İkinci basamaktan lineer olmayan diferensiyel denklemlerin çözümlerinin salınımlılığı

T.C.

GAZOSMANPA“A ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ

KNC BASAMAKTAN LNEER OLMAYAN DFERENSYEL DENKLEMLERN ÇÖZÜMLERNN SALINIMLILI‡I

Orhan ÖZDEMR Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dal

Doç. Dr. Ercan TUNÇ 2013

T.C.

GAZOSMANPA“A ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ MATEMATK ANABLM DALI

YÜKSEK LSANS TEZ

KNC BASAMAKTAN LNEER OLMAYAN

DFERENSYEL DENKLEMLERN

ÇÖZÜMLERNN SALINIMLILI‡I

Orhan ÖZDEMR

TOKAT 2013

TEZ BEYANI

Tez yazm kurallarna uygun olarak hazrlanan bu tezin yazlmasnda bilimsel ahlâk kurallarna uyuldu§unu, ba³kalarnn eserlerinden yararlanlmas durumunda bilimsel normlara uygun olarak atfta bulunuldu§unu, tezin içerdi§i yenilik ve sonuçlarn ba³ka bir yerden alnmad§n, kullanlan verilerde herhangi bir tahrifat yaplmad§n, tezin herhangi bir ksmnn bu üniversite veya ba³ka bir üniversitedeki ba³ka bir tez çal³mas olarak sunulmad§n beyan ederim.

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

KNC BASAMAKTAN LNEER OLMAYAN DFERENSYEL DENKLEMLERN ÇÖZÜMLERNN SALINIMLILI‡I

Orhan ÖZDEMR Gaziosmanpa³a Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal

Dan³man : Doç. Dr. Ercan TUNÇ

Bu tez çal³masnda, ilk olarak ikinci basamaktan çe³itli yapdaki lineer ve lineer olmayan diferensiyel denklemlerin salnmllk kriterleriyle ilgili temel tanm ve literatürde elde edilen baz sonuçlar üzerinde duruldu. Daha sonra, oldukça genel ikinci basamaktan lineer olmayan bir diferensiyel denklem snf göz önüne alnarak bu denklemin salnmll§ için yeni sonuçlar verildi. Son olarak forced diferensiyel denklemin çözümlerinin asimptotik davran³ incelendi ve elde edilen sonuçlar örneklerle açklamak için baz uygulamalar yapld.

2013, 59 sayfa

Anahtar Kelimeler: Salnmllk, kinci mertebeden, Lineer olmayan diferensiyel denklemler, Genelle³tirilmi³ Riccati-tipi dönü³üm, ntegral ortalama metodu, Asimptotik davran³.

ABSTRACT

M. Sc. Thesis

OSCILLATON OF THE SOLUTIONS OF SECOND ORDER NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS

Orhan ÖZDEMR Gaziosmanpasa University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor : Assoc. Prof. Dr. Ercan TUNÇ

In this thesis, rstly the basic denitions of linear and nonlinear second order differential equations of various structures and some oscillation results in literature are emphasized. Then, a class of more general type second order differential equations has considered and new results for oscillation of this equation are established. Finally, asymptotic behavior of forced equation is discussed and some applications are given to illustrate the results.

2013, 59 pages

Keywords: Oscillation, Second order, Nonlinear differential equations, Generalized Riccati-type transformation, Integral averaging method, Asymptotic behavior.

ÇNDEKLER

ÖZET . . . i

ABSTRACT . . . ii

TE“EKKÜR . . . iv

1. GR“ . . . 1

2. TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR . . . 2

2.1. Temel Tanmlar . . . 2 2.2. x00_{(t) + q (t) x (t) = 0Denkleminin Salnmll§ . . . . 3} 2.3. [r(t)x0_(t)]0_{+ p(t)x}0_{(t) + q(t)x(t) = 0Denkleminin Salnmll§ . . . . 9} 2.4. [r(t)x0_(t)]0_{+ p(t)x}0_{(t) + q(t)f (x(t)) = 0Denkleminin Salnmll§ . . 11} 2.5. [a(t)ψ(x(t))k(x0_(t))]0_{+ p(t)k(x}0_{(t)) + q(t)f (x(t)) = 0Denkleminin} Salnmll§ . . . 13

3. KNC BASAMAKTAN BELRL TÜRDEN LNEER OLMAYAN BR DFERENSYEL DENKLEM SINIFININ ÇÖZÜMLERNN SALINIMLILI‡I . . . 18

3.1. Temel Sonuçlar . . . 18

3.2. Uygulamalar . . . 34

4. FORCED DFERENSYEL DENKLEMN ÇÖZÜMLERNN ASMPTOTK DAVRANI“I . . . 37

5. SONUÇ VE TARTI“MA . . . 46

KAYNAKLAR . . . 47

TE“EKKÜR

Bu çal³may yapmamda bana destek olan, bilgisini ve tecrübesini esirgemeyen tez dan³manm, kymetli hocam Doç. Dr. Ercan TUNÇ'a, yüksek lisans e§itimim boyunca eme§i geçen tüm bölüm hocalarma ve bu süreçte desteklerini esirgemeyip yanmda olan herkese sonsuz te³ekkür ederim.

Bu tez çal³mas kinci Basamaktan Lineer Olmayan Diferensiyel Denklemlerin Çözümlerinin Salnmll§ ba³lkl 2011/110 nolu Bilimsel Ara³trma Projesi olarak Gaziosmanpa³a Üniversitesi tarafndan nansal olarak desteklenmi³tir. Gaziosmanpa³a Üniversitesi'ne verdi§i nansal destekten dolay ayrca te³ekkür ederim.

Orhan ÖZDEMR Aralk 2013

1. GR“

Diferensiyel denklemler zik, biyoloji, mühendislik, ekonomi ve sosyal bilimler gibi birçok alanda uygulama alanna sahiptir. Bu nedenle diferensiyel denklemlerin çözümlerinin bilinmesi önemlidir. Ancak belli formdaki denklemler hariç, genelde diferensiyel denklemlerin açk çözümleri elde edilememektedir. Çözümler için analitik ifade bulunamamas durumu, ara³trmaclar çözümleri elde etmeden çözümlerin davra-n³n ara³trmaya yöneltmi³tir. Bu yakla³m diferensiyel denklemlerde nitel (kalitatif) teori olarak bilinmektedir. Kalitatif teorinin önemli bir konusu da salnm teorisidir. Salnm teorisinin temeli 1836'da Sturm tarafndan yaynlanan, kendine e³lenik ikinci mertebeden diferensiyel denklemlerin çözümlerinin sfrlaryla ilgili iyi bilinen sonuçlara dayanmaktadr. O zamandan beri farkl snftaki lineer ve lineer olmayan diferensiyel denklemlerin çözümlerinin salnm davran³ farkl yöntemlerle ara³trlm³ ve ara³trl-maya devam edilmektedir.

kinci mertebeden diferensiyel denklemlerin salnmllk davran³n incelemede önemli bir yöntem integral ortalama tekni§idir. Bu teknik, verilen diferensiyel denklemin katsaylarnn integrallerini veya a§rlkl integrallerini içerir ve Wintner'in klasik integral ortalama metoduna dayanmaktadr. Bu tez çal³masnda integral ortalama tekni§i kullan-larak ikinci mertebeden lineer olmayan

(r (t) Ψ (x (t)) k (x0_(t)))0_{+ p (t) k (x}0_{(t)) + q (t) f (x (t)) g (x}0_{(t)) = 0 (1.1)}

2. TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR

Bu bölümde çe³itli yapdaki ikinci mertebeden diferensiyel denklemlere ili³kin yeri geldi§ince kullanlacak baz temel tanm, teorem ve sonuçlar üzerinde durulacaktr.

2.1. Temel Tanmlar

F ∈ C([t0, +∞) × R3, R)olmak üzere

F (t, x (t) , x0(t) , x00(t)) = 0, t ≥ t0 ≥ 0 (2.1)

diferensiyel denklemini göz önüne alalm.

Tanm 2.1.1. t ∈ [tx, ∞) ⊂ [t0, ∞)olmak üzere [tx, ∞)aral§ üzerinde iki kez

diferensi-yellenebilir ve (2.1) denklemini sa§layan bir x(t) fonksiyonuna (2.1) denkleminin çözümü denir. Burada tx ≥ t0 ≥ 0says x(t) özel çözümüne ba§l bir de§erdir [2, 3].

Tanm 2.1.2. x (t), (2.1) denkleminin bir çözümü olsun. E§er, en az bir t ∈ [t0, ∞)için

x (t) 6= 0oluyorsa bu çözüme a³ikar olmayan (sfr olmayan) çözüm denir.

Tanm 2.1.3. x(t), a³ikar olmayan (sfr olmayan) bir çözüm olsun. E§er t ≥ t0için x(t)

çözümü key sayda yeterince büyük sfrlara sahipse bu x(t) çözümüne salnmldr denir. Yani lim_n→∞tn = +∞ ve x (tn) = 0 olacak ³ekilde bir (tn) dizisi varsa bu x(t) çözümüne

salnmldr denir [2, 3].

Tanm 2.1.4. x(t) a³ikar olmayan çözümü [t0, ∞)aral§nda salnml de§ilse, yani her

t ≥ t1 için x (t) 6= 0 olacak ³ekilde bir t1 ∈ [t0, ∞)says mevcutsa o halde bu çözüme

salnmszdr denir [2, 3].

Tanm 2.1.5. (2.1) denkleminin bütün çözümleri salnml ise bu denkleme salnmldr denir.

Örnek 2.1.6.

x00(t) + 4x(t) = 0

Örnek 2.1.7.

x00_{(t) − 4x(t) = 0}

diferensiyel denklemi verilsin. Verilen denklemin lineer ba§msz çözümleri x1 = e2t

ve x2 = e−2t ve bu çözümlerin her ikisi de salnmsz oldu§undan verilen denklem

salnmszdr.

