Bazı maksimumlu ve minimumlu fark denklemlerinin periyodikliği ve kararlılığı üzerine bir çalışma

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BAZI MAKSİMUMLU VE MİNİMUMLU FARK DENKLEMLERİNİN PERİYODİKLİĞİ VE KARARLILIĞI

ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA

ALİ GELİŞKEN DOKTORA TEZİ

MATEMATİK ANA BİLİM DALI KONYA, 2009

BAZI MAKSİMUMLU VE MİNİMUMLU FARK DENKLEMLERİNİN PERİYODİKLİĞİ VE KARARLILIĞI

ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA

ALİ GELİŞKEN

DOKTORA TEZİ

MATEMATİK ANA BİLİM DALI

Bu tez 15/06/2009 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği / oyçokluğu ile kabul edilmiştir

Doç. Dr. Kazım İLARSLAN (Başkan)

Doç. Dr. Cengiz ÇİNAR Doç. Dr. Galip OTURANÇ (Danışman) (Üye)

Yrd. Doç. Dr. Necati TAŞKARA Yrd. Doç. Dr. Abdullah Selçuk KURBANLI (Üye) (Üye)

ÖZET

Doktora Tezi

BAZI MAKSİMUMLU VE MİNİMUMLU FARK DENKLEMLERİNİN PERİYODİKLİĞİ VE KARARLILIĞI ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA

Ali GELİŞKEN

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Ana Bilim Dalı Danışman : Doç. Dr. Cengiz ÇİNAR

2009, 66 Sayfa Jüri: Doç. Dr. Cengiz ÇİNAR Doç. Dr. Galip OTURANÇ Doç. Dr. Kazım İLARSLAN Yrd. Doç. Dr. Necati TAŞKARA

Yrd. Doç. Dr. Abdullah Selçuk KURBANLI

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, maksimumlu ve minimumlu fark denklemleri ile ilgili yapılmış bazı çalışmalar hakkında bilgi verildi.

İkinci bölümde, fark denklemleri ile ilgili genel tanım ve teoremler verildi.

Üçüncü bölümde, A pozitif bir reel sayı ve ile da pozitif rasyonel sayılar olmak üzere, ve başlangıç değerleri için

1 − r r₀ 1 1 = − − r A x 0 0 r A x = xn₊₁ =max

{

xn,A

}

/xn₋₁ fark denkleminin çözümlerinin periyodikliği incelendi.

Dördüncü bölümde ise A>0 ve 0<α <1 olmak üzere x_n =max

{

A/x_n−1,1/xα_n−3

}

fark denkleminin pozitif çözümlerinin kararlılığı ve periyodikliği incelendi.

Anahtar Kelimeler: Max Operatörü, Fark Denklemi, Çözüm, Kararlılık, Periyodiklik.

ii

ABSTRACT

PhD Thesis

A STUDY ON THE STABILITY AND PERIODICITY OF SOME DIFFERENCE EQUATIONS WITH MAXIMUM AND MINIMUM

Ali GELİŞKEN

Selcuk University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor : Assoc. Prof. Dr. Cengiz ÇİNAR 2009, 66 Pages

Jury: Assoc. Prof. Dr. Cengiz ÇİNAR Assoc. Prof. Dr. Galip OTURANÇ Assoc. Prof. Dr. Kazım İLARSLAN Assist. Prof. Dr. Necati TAŞKARA

Assist. Prof . Dr. Abdullah Selçuk KURBANLI

This study consists of four sections. In the first section, information about some difference equations with maximum and minimum studied before is given.

In the second section, general definitions and theorems about difference equations are given.

In the third section, the periodicity of solutions of the difference equation , where and initial conditions and for , are positive rational numbers is investigated.

{

}

1 1 max , / − + = n n n x A x x 1 − r r₀ 0 > A 1 1 = − − Ar x 0 0 r A x =

In the fourth section, the stability and periodicity of positive solutions of the difference equation x_n =max

{

A/x_n−1,1/xα_n−3

}

, where A>0 and 0<α <1 are investigated.

ÖNSÖZ

Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Eğitim Fakültesi Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanlar Eğitimi Bölümü Matematik Eğitimi Anabilim Dalı Öğretim Üyesi Doç. Dr. Cengiz ÇİNAR yönetiminde yapılarak Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Doktora Tezi olarak sunulmuştur.

Bu çalışmanın sonucunda iki orijinal makale yazılarak uluslararası dergilerde yayımlanmıştır.

Makale 1: “A note on the periodicity of the Lyness max equation”, Advances in

Difference Equations, 2008.

Makale 2: “On the global attractivity of a max-type difference equation”,

Discrete Dynamics in Nature and Society, 2009.

Doktora çalışmamı yönetmeyi kabul ederek karşılaştığım güçlüklerde değerli yardımlarını esirgemeyen, tezimi büyük bir sabır ve titizlikle yöneten saygıdeğer hocam Doç. Dr. Cengiz ÇİNAR’ a ve değerli arkadaşlarım Yrd. Doç. Dr. İbrahim YALÇINKAYA ve Dr. Ramazan KARATAŞ’ a teşekkürlerimi ve saygılarımı sunarım.

Ali GELİŞKEN Konya, 2009

iv İÇİNDEKİLER ÖZET……….i ABSTRACT……….ii ÖNSÖZ………iii İÇİNDEKİLER………iv 1. BÖLÜM GİRİŞ………1

1.1 Maksimumlu ve Minimumlu Fark Denklemleri İle İlgili Yapılmış Çalışmalar….1 2. BÖLÜM FARK DENKLEMLERİ İLE İLGİLİ GENEL TANIM VE TEOREMLER………...7

3. BÖLÜM

{

}

1 1 max , / − + = n n n x A x x FARK DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ..………11

3.1 A>1 Durumu ………..11 3.2 A<1 Durumu ………..22 3.3 Nümerik Sonuçlar ………38 4. BÖLÜM

{

α

}

3 1,1/ / max _{− −} = _{n n} n A x x x FARK DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ.………..48

4.1 Nümerik Sonuçlar ………55

SONUÇ VE ÖNERİLER………..………62

1.BÖLÜM GİRİŞ

Bu çalışmada, maksimumlu ve minimumlu fark denklemlerinin periyodikliği ve kararlılığı ele alınmıştır.

Maksimumlu ve minimumlu fark denklemleri ile ilgili yapılmış çalışmaların büyük bir kısmı incelenmiştir. Bu araştırmalar sonucunda, ilk olarak Grove ve Ladas (Periodicities in Nonlinear Difference Equations, Advances in Discrete Mathematics

and Aplications 4, 2005) tarafından verilen açık problem çözülmüştür:

Açık Problem. Assume that A∈(0,∞), and that and are positive rational numbers. Investigate the periodic nature of the solution of the difference equation 1 − r r₀

{

}

1 1 , max − + = n n n x A x x , n=0,1,...

with initial conditions 1 and .

