T.C.
TRAKYA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
KESĠDĠ ÜSTEL OLARAK DEĞĠġEN KĠRĠġLERĠN SERBEST TĠTREġĠM ANALĠZĠ
ĠSMAĠL VARSERĠN
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ
MAKĠNE MÜHENDĠSLĠĞĠ ANABĠLĠM DALI
TEZ DANIġMANI: Yrd.Doç.Dr. Vedat TAġKIN
i Yüksek Lisans Tezi
Kesidi Üstel Olarak DeğiĢen KiriĢlerin Serbest TitreĢim Analizi T.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü
Makine Mühendisliği Anabilim Dalı
ÖZET
Bu çalıĢmada değiĢken kesitli izotropik kiriĢ incelenmiĢtir. Seçilen kiriĢ geniĢliği üstel olarak değiĢken olduğundan yönetici denklemler uzay koordinatlarında benzer kesit geometrileri için adi diferansiyel denklemler haline indirgenmiĢtir. KiriĢ titreĢimine ait analitik çözümler ankastre, basit mesnetli ve serbest uçlu olmak üzere bütün sınır koĢulları için ayrı ayrı hesaplanmıĢtır. Mod Ģekilleri ve doğal frekanslar her bir sınır Ģartı için bulunmuĢtur. Sonuçlar kiriĢ kesitindeki değiĢimin mod Ģekillerini ve doğal frekansları etkilediğini göstermektedir. TitreĢim büyüklüğü geniĢleyen kesitlerde artmakta daralan kesitlerde ise azalmaktadır.
Yıl : 2015
Sayfa Sayısı : 59
Anahtar Kelimeler : KiriĢ; TitreĢim; DeğiĢken Kesit; Mod ġekilleri; Doğal Frekanslar
ii Master's Thesis
Free Vibration Analysis of Beam with Exponantially Varying Width Trakya University Institute of Natural Sciences
Department of Mechanical Engineering
ABSTRACT
In this study vibration of an isotropic beam whose cross section is variable is investigated. Governing equations is reduced to an ordinary diffrential equations in spatial coordinates for a familiar cross section geometries by choosing the beam with exponantially varying width. Analytical solutions of the vibration of the beam are obtained for all boundry conditions associated with clamped, simply supported and free ends. Mode shapes and natural frequencies are determined for each boundry conditions. Results show that non-uniformity in the cross section influences the mode shapes and the natural frequencies. Amplituded of vibrations is increased for widening beams and decreased for narrowing beams.
Year : 2015
Number of Pages : 59
Keywords : Beam; Vibration; Variable cross-section; Mode Shapes; Natural Frequencies
iii
ÖNSÖZ
KiriĢler yapı elemanı olarak çeĢitli mühendislik uygulamalarında kullanılan bir taĢıyıcı elemandır. GeliĢmekte olan teknoloji ile birlikte kullanım alanı geniĢleyen kiriĢler yeni kullanım yerlerine göre farklı geometrilere ve buna bağlı olarak farklı davranıĢlara ihtiyaç duymaktadır. KiriĢlerdeki bu geometrik değiĢimlerden kaynaklı mekanik özelliklerinde meydana gelen değiĢikliklerin belirlenmesi önem teĢkil etmektedir. Bu çalıĢmada geniĢliği üstel olarak değiĢim gösteren kiriĢlerin serbest titreĢimi incelenmiĢtir.
Yüksek lisans tezi danıĢmanlığımı üstlenerek gerek konu seçimi gerekse çalıĢmalarımın yürütülmesi sırasında desteğini ve bilgisini esirgemeyen ve her zaman teĢvik edici olan tez danıĢmanım Sayın Yrd.Doç.Dr. Vedat TAġKIN‟a teĢekkür ederim.
Yüksek lisans tezini hazırlarken, benden desteklerini esirgemeyen aileme ve bu çalıĢmanın düzenlenmesinde büyük yardımları olan arkadaĢım Dilek ÖNER‟e teĢekkür ederim.
iv
ĠÇĠNDEKĠLER
ÖZET i ABSTRACT ii ÖNSÖZ iii ĠÇĠNDEKĠLER iv SĠMGELER DĠZĠNĠ vii BÖLÜM 1. GĠRĠġ 1.1. Problem ve Önemi 1 1.2. Önceki ÇalıĢmalar 1 1.3. ÇalıĢmanın Amacı 3 BÖLÜM 2. ANALĠZ2.1. Yönetici Denklemlerin Elde Edilmesi 4
2.2. Yönetici Denklemlerin Sınır KoĢullarında Uygulanması ve Katsayıların Elde Edilmesi 8 2.2.1. Ankastre-Ankastre Sınır KoĢulları (C-C) 8 2.2.2. Ankastre-Basit Sınır KoĢulları (C-S) 11 2.2.3. Ankastre-Serbest Sınır KoĢulları (C-F) 14 2.2.4. Basit-Basit Sınır KoĢulları (S-S) 17 2.2.5. Basit-Serbest Sınır KoĢulları (S-F) 20 2.2.6. Serbest-Serbest Sınır KoĢulları (F-F) 24 BÖLÜM 3. SONUÇLAR
3.1. Sınır KoĢullarına Ait TitreĢim Değerleri 29
3.1.1. C-C Sınır ġartı Ġçin TitreĢim Değerleri 29
3.1.1.1. C-C Mod 1 29
3.1.1.2. C-C Mod 2 30
3.1.1.3. C-C Mod 5 30
3.1.1.4. C-C Mod 8 30
3.1.2. C-S Sınır ġartı Ġçin TitreĢim Değerleri 31
3.1.2.1. C-S Mod 1 31
3.1.2.2. C-S Mod 2 31
3.1.2.3. C-S Mod 5 31
v
3.1.3. C-F Sınır ġartı Ġçin TitreĢim Değerleri 32
3.1.3.1. C-F Mod 1 32
3.1.3.2. C-F Mod 2 32
3.1.3.3. C-F Mod 5 33
3.1.3.4. C-F Mod 8 33
3.1.4. S-S Sınır ġartı Ġçin TitreĢim Değerleri 33
3.1.4.1. S-S Mod 1 33
3.1.4.2. S-S Mod 2 34
3.1.4.3. S-S Mod 5 34
3.1.4.4. S-S Mod 8 34
3.1.5. S-F Sınır ġartı Ġçin TitreĢim Değerleri 35
3.1.5.1. S-F Mod 1 35
3.1.5.2. S-F Mod 2 35
3.1.5.3. S-F Mod 5 35
3.1.5.4. S-F Mod 8 36
3.1.6. F-F Sınır ġartı Ġçin TitreĢim Değerleri 36
3.1.6.1. F-F Mod 1 36
3.1.6.2. F-F Mod 2 36
3.1.6.3. F-F Mod 5 37
3.1.6.4. F-F Mod 8 37
3.2. Sınır ġartlarına Ait Doğal Frekanslar 38
3.2.1. C-C Sınır ġartına Ait Doğal Frekanslar 38
3.2.2. C-S Sınır ġartına Ait Doğal Frekanslar 38
3.2.3. C-F Sınır ġartına Ait Doğal Frekanslar 39
3.2.4. S-S Sınır ġartına Ait Doğal Frekanslar 39
3.2.5. S-F Sınır ġartına Ait Doğal Frekanslar 40
3.2.6. F-F Sınır ġartına Ait Doğal Frekanslar 40
3.3. Elde Edilen Doğal Frekansların Önceki ÇalıĢmalarla KarĢılaĢtırılması 41 3.3.1. C-F Sınır ġartına Ait Doğal Frekansların Önceki ÇalıĢmalarla KarĢılaĢtırılması
41
3.3.2. C-C Sınır ġartına Ait Doğal Frekansların Önceki ÇalıĢmalarla KarĢılaĢtırılması
41
3.3.3. C-F Sınır ġartına Ait Doğal Frekansların Önceki ÇalıĢmalarla KarĢılaĢtırılması
42
vi
3.4.1. C-C Sınır ġartına Ait Grafikler 43
3.4.2. C-S Sınır ġartına Ait Grafikler 45
3.4.3. C-F Sınır ġartına Ait Grafikler 47
3.4.4. S-S Sınır ġartına Ait Grafikler 49
3.4.5. S-F Sınır ġartına Ait Grafikler 51
3.4.6. F-F Sınır ġartına Ait Grafikler 53
3.3. Değerlendirme 55
KAYNAKLAR 56
vii
SĠMGELER DĠZĠNĠ
A Kesit alanı
A(x) KiriĢ boyuna bağlı kesit alanı fonksiyonu A* KiriĢin boyutsuz kesit alanı
Aor KiriĢin sol ucundaki kesit alanı
A-or KiriĢin sol ucundaki boyutsuz kesit alanı
A0, B0, C0, D0 KiriĢ boyuna bağlı yönetici denkleme ait katsayılar
C1, C2 Zamana bağlı yönetici denkleme ait katsayılar
e Doğal logaritma tabanı
E KiriĢin elastisite modülü
F, F(x) KiriĢ boyuna bağlı fonksiyon G, G(t) Zamana bağlı fonksiyon
I KiriĢin atalet momenti
I(x) KiriĢ boyuna bağlı atalet momenti fonksiyonu I* KiriĢin boyutsuz atalet momenti
Ior KiriĢin sol ucundaki atalet momenti
I*or KiriĢin sol ucundaki boyutsuz atalet momenti
L KiriĢin boyu
M(δ) Eğrilik katsayısını bağlı olarak sınır Ģartına ait titreĢim değeri
ρ KiriĢin yoğunluğu
t Zaman
w Herhangi bir referansa göre yer değiĢtirme parametresi w(x, t) KiriĢ boyuna ve zamana bağlı fonksiyon
w* Boyutsuz yer değiĢtirme parametresi
x* KiriĢ boyunca uzanan, kiriĢin sol ucuna göre boyutsal koordinat ölçüsü
ω Gerçek sabit
Ω Radyal frekans
1
BÖLÜM 1
GĠRĠġ
Bu bölüm üç kısımdan oluĢmaktadır. Kısım 1‟de incelenen problem ve önemi açıklanmakta, Kısım 2‟de konu ile ilgili daha önceden yapılmıĢ çalıĢmalar özetlenmektedir. Kısım 3‟te bu çalıĢmanın amacına yer verilmiĢtir.
1.1.Problem ve Önemi
Mühendislik uygulamalarında kullanılan taĢıyıcı sistemler çubuk, kiriĢ, mil, levha, plak, kafes sistem veya kabuk Ģeklindedir. Bu sistemlerin farklı zorlamalar altında statik ve dinamik davranıĢlarının belirlenmesi, güvenli endüstriyel tasarım açısından çok önemlidir. Bu çalıĢmada ele alınan yapı kiriĢtir. KiriĢler boyu doğrultusundaki eksenine dik kuvvetlerin etkisi altında bulunan taĢıyıcı elemanlardır.
1.2.Önceki ÇalıĢmalar
KiriĢler, birçok mühendislik uygulamasında yapı bileĢeni olarak kullanılır ve literatürde düzgün izotropik kiriĢlerin çapraz titreĢimi hakkında birçok araĢtırma bulabilirsiniz [1]. Düzgün olmayan kiriĢler, düzgün kiriĢlere oranla kütlenin ve kuvvetin daha iyi ya da uygun Ģekilde dağılmasını sağlayabilir, dolayısıyla mimari, robot teknolojisi, havacılık ve diğer yenilikçi mühendislik uygulamalarındaki özel iĢlevsel gereklilikleri sağlayabilir. Düzgün kiriĢler, çeĢitli çalıĢmaların konusunu oluĢturur. Cranch ve Adler [2], dört çeĢit dikdörtgen en kesiti bulunan serbest düzgün olmayan kiriĢlerin doğal frekansları ve mod Ģekilleri için (Bessel fonksiyonları ve/veya kuvvet
2
serileri açısından) kapalı yapıda çözümler sunmuĢtur. Convay ve Dubil [3], kesik koni kiriĢleri ve için benzer kapalı yapı çözümleri elde etmiĢtir. Heidebrecht [4], Fourier sinüs serilerini kullanarak frekans denkleminden benzer olmayan destekli kiriĢlerin ortalama doğal frekanslarını ve mod Ģekillerini belirlemiĢtir. Branch [5], ikincil alan momentinin lineer olarak alanla bağlantılı olmasını sağlayacak Ģekilde farklılık göstermesine izin verilen değiĢken en kesiti bulunan kiriĢlerin enine salınımının temel frekansını optimize etmiĢtir. Mabie ve Rogers [6], kiriĢin en kesit alanının çok terimli değiĢimini ve eylemsizlik momentini dikkate alarak, ikili konik kiriĢin doğal frekansını elde etmiĢtir. Bailey [7], düzgün olmayan dirsekli kiriĢin doğal frekansını elde etmek amacıyla Hamilton Yasası‟ndan elde edilen frekans denklemini sayısal olarak çözmüĢtür.
Olhoff ve Parbery [8], iki bitiĢik doğal frekans arasındaki farkı maksimize etmek için tasarım değiĢkeni olarak en kesit alanını kullanmıĢtır. Gupta [9], sonlu eleman yöntemini kullanmak suretiyle konik kiriĢlerin doğal frekansını ve mod Ģeklini sayısal olarak tespit etmiĢtir. Jategaonkar ve Chehil [10], uzunlukları boyunca sürekli ve süreksiz olarak farklılık gösteren en kesitli düzgün olmayan kiriĢler üzerine çalıĢmalar yapmıĢtır. Naguleswaran [11,12], Frobenius yöntemine dayalı doğrudan mod Ģekli çözümüyle tekli konik kiriĢlerin ve ikili konik kiriĢlerin ortalama doğal titreĢimlerini tespit etmiĢtir. Naguleswaran [13], ayrıca bir kenarı eksenel koordinatın karekökü kadar farklılık gösteren düzgün kiriĢin dikdörtgen en kesitini incelemiĢtir. Laura ve ekibi [14], geniĢliği sabit olan ve kalınlığı çift doğrusal olarak farklılık gösteren Bernoulli kiriĢlerinin doğal frekansını belirlemek için ortalama sayısal yaklaĢımlardan faydalanmıĢtır. Datta ve Sil [15], geniĢliği sabit olan ve derinliği doğrusal olarak farlılık gösteren konsol kiriĢlerinin doğal frekansını sayısal olarak belirlemiĢtir. Caruntu [16], dikdörtgen en kesitli kiriĢlerin doğrusal olmayan titreĢimlerini ve parabolik kalınlık değiĢimini incelemiĢtir. Yakın zamanda, Elishakoff ve Johnson [17], eksenel olarak düzgün olmayan malzeme özellikleri bulunan bir kiriĢin titreĢim sorunlarını irdelemiĢtir. Jang ve Bert [18,19], kademeli kiriĢlerin serbest titreĢimine ilgi göstermiĢ ve bu konuda kapsamlı bir incelemede bulunmuĢtur. Bu sonuçlardan bazılarını Elishakoff [20] tarafından hazırlanan makalede bulabilirsiniz. Son olarak Ece, Aydoğdu ve TaĢkın [21], en kesiti sürekli değiĢen izotropik kiriĢlerin doğal frekanslarını ve mod
3
Ģekillerini (ilk 5 mod) 3 sınır Ģartı için ( ankastre-ankastre, basit mesnet-basit mesnet, ankastre-serbest uç) incelemiĢlerdir.
1.3. ÇalıĢmanın Amacı
Dinamik yük altındaki makine elemanları veya yapılar için doğal frekanslar ve mod Ģekilleri önemli parametrelerdir. Bir makine elemanı veya bir yapının tasarlanırken doğal frekansları ve mod Ģekillerinin ve dolayısıyla titreĢimin genliğinin bilinmesiyle bu karakteristikler istenen sınırların dıĢında ise makine elemanının tasarımı değiĢtirilerek karakteristiklerin istenen sınırların içinde kalması sağlanabilir.
Önceki çalıĢmalar, en kesiti sürekli değiĢen izotropik kiriĢlerin titreĢim karakteristiklerinin önemli özellikleri olduğunu ve sadece Ece, Aydoğdu ve TaĢkın (2006) tarafından kısmi olarak incelendiği görülmektedir. Mevcut çalıĢmada, geniĢliği üssel olarak farklılık gösteren izotropik kiriĢin serbest titreĢimi incelenmektedir.
ÇalıĢmanın amacı, kiriĢin bütün sınır koĢulları için titreĢim davranıĢını tanımlayan analitik çözümler elde etmek ve sürekli değiĢen en kesitin doğal frekans ile mod Ģekilleri üzerindeki etkilerini tespit etmektir.
4
BÖLÜM 2
ANALĠZ
Bu bölüm iki kısımdan oluĢmaktadır. Ġlk kısımda değiĢken kesitli izotropik kiriĢe ait yönetici denklemlerin elde edilmesi, ikinci kısımda ise bu denklemlere ait katsayıların her bir sınır Ģartı için belirlenmesi yer almaktadır.
2.1 Yönetici Denklemlerin Elde Edilmesi
KiriĢlere ait en temel teori Euler-Bernoulli Teorisidir. KiriĢlere ait hareket denkleminin elde edilmesi için küçük bir kiriĢ parçası seçilerek hesaplamalar yapılır.
KiriĢ kesitinin dönmesi, kiriĢ ötelenmesine göre çok küçük bir değer olduğundan kesitin dönmesi ihmal edilir. Aynı Ģekilde açısal burulma kayma deformasyonuna oranla çok küçük olduğundan açısal burulma da ihmal edilir.
KiriĢin orta ekseninin yer değiĢtirmesi w olmak koĢulu ile; düzlem parçalarının, kiriĢ orta kısmına göre düzlem olarak kaldığı varsayılarak, kesit alanındaki herhangi bir noktanın yer değiĢtirme bileĢenleri Ģu Ģekilde ifade edilebilir.
( ) , v = 0, w = w(x, t)
5
ġekil 1: ġekil değiĢikliği altında kiriĢe ait yer değiĢtirmeler
Yer değiĢtirmeler çok küçük olduğu için tan α ≈ α kabul edilebilir.
Bu yer değiĢtirmelere göre gerilme ve deformasyon bileĢenleri Ģu Ģekildedir.
(2.2) Gerilme enerjisi Ģu Ģekilde yazılabilir;
∭( )
∫ ( ) (
)
(2.3)
Kinetik enerji Ģu Ģekilde yazılabilir;
∫ ∬ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) (2.4) Enine yük f(x,t) tarafından yapılan iĢ;
6 Hamilton Prensibi‟ne göre;
∫ ( ) (2.6)
Burada t1 ve t2 anları arasındaki varyasyondur. Denklem 2.3, 2.4 ve 2.5 denklem
2.6da yerine yazılırsa;
∫ ( ∫ ( ) (
) ∫ ( ) (
) ∫ ( ) ( ) ) (2.7) Denklem 2.7 düzenlenerek kiriĢe ait enine titreĢim denklemleri elde edilir.
( ( ) ) ( ) ( ) (2.8)
DeğiĢken kesitli izotropik kiriĢ için boyutsuzlaĢtırılmıĢ değiĢken parametreleri Ģu Ģekildedir:
√ , ,
, , , (2.9)
Burada t zaman, L kiriĢin boyu, E kiriĢin elastisite modülü, Aor ve I0r x= 0
konumdaki (yani kiriĢin sol ucundaki) kesit alanı ve atalet momenti, w herhangi bir referans uzaklık, ρ kiriĢin yoğunluğu ve x kiriĢin sol ucuna olan uzaklık Ģeklinde tanımlanmaktadır. “ *
“ iĢareti ait olduğu simgelerin boyutsuz haldeki değerlerini ifade etmektedir.
Mevcut çalıĢmada E ve ρ sabit olup serbest titreĢim inceleneceği için f(x,t)=0 olacaktır. Buna göre denklem 2.8 çözülürse;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2.10)
Boyutsuz formda yönetici denklem elde edilir.
2.10 numaralı denklemin çözümü Ģu Ģekilde kabul edilebilir:
7
Denklem 2.10 ve denklem 2.11‟in toplamı iki tane diferansiyel denklem takımından oluĢur. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2.12) (2.13)
Burada ω gerçek sabittir ve ω2= (Ω2ρL4
/EIor) Ģeklinde tanımlanır. Ω radyal frekanstır.
Denklem 2.13‟ün çözümü bilindiği üzere Ģu Ģekilde yazılır:
( ) ( ) ( ) (2.14)
2.12 numaralı denklemin çözümü için kiriĢin kesit geometrisinin belirlenmesi gerekmektedir. Bu çalıĢmada hem kesit alanı hem de atalet momenti, geniĢliğin karakteristiği ile doğru orantılı olacak Ģekilde ele alınmıĢtır. KiriĢin yüksekliği ve kalınlığına ait karakteristik özellikler sabit alınıp, geniĢliğe ait karakteristik özellik kiriĢin uzunluğu boyunca eksponansiyel olarak değiĢtiği varsayılmıĢtır. Böylece A(x) = eδx ve I(x) = eδx Ģeklinde ifade edilir. Burada δ eğrilik parametresidir.
Bu koĢullara göre 2.12 numaralı denklem Ģu hali alır:
( ) (2.15) Düzenlersek: ( ) (2.16)
Denklem 2.16nın çözümü Ģu Ģekilde elde edilir:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2.17) Burada:
8
2.17 numaralı denklem yönetici denklemdir. Sınır koĢulları bu denklem üzerinden uygulanarak gerekli sınır Ģartlarına ait sabitlerin bulunmasıyla serbest titreĢim denklemleri her bir sınır koĢulu elde edilir.
Bu çalıĢmada kiriĢ mesnet çeĢitleri basit(S), ankastre(C) ve serbest (F) olarak ele alınmıĢtır. Bu sınır koĢullarının kombinasyonları olan 6 çeĢit sınır Ģartı için katsayıların bulunmasına iliĢkin çözümler aĢağıdaki Ģekildedir.
2.2. Yönetici Denklemlerin Sınır KoĢullarında Uygulanması ve Katsayıların Elde Edilmesi 2.2.1. Ankastre-Ankastre Sınır KoĢulları (C-C) F(0) = 0 F‟(0) = 0 (sol mesnet) F(1) = 0 F‟(1) = 0 (sağ mesnet) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) [ [ ( ) ( ) ( ) ( )]] (2.18) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ( )] (2.19) F(0) = 0 (2.20) * ( ) ( ) ( ) ( )+ (2.21)
9 = - (2.22) F‟(0) = 0 (2.23) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ( )] (2.24) (2.25) Denklem 2.22 denklem 2.25de yerine yazılırsa:
(2.26) Denklem 2.26da katsayısı çözdürülürse:
(2.27) F(1) = 0 (2.28) [ ( ) ( ) ( ) ( )] (2.29) ( ) ( ) ( ( ) ( )) (2.30)
10 *
+ * + ( ( ) ( ))
(2.31)
Denklem 2.31 de katsayısı çözdürülerek:
[ ( ) ] [ ( ) ] (2.32) F‟(1) = 0 (2.33) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ( )] (2.34)
Denklem 2.22, 2.27 ve 2.31 denklem 2.34de yerine yazılarak c-c sınır koĢulu için titreĢim denklemi katsayısına bağlı olarak elde edilir.
[ [ ( ) ( )] ( ) ( )] [ ( ) ]
11 2.2.2. Ankastre-Basit Sınır KoĢulları (C-S) F(0) = 0 F‟(0) = 0 (sol mesnet) F(1) = 0 F‟‟(1) = 0 (sağ mesnet) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) [ [ ( ) ( ) ( ) ( )]] (2.36) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ( )] ( ) [ [ ( ) ( ) ( ) ( )]] (2.37) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ** ( )+ ( ) * ( )+ ( )+ (2.38) F(0) = 0 (2.39) [ ( ) ( ) ( ) ( )] (2.40)
12 = - (2.41) F‟(0) = 0 (2.42) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ( )] (2.43) (2.44) Denklem 2.41 denklem 2.44de yerine yazılırsa:
(2.45) Denklem 2.45de katsayısı çözdürülürse:
(2.46) F(1) = 0 (2.47) [ ( ) ( ) ( ) ( )] (2.48) ( ) ( ) ( ( ) ( )) (2.49)
13
Denklem 2.41 ve 2.46 denklem 2.49da yerine yazılırsa:
*
+ * + ( ( ) ( ))
(2.50) Denklem 2,50 de katsayısı çözdürülerek:
[ ( ) ] [ ( ) ] (2.51) F‟‟(1) = 0 (2.52) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [* ( )+ ( ) * ( )+ ( )] (2.53) Denklem 2.41, 2.46 ve 2.51 denklem 2.53de yerine yazılarak c-s sınır koĢulu için titreĢim denklemi katsayısına bağlı olarak elde edilir.
[ * ( ) ( ) ( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ]
= 0
14 2.2.3. Ankastre-Serbest Sınır KoĢulları (C-F) F(0) = 0 F‟(0) = 0 (sol mesnet) F‟‟(1) = 0 F‟‟‟(1) = 0 (sağ mesnet) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) [ [ ( ) ( ) ( ) ( )]] (2.55) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ( )] (2.56) ( ) [ [ ( ) ( ) ( ) ( )]] (2.57) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [* ( )+ ( ) * ( )+ ( )] (2.58) ( ) [ [ ( ) ( ) ( ) ( )]] (2.59)
15 ( ) ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) [( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ] (2.60) F(0) = 0 (2.61) [ ( ) ( ) ( ) ( )] (2.62) = - (2.63) F‟(0) = 0 (2.64) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ( )] (2.65) (2.66)
16 Denklem 2,63 Denklem 2,66‟da yerine yazılırsa:
(2.67) Denklem 58de katsayısı çözdürülürse:
(2.68) F‟‟(1) = 0 (2.69) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [* ( )+ ( ) * ( )+ ( )] (2.70) Denklem 2.63 ve 2.68 denklem 2.70de yerine yazılırsa:
( ) ( ) ( ) ( ) [( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ] (2.71)
17 Denklem 2.71de katsayısı çözdürülerek:
[ ( ) * ( ) ( ) ( )+ ( ) ] [ ( ) *( ) ( ) ( )+ ( ) ] (2.72) F‟‟‟(1) = 0 (2.73) ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) [( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ] (2.74) Denklem 2.63, 2.68 ve 2.72 denklem 2.74de yerine yazılarak c-f sınır koĢulu için titreĢim denklemi katsayısına bağlı olarak elde edilir.
[ [( ) ( ) ( ) ( )] (( ) ( ) ) ( ) [ (( ) ) ( ) ( ) ( )]] [ ( ) [( ) ( ) ( )] ( ) ] (2.75)
18 2.2.4. Basit-Basit Sınır KoĢulları (S-S) F(0) = 0 F‟‟(0) = 0 (sol mesnet) F(1) = 0 F‟‟(1) = 0 (sağ mesnet) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) * * ( ) ( ) ( ) ( )++ (2.76) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [* ( )+ ( ) * ( )+ ( )] (2.77) F(0) = 0 (2.78) [ ( ) ( ) ( ) ( )] (2.79) = - (2.80) F‟‟(0) = 0 (2.81)
19 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [* ( )+ ( ) * ( )+ ( )] (2.82) ( ) ( ) (2.83) Denklem 2.80 denklem 2.83de yerine yazılırsa:
(2.84) Denklem 2.84‟de D0 katsayısı çözdürülürse:
(2.85) F(1) = 0 (2.86) [ ( ) ( ) ( ) ( )] (2.87) ( ) ( ) ( ( ) ( )) (2.88) Denklem 2.80 ve 2.85 denklem 2.88‟de yerine yazılırsa:
*
+ * +
( ( ) ( ))
20 Denklem 2.89 da katsayısı çözdürülerek:
[ ( ) ] ( ) ( ) (2.90) F‟‟(1) = 0 (2.91) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [* ( )+ ( ) * ( )+ ( )] (2.92) Denklem 2.80, 2.85 ve 2.90 denklem 2.92de yerine yazılarak s-s sınır koĢulu için titreĢim denklemi katsayısına bağlı olarak elde edilir.
[ * ( ) ( ) ( )+ ( ) ( ) ( )] ( ) ( )
21 2.2.5.Basit-Serbest Sınır KoĢulları (S-F) F(0) = 0 F‟‟(0) = 0 (sol mesnet) F‟‟(1) = 0 F‟‟‟(1) = 0 (sağ mesnet) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) [ [ ( ) ( ) ( ) ( )]] (2.94) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [* ( )+ ( ) * ( )+ ( )] (2.95) ( ) [ [ ( ) ( ) ( ) ( )]] (2.96) ( ) ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) [( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ] (2.97) F(0) = 0 (2.98)
22 [ ( ) ( ) ( ) ( )] (2.99) = - (2.100) F‟‟(0) = 0 (2.101) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [* ( )+ ( ) * ( )+ ( )] (2.102) ( ) ( ) (2.103) Denklem 2.100 denklem 2.103de yerine yazılırsa:
(2.104)
Denklem 2.104de D0 katsayısı çözdürülürse:
(2.105)
23 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [* ( )+ ( ) * ( )+ ( )] (2.107)
Denklem 2.100 ve 2.105 denklem 2.107de yerine yazılırsa:
( ) ( ) ( ) ( )
*( ( )) ( )
( ( )) ( )+
(2.108) Denklem 2.108de katsayısı çözdürülerek:
[ ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ]
( ) ( ) (( ) ( ) ( )) ( ) ( )
(2.109)
24 ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) [( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ] (2.111) Denklem 2.100, 2.105 ve 2.109 denklem 2.111de yerine yazılarak s-f sınır koĢulu için titreĢim denklemi katsayısına bağlı olarak elde edilir.
[ ( ) * ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( )+ ( ) ( ) * ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( )+] [ * ( ) ( ) *( ) ( ) ( )+ ( ) ( )+] 0 (2.112)
25 2.2.6.Serbest-Serbest Sınır KoĢulları (F-F) F‟‟(0) = 0 F‟‟‟(0) = 0 (sol mesnet) F‟‟(1) = 0 F‟‟‟(1) = 0 (sağ mesnet) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) [ [ ( ) ( ) ( ) ( )]] (2.113) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [* ( )+ ( ) * ( )+ ( )] (2.114) ( ) [ [ ( ) ( ) ( ) ( )]] (2.115)
26 ( ) ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) [( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ] (2.116) F‟‟(0) = 0 (2.117) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [* ( )+ ( ) * ( )+ ( )] (2.118) ( ) ( ) (2.119) ( ) ( ) (2.120) F‟‟‟(0) = 0 (2.121)
27 ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) [( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ] (2.122) ( ) ( ) ( ) ( ) (2.123) Denklem 2.120 denklem 2.123‟de yerine yazılarak:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
(2.124) Denklem 2.124de D0 katsayısı çözdürülerek:
( )
(2.125)
28 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [* ( )+ ( ) * ( )+ ( )] (2.127) Denklem 2.120 ve 2.125 denklem 2.127de yerine yazılırsa:
( ) ( ( ) (( ) )) ( ) ( ) ( ( ) ( ( ) )) [* ( ) + ( ) ( ( )) ( )] ( ) Denklem 2.128de A0 katsayısı çözdürülürse:
[ ( ) * ( ) ( ) ( )+ ( )] ( ( ) ) * ( ) ( ) ( )+ ( ) ( ) F‟‟‟(1) = 0 (2.130) ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) *( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( )+ (2.131)
Denklem 2.120, 2.125 ve 2.129 denklem 2.131de yerine yazılarak f-f sınır koĢulu için titreĢim denklemi katsayısına bağlı olarak elde edilir.
[ * ( ) ( )+ ( ) ( )]
(( ) ) *( ) ( ) ( )+ ( ) = 0
29
BÖLÜM 3
SONUÇLAR
Bu bölüm beĢ kısımdan oluĢmaktadır. Birinci kısımda sınır Ģartlarına ait farklı eğrilik katsayıları için (-0.5, 0, 0.5) frekans değerleri listelenmiĢ, ikinci kısımda sınır Ģartlarına ait doğal frekanslar listelenmiĢtir. Üçüncü kısımda doğal frekansların geçmiĢ çalıĢmalardaki verilerle karĢılaĢtırılması yapılmıĢtır. Dördüncü kısımda birinci kısımda listelenen frekans değerlerinin genlik derecesi 1 olacak Ģekilde normalizasyonu yapılarak sınır Ģartlarına ait grafikler gösterilmiĢtir. BeĢinci kısımda ise elde edilen değerler ıĢığında eksponansiyel olarak sürekli değiĢken kesitli kiriĢin düzgün kiriĢe göre avantaj ve dezavantajları açıklanmıĢtır.
3.1. Sınır KoĢullarına Ait TitreĢim Değerleri 3.1.1. C-C Sınır ġartı Ġçin TitreĢim Değerleri 3.1.1.1. C-C Mod 1 x M(0.5) M(0) M(-0.5) 0.00 0.000000 0.000000 0.000000 0.25 0.778343 0.829092 0.932217 0.50 1.425506 1.615046 1.827496 0.75 0.771504 0.927464 1.060893 1.00 0.000000 0.000000 0.000000
30 3.1.1.2. C-C Mod 2 x M(0.5) M(0) M(-0.5) 0.00 0.000000 0.000000 0.000000 0.25 1.355150 1.443734 1.535585 0.50 0.001905 0.000000 0.002445 0.75 -1.196891 -1.443734 -1.741466 1.00 0.000000 0.000000 0.000000
M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreĢim değerlerini ifade etmektedir.
3.1.1.3. C-C Mod 5 x M(0.5) M(0) M(-0.5) 0.00 0.000000 0.000000 0.000000 0.25 -0.495435 -0.527890 -0.561401 0.50 1.248220 1.414568 1.602746 0.75 -0.438969 -0.527890 -0.638697 1.00 0.000000 0.000000 0.000000
M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreĢim değerlerini ifade etmektedir.
3.1.1.4. C-C Mod 8 x M(0.5) M(0) M(-0.5) 0.00 0.000000 0.000000 0.000000 0.25 -0.507510 -0.539940 -0.575080 0.50 -0.000680 0.000000 -0.000870 0.75 0.446700 0.539940 0.649945 1.00 0.000000 0.000000 0.000000
31 3.1.2. C-S Sınır ġartı Ġçin TitreĢim Değerleri 3.1.2.1. C-S Mod 1 x M(0.5) M(0) M(-0.5) 0.00 0.000000 0.000000 0.000000 0.25 0.607469 0.649706 0.688352 0.50 1.268750 1.443734 1.629107 0.75 1.009323 1.220544 1.468557 1.00 0.000000 0.000000 0.000000
M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreĢim değerlerini ifade etmektedir.
3.1.2.2. C-S Mod 2 x M(0.5) M(0) M(-0.5) 0.00 0.000000 0.000000 0.000000 0.25 1.263704 1.346690 1.431964 0.50 0.504917 0.570349 0.648326 0.75 -1.143810 -1.382199 -1.664230 1.00 0.000000 0.000000 0.000000
M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreĢim değerlerini ifade etmektedir.
3.1.2.3. C-S Mod 5 x M(0.5) M(0) M(-0.5) 0.00 0.000000 0.000000 0.000000 0.25 -0.243490 -0.259709 -0.275910 0.50 1.152738 1.306825 1.480145 0.75 -0.975600 -1.175871 -1.419490 1.00 0.000000 0.000000 0.000000
32 3.1.2.4. C-S Mod 8 x M(0.5) M(0) M(-0.5) 0.00 0.000000 0.000000 0.000000 0.25 -0.736900 -0.784160 -0.835020 0.50 -0.478220 -0.541193 -0.614050 0.75 -0.229700 -0.275899 -0.334210 1.00 0.000000 0.000000 0.000000
M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreĢim değerlerini ifade etmektedir.
3.1.3. C-F Sınır ġartı Ġçin TitreĢim Değerleri 3.1.3.1. C-F Mod 1 x M(0.5) M(0) M(-0.5) 0.00 0.000000 0.000000 0.000000 0.25 0.284863 0.265049 0.241839 0.50 0.954467 0.925011 0.879496 0.75 1.788757 1.791994 1.763854 1.00 2.656652 2.724441 2.748643
M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreĢim değerlerini ifade etmektedir.
3.1.3.2. C-F Mod 2 x M(0.5) M(0) M(-0.5) 0.00 0.000000 0.000000 0.000000 0.25 0.762419 0.819386 0.875342 0.50 1.213964 1.401451 1.611274 0.75 0.164470 0.265072 0.406630 1.00 -1.693740 -1.963740 -2.245760
33 3.1.3.3.C-F Mod 5 x M(0.5) M(0) M(-0.5) 0.00 0.000000 0.000000 0.000000 0.25 0.546732 0.581587 0.619525 0.50 -0.020570 -0.022020 -0.026550 0.75 -0.394280 -0.479700 -0.578700 1.00 1.557235 1.931786 2.385489
M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreĢim değerlerini ifade etmektedir.
3.1.3.4. C-F Mod 8 x M(0.5) M(0) M(-0.5) 0.00 0.000000 0.000000 0.000000 0.25 -1.227390 -1.306480 -1.390820 0.50 -1.247900 -1.414140 -1.602330 0.75 -1.078170 -1.301010 -1.568450 1.00 -1.557470 -1.959550 -2.458780
M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreĢim değerlerini ifade etmektedir.
3.1.4. S-S Sınır ġartı Ġçin TitreĢim Değerleri 3.1.4.1. S-S Mod 1 x M(0.5) M(0) M(-0.5) 0.00 0.000000 0.000000 0.000000 0.25 0.639167 0.707106 0.780720 0.50 0.880422 1.000000 1.131384 0.75 0.606490 0.707106781 0.819829 1.00 0.000000 0.000000 0.000000
34 3.1.4.2. S-S Mod 2 x M(0.5) M(0) M(-0.5) 0.00 0.000000 0.000000 0.000000 0.25 0.947173 1.000000 1.055067 0.50 0.039036 0.000000 -0.047890 0.75 -0.821200 -1.000000 -1.215960 1.00 0.000000 0.000000 0.000000
M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreĢim değerlerini ifade etmektedir.
3.1.4.3.S-S Mod 5 x M(0.5) M(0) M(-0.5) 0.00 0.000000 0.000000 0.000000 0.25 -0.653230 -0.707106 -0.764850 0.50 0.882482 1.000000 1.133165 0.75 -0.596540 -0.707106 -0.840100 1.00 0.000000 0.000000 0.000000
M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreĢim değerlerini ifade etmektedir.
3.1.4.4. S-S Mod 8 x M(0.5) M(0) M(-0.5) 0.00 0.000000 0.000000 0.000000 0.25 -0.009530 0.000000 0.010344 0.50 -0.009240 0.000000 0.010680 0.75 -0.008920 0.000000 0.010974 1.00 0.000000 0.000000 0.000000
35 3.1.5. S-F Sınır ġartı Ġçin TitreĢim Değerleri 3.1.5.1. S-F Mod 1 x M(0.5) M(0) M(-0.5) 0.00 0.000000 0.000000 0.000000 0.25 0.736990 0.831415 0.874793 0.50 0.748618 0.923953 0.937912 0.75 -0.025390 0.195376 -0.047580 1.00 -1.121770 -0.706832 -1.554700
M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreĢim değerlerini ifade etmektedir.
3.1.5.2. S-F Mod 2 x M(0.5) M(0) M(-0.5) 0.00 0.000000 0.000000 0.000000 0.25 0.936718 0.980785 1.032877 0.50 -0.287620 -0.382683 -0.452710 0.75 -0.598830 -0.831469 -0.866950 1.00 1.121424 0.707106 1.648395
M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreĢim değerlerini ifade etmektedir.
3.1.5.3. S-F Mod 5 x M(0.5) M(0) M(-0.5) 0.00 0.000000 0.000000 0.000000 0.25 -0.772820 -0.831469 -0.894190 0.50 0.820506 0.923879 1.040450 0.75 -0.184770 -0.195090 -0.231360 1.00 -1.107230 -0.707106 -1.746190
36 3.1.5.4. S-F Mod 8 x M(0.5) M(0) M(-0.5) 0.00 0.000000 0.000000 0.000000 0.25 0.174204 0.195090 0.217511 0.50 0.329436 0.382683 0.443206 0.75 0.454287 0.555570 0.680243 1.00 1.105796 0.707106 1.770012
M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreĢim değerlerini ifade etmektedir.
3.1.6. F-F Sınır ġartı Ġçin TitreĢim Değerleri 3.16.1. F-F Mod 1 x M(0.5) M(0) M(-0.5) 0.00 -2.287380 -2.035618 -1.842500 0.25 0.093241 0.201924 0.297052 0.50 1.220770 1.237294 1.263119 0.75 0.292543 0.201924 0.102867 1.00 -1.774330 -2.035618 -2.358230
M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreĢim değerlerini ifade etmektedir.
3.1.6.2. F-F Mod 2 x M(0.5) M(0) M(-0.5) 0.00 -2.136480 -1.998446 -1.880770 0.25 1.145718 1.168587 1.193702 0.50 0.089199 0.000000 -0.096480 0.75 -1.057650 -1.168587 -1.297610 1.00 1.658614 1.998446 2.408217
37 3.1.6.3. F-F Mod 5 x M(0.5) M(0) M(-0.5) 0.00 -2.060040 -2.000000 -1.944150 0.25 -0.498980 -0.554502 -0.612660 0.50 1.284748 1.413859 1.556924 0.75 -0.507330 -0.554502 -0.607110 1.00 -1.601720 -2.000000 -2.492460
M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreĢim değerlerini ifade etmektedir.
3.1.6.4. F-F Mod 8 x M(0.5) M(0) M(-0.5) 0.00 -2.038340 -2.000000 -1.963410 0.25 -0.543000 -0.542457 -0.541610 0.50 -0.024500 0.000000 0.028605 0.75 0.436695 0.542457 0.669933 1.00 1.585766 2.000000 2.518403
M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreĢim değerlerini ifade etmektedir.
3.2. Sınır ġartlarına Ait Doğal Frekanslar 3.2.1. C-C Sınır ġartına Ait Doğal Frekanslar
δ Mod 0 0,5 1 -0.5 -1 1 22.373285 22.4077111 22.511682 22.407711 22.511682 2 61.672823 61.7195034 61.859697 61.719503 61.859697 3 120.90339 120.954525 121.10798 120.95452 121.10798 4 199.85945 199.913109 200.07412 199.91311 200.07412 5 298.55554 298.610802 298.77662 298.6108 298.77662 6 416.99079 417.047165 417.21631 417.04717 417.21631 7 555.16525 555.222443 555.39404 555.22244 555.39404 8 713.07892 713.136737 713.3102 713.13674 713.3102 9 890.7318 890.790109 890.96505 890.79011 890.96505 10 1088.1239 1088.1826 1088.3587 1088.1826 1088.3587
38 3.2.2. C-S Sınır ġartına Ait Doğal Frekanslar
3.2.3. C-F Sınır ġartına Ait Doğal Frekanslar
δ Mod 0 0,5 1 -0.5 -1 1 3.5160153 3.00978439 2.5653424 4.089328 4.7349065 2 22.034492 21.0177042 20.038379 23.094053 24.201813 3 61.697214 60.7413474 59.870849 62.738229 63.86449 4 120.90192 119.950981 119.09863 121.95099 123.09791 5 199.85953 198.911997 198.06964 200.91188 202.06877 6 298.55553 297.610004 296.77361 299.60992 300.77293 7 416.99079 416.0466 415.21419 418.04653 419.21365 8 555.16525 554.22202 553.39245 556.22197 557.39202 9 713.07892 712.136409 711.30898 714.13636 715.30862 10 890.7318 889.789847 888.96407 891.78981 892.96378 δ Mod 0 0,5 1 -0.5 -1 1 15.418206 14.8949291 14.378288 15.954595 16.511491 2 49.964862 49.5008265 49.10628 50.498568 51.102631 3 104.2477 103.791196 103.42194 104.79128 105.422 4 178.26973 177.81786 177.46237 178.81782 179.46207 5 272.03097 271.581893 271.23475 272.58186 273.23448 6 385.53142 385.084226 384.74271 386.0842 386.74248 7 518.77108 518.325242 517.98778 519.32522 386.74248 8 671.74995 671.305133 670.97073 672.30511 672.97057 9 844.46803 844.024009 843.692 845.02399 845.69186 10 1036.9253 1036.48194 1036.1518 1037.4819 1038.1517
39 3.2.4. S-S Sınır ġartına Ait Doğal Frekanslar
δ Mod 0 0,5 1 -0.5 -1 1 9.8696044 9.84536167 9.7729104 9.8453617 9.7729104 2 39.478418 39.5013091 39.570366 39.501309 39.570366 3 88.82644 88.8624222 88.970523 88.862422 88.970523 4 157.91367 157.956282 158.08419 157.95628 158.08419 5 246.74011 246.786698 246.9265 246.7867 246.9265 6 355.30576 355.354997 355.50274 355.355 355.50274 7 483.61062 483.661749 483.81516 483.66175 483.81516 8 631.65468 631.707235 631.86491 631.70724 631.86491 9 799.43796 799.491615 799.6526 799.49162 799.6526 10 986.96044 987.014983 987.17862 987.01498 987.17862
3.2.5. S-F Sınır ġartına Ait Doğal Frekanslar
δ Mod 0 0,5 1 -0.5 -1 1 15.418206 14.8949291 14.378288 15.954595 16.511491 2 49.964862 49.5008265 49.10628 50.498568 51.102631 3 104.2477 103.791196 103.42194 104.79128 105.422 4 178.26973 177.81786 177.46237 178.81782 179.46207 5 272.03097 271.581893 271.23475 272.58186 273.23448 6 385.53142 385.084226 384.74271 386.0842 386.74248 7 518.77108 518.325242 517.98778 519.32522 519.98759 8 671.74995 671.305133 670.97073 672.30511 672.97057 9 844.46803 844.024009 843.692 845.02399 845.69186 10 1036.9253 1036.48194 1036.1518 1037.4819 1038.1517
40 3.2.6. F-F Sınır ġartına Ait Doğal Frekanslar
δ Mod 0 0,5 1 -0.5 -1 1 21.502593 21.6839442 22.224492 21.683944 22.224492 2 61.764887 61.9309796 62.428704 61.93098 62.428704 3 120.89586 121.063047 121.56429 121.06305 121.56429 4 199.85997 200.027103 200.5283 200.0271 200.5283 5 298.5555 298.722639 299.22392 298.72264 299.22392 6 416.99079 417.157927 417.65925 417.15793 417.65925 7 555.16525 555.332389 555.83374 555.33239 555.83374 8 713.07892 713.24606 713.74743 713.24606 713.74743 9 890.7318 890.89894 891.40033 890.89894 891.40033 10 1088.1239 1088.29103 1088.7924 1088.291 1088.7924
41
3.3. Elde Edilen Doğal Frekansların Önceki ÇalıĢmalarla KarĢılaĢtırılması
Bu kısımda çalıĢma sonucunda sınır Ģartlarına ait modlar için elde edilen doğal frekansların, literatürdeki benzer çalıĢmalar sonucu elde edilmiĢ doğal freakanslar ile karĢılaĢtırılması yapılmıĢtır. [2,21,22]
3.3.1. C-F Sınır ġartına Ait Doğal Frekansların Önceki ÇalıĢmalarla KarĢılaĢtırılması δ= -1 Mod Cranch ve Adler (1956) Tong ve Tabarrok (1995) Ece, Aydoğdu ve Taşkın(2006) Şimdiki Çalışma 1 4.735 4.7347 4.72298 4.7349 2 24.2025 24.2005 24.20168 24.20181 3 63.85 63.8608 63.86448 63.86449 4 123.091 123.0979 123.0979 5 202.0687 202.06876 6 300.77292 7 419.21364 8 557.39201 9 715.30862 10 892.96377
3.3.2. C-C Sınır ġartına Ait Doğal Frekansların Önceki ÇalıĢmalarla KarĢılaĢtırılması
δ= -1
Mod Ece, Aydoğdu ve Taşkın(2006) Şimdiki Çalışma
1 22.51167 22.51168 2 61.85968 61.85969 3 121.10799 121.10798 4 200.07411 200.07412 5 298.77661 298.77662 6 417.21631 7 555.39403 8 713.3102 9 890.96504 10 1088.35873
42
3.3.3. S-S Sınır ġartına Ait Doğal Frekansların Önceki ÇalıĢmalarla KarĢılaĢtırılması
δ= -1
Mod Ece, Aydoğdu ve Taşkın(2006) Şimdiki Çalışma
1 9.77291 9.7729 2 39.57036 39.57036 3 88.97052 88.97051 4 158.08418 158.08417 5 246.9265 246.9264 6 355.50273 7 483.81516 8 631.8649 9 799.65259 10 987.17861
43 3.4. Sınır ġartlarına Ait Mod Grafikleri
Sınır Ģartlarına ait mod grafikleri, ilgili frekans genliklerinin sınır Ģartına ait en büyük genliğe oranlanmak koĢulu ile en yüksek genlik değeri “1” olacak Ģekilde normalize edilerek oluĢturulmuĢtur.
3.4.1. C-C Sınır ġartına Ait Grafikler
Mod 1 Mod 2 -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 M( δ ) x
C-C
M(0,5) M(0) M(-0,5) -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 M( δ ) xC-C
M(0,5) M(0) M(-0,5)44 3.4.1. C-C Sınır ġartına Ait Grafikler(Devamı
)
Mod 5 Mod 8 -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 M( δ ) x
C-C
M(0,5) M(0) M(-0,5) -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 M( δ ) xC-C
M(0,5) M(0) M(-0,5)45 3.4.2. C-S Sınır ġartına Ait Grafikler
Mod 1 Mod 2 -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 M( δ ) x
C-S
M(0,5) M(0) M(-0,5) -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 M( δ ) xC-S
M(0,5) M(0) M(-0,5)46 3.4.2. C-S Sınır ġartına Ait Grafikler(Devamı)
Mod 5 Mod 8 -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 M( δ ) x
C-S
M(0,5) M(0) M(-0,5) -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 M( δ ) xC-S
M(0,5) M(0) M(-0.5)47 3.4.3. C-F Sınır ġartına Ait Grafikler
Mod 1 Mod 2 -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 M( δ ) x
C-F
M(0,5) M(0) M(-0,5) -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 M( δ ) xC-F
M(0,5) M(0) M(-0,5)48 3.4.3. C-F Sınır ġartına Ait Grafikler (Devamı)
Mod 5 Mod 8 -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 M( δ ) x
C-F
M(0,5) M(0) M(-0,5) -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 M( δ ) xC-F
M(0,5) M(0) M(-0,5)49 3.4.4. S-S Sınır ġartına Ait Grafikler
Mod 1 Mod 2 -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 M( δ ) x
S-S
M(0,5) M(0) M(-0,5) -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 M( δ ) xS-S
M(0,5) M(0) M(-0,5)50 3.4.4. S-S Sınır ġartına Ait Grafikler(Devamı)
Mod 5 Mod 8 -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 M( δ ) x
S-S
M(0,5) M(0) M(-0,5) -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 M( δ ) xS-S
M(0,5) M(0) M(-0,5)51 3.4.5. S-F Sınır ġartına Ait Grafikler
Mod 1 Mod 2 -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 M( δ ) x
S-F
M(0,5) M(0) M(-0,5) -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 M( δ ) xS-F
M(0,5) M(0) M(-0,5)52 3.4.5. S-F Sınır ġartına Ait Grafikler (Devamı)
Mod 5 Mod 8 -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 M( δ ) x
S-F
M(0,5) M(0) M(-0,5) -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 M( δ ) xS-F
M(0,5) M(0) M(-0,5)53 3.4.6. F-F Sınır ġartına Ait Grafikler
Mod 1 Mod 2 -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 M( δ ) x
F-F
M(0,5) M(0) M(-0,5) -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 M( δ ) xF-F
M(0,5) M(0) M(-0,5)54 3.4.6. F-F Sınır ġartına Ait Grafikler (Devamı)
Mod 5 Mod 8 -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 M( δ ) x
F-F
M(0,5) M(0) M(-0,5) -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 M( δ ) xF-F
M(0,5) M(0) M(0,5)55 3.5. Değerlendirme
Bu çalıĢmada değiĢken kesitli izotropik kiriĢler ele alınmıĢtır. Analizde Euler-Bernoulli KiriĢ Teorisi kullanılmıĢtır. Kesit değiĢimi üstel olarak seçilmiĢtir. Kesit geometrisinden yararlanılarak yönetici denklemler belirlendi, Bu denklemlerdeki katsayılar farklı sınır Ģartları için hesaplandı ve sınır Ģartlarına ait titreĢim değerleri hesaplandı. TitreĢim değerleri doğrultusunda sınır Ģartlarına ait birinci, ikinci, beĢinci ve sekizinci mod Ģekilleri çizildi. Bu veriler ıĢığında düzgün kesitli bir kiriĢin davranıĢına kıyasla sonuçlar elde edildi.
Yapılan hesaplamalar sonucu sınır Ģartlarına ait elde edilen doğal frekanslar, daha önceden yapılmıĢ çalıĢmaların sonuçlarıyla karĢılaĢtırıldı ve sonuçların eski çalıĢmalardaki sonuçlarla uyum içerisinde olduğu görüldü [2,21,22].
1995)
KiriĢ eğiminin artan ya da azalan olması durumunun mod Ģekillerini etkilediği gözlemlenmiĢtir. Eğrilik katsayısının pozitif olduğu(kesit kalınlığının üstel olarak arttığı durunda) durumlarda mod Ģekillerindeki genliğin(yani titreĢim değeri) arttığı, negatif olduğu(kesit kalınlığının üstel olarak azaldığı) durumlarda ise azaldığı görülmüĢtür. Bu çalıĢma diğer yapı elemanları için(örneğin plakalar, kabuklar) ya da kompozitler veya fonksiyonel derecelendirilmiĢ malzemeler için geniĢletilebilir.
56 KAYNAKLAR
1- GORMAN, D.J., 1975. “Free vibration analysis of beams and shafts.” Wiley, New York.
2- CRANCH, E.T., Adler, A.A., 1956. “Bending vibration of variable section beams.” Journal of Applied Mechanics, American Society of Mechanical Engineers 23 (1), 103–108.
3- CONWAY, H.D., Dubil, J.F., 1965. “Vibration frequencies of truncated-cone and wedge beams.” Journal of Applied Mechanics, American Society of Mechanical Engineers 32 (4), 932–934.
4- HEĠDEBRECHT, A.C., 1967. “Vibration of non-uniform simply supported beams.” Journal of the Engineering Mechanics Division, Proceedings of the American Society of Civil Engineers 93 (EM2), 1–15.
5- BRANCH, R.M., 1968. “On the extremal fundamental frequencies of vibrating beams.” Journal of Sound and Vibration 4, 667–674.
6- MABĠE, H.H., ROGERS, C.B., 1972. “Transverse vibration of double-tapered cantilever beams.” Journal of the Acoustical Society of America 51 (5 part 2), 1771–1775.
7- BAĠLEY, C.D., 1978. “Direct analytical solution to non-uniform beam problems.” Journal of Sound and Vibration 56 (4), 501–507.
57
8- OLHOFF, N., PARBERY, R., 1984. "Designing vibrating beams and rotating shafts for maximum difference between adjacent natural frequencies", International Journal of Solids and Structures, 20, 63-75.
9- GUPTA, A.K., 1985. “Vibration of tapered beams.” Journal of Structural Engineering 111 (1), 19–36.
10- JATEGAONKAR, R., CHEHĠL, D.S., 1989. “Natural frequencies of a beam with varying section properties.” Journal of Sound and Vibration 133, 303–322.
11- NAGULESWARAN, S., 1992. “Vibration of an Euler–Bernoulli beam of constant depthand withlinearly varying breadth.” Journal of Sound and Vibration 153 (3), 509–522.
12- NAGULESWARAN, S., 1994a. “A direct solution for the transverse vibration of Euler–Bernoulli wedge and cone beams.” Journal of Sound and Vibration 172 (3), 289–304.
13- NAGULESWARAN, S., 1994b. “Vibration in Two Princible Planes of a Non-uniform Beam of Rectangular Cross-Section, One Side of Which Varies as a Square Root of the Axial Coordinate.” Journal of Sound and Vibration 172 (3), 305-319.
14- Laura, P.A.A., GUTĠERREZ, R.H., ROSSĠ, R.E., 1996. “Free vibration of beams of bi-linearly varying thickness.” Ocean Engineering 23 (1), 1–6.
15- DATTA, A.K., SĠL, S.N., 1996. “An analysis of free undamped vibration of beams of varying cross-section.” Computers and Structures 59 (3), 479–483. 16- CARUNTU, D., 2000. “On nonlinear vibration of non-uniform beam with
rectangular cross-section and parabolic thickness variation”. Solid Mechanics and its Applications, 73. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, pp. 109–118.
58
17- ELĠSHAKOFF, I., JOHNSON, V., 2005. “Apparently the first closed-form solution of vibrating inhomogeneous beam with a tip mass.” Journal of Sound and Vibration 286 (4-5), 1057–1066.
18- JANG, S.K., BERT, C.W., 1989a. “Free vibration of stepped beams:” Exact and numerical solutions. Journal of Sound and Vibration 130, 342–346.
19- JANG, S.K., BERT, C.W., 1989b. “Free vibration of stepped beams: Higher mode frequencies and effects of steps on frequencies.” Journal of Sound and Vibration 32, 164–168.
20- ELĠSHAKOFF, I., 2005. “Eigenvalues of inhomogeneous structures: unusual closed-form solutions.” CRC Press, Boca Raton.
21- ECE MC, AYDOĞDU M, TAġKIN V, 2006, “Vibration of variable cross-section beam.” Mechanics Research Communications 34 (2007) 78-84.
22- TONG, X., TABAROK, B., 1995. “Vibration analysis of Timeshenko beams with non-homogeneity ans varying cross-section”, Journal of Sound and Vibration 186 (5), 821-835.
59
ÖZGEÇMĠġ
Ġsmail VARSERĠN 23 Temmuz 1986 yılında Edirne‟de doğmuĢtur. Ortaokul ve lise eğitimini 1997- 2004 yılları arasında Edirne Anadolu Lisesi‟nde tamamlamıĢtır. 2004- 2010 yılları arasında Trakya Üniversitesi Mimarlık ve Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü‟nde lisans eğitimini tamamlamıĢtır. 2010 yılında Trakya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı‟nda baĢladığı lisansüstü eğitimini halen sürdürmektedir.
Satranç sporunda il çapında, ortaokul ve lise kapsamında Edirne Anadolu Lisesi adına ve ferdi branĢlarda çok sayıda derecesi bulunmaktadır.
