Ünite02 Özdeşlikler Denklemler ve Esitsizlikler

Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;

• temel

özdeşlikleri ve binom açılımını,

• birinci ve ikinci dereceden denklem çözümlerini ve bu

denk-lemler yardımıyla çözülebilen probdenk-lemleri ,

• birinci ve ikinci dereceden eşitsizliklerin çözümünün

bulunması-nı,

• bir iki terimli ile bir üç terimlinin işaretinin incelenmesini,

• yüksek dereceden bazı denklemlerin çözümlerinin bulunmasını

öğrenmiş olacaksınız.

İçindekiler

• Giriş

37

• Özdeşlikler ve Binom Açılımı

37

• Denklemler

46

• Eşitsizlikler

62

• Yüksek Dereceden Denklemler

73

• Değerlendirme Soruları 78

ÜNİTE

2

Özdeşlikler, Denklemler

ve Eşitsizlikler

Yazar

• Üniteyi çok dikkatli okuyunuz

• Mutlaka yazarak çalışınız

• Çözümleri size bırakılan soruları kendiniz çözüp cevaplarınızı

karşılaştırınız

• Benzer sorular yazıp çözmeye çalışınız

• Ezberlemeye

değil öğrenmeye çalışınız

• Bu

konuların büyük bölümü liselerde okutulduğu için lise

bilgi-lerinizi hatırlayınız

• Zaman zaman hesap makinesine ihtiyaç duyabilirsiniz,

müm-künse, yanınızda bir hesap makinesi bulundurunuz.

1. Giriş

Günlük yaşantımızda sıkça karşılaştığımız ve dört işlemle çözmekte zorlandığımız hatta bazen çözemediğimiz problemleri denklemler yardımıyla kolayca çözebil-mekteyiz. Ancak bundan daha önemlisi gerek matematik ve gerekse uygulamalı bi-limlerde pek çok problemin çözümü bir denklemin çözümüne indirgenebilmekte-dir. Bu nedenle denklem çözümlerinin bilinmesi matematikçiler açısından oldukça önemli olmuş ve matematikçiler asırlar boyunca her tür denklemin çözümünde iz-lenebilecek bir yöntem bulmaya çalışmışlardır. Ancak her tür denklemin çözümün-de izlenebilecek belirli bir yöntemin verilemeyeceği görülmüş ve çözümün-denklemler sınıf-lara ayrısınıf-larak her bir sınıf için bir çözüm yöntemi verilmeye çalışılmıştır. Bugün da-hi pek çok denklem için kesin çözüm yöntemi verilememektedir. Kesin çözüm yön-temi verilemeyen denklemlerin kökleri,günümüzde özellikle bilgisayarlar yardı-mıyla yaklaşık olarak istenilen hassasiyette bulunabilmektedir.

Bu ünitede bazı özdeşlikleri ve Binom (iki terimli) eşitliğini hatırlattıktan sonra bi-rinci ve ikinci dereceden (polinom) denklemler ile çözümleri bu tür denklemlerin çözümüne indirgenebilen bazı denklemlerden söz edeceğiz. Daha sonra matemati-ğin denklemler kadar önemli bir konusu olan ve denklemlerle çok yakından ilgili olan eşitsizlik çözümlerini ele alacağız.

2. Özdeşlikler ve Binom Açılımı

Kısa kenar uzunluğu 2 birim, uzun kenar uzunluğu 5 birim olan bir dikdörtgenin alanının 10 birim kare; kısa kenar uzunluğu 2,4 birim, uzun kenar uzunluğu 3 birim olan bir dikdörtgenin alanının ise 7,2 birim kare olduğunu biliyoruz. Burada dik-dörtgenlerin alanlarını bulmak için kısa kenar uzunlukları ile uzun kenar uzunluk-larını çarpıyoruz. Neden böyle buluyoruz sorusuna cevap vermek konumuz ve amacımız dışındadır. Aslında bu sorudan önce alan nedir sorusunu sormamız gere-kir. Bu soru ise bugün fen fakültelerinin matematik bölümlerinin ancak son sınıfla-rında öğretilen ve matematiğin bir dalı olan ölçüm kuramının doğmasına neden ol-muştur. Dikdörtgenin alanının bulunması ile ilgili "bir dikdörtgenin alanının kaç bi-rim kare olduğunu bulmak için dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu ile uzun kenar uzunluğunu çarpıyoruz" ifadesini; A alan, x kısa kenar uzunluğu, y uzun kenar uzunluğu olmak üzere A = x.y şeklinde kısaca ifade edebiliriz. Benzer şekilde yarı-çapı r birim olan bir dairenin alanını da A = π r2 _{şeklinde ifade edebiliriz. Alan}

formülleri de dediğimiz bu ifadeler, genellik ve kısalık sağlamanın yanında işlem yapma imkanı da sağlamaktadır. Örneğin

"bir dikdörtgende karşılıklı iki kenarın uzunlukları 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanı ne kadar değişir?"

Kenar uzunlukları x ve y birim olan bir dikdörtgenin x birim uzunluğundaki kenar-larının uzunlukları 1 birim artırılsın. Bu durumda yeni dikdörtgenin kenar uzun-lukları x +1 ile y birim olduğundan alanı (x + 1). y = x.y + y birim kare olur. Dikdört-genin alanındaki değişme miktarı, son alan ile ilk alan arasındaki fark olduğundan, bu fark x.y + y - x.y = y birim karedir. Buna göre bir dikdörtgenin ayrıtlarından biri-sinin uzunluğu 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanındaki değişme miktarı, diğer kenarın uzunluğu kadar birim karedir diyebiliriz.

Yukarıdaki soruya x,y gibi harfleri kullanmadan cevap vermeye çalışınız.

Bu tip sorulara kelimelerle, sözlerle cevap vermek genellikle kolay değildir. Keli-meler, sözler yerine harfleri ve sembolleri kullandığımızda bu tür sorulara daha ko-lay cevap verebiliriz. Harfler ve semboller içeren ifadelere cebirsel ifadeler diyece-ğiz.

Örneğin,

xy, πr2_{, 2x + 5 , 3x}2 _{- 4x +1,}

şeklindeki ifadeler birer cebirsel ifadedir. Buna göre, harfler ve sayılarla ilgili topla-ma, çıkartopla-ma, çarpma ve bölme işlemlerinin yanında kuvvet altopla-ma, kök alma gibi işlemlerden bazılarını veya hepsini içeren ifadelere cebirsel ifade, ifadelerde bu-lunan ve herhangi bir gerçel sayıyı temsil eden x,y,r,..,t gibi harflere de değişken veya bilinmeyen diyoruz. Cebirsel ifadelerde değişkenler yerine sayılar yazılıp gerekli işlemler yapılarak ifadenin sayısal değeri bulunur. Örneğin 3x2_{- 4x +1}

ifade-sinin x = -2 için sayısal değeri 3(-2)2 _{- 4(-2) + 1 = 12 + 8 +1 = 21 dir.}

İki cebirsel ifade değişkenlerin her değeri için aynı sayısal değeri alıyorsa bu iki ifadeye özdeştir diyoruz. Örneğin x2 _{- 1 ile (x - 1)(x + 1) ifadesini ele alalım. İkinci}

ifadedeki çarpma işlemini ve gerekli kısaltmaları yaparsak, (x -1)(x + 1)= x.x + x.1 - 1.x -1.1 = x2 _{- 1}

buluruz. Dolayısıyla her x gerçel sayısı için x2 _{- 1 = (x - 1)(x + 1)}

dır. Bu nedenle bu iki ifade özdeştir diyoruz.

Bir problemde bir ifade yerine onun özdeşi alınabilir.

İki ifadenin özdeşliği ≡ işareti ile ifade edilirse de sıkça kullanılan özdeşliklerde bu işaret yerine = işareti de kullanılmakta hatta tercih edilmektedir.

?

x2 _{+ 1, x + 1} x2 _{+ 1} , 3x 2 _{- y}2 _{+ 2, x}3 2 _{+ y}3 , 1 2 gt 2

x + y ifadesinin pozitif tam kuvvetleriyle ilgili özdeşlikler sıkça kullanılmaktadır. Şimdi bu özdeşlikleri ele alalım.

(x + y)2 _{= (x + y) (x + y) = x.x + x.y + y.x + y.y = x}2 _{+ 2xy + y}2 _olduğundan

dir.

x ve y pozitif gerçel sayı olduğunda bu özdeşliğin (eşitliğin) doğruluğunu geomet-rik olarak da görmek mümkündür. Bunun için (x + y)2 _{sayısını, bir kenar}

uzun-luğu x + y olan bir karenin, x2 _{ile y}2 _{yi de sırasıyla bir kenar uzunluğu x ve y}

olan karelerin alanları olarak düşünebiliriz. Buna göre özdeşliğin doğruluğu aşağı-daki şekilden kolayca görülebilir.

Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazarsak aşağıdaki özdeşliği elde ederiz.

x > y > 0 için bu eşitliğin doğruluğunu aşağıdaki şekilden görmeye çalışınız.

Her x , y ∈∈∈∈ IR için (x + y)2 _{= x}2 _{+ 2xy + y}2

2 y x x y x y y x xy y2 xy x2

Bir diğer özdeşlik,

Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için sağ taraftaki çarpma işlemini yapmak ye-terlidir. x ve y nin pozitif sayı olması durumunda bu özdeşliğin doğruluğunu geo-metrik olarak da görmek mümkündür.

Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için

(x + y)3 _{= (x + y)}2_{(x + y) = (x}2 _{+ 2xy + y}2_{)(x +y)} y y y y x xy xy x - y x - y y y x x y2 x2 Şekil 2.1 Her x , y ∈∈∈∈ IR için x2 _{- y}2 _{= (x - y) (x + y)} x x - y y y A B C D y2 x - y2 2 x y x - y2 2 x + y A B C D Şekil 2.2

çarpma işlemini yapmak yeterlidir. Bu özdeşliği pozitif x ve y için geometrik olarak doğrulamak için aşağıdaki şekli inceleyiniz.

Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazılırsa,

bulunur.

Her zaman karşımıza çıkan,

özdeşliklerini de unutmamalıyız.

