Üçüncü mertebeden genelleştirilmiş bazı sayı dizilerinin kuaterniyonları ve uygulamaları

(1)

T.C.

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÜÇÜNCÜ MERTEBEDEN GENELLEŞTİRİLMİŞ BAZI SAYI

DİZİLERİNİN KUATERNİYONLARI VE UYGULAMALARI

Hasan GÜNAY YÜKSEK LİSANS TEZİ Matematik Anabilim Dalı

(2)

(3)

(4)

iv

YÜKSEK LİSANS TEZİ ÜÇÜNCÜ MERTEBEDEN

GENELLEŞTİRİLMİŞ BAZI SAYI DİZİLERİNİN KUATERNİYONLARI VE UYGULAMALARI

Hasan GÜNAY

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Doç. Dr. Necati TAŞKARA 2019, 60 Sayfa

Jüri

Doç. Dr. Yasin YAZLIK Doç. Dr. Doç. Dr. Necati TAŞKARA Dr. Öğr. Üyesi Muhammed Talat SARIAYDIN

Bu çalışmada üçüncü mertebeden genelleştirilmiş kuaterniyonların alt dizisi olan yeni bir W kuaterniyonu alınarak bazı temel özellikleri incelenmiştir. Ayrıca bu _n kuaterniyon kullanılarak Padovan, Perrin ve Van Der Laan kuaterniyonların özellikleri araştırılmıştır. Sonuç olarak bu kuaterniyonların üreteç fonksiyonları, Binet formülleri, toplamsal özellikleri ve aralarındaki bazı bağıntılar verilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Binet formülü, kuaterniyon, Padovan kuaterniyon, Perrin kuaterniyon, Van Der Laan kuaterniyon, üreteç fonksiyonu.

(5)

v MS THESIS

QUATERNIONS AND APPLICATIONS OF SOME GENERALIZED THIRD ORDER SEQUENCES

Hasan GÜNAY

THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

Advisor: Assoc. Prof. Dr. Necati TAŞKARA 2019, 60 Pages

Jury

Assoc. Prof. Dr. Yasin YAZLIK Assoc. Prof. Dr. Necati TAŞKARA Asist. Prof. Dr. Muhammed Talat SARIAYDIN

In this study, a new quaternion W which is a subseries of third order _n generalized quaternions is investigated and some of its basic properties are examined. The properties of Padovan, Perrin and Van Der Laan quaternions were also investigated by using this quaternion. As a result, generating functions, Binet formulas and additive properties of these quaternions and some relations between them are given.

Keywords: Binet formula, quaternion, Padovan quaternion, Perrin quaternion, Van Der Laan quaternion, generating function.

(6)

vi

Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Ana Bilim Dalı Öğretim Üyesi Doç. Dr. Necati TAŞKARA yönetiminde yapılarak Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.

Çalışmalarımda bana vermiş olduğu destek ve yardımlardan dolayı değerli vakitlerini ve yardımlarını esirgemeyen, her safhasında bilgi ve tecrübelerine başvurduğum danışmanım Doç. Dr. Necati TAŞKARA’ya sonsuz saygılarımı sunarım. Ayrıca vermiş olduğu desteklerden dolayı eşim Ayşe GÜNAY’a teşekkür ederim.

Hasan GÜNAY KONYA-2019

(7)

vii

ÖZET ... iv

ABSTRACT ... v

ÖNSÖZ ... vi

İÇİNDEKİLER ... vii

SİMGELER VE KISALTMALAR ... viii

1. GİRİŞ ... 1

1.1. Tezin Yapısı ... 3

1.2. Tezin Amacı ve Önemi ... 3

2. KAYNAK ARAŞTIRMASI ... 4

3. TEMEL KAVRAMLAR ... 11

3.1. Padovan, Perrin ve Van Der Laan Sayı Dizileri ... 11

3.2. Genelleştirilmiş Tribonacci Sayı Dizileri ... 15

3.3. Kuaterniyonlar ... 17

3.4. Padovan, Perrin ve Van Der Laan Kuaterniyonlar ... 20

3.5. Genelleştirilmiş Tribonacci Kuaterniyonlar ... 22

4. GENELLEŞTİRİLMİŞ SAYI DİZİLERİNİN VE KUATERNİYONLARININ ÖZELLİKLERİ ... 24

4.1. Üçüncü Mertebeden Genelleştirilmiş Sayı Dizisi ... 24

4.2. Üçüncü Mertebeden Genelleştirilmiş Kuaterniyonlar ... 27

4.3. Genelleştirilmiş Kuaterniyonların Toplamsal Özellikleri ... 36

4.4. Padovan, Perrin ve Van Der Laan Kuaterniyonlar Arasındaki İlişkiler ... 42

5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ... 46

5.1 Sonuçlar ... 46

5.2 Öneriler ... 46

KAYNAKLAR ... 47

(8)

viii Simgeler

: Doğal sayılar



: Pozitif tam sayılar

( ) C a : sirkülant matris n F : n.Fibonacci sayısı n L : n.Lucas sayısı n P : n.Padovan sayısı n Q : n.Perrin sayısı n

R : n.Van Der Laan sayısı , k n F : .n k -Fibonacci sayısı , k n L : .n k -Lucas sayısı n