Bu tez çal³masnda ikinci basamaktan lineer olmayan

(r (t) Ψ (x (t)) k (x0_(t)))0_{+ p (t) k (x}0_{(t)) + q (t) f (x (t)) g (x}0_{(t)) = 0 (2.2)}

diferensiyel denklem snf için salnmllk kriterleri verilecektir. (2.2) diferensiyel denk-leminin özel durumlar birçok ara³trmac tarafndan ara³trlm³ ve ara³trlmaya devam edilmektedir. Bu özel durumlardan ikinci mertebeden

x00_{(t) + q (t) x (t) = 0 (2.3)}

diferensiyel denkleminin salnmllk davran³ q (t) ∈ C ([t0, ∞) , R) ve t0 ≥ 0 olmak

üzere ilk defa Sturm (1836) tarafndan incelenmi³, daha sonra bir çok ki³i tarafndan de§i³ik yöntemlerle ara³trlm³tr. Burada çok sayda ara³trma arasndan kendi ara³tr-mamza ve di§er ara³trmalara ³k tutan önemli sonuçlar üzerinde durulacaktr.

2.2. x00_{(t) + q (t) x (t) = 0Denkleminin Salnmll§}

Teorem 2.2.8. q (t) ≥ 0 ve q (t) ∈ C ([t0, ∞) , R)olmak üzere

∞

Z

t0

q (s) ds = ∞

ise (2.3) denklemi salnmldr [6].

Teorem 2.2.9. q (t) ∈ C ([t0, ∞) , R)olmak üzere

lim t→∞ 1 t t Z _Zs q (u) duds = ∞

ise (2.3) denklemi salnmldr [36]. Örnek 2.2.10. t ≥ 0 olmak üzere

x00(t) + (1 + 2sint)x(t) = 0

diferensiyel denklemi Teorem 2.2.9'a göre salnmldr ancak Teorem 2.2.8 bu örne§e uygulanamaz.

Daha sonra Kamenev [13], n > 1 bir tamsay olmak üzere (t−s)n_{³eklindeki a§rlk}

fonksiyonu yardmyla Wintner'in sonucunu iyile³tirdi ve (2.3) denklemi için a³a§daki salnm sonucunu verdi.

Teorem 2.2.11. q (t) ∈ C ([t0, ∞) , R)ve n > 1 bir tamsay olmak üzere

lim sup t→∞ 1 tn t Z t0 (t − s)nq (s) ds = ∞

ise (2.3) denkleminin bütün çözümleri salnmldr [13]. Teorem 2.2.12. n > 1 bir tamsay olmak üzere

lim sup t→∞ 1 tn t Z t0 (t − s)nq (s) ds < ∞

olsun. E§er, her T ≥ t0için

lim inf t→∞ 1 tn t Z T (t − s)nq (s) ds ≥ Ω (t)

olacak ³ekilde [t0, ∞)aral§nda sürekli bir Ω (t) fonksiyonu var ve t ≥ t0 için Ω+(t) =

max {Ω (t) , 0}_{olmak üzere}

∞

Z

t0

Ω2

1989'da Philos, Kamenev'in a§rlk fonksiyonu yerine a§rlk fonksiyonu olarak daha genel bir fonksiyonlar ailesini kullanarak Kamenev'in sonuçlarn geni³letti ve a³a§daki salnm sonuçlarn elde etti.

Teorem 2.2.13. H : D = {(t, s) : t ≥ s ≥ t0} → R sürekli, t ≥ t0 için H (t, t) = 0,

t > s ≥ t0 için H (t, s) > 0 ve H (t, s)'nin D 'de ikinci de§i³kene göre sürekli ve pozitif

olmayan ksmi türevleri var olan bir fonksiyon olsun. Ayrca, h : D → R sürekli bir fonksiyon olmak üzere, her (t, s) ∈ D için

−∂H (t, s)

∂s = h (t, s)

p

H (t, s)

ko³ulu sa§lansn. Bu takdirde, e§er

lim sup t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 ½ H (t, s) q (s) − 1 4h 2_{(t, s)} ¾ ds = ∞

ise (2.3) denkleminin bütün çözümleri salnmldr [21].

Teorem 2.2.14. H ve h fonksiyonlar Teorem 2.2.13'teki ³artlar sa§lasn. Ayrca

0 < inf s≥t0 · lim inf t→∞ H (t, s) H (t, t0) ¸ ≤ ∞ ve lim sup t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 h2_{(t, s) ds < ∞}

olsun. Ω+(T ) = max {Ω (T ) , 0}olmak üzere, e§er

∞

Z

t0

Ω2

+(T ) dT = ∞

olacak ³ekilde [t0, ∞)üzerinde sürekli bir Ω (T ) fonksiyonu var ve her T ≥ t0için

lim sup t→∞ 1 H (t, T ) t Z T · H (t, s) q (s) − 1 4h 2_{(t, s)} ¸ ds ≥ Ω (T )

ise o halde (2.3) denklemi salnmldr [21].

Teorem 2.2.15. H ve h fonksiyonlar Teorem 2.2.13'teki gibi olsun. Ayrca

0 < inf s≥t0 · lim inf t→∞ H (t, s) H (t, t0) ¸ ≤ ∞ ve lim inf t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 H (t, s) q (s) ds < ∞

³artlar sa§lansn. Bu takdirde Ω+(T ) = max {Ω (T ) , 0}olmak üzere,

∞

Z

t0

Ω2

+(T ) dT = ∞

olacak ³ekilde [t0, ∞)üzerinde sürekli bir Ω (T ) fonksiyonu var ve her T ≥ t0için

lim inf t→∞ 1 H (t, T ) t Z T · H (t, s) q (s) − 1 4h 2_{(t, s)} ¸ ds ≥ Ω (T )

ise o halde (2.3) denklemi salnmldr [21].

Ancak Li [16], (2.3) denkleminde γ > 0 bir sabit olmak üzere q (t) = γ

t2 alnmas

durumunda yukarda söz edilen salnmllk kriterlerinin hiçbirinin sa§lanmad§n a³a§daki örnekte göstermi³tir. Örnek 2.2.16. (i) lim t→∞ 1 t t Z 1 s Z 1 q (x) dxds = lim t→∞ 1 t t Z 1 s Z 1 γ x2dxds = lim t→∞ γ t t Z 1 · −1 s + 1 ¸ ds = lim t→∞ γ t (− log t + t − 1) = γ < ∞;

(ii) λ > 1için lim sup t→∞ 1 tλ t Z 1 (t − s)λq (s) ds = lim sup t→∞ 1 tλ t Z 1 γ (t − s)λ s2 ds ≤ lim sup t→∞ t Z 1 γ s2ds = γ < ∞,

Ω (T )ve Ω+(T )fonksiyonlar Yan [45]'n teoreminde belirtildi§i ³ekilde olmak üzere her

T ≥ 1için Ω (T ) ≤ lim inf t→∞ 1 tλ t Z T (t − s)λq (s) ds ≤ lim sup t→∞ 1 tλ t Z T (t − s)λq (s) ds ≤ γ T ve _Z∞ 1 Ω2 +(s) ds ≤ ∞ Z 1 γ2 s2ds = γ 2 _{< ∞;}

(iii) H (t, s)ve h (t, s) Philos [21]'un teoreminde belirtildi§i biçimde olmak üzere,

lim sup t→∞ 1 H (t, 1) t Z 1 · H (t, ξ) q (ξ) − 1 4h 2_{(t, ξ)} ¸ dξ ≤ lim sup t→∞ t Z 1 γ ξ2dξ = γ < ∞.

Yani γ > 0 bir sabit oldu§unda Wintner [36], Kamenev [13], Yan [45] ve Philos [21]_{'un salnmllk kriterlerinin hiç birisi}

x00_{(t) +} γ

t2x (t) = 0 (2.4)

Euler diferensiyel denklemine uygulanamamaktadr, salnmll§n gösterememektedir. Aslnda (2.4) denkleminin γ > 1

bilinmektedir. Buradan hareketle Li [16], Yu [49] tarafndan in³a edilen genelle³tirilmi³ Riccati dönü³ümü kullanarak r ∈ C1_([t 0, ∞); (0, ∞)), q(t) ∈ C([t0, ∞); R) ve t0 ≥ 0 olmak üzere [r (t) x0_(t)]0_{+ q (t) x (t) = 0} (2.5) diferensiyel denkleminin salnmll§ için a³a§daki sonuçlar elde etmi³tir.

Teorem 2.2.17. H : D = {(t, s) : t ≥ s ≥ t0} → R sürekli bir fonksiyon, t ≥ t0

için H (t, t) = 0, t > s ≥ t0 için H (t, s) > 0 ve H (t, s) fonksiyonunun D0 =

{(t, s) : t > s ≥ t0} üzerinde ikinci de§i³kene göre sürekli ve pozitif olmayan ksmi

türevleri var olsun. Ayrca h : D0 → R, her (t, s) ∈ D0 için

−∂H (t, s)

∂s = h (t, s)

p

H (t, s)

ko³ulunu sa§layan sürekli bir fonksiyon olsun. Bu durumda

a (s) = exp  −2 s Z f (ξ) dξ   ve ψ (s) = a (s)©q (s) + r (s) f2(s) − [r (s) f (s)]0ª olmak üzere her t ≥ t0için

t Z t0 a (s) r (s) h2(t, s) ds < ∞ ve lim sup t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 · H (t, s) ψ (s) − 1 4a (s) r (s) h 2_{(t, s)} ¸ ds = ∞

olacak ³ekilde bir f ∈ C1_[t

2.3. [r(t)x0_(t)]0 _{+ p(t)x}0_{(t) + q(t)x(t) = 0Denkleminin Salnmll§} r, p, q ∈ C([t0, ∞); R)ve r > 0 olmak üzere

[r (t) x0_(t)]0_{+ p (t) x}0_{(t) + q (t) x (t) = 0, t ≥ t}

0 (2.6)

diferensiyel denkleminin salnmll§ için Liu ve Li [18] a³a§daki yeter ³artlar elde etmi³tir. Teoremin ifadesinin sadeli§i için a (t) ∈ C2_([t

0, ∞) ; (0, ∞))olmak üzere f (t) = −a0(t) 2a (t) ve ψ (t) = a (t)©q (t) − p (t) f (t) + r (t) f2_{(t) − [r (t) f (t)]}0ª ifadeleri kullanlacaktr.