Son iki eşitlikte sağ taraftaki çarpma işlemi yapılarak özdeşliğin doğruluğu ispatla-nabilir. Bunlara benzer şekilde

(x + y)4 _{= (x + y)( x + y)}3 _{= (x + y)(x}3 _{+ 3x}2_{y + 3xy}2 _{+ y}3₎

= x4 _+3x3_{y +3x}2_y2 _{+ xy}3 _{+ yx}3 _+3x2_y2 _+3xy3 _{+ y}4

= x4 _{+ 4x}3_{y + 6x}2_y2 _{+ 4xy}3 _{+ y}4

dır. O halde,

(x + y)2 _{, (x + y)}3_{, (x + y)}4 _{ifadelerinin açılımları , n doğal sayı olmak üzere (x +}

y)n _{nin Newton Binom Açılımı’nın (formülünün) özel halleridir. Bu açılım,}

şeklindedir. Bu özdeşlik tümevarım yöntemi ile ispatlanabilir.

Burada olduğu gibi k∈ IN olmak üzere 1.2.3.4...k çarpımına k faktöriyel denir ve k! şeklinde gösterilir. Örneğin 3! = 1.2.3 = 6, 5!=1.2.3.4.5 = 120 dir.

0! = 1 olarak tanımlanır. Faktöriyel tanımından sonra Binom Açılımını şöyle yazabi-liriz.

Her x , y ∈∈∈∈ IR için (x - y)3 _{= x}3 _{- 3x}2 _{y + 3xy}2 _{- y}3

Her x, y ∈∈∈∈ IR için (x + y)4 _{= x}4 _{+ 4x}3_{y + 6x}2_y2 _{+ 4xy}3 _{+ y}4

x + yn _{= x}n _{+ n} 1 x n-1_{y +} n n - 1 1.2 x n-2 _y2 ₊ n n - 1 n - 2 1.2.3 x n-3 _y3 _{+ ...} + n n - 1 n - 2 n -3 ... n - k + 1 1.2.3...k x n-k _yk _{+ ... +} n n - 1 ...2.1 1.2.3...n y n

Her x , y ∈∈∈∈ IR için x3 _{+ y}3 _{= (x + y)(x}2 _{- xy +y}2₎

Binom formülü biraz karmaşık gibi görünse de uygulaması oldukça kolaydır. For-mülden de açıkça görüldüğü gibi, bu açılımda;

i) terim sayısı n + 1 dir,

ii) ilk terim xn _{dir ve x in kuvvetleri birer birer azalırken y nin kuvvetleri birer}

birer artar ve son terim yn _olur,

iii) her terimde x ile y nin kuvvetleri toplamı n dir,

iv) baştan k + 1 -inci terim, A katsayı olmak üzere Axn-k _yk _{dır ve burada A}

kat-sayısının payı n den başlayan birer birer azalan k tane tamsayının çarpımı, pay-dası ise k! dir.

Örnek:

= x10 _{+ 10 x}9_{y + 45 x}8 _y2 _{+ 120 x}7 _y3 _{+ 210 x}6 _y4 _{+ 252 x}5 _y5 _{+ 210 x}4 _y6

+ 120 x3 _y7 _{+ 45 x}2 _y6 _{+10 x y}9 _{+ y}10 _.

Örnek :

(2y)2 _{= 2}2 _y2 _{= 4y}2 _{, (2y)}3 _{= 2}3_y3 _{= 8y}3_{, (2y)}4 ₌₂4 _y 4 _{= 16y}4 _olduğundan

(x + 2y)4 _{= x}4 _{+ 8x}3_{y + 24x}2_y2 _{+ 32xy}3 _{+ 16y}4

dir. Bu açılımda ikinci terimin 2y olduğuna ve 2y nin kuvvetlerinin alındığına dik-kat ediniz. x + yn _{= x}n _{+ n} 1! x n-1 _{y +} n n - 1 2! x n-2_y2 ₊ n n - 1 n - 2 3! x n-3 _y3 _{+ ...} + n n - 1 n - 2 n -3 ... n - k + 1 k! x n-k _yk _{+ ... + y}n x + y10 _{= x}10 _{+ 10} 1 x 9_{y + 10.9} 1.2 x 8 _y2 _{+ 10.9.8} 1.2.3 x 7 _y3 _{+ 10.9.8.7} 1.2.3.4 x 6 _y4 _{+ 10.9.8.7.6} 1.2.3.4.5 x 5_y5 + 10.9.8.7.6.5 1.2.3.4.5.6 x 4 _y6 _{+ 10.9.8.7.6.5.4} 1.2.3.4.5.6.7 x 3 _y7 _{+ 10.9.8.7.6.5.4.3} 1.2.3.4.5.6.7.8 x 2 _y8 + 10.9.8.7.6.5.4.3.2 1.2.3.4.5.6.7.8.9 xy 9 _{+ y}10 x + 2y4 = x4 _{+ 4} 1 x 3 _{2y + 4.3} 1.2 x 2 _2y2 _{+ 4.3.2} 1.2.3 x 2y 3 _{+ 4.3.2.1} 1.2.3.4 2y 4 = x4 _{+ 4x}3 _{2y + 6x}2 _2y2 _{+ 4x 2y} 3 _{+ 2y}4

Örnek :

= 32x5 _{– 80 x}4_{y + 80x}3_y2_{- 40x}2_y3 _{+ 10xy}4 _{– y}5 _.

Burada da birinci terimin 2x, ikinci terimin –y olduğuna ve bunların kuvvetlerinin alındığına dikkat ediniz.

Örnek: 1002 . 998 = (1000 + 2)(1000 – 2) =10002 _{– 2}2 _{= 1000 000 – 4 = 999 996.} Örnek : 472 _{= (50 – 3)}2 _{= 50}2 _{- 2.50.3 + 3}2 _{= 2500 - 300 + 9 =2209 ,} veya 472 _{= (40 + 7)}2 _{= 40}2 _{+ 2.40.7 +7}2 _{= 1600 + 560 + 49 = 2209.} Örnek:

Toplamaları 50, çarpımları 481 olan iki gerçel sayının kareleri toplamı kaçtır? Bu sayılardan birincisine x, ikincisine y diyelim. Buna göre x + y = 50 , xy = 481 olur. Diğer taraftan (x + y)2 _{= x}2 _{+ 2xy + y}2 _{= (x}2 _{+ y}2 _{) + 2xy olduğundan}

502 _{= (x}2 _{+ y}2 _{) + 2 . 481 olur. Buradan da x}2 _{+ y}2 _{= 50}2 _{- 962 = 2500 - 962 = 1538}

bulunur.

Binom açılımında baştan k+1 -inci terimin katsayısının

olduğunu belirtmiştik. Bu sayı kısaca şeklinde de gösterilir. Buna göre

dir. Özel olarak alınır. Buna göre örneğin

dir. 2x - y 5 = 2x + -y 5 = 2x 5 + 5 1! 2x 4_{-y + 5.4} 2! 2x 3 _-y 2 _{+ 5.4.3} 3! 2x 2 _-y 3 + 5.4.3.2 4! 2x -y 4 _{+ -y} 5 n n - 1 n - 2 ... n - k + 1 1.2.3.4...k n k n k = n n - 1 n - 2 ... n - k + 1 1.2.3.4...k = n n - 1 n - 2 ... n - k + 1 k! n 0 = 1 4 0 = 1, 4 1 = 4 1 = 4, 4 2 = 4.3 1.2 = 6, 4 3 = 4.3.2 1.2.3 = 4, 4 4 = 4.3.2.1 1.2.3.4 = 1

yazılabilir. Bu ifadenin sağ tarafında payın 1.2.3.4... n = n! , paydanın ise (1.2.3...k)[1.2.3...(n-k)] = k! . (n-k)! olduğu görülebilir. Bu kısaltmalardan sonra,

şu şekilde yazılabilir:

Bu gösterimden sonra Binom formülünü şöyle de ifade edebiliriz.

Örnek:

= x7 _{+ 7x}6_{y + 21x}5_y2 _{+ 35x}4_y3 _{+ 35x}3_y4 _{+ 21x}2_y5 _{+ 7xy}6 _{+ y}7 _.

Örnek:

(x + y)11 _{in Binom açılımında x}4_y7 _{teriminin katsayısı kaçtır?}

Çözüm:

Binom açılımında xn-k _yk _{teriminin katsayısı dır. Burada k nın y nin kuvveti}

olduğuna dikkat ediniz. Buna göre, x4_y7 _{nin katsayısı dır.}

Şimdi (x + y) nin pozitif tam kuvvetlerinin açılımları ile bu açılımlardaki katsayılara birlikte bir göz atalım.

n n - 1 ... n - k + 1 1.2.3...k = n n - 1 n - 2 ... n - k - 1 1.2.3.4...k . n - k n - k + 1 n - k + 2 ... n - n - 2 n - n - 1 n - k n - k + 1 n - k + 2 ... n - n - 2 n - n - 1 n k n k = n ! k ! n - k !, n ∈ IN , k ∈ IN x + y7 ₌ 7 0 x7 ₊ 7 1 x6 _{y +} 7 2 x5 _y2 ₊ 7 3 x4 _y3 ₊ 7 4 x3 _y4 ₊ 7 5 x2 _y5 ₊ 7 6 xy6 ₊ 7 7 y7 = x7 _{+ 7!} 1!.6! x 6_{y + 7!} 2!.5! x 5_y2 _{+ 7!} 3!.4! x 4_y3 _{+ 7!} 4!.3! x 3_y4 _{+ 7!} 5!.2! x 2_y5 _{+ 7!} 6!.1! xy 6 _{+ 7!} 7!.0! y 7 n k ₁₁ 7 = 11! 7!.4! = 330 x + yn ₌ n 0 xn ₊ n 1 xn-1 _{y +} n 2 xn-2 _y2 _{+ .. +} n k xn-k _yk _{+.. + n} n y n _{, n ∈∈∈∈ IN , k ∈∈∈∈ IN}

(x + y) = x + y 1 1 (x + y)2 _{= x}2 _{+ 2xy + y}2 _{1 2 1} (x + y)3 _{= x}3 _{+ 3x}2_{y + 3xy}2 _{+ y}3 _{1 3 3 1} (x + y)4 _{= x}4 _{+ 4x}3_{y + 6x}2_y2 _{+ 4xy}3 _{+ y}4 _{1 4 6 4 1} (x + y)5 _{= x}5 _{+ 5x}4_{y + 10x}3_y2 _{+ 10x}2_y3 _{+ 5xy}4 _{+ y}5 _{1 5 10 10 5 1} (x + y)6 _{= x}6 _{+ 6x}5_{y + 15x}4_y2 _{+ 20x}3_y3 _{+ 15x}2_y4 _{+ 6xy}5 _{+ y}6 _{1 6 15 20 15 6 1} . . . .

