HER amatör maran- goz bilir ki dikdört- gen biçimli bir ki- taplık eğilebilir- bir köşesine basılırsa paralelkenar biçimini alır. Oysa bir üçgen eğilemez; bir kenarının uzunluğunu değiştirmeden bir üç- genin biçimini değiştirmek ola- naksızdır. Aslında üçgen, eğilmez olan tek çokkenarlıdır. Üçgenden başka bir çokkenarlı-dikdört g e n , beşgen, altıgen vb. - biçiminde ya- pılan bir kitaplık mutlaka payan- dalarla desteklenmelidir. Çapraz payandaların rolü, çokgeni biçimi sabit üçgenlere ayırmaktır.
Bir kitaplığı sağlamlaştırmanın bir diğer yolu arkasına düz bir tah- ta çakmaktır. Bu durumda prob- lem üç boyutlu bir hal alır; bu çok daha ilginçtir. 200 yıldan beri ma- tematikçiler çokyüzlülerin (doğru kenarlar boyunca kesişen sonlu sa- yıda çokgen yüzleri olan katılar) eğilmezliğine şaşırıp kalmışlardır.
Son zamanlara değin, yüzleri üç- gen olan her çokyüzlünün eğilmez olduğu varsayıldı. Bugün bunun
doğru olmadığı anlaşılmıştır. Üç- gen yüzlerinin hiçbiri biçim değiş- tirmeyen eğilebilir (fleksibl) çok- yüzlüler vardır. Geçen yıl üç mate- matikçi uzun zamandır kanıtlana- mamış olan körük konjektürünü (konjektür= kanıtlanmamış, fakat doğru olduğu sanılan teorem; sa- nıt) kanıtladılar; bu konjektüre gö- re eğilebilir bir çokyüzlünün biçi- mi değişse bile hacmi sabit kalır.
Eski bir Grek formülüne dayanan bu kanıt matematikte bir çığır açtı.
Kâğıt bükme sanatı (origami) ile uğraşan herkes bilir ki, birçok eğilebilir çokyüzlü yapmak olası- dır; kanat çırpan kuşlar bacaklarını oynatan kurbağalar vb. Acaba bu şekiller eğilebilir çokyüzlüler mi- dir? Yanıt hayır’dır. Bu şekillerde kanat ya da bacakları oynarken kâ - ğıt hafifçe bükülür. Akordiyonda da durum aynıdır; körük açılıp ka- panırken yüzler gerilir ve bükülür- ler. Eğilebilir çokyüzlülerin yüzle- riyse milyarda bir metre kadar bile kıpırdamaz. Eğilebilir çokyüzlü bi- çim değiştirirken yalnızca yüzler arasındaki açılar değişir. Sanki yüz-
l e r, kenarlardan menteşelidir ve bunların dışında hiçbir şey yerin- den oynamaz.
1813’te Fransız matematikçisi Augustin Louis Cauchy, konveks (dışbükey) bir çokyüzlünün bükü- lemeyeceğini kanıtladı. Peki ya gi- rintiler varsa?
Fransız mühendis Raoul Bri- card şunu kanıtladı: Konveks ol- mayan bir çokyüzlü, yüzleri birbiri içinden geçiryorsa eğilebilir nite- l i k l i d i r. Böyle bir cisim gerçek dünyada varolamaz. Fakat Bricard şekillerini, yüzleri çıkarılmış ve kenarları bükülmez çubuklard a n yapılmış çokyüzlüler olarak hayal edebiliriz.
1970’lerde şimdi Cornell Üni- versitesi matematik bölümü baş- kanı olan Robert Conelly, Bri- card’ın konveks olmayan eğilebilir çokyüzlülerini, yüzleri birbiri için- den geçmeyecek biçimde değiştir- di. Bu şekil Düsseldorf Üniversite- si’nden Klaus Steffen tarafından basitleştirildi: 14 üçgen yüzlü ve 9 köşeli eğilebilir bir çokyüzlü. Bu çokyüzlüyü ince kartondan yapa-
74 Bilim ve Teknik
Matematik Eğlenceleri...