Teorem 2.3.18. H : D = {(t, s) : t ≥ s ≥ t0} → R sürekli bir fonksiyon, t ≥ t0 için

H (t, t) = 0, t > s ≥ t0 için H (t, s) > 0 ve H (t, s)'nin D üzerinde ikinci de§i³kene

göre sürekli ve pozitif olmayan ksmi türevleri var olsun. Ayrca, h : D → R sürekli bir fonksiyon olmak üzere her (t, s) ∈ D için

−∂H (t, s)

∂s = h (t, s)

p

H (t, s)

olsun. Bu takdirde, e§er

lim sup t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 ( H (t, s) ψ (s) − 1 4a (s) r (s) µ h (t, s) +p (s) r (s) p H (t, s) ¶₂) ds = ∞

ise (2.6) denklemi salnmldr [18].

Teorem 2.3.19. H ve h fonksiyonlar Teorem 2.3.18'deki gibi olsun. Ayrca

0 < inf s≥t0 · lim inf t→∞ H (t, s) H (t, t0) ¸ ≤ ∞

ve lim sup t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 a (s) r (s) µ h (t, s) + p (s) r (s) p H (t, s) ¶₂ ds < ∞

³artlar sa§lansn. Bu takdirde Ω+(s) = max {Ω (s) , 0}olmak üzere her T ≥ t0 için

lim sup t→∞ 1 H (t, T ) t Z T ( H (t, s) ψ (s) − 1 4a (s) r (s) µ h (t, s) + p (s) r (s) p H (t, s) ¶₂) ds ≥ Ω (T ) ve _Z∞ t0 Ω2 +(s) a (s) r (s)ds = ∞

olacak ³ekilde bir Ω ∈ C[t0, ∞) fonksiyonu varsa (2.6) denkleminin bütün çözümleri

salnmldr [18].

Teorem 2.3.20. H ve h fonksiyonlar Teorem 2.3.18'deki gibi olsun. Ayrca

0 < inf s≥t0 · lim inf t→∞ H (t, s) H (t, t0) ¸ ≤ ∞ ve lim inf t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 H (t, s) ψ (s) ds < ∞

olsun. Bu takdirde Ω+(s) = max {Ω (s) , 0}olmak üzere her T ≥ t0 için

lim inf t→∞ 1 H (t, T ) t Z T ( H (t, s) ψ (s) − 1 4a (s) r (s) µ h (t, s) +p (s) r (s) p H (t, s) ¶₂) ds ≥ Ω (T ) ve _Z∞ t0 Ω2 +(s) a (s) r (s)ds = ∞

olacak ³ekilde bir Ω ∈ C[t0, ∞) fonksiyonu varsa (2.6) denkleminin bütün çözümleri

2.4. [r(t)x0_(t)]0 _{+ p(t)x}0_{(t) + q(t)f (x(t)) = 0Denkleminin Salnmll§} r(t) ∈ C1_([t 0, ∞); (0, ∞)), p(t) ∈ C([t0, ∞); (−∞, ∞)), q(t) ∈ C([t0, ∞); [0, ∞)), f (x) ∈ C(R, R)ve t0 ≥ 0olmak üzere [r (t) x0_(t)]0_{+ p (t) x}0_{(t) + q (t) f (x (t)) = 0, t ≥ t} 0 (2.7)

diferensiyel denkleminin salnmll§ için Kirane ve Rogovchenko [15] a³a§daki sonuçlar elde etmi³tir.

Teorem 2.4.21. D = {(t, s) : t ≥ s ≥ t0} ve D0 = {(t, s) : t > s ≥ t0} olsun. H :

D → R_{sürekli bir fonksiyon, t ≥ t}0 için H (t, t) = 0, t > s ≥ t0 için H (t, s) > 0 ve

H (t, s)'nin D0 üzerinde ikinci de§i³kene göre sürekli ve pozitif olmayan ksmi türevleri

var olsun. Ayrca, h : D → R sürekli bir fonksiyon olmak üzere her (t, s) ∈ D0 için

−∂H (t, s)

∂s = h (t, s)

p

H (t, s)

olsun. K bir reel sabit ve x 6= 0 olmak üzere f fonksiyonu da,

f (x)

x ≥ K > 0

ko³ulunu sa§lasn. Bu takdirde

ψ (s) = a (s)£Kq (s) − p(s)g(s) − [r (s) g (s)]0+ r (s) g2_(s)¤ a (s) = exp  −2 s Z g (u) du   ve Q (t, s) = h (t, s) + p (s) (r (s))−1pH (t, s) olmak üzere lim sup t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 ½ H (t, s) ψ (s) − 1 4a (s) r (s) Q 2_{(t, s)} ¾ ds = ∞

olacak ³ekilde bir g ∈ C1_([t

0, ∞); (0, ∞)) fonksiyonu varsa (2.7) denkleminin bütün

çözümleri salnmldr [15].

Teorem 2.4.22. H (t, s) , h (t, s) , ψ (s) , a (s) , Q (t, s) ve f fonksiyonlar Teorem 2.4.21'deki ³artlar sa§lasn. Ayrca

0 < inf s≥t0 · lim inf t→∞ H (t, s) H (t, t0) ¸ ≤ ∞ ve t > t0 için lim sup t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 a (s) r (s) Q2_{(t, s) ds < ∞}

olsun. Bu takdirde ϕ+(t) = max {ϕ (t) , 0}olmak üzere her t > t0 ve T ≥ t0 için

lim sup t→∞ 1 H (t, T ) t Z T ½ H (t, s) ψ (s) − 1 4a (s) r (s) Q 2_{(t, s)} ¾ ds ≥ ϕ (T ) ve lim sup t→∞ t Z t0 ϕ2 +(s) a (s) r (s)ds = ∞ olacak ³ekilde g ∈ C1_([t 0, ∞) ; (0, ∞))ve ϕ ∈ C ([t0, ∞) ; (−∞, ∞))fonksiyonlar varsa

(2.7)denkleminin bütün çözümleri salnmldr [15].

Teorem 2.4.23. H (t, s), h (t, s) , ψ (s), a (s), Q (t, s) ve f fonksiyonlar Teorem 2.4.21'deki ³artlar sa§lasn. Ayrca

0 < inf s≥t0 · lim inf t→∞ H (t, s) H (t, t0) ¸ ≤ ∞ ve t > t0 için lim inf t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 H (t, s) ψ (s) ds < ∞,

ve lim sup t→∞ t Z t0 ϕ2 +(s) a (s) r (s)ds = ∞ olacak ³ekilde g ∈ C1_([t 0, ∞) ; (0, ∞)) ve ϕ ∈ C ([t0, ∞) ; (−∞, ∞)) fonksiyonlar

varsa (2.7) denkleminin bütün çözümleri salnmldr [15].

2.5. [a(t)ψ(x(t))k(x0_(t))]0 _{+ p(t)k(x}0_{(t)) + q(t)f (x(t)) = 0Denkleminin}

Salnmll§

a, p, q ∈ C([t0, ∞); R), t0 ≥ 0ve k, Ψ, f ∈ C(R; R) olmak üzere

[a (t) Ψ (x (t)) k (x0(t))]0+ p (t) k (x0(t)) + q (t) f (x (t)) = 0, t ≥ t0 (2.8)

diferensiyel denklemini göz önüne alalm. c, c1, γ ve γ1 reel sabitler ve olmak üzere

(A1) a (t) > 0, q (t) ≥ 0ve p diferensiyellenebilirdir; (A2) Her x için 0 < c ≤ Ψ (x) ≤ c1;

(A3) Her x 6= 0 için f (x)

x ≥ γ > 0;

(A4) γ1 > 0ve y 6= 0 için k2(y) ≤ γ1yk (y)

³artlar sa§lansn. Bu ³artlar altnda Ayanlar ve Tiryaki [4], (2.8) denklemi için a³a§daki salnm kriterlerini vermi³tir.

Teorem 2.5.24. D = {(t, s) : t ≥ s ≥ t0} ve H : D → R sürekli bir fonksiyon olmak

üzere t ≥ t0 için H (t, t) = 0, t > s ≥ t0 için H (t, s) > 0 ve H (t, s) fonksiyonunun D

üzerinde ikinci de§i³kene göre sürekli ve pozitif olmayan ksmi türevleri var olsun. Ayrca,

h : D → R, her (t, s) ∈ D için

h (t, s) = −2 ∂ ∂s

p

H (t, s)

ko³ulunu sa§layan sürekli bir fonksiyon olsun. Bu takdirde

X (t, t0) = 1 H (t, t0) t Z t0 H (t, s) ϕ (s) Φ (s) ds,

Y (t, t0) = 1 H (t, t0) t Z t0 a (s) Φ (s) ½ h (t, s) − µ Φ0_(s) Φ (s) + 2 c1γ1 R (s)¶ pH (t, s) ¾₂ ds ve ϕ (s) = γq (s) − γ1p2(s) 4ca (s) + 1 c1γ1 a (s) R2_{(s) −}γ1 2p 0_{(s) − (a (s) R (s))}0 olmak üzere lim sup t→∞ n X (t, t0) − γ1c1 4 Y (t, t0) o = ∞ olacak ³ekilde Φ ∈ C1_([t

0, ∞) ; R+)ve (aR) ∈ C1([t0, ∞) ; R)fonksiyonlar varsa (2.8)

denklemi salnmldr [4].