Yukarıda katsayıların oluşturduğu üçgen biçimindeki tablodan açılımla ilgili şu özellikleri görüyoruz. Bu açılımlarda n. satırda ilk katsayı 1, ikinci katsayı n, diğer katsayılar ise bir üst satırda o katsayının üstündeki sayı ile onun solundaki sayının toplamıdır. Örneğin üçüncü satırdaki 3, üstündeki 2 ile 2 nin solundaki 1 in toplamı-na, 6-ıncı satırdaki ikinci 15 de üstündeki 5 ile 5 in solundaki 10 nun toplamına eşit-tir. Bu kural diğer bütün katsayılar için de geçerlidir. Bunun doğruluğunu tablodan kolayca görebilirsiniz. Bu üçgende 7-inci satır, x + y nin 7-inci kuvvetinin açılımın-daki katsayılardan oluşacaktır. 6-ıncı satıraçılımın-daki katsayılar bilindikten sonra 7-inci sa-tırdaki katsayılar, yukarıda açıklamaya çalıştığımız kuralla kolayca bulunabilir. Bu katsayılar, 1,7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 dir. Binom açılımında katsayıların bulunmasında ol-dukça kolaylık sağlayan bu tabloya Pascal Üçgeni denilmektedir. x + y nin n-inci kuvvetinin açılımındaki katsayıları Pascal üçgeni ile bulabilmek için (n-1)-inci kuv-vetin açılımındaki katsayıların (yani Pascal Üçgeninde n-1 -inci satırın) bilinmesi gerekmektedir. Bu n büyüdükçe Pascal üçgeninin uygulanabilirliğini kısıtlayan bir özelliktir.

3. Denklemler

Matematiğin önemli kavramlarından birisi olan denklem kavramı matematiğin ge-lişmesine önemli katkılar sağlamıştır. Bundan başka uygulamalı bilimlerde de pek çok problemin çözümü bir denklemin veya denklemler sisteminin çözümüne indir-genebilmektedir. Bu nedenle denklem çözümlerinde izlenebilecek kesin yöntemler bulmak matematik kadar uygulamalı bilimler açısından da önem taşımaktadır. Da-ha öncede ifade ettiğimiz gibi her tür denklemin çözümünde izlenebilecek kesin bir yöntem yoktur. Bu nedenle denklemler çeşitli sınıflara ayrılır ve her sınıf için izlene-bilecek çözüm yöntemleri verilmeye çalışılır. Biz bu kesimde birinci ve ikinci dere-ceden polinom denklem çözümlerini ayrıntılı olarak inceleyeceğiz. Daha sonra yük-sek dereceden bazı özel polinom denklemlerin nasıl çözülebileceğine dair örnekler vereceğiz. Trigonometrik , üstel ve logaritmik denklemlerin çözümlerini de ilgili bö-lümlerde açıklayacağız.

Bir kişi cebindeki para ile 5 kiloluk karpuz alırsa parası 40 000 lira eksik geliyor, bu-nun yerine bu kişi 3 kiloluk karpuz alıyor ve cebinde 70 000 lira parası kalıyor. Buna göre karpuzun fiyatı kaç liradır?

Uzun ve kısa kenar uzunlukları toplamı 50 birim, alanı 481 birim kare olan dikdört-genin kenarları kaç birimdir?

Sorulardan birincisini, bazı kimseler biraz uğraşarak bazıları ise fazla uğraşmadan, dört işlemle çözebilir, ancak ikinci soruya dört işlemle ya da şekle bakarak doğru ce-vap vermemiz oldukça zordur. Bu sorulara denklem kavramını bildikten sonra da-ha kolay cevap verebiliriz.

Sorulardan birincisinde, karpuz fiyatına x diyelim. Buna göre, 5x - 40 000 = 3x + 70 000 eşitliğini sağlayan x sayısını bulursak, karpuz fiyatını bulmuş oluruz.

İkinci soruda ise, dikdörtgenin kenar uzunluklarına x ve y dersek, x + y = 50 , x.y = 481 eşitliklerinin her ikisini de sağlayan x ve y sayıları ya da x2_{-50x + 481 =}

0 eşitliğini sağlayan x sayısı ile y = 50 - x sayısı dikdörtgenin kenar uzunluklarıdır. Bu örneklerde olduğu gibi x,y z,... bilinmeyenlerini içeren ve bilinmeyenlerin bazı değerleri için gerçeklenen (sağlanan) eşitliklere denklem diyoruz. Bilinmeyenle-rin denklemi sağlayan değerleBilinmeyenle-rine denklemin kökü ya da çözümü, tüm çözümle-rin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi, denklemin kökleçözümle-rini bulmak için yapı-lan işlemler zincirine de denklemin çözülmesi denir. Denklem, bilinmeyenlerinin hiçbir değeri için sağlanmıyorsa bu durumda denklemin çözümü veya kökü yoktur denir. Bu durumda çözüm kümesinin boş küme olacağı açıktır.

Özdeşlik ile denklem arasındaki fark nedir?

Özdeşlik bilinmeyenlerin her değeri için gerçeklenen eşitliktir. Denklem ise genel-likle bilinmeyenlerin bazı özel değerleri için gerçeklenen eşitliktir. Örneğin x2 _{- y}2 ₌

(x - y)(x + y) eşitliğinde x ve y ye hangi değerler verilirse verilsin bu eşitlik sağlanır. Buna karşılık 5x - 40000 = 3x + 70 000 eşitliği sadece x = 55 000 için sağlanır, x + y = 50 eşitliği ise örneğin x = 15, y = 35 için sağlanırken x = 10 ve y = 20 için sağlanmaz.

Denklemler öncelikle bilinmeyen sayılarına göre sınıflara ayrılır. Eğer denklemde bir bilinmeyen varsa denkleme bir bilinmeyenli, iki bilinmeyen varsa iki bilinme-yenli , ..., n tane bilinmeyen varsa n bilinmebilinme-yenli denklem denir. Örneğin 7x - 81 = 144, 3x _{= 81 bir bilinmeyenli iken x + y = 50, x}2 _{+ y}2 _{= 1 denklemleri}

birer iki bilinmeyenli denklemdir. Cebirsel ifadelerin eşitlenmesiyle elde edilen denklemlere cebirsel denklem denir. Örneğin

birer cebirsel denklemdir.

?

2x - 5 = 0, 4x - 5 x + 1 = 3, x

Şimdi bir bilinmeyenli bazı denklemlerin çözümlerini inceleyelim.

3.1. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

a ve b bilinen gerçel sayılar, a ≠ 0 olmak üzere,

ax + b = 0

biçiminde yazılabilen bir denkleme birinci dereceden bir bilinmeyenli polinom

denklem veya kısaca birinci dereceden denklem veya bir bilinmeyenli lineer (doğrusal) denklem , a ile b ye denklemin katsayıları, x e bilinmeyen denir.Bu

denkleme birinci dereceden veya lineer denklem denmesinin nedeni x in sadece bi-rinci kuvvetinin bulunması ve başka hiçbir kuvvetinin bulunmamasıdır. Bu denkle-mi çözmek yani eşitliği sağlayan x i bulmak için şu işlemler yapılır.

ax + b = 0 , ax = - b .

Burada a ≠ 0 olduğundan her iki tarafı a ile bölebiliriz. Bu işlemi yaparsak

bulunur. Buna göre denklemin çözüm kümesi Ç= dır.

Örnek:

2x + 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

2x + 4 = 0 ise 2x = - 4 buradan Ç= { -2 } bulunur.

Örnek:

2x + 4 = x + 2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

İlk bakışta denklem ax + b = 0 biçiminde değildir. Ancak denklemi düzenlersek 2x - x = 2 - 4, x = -2 elde ederiz. Denklemin kökü x = - 2 olduğundan Ç = { - 2} olur.

Örnek:

Yukarıdaki birinci problemin cevabı, 5x - 40 000 = 3x + 70 000 denkleminin kökü ol-duğuna göre bu denklemi çözelim.

ax a = -ba, x = - ba - b a 2x 2 = -42 ⇒ x = -2,

Çözüm :

bulunur. Ç = { 55 000 }.

Örnek:

a, b, c, d ∈IR olmak üzere, ax + b = cx + d denkleminin çözüm kümesini araştıralım.

Çözüm:

ax + b = cx + d ...(1) ax - cx = d - b

(a - c) x = d - b ...(2)

Burada köklerin varlığı a , b, c ve d katsayılarına bağlıdır. Şimdi karşılaşabileceği-miz durumlara göre kökün varlığını inceleyelim.

i.durum: a = c ve b = d ise ( 2) e şitliği 0x = 0 şeklini alır. Bu eşitlik her gerçel

x sayısı için doğru olduğundan Ç = IR dir. Aslında bu sonuç doğal bir sonuçtur. Çünkü a = c ve b = d ise ( 1) eşitliği, ax + b = ax + b demektir. Bu eşitlik de her gerçel sayı için doğrudur.

ii. durum: a = c ve b ≠ d ise (2) eşitliği 0x = d - b şeklini alır. Burada sol taraf x in her

de-ğeri için daima 0 iken, sağ taraf sıfırdan farklı bir sayıdır. Bu nedenle bu eşitlik hiçbir x gerçel sayısı için sağlanmaz, çözüm kümesi boş kümedir. Ç = Ø .

iii.durum: a ≠ c olsun. Bu durumda (2) eşitliğinde x in katsayısı olan a - c sıfırdan

farklı olacağı için her iki tarafı a - c ye bölebiliriz.

bulunur. Ç = olur. Bu durumda b = d ise 0 ın kök olacağına dikkat ediniz.

Örnek:

Bir tüccar 285 000 000 liraya bir miktar kumaş alıyor. Kumaşın 1/4 ünü metresi 2 000 000 liradan, geri kalanını da metresi 1 600 000 liradan satıyor ve 21 000 000 lira kar sağlıyor. Bu tüccar kaç metre kumaş almıştır?

a - c x a - c = d - ba - c x = d - b a - c d - b a - c 5x - 40 000 = 3x + 70 000 5x - 3x = 70 000 + 40 000 2x = 110 000 x = 55 000

Çözüm:

Alınan kumaş miktarına x diyelim. Kumaşın 1/4 ünün satışından elde edilen gelir kalan kumaşın satışından elde edilen gelir ise liradır. Buna göre toplam gelir

500 000.x + 1 200 000.x = 1 700 000.x liradır. Kar = gelir - gider olduğundan

21 000 000 = 1 700 000.x - 285 000 000

denklemi elde edilir. Bu denklemin kökü aradığımız kumaş miktarını verecektir.