1 = − − Ar x 0 0 r A x =

Ayrıca, A>0 ve 0<α <1 olmak üzere pozitif başlangıç değerleri için

{

α

}

3 / max ₋ = n n A

x x_n−1,1/x fark denklemi tanımlanmış ve çözümlerinin ya x=1

denge noktasına yakınsadığı ya da er geç 2 periyotlu olduğu gösterilmiştir.

1.1 Maksimumlu Ve Minimumlu Fark Denklemleri İle İlgili Yapılmış Çalışmalar

Bu bölümde, maksimumlu ve minimumlu fark denklemleri ile ilgili yapılmış bazı çalışmalar hakkında bilgi verilmiştir.

Amleh ve ark. (1998), ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − + 1 1 , 1 max n n n x A x

x fark denkleminin çözümlerinin

sayılar olmak üzere bu fark denkleminin her çözümünün er geç periyodik olduğunu göstermişlerdir.

Amleh (1998), doktora tezinde; fark denklemlerinin üç farklı konusunu ele almıştır. İlk bölümde, ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − + 1 1 max , n n n x B x A

x fark denkleminin çözümlerinin sıfırdan

farklı reel sayılar olan parametreleri ve başlangıç değerleri için periyodik olduğunu göstermiştir. İkinci bölümde,

B A , x₋₁, x₀ 2 1 2 1 1 + = n x x x − − − − + + n n n n n n x x x x rasyonel fark denkleminin global asimptotik kararlılığı ve son bölümde ise Plant-Herbivore sisteminin çözümlerinin sınırlılığı üzerine çalışmıştır.

Janowski ve ark. (1998), x_n+1 =

{ }

1 , max − n k n x A x

fark denkleminin çözümlerinin sınırlılık ve salınımlılık özelliklerini incelemişlerdir. A , parametreleri ve başlangıç değerleri pozitif sayılar olmak üzere, bu denklemin çözümlerinin sınırlı ve salınımlı olma şartlarını elde etmişlerdir.

k Grove ve ark. (1998), 1 1 − + + = n n n n n x b x a

x otonom olmayan Lyness fark denklemi

ile

{

}

1 1 , max − + = n n n n n y b y a

y maksimumlu fark denklemini incelemişlerdir. Katsayılar

negatif olmayan

{ }

an ∞_n=0 ve

{ }

∞ =0

n n

b dizileri olmak üzere bu fark denklemlerinin her

pozitif çözümünün sürekli ve sınırlı olabilmesi için yeter şartlar elde etmişlerdir.

Papaschinopoulos ve Schinas (1998), A ve başlangıç değerleri pozitif sayılar

olmak üzere

{

}

1 1 , , max − + = n n n n x A y x x ,

{

}

1 1 , , max − + = n n n n y A y x

y fark denklem sisteminin

çözümlerinin salınımlılığını ve periyodikliğini incelemişlerdir.

Valicenti (1999), doktora tezinde;

1 1 − + + = n n n n n x b x a

x otonom olmayan Lyness

fark denklemi ile

{

}

1 1 , max − + = n n n n n x b x a

x maksimumlu fark denkleminin çözümlerinin

Feuer ve ark. (2000),

{

}

1 1 , max − + = n n n n x x A x

x maksimumlu Lyness fark denkleminde A bir reel sayı ve başlangıç değerleri de sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere

çözümlerin asimptotik kararlılığını salınımlılığını ve periyodikliğini incelemişlerdir.

Teixeria (2000), yaptığı doktora tezinde; ilk bölümde bir reel sayı ve başlangıç değerleri sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere

A

{

}

1 1 + = , max − n n n n x x A x x fark

denkleminin çözümlerinin periyodikliğini incelemiştir. İkinci bölümde ise,

n n n y b x a x ₊₁ = + , n n n y d x c

y ₊₁ = + fark denklem sisteminin çözümlerini analiz etmiştir.

Son bölümde ise,

1 1 1 − − + ₊ + = n n n n y qy y p

y fark denkleminin çözümlerinin pozitif

parametreler ve başlangıç değerleri altında asimptotik kararlılığını incelemiştir.

Papaschinopoulos ve Hatzifilippidis (2001), katsayıları pozitif sayı dizileri

olmak üzere

∏

∏

− = + − = + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = _n k n i i n n k n i i n n x b x a x ), ( max 1

1 fark denkleminin pozitif çözümlerinin

sürekliliğini, sınırlılığını ve periyodikliğini incelemişlerdir.

Mishev ve ark. (2002), ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − + 2 1 max , n n n x B x A

x fark denklemini incelemişlerdir.

katsayıları ile başlangıç değerleri pozitif sayılar olmak üzere denklemin çözümlerinin er geç periyodik olduğunu göstermişlerdir.

B A ,

Voulov (2002), yaptığı iki çalışmadan birincisinde; A ile B pozitif reel sayılar ve k ile pozitif tam sayılar olmak üzere m

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ max = +1 − −k n m n n x B x A x , fark

denkleminin çözümlerinin er geç periyodik olduğunu ispat etmiştir. İkincisinde ise parametreleri negatif olmayan reel sayılar olmak üzere için

C B ,

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − − −1 3 5 , , max n n n n x C x B x A

x fark denkleminin her çözümünün er geç periyodik

olduğunu göstermiştir.

Papaschinopoulos ve ark. (2003), yaptıkları çalışmada; daha önce Feuer tarafından çalışılmış olan

{

}

1 1 , max − + = n n n n x x A x

x denkleminin çözümlerinin periyodikliği

ve sabit aralığı üzerine çalışmışlardır.

Feuer (2003), daha önce Janowski ve arkadaşlarının da incelediği

{

}

1 1 , max − + = n n n x A x

x maksimumlu Lyness fark denklemi üzerinde yaptığı çalışmada. A

ve başlangıç değerlerini pozitif reel sayılar olduğunu kabul ederek denklemin çözümlerinin periyodikliğini incelemiştir. Çalışmasının sonunda

{

}

1 1 , max − + = n n n n x x A x x

fark denklemiyle ilişkili benzer sonuçlar ortaya koymuştur.

Papaschinopoulos ve ark. (2003), yaptıkları çalışmanın birinci bölümünde

{

}

2 1 1 1 , , max − − − + = n n n n n n n n n x x x x x

x β γ α fark denkleminin çözümlerinin sınırlılığını ve

periyodikliğini incelemişlerdir. İkinci bölümde ise

{

}

1 1 , max − + = n n n n n n x y b y a x ,

{

}

1 1 , max − + = n n n n n n y x d x c

y fark denklem sisteminin pozitif çözümlerinin sınırlılığını ve

periyodikliğini incelemişlerdir.

Patula ve Voulov (2004), yaptıkları çalışmada; ve , periyotlu pozitif

sayı dizileri olmak üzere

n A B_n 3 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − + 2 1 max , n n n n n x B x A

x fark denkleminin çözümlerinin

Çinar ve ark. (2005), olmak üzere, sıfırdan farklı başlangıç değerleri için 0 ,B> A ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − + 2 1 min , n n n x B x A x ve ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + − + − − + ) 2 2 ( ) 2 ( 1 1 ... , ... min k n k n k n n n n x x B x x x A x fark

denklemlerinin pozitif çözümlerinin periyodikliğini incelemişlerdir.