Teorem 2.5.25. H (t, s), h (t, s), X (t, t0), Y (t, t0)ve ϕ (s) fonksiyonlar Teorem 2.5.24'deki

gibi olsun ve 0 < inf s≥t0 · lim inf t→∞ H (t, s) H (t, t0) ¸ ≤ ∞

³art sa§lansn. Bu durumda A+(s) = max {A (s) , 0}olmak üzere her t ≥ t0 için

lim inf t→∞ Y (t, t0) < ∞, ∞ Z t0 A2 +(s) a (s) Φ (s)ds = ∞ ve her T ≥ t0için lim inf t→∞ n X (t, T ) − γ1c1 4 Y (t, T ) o ≥ A (T ) olacak ³ekilde Φ ∈ C1_([t 0, ∞) ; R+) , (aR) ∈ C1([t0, ∞) ; R) ve A ∈ C ([t0, ∞) ; R)

fonksiyonlar varsa (2.8) denkleminin bütün çözümleri salnmldr [4].

Teorem 2.5.26. H (t, s), h (t, s), X (t, t0), Y (t, t0)ve ϕ (s) fonksiyonlar Teorem 2.5.24'deki

gibi olsun ve 0 < inf s≥t0 · lim inf t→∞ H (t, s) H (t, t0) ¸ ≤ ∞

∞ Z t0 A2 +(s) a (s) Φ (s)ds = ∞ ve her T ≥ t0için lim sup t→∞ n X (t, T ) − γ1c1 4 Y (t, T ) o ≥ A (T )

³artlar sa§lanacak ³ekilde Φ ∈ C1_([t

0, ∞) ; R+) , (aR) ∈ C1([t0, ∞) ; R) ve A ∈

C ([t0, ∞) ; R)fonksiyonlar varsa (2.8) denkleminin bütün çözümleri salnmldr [4].

Q.R. Wang, 2004 ylnda (2.8) denklemini tekrar göz önüne alarak p(t) üzerindeki diferensiyellenebilirlik ³artn kaldrarak Ayanlar ve Tiryaki [4]'nin sonuçlarn iyile³tirmi³ ve c, c1, γ1, γ2 ve γ3 reel sabitler olmak üzere

(B1) a (t) > 0ve her x 6= 0 için xf (x) > 0; (B2) Her x için 0 < c ≤ Ψ (x) ≤ c1;

(B3) γ1 > 0ve her y ∈ R için k2(y) ≤ γ1yk (y);

(B4) f0_{(x)vardr ve her x 6= 0 için f}0_{(x) ≥ γ}

2 > 0

³artlar altnda literatürdeki baz sonuçlar da genelle³tirmi³tir.

Teorem 2.5.27. D = {(t, s) : t ≥ s ≥ t0}olsun. H, h : D → R fonksiyonlar da

(i) t ≥ t0 için H (t, t) = 0, t > s ≥ t0için H (t, s) > 0;

(ii) H(t, s) fonksiyonunun D üzerinde ikinci de§i³kene göre sürekli ve pozitif olmayan ksmi türevleri var;

(iii) Her (t, s) ∈ D için

−∂H (t, s)

∂s = h (t, s)

p

H (t, s)

³artlarn sa§layan sürekli fonksiyonlar olsun. Bu takdirde

Q1(t) = Φ (t) ½ q (t) − γ1 4γ2 µ 1 c − 1 c1 ¶ p2_(t) a (t) − 1 c1 p (t) R (t) + γ2 c1γ1 a (t) R2_{(t) − (a (s) R (s))}0 ¾ ve h1(t, s) = h (t, s) − p H (t, s) µ Φ0_(s) Φ (s) + 2γ2R (s) c1γ1 − p (s) c1a (s) ¶

olmak üzere (aR) ∈ C1_([t 0, ∞) ; R)ve lim sup t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 ½ H (t, s) Q1(s) − c1γ1 4γ2 Φ (s) a (s) h2₁(t, s) ¾ ds = ∞ olacak ³ekilde Φ ∈ C1_([t

0, ∞) ; R+)ve R ∈ C([t0, ∞); R) fonksiyonlar varsa o halde

(2.8)denklemi salnmldr [34].

Teorem 2.5.28. H (t, s) , h (t, s) , Q1(s) ve h1(t, s) fonksiyonlar Teorem 2.5.27'deki

gibi olsun. Ayrca

0 < inf s≥t0 · lim inf t→∞ H (t, s) H (t, t0) ¸ ≤ ∞

³art sa§lansn. Bu takdirde ϕ+(s) = max {ϕ (s) , 0}olmak üzere

lim sup t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 Φ (s) a (s) h2 1(t, s) ds < ∞, ∞ Z t0 ϕ2 +(s) a (s) Φ (s)ds = ∞ ve her T ≥ t0için lim sup t→∞ 1 H (t, T ) t Z T · H (t, s) Q1(s) − c1γ1 4γ2 Φ (s) a (s) h2 1(t, s) ¸ ds ≥ ϕ (T )

³artlar sa§lanacak ³ekilde Φ ∈ C1_([t

0, ∞) ; R+)fonksiyonu ve (aR) ∈ C1([t0, ∞) ; R)

olacak biçimde R, ϕ ∈ C ([t0, ∞) ; R) fonksiyonlar varsa (2.9) denklemi salnmldr

[34].

Teorem 2.5.29. H (t, s) , h (t, s) , Q1(s) ve h1(t, s) fonksiyonlar Teorem 2.5.27'deki

gibi olsun ve 0 < inf s≥t0 · lim inf t→∞ H (t, s) H (t, t0) ¸ ≤ ∞

³art sa§lansn. Bu takdirde ϕ+(s) = max {ϕ (s) , 0}olmak üzere lim inf t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 H (t, s) Q1(s) ds < ∞, ∞ Z t0 ϕ2 +(s) a (s) Φ (s)ds = ∞ ve her T ≥ t0için lim inf t→∞ 1 H (t, T ) t Z T · H (t, s) Q1(s) −c1γ1 4γ2 Φ (s) a (s) h2₁(t, s) ¸ ds ≥ ϕ (T )

³artlar sa§lanacak ³ekilde Φ ∈ C1_([t

0, ∞) ; R+) ve (aR) ∈ C1([t0, ∞) ; R) olacak

biçimde R, ϕ ∈ C ([t0, ∞) ; R)fonksiyonlar varsa (2.9) denklemi salnmldr [34].

Q.-R. Wang [34], q(t) ≥ 0 ve her x 6= 0 için f (x)

x ≥ γ3 > 0 ³artlar altnda da

3. KNC BASAMAKTAN BELRL TÜRDEN LNEER OLMAYAN BR

DFERENSYEL DENKLEM SINIFININ ÇÖZÜMLERNN SALINIMLILI‡I

Bu bölümde r, p, q ∈ C ([t0, ∞) , R), Ψ, k, f, g ∈ C (R, R), rΨk ∈ C1([t0, ∞) , R)

ve t0 ≥ 0olmak üzere

(r (t) Ψ (x (t)) k (x0_(t)))0_{+ p (t) k (x}0_{(t)) + q (t) f (x (t)) g (x}0_{(t)) = 0, t ≥ t}

0 (3.1)

diferensiyel denkleminin çözümlerinin salnmll§ üzerinde durulacaktr. Ayrca c, c1, c2, δ

ve M reel sabitler olmak üzere a³a§daki ³artlarn sa§land§ kabul edilecektir. (C1) r (t) > 0ve q (t) ≥ 0;

(C2) Her x ∈ R için 0 < c ≤ Ψ(x) ≤ c1;

(C3) δ > 0ve her y ∈ R için k2_{(y) ≤ δyk (y);}

(C4) x 6= 0için f (x)

x ≥ M > 0;

(C5) 0 < c2 ≤ g(x0(t)).

3.1. Temel Sonuçlar

Tanm 3.1.1. Her t ∈ [t0, t1), t1 > t0 için (3.1) denklemini sa§layan bir x : [t0, t1) → R

fonksiyonuna (3.1) denkleminin bir çözümü denir.

Bu tez çal³masnda (3.1) denkleminin her t1 ≥ t0 için sup {|x (t)| : t ≥ t1} 6= 0

özelli§ine sahip ve [t0, ∞)aral§nda var olan çözümleri üzerinde durulacaktr. E§er her

t ≥ t0 için x(t) çözümü key sayda yeterince büyük sfrlara sahipse bu x(t) çözümüne

salnmldr denir. Yani, her bir t ∈ [t0, ∞)için x(t1) = 0olacak ³ekilde bir t1 ≥ tsays

mevcutsa bu x(t) çözümüne salnmldr denir. Aksi takdirde salnml olmayan çözüm adn alr. Yani her t ≥ t1 için x(t) 6= 0 olacak ³ekilde bir t1 ∈ [t0, ∞)says mevcutsa

o halde bu x(t) çözümüne salnmszdr denir. E§er (3.1) denkleminin bütün çözümleri salnml ise (3.1) denklemine salnmldr denir.

Tanm 3.1.2. D0 = {(t, s) : t > s ≥ t0} ve D = {(t, s) : t ≥ s ≥ t0}olsun. A³a§daki

i) t ≥ t0için H (t, t) = 0, (t, s) ∈ D0için H (t, s) > 0,

ii) H, D0' da ikinci de§i³kene göre sürekli ve pozitif olmayan ksmi türevlere

sahip bir fonksiyondur.