Pf : n.genelleştirilmiş p -Fibonacci sayısı n

Pl : n.genelleştirilmiş p -Lucas sayısı

, k n

G : n.genelleştirilmiş k-Fibonacci sayısı

n J : n.Jacobsthal sayısı n j : n.Jacobsthal-Lucas sayısı (3) n

J : n.üçüncü mertebeden Jacobsthal sayısı

(3)

n

j : n.üçüncü mertebeden Jacobsthal- Lucas sayısı

,

k n

J : n.ikinci mertebeden genelleştirilmiş Jacobsthal sayısı

n

p : n.Pell sayısı n

l : n.Pell-Lucas sayısı

n

q : n.Modified Pell sayısı ,

k n

q : n.Modified k-Pell sayısı

n

T : n.Tribonacci sayısı

n

TL : n.Tribonacci-Lucas sayısı

n

(9)

ix ,

k n

H : n.genelleştirilmiş k-Horadam sayısı

n

Q : n.Fibonacci kuaterniyon

n

K : n.Lucas kuaterniyon

n

GQ : n.genelleştirilmiş Fibonacci kuaterniyon

n

GK : n.genelleştirilmiş Lucas kuaterniyon

, k n D : .n k -Fibonacci kuaterniyon , k n P : .n k -Lucas kuaterniyon n QP : n.Pell kuaterniyon n QPL : n.Pell-Lucas kuaterniyon n P : n.Padovan kuaterniyon n Q : n.Perrin kuaterniyon n

R : n.Van Der Laan kuaterniyon

n TQ : n.Tribonacci kuaterniyon n TQ  : n.Tribonacci-Lucas kuaterniyon (3) n

JQ : n.üçüncü mertebeden Jacobsthal kuaterniyon

(3)

n

jQ : n.üçüncü mertebeden Jacobsthal-Lucas kuaterniyon n

BCV : n. Bicomplex genelleştirilmiş kuaterniyon

, v n

Q : n.genelleştirilmiş Tribonacci kuaterniyon

n

M : n.üçüncü mertebeden genelleştirilmiş sayısı n

(10)

1. GİRİŞ

İnsanlık tarihinin başlangıcından beri, evrendeki düzeni keşfetme güdüsü var olmuştur. Geçen on binlerce yıl içinde yapılan tüm çalışmalar evrenin insanın aklının alamayacağı kadar sistematik bir ölçü içerisinde yaratıldığını ortaya koymuştur. Evrenin bu sistemi, kuşkusuz sayılar üzerine oturtulmuştur. Var olan her şey, bir sayıya karşılık gelmektedir. Dil bilimi bile matematiksel kurallar sayesinde gelişim göstermektedir. Ve biz bu sayıları, daha çok gündelik matematik hesaplamalarında, ölçüp tartmada, mühendislikte ve bunun gibi basit konular üzerinde incelemeye çalışıyoruz. Felsefik boyutta düşünüldüğünde, varoluşun ve doğa yasalarının temelinde de bu sayılar bulunmaktadır. Bu anlamda evrene hâkim olan sayıların yasası matematiğin düzenini ortaya koyacaktır. İşte bu düzeni görmemizi sağlayacak anahtar, altın orandır.

Evrende görebileceğimiz tüm nesne ve varlıkların parçaları arasında bir uyumun olduğunu ve binlerce yıldır hiç değişmediği saptandığı için Yaratıcı‘nın matematik sistemi olarak bilinen bağıntıya “altın oran” denilmektedir. Sanatta ve matematikte çok kez karşılaşabileceğimiz bu oran, aslında bir kural üzerine oturtulmuştur. Fakat gözlemleyebildiğimiz bütün varlık âleminde bu oranın geçerli ve tutarlı olarak göze çarpması, insanları şaşkına çevirecek kadar ciddi bir sistemi ortaya koyuyor. Evrenin var oluşundan bu yana tutarlı olarak bütün varlıklarda aşağıda açıklanacak olan 1,618’e karşılık gelen bir oranın bulunması, dünyaca ünlü matematikçilerin de hayranlıkla incelediği ve kendi çalışmalarında kullandıkları bir konu alanı olmuştur.

İlk olarak kimler tarafından keşfedildiği bilinmese de Mısırlıların ve Yunanlıların bu konu üzerinde yapmış oldukları bazı çalışmalar olduğu görülmektedir. Öklid, milattan önce 300’lü yıllarda yazdığı “elementler” adlı tezinde “ekstrem ve önemli oranda bölmek” olarak altın oranı ifade etmiştir. Mısırlıların keops piramidinde, Leonardo da Vinci’nin “İlahi Oran” adlı çalışmada sunduğu resimlerde ve birçok çalışmalarda kullanıldığı bilinen altın oran, “Fibonacci sayıları” olarak da bilinmektedir. Orta Çağ’ın en ünlü matematikçisi olan İtalyan kökenli Leonardo Fibonacci, birbiri arasında ardışık ilişki ve olağanüstü bir oran bulunduğunu iddia ettiği sayıları keşfetmiştir. Evrendeki muhteşem düzenle birebir örtüşen bu sayıları keşfetmesi nedeniyle, altın orana da adının ilk iki harfi olan “Fi” (Φ) sayısı denilmiştir (Altın Oran, http://www.bilgicik.com/yazi/altin-oran-evrenin-matematigi).

(11)

William Rowan Hamilton (İrlanda, 1805-1865) kraliyet ailesinin bir konsey toplantısına başkanlık yapmak için kraliyet kanalı boyunca eşiyle birlikte yürürken aklına bir fikir geldi. Brougham köprüsü’nün üzerindeydi kalemini çıkardı ve oradaki taşa kuaterniyonun temel formülünü çizdi. Hamilton birkaç hafta sonra 1843’ te sunduğu teoride, kuaterniyon terimini belli bir dörtlüyü adlandırmak için kullandı. Hamilton komplex sayılarını genelleştirmiştir. Hamilton’un yaptığı keşif fizik, matematik, bilgisayar grafikleri, bilgisayar simülasyonları, tutum kontrolü, orbital ve yörünge mekaniği gibi birçok alanda kullanımlarını bulmak mümkündür. (Kuaterniyonlar, https://www.matematiksel.org/koprude-gelen-ilhamkuaterniyonlar/; Baek ve ark., 2017)

Cordonnier sayıları, çağdaş mimar Richard Padovan (1935-) onuruna Stewart (1996) tarafından tanımlanmıştır. Ama ilk bu sayıyı keşfeden kişi Fransız asıllı mimarlık öğrencisi Gerard Cordonnierdir. Fransız keşiş-mimar Dom Hans Van Der Laan (1904-1991) tarafından yeniden düzenlenmiştir. Cordonnier, Padovan, Van Der Laan ve Stewart ile tarihi ortaklık taşıyan sayıları Padovan sayıları Cordonnier sayıları olarakta bilinir.