Buna göre tüccar 180 metre kumaş almıştır.

Örnek:

Ardışık 25 tamsayının toplamı 425 olduğuna göre, bu sayıların en küçüğü ve en büyüğü kaçtır?

Çözüm:

Sayıların en küçüğüne x diyelim. Ardışık tamsayı birbirini izleyen tamsayı demek olduğuna göre, diğer sayılar x +1, x + 2, x +3, .... x + 24 olacaktır. Bu sayıların toplamı,

x + (x +1) + (x + 2) + ... + (x +24) = 25 x + (1 + 2 + 3 + 4 + ... + 24) = 25 x + 300

dir. Bu sayı 425 olduğuna göre, 25x + 300 = 425

25 x = 125 x = 5

bulunur. O halde en küçük sayı 5, en büyük sayı ise x + 24 = 5 + 24 = 29 olarak bulu-nur.

Bazı denklemlerin çözümleri birinci dereceden denklem çözümüne indirgenebilir. x 4 . 2 000 000 = 500 000.x lira, x - x 4 1 600 000 = 3x4 1 600 000 = 1 200 000 21 000 000 + 285 000 000 = 1 700 000 . x 306 000 000 = 1 700 000 . x 306 000 000 1 700 000 = x 180 = x .

Örnek:

Çözüm: x = 0 ve x = -1 için paydalar sıfır olduğundan x ≠ 0 ve x ≠ -1 olmalıdır.

Bir kesrin 0 olması için payın 0 olması gereklidir. Bu nedenle, (x +1) + 3 - 2x = 0

4 - x = 0 ,

buradan da x = 4 bulunur. Ç = { 4 } .

Örnek:

Alkol oranı % 65 olan 40 litrelik bir çözeltinin alkol oranını % 80 e çıkarmak için ne kadar saf (mutlak) alkol ilave edilmelidir?

Çözüm:

Çözeltideki alkol oranı % 65 olduğuna göre, saf alkol miktarı 0,65.40 = 26 litredir. İlave edilecek saf alkol miktarı x litre olsun. Bu durumda alkol oranı olur. Bu oranın % 80 olması istendiğine göre, eşitliğini sağlayan x aradı-ğımız sayıyı verecektir. Bu eşitlikte her iki tarafı 40 + x ile çarparsak,

26 + x = (40 + x).0,8 26 + x = 32 + 0,8x

0,2x = 6 x = 30

bulunur. Demek ki 30 litre saf alkol ilave etmek gerekmektedir.

Bir denklemin kökü olarak bulunan sayının gerçekten kök olup olmadığını kontrol etmek için bu sayı denklemde yerine yazılır ve gerekli işlemler yapılır, sonuçta bir özdeşlik elde edilirse, sayı denklemin köküdür. Bu işleme kökün denklemi sağla-ması ya da denklemin sağlatılsağla-ması denir.

1 x + _{x x + 1}3 = 2_{x + 1} 1 x + _{x x + 1}3 - 2_{x + 1} = 0 x + 1 + 3 - 2x x x +1 = 0 . 26 + x 40 + x 26 + x 40 + x = 0,80 1 x + _{x x + 1}3 = 2_{x + 1}

Örneğin bir önceki örnekte denkleminin kökü olarak 30 sayısını bulmuştuk. Şimdi bu sayının denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim. Diğer bir deyişle denklemi doğru çözüp çözmediğimizi kontrol edelim. Bunun için denk-lemde x yerine 30 yazalım. Buna göre, 30 sayı-sı denklemi sağlamaktadır, dolayısayı-sıyla denklemin köküdür diyebiliriz.

Örnek:

|2x + 3| = 8 deklemini çözünüz.

Çözüm:

Bir sayının mutlak değeri 8 ise, bu sayı ya 8 ya da - 8 dir. Bu yüzden 2x + 3 = 8 veya 2x + 3 = - 8

olmalıdır. Buradan da x = 5/2 veya x = - 11/2 olmalıdır. Denklemim çözüm kümesi, Ç = {5/2, - 11/2}

dir.

Örnek:

|x| + 3 = 2x denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:

Bu denklemde, i) x ≥ 0,

ii) x < 0 durumlarına göre kök arayacağız.

i) x ≥ 0 ise, |x| = x olduğundan denklem, x +3 = 2x denklemine dönüşür. Buradan x = 3 bulunur. x in bu değeri x ≥ 0 koşulunu sağladığından, 3 denkle-min bir köküdür.

ii) x < 0 ise, |x| = -x olduğundan denklem, - x + 3 = 2x şekline dönüşür. Buradan x = 1 bulunur. Ancak bulunan 1 sayısı x < 0 koşulunu sağlamaz, bu ne-denle kök olamaz. O halde denklemin çözüm kümesi Ç = { 3} dir.

3.2. İkinci Dereceden Denklemler

a,b,c ∈ IR , a ≠ 0 , olmak üzere

ax2 _{+ bx + c = 0}

26 + x 40 + x = 0,80

26 + x

biçiminde yazılabilen denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli veya kısaca

ikinci dereceden denklem denir. x bilinmeyeninin en büyük kuvvetinin 2 olması

ve x in kesirli ve negatif kuvvetlerinin olmaması nedeniyle denkleme ikinci derece-den derece-denklem derece-denildiği açıktır. Burada a,b, c sayılarına derece-denklemin katsayıları derece-denir. Şimdi bu denklemin köklerinin nasıl araştırıldığını görelim.

ax2 _{+ bx + c = 0 denkleminde a ≠ 0 olduğundan bu denklem}

şeklinde yazılabilir. Bir çarpımın sıfır olması için çarpanlardan birisinin sıfır olması yeterlidir. Burada a ≠ 0 olduğundan

olmalıdır. Bu denklemi çözmek için x in katsayısının yarısının karesini bir ekleyip bir de çıkaralım (bu işlemi yapmak için x2 _{nin katsayısının 1 olması gerektiğine}

dikkat ediniz)

ğundan b2 _{- 4ac nin işaretine bağlıdır. Eğer b}2 _{- 4ac negatif değilse (1) eşitliğinin}

sol tarafı negatif olmayan iki sayının farkı olur, dolayısıyla bu toplam x in bazı değer-leri için sıfır olabilir, diğer bir deyişle denklemin kökü vardır. Eğer b2 _{- 4ac negatif}

ise (1) eşitliğinin sol tarafı negatif olmayan bir sayı ile negatif bir sayının farkı olur, do-layısıyla sıfır olamaz. Bu nedenle bu durumda denklemin kökü olamaz. Dikkat eder-seniz ikinci dereceden denklemin köklerinin varlığı b2 _{- 4ac nin işaretine bağlıdır.}

Bu nedenle b2 _{- 4ac sayısına , denklemin diskriminantı denir ve ∆ ile gösterilir:}

∆ = b2 _{- 4ac .}

Bu gösterimden sonra ikinci dereceden denklemin köklerinin varlığı ve sayısı şu şe-kilde özetlenebilir.

i) ∆ = b2 _{- 4ac > 0 ise (1) eşitliği şu şekilde yazılabilir.}

bu eşitliğin sıfır olması için a x2 _{+ b} ax + ca = 0 x2 _{+ b} a x + ca = x2 + ba x + b_2a 2 - b 2a 2 + c a = x + b_2a 2 - b2 4a2 + ca x + b 2a 2 - b2 - 4ac 4a2 = 0 ... 1 x2 _{+ b} ax + ca = 0 Burada daima x + b 2a 2

≥ 0 dır. Buna karşılık b2 - 4ac

4a2 nin işareti, 4a 2 _{> 0} oldu-x + b 2a 2 - ∆ 4a2 = x + b_2a 2 - ∆ 2a 2 = x + b 2a - ∆2a x + b2a + ∆2a

olmalıdır. Bu eşitliklerden denklemin iki kökünün varlığı ve bu köklerin

olduğu kolayca görülebilir. Bu köklere x1 ve x2 dersek, ∆ > 0 olduğunda ikinci

dereceden denklemin farklı iki gerçel kökünün varlığı ve bu köklerin

olduğu sonucuna ulaşırız.

ax2 _{+ bx + c = 0 denkleminde a ile c ters işaretli ise denklemin kesinlikle}

ger-çel kökü vardır diyebilir misiniz?

Cevabınız evet olmalıydı. Çünkü bu durumda diskriminant kesinlikle pozitif olur.

ii) ∆ = 0 ise (1) eşitliği şeklini alır. Bu eşitliğin sıfır olması için, her iki çarpan olmalıdır. Bu durumda iki kök eşit olmaktadır:

O halde ikinci dereceden denklemde ∆ = 0 ise denklemin tek kökü vardır diyebiliriz. Bu durumda kökler çakışıktır veya iki kat kök vardır da denir.

x + b 2a - ∆2a = 0 veya x + b2a + ∆2a = 0 x = - b 2a - ∆2a = -b - ∆2a , x = - b2a + ∆2a = -b + ∆2a x1,2 = - b ± ∆ 2a

∆ > 0 ise denklemin farklı iki gerçel kökü vardır ve kökler ,

dır. x1,2 = -b ± ∆ 2a

?

x + b 2a 2 = x + b 2a x + b2a = 0 x + b 2a olduğundan, x + b2a = 0, x = - b2a x1 = x2 = - b 2a .

∆ = 0 ise denklemin tek kökü (iki kat kökü) vardır ve bu kök,

dır.

x1 = x2 = - b

iii) ∆ < 0 ise b2 _{- 4ac < 0 , 4ac - b}2 _{> 0 olur. (1) eşitliğinin sol tarafı,}

biçiminde, negatif olmayan bir sayı ile pozitif bir sayının toplamı olur, dolayısıyla sıfır olamaz. Bu nedenle denklemin gerçel kökü yoktur.

Örnek:

x2 _{- 3x +2 = 0 denkleminin çözümünü bulunuz.}

Çözüm:

Bu denklemde a = 1 , b = - 3 ve c = 2 olduğundan ∆ = b2 _{- 4ac = (- 3)}2 _{- 4.1.2 = 9 - 8}

= 1 > 0 olduğundan denklemin farklı iki gerçel kökü vardır. Bu kökler,

bulunur. Çözüm kümesi Ç = {1, 2} dir.

1 ve 2 sayılarının denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol ediniz. Örnek:

3x2 _{+ 2x + 5 = 0 denkleminin çözümünü araştırınız.}

Çözüm:

a = 3, b = 2 ve c = 5 olduğundan, ∆ = b2 _{- 4ac = 2}2 _{- 4.3.5 = 4 - 60 = - 56 < 0}

oldu-ğundan denklemin gerçel kökü yoktur. Çözüm kümesi Ç = Ø dir.