Teorem 3.1.3. (C1) − (C5) ³artlar sa§lansn. Ayrca, H ∈ P , z ∈ C1_([t

0, ∞), (0, ∞))

ve h ∈ C(D, (−∞, ∞)) olmak üzere, (t, s) ∈ D0 için

− ∂ ∂s(H(t, s)z(s)) + H(t, s)z(s) p(s) c1r(s) = h(t, s)pH(t, s)z(s) olsun. v (t) = exp  −2 c1 t Z τ (s) δr (s)ds   ve φ (t) = v (t) µ c2Mq (t) + τ2_(t) δc1r (t) − p (t) τ (t) c1r (t) − τ0_{(t) +} µ 1 c1 −1 c ¶ δp2_(t) 4r (t) ¶ olmak üzere, lim sup t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 · H (t, s) z(s)φ (s) − δc1 4 r (s) v (s) h 2_{(t, s)} ¸ ds = ∞ (3.2)

olacak ³ekilde bir τ ∈ C1_([t

0, ∞), R) fonksiyonu varsa bu takdirde (3.1) denklemi

salnmldr.

spat . x (t), (3.1) denkleminin salnmsz bir çözümü olsun. Bu takdirde her t ≥ T0 için

x (t) 6= 0olacak ³ekilde bir T0 ≥ t0 says vardr. Genelli§i bozmakszn, her t ≥ T0 için

x (t) > 0 _{kabul edebiliriz. x (t) < 0 oldu§unda da ispat benzer ³ekilde verilebilir. Her} t ≥ T0 için u (t) = v (t) · r (t) Ψ (x (t)) k (x0_(t)) x (t) + τ (t) ¸ (3.3)

genelle³tirilmi³ Riccati tipi dönü³ümü göz önüne alalm. Bu takdirde (3.1) ve (3.3)'ten u0_{(t) =} v0(t) v (t)u (t) +v (t)[−p (t) k (x0(t)) − q (t) f (x (t)) g (x0(t))] x (t) −v (t)r (t) Ψ (x (t)) k (x0(t)) x0(t) x2_(t) + v(t)τ 0_(t) = v0(t) v (t)u (t) − p (t) v (t) k (x0_(t)) x (t) − q (t) v (t) f (x (t)) g (x0_(t)) x (t) −v (t) r (t) Ψ (x (t)) k (x0(t)) x0(t) x2_(t) + v (t) τ 0_{(t) (3.4)}

elde edilir. (C1) − (C5) ³artlar (3.4) denkleminde kullanlrsa

u0_{(t) ≤} v0(t) v (t)u (t) − p (t) v (t) k (x0_(t)) x (t) − c2Mq (t) v (t) −r (t) v (t) Ψ (x (t)) k 2_(x0_(t)) δx2_(t) + v (t) τ 0_(t) = v 0_(t) v (t)u (t) − p (t) v (t) ·µ u (t) v (t) − τ (t) ¶ 1 r (t) Ψ (x (t)) ¸ − c2Mq (t) v (t) −r (t) v (t) Ψ (x (t)) δ ·µ u (t) v (t) − τ (t) ¶ 1 r (t) Ψ (x (t)) ¸₂ + v (t) τ0(t) = v 0_(t) v (t)u (t) − p (t) v (t) r (t) Ψ (x (t)) µ u (t) v (t) − τ (t) ¶ − c2Mq (t) v (t) − v (t) δr (t) Ψ (x (t)) µ u (t) v (t) − τ (t) ¶₂ + v (t) τ0(t)

= v0(t) v (t)u (t) − p (t) u (t) r (t) Ψ (x (t))+ p(t)τ (t)v(t) r (t) Ψ (x (t))− c2Mq (t) v (t) − u2(t) δr (t) v (t) Ψ (x (t)) + 2τ (t) u (t) δr (t) Ψ (x (t)) − τ2_{(t) v (t)} δr (t) Ψ (x (t)) + v (t) τ 0_(t) = v0(t) v (t)u (t) − c2Mq (t) v (t) + v (t) τ 0_(t) − 1 δr (t) v (t) Ψ (x (t)) · u (t) + δ 2p (t) v (t) − τ (t) v (t) ¸₂ + δp2(t) v (t) 4r (t) Ψ (x (t)) ≤ v0(t) v (t)u (t) − c2Mq (t) v (t) + v (t) τ 0_(t) − 1 δc1r (t) v (t) · u (t) +δ 2p (t) v (t) − τ (t) v (t) ¸₂ +δp2(t) v (t) 4cr (t) = −2τ (t) δc1r (t) u (t) − c2Mq (t) v (t) + v (t) τ0(t) − u2_(t) δc1r (t) v (t) −p (t) u (t) c1r (t) − δp2(t) v (t) 4c1r (t) + 2τ (t) u (t) δc1r (t) +p (t) τ (t) v (t) c1r (t) −τ2(t) v (t) δc1r (t) +δp2(t) v (t) 4cr (t) = −v (t) · c2Mq (t) + τ2_(t) δc1r (t) − p (t) τ (t) c1r (t) − τ0_{(t) +} µ 1 c1 − 1 c ¶ δp2_(t) 4r (t) ¸ − p(t) c1r(t) u(t) − u2(t) δc1r (t) v (t) = −φ (t) − p(t) c1r(t) u(t) − u2(t) δc1r (t) v (t) (3.5)

e³itsizli§ine varlr. Böylece (3.5) e³itsizli§inden

φ (t) ≤ −u0_{(t) −} p(t) c1r(t)

u(t) − u

2_(t)

yazlabilir. t ≥ T ≥ T0olmak üzere, (3.6) e³itsizli§ini H (t, s) z(s) fonksiyonu ile çarpp,

sde§i³kenine göre T 'den t'ye integrallersek

t Z T H(t, s)z(s)φ(s)ds ≤ − t Z T H(t, s)z(s)u0(s)ds − t Z T H(t, s)z(s) p(s) c1r(s) u(s)ds − t Z T H(t, s)z(s) u2(s) δc1r(s)v(s) ds (3.7)

sonucuna varlr. (3.7) e³itsizli§inin sa§ tarafndaki birinci integrale ksmi integral yöntemi uygulanrsa t Z T H (t, s) z(s)u0_{(s) ds = H (t, s) z(s)u (s) |}t T − t Z T u (s) ∂ ∂s(H(t, s)z(s))ds = −H (t, T ) z(T )u (T ) − t Z T ∂ ∂s(H(t, s)z(s))u(s)ds(3.8)

elde edilir. (3.8) ifadesini (3.7) e³itsizli§inde kullanrsak

t Z T H (t, s) z(s)φ (s) ds ≤ H (t, T ) z(T )u (T ) + t Z T ∂ ∂s(H(t, s)z(s))u(s)ds − t Z T H (t, s) z(s) p(s) c1r (s) u(s)ds − t Z T H (t, s) z(s) u 2_(s) δc1r (s) v(s) ds = H (t, T ) z(T )u (T ) − t Z T Ãs H (t, s) z(s) δc1r (s) v (s) u (s) +1 2 p δc1r (s) v (s)h (t, s) !2 ds +δc1 4 t Z T r (s) v (s) h2(t, s) ds

olur. Böylece son e³itsizlikten her t ≥ T ≥ T0için

t Z · H (t, s) z(s)φ (s) − δc1 4 r (s) v (s) h 2_{(t, s)} ¸ ds ≤ H (t, T ) z(T )u (T )

− t Z T "s H (t, s) z(s) δc1r (s) v (s) u (s) +1 2 p δc1r (s) v (s)h (t, s) #2 ds (3.9)

yazlabilir. H(t, s) fonksiyonunun özelliklerinden ve (3.9) 'dan her t ≥ T0 için

t Z T0 · H (t, s) z(s)φ (s) − δc1 4 r (s) v (s) h 2_{(t, s)} ¸ ds ≤ H (t, T0) z(T0)u (T0) ≤ H (t, T0) z(T0) |u (T0)| ≤ H (t, t0) z(T0) |u (T0)|

dr. Dolaysyla her t ≥ T0için

t Z t0 · H (t, s) z(s)φ (s) − δc1 4 r (s) v (s) h 2_{(t, s)} ¸ ds = T0 Z t0 · H (t, s) z(s)φ (s) − δc1 4 r (s) v (s) h 2_{(t, s)} ¸ ds + t Z T0 · H (t, s) z(s)φ (s) − δc1 4 r (s) v (s) h 2_{(t, s)} ¸ ds ≤ T0 Z t0 H (t, s) z(s) |φ (s)| ds + H (t, t0) z(T0) |u (T0)| ≤ H (t, t0) T0 Z t0 z(s) |φ (s)| ds + H (t, t0) z(T0) |u (T0)| = H (t, t0)    T0 Z t0 z(s) |φ (s)| ds + z(T0) |u (T0)|    (3.10)

oldu§u görülür. Böylece (3.10) 'dan

lim sup t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 · H (t, s) z(s)φ (s) − δc1 4 r (s) v (s) h 2_{(t, s)} ¸ ds ≤ T0 Z t0 z(s) |φ (s)| ds + z(T0) |u (T0)| < +∞

sonucuna varlr. Bu ise (3.2) ile çeli³ir. Dolaysyla (3.1) denkleminin bütün çözümleri salnmldr. Böylece teoremin ispat tamamlanm³ olur.

Sonuç 3.1.4. Teorem 3.1.3'deki (3.2) ³art yerine

lim sup t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 H (t, s) z(s)φ (s) ds = ∞ (3.11) ve lim sup t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 r (s) v (s) h2(t, s) ds < ∞ (3.12)

³artlar alnrsa (3.1) denklemi yine salnmldr.

