Test 60 Üçgende Alan

www

.krakademi.com

• [BD] açıortay ise D noktasından AB kena-rına dikme indirilirse, |BH| = |BE| ve |DH| = |DE| = 5 cm olur.

Bilgi:

Bir üçgenin alanı tabanı ile yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir. A B H C ( ) | | | | A ABC BC AH 2 $ =

• |AB| + |BC| = 18 ise ABC üçgeninin alanı,

( ) ( ) ( )

( )

.

Alan ABC Alan ABD Alan BDC

AB DE BC DH AB BC AB BC cm bulunur 2 2 2 5 5 2 5 2 5 18 5 9 45 9 2 $ $ $ $ $ $ $ = + = + = + = + = = = Cevap: D D B 3 C 15 15 H 9 6 12 15 Bilgi:

Bir ikizkenar üçgende tabana ait yükseklik, kenaror-tay ve aynı zamanda tepe noktasına ait açıorkenaror-taydır.

A

B H C

|AB| = |AC| ise |AH| yüksekliği, açıortay ve kenaror-taydır.

• İkizkenarın tepe noktası A dan BC kenarına çizi-len yükseklik kenartay olduğundan,

|BC| = 18 cm ise |BH| = |HC| = 9 cm olur. • AHB üçgeninde pisagor bağıntısından,

. BH AH AB AH AH AH AH cm olur 9 15 81 225 144 12 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + = + = = =

• ADC üçgeninde [DC] tabanının yüksekliği [AH] olduğundan, ( ) . Alan ADC AH DC cm bulunur 2 2 12 3 6 3 18 6 2 $ $ $ = = = = Cevap: B

www

.krakademi.com

3.

A ADC AB DC oldu undan

A ADC A ADC cm dir 2 2 12 8 48 4 2 $ $ = = =

• AEC ve EDC üçgenlerinin yükseklikleri aynı oldu-ğundan üçgenlerin alanları oranı taban uzunlukla-rı eşit ise üçgen alanlauzunlukla-rı birbirine eşittir.

|AE| = |ED| ise A(EDC) = A(AEC) dir.

• ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) .

A ADC A EDC A AEC

A EDC A EDC A EDC A EDC cm bulunur 48 48 2 24 2 $ = + = + = = . \ Cevap: B

4.

• |EC| = 2·|AE|, |AE| = k ise |EC| = 2k olur. • ABC eşkenar üçgeninin tüm kenarları birbirine

eşit ise, AC BC k k 3 12 4 = = =

• [DE] // [BC] olduğundan ADE üçgeni eşkenar üçgen ve |AD| = |DE| = |AE| = 4 cm olur.

Bilgi:

Bir kenar x cm olan eşkenar üçgenin alanı,

A B C x x x 60° 60° 60° ( ) A ABC x 4 3 2_$ = • Bu bilgiye göre, ( ) .

Alan ADE cm dir

4

42$ 3 _{4 3} 2

= =

• ADE ve DCE üçgenlerinin yükseklikleri aynı oldu-ğundan üçgenlerin alanları oranı taban uzunlukla-rı oranına eşittir. ( ) ( ) ( ) ( ) A DCE A ADE EC AE A DCE A DCE 4 3 8 4 2 4 3 2 $ = = =

www

.krakademi.com

• [BC] uzatılıp A noktasından dik çizilir.

• AHB 30° – 60° – 90° özel üçgeni olur. 90° nin gördüğü kenar uzunluğu 30° nin gördüğü kenarın 2 katına eşittir. 60° nin gördüğü kenar uzunluğu ise 30° nin gördüğü kenar uzunluğunun 3 katı-na eşittir. . AB cm ise HB cm AH cm olur 90 4 3 30 2 4 3 2 3 60 2 3 3 6 fl› › fl› › fl› › kar s kar s kar s $ c c c = = = = =

• ABC üçgeninin [BC] tabanına ait yüksekliği [AH] olduğundan, ( ) . A ABC BC AH cm bulunur 2 2 7 6 7 3 21 3 2 $ $ $ = = = = Cevap: C B C D E F 4 9

• [DE] doğrusu çizilirse, BDE üçgeninin [BD] taba-nına ait yüksekliği [EF] olduğundan,

( ) . A BDE BD EF cm olur 2 2 9 4 18 2 $ $ = = =

• BDE ve EDC üçgenlerinin yükseklikleri aynı olduğundan üçgen alanları taban uzunlukları ile orantılıdır. Taban uzunlukları eşit olduğundan üçgen alanları birbirine eşittir.

|BE| = |EC| ise A(BDE) = A(EDC) = 18 cm2 _olur.

• DC AD ise AD DC 3 4 3 4 $ = $ =

• DBC ve ABD üçgenlerinin yükseklikleri aynı oldu-ğundan üçgenlerin alanları oranı taban uzunlukla-rı oranına eşittir. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . A ABD A DBC AC DC A ABD A ABD A ABD cm bulunur 36 3 4 9 3 27 9 2 $ = = = = Cevap: E

www

.krakademi.com

7.

4

• ABC üçgeninde pisagor bağıntısından, x x + + y y . AB AC BC cm olur 7 49 2 2 2 2 2 2 2 2 + = = =

• ABC üçgeninin alanı 8 cm2 _ise,

( ) . A ABC AB AC x y x y x y cm olur 2 8 2 8 2 16 $ $ $ $ $ = = = = • ( ) , ( ) ( ) ( ) . € x y x xy y oldu una g re x y x y x y x y cm olur 2 49 2 16 49 32 81 9 ö 2 2 2 2 2 2 $ + = + + + = + + = + + = + = • Ç ( ) . evre ABC x y cm bulunur 7 9 7 16 = + + = + = Cevap: C

8.

• BDC 45° – 45° – 90° özel üçgenidir. 90° nin gör-düğü kenar uzunluğu 45° nin görgör-düğü kenar uzunluğunun 2 katına eşittir.

, . BC x cm ise BD DC x cm olur 90 45 2 fl› › fl› › kar s kar s c c = = =

• Taralı alanı, ABC eşkenar üçgen alanından BDC ikizkenar dik üçgenin alanının çıkarılması ile bulu-nur. › ( ) ( ) ( ) ( ) . fl › ›

Taral alan ABC e kenar BDC ikizkenar

gen alan dik gen alan

x x x x x x x x x cm bulunur 9 3 1 4 3 2 2 2 9 3 1 4 3 2 2 9 3 1 4 3 1 9 4 36 6 üç üç 2 2 2 2 2 2 $ $ $ $ $ $ $ $ = -- = -- = -- = -= = = Cevap: D

www

.krakademi.com

• Alan (AFE) = Alan (ECD) = A cm2 _olsun.

Alan (BCEF) = B cm2 _olsun.

• Alan(ABC) = A + B ve Alan(BDF) = A + B cm2

olduğuna göre ABC üçgeni ile BDF üçgen olanları birbirine eşittir.

Bilgi:

Bir üçgenin alanı, iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açının sinüs değerinin çarpımının yarısına eşittir. A B a c b C ( ) ( ) ( ) sin sin sin A ABC b c A A ABC a c B A ABC a b C 2 2 2 $ _$ $ _$ $ _$ = = = W V W & & & • Bilgi doğrultusunda, ( ) ( ) . sin sin

Alan ABC Alan BDF

AB BC BF BD AB AB AB cm bulunur 2 2 12 6 20 12 120 10 $ $ $ $ $ $ $ a a = = = = = Cevap: A A B D E F 2a 2k 2k 3k 3a 24 24 36

• BDEF dikdörtgeni alanı 48 cm2 _{ise, BE köşegeni}

çizilirse alanları eşit iki üçgen elde edilir.

Buna göre, (A EFB&)=A EDB(&)=24 cm olur2 .

• EDB ve EDC üçgenlerinin yükseklikleri aynı oldu-ğundan üçgen alanları oranı taban uzunlukları oranına eşittir. ( ) ( ) , . A EDC A EDB DC BD DC BD DC BD BD EF k ise DC k olur 36 24 3 2 ₂ 3 = = = = = =

• [EF] // [BC] olduğundan AFE üçgeni ile ABC üçgeninin tüm açıları aynı olduğundan bu iki üçgen birbirine benzerdir.

. . . AFE ABC AB AF BC FE AC AE dir AB AF k k _{olur AF a ise} AB a olur 5 2 5 2 ₂ 5 + = = = = = = & &

• AEF ve EFB üçgenlerin yükseklikleri aynı oldu-ğundan üçgen alanları oranı taban uzunlukları oranına eşittir. ( ) ( ) ( ) ( ) . A EFB A AEF FB AF A AEF a a A AEF cm bulunur 24 3 2 3 24 2$ ₁₆ 2 = = = = Cevap: C

www

.krakademi.com

11.

• |AB| = 28 ise |BE| = x ise |AE| = 28 – x dir. • ABD ve BCD üçgenlerinin yükseklikleri aynı

olduğundan alanları taban uzunlukları ile doğru orantılıdır. ( ) ( ) || || ( ) ( ) ( ) ( ) . A BCD A ABD DC AD A BCD A ABD A ABD S ise A BCD S olur 9 21 3 7 7 3 = = = = =

AEB üçgeni ile BCD üçgeninin alanları birbirine eşit ise A(BCD) = A(AED) = 3S dir.

• ( ) ( ) ( )

( )

( ) .

A AED A BDE A ABD

S A BDE S A BDE S olur 3 7 4 + = + = =

• AED ve BDE üçgenlerinin yükseklikleri aynı oldu-ğundan alanları taban uzuklukları ile doğru oran-tılıdır. ( ) ( ) | | | | . A BDE A AED BE AE S S x x x x x x x x cm bulunur 4 3 ₂ 112 4 3 112 7 112 16 8 3 4 = = -= -+ = = = Cevap: A

12.

• Eşit alanlı üçgen alanlarının herbiri S cm2 _olsun.

Buna göre, Alan(ABC) = 3S olur.

( ) . A ABC S AB BC S S cm olur 3 2 3 2 9 18 27 2 $ $ = = = =

• ABD üçgeninin alanı 2S olduğundan

( ) . | | A ABD AB BD S BD cm olur BD 2 2 2 9 2 27 12 3 $ $ $ = = = =

• ABE ve BED üçgenlerinin yükseklikleri aynı oldu-ğundan üçgenlerin alanları oranı taban uzunlukla-rı oranına eşittir. ( ) ( ) . A BED A ABE ED AE S S ED AE AE ED olur & = = =

• |AE| = |ED| ise [BE] kenarortaydır ve 90° den çeki-len kenarortay tabanın yarısına eşittir.(Mühteşem Üçlü)

|BE = |AE| = |ED| = x cm olur.

• ABD üçgeni pisagor bağıntısından 9 – 12 – 15 özel üçgenidir. Buna göre, |AD| = 15 olur.

. AD x x cm bulunur 2 15 2 15 = = = Cevap: E