x
f( ) (1 ) ( )
0
66
biçiminde alınırsa yukarıdaki seri ıraksak çıkar. Gerçekten, f(x)=xt−1 Eq−qx alarak bunu görelim:
n n
qn q t n q
qx q
t E d x q q E q
x
∞
−∞
=
− +
∞ −
−
− = − ( 1) 1
0
1 (1 )
∞
−∞
=
− +
−
=
n
qn q ntE q
q) 1
1 (
∞
∞ +
−∞
=
−
−
−
= n q
n
nt q q
q
q) (1 (1 ) ) 1
( 1
dir. Di er yandan Raabe Testinden, pozitif terimli bir ak serisi verildi inde
a s a
k k k
k + − =
∞
→
1
lim 1
olmak üzere
i) s<−1 iken ak <∞,
ii) s>−1 iken ak serisi ıraksaktır yazabiliriz.
∞
∞ +
=
−
− n q
n
nt q q
q (1 (1 ) 1) 0
pozitif terimleri serisine Raabe Testini uygularsak
− −
−
−
= −
− + ∞
∞ + +
∞
→ +
∞
→ 1
) ) 1 ( 1 (
) ) 1 ( 1 lim (
1
lim 1
2 )
1 ( 1
n q nt
q n t
n n n
n
n q q q
q q n q
a n a
− −
= − + ∞
∞
→ 1
) ) 1 ( 1 (
lim 1
q n t
n q q
n q
) 1 (
lim −
= →∞ t n
q n
∞
=
bulunur. Bu ise ∞ + ∞
=
−
− n q
n
nt q q
q (1 (1 ) 1) 0
serisinin ıraksak oldu unu gösterir.
Dolayısıyla ∞ + ∞
−∞
=
−
− n q
n
nt q q
q (1 (1 ) 1) serisi de ıraksaktır.
67
imdi f fonksiyonunun q−integralinin hangi ko ullar altında mevcut oldu unu ara tıralım.
Not: f fonksiyonunun sınırlı aralıktaki q− integralinin
∞
=
−
=
0 0
) ( )
1 ( )
(
n
n q n
a
a q af q q x
d x f
oldu unu biliyoruz. Buradaki serinin yakınsak olması için x=0 ın sa kom ulu unda c>0, α>−1 için
< cxα
x f( )|
|
olmalıdır. f fonksiyonunun sınırsız aralıktaki integralinin
∞
−∞
=
∞
−
=
n
n n q
A
A f q A q q
x d x
f( ) (1 )
/
0
oldu unu biliyoruz. Bu serinin yakınsak olması için 0 , 1 ,
0 ), , 0
[ ε > α>− ε>
∈
∀x c iken
< cxα
x f( )|
| ve
>0
D β<−1 N >0 ∀x∈[N,∞) iken
< Dxβ
x f( )|
| olması yeterlidir.
Teorem 4.2: q−integrallenebilir bir f fonkisyonunun q−integrali için
a) d x
f x x x
d x
f q
A
A q q
A ∞
= /
/ 2 0
1 ) 1
(
b) d x
f x x x
d x
f q
A q
A ∞
∞
=
.
0 2
/ 0
1 ) 1
(
özellikleri geçerlidir.
68
69
∞
−∞
=
−
=
n n n
A q f A q
q 1 1
) 1 (
∞
−∞
= − −
−
=
n n n
A q f A q
q 1 1
) 1 (
∞
−∞
=
−
=
n
n n
A f q A q) q
1 (
x d x
f q
∞ A
=
/
0
) (
dir. Böylece ispat tamamlanmı olur.
Tanım 4.3: f verilmi bir fonksiyon olmak üzere
x qx
x f qx f
−
− ( ) )
(
oranına f in q−türevi denir ve
x qx
x f qx x f
f Dq
−
= ( )− ( ) )
( eklinde gösterilir.
Teorem 4.3: ∈n + ve t,s,a,b,A,B∈ olsun. Bu taktirde,
1) Dqxt =[t]xt−1,
2) Dq(Ax+b)nq =[n]A(Ax+b)nq−1, 3) Dq(a+Bx)nq =[n]B(a+Bqx)nq−1, 4) Dq(1+Bx)tq =[t]B(1+Bqx)tq−1,
5) 1 1
( )
1) 1 ( ] [ ] [ )
1 ( ] [ ) 1
( + +
−
− + + −
+ = qt
s t
q s tq
s
q Bx
s Ax t B Bx
s Ax Bx
D Ax
dir.
70
spat: Tanım 4.3 den hareketle (4.6), (4.7) ve (4.8) e itliklerinin göz önüne alınmasıyla
1) 1 [ ] 1
1 ) 1 ( )
1 (
) 1 ( ) 1 (
−
− =
−
= −
−
= −
−
= − t
t t t
t t t t t
q t x
q x q
q x
q x q
x x x x q D olur.
2) ( 1)
) (
) ) (
( −
+
−
= +
+ x q
b Ax b
b Aqx Ax D
nq nq
n q q
yazabiliriz. Di er yandan,
) )...(
)(
( )
(Aqx+b nq = Aqx+b Aqx+qb Aqx+qn−1b ) (
)...
( )
(Aqx+b q Ax+b q Ax+qn−2b
=
) )...(
)(
( 2
1 Aqx b Ax b Ax q b
qn− + + + n−
=
) )...(
)(
( )
(Ax+b nq = Ax+b Ax+qb Ax+qn−1b dır. Buradan da
[
( ) ( )]
) )...(
)(
( ) (
)
(Aqx+b nq − Ax+b nq = Ax+b Ax+qb Ax+qn−2b qn−1 Aqx+b − Ax+qn−1b
[
Aq x bq Ax q b]
b q Ax qb Ax b
Ax )( )...( n 2 ) n n 1 n 1
( + + + − + − − − −
=
) 1
( + −
= Ax b nq Ax(qn −1)
olup bulunan bu de er q−türev tanımında yazılırsa
) 1 (
) 1 ( )
) ( (
1
−
−
= + +
−
q x
q Ax b
b Ax Ax D
n nq
n q q
q A q b Ax
n n
q −
+ −
= −
1 ) 1 ) (
( 1
] [ )
(Ax+b nq−1An
= elde edilir.
71
3) Benzer ekilde q− türev tanımından
) 1 (
) (
) ) (
( −
+
−
= +
+ x q
Bx a Bqx Bx a
a D
n q n q
q q
yazılabilir. Di er yandan,
) )...(
)(
( )
(a+Bqx nq = a+Bqx a+Bq2x a+Bqnx
) )...(
)(
( )
(a+Bx nq = a+Bx a+Bqx a+Bqn−1x oldu unu biliyoruz. Buradan,
[
( ) ( )]
) )...(
)(
( ) (
)
(a+Bqx nq − a+Bx nq = a+Bqx a+Bq2x a+Bqn−1x a+Bqnx − a+Bx )
1 ( )
( + 1 −
= a Bqx nq− B qn
elde edilir. Bu de er q− türev tanımında yerine yazılırsa
) 1 (
) 1 ( ) ) (
(
1
−
−
= + +
−
q x
q Bx Bqx Bx a
a D
n nq
n q q
q Bqx q
a B
n n
q −
+ −
= −
1 ) 1 ) (
( 1
) 1
( ]
[ + −
= n B a Bqx nq bulunur.
4) q− türev tanımından
) 1 (
) 1 ( ) 1 ) ( 1
( −
+
−
= +
+ x q
Bx Bx Bqx
D
tq tq
t q q
dır. Ayrıca,
)...
1 )(
1 (
)...
1 )(
1 )...(
1 )(
1 ( ) 1
(
) 1 ) (
1
( 1 2
2
1 Bq x Bq x
x Bq x
Bq x
Bq Bqx
x Bq Bqx Bqx
t t
t t t
q t t q
q + +
+
∞ +
∞
+ +
+ +
+
= + +
= + +
) 1
)...(
1 )(
1
( +Bqx +Bq2x +Bqtx
=
72
oldu unu biliyoruz. Buradan,
[
(1 ) (1 )]
yazılabilir. Di er yandan,
∞
73 oldu unu biliyoruz. Buradan,
− +
olup bu son bulunan de er q− türev tanımında yerine yazılırsa
elde edilir.
74
5. TARTI MA VE SONUÇ
Bu tezde önce kompleks analizdeki temel Türev Operatörleri ortaya konmu ve daha sonra bu operatörler yardımıyla yazılabilen homogen ve homogen olmayan Cauchy-Riemann denklemleri için Dirichlet, Schwarz ve Neumann sınır de er problemleri incelenmi tir. Bu problemlerin en temeli yani hareket noktası wz =0 homogen Cauchy-Riemann denklemi için incelenen sınır de er problemidir. Di er problemler buna dayanarak incelenir.
Bu problemler klasik anlamda Cauchy- ntegral formülü ve bunun de i ik versiyonları yardımıyla çözülmektedir. Di er taraftan kompleks e risel integraller, bir aralıkta tanımlanan Riemann ntegraline dönü türülerek hesaplanmaktadır. Bilindi i gibi bir f(x) fonksiyonunun q−integrali de bir aralıkta Riemann ntegraline benzer bir tanımla verilmektedir.
Bu tezde verilen ve klasik anlamda e risel integrallerle incelenen problemlerin q−analizinde incelenmesi henüz yapılmamı tır. leri bir a ama ve ara tırma konusu olarak Homogen Cauchy-Riemann denklemi için sınır-de er problemi q−analizi metotları ile incelenebilir. Bunun için önce
Cacuhy-ntegral formülünün q−analizindeki kar ılı ını belirlemek gerekir.
75
KAYNAKLAR
1. H.A. Schwarz, Zur Integration der partiellen Differentialgleichung 0
/
/ 2 2 2
2 ∂ +∂ ∂ =
∂ u x u y . J.reine angew. Math. 74 (1872), 218-253.
2. A. Calderon and A. Zygmund, On the Existence of Certain Singular Integrals, Acta Math. 88, 85-139, 1952.
3. I.N. Vekua, Generalized Analytic Functions, Pergamon Press, Oxford, 1962.
4. F.D. Gakhov, Boundary Value Problems, Pergamon Press, Oxford, 1966.
5. W. Tutschke, Lösung nichtlinearer parteller
Differentialgleichungssysteme erster Ordnung in der Ebene durch Verwendung einer komplexen Normalform, Math. Nachr., 75, 283-298, 1976.
6. W. Tutschke, Partielle komplexe Differentialgleichungen in einer und mehreren komplexe Variablen. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1977.
7. W. Tutschke, Partielle Differentialgleichungen, klassische, Funktionalanalytische und komplexe Methoden, TEUBNER-TEXTE zur Mathematik, Bond 27, 1983.
8. N.J. Muskhelishvili, Singular Integral Equations. Dover, New York, 1992.
9. H. Begehr, Complex Analytic Methods for Partial Differential Equations, World Scientific, Singapore. New Jersey, London, Hong Kong, 1994.
10. H. Begehr, A Hierarchy of Integral Operators, Rocky Mountain J. Math, 27, 669-706, 1997.
76
11. H. Begehr and G.N. Hile, Higher Order Cacuhy-Pompeiu Operator Theory for Complex and Hypercomplex Analysis, Eds. E. Ramirez de Arellano et ol. Contemp. Math, 212, 41-49, 1998.
12. G. Andrews, R. Askey, R. Roy, Special Functions, volume 71, Cambridge University Press, Cambridge, 1999.
13. W. Tutschke, Funktionentheorie 2, TU Graz, 2000.
14. H. Begehr and C.J. Vanegas, Neumann Problem in complex analysis, Proc. 11, 2003
15. H. Begehr, Boundary Value Problems in Complex Analysis I, II, Boletin de la Asociacion Matematica Venezolana, Vol. XII, No:1, 2005.