Kamenev [13]'den hareketle, n > 2 bir tamsay olmak üzere,

H (t, s) = (t − s)n−1, (t, s) ∈ D

olarak seçelim. Kolayca gösterilebilir ki H ∈ P dir. Dolaysyla z(s) = s alnrsa, (t, s) ∈ D_{olmak üzere} h(t, s) = (t − s) n−3 2 √ s · sn − t + s(t − s) p(s) c1r(s) ¸

olur. Böylece Teorem 3.1.3'den a³a§daki salnm kriteri elde edilir.

Sonuç 3.1.5. (C1) − (C5) ³artlar sa§lansn. φ (t) ve v (t) fonksiyonlar Teorem 3.1.3'deki gibi tanmlansn. Bu takdirde, n > 2 bir tamsay olmak üzere

lim sup t→∞ t 1−n t Z t0 (t − s)n−1sφ (s)−δc1r (s) v (s) 4 (t − s)n−3 s · sn − t + s (t − s) p (s) c1r (s) ¸₂ ds = ∞

olacak ³ekilde bir τ ∈ C1_([t

0, ∞), R)fonksiyonu varsa (3.1) denklemi salnmldr.

olsun. Ayrca z ∈ C1_([t

0, ∞), (0, ∞)) ve H, h ∈ C(D, (−∞, ∞)) olmak üzere her

(t, s) ∈ D0 için − ∂ ∂s(H(t, s)z(s)) + H(t, s)z(s) p(s) c1r(s) = h(t, s)pH(t, s)z(s)

olsun. v (s) ve φ (s) de Teorem 3.1.3'deki gibi tanmlansn. Bu takdirde χ+(s) =

max (χ (s) , 0)olmak üzere her t ≥ t0 için

lim sup t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 r (s) v (s) h2(t, s) ds < ∞, (3.14) lim sup t→∞ t Z t0 χ2 +(s) z(s)r(s)v(s)ds = ∞ (3.15) ve her T ≥ t0için lim sup t→∞ 1 H (t, T ) t Z T · H (t, s) z(s)φ (s) − δc1 4 r (s) v (s) h 2_{(t, s)} ¸ ds ≥ χ (T ) (3.16)

³artlarn sa§layacak ³ekilde τ ∈ C1_([t

0, ∞), R) ve χ ∈ C([t0, ∞), R) fonksiyonlar

varsa (3.1) denklemi salnmldr.

spat . x (t), (3.1) denkleminin salnmsz bir çözümü olsun. Bu takdirde her t ≥ T0

için x (t) 6= 0 olacak ³ekilde bir T0 ≥ t0 vardr. Genelli§i bozmakszn her t ≥ T0 için

x (t) > 0oldu§u kabul edilebilir. t ≥ T0 için

u (t) = v (t) · r (t) Ψ (x (t)) k (x0_(t)) x (t) + τ (t) ¸ (3.17)

olsun. (3.17) 'nin diferensiyeli alnp (C1) − (C5) ³artlar ve (3.1) denklemi kullanlrsa Teorem 3.1.3'ün ispatnda oldu§u gibi t > T ≥ T0için

1 H (t, T ) t Z T · H (t, s) z(s)φ (s) − δc1 4 r (s) v (s) h 2_{(t, s)} ¸ ds

≤ z(T )u (T ) − 1 H (t, T ) t Z T Ãs H (t, s) z(s) δc1r (s) v (s) u (s) +1 2 p δc1r (s) v (s)h (t, s) !2 ds (3.18) elde edilir. Dolaysyla (3.18) e³itsizli§inden, her T ≥ T0 için

lim sup t→∞ 1 H (t, T ) t Z T · H (t, s) z(s)φ (s) − δc1 4 r (s) v (s) h 2_{(t, s)} ¸ ds ≤ z(T )u (T ) −lim inf t→∞ 1 H (t, T ) t Z T Ãs H (t, s) z(s) δc1r (s) v (s) u (s) + 1 2 p δc1r (s) v (s)h (t, s) !2 ds

yazlabilir. Böylece (3.16)'dan

z(T )u(T ) ≥ χ(T ) + lim inf t→∞ 1 H(t, T ) t Z T Ãs H(t, s)z(s) δc1r(s)v(s) u(s) + 1 2 p δc1r(s)v(s)h(t, s) !2 ds

olur. Buradan da her T ≥ T0için

z(T )u (T ) ≥ χ (T ) (3.19) ve lim inf t→∞ 1 H (t, T0) t Z T0 Ãs H (t, s) z(s) δc1r (s) v (s) u (s) +1 2 p δc1r (s) v (s)h (t, s) !2 ds ≤ z(T0)u (T0) − χ (T0) = M < ∞ yazlabilir. Bu yüzden, ∞ > lim inf t→∞ 1 H (t, T0) t Z T0 "s H (t, s) z(s) δc1r (s) v (s) u (s) +1 2 p δc1r (s) v (s)h (t, s) #2 ds

≥ lim inf t→∞ 1 H (t, T0) t Z T0 · H (t, s) z(s) δc1r (s) v (s) u2_{(s) + h (t, s)}p_{H (t, s) z(s)u (s)} ¸ ds (3.20)

olur. Burada her t > T0için,

α (t) = 1 H (t, T0) t Z T0 H (t, s) z(s) δc1r (s) v (s) u2_{(s) ds} ve β (t) = 1 H (t, T0) t Z T0 h (t, s)pH (t, s) z(s)u (s) ds alnrsa lim inf t→∞ [α (t) + β (t)] ≤ lim inf t→∞ 1 H (t, T0) t Z T0 "s H (t, s) z(s) δc1r (s) v (s) u (s) +1 2 p δc1r (s) v (s)h (t, s) #2 ds < ∞ _(3.21)

olur. “imdi iddia ediyoruz ki

∞

Z

T0

z(s)u2_(s)

r (s) v (s)ds < ∞ (3.22)

dir. Çeli³ki elde etmek için,

∞

Z

T0

z(s)u2_(s)

r (s) v (s)ds = ∞ (3.23)

oldu§unu kabul edelim. Bu takdirde (3.13) 'ten

inf s≥t0 ½ lim inf t→∞ H (t, s) H (t, t0) ¾ > ξ > 0 _(3.24)

olacak ³ekilde bir ξ says vardr. Ayrca η key pozitif bir say olmak üzere (3.23)'ten her t ≥ T1için

t Z T0 z(s)u2_(s) r (s) v (s)ds ≥ η ξ

olacak ³ekilde bir T1 > T0 says vardr. Dolaysyla her t ≥ T1için,

α (t) = 1 H (t, T0) t Z T0 H (t, s) z(s) δc1r (s) v (s) u2_{(s) ds} = 1 δc1H (t, T0) t Z T0 H (t, s) d   s Z T0 z(σ)u2_(σ) r (σ) v (σ)dσ   = 1 δc1H (t, T0)  H (t, s) s Z T0 z(σ)u2_(σ) r (σ) v (σ)dσ | t T0   − 1 δc1H (t, T0) t Z T0   s Z T0 z(σ)u2_(σ) r (σ) v (σ)dσ   ∂H (t, s) ∂s ds = 1 δc1H (t, T0) t Z T0   s Z T0 z(σ)u2_(σ) r (σ) v (σ)dσ   µ −∂H (t, s) ∂s ¶ ds ≥ 1 δc1H (t, T0) t Z T1 µ −∂H (t, s) ∂s ¶  s Z T0 z(σ)u2_(σ) r (σ) v (σ)dσ   ds ≥ η ξδc1H (t, T0) t Z T1 µ −∂H (t, s) ∂s ¶ ds = ηH (t, T1) ξδc1H (t, T0) (3.25)

sonucuna varlr. (3.24) 'ten lim inf

t→∞ H(t,s)

H(t,t0) > ξ yazlabilir. Bu nedenle, H fonksiyonunun

özelli§inden, her t ≥ T2 için

H (t, T1)

H (t, t0)

≥ ξ

olacak ³ekilde bir T2 ≥ T1 says vardr. Dolaysyla (3.25) 'ten her t ≥ T2 için

α (t) ≥ η δc1

sonucuna ula³lr. “imdi,

lim

n→∞[α (tn) + β (tn)] = lim inft→∞ [α (t) + β (t)]

olacak ³ekilde (T0, ∞)aral§nda lim

n→∞tn = ∞ özelli§ine sahip bir {tn} ∞

n=1 dizisini göz

önüne alalm. Böylece (3.21)'den her n > N için,

α (tn) + β (tn) ≤ M (3.27)

olacak ³ekilde bir N do§al says ve bir M sabiti vardr. (3.26) 'dan

lim

n→∞α (tn) = ∞ (3.28)

oldu§undan, (3.27) 'den

lim

n→∞β (tn) = −∞ (3.29)

elde edilir. (3.27) ve (3.28)'den yeterince büyük n 'ler için

1 + β (tn)

α (tn)

≤ M

α (tn)

< ε , ε ∈ (0, 1)

olur. Buradan da,

β (tn) α (tn) < ε − 1 < 0 (3.30) dr. (3.29) ve (3.30) 'dan β2_(t n) α (tn) > (ε − 1) β (tn) oldu§undan lim n→∞ β2_(t n) α (tn) = ∞ (3.31)

bulunur. Di§er taraftan, Schwarz e³itsizli§inden, herhangi bir n do§al says için,

β2_(t n) =    1 H (tn, T0) tn Z T0 h (tn, s) p H (tn, s) z(s)u (s) ds    2

=    1 H (tn, T0) tn Z T0 h (tn, s) p r (s) v (s) s 1 r (s) v (s) p H (tn, s) z(s)u (s) ds    2 ≤    1 H (tn, T0) tn Z T0 H (tn, s) z(s)u2(s) r (s) v (s) ds       1 H (tn, T0) tn Z T0 r (s) v (s) h2_(t n, s) ds    = δc1α (tn)    1 H (tn, T0) tn Z T0 r (s) v (s) h2_(t n, s) ds   

oldu§u görülür. Böylece yeterince büyük n 'ler için

β2_(t n) α (tn) ≤ δc1    1 H (tn, T0) tn Z T0 r (s) v (s) h2_(t n, s) ds    ≤ δc1 ξH (tn, t0) tn Z t0 r (s) v (s) h2(tn, s) ds

yazlabilir. Böylece (3.31)'den

lim n→∞ 1 H (tn, t0) tn Z t0 r (s) v (s) h2_(t n, s) ds = ∞ (3.32) olur. Dolaysyla lim sup t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 r (s) v (s) h2(t, s) ds = ∞

olur. (3.14) 'te bu ifadenin sonsuzdan küçük oldu§u kabul edilmi³ti. O halde bu son e³itlik (3.14)ile çeli³ir. Bu takdirde (3.23) geçersiz olup (3.22) sa§lanr. Son olarak (3.19) 'da her T ≥ T0 için

χ2₊(T ) ≤ z2(T )u2(T ) oldu§undan

∞

olup bu da (3.15) kabulü ile çeli³ir. Bu nedenle (3.1) denklemi salnmldr.