Perrin sayıları ise 1876’ da Lucas tarafından tanıtılmış ve ileride Steward tarafından Perrin dizisi olarak adlandırılmıştır. İşte bu sayılar sanat ve mimaride kullanılmaktadır. Bu sayı dizileride doğada örnekleri olan altın orana benzer bir orana sahiptirler. İki Padovan sayısının oranı, plastik sayı olarak bilinen p 1,3247195... sayısına yakınsar (Shannon ve ark., 2006).

(12)

1.1. Tezin Yapısı

Bu tez; 1. Bölüm Giriş Bölümü, 2. Bölüm Kaynak Araştırması, 3. Bölüm Temel Kavramlar, 4. Bölüm tezin orijinal bölümü olup bu bölümde Genelleştirilmiş Sayı Dizilerin ve Kuaterniyonlarının Özellikleri incelenmiştir. 5. Bölüm Sonuçlar ve Öneriler olmak üzere toplam beş bölümden oluşmaktadır.

1.2. Tezin Amacı ve Önemi

Bu çalışmanın temel amacı literatürde yapılmış olan ikinci ve üçüncü mertebeden rekürans bağıntısına sahip sayı dizilerinden yararlanarak üçüncü mertebeden genelleştirilmiş kuaterniyonların toplamsal ve binomiyel özelliklerini araştırmaktır. Ayrıca Padovan, Perrin ve Van Der Laan kuaterniyonların bazı temel özellikleri ve aralarındaki bağıntıları elde etmektir.

(13)

2. KAYNAK ARAŞTIRMASI

Bu bölümde tezin oluşturulmasında yararlanılan ve sonuçlar çıkarılan çalışmalar verilecektir. İlk olarak ikinci ve üçüncü mertebeden sayı dizileriyle ilgili çalışmalar verilmiştir.

(Lucas, 1876) Bu çalışmada

 

Q_n Perrin dizileri tanıtılmıştır.

(Perrin, 1899) Bu çalışmada önceki yıllarda tanıtılmış

 

Q_n dizisine Perrin ismi verilerek bazı özellikleri incelenmiştir.

(Koshy, 2001) Kitabında Fibonacci, Lucas sayıları ve genellemeleriyle ilgili çok geniş bilgi vermiştir. Ayrıca sayı dizilerinin bir çok uygulaması ve kullanım alanları incelemiştir.

(Padovan, 2002) Bu makalede mimarlık öğrencisi Fransız Gerard Cordonnier tarafından 1924 yılında keşfedilen Cordonnier sayılarının özellikleri verilmiştir.

(Shannon ve ark., 2006) Bu çalışmada üçüncü mertebeden lineer sayı dizileri olan Cordonnier, Perrin ve Van Der Laan sayı dizilerinin tanımları ve bu sayıların Fibonacci sayı dizisine benzer özellikleri araştırılmıştır. Ayrıca sayıların kombinatöriyel özellikleri incelenmiştir.

(Falcon ve Plaza, 2006) Bu çalışmada Fibonacci dizileri ve Pell dizilerini genelleyen k -Fibonacci dizisi tanımlamış ve özellikleri verilmiştir.

(Koçer ve Tuğlu, 2007) Bu makalede Pell ve Pell-Lucas p -sayıları tanımlanmıştır. Ayrıca bu sayıların analitik formülleri ve Binet formülü verilmiştir.

(Güleç ve Taşkara, 2009) Bu çalışmalarında Fibonacci sayılarının binom katsayılarıyla yeni özelliklerini ve bunlara bağlı sonuçları incelemişlerdir.

(14)

(Uslu ve ark., 2010) Bu makalede k - Fibonacci ve k - Lucas sayılarının yeni genelleştirilmesini vermişlerdir. Bu genelleme kullanılarak, bu sayılar üzerinde yeni cebirsel özellikleri elde edilmiştir.

(Bolat ve Köse, 2010) Bu çalışmada

 

F_{k n}_, k-Fibonacci dizisinin bazı eşitlikleri, üreteç fonksiyonları, binomiyel toplamları ve bölünebirlik özellikleri araştırılmıştır.

(Falcon, 2011) Bu makalede k-Fibonacci sayı dizilerini özel bir durumundan yararlanılarak L_{k n}_, k-Lucas sayısı olmak üzere

, 1 , , 1, ,0 2, ,1 , 1

k n k n k n k k

L  kL L  L  L k n (2.1)

olarak tanımlanmıştır. k -Lucas dizisinin Binet formülü

2 4 2 k k k     olmak üzere





, n n k n k k L     (2.2) olarak elde edilmiştir. Ayrıca k-Fibonacci ve k-Lucas sayıları arasında ilişkiler verilmiştir.

(Solak ve Bahşi, 2011) Bu makalede Fibonacci ve Lucas sayılarını kapsayan Henkel matrislerin spektral normları için eşitlikler vermişlerdir.

(Halıcı, 2012) Bu çalışmada, (Horadam, 1963) tarafından

1 2 3, n n n n n Q F iF  jF kF (2.8) 1 2 3 n n n n n K L iL_  jL_ kL_ (2.9) olarak tanımlanan Fibonacci, Lucas kuaterniyonların Binet formülü ve üreteç fonksiyonunu 2 3 2 3 1 5 1 5 1 , 1 , , 2 2 i j k i j k                     (2.10) olmak üzere









1 , 5 n n n n n n Q      K      (2.11) ve 2 ( 1) ( 2) ( , ) 1 t i j t k t G x t t t         (2.12)

olarak elde edilmiştir. Bu çalışmada ek olarak toplam formülleri de verilmiştir.