Örnek:

4x2 _{- 4x +1 = 0 denkleminin çözümünü bulunuz.}

Çözüm:

∆ = (- 4)2 - 4 . 4 . 1 = 16 - 16 = 0 olduğundan denklemin tek (iki kat) kökü vardır. Bu kök x + b 2a 2 - ∆ 2a = x + b2a 2 - b2 - 4ac 4a2 = x + b_2a 2 + 4ac - b2 4a2

∆ < 0 ise denklemin gerçel kökü yoktur.

x1,2 = - b ± ∆ 2a = - -3 ± 1 2.1 = 3 ± 12 , x1 = 3 - 1 2 = 1, x2 = 3 + 12 = 2 x1 = x2 = - b

2a = - -42 . 4 = 12 = 0,5 dir. Çözüm kümesi Ç = 12 dir.

Örnek:

x2 _{+ x + 1 = 0 denkleminin çözümünü araştırınız.}

Çözüm:

a = b = c = 1 olduğundan ∆ = 1 - 4.1.1= -3 < 0 dır. Dolayısıyla gerçel kök yoktur. Ç = Ø dir.

Bu kesimin başında sözünü ettiğimiz dikdörtgen problemini hatırlayalım. Prob-lemde uzun ve kısa kenar uzunlukları toplamı 50 birim, alanı ise 481 birim kare olan dikdörtgenin kenar uzunlukları soruluyordu. Bu dikdörtgenin kenar uzunlukları-na x ve y diyelim. Probleme göre, x + y = 50 , x. y = 481 dir. Bu eşitliklerin birincisin-den y = 50 - x bulup ikinci eşitlikte yerine yazarsak, x2 _{- 50 x + 481 = 0}

denk-lemini elde ederiz. Böylece problem bu ikinci dereceden denklemin çözümüne in-dirgenmiş olur. Bu denklemde

∆ = 502 - 4.1.481 = 2500 - 1924 = 576 > 0

buradan da x1 = 37, x2 =13 bulunur. x = 37 için y = 50 - 37 = 13; x = 13 için

y = 50 - 13 = 37 bulunur. Buna göre söz konusu dikdörtgenin kenar uzunlukları 37 ve 13 birimdir.

Bu problemde dikkatimizi çeken bir nokta var. Dikdörtgenin kenar uzun-luklarını ifade eden x ve y sayılarının toplamı 50, çarpımı 481 dir ve bu sayılar x2 _{- 50x + 481 = 0 denkleminin kökleridir. Acaba bu her zaman doğru mudur?}

Yani iki sayının toplamı p, çarpımı q ise bu iki sayı x2 _{- px + q = 0 denkleminin}

kökleri midir? Şimdi bu soruya cevap vermeye çalışalım. Sayılara x1 ve x2

diye-lim. Bu durumda x1 + x2 = p , x1.x2 = q dur. x2 - px + q = 0 denkleminde p

yeri-ne x1 + x2 ve q yerine x1 . x2 yazalım:

x2 _{- (x}

1 + x2) x + x1 . x2 = 0 .

Bu eşitliğin sol tarafı (x - x1) (x - x2) dir (Bunun doğruluğunu görmek için

bura-daki çarpma işlemini yapmak yeterlidir). Bu durumda denklem (x - x1) (x- x2) = 0

şeklini alır. Buradan x- x1 = 0 veya x – x2 = 0 , buradan da x = x1 veya x = x2

bulunur. Buna göre tahminimiz doğrulanmaktadır. Yani:

İki sayının toplamı p, çarpımı q ise bu iki sayı, x2 _{- px + q = 0 denkleminin}

kökleridir.

olduğundan iki gerçel kök vardır ve bu kökler, x1,2 = - (-50) ± 576

2.1 =

50 ± 24

Bazı ikinci dereceden denklemleri yukarıda verdiğimiz formülü kullanmadan daha kolay çözebiliriz. Örneğin x2 _{- 9 = 0 denkleminin çözümü için formüle gerek}

yok-tur. Bunun çözümü için sol tarafı çarpanlara ayırmak yeterlidir. (x -3) (x + 3) = 0, buradan x - 3 = 0 veya x + 3 = 0 olmalıdır. Buradan da x = 3 ve x = -3 bulunur. Benzer şekilde x2 _{+ 8x = 0 denklemi, x (x + 8) = 0 şeklinde yazılabilir, buradan x = 0 , x =}

- 8 çözümleri elde edilir.

ax2 _{+ bx + c = 0 denkleminde ∆ > 0 ise bu denklemin kökleri,}

formülü ile de bulunabilir. Bu formülün doğruluğunu görmek istiyorsanız, formülünde pay ve paydayı 2 ile bölünüz. b nin çift sayı olması durumunda oldukça kullanışlı olan bu formüle yarım formül denir.

Örnek:

4x2 _{- 24x - 13 = 0 denkleminin çözümünü bulalım.}

Çözüm:

b çift sayı olduğundan yarım formülü kullanabiliriz.

buradan x1 = 6,5 , x2 = - 0,5 bulunur.

Ç = {6,5 , -0,5} dır.

Örnek:

Bir karenin kenarlarından birisi 2 birim kısaltılıp , diğer kenar 4 birim uzatılırsa, elde edilen dikdörtgenin alanı 280 birim kare oluyor. Buna göre karenin kenar uzunluğu kaç birimdir?

Çözüm:

Karenin kenar uzunluğuna x dersek, dikdörtgenin kenar uzunlukları x - 2 ve x + 4 birim olur. Dikdörtgenin alanı 280 birim kare olduğuna göre, (x -2 ) . (x + 4) = 280 olmalıdır. Bu eşitliğin sol tarafını açarsak,

x1,2 = - b 2 ± b 2 2 - ac a x1,2 = -b ± ∆ 2a x1,2 = 12 ± 12 2 _{- 4. (-13)} 4 = 12 ± 14 4 ,

x2 _{+ 2x - 8 = 280,}

x2 _{+ 2x - 288 = 0}

denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri,

dır. Negatif bir sayı kenar uzunluğu olamayacağından karenin kenar uzunluğu 16 birimdir.

Örnek:

Dikdörtgen şeklinde bir kartonun köşelerinden, bir kenar uzunluğu 2 cm olan eşit kareler kesilerek dikdörtgenler prizması şeklinde üstü açık bir kutu yapılmıştır. Ku-tunun tabanının uzun kenarı, kısa kenarından 5 cm daha uzun ve kuKu-tunun hacmi 1000 cm3 _{olduğuna göre, dikdörtgen biçimindeki kartonun kısa kenar uzunluğu}

kaç cm dir?

Çözüm:

Kartonun kısa kenarının uzunluğu x cm olsun. Buna göre kutunun tabanının kı-sa kenarının uzunluğu x - 4 cm, uzun kenarının uzunluğu x - 4 + 5 = x +1 cm, yük-sekliği ise 2 cm dir. Buna göre kutunun hacmi 2(x - 4)(x +1) cm3 _{olur. Bu durumda}

2(x - 4)(x +1) = 1000 eşitliğini sağlayan x sayısı kartonun kısa kenar uzunluğunu ve-recektir. 2(x - 4)(x +1) = 1000 (x - 4)(x +1) = 500 x2 _{-3x - 4 = 500} x2 _{-3x - 504 = 0} Bu denklemin kökleri,

buradan da x1 = 24, x2 = -21 bulunur. Negatif sayı kenar uzunluğu

olamayaca-ğından aradığımız cevap 24 cm dir.

x x + 4 x - 2 x = - 1 ± 1 + 1.288 = - 1 ± 289 = - 1 ± 17 x1 = - 18 , x2 = 16 2 2 x x + 1 x - 4 2 x1,2 = 3 ± 9 + 2016 2 = 3 ± 45 2

Bazı denklemlerin köklerinin bulunması, bir ikinci dereceden denklemin kökleri-nin bulunmasına indirgenebilir. Şimdi buna ait birkaç örnek verelim.

Örnek:

Çözüm:

Verilen denklemde x ≠ 0 olmak zorundadır, çünkü x = 0 için payda sıfır olmakta-dır, bu nedenle denklem anlamlı olmaz. x ≠ 0 olmasının manası, kökleri IR de değil IR - {0} da arayacağız demektir. Yani denklemi çözmek için yapılan işlemler sonun-da elde edilen "yardımcı" denklemin köklerinden birisi 0 ise, 0 esas denklemin kökü olamaz.

Burada her iki tarafı 6x ile çarparsak, 6 (x2 _{- 1 ) = 5x ,}

6x2 _{- 5x - 6 = 0}

elde ederiz. Bu denklemde ∆ = (-5)2 _{- 4. 6 .(-6) = 169 > 0 olduğundan farklı iki}

gerçel kök vardır:

Örnek:

Bir gün, ekmek fiyatlarına 5000 TL zam geliyor ve bir işçi, bir günlüğü ile alabildiği ekmek sayısından 10 ekmek daha az ekmek alabilir duruma düşüyor. İşçinin günlü-ğü 2 800 000 TL olduğuna göre ekmeğin eski fiyatı kaç liradır?

Çözüm:

Ekmeğin eski fiyatına x diyelim. İşçinin ekmek zammından önce alabildiği ekmek x - 1 x = 5₆ denklemini çözünüz. x - 1 x = 5₆ , x2 _{- 1} x = 5₆ . x1 = 5 + 169 2.6 = 32 , x2 = 5 - 1692.6 = - 23 , Ç = 3 2 , - 23 . sayısı 2 800 000

x , ekmek zammından sonra alabildiği ekmek sayısı ise 2 800 000_{x + 5000} dir. İkinci sayı birincisinden 10 eksik olduğundan

eşitliğini sağlayan x sayısı ekmek fiyatını verecektir. Bu eşitliğin her iki tarafını x (x + 5000) ile çarparsak, 2 800 000(x + 5000)-10x(x + 5000) = 2 800 000 x , buradan -10 x2 _{- 50 000x + 14 000 000 000 = 0} x2 _{+ 5 000 x - 1 400 000 000 = 0}

elde ederiz. Bu denklemin köklerini bulalım. b = 5 000 çift sayı olduğundan yarım formülü kullanabiliriz.

buradan x1 = 35 000 , x2 = - 40 000 bulunur. Ekmek fiyatı negatif

olamayacağın-dan aradığımız cevap 35 000 TL dir.