H(t, s) = (t − s)n−1_{, n > 2 bir tamsay ve z(s) = 1 alnd§nda}

h(t, s) = (t − s)n−32

·

n − 1 + (t − s) p(s) c1r(s)

¸

oldu§u görülür. Dolaysyla H(t, s) = (t − s)n−1_{, z(s) = 1 seçimiyle Teorem 3.1.6'dan}

a³a§daki sonuca varlr.

Sonuç 3.1.7. (C1) − (C5) ³artlar sa§lansn. Ayrca v (s) ve φ (s) fonksiyonlar da Teorem 3.1.3'deki gibi tanmlansn. E§er her T ≥ t0 için,

lim sup t→∞ 1 tn−1 t Z t0 r(s)v(s)(t − s)n−3 · n − 1 + (t − s) p(s) c1r(s) ¸₂ ds < ∞, lim sup t→∞ 1 tn−1 t Z T (t − s)n−1φ (s)−1 4δc1r (s) v (s) (t−s) n−3 · n − 1 + (t − s) p(s) c1r(s) ¸₂ ds ≥ χ(T )

³artlar ve (3.15) sa§lanacak ³ekilde χ ∈ C([t0, ∞), R)ve τ ∈ C1([t0, ∞), R)fonksiyonlar

varsa (3.1) denklemi salnmldr.

Teorem 3.1.8. (C1) − (C5) ³artlar ve H ∈ P olmak üzere (3.13) ³art sa§lansn. Ayrca

z ∈ C1_([t

0, ∞), (0, ∞))ve H, h ∈ C(D, (−∞, ∞)) olmak üzere, (t, s) ∈ D0 için

− ∂

∂s(H(t, s)z(s)) + H(t, s)z(s) p(s) c1r(s)

= h(t, s)pH(t, s)z(s)

olsun. v (s) ve φ (s) de Teorem 3.1.3'deki gibi tanmlansn. Bu takdirde her T ≥ t0 için

lim inf t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 H (t, s) z(s)φ (s) ds < ∞, _(3.33) lim inf t→∞ 1 H (t, T ) t Z T · H (t, s) z(s)φ (s) − δc1 4 r (s) v (s) h 2_{(t, s)} ¸ ds ≥ χ (T ) (3.34)

e³itsizlikleri ve (3.15) ³art sa§lanacak ³ekilde τ ∈ C0_([t

0, ∞), R))ve χ ∈ C([t0, ∞), R))

spat . x (t), (3.1) denkleminin salnmsz bir çözümü olsun. Bu takdirde her t ≥ T0

için x (t) 6= 0 olacak ³ekilde bir T0 ≥ t0 vardr. Genelli§i bozmakszn her t ≥ T0 için

x (t) > 0kabul edilebilir. u (t) Riccati dönü³ümü Teorem 3.1.3'deki gibi tanmlansn. Teorem 3.1.3'ün ispatnda izlenen yol takip edilirse her t > T ≥ T0 için (3.9) e³itsizli§i

elde edilir. (3.9) 'un her iki tararafn H (t, T ) ile bölersek, her T ≥ T0 için

1 H (t, T ) t Z T · H (t, s) z(s)φ (s) − δc1 4 r (s) v (s) h 2_{(t, s)} ¸ ds ≤ z(T )u (T ) − 1 H (t, T ) t Z T "s H (t, s) z(s) δc1r (s) v (s) u (s) +1 2 p δc1r (s) v (s)h (t, s) #2 ds (3.35) olur. Böylece, her T ≥ T0için

lim inf t→∞ 1 H (t, T ) t Z T · H (t, s) z(s)φ (s) − δc1 4 r (s) v (s) h 2_{(t, s)} ¸ ds ≤ z(T )u (T )−lim sup t→∞ 1 H (t, T ) t Z T "s H (t, s) z(s) δc1r (s) v (s) u (s) +1 2 p δc1r (s) v (s)h (t, s) #2 ds

yazlabilir. (3.34) 'ten her T ≥ T0 için

z(T )u(T ) ≥ χ(T )+lim sup t→∞ 1 H(t, T ) t Z T "s H(t, s)z(s) δc1r(s)v(s) u(s) +1 2 p δc1r(s)v(s)h(t, s) #2 ds

oldu§u görülür. Dolaysyla (3.19) e³itsizli§i sa§lanr ve

lim sup t→∞ 1 H (t, T0) t Z T0 "s H (t, s) z(s) δc1r (s) v (s) u (s) + 1 2 p δc1r (s) v (s)h (t, s) #2 ds ≤ z(T0)u (T0) − χ (T0) = M < ∞

olur. α (t) ve β (t) Teorem 3.1.6'daki gibi olmak üzere son e³itsizlikten ∞ > lim sup t→∞ 1 H (t, T0) t Z T0 "s H (t, s) z(s) δc1r (s) v (s) u (s) +1 2 p δc1r (s) v (s)h (t, s) #2 ds = lim sup t→∞ 1 H (t, T0) t Z T0 · H (t, s) z(s) δc1r (s) v (s) u2_{(s) + h (t, s)}p_{H (t, s) z(s)u (s)} +δc1 4 r (s) v (s) h 2_{(t, s)} ¸ ds ≥ lim sup t→∞ 1 H (t, T0) t Z T0 · H (t, s) z(s) δc1r (s) v (s) u2_{(s) + h (t, s)}p_{H (t, s) z(s)u (s)} ¸ ds = lim sup t→∞ [α (t) + β (t)] olup, buradan lim sup t→∞ [α (t) + β (t)] ≤ lim sup t→∞ 1 H (t, T0) t Z T0 "s H (t, s) z(s) δc1r (s) v (s) u (s) + 1 2 p δc1r (s) v (s)h (t, s) #2 ds ≤ M < ∞ (3.36)

elde edilir. (3.34) ³art, inf ve sup özelliklerinden

χ (t0) ≤ lim inf t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 · H (t, s) z(s)φ (s) − δc1 4 r (s) v (s) h 2_{(t, s)} ¸ ds ≤ lim inf t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 H (t, s) z(s)φ (s) ds −δc1 4 lim inft→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 r (s) v (s) h2_{(t, s) ds (3.37)}

yazlabilir. Böylece, (3.33) kabülü ve (3.37) 'den

lim inf t→∞ 1 H (t, t0) t Z r (s) v (s) h2_{(t, s) ds < ∞ (3.38)}

elde edilir. Dolaysyla (3.38) 'den (T0, ∞)aral§nda lim n→∞tn = ∞ ve lim n→∞ 1 H (tn, t0) tn Z t0 r (s) v (s) h2_(t n, s) ds = lim inf t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 r (s) v (s) h2_{(t, s) ds < ∞ (3.39)}

olacak ³ekilde bir {tn}∞n=1 dizisi vardr. “imdi, ∞

Z

T0

z(s)u2_(s)

r (s) v (s)ds = ∞ (3.40)

oldu§unu kabul edelim. Bu takdirde Teorem 3.1.6'daki ispat yöntemi izlenerek

lim

t→∞α (t) = ∞ (3.41)

oldu§u görülür. (3.36) 'dan

α (tn) + β (tn) ≤ M

olacak ³ekilde bir M sabiti vardr. Teorem 3.1.6'nn ispatndaki gibi i³lemler sürdürülürse (3.32)_{ifadesine varlr. Bu da (3.39) ile çeli³ki olu³turur. Dolaysyla (3.40) sa§lanmaz.} spatn geri kalan ksm Teorem 3.1.6'daki gibidir. Dolaysyla (3.1) denklemi salnmldr.

3.2. Uygulamalar Örnek 3.2.1. r (t) = 1 t, Ψ (x (t)) = ¡ 1 + e−|x(t)|¢_{, k (x}0_{(t)) =} x0_(t) 1+x02_(t), p (t) = 2 t, q (t) = 10t6₊ 2 ₋ 2 ₊ 1_{, f (x (t)) = x (t) (2 + cos x)ve g (x}0_{(t)) = 1 + x}02 (t)olmak

üzere t ≥ 1 için · 1 t ¡ 1 + e−|x(t)|¢ x0(t) 1 + x02 (t) ¸₀ + 2 t x0_(t) 1 + (x0_(t))2 + µ 10t6₊ 2 t3 − 2 t2 + 1 2t ¶ x (t) (2 + cos x) ³ 1 + (x0_(t))2´_{= 0}

lineer olmayan diferensiyel denklemini göz önüne alalm. Kolayca gösterilebilir ki c = 1,

c1 = 2, c2 = 1 ve M = 1 dir. Dolaysyla δ = 1 için (C1) − (C5) ³artlar sa§lanr.