(Akyiğit ve ark., 2013) Bu çalışmada James Cockle tarafından tanımlanan split kuaterniyon kullanılarak Horadam’ın verdiği fikirlerinden yola çıkarak split Fibonacci kuaterniyon, split Lucas kuaterniyon ve split genelleştirilmiş Fibonacci kuaterniyon tanımlanmıştır. Ayrıca kuaterniyonlar arasındaki bazı bağıntılar elde edilmiştir. Bu kuaterniyonlar arasındaki bağıntılar Fibonacci ve Lucas sayıları kullanılarak elde edilmiştir. Ayrıca toplam formülleri, Binet formülü ve Cassini özdeşliği verilmiştir.

(17)

(Akyiğit ve ark., 2014) Bu çalışmada genelleştirilmiş Fibonacci ve genelleştirilmiş Lucas kuaterniyonlar sırasıyla

1 2 3, n n n n n GQ F iF_  jF_ kF_ (2.13) 1 2 3 n n n n n GK L iL_  jL_ kL_ (2.14) olarak tanımlanmış ve özellikleri araştırılmıştır.

(Ramirez, 2015) Bu makalede k-Fibonacci ve k-Lucas kuaterniyonları sırasıyla , , , 1 , 2 , 3, 0, k n k n k n k n k n D F iF   jF  kF  n (2.15) , , , 1 , 2 , 3, 0 k n k n k n k n k n P L iL   jL  kL  n (2.16)

tanımlanmıştır. Ayrıca k-Fibonacci ve k-Lucas kuaterniyonların üreteç fonksiyonları, toplam formülleri ve Casssini özdeşliği verilmiştir.

(Polatlı, 2015) Bu çalışmada literatürde yapılmış çalışmalardan yararlanarak



GUn



genelleştirilmiş Fibonacci kuaterniyon ve



GVn



genelleştirilmiş Lucas

kuaterniyon dizileri tanımlanmıştır. Daha sonra bu kuaterniyonların Binet formülleri, üreteç fonksiyonları, Cassini özdeşliği ve bazı toplamsal eşitlikleri verilmiştir.

(Çimen ve İpek, 2016) Bu çalışmada pn n. Pell ve ln n. Pell- Lucas sayıları

olmak üzere Pell, Pell Lucas kuaterniyonlar

0 1 1 2 2 3 3, n n n n n QP  p e p e_ p_ e p_ e (2.17) 0 1 1 2 2 3 3 n n n n n QPL l e l _e l _ e l _e (2.18) olarak tanımlanmıştır. Daha sonra bu kuaterniyonların binet formülleri, bazı toplamsal formülleri ve aralarındaki ilişkiler incelenmiştir.

(Catarino, 2016) Bu çalışmada

 

_n

n

q _ Modified Pell dizisi ve

 

_{k n}_,

n

q



Modified k-Pell dizisi sırasıyla

0 1 1, n 1 2 n n 1, 1,

q q  q _  q q_ n (2.19)

,0 ,1 1, , 1 2 , , 1, 1

k k k n k n k n

(18)

gözönüne alınsın.n. Modified Pell, n. Modified k - Pell kuaterniyonları ve oktaniyonları tanımlanmıştır. Daha sonra kuaterniyonların, oktaniyonları bazı özelliklerini inceleyerek Binet tarzı formülleri ve üreteç fonksiyonları verilmiştir.

(Halıcı, 2017) Bu çalışmada daha önce tanımlanmış olan Fibonacci, Lucas, Pell, Pell-Lucas, Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas kuaterniyon dizilerinin genellemesi tanımlanmıştır. (Horadam, 1965) tarafından tanımlanmış olan QW_n sayı dizisi; terimleri sıfırdan büyük tam sayılar için QW0 a QW, 1b başlangıç şartları olmak

üzere

1 2

( , ; , ) ; 2

n n n n

QW QW a b p q  pQW_ qQW_ n (2.21) şeklinde tanımlanmıştır. Burada QW_n n. Horadam sayısıdır.

Bu çalışmada Horadam’ın tanımına benzer şekilde yeni bir kuaterniyon aşağıdaki şekilde

, 2 2 3 4 5 , 0

w n n n n n

Q  QW QW iQW jQW k n (2.22)

olarak tanımlanmıştır. Burada QWn n. genelleştirilmiş Horadam sayısıdır. Bileşenleri

nedeniyle bu kuaterniyona Horadam kuaterniyonu denilmiştir. Bu kuaterniyonlar arasındaki bağıntılar ve özellikleri incelenmiştir.

(Cerda-Morales, 2017) Bu makalede üçüncü mertebeden Jacobsthal kuaterniyonlar ve Jacobsthal-Lucas kuaterniyonları sırasıyla aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır. (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) 1 2 3, 0 0, 1 2 1, 0, n n n n n JQ J iJ _  jJ _ kJ _ J  J J  n (2.23) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) 1 2 3, 0 2, 1 1, 2 5, 0 n n n n n jQ  j ij _  jj _ kj _ j  j  j  n (2.24) dir. Burada J_n(3) üçüncü mertebeden Jacobsthal sayısı ve j_n(3) üçüncü mertebeden Jacobsthal-Lucas sayısıdır. Daha sonra bu sayılar ve kuaterniyonları arasındaki ilişkiler verilmiştir.

(Cerda-Morales, 2017) Bu makalede Q_{v n}_, genelleştirilmiş Tribonacci kuaterniyon aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:

, 1 2 3 , 0 , 1 , 2 , 0

v n n n n n

(19)

Burada V _n n. genelleştirilmiş Tribonacci sayısı, a b c , , ve i j k ortonormal , , bazlardır. Bu kuaterniyondan yararlanarak

, , 1 , 2 , 3, 3

v n v n v n v n

Q rQ  sQ  tQ  n (2.26)

dizisi elde edilmiştir. Daha sonra bu kuaterniyonun Binet benzeri formülü, üreteç fonksiyonu ve bazı özellikleri verilmiştir.