Örnek:

Çözüm:

Bu denklemin (varsa) kökünü bulmak için kareköklü ifade eşitliğin bir tarafında yalnız bırakılır ve her iki tarafın karesi alınır.

buradan da x = 6 ve x = 0 bulunur. Ancak bulunan bu sayıların esas denklemin kökü olup olmadığı mutlaka kontrol edilmelidir. 6 nın verilen denklemi sağlayıp sağla-madığına bakalım. 2 800 000 x - 10 = 2 800 000_{x + 5000} x1,2 = -2 500 ± 2 500 2 _{+ 1 400 000 000} 1 = - 2 500 ± 625.104 + 14.108 = - 2 500 ± 104 625 + 140 000 = - 2 500 ± 100 140 625 = - 2 500 ± 100.375 ,

4x + 1 - x = -1 denkleminin çözüm kümesini bulalım

4x + 1 = x - 1 , 4x + 12 = (x - 1)2 , 4x + 1 = x2 _{- 2x + 1 ,}

bu eşitlik doğru olduğundan 6 verilen denklemin köküdür. Şimdi de 0 ın denklemi sağlayıp sağlamadığına bakalım.

Bu eşitlik doğru olmadığından 0 kök değildir. O halde çözüm kümesi Ç = {6} dır.

Denklemlerde bulunan sayıların denklemin kökü olup olmadığını mutlaka kontrol ediniz.

Bir dikdörtgenin kısa kenarı, uzun kenarından 7 cm, köşegeninden 8 cm kısa ol-duğuna göre, dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu kaç cm dir?

Taban yarıçapı r, yüksekliği h olan bir kapalı dairesel dik silindirin toplam yüzey alanı S = 2ππππr2 _{+ 2ππππrh dir. Yüksekliği 10 cm, toplam yüzey alanı 288ππππ cm}2 _olan

bir silindirin taban yarıçapı kaç cm dir?

Bir ikinci dereceden denklemi çözmeden denklemin köklerinin toplamını ve çarpımını bulabilir misiniz?

Kökler farkı , köklerin kareleri toplamı, köklerin sıfırdan farklı olması halinde köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamını katsayılar türünden ifade edebilir misiniz?

Cevaplarınız şu şekilde olmalıydı.

a, b, c ∈ IR, a ≠ 0, olmak üzere, ax2 _{+ bx + c ifadesine bir ikinci derece üç}

te-rimlisi denir. ax2 _{+ bx + c = 0 denkleminin gerçel kökleri var ve kökler x}

1 , x2 ise,

üçterimli a(x - x1)(x- x2) biçiminde yazılabilir, diğer bir deyişle çarpanlarına

ayrı-labilir. Yani ax2 _{+ bx + c = a(x - x} 1)(x - x2) dir. 4.6 + 1 - 6 = -1, 5 - 6 = -1, 4.0 + 1 - 0 = -1 1 = -1

?

?

Cevaplarınız birinci problem için, 5 cm, ikinci problem için 8 cm olmalıydı.

?

Cevabınız evet olmalıydı. a x2 _{+ bx + c = 0 denkleminde kökler toplamı - b}

a , kök-ler çarpımı c a dır.

?

x1 - x2 = ∆ a , x1 2 + x2 2 = b2 - 2ac a2 , 1x₁ + 1x₂ = - bc .

Örnek:

3x2 _{+ 5x -2 üç terimlisini çarpanlarına ayırınız.}

Çözüm:

3x2 _{+ 5x -2 = 0 denkleminin kökleri x}

1 = 1/3, x2 = - 2 olduğundan,

6x2 _{+ x - 1 üç terimlisini çarpanlarına ayırınız.}

25x2 _{- 30x + 9 üç terimlisini çarpanlarına ayırınız.}

Cevaplarınız olmalıydı.

ax2 _{+ bx + c = 0 denkleminin tek kökü varsa,}

yazılabilir mi?

Cevabınız evet olmalıydı.

ax2 _{+ bx + c = 0 denkleminin gerçel kökleri yoksa,}

yazılabilir.

4. Eşitsizlikler

4.1. Birinci Dereceden Eşitsizlikler

a, b ∈ IR, a ≠ 0 olmak üzere, ax + b ifadesine bir iki terimli denir. Bir iki terimli x değişkenine verilecek gerçel değerlere göre pozitif, negatif veya sıfır değerini alır. Örneğin - 4x + 7 iki terimlisi x = 0 için pozitif bir değer, x = 2 için negatif bir değer alır-ken x = 7/4 için 0 değerini almaktadır. Bazı problemlerin çözümü, böyle bir iki te-rimlinin x in hangi değerleri için sıfır, x in hangi değerleri için pozitif veya x in hangi değerleri için negatif değerler aldığını bilmemizi gerektirebilir. ax + b iki terimli sinin, sadece ax + b = 0 denkleminin kökü olan için sıfır değerini aldığını biliyoruz. Böyle bir iki terimlinin pozitif değerler alması demek x in bazı değerleri

için ax + b > 0 eşitsizliğinin sağlanması , benzer şekilde negatif değerler alması da bazı x ler için ax + b < 0 eşitsizliğinin sağlanması demektir.

3x2 _{+ 5x -2 = 3 x - 1} 3 x + 2 dir.

?

6 x + 1 2 x - 13 , 25 x - 35 2 ax2 _{+ bx + c = a x + b} 2a 2 ax2 + bx + c = a x + b 2a 2 + -∆ 2a 2 x = - b a

?

a, b ∈ IR, a ≠ 0 olmak üzere,

ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0 , ax + b ≤ 0

biçiminde yazılabilen eşitsizliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik veya kısaca birinci dereceden eşitsizlik denir. Eşitsizliği doğru kılan x gerçel sayıla-rının kümesine de eşitsizliğin çözüm kümesi ,bu kümenin bulunması işlemine de eşitsizliğin çözülmesi denir. Şimdi bu tip eşitsizliklerin çözüm kümesinin nasıl bu-lunacağını görelim.

ax + b > 0 eşitsizliğini ele alalım. Diğer eşitsizliklerin çözümleri benzer yolla buluna-bilir. Sadece, > yerine "<", " ≤", "≥" işaretleri gelir.

1. yol:

ax + b > 0 ax > - b ,

şimdi burada her iki tarafı a ya böleceğiz. Ancak biraz dikkatli olmamız gerekiyor. Çünkü bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayıya bölünürse eşitsizlikte yön değiş-mez, ancak negatif bir sayıya bölünürse eşitsizlikte yön değişir. Bu nedenle eğer

Örnek:

2x + 4 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:

Buna göre çözüm kümesi Ç = ( -2 , ∞ ) dır. a > 0 ise x > - b

a a < 0 ise x < - b a

elde edilir. Birinci durumda çözüm kümesi Ç = - b

a , ∞ aralığı, ikinci durumda ise Ç = -∞ , - b a aralığıdır. 2x + 4 > 0 2x > - 4 , x > - 4 2 , x > - 2 .

Örnek:

- 3x + 4 ≥ 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:

Bu eşitsizliğin bir önceki eşitsizlikten farkı, > işareti yerine ≥ gelmiş olmasıdır. An-cak bu değişiklik çözüm yönteminde önemli bir değişikliği gerektirmemektedir, sa-dece > işareti yerine ≥ işareti gelecektir.

Buna göre çözüm kümesi, Burada her iki tarafı negatif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizliğin yön değiştirdiğine dikkat ediniz.

2. yol:

ax + b > 0

eşitsizliğini göz önüne alalım. Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için ax + b ifadesinin, x in hangi değerleri için pozitif , hangi değeri için sıfır veya hangi değer-leri için negatif olduğunu belirlememiz gerekmektedir.

-3x + 4 ≥ 3 , -3x + 1 ≥ 0 , -3x ≥ -1 , x ≤ -1 - 3 , x ≤ 1 3 . Ç = -∞ , 1 3 dır. ax + b ifadesini a x + b a biçiminde yazabiliriz. ax + b = a x + b a eşitliğinde x < - b

a ise x + ba < 0 olacağından a x + ba , dolayısıyla ax + b, a ile ters işaretli bir değer olur. Yani a pozitif ise ax + b negatif bir değer, a nega-tif ise pozinega-tif bir değer olur. x = - b

a ise ax + b = 0 olduğunu biliyoruz. Eğer x > - b

a ise x + ba > 0 olacağından a x + ba , dolayısıyla ax + b, a ile aynı işaret-li bir değer olur. Kısaca, a > 0 iken x < - b

a > 0 ise

Benzer şekilde,

a < 0 ise

Dikkat ederseniz, a nın işareti ne olursa olsun, x değişkeni negatif ve yeteri kadar küçük değerlerden pozitif ve yeteri kadar büyük değerlere doğru değiştikçe, yani x değişkeni -

∞

dan +

∞

a doğru değiştikçe, ax + b ifadesi ancak bir kez işaret de-ğiştirmektedir. Tablo ile çözümün basit olmasının nedeni de budur. Yukarıdaki iki tabloyu tek bir tablo ile kısaca şöyle ifade edebiliriz.

Bu tabloya ax + b ifadesinin işaret tablosu denir. Birinci dereceden bir eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için, ax + b nin işaret tablosu hazırlanır ve çözüm kümesi belirlenir. Şimdi yukarıda çözdüğümüz örnekleri bir de bu yöntemle çözelim.

Örnek:

2x + 4 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım. x

ax + b

- b a

Negatif bir değer 0 Pozitif bir değer

x ax + b

- b a

Negatif bir değer 0

Pozitif bir değer işaretli), x > - b

a ise ax + b pozitiftir (yani a ile aynı işaretlidir). Bu durumu tablo ile şöyle ifade edebiliriz.

a < 0 iken x < - b

a ise ax + b pozitif (yani a ile ters işaretli), x > - ba ise ax + b negatiftir (yani a ile aynı işaretlidir). Bu durumu da tabloda şu şekilde göstere-biliriz. x ax + b - b a 0 a ile ters işaretli bir

değer

a ile aynı işaretli bir değer

Çözüm:

Önce 2x + 4 ifadesinin işaret tablosunu hazırlayalım. Bunun için işaretin değişim noktası olan 2x + 4 = 0 denkleminin kökünü bulmamız gerekiyor. Bu kökün - 2 oldu-ğu açıktır. a = 2 > 0 olduoldu-ğundan tablo aşağıdaki şekildedir.

Tabloya göre x > -2 için 2x + 4 >0 olduğundan çözüm kümesi Ç = (-2,

∞

) dır.