Elabbasy ve ark. (2005), An 2 periyotlu bir pozitif sayı dizisi olmak üzere

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − + 1 1 , 1 max n n n n x A x

x fark denkleminin çözümlerinin sınırlılığını ve periyodikliğini

incelemişlerdir.

Şimsek ve ark. (2006), pozitif başlangıç değerleri için fark denkleminin çözümlerinin periyodikliğini incelemişlerdir.

{

1 1

}

1 max1/ − , −

+ = n n

n x x

x

Yang ve ark. (2006), A>0 ve 0<α <1 için

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − −1 2 , 1 max n n n x A x x _α fark

denkleminin pozitif çözümlerinin kararlılığını ve periyodikliğini incelemişlerdir.

Berenhaut ve ark. (2006), k ve m doğal sayıları için

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − − m n k n n y y c y max , fark

denkleminin pozitif çözümlerinin sınırlılığını incelemişlerdir. için çözümlerin sınırlı olduğu ve için çözümlerin sınırlı olmadığı sonucuna ulaşmışlardır.

1 ≥ c ) 1 , 0 ( ∈ c

Stefanidou ve Papaschinopoulos (2006), ve başlangıç değerleri pozitif fuzzy sayıları, ve parametreleri pozitif tam sayılar olmak üzere

, 0 A A₁ k m ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = −m n x A₁ −k n n x A

x max 0 , fuzzy fark denkleminin pozitif çözümlerinin periyodikliğini

incelemişlerdir.

Yalçınkaya ve ark. (2007), A bir reel sayı ve başlangıç değerleri de sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ₋ +1 , 1 1 max n n n Ax x

x fark denkleminin çözümlerini

Stevic (2008), p ve c pozitif sayılar olmak üzere ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − + p n p n n x x c x 1 1 max , fark

denkleminin pozitif çözümlerinin sınırlılığını ve kararlılığını incelemiştir.

Sun (2008), A,B>0 ve 0<α,β <1 olmak üzere

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − − β α 2 1 , max n n n x B x A x fark

denkleminin pozitif çözümlerinin

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + +1 1 1 1 , max _Aα _Bβ x denge noktasına yakınsadığını göstermiştir.

Stevic (2009), k pozitif bir tamsayı A₁,A₂,...,A_k >0 ve 0<α₁,α₂,...,α_k <1 olmak üzere ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − − − nkk k n n n x A x A x A x max _α , _α ,..., _α 2 1 2 2 1

1 _{fark denkleminin pozitif çözümlerinin}

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + + +1 1 1 2 1 1 1 1 ,..., , max _{1 2} k k A A A

x α α α denge noktasına yakınsadığını göstermiştir.

Elsayed ve Stevic (2009), yaptıkları çalışmada;

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ₋ +1 max , n 2 n n x x A x fark

2. BÖLÜM

FARK DENKLEMLERİ İLE İLGİLİ GENEL TANIM VE TEOREMLER

Bu bölümde fark denklemleri ile ilgili genel tanım ve teoremler verilmiştir.

x bağımsız değişkeninin tanımlı olduğu aralıkta, bağımlı değişkeninin

değişimi türevleri yardımıyla açıklanabilmektedir. Ancak

) (x y ... ), ( ..., ), ( ), ( '' ( ) ' x y x y x y n

x ’in kesikli değerler alması durumunda değişim türevler yardımıyla açıklanamaz.

Bu bölümde x ’in tamsayı değerler aldığı durumlarda ortaya çıkan ve içinde sonlu farkların bulunduğu fark denklemleri üzerinde duracağız.

Tanım 1.1. bağımsız değişken ve buna bağımlı değişken de n y olmak üzere,

bağımlı değişken ve bağımsız değişken ile bağımlı değişkenin

... ), ( ..., ), ( ), ( ), ( 2 3 y E y E y E y E n

gibi farklarını içeren bağıntılara fark denklemi denir.

Fark denklemlerinin mertebesi, denklemdeki en büyük indis ile en küçük indisin farkına eşittir.

Birinci mertebeden bir fark denklemi;

) ( ) 1 ( ) ( ₁ 0y n a y n f n a + + = şeklindedir.

İkinci mertebeden bir fark denklemi;

) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( _{1 2} 0y n a y n a y n g n a − + + + = şeklindedir.

Teorem 1.1. I reel sayıların herhangi bir alt aralığı olmak üzere, f I: k+1→ I

sürekli diferensiyellenebilen bir fonksiyon ise x−k, x− −(k 1),..., x0∈ başlangıç I

değerleri için

xn+₁= f x x( ,n n−₁,...,xn k− ), n=0,1, 2,... (1.1)

denklemi bir tek

{ }

xn ∞_{n= k−} çözümüne sahiptir. Tanım 1.2. (1.1) denkleminde ) ,..., , (x x x f x =

şartını sağlayan x noktasına (1.1) denkleminin denge noktası denir.

Tanım 1.3. x, (1.1) denkleminin denge noktası ve x−k, x− −₍k ₁₎,..., x₀∈ I olmak

üzere:

(i) Her ε >0 için δ < − + + − + −x x₋ x x₋ x x_{0 1} ... _k

iken her n≥0 için x_n − x <ε olacak şekilde bir δ >0 sayısı varsa x denge

noktası kararlıdır denir.

(ii) x denge noktası kararlı ve x_n x n→∞ =

lim olacak şekilde,

γ < − + + − + −x x₋ x x₋ x x_{0 1} ... _k

şartını sağlayan γ >0 sayısı varsa x denge noktası lokal asimptotik kararlıdır denir.

(iii) Eğer x_n x n→∞ =

lim ise x denge noktasına çekim noktası denir.

(iv) Eğer x denge noktası kararlı ve çekim noktası ise, x denge noktasına global asimptotik kararlıdır denir.

(v) Eğer x denge noktası kararlı değil ise, kararsızdır denir. (vi) Eğer r x x x x x x0 − + −1 − +...+ −k − <

ve bazı N ≥1 sayıları için

r x x_N − ≥

olacak şekilde bir r >0 sayısı varsa x denge noktasına repeller denir.

Tanım 1.4. (1.1) denkleminden elde edilen

∑

= − − + _∂ ∂ = k i i n i n n x x y x f y 0 1 ( ,..., ) (1.2)

denklemine, x denge noktası civarında lineer denklem denir.

(1.2) denkleminin karakteristik denklemi

∑

= − − + ₌ ∂ ∂ − k i i k i n k x x x f 0 1 _{( ,..., )λ 0} λ (1.3) şeklindedir.

Teorem 1.2. (Lineer Kararlılık Teoremi)

(i) Eğer (1.3) denkleminin bütün kökleri mutlak değerce 1’den küçük ise x denge noktası lokal asimptotik kararlıdır.