(Taşçı, 2018) Bu makalede Padovan, Pell- Padovan kuaterniyonları tanımlanmıştır. Ayrıca bu kuaterniyonların Binet benzeri formülleri, üreteç fonksiyonları ve bazı toplamsal özellikleri verilmiştir.

(Akkus ve Kızılaslan, 2018) Tribonacci ve Tribonacci Lucas kuaterniyonların bazı temel özelliklerini vererek onlar için yeni eşitlikler elde etmişlerdir.

(Kızılateş ve ark., 2019) Yazarlar bu makalede





0

n n

BCV _ Bicomplex genelleştirilmiş kuaterniyonları aşağıdaki şekilde tanımlamıştır. V _n n. genelleştirilmiş Tribonacci sayısı olmak üzere

1 2 3

n n n n n

BCV V iV _  jV _ ijV _ (2.27) dir. , ,r s t  ve , , ,a b c  olmak üzere

2 1 1, 1 n n n n BCV _ rBCV _ sBCV tBCV _ n (2.28) ve 2 2 1, 1, i   j   ij ji (2.29) dir. Daha sonra bu kuaterniyonların Binet formülünü, üreteç fonksiyonu ve toplam formüllerini vermişlerdir. Ayrıca kuaterniyonlarla ilgili özel matrisin determinantını hesaplamışlardır.

(20)

3. TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölüm beş alt başlık halinde toplanmaktadır. Birinci alt başlıkta Padovan, Perrin, Van Der Laan sayı dizilerinin tanımları ve bilinen özellikleri verilecektir. İkinci alt başlıkta genelleştirilmiş Tribonacci sayı dizisinin tanımı ve Binet benzeri formülü verilecektir. Üçüncü alt başlıkta kuaterniyonların tanımları ve kuaterniyonlar arasındaki bağıntılar verilecektir. Dördüncü alt başlıkta Padovan, Perrin ve Van Der Laan kuaterniyonların tanımları ve bazı özellikleri verilecektir. Beşinci alt başlıkta genelleştirilmiş Tribonacci kuaterniyonun tanımı ve özellikleri hakkında bilgi verilecektir.

3.1. Padovan, Perrin ve Van Der Laan Sayı Dizileri

Tanım 3.1.1.   için n P Padovan sayı dizisi _n

2 3, 2

n n n

P  P_  P_ n (3.1) rekürans bağıntısı ve P₀1, P₁1, P₂  başlangıç şartlarıyla tanımlıdır. 1

n

  için Q Perrin sayı dizisi _n

2 3, 2

n n n

Q Q _ Q _ n (3.2) rekürans bağıntısı ve Q₀3, Q₁0, Q₂ 2 başlangıç şartlarıyla tanımlıdır.

n

  için R_n Van der Laan sayı dizisi

2 3, 2

n n n

R R  R n (3.3)

rekürans bağıntısı ve R₀ 0, R₁1, R₂0 başlangıç şartlarıyla tanımlıdır. (Shannon ve ark., 2006).

Bazı Padovan, Perrin ve Van Der Laan sayı dizileri tablodaki gibidir.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … n P 1 1 1 2 2 3 4 5 7 … n Q 3 0 2 3 2 5 5 7 10 … n R 0 1 0 1 1 1 2 2 3 … Tablo 3.1.

(21)

n

P Padovan, Q Perrin ve _n R Van der Laan sayı dizilerinin üreteç _n fonksiyonları i) 1 ₂ ₃ 1 (1 ) ( ) , 1 ( ) n n n y P x y y y       



ii) 2 1 1 2 3 1 (3 ) ( ) , 1 ( ) n n n y Q x y y y        



iii) 1 ₂ ₃ 1 1 ( ) 1 ( ) n n n R x y y y      



olarak verilmiştir (Shannon ve ark., 2006).

n

P Padovan, Q Perrin ve _n R Van Der Laan sayı dizilerinin Binet formülleri _n aşağıda sırasıyla verilmiştir:

4 4 4 3 1 2 1 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2 , ( )( ) ( )( ) ( )( ) n n n n r r r P r r r r r r r r r r r r r r r          (3.4) 1 2 3 , n n n n Q r r r (3.5) 1 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2 1 1 1 . ( )( ) ( )( ) ( )( ) n n n n R r r r r r r r r r r r r r r r          (3.6) Burada 3 3 1 1 23 1 23 , 2 108 2 108 r     (3.7) 3 3 3 3 2 1 1 23 1 23 3 1 23 1 23 , 2 2 108 2 108 2 2 108 2 108 i r                          (3.8) 3 3 3 3 3 1 1 23 1 23 3 1 23 1 23 2 2 108 2 108 2 2 108 2 108 i r                          (3.9) olup Padovan, Perrin ve Van Der Laan sayı dizilerinin rekürans bağıntılarının karakteristik denklemi olan x3   denkleminin kökleridir. Bu denklemde x 1 0

1 2 3 0, r  r  r  1. .2 3 1, r r r  (3.10) 1. 2 1. 3 2. 3 1 r r r r r r   dir (Anonymous, 2012).

2



3





2 3



iv) ₃ ₃ ₂ 0 , n i n i P P _  



(24)

3.2. Genelleştirilmiş Tribonacci Sayı Dizileri

Tanım 3.2.1. V_n genelleştirilmiş Tribonacci dizisi

1 2 3, 0 , 1 , 2

n n n n

V rV _ sV _ tV _ V a V b V  (3.23) c şeklinde tanımlıdır. Burada , ,a b c tam sayı ve r s t, , reel sayılardır (Cerda-Morales, 2017).

Genelleştirilmiş bazı Tribonacci sayıları 0 1 2 3 4 3 5 4 3 , , , , , , V a V b V c V rc sb ta V rV sc tb V rV sV tc             (3.24) dir.

