POİSSON DAĞILIMI

POİSSON DAĞILIMI

Poisson Dağılımı sürekli ortamlarda (zaman, alan, hacim, … ) kesikli sonuçlar veren ve aşağıda a),b),c) şıklarında belirtilen özelliklere sahip deneylerin modellenmesinde kullanılan bir dağılımdır. Örneğin :

1) Belli bir zaman aralığında bir yoldan geçen arabaların sayısının gözlenmesi, 2) Belli bir zaman aralığında bir radyoaktif maddenin ışınladığı parçacık sayısının gözlenmesi,

3) Belli bir zaman arlığında bir mağazaya gelen müşterilerin sayısının gözlenmesi,

4) Seyrek rastlanılan bir hastalık için belli bir zaman araalığında bu hastalığa yakalananların sayısının gözlenmesi,

5) Belli bir bölgeye düşen gök cisimlerinin sayısının gözlenmesi,

6) Belli bir bölgede bulunan yaban hayvanlarının sayısının gözlenmesi, durumlarında Poisson Dağılımı kullanılabilir. Poisson bir matematikçi ismi olup puason olarak telâfuz edilir.

Poisson Dağılımı ile ilgili açıklamaları ortamın zaman olması halinde yapalım. (0,t



zaman aralığında meydana gelen sonuçların (bir olayın gerçekleşme) sayısı X olsun. Sonuçları ortaya çıkaran deney ile ilgili aşağıdaki özellikler geçerli olsun :

a) Küçük t uzunluklu bir zaman aralığında bir başarı elde etme olasılığı t ile orantılıdır. b) Küçük t uzunluklu bir zaman aralığında iki veya daha çok başarı elde etme olasılığı

yaklaşık olarak sıfırdır.

c) t uzunluklu ayrık aralıklar için elde edilen sonuçlar bağımsız birer Bernoulli Denemesidir.



(0,t zaman aralığında meydana gelen sonuç sayısı X , kesikli bir rasgele değişken olmak üzere, X ‘in aldığı değerler x = 0,1,2,… dır. X ‘in olasılık fonksiyonunu bulmaya çalışalım.



(0,t aralığını yeterince küçük t uzunluklu, n t t 

 tane alt aralığı parçalayalım. Belli bir parçada 0 veya 1 tane sonuç ortaya çıkabilir diyebiliriz. t zaman aralığında bir sonuç çıkması veya çıkmaması bir Bernoulli Denemesi olup, sonucun ortaya çıkması olasılığı t ile orantılıdır. Bu olasılık, c bir sabit olmak üzere, p c t olsun. (0,t



aralığında n tane t

uzunluklu ayrık aralık bulunmakta ve bu aralıklarda bağımsız sonuçlar veren p c t

olasılıklı Bernoulli Denemeleri gerçekleşmektedir. O zaman (0,t



aralığında elde edilen sonuçların sayısı b n( t ,p c t)

t

  

t n t     , t np c t ct t       olmak üzere, ( , ) t b n p c t t     Binom Dağılımındaki olasılıkların limitleri Poisson Dağılımındaki olasılıkları verecektir. Başka bir ifade ile, (0,t



zaman aralığında meydana gelen sonuç sayısı olan ve Poisson dağılımına sahip olan X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu,

0 lim

/

lim

( )

(

)

(

) (1

)

( ) (1

)

t n t _x x t

n

x n x

t

t

f x

P X

x

c t

c t

x

n

n

x





    _            _{ }  





 



 







!



lim . . 1 . 1 ! ! x n x x n n x n x n n n       _{   }   _{ }  _{ }  _ _        lim



1 ...(



( 1)) 1 . 1 ! x n x x n n n n x x n n n          _{   }   _{ }  _{ }  _ _       ! x e x _   , x = 0,1,2,3,... dır.



1 (



2)...( ( 1)) 1 2 1 1 1 ... 1 n 1 x n n n n x n x n n n n n      _  _  _   _  _           1 1 x n n     _  _     1 n n e n      _  _    

X Poisson Dağılımına sahip bir rasgele değişken olduğunda,

( 1) 0 0 ( ) ( ) X t et t t dM t E X e e dt         

 

2 2 2 ( 1) ( 1) 2 2 0 0 ( ) ( ) X t et t et t t d M t E X e e e e dt               

 

2 2 2 2 ( ) ( ) Var X E X  EX      

dır. Poisson Dağılımının parametresi olan  ( (0, )) sayısı aynı zamanda dağılımın beklenen değeri (ortalaması) ve varyansıdır.



parametresinin bazı değerleri için Poisson dağılımının olasılık fonksiyonunun grafikleri aşağıdaki gibidir.

20



 30



 0.5





Örnek 1 Bir hastanenin acil servisine 10 dakikalık bir zaman aralığında ortalama 3 hasta

gelmektedir. Bu zaman aralığında, a) hasta gelmemesi olasılığı nedir? b) bir hasta gelmesi olasılığı nedir? c) en az 5 hasta gelmesi olasılığı nedir?

10 dakikalık bir zaman aralığında gelen hasta sayısı X ‘in



3 olan Poisson Dağılımına sahip olduğu düşünülebilir. X ‘in olasılık fonksiyonu,

3 3 ( ) , 0,1, 2,... ! x e f x x x    olmak üzere, a) P X(  0) e3= 0.049787 b) 3 1 3 3 ( 1) 3 1! e P X e      = 0.14936 c) P X( 5) 1 P X( 5) 3 0 3 1 3 2 3 3 3 4 1 (0) (1) (2) (3) (4) 3 3 3 3 3 1 0! 1! 2! 3! 4! f f f f f e e e e e             = 0.18474 dır. >> x=0:4 ; 1-sum(poisspdf(x,3)) ans = 0.18474

Örnek 2 Bir kentin içinde bir ayda ortalama 300, bir günde ortalama 10 trafik kazası olmaktadır. Belli bir gün için meydana gelen kaza sayısının,

a) 10

b) 10 dan az c) 10 dan çok olması olasılığı nedir?

X – bir günde meydana gelen kaza sayısı olsun. X ‘in



10 olan Poisson Dağılımına sahip olduğu düşünülebilir. X ‘in olasılık fonksiyonu,

Örnek 3 Bir daktilografın yazdığı bir sayfalık bir yazıda hatalı karakter sayısı (X)



0.5

ortalama ile Poisson dağılımına sahiptir. Bu kişinin yazdığı bir sayfalık bir yazıda, a) hiç hata olmaması

b) 1 hata olması

c) hata sayısının 5 den çok olması olasılığı nedir?

X ‘in olasılık fonksiyonu,

0.5 0.5 ( ) , 0,1, 2,... ! x e f x x x    olmak üzere, a) P X(  0) e0.5= 0.60653 b) 0.5_0.51 ( 1) 1! e P X     0.30327 c) 0.5 4 0 0.5 ( 5) 1 ( 4) 1 ! x x e P X P X x        



0.00017212 >> x=0:4 ;1-sum(poisspdf(x,0.5)) ans = 0.00017212

Örnek 4 Belli bir ürünün kusurlu olması olasılığı 0.0001 dir. Üretilen 20000 adet ürün içinde kusurlu olanların sayısının 5 den çok olması olasılığı nedir?

X rasgele değişkeni 20000 tane ürün içinde kusurlu olanların sayısı olsun. Bir ürünün kusurlu olup olmaması diğerlerinden bağımsız ise X rasgele değişkeni Binom Dağılımına sahip

olur. ( 20000, 1 ) 10000 X b n p olmak üzere, 20000 4 0 20000 1 9999 ( 5) 1 ( 4) 1 10000 10000 x x x P X P X x = 0.052644 dır. >>x=0:4 ; 1-sum(binopdf(x,20000,0.0001)) ans = 0.052644 , 0 ,

n p np olduğunda, b n p( , ) Binom Dağılımındaki olasılıklar Poisson Dağılımındaki olasılıklara yakınsar (Ödev). O zaman, büyük n ve küçük p için b n p( , ) Binom Dağlımı ile ilgili olasılık hesaplamaları yaklaşık olarak np olan Poisson Dağılımında yapılabilir. Buna göre, yukarıdaki olasılık hesabı için 20000 1 2

Bir X rasgele değişkeni aldığı değerleri eşit olasılıkla alıyorsa düzgün dağılıma sahiptir denir. Düzgün dağılıma sahip bir X rasgele değişkeninin aldığı değerler xx x₁, ₂,...,x_n olmak üzere olasılık fonksiyonu,

dır.

Özel olarak X ´in aldığı değerler, x1, 2,...,n olduğunda, 1 ( ) f x n  x1, 2,...,n 1 2 3 ... n 1 1 1 1 ( ) ... n n n n x f x 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 .... n n i i x x_i i E X x f x x f x i n n n n n   











        ( 1) 1 ₂ 1 (1 2 .... ) 2 n n _n n n n   _       2 2 2 1 (1² 2² ... ²) 2 ( ) i n n n x n x Var X n n       _{  }   _{ } 



 2 ( 1)(2 1) 1 6 2 ³ ² 1 12 12 n n n n n n n n n n   _{ }          

Örnek 1 Düzgün bir tavla zarı atılması deneyinde üste gelen nokta sayısı X olsun. X ‘in olasılık fnksiynu,