(ii) Eğer (1.3) denkleminin köklerinden en az biri mutlak değerce 1’den büyük ise x denge noktası kararsızdır.

Tanım 1.5.

{ }

xn _{n k} çözümlerinin hepsi birden

∞

=− x denge noktasından ne büyük ne de

küçük ise bu çözümlere x denge noktası civarında salınımlıdır denir. Aksi halde bu çözümlere salınımlı değildir denir.

Tanım 1.6.

{ }

x_n ∞_{n= k−} dizisinde her için n P≤x_n ≤Q olacak şekilde ve pozitif

sayıları varsa P Q

{ }

∞ − = n n x _k dizisi sınırlıdır denir.

Tanım 1.7. x , (1.1) denkleminin denge noktası olsun. , olmak üzere dizisinin her elemanı

l≥ −k m≤∞

{

xl,xl+1,...,xm

}

x denge noktasından büyük veya eşit, l= − k

veya l> −k için x_l−1 < x ve m=∞ veya m<∞ için x_m+1< x oluyorsa

dizisine

{ }

{

xl,xl+1,...,xm

}

xn n k

∞

=− çözümünün bir pozitif yarı dönmesi denir. Benzer

şekilde, l≥ −k, m≤∞ olmak üzere

{

x ,l xl+1,...,xm

}

dizisinin her elemanı x denge

noktasından küçük, l= −k veya l> −k için xl−1 ≥x ve m=∞ veya m<∞ için x

x_m+1 ≥ oluyorsa

{

x_l,x_l+1,...,x_m

}

dizisine

{ }

_n n

x ∞_=−k çözümünün bir negatif yarı

dönmesi denir.

Tanım 1.8. Eğer bir

{ }

x_n ∞_{n= k−} dizisinde n≥−k olmak üzere her tamsayısı için n n

p

n x

x ₊ =

olacak şekilde bir pozitif tamsayısı var ise p

{ }

xn dizisi periyotludur denir. Bu

şartı sağlayan en küçük

p

p pozitif tam sayısına ise esas periyot denir.

Tanım 1.9. Eğer bir

{ }

dizisinde sonlu sayıda terim hariç tutulduğunda, geriye kalan sonsuz sayıdaki terim için

∞ − = k n n x n p n x x ₊ =

ise dizisine er geç periyotludur denir ve p bu şartı sağlayan en küçük pozitif tamsayıdır.

{ }

∞ − = k n n x p

3. BÖLÜM

{

}

1

1 max , / −

+ = n n

n x A x

x FARK DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ

Bu bölümde Grove ve Ladas (2005) tarafından açık problem olarak verilen,

{

}

1 1 , max − + = n n n x A x x , n=0,1,2,... (3.1)

fark denkleminin çözümlerinin periyodikliği, A pozitif bir reel sayı ve ile da pozitif rasyonel sayılar olmak üzere, ve başlangıç değerleri altında incelenmiştir. 1 − r r₀ 1 1 = − x r− A 0 0 r A x =

Grove ve Ladas (2005), A=1 için (3.1) denkleminin çözümlerinin 5 periyotlu olduğunu göstermişlerdir. (3.1) denkleminin çözümlerinin periyodikliği A>1 ve

1 <

A durumları için incelenecektir.

3.1 A>1 Durumu

(3.1) fark denkleminde A>1 olmak üzere rn dönüşümü uygulanırsa

n A x =

{

}

1 1 max , − + = n n n r r r A A A A denklemi ve bu denklemden de

{ }

1 1 max ,1 − + = n − n n r r r , n=0,1,2,... (3.2)

fark denklemi elde edilir.

Aşağıda verilen lemma, (3.2) fark denkleminin çözümlerinin bazı ardışık terimleri arasındaki ilişkiyi göstermektedir.

Lemma 3.1.

{ }

rn ∞_{n= 1−} r=

, (3.2) fark denkleminin bir çözümü olsun. ile pozitif rasyonel sayılar, ve

1 −

r r₀

{

1, 0

}

max r₋ r r >1 olmak üzere bazı tamsayıları için

aşağıda verilen ifadeler doğrudur:

1 − ≥ N

i) Eğer r_N =r ise 0≤r_N−1 <r_N dir.

ii) Eğer r_N =r ise r_N =r_N+4 veya r_N =r_N+5 dir.

iii) Eğer rN =r ve rN+1 ≤1 ise rN =rN+4 ve rN+5 =rN+1+rN −1 dir.

iv) Eğer r_N =r ve r_N+1 >1 ise r_N =r_N+5 ve r_N+6 =r_N+1 −1 dir.

İspat. i) olduğunu kabul edelim. Bu kabulden dolayı ve olur. (3.2) denkleminden 0 r r = r₀ >1 r₋₁ <r₀

{ }

0 1 0 1 1 =max r ,1 −r− =r −r− r elde edilir. Eğer r₁ >1 ise

{ }

,1 0 max _{1 0 1} 2 = r −r =−r− < r ,

{ }

,1 1 1 max _{2 1 0 1} 3 = r −r = −r +r− < r ,

{ }

,1 1 1 max _{3 2 1} 4 = r −r = +r− > r ,

{ }

4 3 0 5 max r ,1 r r r = − =

elde edilir. r₁ =r₀ −r₋₁ >1 olduğundan 1+r₋₁ <r₀ ve r₅ >r₄ elde edilir.

Eğer r₁ ≤1 ise

{ }

,1 1 1 max _{1 0 0} 2 = r −r = −r < r ,

{ }

,1 1 1 max _{2 1 0 1} 3 = r −r = −r +r− ≤ r ,

{ }

3 2 0 4 max r ,1 r r r = − =

Benzer şekilde r = r₋₁ olduğunu kabul edelim. O zaman, r₋₁ >1 olur. Eğer ise r₀ >1

{ }

,1 0 max _{0 1 0 1} 1 = r −r− =r −r− < r ,

{ }

,1 1 0 max _{1 0 0} 2 = r −r = −r < r ,

{ }

,1 1 1 max _{2 1 0 1} 3 = r −r = −r +r− > r ,

{ }

_{3 2 1} 4 =max r ,1 −r =r− r ,

olup 1−r₀ +r₋₁ <r₋₁ eşitsizliğinden r₃ < elde edilir. r₄

Eğer 1r₀ ≤ ise

{ }

,1 1 0 max _{0 1 1} 1 = r −r− = −r− < r ,

{ }

,1 1 1 max _{1 0 0} 2 = r −r = −r < r ,

{ }

2 1 1 3 =max r ,1 −r =r− r

olup 1−r₀ <1<r₋₁ eşitsizliğinden 0≤r₂ <r₃ elde edilir. İşleme bu şekilde devam

edildiğinde, genel olarak N ≥−1 olmak üzere, bazı N tamsayıları için ise

olduğu görülür. r rN = N N−1 <r r ≤ 0

ii) N ≥−1 olmak üzere r_N = olsun. O zaman, (i) den r 0≤r_N−1 <r_N olup (3.2)

denkleminden r_N+1 =max

{ }

r_N,1 −r_N−1 =r_N −r_N−1 >0 elde edilir. Eğer ise rN₊₁ ≤1

{

,1

}

1 0 max ₁ 2 = + − = − < + N N N N r r r r ,

{

,1

}

1 1 max _{2 1 1} 3 = + − + = − + < + N N N N r r r r ,

{

N

}

N N N r r r r ₊₄ =max ₊₃,1 − ₊₂ = elde edilir.