Genelleştirilmiş Tribonacci dizisinin rekürans bağıntısına ait karakteristik denklemi x3rx2   olup, denklemin kökleri sx t 0 w w₁, ₂,w olmak üzere ₃

1 1 3 ₃ 3 ₃ 1 1( , , ) , 3 27 6 2 27 6 2 r r rs t r rs t w w r s t                (3.25)

1 3 ,



1 2



1 2 A c w w b w w a B  c w w b w w a C  c w w b w w a dir (Cerda-Morales, 2017).

 

Vn n genelleştirilmiş Tribonacci dizisi olmak üzere r s t, , değerleri ve , ,a b c

başlangıç şartlarına göre aşağıdaki şekilde literatürdeki sayı dizileri elde edilir.

i) r  s t 1 ve a0,b  alınırsa genelleştirilmiş Tribonacci dizisi c 1

 

T_n Tribonacci dizisine indirgenir,

ii) r  s t 1 ve a3,b1,c alınırsa genelleştirilmiş Tribonacci dizisi 3

viii) r s 1,t ve 2 a2,b1,c için genelleştirilmiş Tribonacci dizisi 5

 

j_n(3) üçüncü mertebeden Jacobsthal-Lucas dizisine indirgenir, (Shannon ve Horadam, 1972; Yalavigi, 1972; Pethe, 1988; Feinberg, 1963).

3.3. Kuaterniyonlar

William Rowen Hamilton (1805-1865) kuaterniyonları tanımlayarak iki vektörün çarpımları ve bölümlerinin mümkün olduğunu göstermiştir. Böylece üç boyutlu uzayda hareketlerin tetkikini kolaylaştırmıştır.

p kuaterniyonu bir hiper- komplex sayı ve q q q q₀, ₁, ₂, ₃ reel sayıları olmak üzere,

0 1 2 3 ( , ,0 1 2, 3)

p q iq  jq kq  q q q q (3.29) dir. Burada. , ,i j k ‘lar R3 ’de ortonormal bazlardır. Ayrıca

p p p S V    (3.30) yazılabilir. Burada V_p 

’ye vektörel kısım, Sp ‘ye da skaler kısım denir. q0, q1, q2 ve 3

q ; p kuaterniyonun bileşenleri denir. m ekseni üç boyutu döndürme eksenidir. Bazı



2,1,1,1



(27)

Şekil-1 (Baek ve ark., 2017)

Reel kuaterniyonlar cümlesi K ile gösterilsin. Bir reel kuaterniyonun dört biriminin özellikleri incelendiğinde K cümlesinin özel hali olan, reel sayılar cümlesi,

komplex sayılar cümlesi ve üç boyutlu vektörler cümlesi elde edilebilir. Kuaterniyonlarda toplama işlemi:

:  K K  K ₁ ₂ 1 2 1 2 1 2 (p p, ) p p S_p _p Vp p        işlemi 1 2 1 2 p p p p S _ S S ve Vp1 p2 Vp1 Vp2      

olarak tanımlanır. Burada

1, 2

p p

S S  ve  işlemi deki toplama işlemidir;

1, 2

p p

V V

 

de bir reel vektör olup  işlemi reel vektör uzayındaki Abel grubu (vektörlerde toplama) işleminin aynısıdır. O halde ( , )K  ikilisi bir Abel grubudur. Buradaki etkisiz eleman sıfır kuaterniyonu (0,0,0,0) sıralı dörtlüsüdür.

Bir kuaterniyonu skaler ile çarpımı:

: K  K

( , ) p  p S_p Vp



(28)

şeklinde tanımlanır.

i) 



p₁ p₂





,

iv) 1 p p

dir. O halde



K , , , , ,  



sistemi bir reel vektör uzayıdır. Kuaterniyonların çarpımı:

:

 K K  K

1 2 1 2

(p p, )  p p

işlemi aşağıdaki şekilde tanımlanır:

2 2 2 1, , , i j k ijk ij k ji jk i kj ki j ik               (3.31)

dir. Buna göre



 





 





 



1 2 0 1 2 3 4 5 6 7 0 4 1 5 2 6 3 7 0 5 1 4 2 7 3 6 0 6 2 4 3 5 1 7 0 7 4 3 1 6 2 5 p p q iq jq kq q iq jq kq q q q q q q q q q q q q q q q q i q q q q q q q q j q q q q q q q q k                          (3.32)

dir. Böylece kuaterniyon çarpımı şu özelliklere sahiptir: i) İki kuaterniyon çarpımı bir kuaterniyondur,

ii) Kuaterniyon çarpımı birleşimlidir, iii) Kuaterniyon çarpımı dağılımlıdır.

Fakat kuaterniyon çarpımı değişimli değildir.

p kuaterniyonun eşleniği p ile gösterilirse ve p S_p Vp



  dir. Buna göre i)



p p₁ ₂



 p p₂ ₁, ii)

 

p p₁ ₂  p p₂ ₁.

p kuaterniyonun normu

( )

p N p  p p (3.33) şeklinde tanımlanır. Eğer kuaterniyonun normu 1 ’e eşitse birim kuaterniyon denir.

1,

p  p  p pN2( ) 1p  (3.34) dir. Kuaterniyonlar aşağıdaki bağıntıları sağlarlar.

(29)

i) p pp1N2( )p p1 p, ii) 1 ₂ ₂. ( ) p p p N p _p  _ _

Ayrıca kuaterniyonlar dönme, öteleme, kayma ve vida hareketleri gibi uygulamalarda kullanılmaktadır. (Hamilton, 1866; Horadam, 1963; Hacısalihoğlu, 1983; Sangwine ve ark., 2011; Baek ve ark., 2017).

3.4. Padovan, Perrin ve Van Der Laan Kuaterniyonlar

Tanım 3.4.1.  n için P Padovan kuaterniyon, _n

1 2 3, 0;

n PniPn  jPn kPn n

P (3.35) eşitliği P n n. Padovan sayısı olmak üzere P0 1, P11, P2 1, P3 başlangıç 2

şartlarıyla tanımlıdır. , ,i j k ’ lar (3.31) de gösterilen çarpım kurallarını sağlayan ortonormal bazlardır (Taşçı, 2018).