Örnek:

-3x + 4 ≥ 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:

- 3x + 4 ≥ 3 ise - 3x + 1 ≥ 0 dır. - 3x +1 = 0 denkleminin kökü a = - 3 < 0 olduğundan - 3x + 1 in işaret tablosu aşağıdaki şekildedir.

Örnek:

Çözüm:

Eşitsizliğe bakar bakmaz aklımıza şu soru gelmektedir.

Burada her iki tarafı (3 - x) ile çarpabilir miyiz?

Bir eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayı ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştir-mez, ancak negatif bir sayı ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir. Burada 3 - x in işare-ti x e bağlıdır. x üzerine "x < 3 veya x > 3 olsun" gibi bir koşul bindirmeden her iki

ta-x 2x + 4 -2

+

0

_

x = 1 3 dir. 0 x -3x + 1

₊

_

1/3 x ≤ 1

3 için -3x + 1 ≥ 0 olduğundan çözüm kümesi Ç = ( - ∞ , 13 ] dir.

x - 2

3 - x > 1 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

rafı 3 - x ile çarpamayız. Bu koşulları bindirdikten sonra koşullara göre çözüm kü-melerini bulup bu çözüm kükü-melerinin birleşimlerini almamız gerekir. Ancak böyle bir soruya yukarıda verdiğimiz tablo yöntemi ile daha kolay cevap verebiliriz. Bu-nun için önce 1 i eşitsizliğin sol tarafına alıp toplama işlemini yapmamız gerekmek-tedir.

Böyle bir eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için, pay ve paydanın işaretlerine gö-re bölümün işagö-reti incelenir. Yukarıdaki örneklerde olduğu gibi pay ve paydanın işaretlerini inceleyelim. Bunun için öncelikle pay ve paydanın köklerini bulmamız gerekiyor.

Buna göre tabloyu oluşturalım.

Tablodan görüldüğü gibi,

x = 3 için payda sıfır olduğundan tanımsızdır, bu durumu düşey çift çizgi ile belirtiyoruz. Bu sonuçlara göre, eşitsizliğin çözüm kümesi Ç = ( 5/2, 3) aralı-ğıdır. Burada x = 5/2 için kesir 0 olduğundan 5/2 çözüm kümesine dahil değildir.

x - 2 3 - x > 1 , x - 2 3 - x -1 > 0 , x - 2 - 3 + x 3 - x > 0 , 2x - 5 3 - x > 0 2x - 5 = 0 , x = 5 2 ; 3 - x = 0 , x = 3 x 2x - 5 3 - x 2x - 5 3 - x _ + _ 0 0 + + + 0 + _ 5/2 3 _ x < 5/2 için 2x - 5 < 0 ve 3 - x > 0 olduğundan 2x - 5 3 - x < 0 ; 5/2 ≤ x < 3 için 2x - 5 ≥ 0 ve 3 - x > 0 olduğundan 2x - 5 3 - x ≥ 0 ; 5/2 ≤ x < 3 için 2x - 5 ≥ 0 ve 3 - x > 0 olduğundan 2x - 5 3 - x < 0 .

?

2x - 5 3 - x 3x + 4

x - 2 ≥ 0 eşitsizli ğinin çözüm kümesinin (- ∞, - 4/3] ∪ (2, ∞) olduğunu gösteriniz?

Örnek:

|3x - 8| ≤ 7 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

Bir a sayısının mutlak değeri 7 den küçük veya eşit ise, -7 ≤ a ≤ 7 olmalıdır. Bunun ter-si de doğrudur. Bu nedenle,

|3x - 8| ≤ 7 ⇔ -7 ≤ 3x - 8 ≤ 7 dir.

Bu son eşitsizliğin çözüm kümesi aradığımız çözüm kümesidir.

buna göre çözüm kümesi Ç = [ 1/3, 5] kapalı aralığıdır.

Örnek:

|- 4x + 7| > 5 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

Bir gerçel sayının mutlak değeri 5 den büyük ise o sayı ya 5 den büyüktür veya – 5 den küçüktür. Bunun tersi de doğrudur. Bu nedenle,

|- 4x + 7| > 5 ⇔ - 4x + 7 > 5 veya - 4x + 7 < -5

dir. Bu iki eşitsizliğin çözüm kümelerinin birleşimi aradığımız çözüm kümesi ola-caktır.

- 4x + 7 > 5 ⇒ - 4x > -2 ⇒ x < 0,5 ⇒ Ç1 = (- ∞, 0,5) ,

- 4x + 7 < -5 ⇒ - 4x < -12 ⇒ x > 3 ⇒ Ç2 = (3, ∞) ,

buna göre, çözüm kümesi Ç = (- ∞, 0,5) ∪ (3, ∞) dır.

1) |x + 2| ≤ |x| 2) |x - 4| > |3x|

eşitsizliklerinin çözüm kümelerini bulunuz.

Cevaplarınız ( - ∞ , - 1] ve ( - 2 , 1) aralıkları olmalıdır. -7 ≤ 3x - 8 ≤ 7 , -7 + 8 ≤ 3x ≤ 7 + 8 1 ≤ 3x ≤ 15 , 1 3 ≤ x ≤ 5 ,

?

4.2. İkinci Dereceden Eşitsizlikler

a, b, c ∈ IR ve a ≠ 0 olmak üzere ,

ax2 _{+ bx + c > 0, ax}2 _{+ bx + c ≥ 0, ax}2 _{+ bx + c < 0, ax}2 _{+ bx + c ≤ 0}

biçiminde ifade edilebilen eşitsizliklere bir bilinmeyenli ikinci dereceden eşitsiz

likler veya kısaca ikinci dereceden eşitsizlikler denir. Bu tür eşitsizliklerin çözüm

kümelerini bulmak için ax2 _{+ bx + c üç terimlisinin işaretini incelememiz, yani}

bu ifadenin x in hangi değerleri için pozitif, x in hangi değerleri için negatif bir değer aldığını belirlememiz gerekir. Bu işaret ise, a nın işareti ile birlikte ax2 _{+ bx + c =}

0 denkleminin köklerine bağlıdır.

i. ∆∆∆∆ > 0. Yani, ax2 _{+ bx + c = 0 denkleminin x}

1 < x2 olmak üzere x1 ve x2

gibi farklı iki gerçel kökü olsun. Bu durumda ax2 _{+ bx + c = a (x – x} 1) (x –

x2) yazılabileceğini biliyoruz. Şimdi x değişkeni - ∞ dan ∞ kadar tüm

gerçel sayıları tarasın. Eğer x < x1 ise x – x1 < 0 ve x - x2 < 0

olaca-ğından (x – x1) (x – x2) > 0 olur. Bu durumda a (x – x1) (x – x2) ve

dola-yısıyla ax2 _{+ bx + c üçterimlisi a ile aynı işaretli bir değer alır. Eğer x} 1 < x <

x2 ise x – x1 > 0 ve x – x2 < 0 olacağından (x–x1) (x–x2) < 0 olur. Bu

ne-denle a (x – x1) (x – x2) ve dolayısıyla ax2 + bx + c üç terimlisi a ile ters

işa-retli bir değer alır. Eğer x>x2 ise x – x1 ve x – x2 çarpanlarının her ikisi

de pozitif olacağından a (x – x1) (x – x2) = ax2 + bx + c üç terimlisi a ile

ay-nı işaretli bir değer alır. Bu durumları bir tablo ile kısaca ifade edebiliriz.

x x1 x2

ax2 _{+ bx + c a ile aynı işaretli | a ile ters işaretli | a ile aynı işaretli}

bir değer 0 bir değer 0 bir değer

Böyle bir tabloya ax2 _{+ bx + c üç terimlisinin işaret tablosu denir.}

ii. ∆ = 0, yani a x2 _{+ bx + c = 0 denkleminin tek kökü olsun. Bu durumda ax}2 _{+ bx + c}

üç terimlisinin, a x + b 2a

2

biçiminde yazılabileceğini biliyoruz. Burada x + b

2a

2

ifadesi x = - b

2a için sıfır, diğer durumlarda daima pozitif oldu-ğundan a x + b

2a

2

dolayısıyla a x2 _{+ bx + c üç terimlisi daima a ile aynı}

x

ax2 _{+ bx + c a ile aynı işaretli | a ile aynı işaretli}

bir değer 0 bir değer

iii. ∆∆∆∆ < 0, yani ax2 _{+ bx + c = 0 denkleminin gerçel kökü olmasın. Bu durumda}

yazılabileceğini biliyoruz. Burada ∆ = b2 _{– 4ac < 0 olduğundan 4ac – b}2 _{> 0}

dır, dolayısıyla köşeli parantezin içi daima pozitiftir. Bu nedenle ax2 _{+ bx + c}

daima a ile aynı işaretli bir değer alır. Bu durumda işaret tablosu şu şekildedir.

x

ax2 _{+ bx + c a ile aynı işaretli bir değer}

Örnek:

x2 _{– 3x + 2 ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.}

Çözüm:

Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için x2 _{– 3x + 2 üç terimlisinin işaret}

tab-losunu hazırlamamız gerekmektedir. Bunun için de x2 _{– 3x + 2 = 0 denkleminin}

köklerini araştırmalıyız. ∆ = (-3)2 _{– 4.1.2 = 1 > 0 olduğundan denklemin farklı iki}

gerçel kökü vardır ve bu kökler

dir. Buna göre işaret tablosu şu şekildedir.

x 1 2

x2 _{- 3x + 2}

₊

_| _ _|

₊

0 0

Tabloya göre x e 1 den küçük veya 2 den büyük bir değer verirsek x2 _{– 3x + 2}

üç terimlisi pozitif bir değer, x e 1 ile 2 arasında bir değer verirsek bu üç terimli nega-tif bir değer, x = 1 ve x = 2 için 0 değerini aldığından eşitsizliğin çözüm kümesi

Ç = (-∞ , 1] ∪ [2, ∞) - b 2a ax2 _{+ bx + c = a x + b} 2a 2 + 4ac - b2 4a2 x_1,2 = 3 ± 1 2 , x1 = 1 , x2 = 2

dır. Burada eşitsizlik ≥ biçiminde olduğundan üç terimlinin sıfır olduğu 1 ve 2 nin de çözüm kümesine dahil olduğuna dikkat ediniz.

Üç terimlinin kökleri içermeyen herhangi bir açık aralıktaki işareti, bu aralıktan seçilen herhangi bir noktada üç terimlinin aldığı değerin işareti ile aynıdır.