Eğer ise r_N+1 >1

{

,1

}

0 max _{1 1} 2 = + − =− − ≤ + N N N N r r r r ,

{

,1

}

1 1 max _{2 1 1} 3 = + − + = − + < + N N N N r r r r ,

{

,1

}

1 1 max _{3 2 2} 4 = + − + = − + ≥ + N N N N r r r r ,

{

N

}

N N N r r r r ₊₅ =max ₊₄,1 − ₊₃ = ,

elde edilir ki iddia doğrudur.

iii) N ≥−1 olmak üzere r_N = ve r r_N+1 ≤1 olduğunu kabul edelim. O zaman, (i) den

olup (ii) nin ispatındaki işlemlere benzer işlemler yapılırsa ve

N N r r ₋₁ < ≤ 0 rN =rN₊₄

{

,1

}

1 max _{4 3 1} 5 = + − + = + + − + N N N N N r r r r r elde edilir.

iv) N ≥−1 olmak üzere r_N = ve r olduğunu kabul edelim. O zaman, (i) den

olup (ii) nin ispatındaki işlemlere benzer işlemler yapılırsa ve 1 1 > + N r N 0≤rN−1 <r rN =rN+5

{

,1

}

1 max _{5 4 1} 6 = + − + = + − + N N N N r r r r elde edilir.

Lemma 3.1 (ii) nin ispatından; Lemma 3.1 (iii) nin “Eğer ise ve r r r_N = _N+4 = 1 1 ≤ + N r r_N+5 =r_N+1 +r_N −1 1 1 > + N r

dir.” şeklinde, Lemma 3.1 (iv) nin de “Eğer

ise ve

r

=

5

r

r_N = _N+ r_N+6 =r_N+1−1 dir.” şeklinde de ifade edilebileceği

görülür.

(3.2) denkleminin Lemma 3.1 deki şartları sağlayan her çözümü, değeri r ye eşit olan sonsuz sayıda terime sahiptir. Gerçekten, r=max

{

r₋₁,r₀

}

kabulünden

1 − =

j ya da j=0 için r_j = dir. Lemma 3.1 (ii) den ya r r_j+4 =r ya da r_j+5 =r

olur. Eğer r_j+4 =r ise, ya r_j+8 =r ya da r_j+9 =r dir. Eğer r_j+5 =r ise, ya r_j+9 =r

ya da r dir. Bu işlem ardışık olarak tekrar edeceğinden değeri r ye eşit olan sonsuz sayıda terim bulunur.

r j+10 =

(3.2) denkleminin Lemma 3.1 deki şartları sağlayan herhangi bir çözümünün sonlu sayıdaki terimlerini göz önüne alalım ve değeri r ye eşit olan terimlerin tam olarak bilindiğini varsayalım. Şöyle ki r_N =r_N+ r

r

=

4 olacak şekilde iki tane N

tamsayısı ve olacak şekilde de iki tane N tamsayısı olduğunu varsayalım.

r_N =

rj

r_N+5 =r

rj ise Lemma 3.1 (iii)-(iv) den

Eğer rj = =rj+8 = +13 =rj+18 = 1 5 +4 r = r_j+4 r_j = ise =r_j+ + −1 9 + j j r r 5 , r = +8 r_j = r_j+4 ise r_j+ =r_j+ +r_j+4 −1 ve r_j+9 =r_j+1+2r_j −2 , r = +13 r_j = r_j+8 ise r_j+14 =r_j+9 − ve 1 r_j+14 =r_j+1+2r_j −3, r j+18 = r = rj+13 ise rj+19 =rj+14 − ve 1 rj+19 =r 1+2 −4 r + j j r elde edilir.

Eğer r_j =r_j =r_j+9 =r_j+13 =r_j+18 = ise Lemma 3.1 (iii)-(iv) den

1 5 +4 r = r_j+4 r_j = ise =r_j+ + −1 10 + j j r r 5 , r = +9 r_j = r_j+4 ise r_j+ =r_j+ −1 ve r_j+10 =r_j+1 2 1 − +r_j , r = +13 rj = rj+9 ise rj+14 =rj+10 +rj+9 − ve rj+14 =rj+1+2rj −3, r j+18 = r = rj+13 ise rj+19 =rj+14− ve 1 rj+19 =r 1+2 −4 r + j j r elde edilir.

r r r_j = _j+4 = ise r_j+5 =r_j+1+r_j −1, r r r_j+4 = _j+9 = ise r_j+10 =r_j+5 −1 ve r_j+10 =r_j+1+r_j −2, r r r_j+9 = _j+14 = ise r_j+15 =r_j+10 −1 ve r_j+15 =r_j+1 +r_j −3, r r rj+14 = j+18 = ise rj+19 =rj+15+rj+14 −1 ve rj+19 =rj+1+2rj −4 elde edilir.

Eğer r_j =r_j+5 =r_j+9 =r_j+14 =r_j+18 =r ise Lemma 3.1 (iii)-(iv) den

r r r_j = _j+5 = ise r_j+6 =r_j+1 −1, r r rj+5 = j+9 = ise rj+10 =rj+6 +rj+5 −1 ve rj+10 =rj+1+rj −2, r r rj+9 = j+14 = ise rj+15 =rj+10 −1 ve rj+15 =rj+1 +rj −3, r r r_j+14 = _j+18 = ise r_j+19 =r_j+15 +r_j+14 −1 ve r_j+19 =r_j+1+2r_j −4 elde edilir.

Eğer r_j =r_j+5 =r_j+9 =r_j+13 =r_j+18 =r ise Lemma 3.1 (iii)-(iv) den

r r rj = j+5 = ise rj+6 =rj+1 −1, r r rj+5 = j+9 = ise rj+10 =rj+6 +rj+5 −1 ve rj+10 =rj+1+rj −2, r r r_j+9 = _j+13 = ise r_j+14 =r_j+10 +r_j+9 −1 ve r_j+14 =r_j+1+2r_j −3, r r r_j+13 = _j+18 = ise r_j+19 =r_j+14 −1 ve r_j+19 =r_j+1+2r_j −4 elde edilir.

Eğer rj =rj+5 =rj+10 =rj+14 =rj+18 =r ise Lemma 3.1 (iii)-(iv) den

r r r_j = _j+5 = ise r_j+6 =r_j+1 −1, r r r_j+5 = _j+10 = ise r_j+11 =r_j+6 −1 ve r_j+11 =r_j+1−2, r r r_j+10 = _j+14 = ise r_j+15 =r_j+11+r_j+10 −1 ve r_j+15 =r_j+1 +r_j −3,

r r

r_j+14 = _j+18 = ise r_j+19 =r_j+15+r_j+14 −1 ve r_j+19 =r_j+1+2r_j −4

elde edilir.