Bazı Padovan kuaterniyonlar,

















0 1 2 3 1 1 1 2 1,1,1, 2 , 1 1 2 2 1,1, 2, 2 , 1 2 2 3 1, 2, 2, 3 , 2 2 3 4 2, 2, 3, 4 , i j k i j k i j k i j k                     P P P P (3.36) dır. Padovan kuaterniyonlar 3 1 n  n n P P P (3.37) rekürans bağıntısını sağlarlar. Rekürans bağıntısının denklemi 3

1 0

x   x dir. Bu denklemin kökleri r₁, r ve r₂ ₃ dür.

n

P Padovan kuaterniyon dizisi için Binet benzeri formülü,

1 1 2 2 3 3 n n n n ar a r a r P (3.38) dir. Burada 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 1 3 2 3 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) , , , ( )( ) ( )( ) ( )( ) r r r r r r a a a r r r r r r r r r r r r                (3.39)



2 3





2 3





2 3



1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 ir jr kr , 1 ir jr kr , 1 ir jr kr                (3.40) (Taşçı, 2018).

(30)

n

P Padovan kuaterniyon dizisi için üreteç fonksiyonu

2 2 3 (1 2 ) (1 2 2 ) ( ) ( ) 1 i j k i j k x i j k x g x x x              (3.41) dir (Taşçı, 2018).

Tanım 3.4.2.  n için Q Perrin kuaterniyon, _n

1 2 3; 0 3, 1 0, 2 2 n QniQn  jQn kQn Q  Q  Q  Q (3.42) olup 3 1 n  n  n Q Q Q (3.43) rekürans bağıntısıyla tanımlıdır. Burada Q _n n. Perrin sayısı ve , ,i j k ’lar (3.31) de

gösterilen çarpım kurallarını sağlayan ortonormal bazlardır (Cerda-Morales, 2017). Bazı Perrin kuaterniyonlar,

















0 1 2 3 3 0 2 3 3, 0, 2, 3 , 0 2 3 2 0, 2, 3, 2 , 2 3 2 5 2, 3, 2, 5 , 3 2 5 5 3, 2, 5, 5 , i j k i j k i j k i j k                     Q Q Q Q (3.44)

dır. Q Perrin kuaterniyonu üçüncü mertebeden rekürans bağıntısına sahip olup n 3

1 0

x   x dir. Bu denklemin kökleri r1, r ve 2 r dür. 3

Tanım 3.4.3. n için R Van Der Laan kuaterniyon _n

1 2 3; 0 0, 1 1, 2 0

n Rn iRn  jRn kRn R  R  R 

R (3.45)

olarak tanımlıdır. Bu kuaterniyonun rekürans bağıntısı

3 1

n  n n

R R R (3.46) dır. Burada R_n .n Van Der Laan sayısı ve , ,i j k ’lar (3.31) de gösterilen çarpım kurallarını sağlayan ortonormal bazlardır. Bazı Van der Laan kuaterniyonlar

















0 1 2 3 0 1 0 1 0,1, 0,1 , 1 0 1 1 1, 0,1,1 , 0 1 1 1 0,1,1,1 , 1 1 1 2 1,1,1, 2 , i j k i j k i j k i j k                     R R R R (3.47)

dır. R Van Der Laan kuaterniyonu _n

1; 1 1 2 3

n Rn u u iRn  jRn  kRn

(31)

yazılabilir. Burada R_n skaler kısım, u₁ vektörel kısımdır.R Van Der Laan _n kuaterniyonun üçüncü mertebeden rekürans bağıntısını denklemi 3

1 0

x   x dır. Bu denklemin kökleri r1, r2ve r3 dür.

3.5. Genelleştirilmiş Tribonacci Kuaterniyonlar

Tanım 3.5.1. Qv n, genelleştirilmiş Tribonacci kuaterniyon

, 1 2 3 , 0 , 1 , 2 , 0

v n n n n n

Q V V i V_  _ j V _ k V a V b V c n (3.49) dir. V_n, .n genelleştirilmiş Tribonacci sayısı, , ,a b c  ve i j k ortonormal bazlardır. , , Bu kuaterniyonun rekürans bağıntısı

, , 1 , 2 , 3, 3

v n v n v n v n

Q rQ _ sQ _ tQ _ n (3.50) dir (Cerda-Morales, 2017). Bazı genelleştirilmiş Tribonacci kuaterniyonlar aşağıdaki şekildedir. ,0 ( ) , v Q    a bi cj rcsb ta k 2 ,1 ( ) ( ) ( ) ) , v Q   b ci rcsb ta j _ r s c t rs brta _k (3.51) 2 ,2 ( ) ( ) ( ) ) 5 , v Q  c rcsb ta i _ r s c t rs brta _ j V k Burada V5 (r32rst c) (r s2 s2rt b) (r t2 st a) dir.







Qv n, Qv n, r s t V, , ; 0 ,V1 ,V2



_n_₀ genelleştirilmiş Tribonacci kuaterniyon

, ,

r s t parametreleri ve V ’nin başlangıç değerlerine göre aşağıdaki şekilde n

(32)





(3.53) dir (Cerda-Morales, 2017). , v n

Q genelleştirilmiş Tribonacci kuaterniyon için üreteç fonksiyonu



 



2 ,0 ,1 ,0 ,2 ,1 ,0 2 3 ( ) 1 v v v v v v Q Q rQ x Q rQ sQ x g x rx sx tx          (3.54) dir (Cerda-Morales, 2017).

Ardışık genelleştirilmiş Tribonacci kuaterniyonların toplamsal formülü

, , 2 , 1 , 0 1 (1 ) ( , , ) ( , , ) b v l v n v n v n l Q Q r Q tQ w r s t r s t        _     _



(3.55) dir. Burada w r s t( , , )



i(  a) j



  (a b )

 

k   (a b c  ) ,









( , , )r s t (r s 1)a (r 1)b c         ve   ( , , )r s t    



r s t 1



dir (Cerda-Morales, 2017).