Geometrik Körük
Eğilebilir polihedron. Yandaki şekle göre in - ce kartondan yapabilirsiniz. Bittiği zaman yukarıdaki şekil oluşacaktır. Sayılar kenar uzunluklarıdır. Şekil simetrik olduğundan solda da aynı sayılar kullanılmalıdır.
İçe doğru katlama Dışa doğru katlama
rak ve nasıl büküldüğünü görerek eğlenebilirsiniz. Bu olası eğilebilir çokyüzlülerin en basitidir; fakat bunu kanıtlamak çok zordur.
Bu şekil bükülürken, bazı yüz- ler birbirlerine yakınlaşırken, öteki yüzler birbirlerinden uzaklaşıyor- du. Çokyüzlünün hacmi sabit gö- rünüyordu. New York Kent Üni- versitesi’nden D. Sullivan bu var- sayımı kanıtlamak için küçük bir delik açarak eğilebilir çokyüzlü- nün içine duman doldurdu. Şekil bükülünce delikten hiç duman çıkmadı. Bu deney hacmin değiş- mediğini düşündürüyordu; fakat bildiğimiz körük doğal olarak ge- ometrik körükten farklıdır; çünkü körüğün hacmi biçimine bağlı ola- rak değişir; bu sayede havayı içine alıp dışarı verir; geometrik körü- ğün hacmiyse, biçimine bağlı ola- rak değişmez.
Körük konjektürünün ilginç bir yönü şudur: Onun iki boyutlu ana- logu yanlıştır. Eğilebilir çokkenar- lıların alanı, biçimine bağlı olarak d e ğ i ş t i r. Örneğin bir dikdört g e n b ü k ü l e rek paralelkenar yapılınca alanı küçülür. Açıkça, üçboyutlu uzayda, çokyüzlü gerçek hacmi bi - çimiyle değişen körük yapmayı olanaksızlaştıran bir şey vardır.
Bu problemi çözmek için Con- nely ve diğer iki matematikçi Mos- kova Devlet Üniversitesi’nden Idzhad Sabitov ve Cornell Üniver- sitesi’nden Anke Waltz, üçgenin alanını veren eski bir formül üze- rinde durdular. Bu formülü Arşi- med’in bulduğuna inananlar varsa da, aslında onu bulan ve kanıtlayan İskenderiyeli Hero n ’ d u r. Hero n M.Ö. 100 ile M.S. 100 arasında bir tarihte yaşamış bir Yunan matema- tikçisidir. Heron formülünde, ke- narları a, b ve c olan bir ABC üçge- ninde, çevrenin yarısı s ise alan x=√s(s-a)(s-b)(s-c)dir.
Bunun karesi
1 6x2+a4+b4+c4- 2a2b2- 2a2c2- 2b2c2= 0 olur. Bu çokterimli bir denklemdir (polinom) ve x, a, b ve c’nin tamsa- yı üsleri sözkonusudur.
Sabitov matematiğe yeni bir düşünce getirdi: Her çokyüzlü için, şeklin hacmini kenar uzunlu- ğuna bağlayan benzer bir çokte- rimli denklem olabilirdi. Böyle bir
denklemin bulunuşu, çok çarpıcı bir olay olacaktı. Bazı çokyüzlüle- rin hacmi için güzel formüller var- dır; örneğin dikdörtgen prizması- nın hacmi uzunluk, en ve yüksek- liğin çarpımına eşittir; d ö rt adet üçgen yüzü olan dörtyüzlü (tetra- h e d ron) için Heron form ü l ü n e benzeyen bir formül vardır. Fakat bugüne kadar hiç kimse herhangi bir çokyüzlünün hacmini verebile- cek genel bir formül bulamadı.
Acaba geçmişin büyük matematik- çileri gerçekten böyle bir formül aramadılar mı? Bu pek olası gibi gözükmüyor.
Diyelim ki böyle bir formül var.
O zaman körük konjektürünün doğru olması gerekir; çünkü bir çokyüzlünün hacmi yalnız kenarla- rının uzunluğuna bağlı olacaktır.