Yukarıda, (3.2) denkleminin kabul edilen şartlardaki muhtemel çözümlerinin ilk (j+19) terimi göz önüne alınmıştır. Altı farklı çözüm ile başlangıç değerlerinin seçiminden kaynaklanır. Yani, (3.2) denkleminin kabul edilen şartlar altındaki bir çözümü, yukarıdaki altı farklı durumdan birine karşılık gelir.

1 −

r r₀

Yukarıdaki altı farklı durum için yapılan işlemler sonucunda elde edilen çözümlerin karşılıklı son iki terimlerinin eşit olduğu açıktır. O halde, (3.2) denkleminin sonlu sayıda terime sahip bir çözümünde, değeri r ye eşit olan terimler tam olarak belirlenebilirse lemma 3.1 (iii)-(iv) deki işlemler sırasına bakılmaksızın ardışık olarak uygulandığında son iki teriminin değeri tam olarak hesaplanabilir.

Aşağıdaki lemma, (3.2) denkleminin sonlu sayıda terime sahip bir çözümünde, değeri r ye eşit olan terimlerin sayısını göstermektedir.

Lemma 3.2.

{ }

rn ∞_{n= 1−} r=

, (3.2) fark denkleminin bir çözümü olsun. ile pozitif rasyonel sayılar, , 1 − r r₀

{

1, 0

}

max r₋ r = >1 m k r , 1(k,m)= ve (−1)≤ <(5 −m−2) N +5 k r = N r_N =

olmak üzere olacak şekilde m tane N tamsayısı ve r olacak şekilde de (k-m) tane N tamsayısı vardır.

r

=

r r_N = _N+4

İspat. , Lemma 3.2 de bahsedilen şartları gerçekleyen (3.2) denkleminin bir çözümü olsun.

{ }

∞ − = 1 n n r 1 > = m k

r olduğundan m ve (k-m) birer pozitif tamsayıdır.

Şimdi olacak şekilde (m+1) tane N tamsayısı var olduğunu kabul edelim. Bu kabulden dolayı Lemma 3.1 (iii) deki işlemleri (m+1) kere ardışık olarak uygulayabiliriz. için r r rN = N+4 =

{

−1,0 ∈

m l₁ =0,1,…, için

r_j+4l =r_j+4(l+1) =r

1

1 ve rj+ l41+1 ≤1

dir.Lemma 3.1 (iii) deki işlemler (m+1) kere ardışık olarak uygulanırsa

1 1 1 5 = + + − ≤ + j j j r r r 1 2 2 1 9 = + + − ≤ + j j j r r r 1 3 3 1 13 = + + − ≤ + j j j r r r 1 1 1 4 + = + + − ≤ + r mr m r_{j m j j} elde edilir. ₊₁+ ( )−m≤1 m k m

r_j den r_j+1≤0 elde edilir. Halbuki Lemma 3.1 (i) ve

den dır. Bu yüzden, Lemma 3.1 (iii) deki işlemler (m+1) kere ardışık olarak uygulanamaz. Başka bir ifade ile

1 1 − + = j − j j r r r rj₊₁ >0 r r rN = N+4 = eşitliğini sağlayan N

tamsayılarının sayısı (m+1) den küçüktür.

Benzer olarak, r_N =r_N+5 =r

2

l

olacak şekilde (k-m+1) tane N tamsayısının var olduğunu kabul edelim. O zaman, Lemma 3.1 (iv) deki işlemleri (k-m+1) kere ardışık olarak uygulayabiliriz. =0,1,…,(k−m) için

r r r_j+5l = _{j+5(l +1)} = 2 2 ve 1 1 1 6 = + − > + j j r r , 1 2 1 11= + − > + j j r r , 1 3 1 16 = + − > + j j r r , 1 ) ( 1 1 ) ( 5 − + = + − − > + r k m r_{j k m j}

elde edilir. rj₊₁−(k−m)>1 den

m k m k

rj+1 >1+( − )≥ elde edilir. Ancak, Lemma

3.1 (i) ve r_j+1 =r_j −r_j−1 den dolayı r_j ≥r_j+1 dir. Bu nedenle r_j+5(k−m)+1 >1 olamaz ve

Lemma 3.1 (iv) deki işlemler (k-m+1) kere ardışık olarak uygulanamaz. Yani, eşitliğini sağlayan N tamsayılarının sayısı (k-m+1) den küçüktür.

r r r_N = _N+5 =

Şimdi olacak şekilde (m-1) tane N tamsayısının var olduğunu kabul edelim. Lemma 3.1 (iii) deki işlemler (m-1) kez ardışık olarak uygulanırsa

r r r_N = _N+4 = r r r r r r_j = _j+4 = _j+8 = = _j+4(m−2) = _j+4(m−1) =

elde edilir. Burada r_{j+ m4( −2)}, r_N =r_N+4 =r r rN N

eşitliğini sağlayan en son terimdir. Eğer de bu eşitliği sağlarsa ) 1 ( 4 − + m j r = ₊₄ =r r

olacak şekilde m tane N tamsayısı var olur ki bu kabulümüzle çelişir. O halde, N =rN+5 =r eşitliğini sağlayan ilk terim

olur. Bu durumda ) 1 ( 4 − + m j r r r r r r rj+4(m−1) = j+4(m−1)+5 = j+4(m−1)+10 = = j+4(m−1)+5(k−m) = j+4(m−1)+5(k−m+1) =

olup r_N =r_N+5 =r olacak şekilde (k-m+1) tane N tamsayısı vardır. r_N =r_N+5 =r

eşitliğini sağlayan N tamsayılarının sayısının (k-m+1) den küçük olması nedeniyle bu mümkün değildir. O zaman, rN =rN+4 =r

r rN N

eşitliğini sağlayan N tamsayılarının sayısı (m-1) den büyüktür. O halde, = ₊₄ =r eşitliğini sağlayan m tane N tamsayısı

vardır.

Benzer şekilde, r_N =r_N+5 =r olacak şekilde (k-m-1) tane N tamsayısının

olduğunu kabul edelim. Lemma 3.1 (iv) deki işlemler (k-m-1) kez ardışık olarak uygulanırsa r r r r r rj = j+5 = j+10 = = j+5(k−m−2) = j+5(k−m−1) =

elde edilir. eşitliğini sağlayan son terim dir. ise eşitliğini sağlayan ilk terimdir. Lemma 3.1 (ii) den

r r r_N = _N+5 = r ) 2 ( 5 − − + k m j r r_{j+5(k−m−1)} r r_N = _N+4 = r r r r r r_{j+5(k−m−1)} = _{j+5(k−m−1)+4} = _{j+5(k−m−1)+8} = = _{j+5(k−m−1)+4m} = _{j+5(k−m−1)+4(m+1)} =

elde edilir. Buradan da rN =rN+4 =r olacak şekilde (m+1) tane N tamsayısının

bulunduğu görülür. Bu ise mümkün değildir. O zaman eşitliğini sağlayan N tamsayılarının sayısı (k-m-1) den büyük olmalıdır ki N tamsayılarının sayısının (k-m) olduğu anlamına gelir.

r r r_N = _N+5 =

Lemma 3.1 (iii)-(iv) deki iddialar, Lemma 3.2 de göz önüne alınarak genelleştirilebilir. Bu genellemeler sonlandırılmış bir çözümdeki son iki terimin hızlı bir şekilde hesaplanmasını sağlar.