(33)

4. GENELLEŞTİRİLMİŞ SAYI DİZİLERİNİN VE KUATERNİYONLARININ ÖZELLİKLERİ

Bu bölümde literatürde bilinen ve üçüncü mertebeden fark denklemine sahip genelleştirilmiş Tribonacci dizisinden elde edilen ve Padovan, Perrin, Van Der Laan sayıların bir genellemesi olan sayı dizisinin temel özellikleri verilip, bu diziden yararlanarak elde edilen kuaterniyonun toplamsal, binomiyel özellikleri araştırılacak ve aralarındaki ilişkiler incelenecektir.

4.1. Üçüncü Mertebeden Genelleştirilmiş Sayı Dizisi

Bu alt bölümde (3.23) denklemiyle verilen V_n genelleştirilmiş Tribonacci dizisinin özel bir hali olan M_n genelleştirilmiş sayı dizisi , ,a b c  olmak üzere

3 1, 0 , 1 , 2 , 0

n n n

M _ M M _ M a M b M c n (4.1) rekürans bağıntısıyla verilerek bu dizinin bazı özellikleri incelenecektir.

n

M genelleştirilmiş sayı dizisinin bazı elemanları aşağıdaki tabloda verilmiştir.

0

M M₁ M₂ M₃ M₄ M₅ M₆ M₇ . . .

a b c a b b c a b c  a2b c a2b2c . . .

Tablo 4.1.

Bu dizinin karakteristik denklemi x3   olup kökleri x 1 0 r1, r ve r2 3 dür.

Genelleştirilmiş Tribonacci dizisi Binet formülü (3.28) de r0,s  t 1 değerleri yazılırsa M genelleştirilmiş sayı dizisinin Binet benzeri fomülü _n

1 1 2 2 3 3

n n n

n

1 2 1 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2 , , ( )( ) ( )( ) ( )( ) c r r b r r a c r r b r r a c r r b r r a C C C r r r r r r r r r r r r                   (4.3) dır.

(34)

Sonuç 4.1.1. (4.2) formülünde ,a b ve c ’ye özel değerler verilerek literatürdeki bazı sayı dizilerinin Binet benzeri formülleri elde edilir (Anonymous, 2012):

i) a1, b1, c için 1 P_n Padovan dizisi Binet benzeri formülü



















4 4 4 3 1 2 1 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2 n n n n r r r P r r r r r r r r r r r r r r r          elde edilir,

ii) a3, b0, c için 2 Q_n Perrin dizisi Binet benzeri formülü

1 2 3

n n n

n



3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2 1 n 1 n 1 n n R r r r r r r r r r r r r r r r          elde edilir.

Teorem 4.1.1. M genelleştirilmiş sayı dizisinin üreteç fonksiyonu _n

2 2 3 ( ) ( ) 1 a bt c a t M t t t       (4.4) dür.

İspat. M genelleştirilmiş sayı dizisinin üreteç fonksiyonu _n





dizisinin üreteç fonksiyonu elde edilir (Shannon ve ark., 2006): i) a1, b1, c için 1 Pn Padovan dizisinin üreteç fonksiyonu

2 3 1 ( ) 1 t P t t t     elde edilir,

ii) a3, b0, c için 2 Q_n Perrin dizisinin üreteç fonksiyonu 2 2 3 3 ( ) 1 t Q t t t     elde edilir,

iii) a0,b1,c için 0 R_n Van Der Laan dizisinin üreteç fonksiyonu 2 3 ( ) 1 t R t t t   

(36)

elde edilir.

4.2. Üçüncü Mertebeden Genelleştirilmiş Kuaterniyonlar

, v n

Q genelleştirilmiş Tribonacci kuaterniyonu (3.50) de r0,s  alınırsa t 1

n

M genelleştirilmiş sayı dizisi için W genelleştirilmiş kuaterniyonu aşağıdaki şekilde n

verilebilir.

n

W üçüncü mertebeden genelleştirilmiş kuaterniyon

1 2 3; 0 , 1 , 2 , 3 , 0

n n n n n

W M iM _  jM _ kM _ M a M b M c M  a b n (4.11) dir. Bu kuaterniyon aşağıdaki rekürans bağıntısını sağlar.

3 1.

n n n

W_ W W_ (4.12) Burada M _n n. genelleştirilmiş sayı dizisi ve , ,i j k ’larR3 ’de (3.31) gösterilen çarpım

kurallarını sağlayan ortonormal bazlardır. Bazı Wn genelleştirilmiş kuaterniyon sayıları

0 ( ) ( , , , ), W   a ib jck a b  a b c a b 1 ( ) ( ) ( , , , ), W   b ic j a b k b c  b c a b b c  (4.13) 2 ( ) ( ) ( ) ( , , , ), W  c i a b  j b c k a b c   c a b b c a b c    3 ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( , , , 2 ), W  a b i b c  j a b c  k a b c  a b b c a b c a     b c dır. n W genelleştirilmiş kuaterniyonunu 2; 2 1 2 3 n n n n n W M u u iM _  jM _ kM _ (4.14) şeklinde de yazabiliriz.M skaler kısım, n u vektörel kısımdır. 2

n

W genelleştirilmiş kuaterniyonunun karakteristik denklemi 3

1 0

x   x olup kökleri benzer şekilde r₁, r ve r dür. ₂ ₃

Teorem 4.2.1. W genelleştirilmiş kuaterniyonun eşleniği _n W olmak üzere _n

i) W_nW_n 2M_n, (4.15) ii) W_nW_n M_n2M_n2₁M_n2₂M_n2₃, (4.16) iii) W_niW_n_₁ jW_n_₂kW_n_₃ M_n_₅M_n_₇. (4.17)