( ) 1 1, 2,3, 4,5, 6 6 f x  x olasılık tablosu, 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 ( ) _{6 6 6 6 6} x f x

olasılık fonksiyonunun grafiği,

0 , 1 1 , 1 2 6 2 , 2 3 _{0 , 1} 6 3 ( ) ( ) , 3 4 , 1 6 6 6 1 , 6 4 , 4 5 6 5 , 5 6 6 1 , 6 x x x _x x F x P X x x x x x x x dağılım fonksiyonunun grafiği,

beklenen değeri, 1 6 1 ( ) 3.5 2 2 n E X      varyansı, ² 1 35 ( ) 2,9167 12 12 n Var X     standart sapması, 35 1.7078 12 X    dır.

Bu zarla oynanan bir oyunda üste gelen her nokta için 50 TL kazanıldığında,

oyunun dürüst olması için oyun kaç TL´ye oynatılmalıdır?

50

K Xa a : oyuna giris icin verilen para.

Oyunun dürüst olması için E K ( ) 0 olmalıdır. ( ) 50 ( ) 0 50 3.5 175 TL E K E X a a a      

1.85 2.16 2.41 2.56 2.81 2.86 2.9 2.96 3.05 3.11 3.12 3.17 3.28 3.32 3.72 4.06 4.18 4.19 5.18

olsun. n =20 olmak üzere, rasgele değişkenin her bir değeri alması olasılığı 1/20 olup olasılık fonksiyonu, 1 2 20 1 ( ) , 1.33 , 1.85 , ... , 5.18 20 f x  x  x  x  ve dağılım fonksiyonu, 1 1 1 0 , 0 , 1.33 ( ) , , 1, 2,..., 1 , , 1, 2,...,19 20 1 , 1 , 5.38 i i i i n x x x i i F x x x x i n x x x i n x x x           _     _           

dır. Dağılım fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.

Dirac Dağılımı

(Bir Noktada Yoğunlaşmış Dağılım)

( , , )U P bir olasılık uzayı olmak üzere, ( ) X X c       

gibi bir rasgele değişkenin dağılımına bir noktada yoğunlaşmış dağılım denir. Esasında X rasgele değişkeni c değerini alan sabit bir fonksiyondur. D ={c} olmak üzere, X rasgele _X değişkenin olasılık fonksiyonu,

( ) 1 , f x x c olasılık tablosu, x c ( ) ( ) f x P X x 1 dağılım fonksiyonu, ( ) 0 , 1 , x c F x x c     _  ve





2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( - ( )) - ( - ( ) ( - ) .1 0 x x E X xf x c Var X E X X E X c x c f x c c        





_X( ) ( tX) tx ( ) ct , x M t  e 



e f x e t dır.

c=0 olduğunda sıfır noktasında yoğunlaşmış dağılım ortaya çıkmaktadır. Sıfır noktasında yoğunlaşmış dağılıma Dirac dağılımı denir.

Dirac dağılımının olasılık fonksiyonu, f x( ) 1 , x 0 olasılık tablosu, x 0 ( ) ( ) f x P X x 1 dağılım fonksiyonu, 0 , 0 ( ) 1 , 1 x F x x     _  ve E X( )0 , Var X( ) 0 , M_X( ) 1 ,t  t

dır. Dirac dağılımının olasılık fonksiyonu ile dağılım fonksiyonunun grafikleri,

Bazı Kesikli Dağılımlar Düzgün Dağılım o.f. 1 2 1 , x x x, ,...,x_n n  m.ç.f. 1 , n i i x t e t n  



ortalama 1 n j j x x n  



varyans





2 1 n i i x x n  



parametre





1, 2,..., n , 1,2,... x x x  n Bernoulli Dağılımı

 

1, b p o.f. m.ç.f. ortalama varyans parametre





1 1 x, =0,1 x p p  x 1 p pet , t p



1



p p





(0,1) , n 1,2,...   p Binom o.f.



1



n x, = 0,1,...,n x n p p x x    _     b n p



,



m.ç.f.



_{1 t}



n_, p pe t    ortalama np varyans _np



₁_p



parametre _p_{(0,1) , n}



_1,2,...



Hipergeometrik o.f. m.ç.f. ortalama varyans parametre a N a N x n x n         _        

Poisson o.f. , 0,1, 2,... ! x e x x _   m.ç.f. 1 , t e e t       _ ortalama



varyans



parametre (0, ) Geometrik o.f.





1 1 p x p, =1,2,...x m.ç.f.





, ln(1 ) 1 1 t t pe t p p e      ortalama 1 p varyans 2 1 p p  parametre p(0,1)

Negatif Binom o.f.