Lemma 3.3.

{ }

r_n ∞_{n= 1−} , (3.2) fark denkleminin Lemma 3.1 ve Lemma 3.2 deki şartları

gerçekleyen bir çözümü olsun. Bazı N ≥−1 tamsayıları için aşağıdaki ifadeler

doğrudur: i) l₁ =1,2,…,m için r_N =r_{N+ l} =r 1 4 ise, rN+4l1+1 =rN +rN+4(l1−1)+1−1 dir. ii) l₂ =1,2,…,(k−m) için r_{N+ m} =r_{N+ m+l} =r 2 5 4 4 ise 1 1 ) 1 ( 5 4 1 5 4 + 2+ = + + 2− + − + m l N m l N r r dir.

Teorem 3.1. , ile pozitif rasyonel sayıları için başlangıç değerleri ve olmak üzere (3.1) fark denkleminin her

{ }

çözümü periyodiktir. Eğer 1 r₋₁ 0 r > A 0 A x = 0 r 1 1 = − − Ar x x_n ∞_{n= 1−}

{

}

m k r r₋₁, ₀,1 =

max ve (k,m)=1 ise

{ }

x_n ∞_{n= 1−} çözümü (5k-m) esas

periyotludur.

İspat. (3.1) fark denkleminde A>1 ve n≥−1 olmak üzere dönüşümü

uygulanıp (3.2) denklemi elde edilmişti.

n r n A x =

{ }

∞ − = 1 n n r in (3.2) denkleminin bir çözümü,

{

}

m

k r

r₋ , ,1 =

max _{1 0} ve (k,m)=1 olduğunu kabul edelim. O zaman,

{ }

in (5k-m) esas periyotlu olduğunu göstermek için her

∞ − = 1 n n x 1 − ≥ n tamsayısı için

olduğunu göstermek yeterlidir.

m k n r_{+ −} = ₅ n r 1 = m k

olduğunu kabul edelim. O zaman, k = m=1, 0<r₋₁ ≤1 ve 0< r₀ ≤1 olur. (3.2) denkleminden,

{ }

,1 1 max ₀ 1 r−1 =1−r−1 1 ₀ 0 < − = r r ,

{ }

,1 1 max ₁ 2 r = −r < 1 1 = r− r 0 2 r r = 1 − − = r r ,

{ }

₂ 3 =max r ,1 − r ,

{ }

3 4 max r ,1 r = −

elde edilir ki her n≥ tamsayısı için r_n =r_n+5k−m dir.

1 >

m k

olduğunu varsayalım. O zaman,

{

}

{

}

m k r r₋₁, ₀ = r₋₁,

max r₀,1 =max olur.

Lemma 3.3 (i) den

m k r= , N ≥−1 ve l₁ =1 …,2, ,m için ve dir. Buradan r r rN = N+4l1 = N 1 1 − ) 1 ( 4 1 41+ = + + 1− + + l N N l N r r r r_N =r _+4m =r ve 1 1 5 = + + − + N N N r r r 2 2 1 ₁ 5 9 = + + − = + + − + N N N N N r r r r r m r mr r_N+4m+1 = _N + _N+1− r_N m N r _{m l} =r

elde edilir. Lemma 3.3 (ii) den l₂ =1,2,…,(k−m) için = ₊ 2 5 4 + +4 ve 1 1 ) 1 ( 5 4 1 5 4 + 2+ = + + 2− + − + m l N m l N r r dir. Buradan r_N+4m =r_{N+4m+5(k−m)} =r ve 1 1 ₁ 1 4 6 4 + = + + − = + + − − + r mr r m rN m N m N N ,

2 1 ₁ 6 4 11 4 + = + + − = + + − − + r mr r m r_{N m N m N N} , 1 1 1 ) ( 5 4 + − + + ( ) + + m k m = N + N − − − = N N mr r m k m r r

elde edilir. Buradan r_N =r_{N+4m+5(k−m)} =r ve r_N+1 =r_{N+4m+5(k−m)+1} 1

olduğu görülür. olduğu göz önüne alındığında her

{ }

1 1 max ,1 + − = n − n n r r r n≥− ) 1 için olur. Ayrıca, ve m k n n r r = _{+5 −} m , ₂ 1,2,3, l₁ =1,2,3,… l = ,(k−m− için r ve

olduğundan (5k-m), en küçük periyot olur ki ispat tamamlanır.

… _{1 4 1} 1+ + + ≠ N l N r 1 5 4 1 + + 2+ + ≠ N m l N r r 3.2 A<1 Durumu

(3.1) fark denkleminde A<1 olmak üzere rn dönüşümü uygulanırsa n A

x =

r_n+1 =min

{ }

r_n,1 −r_n−1, n=0,1,2,... (3.3)

fark denklemi elde edilir.

(3.3) fark denkleminin çözümlerinin bazı ardışık terimleri arasındaki ilişkiyi gösteren ve benzer sonuçlar içeren iki lemma aşağıda verilmiştir.

Lemma 3.4.

{ }

r_n ∞_{n= 1−} , (3.3) fark denkleminin bir çözümü olsun. ile pozitif

rasyonel sayılarından biri

(

aralığında diğeri de

1 − r r₀

]

1 ,

0

( )

1,∞ aralığında bulunmak üzere ve bazı tamsayıları için aşağıda verilen ifadeler doğrudur:

{

1,

max r r

r= _{− 0}

}

N >0

i) Eğer r_N =−r ise r_N ≤r_N−1 <0 dır.

ii) Eğer r_N =−r ise r_N =r_N+5 veya r_N =r_N+6 dır.

iii) Eğer rN =−r ve rN−1 <−1 ise rN =rN+5 ve rN+4 =rN−1+1 dir.

iv) Eğer r_N =−r ve r_N−1 ≥−1 ise r_N =r_N+6 ve r_N+5 =r_N−1+r_N +1 dir.

{ }

,1 1 1 min _{0 1 1} 1 = r −r− = −r− < r ,

{ }

,1 1 0 min _{1 0 1 0} 2 = r −r = −r− −r < r ,

{ }

2 1 0 3 min r ,1 r r r = − =−

elde edilir. (−r₀)≤1−r₋₁−r₀ <0 olup r₃ ≤ r₂ <0 dır.