Örneğin x2 _{- 3x + 2 üç terimlisinin (-∞, 1) aralığında işaretini belirleyelim. Bunun}

için bu aralıktan keyfi bir nokta seçelim, işlem yapması kolay olduğu için 0 noktasını seçelim, (siz isterseniz -1000000 veya seçebilirsiniz). 0 için üç terimli +2 değerini almaktadır. Dolayısıyla (- ∞ , 1) aralığında x2 _{- 3x + 2 üç terimlisinin}

işareti + dır. Bunun doğruluğu yukarıdaki tablodan da açıkça görülmektedir.

Örnek:

- 9x2 _{+ 6x – 1 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.}

Çözüm:

∆ = 0 olduğundan tek kök vardır ve bu kök tür. Buna göre, a = - 9 < 0 oldu-ğundan, işaret tablosu aşağıdaki gibidir.

x 1/3

-9x2 _{+ 6x -1}

_

Tablodan görüldüğü gibi, - 9x2 _{+ 6x – 1 üçterimlisi sadece x = 1/3 noktasında}

sıfır olmakta, bunun dışındaki noktalarda ise daima negatif değer almaktadır. Buna göre eşitsizliğin çözüm kümesi Ç = IR – {1/3} = (-∞, 1/3) ∪ (1/3, ∞) dir.

Bu cevabın doğruluğunu aşağıdaki eşitliğe bakarak kontrol ediniz.

Örnek:

x2 _{– 4x + 5 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.}

Çözüm:

∆ = 16 – 20 = - 4 < 0 olduğundan üçterimli daima a ile aynı işaretli bir değer alır. a = 1 > 0 olduğundan üç terimli daima pozitif değer alır, hiçbir noktada sı-fır veya negatif olmaz. Bu nedenle eşitsizliğin çözüm kümesi boş kümedir: Ç = ∅.

- 189 1 3 -9x2 _{+ 6x - 1 = -9 x - 1} 3 2 | 0 |

Örnek:

Çözüm:

Bu eşitsizliği çözmek için önce bazı düzenlemeler yapmamız gerekmektedir.

Son eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için pay ve paydanın ayrı ayrı işaretlerini inceleyerek bölümün işaretini inceleyelim. Bunun için pay ve paydanın köklerini bulalım.

- 4x2 _{– 4x + 15 = 0 ise x}

1 = - 5/2, x2 = 3/2 dir.

15x (x +1) = 0 ise x1 = 0, x2 = - 1 dir.

Tabloya göre, eşitsizliğin çözüm kümesi Ç = ( - ∞, - 5/2) ∪ (- 1, 0) ∪ (3/2, ∞) olur.

Örnek:

Bir maldan x birim satıldığında elde edilen karın, -2x2 _{+ 44200x - 1 400 000 TL}

olduğu belirlenmiştir. Buna göre, kârın 100 000 000 TL dan az olmaması için ne ka-dar mal satılmalıdır?

Çözüm:

Karın 100 000 000 dan az olmaması için satılan mal miktarını ifade eden x in -2x2 _{+ 44200x – 1 400 000 ≥ 100 000 000}

eşitsizliğini sağlaması gerekir. Şimdi bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulalım. 1

x - 1_{x + 1} < 4₁₅ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

1 x - 1_{x + 1} < 4₁₅ , x + 1 - x_{x (x + 1)} - 4₁₅ < 0 , -4x2 _{- 4x + 15} 15x (x + 1) < 0 . x 15x (x + 1) _ + _ 0 0 + + + 0 + _ - 5/2 3/2 _ - 4x2 - 4x + 15 - 4x2 - 4x + 15 15x (x + 1) + + + 0 -1 + _ _ 0 0 0

-2x2 _{+ 44200x – 101 400 000 ≥ 0 ,}

Buna göre, 2600 ≤ x ≤ 19500 koşulunu sağlayan x miktarda mal satıldığında kar 100.000.000 TL dan az olmaz.

5. Yüksek Dereceden Denklemler

n ∈ IN, a0 , a1 ,..., an-1 , an ∈ IR ve a0 ≠ 0 olmak üzere,

a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an

biçimindeki bir cebirsel ifadeye n-inci dereceden polinom (çok terimli), a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an= 0

biçiminde yazılabilen bir denkleme de n-inci dereceden bir bilinmeyenli polinom

denklem veya kısaca n-inci dereceden denklem denir. n-inci dereceden bir

poli-nom bazan kısaca P(x) , Q(x) ,... şeklinde gösterilir.

1-inci ve 2-inci dereceden denklemleri önceki kesimlerde incelemiştik. Bu inceleme-lerden hatırlayacağınız gibi birinci dereceden denklemin bir tane gerçel kökü var-ken ikinci dereceden denklemin en çok iki tane gerçel kökü vardır. Genel olarak denklemin derecesi ile gerçel köklerinin sayısı hakkında, burada ispatını vermeye-ceğimiz, şu ilişkiyi söyleyebiliriz.

n-inci dereceden bir polinom denklemin en çok n tane gerçel kökü vardır.

x1, 2 = -22100 ± 22100 2 _{- 2.101400000} -2 = -22100 ± 16900 -2 x1 = 2600, x2 = 19500 . x 2600 19500 -2x2 _{+ 44200x - 101400000} _ _{0 0} _

+

Örneğin, P(x) = 5x3 _{- 4x}2 _{+ 2x + 5 üçüncü dereceden, Q(x) = x}13 _{- 2x}10 _{+ 0,5x}8 _{+ 1}

onüçüncü dereceden bir polinomdur. 5x3 _{- 4x}2 _{+ 2x + 5 = 0}

üçüncü dereceden,

x13 _{- 2x}10 _{+ 0,5x}8 _{+ 1 = 0}

Her dereceden polinom denklemlerin çözümünde izlenebilecek kesin yöntemler bulma konusunda çok çalışmalar yapılmış ve 3. ve 4. dereceden denklemlerin çözü-münde kullanılabilecek kesin yöntemler bulunmuştur. Ancak bu yöntemler de çok kullanışlı değildir. 5 ve daha yüksek dereceden denklemlerin çözümünde izlenebi-lecek kesin bir yöntem yoktur. Yüksek dereceden denklemlerin kökleri günümüzde bilgisayarlar yardımı ile yaklaşık olarak bulunabilmektedir.

b∈ IR olmak üzere,

P(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an

polinomunu x – b ye böldüğümüzde, bölüm Q(x), kalan K sabit sayısı olmak üzere , P(x) = (x – b) Q(x) + K

yazılabilir.

P(x) = (x – b) Q(x) + K eşitliğinde x yerine b yazarsak, P(b) = (b – b) Q(b) + K , buradan da K = P(b) bulunur. Buna göre, P(x) polinomunun x – b ye bölümünden kalan P(b) dir. P(x) = (x – b) Q(x) + K eşitliğinde, eğer K = 0 ise P(x) polinomu x – b ye kalansız bölünüyor demektir.Tersine, P(x) in x – b ye kalansız bölünebilmesi için K = P(b) = 0 olmalıdır. Böylece aşağıdaki teoremi ispatlamış olduk.

Teorem:

P(x) polinomunun x – b ye kalansız bölünebilmesi için gerek ve yeter koşul P(b) = 0 olması, diğer bir deyişle x = b nin P(x) = 0 denkleminin bir kökü olmasıdır.

P(x) polinomu x – b ye kalansız bölündüğünde, Q(x), (n-1)-inci dereceden bir poli-nom olmak üzere, P(x) = (x – b) Q(x) yazılabileceği açıktır.

Örnek:

P(x) = x4 _{– 2x}3 _{+ 5x + 2 polinomu verilsin. Bu polinom x + 1 e kalansız}

bölünebi-lir. Çünkü P(-1) = (-1)4 _{- 2(-1)}3 _{+ 5(-1) + 2 = 1 + 2 – 5 +2 = 0.}

P(x) polinomunu x +1 bölersek , bölüm olarak, Q(x) = x3 _{– 3x}2 _{+ 3x + 2 buluruz .}

Buna göre,

x4 _{– 2x}3 _{+ 5x + 2 = (x +1 ) (x}3 _{– 3x}2 _{+3x + 2)}

yazabiliriz.

Örnek:

P(x) = x3 _{- x}2 _{- x - 2 polinomu x - 2 ye kalansız bölünür. Çünkü, P(2) = 2}3 _{- 2}2 ₂

-2 = 8 - 4 - -2 - -2 = 0 dır. Bölme işleminden sonra, x3 _{– x}2 _{– x –2 = (x – 2) (x}2 _{+ x +1 )}

Şimdi yüksek dereceli bazı denklemlerin köklerinin bulunması ile ilgili bir teoremi ve bu teoremin uygulamalarını görelim.

Teorem:

a1 , a2 , ... , an-1 , an birer tam sayı olmak üzere,

xn _{+ a}

1xn-1 + a2xn-2 + ...+ an-1x + an = 0

n-inci dereceden polinom denklemi verilsin. Bir p tam sayısı bu denklemin bir kökü ise p sayısı an katsayısının (sabit teriminin) bir bölenidir.

İspat:

x = p tam sayısı denklemin kökü olduğundan denklemi sağlar, yani pn _{+ a} 1pn-1 + a2pn-1+...+ an-1p + an = 0 dır. Buradan pn _{+ a} 1pn-1 + a2pn-1+...+ an-1p = - an p(pn-1 _{+ a} 1pn-2 + a2pn-3 +...+ an-1) = - an .

Bu eşitlikte p, a1, a2, ...,an-1 birer tam sayı olduğundan sol taraf bir tam sayıdır ve

p ile bölünür. Bu nedenle sağ taraf ve dolayısıyla an katsayısı p ile bölünür.

Örnek:

x3 _{+ 4x}2 _{+ x – 6 = 0 denkleminin köklerini araştırınız.}

Çözüm:

Yukarıdaki teoreme göre, bu denklemin varsa tam sayı kökleri, sabit terim olan a3 = - 6 nın bölenleridir. Bu nedenle (- 6) nın bölenleri olan -1, 1, -2, 2 , -3, 3, -6 ve

6 sayılarının denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol edersek, -2, -3 ve 1 in denkle-min kökleri olduğunu görürüz.

Denklem üçüncü dereceden olduğundan en fazla üç tane gerçel kökü vardır. Denklemi sağlayan (varsa) üç tane tam sayı bulunduktan sonra, kontrol edil-meyen bölenler denklemi sağlamaz, bu nedenle başka kök aramaya gerek yok-tur.

Her zaman yukarıdaki örnekte olduğu kadar şanslı olmayabiliriz. Karşılaşabilece-ğimiz durumları görmek için aşağıdaki örnekleri ele alalım.