τ (t) = −2

t2 ve n = 3 alrsak Sonuç 3.1.5'ten

v (t) = exp  −2 c1 t Z 1 τ (s) δr (s)ds   = exp   t Z 1 2 sds   = t2 H(t, s) = (t − s)n−1_{, z(s) = 1alnd§nda} h(t, s) = (t − s)n−32 · n − 1 + (t − s) p(s) c1r(s) ¸

oldu§u görülür. Dolaysyla, H(t, s) = (t − s)n−1_{, z(s) = 1 için}

lim sup t→∞ t 1−n t Z t0 · (t − s)n−1φ (s) − δc1r (s) v (s) 4 h 2_{(t, s)} ¸ ds = lim sup t→∞ 1 t2 t Z 1 h (t − s)210s8− s 2 £ 4 + 4(t − s) + (t − s)2¤ids = ∞

elde edilir. Dolaysyla Sonuç 3.1.5'ten verilen diferensiyel denklem salnmldr. Örnek 3.2.2. t ≥ 1 için µ t2 µ 2 + x2_(t) 1 + x2_(t) ¶ x0_(t) 1 + x02 (t) ¶₀ +¡6t2_{+ 4}¢_{x (t) (1 + x}4_(t))³_{1 + (x}0_(t))4´_{= 0}

diferensiyel denklemini göz önüne alalm. δ = 1 seçildi§inde (C1) − (C5) ³artlarnn sa§land§ açktr. Ayrca τ (t) = 4t alrsak v (t) = t−4 _{oldu§u görülür. Dolaysyla} H(t, s) = (t − s)n−1_{, z(s) = 1ve n = 3 olmak üzere Sonuç 3.1.7'den}

lim sup t→∞ 1 tn−1 t Z 1 r (s) v (s) h2(t, s) ds = lim sup t→∞ 1 t2 t Z 1 4s−2ds = 0 < ∞, lim sup t→∞ 1 t2 t Z T " (t − s)2φ (s) − δc1(n − 1) 2 4 r (s) v (s) # ds = lim sup t→∞ 1 t2 t Z T ¡ 14 (t − s)2s−2− 2s−2¢ds = lim sup t→∞ 1 t2 µ −14t − 28t ln t + 14t + 2 t + 14t2 T + 28t ln T − 14T − 2 T ¶ = 14 T ≥ χ(T ) ve lim sup t→∞ t Z 1 χ2 +(s) r (s) v (s)ds = lim supt→∞ t Z 1 196 s2 1 s2 ds = ∞

4. FORCED DFERENSYEL DENKLEMN ÇÖZÜMLERNN ASMPTOTK DAVRANI“I Bu bölümde, r, p, q, e ∈ C ([t0, ∞) , R), Ψ, k, f, g ∈ C (R, R), rΨk ∈ C1([t0, ∞) , R) ve t0 ≥ 0olmak üzere (r (t) Ψ (x (t)) k (x0_(t)))0_{+ p (t) k (x}0_{(t)) + q (t) f (x (t)) g (x}0_{(t)) = e(t), t ≥ t} 0 (4.1) forced lineer olmayan diferensiyel denkleminin çözümlerinin asimptotik davran³ incelenecektir.

Teorem 4.1. (C1) − (C5) ³artlar sa§lansn. H, h ∈ C(D, (−∞, ∞)) olmak üzere

H ∈ P _{ve her (t, s) ∈ D}0 için −∂H(t, s) ∂s = h(t, s) p H(t, s) olsun. Bu durumda, v (t) = exp  −2 c1 t Z µ τ (s) δr (s)− p (s) 2r (s) ¶ ds   ve φ (t) = v (t) µ c2Mq (t) + τ2_(t) δc1r (t) − p (t) τ (t) c1r (t) − τ0_{(t) +} µ 1 c1 −1 c ¶ δp2_(t) 4r (t) ¶ olmak üzere, lim sup t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 · H (t, s) φ (s) − δc1 4 r (s) v (s) h 2_{(t, s)} ¸ ds = ∞ (4.2)

olacak ³ekilde bir τ ∈ C1_([t

0, ∞), R)fonksiyonu var ve lim sup t→∞ 1 H (t, t0) t Z t0 H (t, s) v(s)| e(s)|ds = N < ∞

ise, bu takdirde (4.1) denkleminin her çözümü

lim inf

t→∞ | x(t)| = 0

özelli§ini sa§lar.

spat . x (t), (4.1) denkleminin bir çözümü ve

lim inf

t→∞ | x(t)| = L > 0

oldu§unu kabul edelim. Bu takdirde x (t) salnml olmayan bir çözüm olur. Genelli§i bozmakszn, T0 ≥ t0 için [T0, ∞)aral§nda x(t) > 0 kabul edebiliriz. Her t ≥ T0 için,

u (t) = v (t) · r (t) Ψ (x (t)) k (x0_(t)) x (t) + τ (t) ¸ (4.3)

genelle³tirilmi³ Riccati tipi dönü³ümü göz önüne alalm. Bu takdirde

u0(t) = v 0_(t) v (t)u (t) +v (t)[−p (t) k (x 0_{(t)) − q (t) f (x (t)) g (x}0_(t))] x (t) −v (t)r (t) Ψ (x (t)) k (x0(t)) x0(t) x2_(t) + v(t)τ 0_{(t) + v(t)}e(t) x(t) = v0(t) v (t)u (t) − p (t) v (t) k (x0_(t)) x (t) − q (t) v (t) f (x (t)) g (x0_(t)) x (t) −v (t) r (t) Ψ (x (t)) k (x0(t)) x0(t) x2_(t) + v (t) τ 0_{(t) + v(t)}e(t) x(t) (4.4)

u0_{(t) ≤} v0(t) v (t)u (t) − p (t) v (t) k (x0_(t)) x (t) − c2Mq (t) v (t) −r (t) v (t) Ψ (x (t)) k2(x0(t)) δx2_(t) + v (t) τ 0_{(t) + v(t)}| e(t)| L = v0(t) v (t)u (t) − p (t) v (t) ·µ u (t) v (t) − τ (t) ¶ 1 r (t) Ψ (x (t)) ¸ − c2Mq (t) v (t) −r (t) v (t) Ψ (x (t)) δ ·µ u (t) v (t) − τ (t) ¶ 1 r (t) Ψ (x (t)) ¸₂ + v (t) τ0_(t) +v(t)| e(t)| L = v 0_(t) v (t)u (t) − p (t) v (t) r (t) Ψ (x (t)) µ u (t) v (t) − τ (t) ¶ − c2Mq (t) v (t) − v (t) δr (t) Ψ (x (t)) µ u (t) v (t) − τ (t) ¶₂ + v (t) τ0(t) + v(t)| e(t)| L = v 0_(t) v (t)u (t) − p (t) u (t) r (t) Ψ (x (t)) + p(t)τ (t)v(t) r (t) Ψ (x (t)) − c2Mq (t) v (t) + v(t) | e(t)| L − u 2_(t) δr (t) v (t) Ψ (x (t)) + 2τ (t) u (t) δr (t) Ψ (x (t)) − τ2_{(t) v (t)} δr (t) Ψ (x (t))+ v (t) τ 0_(t) = v 0_(t) v (t)u (t) − c2Mq (t) v (t) + v (t) τ 0_{(t) + v(t)}| e(t)| L − 1 δr (t) v (t) Ψ (x (t)) · u (t) + δ 2p (t) v (t) − τ (t) v (t) ¸₂ + δp 2_{(t) v (t)} 4r (t) Ψ (x (t)) ≤ v 0_(t) v (t)u (t) − c2Mq (t) v (t) + v (t) τ 0_(t) − 1 δc1r (t) v (t) · u (t) + δ 2p (t) v (t) − τ (t) v (t) ¸₂ + δp2(t) v (t) 4cr (t) + v(t) | e(t)| L

= µ −2τ (t) δc1r (t) + p (t) c1r (t) ¶ u (t) − c2Mq (t) v (t) + v (t) τ0(t) − u2_(t) δc1r (t) v (t) −p (t) u (t) c1r (t) − δp2(t) v (t) 4c1r (t) + 2τ (t) u (t) δc1r (t) +p (t) τ (t) v (t) c1r (t) −τ2(t) v (t) δc1r (t) + δp2(t) v (t) 4cr (t) + v(t) | e(t)| L = −v (t) · c2Mq (t) + τ2_(t) δc1r (t) − p (t) τ (t) c1r (t) − τ0_{(t) +} µ 1 c1 −1 c ¶ δp2_(t) 4r (t) ¸ − u2(t) δc1r (t) v (t) + v(t)| e(t)| L = −φ (t) − u 2_(t) δc1r (t) v (t) + v(t)| e(t)| L (4.5)

e³itli§ine varlr. Böylece (4.5) e³itsizli§inden

φ (t) ≤ −u0_{(t) −} u2(t) δc1r (t) v (t)

+ v(t)| e(t)|

L (4.6)

yazlabilir. t ≥ T ≥ t0 olmak üzere, (4.6) e³itsizli§ini H (t, s) fonksiyonu ile çarpp, s

de§i³kenine göre T 'den t'ye integrallersek

t Z T H(t, s)φ(s)ds ≤ − t Z T H(t, s)u0_{(s)ds −} t Z T H(t, s) u2(s) δc1r(s)v(s) ds + t Z T H(t, s)v(s)| e(s)| L ds (4.7)

sonucuna varlr. (4.7) e³itsizli§inin sa§ tarafndaki birinci integrale ksmi integral yöntemi uygulanrsa