{ }

,1 1 0 min _{3 2 1} 4 = r −r =r− − ≤ r ,

{ }

,1 1 0 min _{4 3 0 1} 5 = r −r =r +r− − > r elde edilir. Eğer ise r₅ >1

{ }

,1 2 1 min _{5 4 1} 6 = r −r = −r− ≥ r ,

{ }

,1 2 0 min _{6 5 1 0} 7 = r −r = −r− −r < r ,

{ }

7 6 0 8 min r ,1 r r r = − =−

elde edilir. (−r₀)<2−r₋₁−r₀ <0 olup r₈ < r₇ <0 dır.

Eğer 1r₅ ≤ ise

{ }

5 4 0 6 min r ,1 r r r = − = ,

{ }

,1 2 1 min _{6 5 0 1} 7 = r −r = −r −r− < r ,

{ }

,1 2 2 0 min _{7 6 0 1} 8 = r −r = − r −r− < r ,

{ }

8 7 0 9 min r ,1 r r r = − =−

elde edilir. (−r₀)≤(2−r₀ −r₋₁)−r₀ <0 olup r₉ ≤ r₈ <0 dır.

1

1 >

=r₋

r ve 0< r₀ ≤1olduğunu kabul edelim. O zaman,

{ }

,1 0

min _{0 1 0 1}

1 = r −r− =r −r− <

{ }

1 0 1 2 =min r,1 −r =−r−

r

elde edilir. (−r₋₁)<r₀ −r₋₁ <0 olup r₂ < r₁ <0 dır. İşleme devam edilirse

{ }

2 1 0 3 min r ,1 r r r = − =− ,

{ }

3 2 0 1 4 =min r ,1 −r =−r +r− r elde edilir. Eğer r₄ >1 ise

{ }

,1 1 1 min _{4 3 0} 5 = r −r = +r > r ,

{ }

,1 1 1 min _{5 4 0 1} 6 = r −r = +r −r− < r ,

{ }

6 5 1 7 =min r ,1 −r =−r− r

elde edilir. (−r₋₁)<1+r₀ −r₋₁ <0 olup r₇ < r₆ <0 dır.

Eğer r₄ ≤1 ise

{ }

4 3 1 5 =min r ,1 −r =r− r ,

{ }

,1 1 1 min _{5 4 0 1} 6 = r −r = +r −r− < r ,

{ }

,1 1 2 0 min _{6 5 0 1} 7 = r −r = +r − r− < r ,

{ }

7 6 1 8 =min r ,1 −r =−r− r

elde edilir. (−r₋₁)≤(1+r₀ −r₋₁)−r₋₁ olup r₈ ≤ r₇ <0 dır.

Yukarıdaki işlemlerden genel olarak bazı N >0 tamsayıları için r_N =−r ise

olduğu görülür. 0 1 < ≤ N₋ N r r

ii) N >0 olmak üzere r_N =−r olsun. O zaman, (i) den olup (3.3)

denkleminden 0 1 < ≤ _N− N r r

{ }

1 1 1 min ,1 − − + = N − N = N − N N r r r r r ,

{

1

}

1 2 min + ,1 − + = N − N =− N N r r r r elde edilir. Eğer ise r_N+2 ≤1

{

N

}

N N N r r r r ₊₃ =min ₊₂,1 − ₊₁ =− ,

{

3

}

2 1 4 min + ,1 + 1 − + = N − N = + N N r r r r ,

{

N

}

N N N N r r r r r ₊₅ =min ₊₄,1 − ₊₃ =1+ ₋₁+ ,

{

N

}

N N N r r r r ₊₆ =min ₊₅,1 − ₊₄ = elde edilir. Eğer ise rN₊₂ >1

{

2

}

1 1 3 min + ,1 + 1 − + = N − N = − N + N N r r r r r ,

{

3

}

2 1 4 min + ,1 + 1 − + = N − N = + N N r r r r ,

{

N

}

N N N r r r r ₊₅ =min ₊₄,1 − ₊₃ =

elde edilir ki iddia doğrudur.

iii) N >0 olmak üzere, rN =−r ve rN−1 <−1

1 −

olduğunu kabul edelim. O zaman, olduğu göz önüne alınıp (ii) nin ispatındaki işlemlere benzer işlemler

yapılırsa ve 1 + N r ₂ =−r_N− r_N =r_N+5 =−r r_N+4 =1+r_N elde edilir.

iv) N >0 olmak üzere, rN =−r ve rN−1 ≥−1

r r_{N N}

olduğunu varsayalım. O zaman, olduğu göz önüne alınırsa

1 + N r ₂ =−r_N− = ₊₆ =−r ve elde edilir. 1 1 5 = − + + + N N N r r r

Lemma 3.4 (ii) nin ispatından; Lemma 3.4 (iii) nin ‘‘Eğer r_N =r_N+5 =−r ise

ve dir.’’ şeklinde, Lemma 3.4 (iv) nin de ‘‘Eğer ise 1 1 <− − N r r rN = N+6 1 1 4 = − + + N N r r 1 r −

= rN₋ ≥−1 ve rN+5 =rN−1+rN +1 dir.’’ şeklinde de ifade

edilebileceği açıktır.

Lemma 3.4 (ii) yi sağlayan sonsuz sayıda tamsayısının olduğu açıktır. (3.3) denkleminin bir çözümünün belirli sayıdaki ardışık terimleri içinde (iii) ve (iv) deki şartları sağlayan tamsayılarının sayısı tam olarak belirlemek şartıyla elde edilebilecek son iki terimin değerini, işlem sırasına bakılmaksızın (iii) ve (iv) deki işlemleri belirlenen sayıda uygulayarak ilk iki terime bağlı olarak bulabiliriz. (3.3) denkleminin muhtemel bir çözümünde önce (iv) deki şartları sağlayan tamsayıları sonra da (iii) deki şartları sağlayan tamsayıları ardı ardına bulunur. Önce (iv) deki işlemleri sonrada (iii) deki işlemleri arka arkaya uygulayabilmek son iki terimin hesaplanmasında kolaylık sağlar.

N

N

N N

Lemma 3.5. Başlangıç değerleri 1’den büyük rasyonel sayılar olmak üzere (3.3) fark denkleminin bir çözümü

{ }

rn ∞_{n= 1−} olsun. r =r−1+r0 olmak üzere bazı pozitif

tamsayıları için aşağıda verilen ifadeler doğrudur:

N

i) Eğer rN = 1−r ise rN <rN−1 ≤0 dır.

ii) Eğer r_N = 1−r ise r_N =r_N+5 veya r_N =r_N+6 dır.

iii) Eğer r_N = 1−r ve r_N−1 ≤−1 ise r_N =r_N+5 ve r_N+4 =r_N−1 +1 dır.

iv) Eğer rN = 1−r ve rN−1 >−1 ise rN =rN+6 ve rN+5 =rN−1+rN +1 dır.

İspat. i) 1< r₋₁, 1 r< ₀ ve r =r₋₁+r₀ olduğunu kabul edelim. (3.3) denkleminden

{ }

0 1 1 1 =min r ,1 −r− =1−r− r ,

{ }

1 0 1 0 2 min r,1 r 1 r r r = − = − ₋ −