Oysa biliyoruz ki bizim geometrik körüğümüz, kenarlarının uzunluğu değişmeden, yalnız yüzler arasın- daki açı değişerek biçim değiştirir;
kenarlarının uzunluğu değişmedi- ğinden hacminin de değişmemesi gerekir. Bu tip usavurmada bir pü- rüz vardır: Çokterimli bir denkle- min bir değil, birçok çözümü var- dır; bu bakımdan kuramsal olarak çokyüzlünün hacmi bir çözümden diğer çözüme sıçrar. Ne var ki ger- çekler dünyasında bu gibi sıçrama- lar olamaz; geometrik körüğümüz yavaş yavaş (sürekli) biçim değişti- receğinden, hacmi bir değerd e n diğer bir değere atlayamaz. O hal- de hacim sabit kalmalıdır.
Matematikçiler kanıtlarına, Heron formülüne benzeyen, fakat ondan daha karmaşık olan dörtyüz- lünün hacim formülünü değiştire- rek başladılar. Herhangi bir çok- gen üçgenlere ayrılabildiği gibi
herhangi bir çokyüzlü de dörtyüz- l ü l e re ayrılabilir. Ç o k y ü z l ü n ü n hacmi, kendisini oluşturan dört- yüzlülerin hacminin toplamına eşittir. Fakat yalnız başına bu yön - tem, bu problemi çözmek için ye- terli değildir; çünkü ancak bütün d ö rtyüzlülerin kenarlarını içere n bir formül oluşturabilir; oysa dört- yüzlülerin kenarlarının birçoğu, çokyüzlünün kenarı değildir. Dört- yüzlülerin kenarları, çokyüzlünün bir köşesinden ötekine giden kö- şegenlerdir; çokyüzlü biçim değiş- t i rdiği zaman bu köşegenlerin uzunlukları da değişir. Matematik- çiler değişken elemanlardan kur- tulabilmek için bu formüle cebir- sel bir “masaj” yapmak zorunda kaldılar.
Bu karmakarışık bir işti. Örne- ğin bir sekizyüzlü (oktahedro n ) söz konusu olduğunda, hacmi ve- recek formüle cebirsel masaj uygu- lanması sonucu, 16. dereceden (x16 içeren) çokterimli bir denklem el- de edildi. Yüz sayısı daha fazla olan çokyüzlüler söz konusu olduğun- da, daha da yüksek üsler içeren çok terimli denklemler elde edili- yordu. Fakat nihayet 1996 yılında Rus matematikçisi Sabitov, her- hangi bir çokyüzlünün hacmini ve- rebilen bir algoritma buldu! 1997 yılında Cornell Üniversitesi’nden Robert Connely ve Anke Waltz ve Moskova Devlet Üniversitesi’n- den İdzhad Sabitov, bu algoritmayı çok basitleştirdiler. Bütün çokyüz- lüler için böyle denklemler bulun- masının nedenleri tam anlaşılama- m ı ş t ı r. İki boyutlu bir ort a m d a , yalnız üçgenlere uygulanabilen Heron formülünden başka formül yoktur [Üçgenin alanı= çevrenin yarısıyla, çevrenin yarısının üç ke- nardan farklarının çarpımının kare- kökü]. Connelly ve Waltz, körük konjektürünü dört boyutlu bir or- tam için kanıtlayabilmişlerdir; fa- kat beş ve daha fazla boyutlu or- tamlarda problem kanıtsız kalmak- tadır. Bir kartonu biraz bükmekle yapılan basit bir deneyin, nasıl hiç beklenmedik harika bir matema- tiksel buluşa yol açtığını görmek- insanı adeta büyülemektedir.
Scientific American, Temmuz 1998 Çeviri: Selçuk Alsan
Eylül 1998 75
Heron formülü
Üçgenin kenarları a, b, c alanı x ve çevresinin yarısı.
Eğer bu denklemin karesini alırsak aşağıdaki denklemi elde ederiz:
